高中数学课时分层作业1集合的含义(含解析)新人教A版必修1

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高中数学必修一人教A版1.1 集合的概念练习(含答案及解析)(52)

故选：A
3．已知，，且，则（）
A． B． C． D．
答案：B
解析：根据集合的包含关系可求得的取值范围.
详解：
，，且， .
故选：B.
4．能够组成集合的是（）
A．与2非常数接近的全体实数
B．很著名的科学家的全体
C．某教室内的全体桌子
D．与无理数π相差很小的数
答案：C
解析：由集合中元素的特征：确定性、互异性、无序性，进行判断即可
1.1 集合的概念
一、单选题
1．已知集合，集合，若，则实数的值是（）
A．0B． C．0或 D．0或
答案：C
解析：计算，考虑，，三种情况，计算得到答案.
详解：
，，
当时，，；当时，，；当时， .
即或或 .
故选：C.
2．已知小于的自然数}，则（）
A． B． C． D．
故答案为：
2．已知，则实数的值是_________．
答案：-1
解析：试题分析：
考点：元素互异性
【名师点睛】对于集合中含有参数的问题，要注意将得到的参数的值代回集合中，对解出的元素进行检验，判断是否满足集合中元素的互异性．
3．已知集合，则实数的取值范围为__________．
答案：
解析：根据题意得，解不等式即可得答案
点睛：
本题考查了一元二次不等式的解法，属于基础题.
7．设集合，，则下列关系中正确的是（）
A． B． C． D．
答案：C
解析：根据元素与集合之间的关系，即可求出结果.
详解：
由题意可知，，所以，故选C.
点睛：
本题主要考查了元素与集合之间的关系.

新教材高中数学课时跟踪检测一集合的概念新人教A版必修第一册(含答案)

新教材高中数学新人教A 版必修第一册：集合的概念层级(一) “四基”落实练1．(多选)下列每组对象，能构成集合的是( ) A ．中国各地最美的乡村B ．直角坐标系中横、纵坐标相等的点C ．2022年将参加北京冬奥会的优秀运动员D ．清华大学2020年入学的全体学生解析：选BD 中国各地最美的乡村，无法确定集合中的元素，故A 不能；优秀运动员，无法确定集合中的元素，故C 不能．∴根据集合元素的确定性可知，B 、D 都能构成集合．2．设A 是方程2x 2＋ax ＋2＝0的解集，且2∈A ，则实数a 的值为( ) A ．－5 B ．－4 C ．4D ．5解析：选A 因为2∈A ，所以2×22＋2a ＋2＝0，解得a ＝－5.3．将集合⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ，y ⎪⎪⎪⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝5，2x －y ＝1用列举法表示，正确的是( ) A ．{2,3} B ．{(2,3)} C ．{x ＝2，y ＝3}D ．(2,3)解析：选B 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝5，2x －y ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3，所以集合⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ，y ⎪⎪⎪⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝5，2x －y ＝1＝{(2,3)}，故B 正确． 4．(多选)设集合A ＝{x |x 2－2x ＝0}，则下列表述正确的是( ) A ．{0}∈A B ．2∈A C ．{2}∈AD ．0∈A解析：选BD ∵集合A ＝{x |x 2－2x ＝0}＝{0,2}，∴0∈A,2∈A ，∵元素与集合是属于关系，故A 、C 不正确． 5．(多选)下列说法错误的是( )A ．在直角坐标平面内，第一、三象限的点的集合为{(x ，y )|xy ＞0}B ．方程x －2＋|y ＋2|＝0的解集为{－2,2}C ．集合{(x ，y )|y ＝1－x }与{x |y ＝1－x }是相等的D ．若A ＝{x ∈Z|－1≤x ≤1}，则－1.1∈A解析：选BCD 根据集合的概念易知A 正确．B 错误，方程的根为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－2，故其解集应写成{(2，－2)}．C 错误，{(x ，y )|y ＝1－x }是由直线y ＝1－x 上的所有点组成的集合，{x |y ＝1－x }是由符合y ＝1－x 的所有x 的值构成的集合，二者不相等．D 错误，由题意可知，A ＝{－1,0,1}，∴－1.1∉A . 故选B 、C 、D.6．已知集合A 是由偶数组成的，集合B 是由奇数组成的，若a ∈A ，b ∈B ，则a ＋b ________A ，ab ________A ．(填“∈”或“∉”)解析：因为a 是偶数，b 是奇数，所以a ＋b 是奇数，ab 是偶数，故a ＋b ∉A ，ab ∈A . 答案：∉ ∈7．若a ，b ∈R ，且a ≠0，b ≠0，则|a |a ＋|b |b的可能取值所组成的集合中元素的个数为________．解析：当a ，b 同正时，|a |a ＋|b |b ＝a a ＋bb ＝1＋1＝2.当a ，b 同负时，|a |a ＋|b |b ＝－a a＋－bb＝－1－1＝－2.当a ，b 异号时，|a |a＋|b |b＝0. ∴|a |a ＋|b |b的可能取值所组成的集合中元素共有3个．答案：38．用适当的方法表示下列集合． (1)方程x (x 2＋2x ＋1)＝0的解集；(2)在自然数集中，小于1 000的奇数构成的集合．解：(1)因为方程x (x 2＋2x ＋1)＝0的解为0或－1，所以解集为{0，－1}．(2)在自然数集中，奇数可表示为x ＝2n ＋1，n ∈N ，故在自然数集中，小于1 000的奇数构成的集合为{x |x ＝2n ＋1，且n ＜500，n ∈N}．层级(二) 能力提升练1．设集合A ＝{1,2,3}，B ＝{4,5}，M ＝{x |x ＝a ＋b ，a ∈A ，b ∈B }，则M 中的元素的个数为( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：选B 当a ＝1，b ＝4时，x ＝5；当a ＝1，b ＝5时，x ＝6；当a ＝2，b ＝4时，x ＝6；当a ＝2，b ＝5时，x ＝7；当a ＝3，b ＝4时，x ＝7；当a ＝3，b ＝5时，x ＝8.由集合元素的互异性知M 中共有4个元素．2．已知集合Ω中的三个元素l ，m ，n 分别是△ABC 的三个边长，则△ABC 一定不是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形D ．等腰三角形解析：选D 因为集合中的元素是互异的，所以l ，m ，n 互不相等，即△ABC 不可能是等腰三角形．3．已知含有三个实数的集合既可表示成⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ，b a，1，又可表示成{a 2，a ＋b,0}，则a2 021＋b2 020＝________.解析：由题意，得b a＝0且a ≠0，a ≠1，所以b ＝0，a 2＝1，解得a ＝－1(a ＝1舍去)，所以a2 021＋b2 020＝－1.答案：－14．已知数集A 满足条件：若a ∈A ，则11－a∈A (a ≠1)，如果a ＝2，试求出A 中的所有元素．解：根据题意，由2∈A 可知，11－2＝－1∈A ；由－1∈A 可知，11－－1＝12∈A ；由12∈A 可知，11－12＝2∈A . 故集合A 中共有3个元素，它们分别是－1，12，2.5．已知集合A ＝{x |ax 2－3x ＋2＝0}． (1)若集合A 中只有一个元素，求实数a 的值； (2)若集合A 中至少有一个元素，求实数a 的取值范围； (3)若集合A 中至多有一个元素，求实数a 的取值范围．解：(1)当a ＝0时，原方程可化为－3x ＋2＝0，得x ＝23，符合题意．当a ≠0时，方程ax 2－3x ＋2＝0为一元二次方程，由题意得，Δ＝9－8a ＝0，得a ＝98.所以当a ＝0或a ＝98时，集合A 中只有一个元素．(2)由题意得，当⎩⎪⎨⎪⎧a ≠0，Δ＝9－8a >0，即a <98且a ≠0时方程有两个实根，又由(1)知，当a ＝0或a ＝98时方程有一个实根．所以a 的取值范围是⎩⎨⎧a ⎪⎪⎪⎭⎬⎫a ≤98.(3)由(1)知，当a ＝0或a ＝98时，集合A 中只有一个元素．当集合A 中没有元素，即A ＝∅时，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ≠0，Δ＝9－8a <0，解得a >98.综上得，当a ≥98或a ＝0时，集合A 中至多有一个元素．层级(三) 素养培优练1．若集合{a ，b ，c ，d }＝{1,2,3,4}，且下列四个关系：①a ＝1；②b ≠1；③c ＝2；④d ≠4，有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组(a ，b ，c ，d )的个数是________．解析：若只有①正确，则a ＝1，b ＝1，c ≠2，d ＝4，而a ＝b ＝1与集合中元素的互异性矛盾，所以只有①正确是不可能的；若只有②正确，则有序数组为(3,2,1,4)，(2,3,1,4)；若只有③正确，则有序数组为(3,1,2,4)；若只有④正确，则有序数组为(2,1,4,3)，(3,1,4,2)，(4,1，3,2)．故符合条件的有序数组(a ，b ，c ，d )的个数是6. 答案：62．已知集合A ＝{x |x ＝3n ＋1，n ∈Z}，B ＝{x |x ＝3n ＋2，n ∈Z}，M ＝{x |x ＝6n ＋3，n ∈Z}．(1)若m ∈M ，则是否存在a ∈A ，b ∈B ，使m ＝a ＋b 成立？(2)对任意a ∈A ，b ∈B ，是否一定存在m ∈M ，使a ＋b ＝m ？证明你的结论．解：(1)设m ＝6k ＋3＝3k ＋1＋3k ＋2(k ∈Z)，令a ＝3k ＋1(k ∈Z)，b ＝3k ＋2(k ∈Z)，则m ＝a ＋b . 故若m ∈M ，则存在a ∈A ，b ∈B ，使m ＝a ＋b 成立．(2)设a ＝3k ＋1，b ＝3l ＋2，k ，l ∈Z ，则a ＋b ＝3(k ＋l )＋3，k ，l ∈Z.当k＋l＝2p(p∈Z)时，a＋b＝6p＋3∈M，此时存在m∈M，使a＋b＝m成立；当k＋l＝2p＋1(p∈Z)时，a＋b＝6p＋6∉M，此时不存在m∈M，使a＋b＝m成立．故对任意a∈A，b∈B，不一定存在m∈M，使a＋b＝m.。

高中数学必修一人教A版1.1 集合的概念练习(含解析)(10)

1.1 集合的概念一、单选题1．已知集合{}0,1,2A =，那么（）A ．0A ⊆B ．0A ∈C ．1AD ．{}0,1,2A ⋃2．已知集合{}1,A x x x Z =≤∈，则满足条件BA 的集合B 的个数为（） A ．3 B ．4C ．7D ．83．已知集合{}14A x Z x =∈-<<，则集合A 的非空子集个数是（）A ．7B ．8C ．15D ．16 4．集合{,,}a b c 的真子集共有（）个 A ．5 B ．6C ．7D ．8 5．下列表示正确的是 A ．0∈N B ．27∈NC ．–3∈ND ．π∈Q 6．设集合{|21,},5A x x k k Z a ==+∈=，则有（） A ．a A ∈ B ．a A -∈ C ．{}a A ∈ D ．{}a A ⊇7．下列关于空集∅的叙述：①0∈∅；②{}∅∈∅；③{}0∅=.正确的个数为（）A ．0B ．1C ．2D ．3 85R ；②14Q ∉；③1.5Z ∈.其中正确的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．09．方程组2219x y x y +=-=⎧⎨⎩的解集是（） A ．()5,4B ．()5,4-C ．(){}5,4-D ．(){}5,4-二、填空题 1．如果有一集合含有两个元素：x ，2x x -，则实数x 的取值范围是________．2．已知集合A ＝0, 1}, B ＝2{,2}a a ，其中a R ∈, 我们把集合1212{|,,}x x x x x A x B =+∈∈记作A ＋B ，若集合A ＋B 中的最大元素是21a +，则a 的取值范围是______.3．一元二次方程x 2+4x+3=0的解集为________（用列举法）4．已知集合2{|320,,}A x ax x x R a R =-+=∈∈，若集合A 中只有一个元素，则实数a 的取值为______ ．5．若不等式组120161x x a-≥⎧⎨+⎩的解集中的元素有且仅有有限个数，则a =________．三、解答题 1．在平面直角坐标系中，集合{(,)|}C x y y x ==表示直线y x =，从这个角度看，集合21(,)|45x y D x y x y ⎧-=⎧⎫=⎨⎨⎬+=⎩⎭⎩表示什么？集合C ，D 之间有什么关系？2．已知集合2{|210}A x ax x =∈++=R ，其中a ∈R ．（1）若12A ∈，用列举法表示集合A ；（2）若集合A 中有且仅有一个元素，求a 的值组成的集合B ．3．用列举法表示下列集合．（1）x|x 2－2x －8＝0}．（2）x|x 为不大于10的正偶数}．（3）a|1≤a<5，a∈N}．（4）169A x N N x ⎧⎫=∈∈⎨⎬-⎩⎭∣ （5）(x ，y)|x∈1，2}，y∈1，2}}．参考答案一、单选题1．B解析：根据元素与集合的关系、集合与集合的关系判断即可.详解：由{}0,1,2A =，则0A ∈，{}1A ⊆故选：B2．C解析：先确定集合A 中元素，再由真子集个数的计算公式，即可得出结果.详解：因为{}{}1,101A x x x Z =≤∈=-，，，所以满足条件B A 的集合B 的个数为3217-=，故选：C ．3．C解析：利用列举法表示集合A ，确定集合A 中元素的个数，进而可求得集合A 的非空子集个数.详解：{}{}140,1,2,3A x Z x =∈-<<=，集合A 中共4个元素，因此，集合A 的非空子集个数是42115-=.故选：C.4．C解析：直接根据含有n 个元素的集合，其子集个数为2n ，真子集为21n -个；详解：解：因为集合{,,}a b c 含有3个元素，故其真子集为3217-=个故选：C5．A解析：根据自然数集以及有理数集的含义判断数与集合关系. 详解：N表示自然数集，在A中，0∈N，故A正确；在B中，27N∉，故B错误；在C中，–3∉N，故C错误；Q表示有理数集，在D中，π∉Q，故D错误．故选A．点睛：本题考查自然数集、有理数集的含义以及数与集合关系判断，考查基本分析判断能力，属基础题.6．A解析：5221a==⨯+,结合集合A,即可得出结果.详解：5221a A==⨯+∈．故选:A点睛：本题考查元素和集合的关系,考查学生对基本概念的理解,属于基础题.7．B解析：直接根据∅中没有任何中元素，∅是{}∅的元素，且是{}0的真子集即可判断.详解：∵∅中没有任何中元素，0∉∅，故①错误；{}∅∈∅，故②正确；{}0≠∅，故③错误.故正确的只有②.故选：B.点睛：本题考查命题真假的判断，考查元素与集合、空集和单元素集合{}0关系等基础知识，是基础题.8．A解析：根据元素和常用数集之间的关系，直接判定，即可得出结果.详解：R R，即①正确；Q 为有理数集，故14Q ∈，即②错； Z 为整数集，故1.5Z ∉，即③错；故，正确的个数为1个.故选：A.点睛：本题主要考查元素与集合之间关系的判定，属于基础题型.9．D解析：解出方程组的解，然后用集合表示.详解：因为()()229x y x y x y -==+-，将1x y +=代入得，得9x y -=.210x y x y x ++-==，解得5x =.代入得4y =-.所以方程组2219x y x y +=⎧⎨-=⎩的解集(){}5,4-. 故选：D.点睛：本题考查集合的表示，考查用列举法表示方程组解的集合，注意解的表示形式，属于基础题.二、填空题1．0x ≠且2x ≠解析：根据集合的元素的互异性列出不等式，解之即得.详解：由集合元素的互异性可得2x x x -≠，解得0x ≠且2x ≠.故答案为：0x ≠且2x ≠.2．(0, 2)解析：只要解不等式2121a a +<+即得．详解：由题意2121a a +<+，解得02a <<，即a 的取值范围是(0,2)．故答案为(0,2)．点睛：本题考查集合的创新问题，解题中需要理解新概念，转化为旧知识．如本题转化为解不等式2121a a +<+．3．{}1,3--解析：求出方程的解，用列举法表示出即可.详解：由2430x x ++=解得1x =-或3-，2430x x +∴+=的解集为{}1,3--.故答案为：{}1,3--.点睛：本题考查列举法表示集合，属于基础题.4．0或98解析：由题意，集合A 中只有一个元素，转化为方程2320ax x -+=只有一个解，分类讨论，即可得到答案．详解：因为集合2A {x |ax 3x 20,x R,a R}=-+=∈∈有且只有一个元素，当a 0=时，2ax 3x 20-+=只有一个解2x 3=，当a 0≠时，一元二次方程有重根，即98a 0=-=即9a 8=．所以实数a 0=或98．点睛：本题主要考查了集合中元素个数的判定与应用，其中根据题意把集合A 中只有一个元素，转化为方程2320ax x -+=只有一个解，分类讨论求解是解答的关键，着重考查了转化思想，及分类讨论数学思想的应用．5．2018解析：若不等式组120161x x a -≥⎧⎨+⎩的解集中有且仅有有限个数，则12017a -=，进而得到答案．详解：解12016x -≥得：2017x ≥，解1x a +≤得：1x a ≤-，若12017a -<，则不等式的解集为空集，不满足条件；若12017a -=，则不等式的解集有且只有一个元素，满足条件，此时2018a =；若12017a ->，则不等式的解集为无限集，不满足条件；综上可得：2018a =，故答案为：2018点睛：本题主要考查集合中元素的个数，同时考查了不等式组的解法，属于简单题.三、解答题1．D C解析：集合表示两条直线的交点，解得交点得到集合关系.详解：集合21(,)|45x y D x y x y ⎧-=⎧⎫=⎨⎨⎬+=⎩⎭⎩表示直线21x y -=与直线45x y +=交点的集合，即{(1,1)}D =. D C点睛：本题考查了集合表示的意义，集合的包含关系，意在考查学生对于集合的理解和掌握.2．(1) 11,42A ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭(2) {0,1}B = 解析：（1）由题,将12x =代入方程中,进而得到8a =-,再解得方程,并用列举法表示解的集合即可；（2）当0a =时,解得12x =-,即为一个解,当0a ≠时,令0∆=,求解即可详解：（1）∵12A ∈, ∴12是方程2210ax x ++=的根, ∴21121022a ⎛⎫⨯+⨯+= ⎪⎝⎭,解得8a =-, ∴方程为28210x x -++=, ∴112x =,214x =-,此时11,42A ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭（2）若0a =,则方程为210x +=,解得12x =-,此时A 中仅有一个元素,符合题意；若0a ≠,A 中仅有一个元素,那440a ∆=-=,即1a =,方程有两个相等的实根,即121x x ==- ∴所求集合{0,1}B =点睛：本题考查列举法表示集合, 考查由元素的个数求参数,考查分类讨论的思想,考查解方程，属于中档题.3．（1）｛4，-2｝；（2）｛2，4，6，8，10｝；（3）｛1，2，3，4｝；（4）｛1，5，7，8｝；(5)｛（1，1），（1，2），（2，1），（2，2）｝解析：根据题意，列举出集合中所有的元素，即可求得结果.详解：（1）2280x x--=，解得4x=或2-，故x|x2－2x－8＝0}=｛4，-2｝；（2）x|x为不大于10的正偶数}=｛2，4，6，8，10｝；（3）a|1≤a<5，a∈N}，故1,2,3,4a=，则a|1≤a<5，a∈N}=｛1，2，3，4｝；（4）169A x N Nx⎧⎫=∈∈⎨⎬-⎩⎭∣=｛1，5，7，8｝；（5）(x，y)|x∈1，2}，y∈1，2}}=｛（1，1），（1，2），（2，1），（2，2）｝点睛：本题考查用列举法表示集合，属简单题.。

人教A版高中数学必修一1.1 集合的概念专练(含解析)(10)

1.1 集合的概念一、单选题1．设集合1|6A x x a a Z ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭,，1|23b B x x b Z ⎧⎫==-∈⎨⎬⎩⎭,，1|26c C x x c Z ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭,，则集合A 、B 、C 的关系是（）A ．ABC B ．A C B C ．A B C =D ．C A B2．集合{}13A x N x =∈-<<的真子集的个数为（） A ．3 B ．4C ．7D ．83．方程组5346x y x y +=⎧⎨-=-⎩的解集是（）A ．{}2,3x y ==B ．{}2,3C ．(){}2,3D ．23x y =⎧⎨=⎩4．已知集合(){}22,1,,A x y x y x Z y Z =+≤∈∈,则A 中元素个数为( )A ．4B ．5C ．8D ．95．已知集合{}1,2,3A =，集合{},,B z z x y x A y A ==-∈∈，则集合B 中元素的个数为（） A ．4 B ．5C ．6D ．76．已知集合M 是方程x 2－x ＋m ＝0的解组成的集合，若2∈M，则下列判断正确的是（）A ．1∈MB ．0∈MC ．－1∈MD ．－2∈M7．已知{}A xx x R =≤∈∣，a =b = ）A ．a A ∈且b A ∉B ．a A ∉且b A ∈C ．a A ∉且b A ∈D ．a A ∉且b A ∉ 8．已知集合{1,,1}A a a =-，若2A -∈，则实数a 的值为（） A ．2-B ．1-C ．1-或2-D ．2-或3-9．下列关系中，正确的个数为（）R ；②13Q ∈；③0{0}=；④0N ∉；⑤Q π∈；⑥3Z -∈. A ．6B ．5C ．4D ．310．已知集合{}1,0,1A =-，(),|,,x B x y x A y A y ⎧⎫=∈∈∈⎨⎬⎩⎭N ，则集合B 中所含元素的个数为（） A ．3 B ．4 C ．6 D ．9二、填空题1．列举法表示方程()22x 2a 3x a 3a 20-++++=的解集为______．2．若{}20x N x mx *∈+<恰有三个元素，则实数m 的取值范围为___________. 3．已知集合{}1,,3,A a ={}21,2,1,B a a a =++-，若3();A B ∈⋂则实数a =________.4．用描述法表示被4除余3的正整数集合：______． 5．已知集合{}1,A x =，则x 的取值范围是________. 三、解答题1．设n 为正整数，集合A=12{|(,,,)n t t t αα=，{0,1}k t ∈，1k=，2，，}n ．对于集合A 中的任意元素12(,,,)n x x x α=和12(,,,)n y y y β=，记111122221(,)[(||)(||)(||)]2n n n n M x y x y x y x y x y x y αβ=+-++-+++-+++．（Ⅰ）当n=3时，若(0,1,1)α=，(0,0,1)β=，求(,)M αα和(,)M αβ的值；（Ⅱ）当4n =时，对于A 中的任意两个不同的元素α，β，证明：(,)(,)(,)M M M αβααββ+≤．（Ⅲ）给定不小于2的正整数n ，设B 是A 的子集，且满足：对于B 中的任意两个不同元素α，β，(,)(,)(,)M M M αβααββ=+．写出一个集合B ，使其元素个数最多，并说明由．2．用适当的方法表示下列集合.（1）由所有小于20的既是奇数又是质数的正整数组成的集合；（2）由所有非负偶数组成的集合；（3）直角坐标系内第三象限的点组成的集合.3．选择适当的方法表示下列集合．（1）绝对值不大于3的整数组成的集合；（2）方程(35)(2)0x x -+=的实数解组成的集合；（3）一次函数6y x =+图像上所有点组成的集合；（4）满足方程||x x =，x ∈Z 的所有x 的值构成的集合．4．含有三个实数元素的集合既可表示成,,1b a a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，又可表示成2{,,0}a a b +，求20172018a b +的值．5．已知集合A 可表示为a,a 2,1a },求实数a 应满足的条件.参考答案一、单选题 1．C解析：将三个集合分别化简后判断集合间的关系. 详解：集合161|,66a A x x a a Z x x a Z ⎧+⎫⎧⎫==+∈==∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭,，集合132|,236b b B x x b Z xb Z ⎧-⎫⎧⎫==-∈=∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭,，集合131|,266c c C x x c Z x x c Z ⎧+⎫⎧⎫==+∈==∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭,，a Z ∈时，61a +表示被6除余1的数；b Z ∈时，32b -表示被3除余1的数；c Z ∈时，31c +表示被3除余1的数；所以A B C =，故选：C. 2．C解析：先化简集合A ，再列举出所有真子集，从而可得答案．详解：因为{}{}130,1,2A x N x =∈-<<=，所以A 的真子集为{}{}{}{}{}{},0,1,2,0,1,0,2,1,2∅ 可得真子集的个数为7，故选：C ． 3．C解析：首先求出二元一次方程组的解，再写出其解集；详解：解：因为5346x y x y +=⎧⎨-=-⎩，所以23x y =⎧⎨=⎩所以方程组5346x y x y +=⎧⎨-=-⎩的解集为(){}2,3故选：C 4．B解析：根据集合A ，得出表示圆221x y +=上及其内部的整数点，结合图象，即可求解. 详解：由题意，集合(){}22,1,,A x y x y x Z y Z =+≤∈∈表示如图所示的圆221x y +=上及其内部的整数点,共5个. 故选： B.点睛：本题主要考查了集合表示，其中解答中正确理解集合表示表示方法是解答的关键，着重考查了数形结合思想，属于基础题. 5．B解析：根据集合A 中的元素，集合B 中的元素特征，求出x y -，利用集合元素的互异性即可求解. 详解：{}1,2,3A =，{},,B z z x y x A y A ==-∈∈，1,2,3x ∴=，1,2,3y =，当1x =时，0,1,2x y -=--，当2x =时，1,0,1x y -=-，当3x =时，2,1,0x y -=即2,1,0,1,2x y -=--，即 {}2,1,0,1,2B =--共有5个元素. 故选：B 点睛：本题考查了集合元素的特征，理解集合的表示以及集合中的元素特征，考查了基本运算，属于基础题.6．C解析：首先根据2∈M，把2代入方程x 2－x ＋m ＝0即可求得m ＝－2，从而解方程x 2－x －2＝0即可得解. 详解：由2∈M 知2为方程x 2－x ＋m ＝0的一个解，所以22－2＋m ＝0，解得m ＝－2．所以方程为x 2－x －2＝0，解得x 1＝－1，x 2＝2．故方程的另一根为－1．故选：C ． 7．B解析：根据已知中{}A xx x R =≤∈∣，判断a b ，的值与a b ，与集合A 的关系. 详解：根据题意得：a ==>b ==<a A ∉，b A ∈；故选:B. 点睛：本题考查的知识点是元素与集合关系的判断，判断一个元素是否属于一个集合，关键是判断元素是否满足集合的条件． 8．C解析：由已知得2a =-或12a -=-，解之并代入集合中验证可得选项. 详解：因为集合{1,,1}A a a =-，且2A -∈，所以2a =-或12a -=-，当2a =-时，{1,2,3}A =--，适合题意；当12a -=-时，1a =-，{1,1,2}A =--，也适合题意，所以实数a 的值为1-或2-. 故选：C. 点睛：本题考查元素与集合的关系，属于基础题. 9．D解析：利用元素与集合的关系及实数集､有理数集､自然数集的性质直接求解. 详解：R ，故①正确；在②中，13Q ∈，故②正确；在③中，0{0}∈，故③错误；在④中，0∈N ，故④错误；在⑤中，π∉Q ，故⑤错误；在⑥中，3-∈Z ，故⑥正确. 故选：D. 点睛：本题考查了元素和集合的关系，属于简单题. 10．B解析：根据几何A 中的元素，可求得集合B 中的有序数对，即可求得B 中元素个数. 详解：因为x A ∈，y A ，xy ∈N ，所以满足条件的有序实数对为()1,1--，()0,1-，()0,1，()1,1．故选:B. 点睛：本题考查集合中元素个数的求法，属于基础题.二、填空题 1．{}a 1,a 2++解析：根据题意，求出方程的解，用集合表示即可得答案．详解：根据题意，方程()22x 2a 3x a 3a 20-++++=变形可得()()x a 1x a 20⎡⎤⎡⎤-+-+=⎣⎦⎣⎦，有2个解：1x a 1=+，2x a 2=+，则其解集为{}a 1,a 2++；故答案为{}a 1,a 2++．点睛：本题考查集合的表示方法，关键是求出方程的解，属于基础题．2．[)4,3--解析：根据题意可知34m <-≤，解出即可.详解：{}20x N x mx *∈+<恰有三个元素，{}{}{}2001,2,3x Nx mx x Nx m **∴∈+<=∈<<-=，34m ∴<-≤，即43m -≤<-.故答案为：[)4,3--. 点睛：本题考查根据集合元素个数求参数，其中涉及一元二次不等式的求解，属于基础题. 3．2-解析：由3()A B ∈⋂得13a +=或23a +=或213a -=求出a 值并根据集合元素互异性检验得解. 详解：3()A B ∈⋂,13a ∴+=或23a +=或213a -=解得2a =或1a =或2a =-，代入检验，根据集合元素互异性得2a =- 故答案为：2- 点睛：本题考查集合元素互异性，属于基础题.4．x|x ＝4n+3，n∈N}解析：设该数为x ，则该数x 满足x ＝4n+3，n∈N；再写成集合的形式. 详解：设该数为x ，则该数x 满足x ＝4n+3，n∈N； ∴所求的正整数集合为x|x ＝4n+3，n∈N}．故答案为：x|x ＝4n+3，n∈N}．点睛：本题主要考查集合的表示方法，属于基础题. 5．1x ≠解析：利用集合元素的互异性可得结果。

高中数学必修一人教A版1.1 集合的概念-单选专项练习(含答案及解析)

1.1 集合的概念1．定义集合运算：(){},,A B z z x x y x A y B ==-∈∈※︳，设集合 {}1,2A =，{}2,3B =，则集合 A B ※ 的所有元素个数为（）A ．2B ．3C ．4D ．5答案：B 解析：求出集合 A B ※ 的所有元素，即得解.详解：当1,2x y ==时，1(12)1z =⨯-=-；当1,3x y ==时，1(13)2z =⨯-=-；当2,2x y ==时，2(22)0z =⨯-=；当2,3x y ==时，2(23)2z =⨯-=-.所以集合 A B ※ 的共有3个元素.故选：B点睛：本题主要考查集合的新定义，考查集合的元素的互异性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.2．设集合M=x|x 2-3x≤0}，则下列关系式正确的是（）A ．2⊆MB ．2∉MC ．2∈MD ．2}∈M答案：C解析：本题已知集合M ，先将相应的不等式化简，得到集合中元素满足的条件，再看元素2是否满足条件，可得到正确选项．详解：230x x -，03x ∴， 2{|30}{|03}M x x x x x ∴=-=．又023<<，2M ∴∈．故选：C ．点睛：本题考查的是集合知识，重点是判断元素与集合的关系，难点是对一元二次不等式的化简．计算量较小，属于容易题．3．已知集合{}012M =,,，则M 的子集有（） A ．3个B ．4个C ．7个D ．8个答案：D 解析：根据集合子集的个数计算公式求解.详解：因为集合{}012M =,,共有3个元素，所以子集个数为328=个. 故选：D.4．已知集合{}1,2A =，{}2,4B =，则集合{},,M z z x y x A y B ==⋅∈∈中元素的个数为（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个答案：C解析：根据集合{},,M z z x y x A y B ==⋅∈∈列举求解.详解：因为集合{}1,2A =，{}2,4B =，所以集合{}2,4,8M =，故选：C5．设全集为U ，定义集合M 与N 的运算：{()*|M N x x M N =∈⋃且()}x M N ∉⋂，则()**N N M = A ．MB ．NC ．U MN D ．U N M答案：A 解析：先由题意得出*N M 表示区域，再由题中的定义，即可得出()**N N M 表示的区域，从而可得出结果.详解：如图所示，由定义可知*N M 为图中的阴影区域，()**N N M ∴为图中阴影Ⅰ和空白的区域，即()**N N M M =.故选A.点睛：本题主要考查集合的交集与并集的应用，熟记概念即可，属于常考题型.6．对于集合{}22,,M a a x y x y ==-∈∈Z Z ，给出如下三个结论：①如果{}21,P b b n n ==+∈Z ，那么P M ⊆；②如果42,c n n =+∈Z ，那么c M ∉；③如果1a M ∈，2a M ∈，那么12a a M ∈.其中正确结论的个数是A ．0B ．1C ．2D ．3答案：D解析：①根据2221(1)n n n +=+-，得出21n M +∈，即P M ⊆；②根据42c n =+，证明42n M ，即c M ∉；③根据1a M ∈，2a M ∈，证明12a a M ∈．详解：解：集合22{|M a a x y ==-，x ∈Z ，}y Z ∈，对于①，21b n =+，n Z ∈，则恒有2221(1)n n n +=+-，21n M ∴+∈，即{|21P b b n ==+，}n Z ∈，则P M ⊆，①正确；对于②，42c n =+，n Z ∈，若42n M ，则存在x ，y Z ∈使得2242x y n， 42()()n x y x y ∴+=+-，又x y +和x y -同奇或同偶，若x y +和x y -都是奇数，则()()x y x y +-为奇数，而42n +是偶数；若x y +和x y -都是偶数，则()()x y x y +-能被4整除，而42n +不能被4整除，42n M ∴+∉，即c M ∉，②正确；对于③，1a M ∈，2a M ∈，可设22111a x y =-，22222a x y =-，i x 、i y Z ∈；则2222121122()()a a x y x y =--222212121221()()()()x x y y x y x y =+--2212121221()()x x y y x y x y M =+-+∈那么12a a M ∈，③正确．综上，正确的命题是①②③．故选D ．点睛：本题考查了元素与集合关系的判断、以及运算求解能力和化归思想，是难题．7．已知集合 A =1,2,3, 4,5, 6},{|,,,}b T x x a b A a b a ==∈>，则集合T 中元素的个数为A ．9B ．10C ．11D ．12答案：C解析：先阅读题意，再写出集合T 即可.详解：解：由集合 A =1,2,3, 4,5, 6},{|,,,}b T x x a b A a b a ==∈>，则11213123415,,,,,,,,,,23344555566T ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，则集合T 中元素的个数为11，故选C.点睛：本题考查了元素与集合的关系，重点考查了阅读能力，属基础题.8．关于集合下列正确的是（）A ．0∈∅B ．0N ∉C ．{}0∅∈D ．0Q ∈答案：D解析：根据元素和集合的关系进行判断即可．详解：解：0∈∅，故A 错；0N ∈，故B 错，{}0∅⊆，故C 错，0Q ∈，故D 正确.故选：D点睛：本题主要考查元素和集合关系的判断，比较基础，正确理解N ，Z ，R ，集合的意义是解决本题的关键．9．下列关系中正确的个数是（）①12Q ∈ R ③*0N ∈ ④π∈ZA ．1B ．2C ．3D ．4答案：A解析：根据集合的概念、数集的表示判断．详解：120不是正整数，π是无理数，当然不是整数．只有①正确．故选：A ．点睛：本题考查元素与集合的关系，掌握常用数集的表示是解题关键．10．已知集合{}1,2,3M =，(){},,,N x y x M y M x y M =∈∈+∈，则集合N 中的元素个数为（）A ．2B ．3C ．8D ．9答案：B解析：由,,x M y M x y M ∈∈+∈即可求解满足题意的点(),x y 的坐标.详解：解：由题意，满足条件的平面内以(),x y 为坐标的点集合()()(){}1,1,1,2,2,1N =，所以集合N 的元素个数为3.故选：B.11．设集合{}12|M x x =<<，{}|3N x x =<，则集合M 和集合N 的关系是（）A ．N M ∈B ．M N ∈C ．M N ⊆D ．N M ⊆答案：C解析：由子集的概念进行判断结合选项得出答案．详解：集合{}12|M x x =<<中的每一个元素都是集合{}|3N x x =<中的元素，∴集合M 是集合N 的子集故选：C12．对于任意两个正整数m 、n ，定义某种运算，当m 、n 都为正偶数或正奇数时，m n m n ∆=+；当m 、n 中一个为正奇数，另一个为正偶数时，m n mn ∆=.则在上述定义下，(){}**,36,,M x y x y x y =∆=∈∈N N ，集合M 中元素的个数为（） A ．40B ．48C ．39D ．41答案：D 解析：分x 、y 都为正偶数或正奇数和x 、y 中一个为正奇数，另一个为正偶数，两种情况，根据运算列举求解.详解：当x 、y 都为正偶数或正奇数时，36x y x y ∆=+=，集合M 中的元素有()()()()()()1,35,2,34,3,33,4,32,...,34,2,35,1，共35个；当x 、y 中一个为正奇数，另一个为正偶数时，36x y x y ∆=⋅=，，集合M 中的元素有()()()()()()1,36,3,12,4,9,9,4,36,1,12,3共6个，所以集合M 中元素的个数为35641+=，故选：D点睛：本题主要考查集合的概念和表示方法，属于基础题.13．已知元素a∈0，1，2，3}，且a ∉1，2，3}，则a 的值为（）A ．0B ．1C ．2D ．3答案：A解析：由题意，根据集合中元素与集合的关系，即可求解，得到答案.详解：由题意，元素a∈0，1，2，3}，且a ∉1，2，3}， ∴a 的值为0．故选A ．点睛：本题主要考查了集合中元素与集合的关系的应用，其中解答中牢记集合的元素与集合的关系，合理应用是解答本题的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.14．已知集合1{|,Z}24k M x x k ==+∈,*1{|,N }42k N x x k ==+∈,若0x M ∈,则0x 与N 的关系是（）A ．0x N ∈或0x N ∉B ．0x N ∈C ．0x N ∉D ．不能确定答案：A解析：用列举法表示集合,M N ,最后可以选出正确答案.详解：131357{|,Z},,,,,2444444k M x x k ⎧⎫==+∈=--⎨⎬⎩⎭, *1353{|,N },1,,,42442k N x x k ⎧⎫==+∈=⎨⎬⎩⎭,当01,4x M =-∈但0x N ∉, 当03,4x M =∈有0x N ∈.故选：A点睛：本题考查了列举法表示集合,考查了元素与集合的关系,属于基础题.15．已知,,a b c 均为非零实数，集合{|}a b ab A x x a b ab ==++，则集合A 的元素的个数为． A ．2B ．3C ．4D ．5答案：A解析：当0a >，0b >时，1113a b ab x a b ab =++=++=；当0a >，0b <时，1111ab ab x a b ab =++=--=-，当0a <，0b >时，1111a b ab x a b ab=++=-+-=-，；当0,0a b <<时，1111ab ab x a b ab =++=--+=-，故x 的所有值组成的集合为{}1,3-，故选A. 16．若集合A ＝x|kx 2＋4x ＋4＝0，x∈R}中只有一个元素，则实数k 的值为( )A ．1B ．0C ．0或1D ．以上答案都不对答案：C解析：当k ＝0时，A ＝－1}；当k≠0时，Δ＝16－16k ＝0，k ＝1.故k ＝0或k ＝1.选C.17．集合M ＝(x ，y)|xy<0，x∈R，y∈R}是( )A ．第一象限内的点集B ．第三象限内的点集C ．第四象限内的点集D ．第二、四象限内的点集答案：D详解：根据描述法表示集合的特点，可知集合表示的是横、纵坐标异号的点的集合，这些点在第二、四象限内.选D.点睛：集合的表示方法：列举法、描述法、图示法．其中描述法要注意代表元素，是点集还是数集18．定义集合A 、B 的一种运算：{}1212|,,A B x x x x x A x B *==⨯∈∈其中，若{1,2,3,5}A =， {1,2}B =，则A B *中的所有元素之和为为 A ．30B ．31C ．32D ．34答案：B详解：试题分析：由{}1212|,,A B x x x x x A x B *==⨯∈∈其中可知{}1,2,3,5,4,6,10A B *=，所以所有元素之和为31考点：集合运算19．设由“我和我的祖国”中的所有汉字组成集合A ，则A 中的元素个数为（）A ．4B ．5C ．6D ．7答案：B解析：列举出集合A 中的元素，由此可得出结论.详解：由题意可知，集合A 中的元素分别为：我、和、的、祖、国，共5个元素. 故选：B.20．已知集合{}21,A a =，实数a 不能取的值的集合是（） A ．{}1,1-B ．{}1-C ．{}1,0,1-D ．{}1答案：A 解析：根据元素的互异性可得出关于实数a 的不等式，由此可求得结果. 详解：由已知条件可得21≠a ，解得1a ≠±.故选：A.。

高中数学必修一人教A版1.1 集合的概念练习(含解析)(73)

1.1 集合的概念一、单选题1．设集合{}0,1,2,3M =，则下列关系正确的是（）A ．1M ⊆B ．2M ∉C ．{}3M ⊆D ．{}0M ∈2．有下列说法：（1）与表示同一个集合；（2）由组成的集合可表示为{}1,2,3或{}3,2,1；（3）方程2(1)(2)0x x --=的所有解的集合可表示为{}1,1,2；（4）集合{}|45x x <<是有限集．其中正确的说法是A ．只有（1）和（4）B ．只有（2）和（3）C ．只有（2）D ．以上四种说法都不对3．已知集合{}{}2|00,1x x ax +==，则实数a 的值为．A ．1-B ．0C ．1D ．2 4．已知集合1}{0|A x x -≥=，{0,1,2}B =，则A B =A ．{0}B ．{1}C ．{1,2}D ．{0,1,2} 5．已知集合(){}21220A x R a x x =∈+-+=,且A 中只有一个元素,则实数a 的值为A ．12- B ．0或12 C ．1- D ．1-或12- 6．把集合2|450{}x x x --=用列举法表示为（）A ．{|1,5}x x x =-=B ．{|15}x x x =-=或C ．2{450}x x --=D ．{-1,5} 7．在“①高一数学课本中的难题；②所有的正三角形； ③方程220x +=的实数解”中，能够表示成集合的是A ．②B ．③C ．②③D ．①②③8．以下各组对象不能组成集合的是（）A ．中国古代四大发明B ．地球上的小河流C ．方程270x -=的实数解D ．周长为10cm 的三角形 9．{}|10P m m =-<<，2{|440Q m R mx mx =∈+-<对于任意实数x 恒成立}，则下列关系中立的是A ．P Q ≠⊂B ．Q P ≠⊂C ．P Q =D ．P Q φ=二、填空题1．下列命题正确的个数__（1）很小的实数可以构成集合；（2）集合y|y ＝x 2﹣1}与集合（x ，y ）|y ＝x 2﹣1}是同一个集合；（3）1，361,,||,0.5242-，这些数组成的集合有5个元素；（4）集合（x ，y ）|xy≤0，x ，y∈R}是指第二和第四象限内的点集．2．若集合{}2(,)1A x y y ax ==-，集合{}(,)33B x y y x ==-，若A B 中元素只有一个，则实数a 组成的集合为______.3．设1234,,,a a a a 是4个互不相同的实数，且{}{}|,1411,21,30,39,49i j x x a a i j =+≤<≤=，则集合{}1234,,,a a a a =____________.4．用符号“∈”或“∉”填空：0______N ；3-______N ；0.5______Z ______Z ；13______Q ；π______R.5．若{}20,2m m m ∈-则实数m 的值为_____. 三、解答题1．若集合{}2|10,A x ax bx x R =++=∈.（1）若{}1,1A =-，求,a b 的值；（2）若{}1A =-，求,a b 的值．2．用列举法表示下列集合：（1）不大于10的非负偶数组成的集合；（2）方程x 2＝2x 的所有实数解组成的集合；（3）直线y ＝2x ＋1与y 轴的交点所组成的集合；（4）由所有正整数构成的集合．3．用列举法表示下列集合（1）由大于3且小于10的所有整数组成的集合（2）方程290x的所有实数解组成的集合参考答案一、单选题1．C解析：根据元素与集合的关系和集合与集合的关系即可判断.详解：因为{}0,1,2,3M =，所以{}3M ⊆，故选：C.2．C详解：试题分析：（1）不正确：0是数字不是集合，但{}00∈；（2）正确：集合元素满足无序性，即{}{}1,2,33,2,1=；（3）不正确:集合元素具有互异性,方程的解集应为{}1,2；（4）不正确:满足不等式45x <<的x 有无数个,所以集合{}|45x x <<是无限集．故C 正确．考点：1元素与集合的关系；2集合元素的特性．3．A详解：依题意，有{}{}0,0,1a -=，所以，1a =-．选A.4．C解析：由题意先解出集合A,进而得到结果．详解：解：由集合A 得x 1≥,所以{}A B 1,2⋂=故答案选C.点睛：本题主要考查交集的运算，属于基础题．解析：由条件可得方程()21220a x x +-+=只有一个实数解，对二次项系数是否为0，结合根的判别式，即可求解.详解：A 中只有一个元素，所以方程()21220a x x +-+=只有一个实数解，当10,1a a +==-时，方程为220,1x x -+==，满足题意；当10,1a a +≠≠-时，148(1)840,2a a a ∆=-+=--==-，所以1a =-或12a =-.故选:D.点睛：本题考查集合的表示，以及对集合元素的理解，属于基础题.6．D解析：先解一元二次方程2450x x --=的根，然后直接利用列举法表示集合.详解：解方程2450x x --=得1x =-或5x =，因此集合2|450{}x x x --=用列举法表示为{1,5}-. 故选：D.点睛：本题考查了一元二次方程的求解和集合列举法的应用，属于基础题.7．C解析：高一数学中的难题的标准不确定，因而构不成集合，而正三角形标准明确，能构成集合，方程x 2－2＝0的解也是确定的，能构成集合，故选C.点睛：集合元素的特性：确定性、互异性、无序性．对于一个元素，其要么属于集合，要么不属于这个集合，二者选一，不可不选.对于集合中任意两个元素，它们必不相等.8．B解析：根据集合的元素特征，逐个判断即可得解.详解：根据集合元素的确定性，易知：B 答案中的小河流，是不确定的，故不能构成集合，而A ，C ，D 项中集合的元素均确定，故选：B.本题考查了集合的确定性，是概念题，属于基础题.9．A解析：首先化简集合Q ，2440mx mx +-<对任意实数x 恒成立，则分两种情况：（1）0m =时，易知结论成立，（2）0m <时，2440mx mx +-=无根，则由∆<0求得m 的范围. 详解：{}2|440Q m R mx mx x =∈+-<对任意实数恒成立，对m 分类：（1）0m =时，40-<恒成立；（2）0m <时，需要2(4)160m m ∆=+<，解得10m -<<，综合（1）（2）知10m -<≤，所以{}|10Q m m =-<≤，因为{}|10P m m =-<<，所以P Q ≠⊂，故选A. 点睛：该题考查的是有关判断集合间的关系的问题，涉及到的知识点有恒成立问题对应参数的取值范围的求法，真子集的概念问题，属于简单题目.二、填空题1．0解析：利用集合元素的特征，集合中元素的含义逐一判断可得答案．详解：解：对于（1）很小的实数不满足集合中元素的确定性，所以（1）不正确．对于（2）集合y|y ＝x 2﹣1}表示的是函数y ＝x 2﹣1的值域，而集合（x ，y ）|y ＝x 2﹣1}表示的是y ＝x 2﹣1图象上的点，故（2）不正确；对于（3）：因为3624=，10.52-=，不满足集合中的元素是互异的，故（3）不正确；对于（4）集合（x ，y ）|xy≤0，x ，y∈R}是指第二和第四象限内的点集及两个坐标轴上的点，故（4）不正确，故答案为：0.2．90,8⎧⎫⎨⎬⎩⎭解析：将问题转化为2320ax x -+=只有一个解，分类讨论a 可求得结果.因为A B 中元素只有一个，所以2133y ax y x ⎧=-⎨=-⎩只有一组解，所以2320ax x -+=只有一个解，当0a =时，23x =符合题意；当0a ≠时，2(3)80a ∆=--=，解得98a =，故实数a 组成的集合为90,8⎧⎫⎨⎬⎩⎭. 故答案为：90,8⎧⎫⎨⎬⎩⎭.点睛：本题考查了根据交集中元素个数求参数，考查了分类讨论思想，属于基础题.3．{}1,10,20,29解析：不妨设1234a a a a <<<，集合{}|,14i j x x a a i j =+≤<≤中至多有6个数，确定i j a a +中的最小和最大的数，再确定次小与次大的数，然后还有两个相等为中间的数，由此可得解．详解：不妨设1234a a a a <<<，则在集合{}|,14i j x x a a i j =+≤<≤中，12a a +最小，34a a +最大，即1211a a +=，3449a a +=，第二小的数是13a a ，第二大的数是24a a +，即1321a a +=，2439a a +=，从而有142330a a a a +=+=，由1211a a +=，3449a a +=，1321a a +=，2439a a +=，142330a a a a +=+=，可解得11a =，210a =，320a =，429a =，故答案为：{}1,10,20,29点睛：本题考查求集合中的元素，解题时根据集合的定义，把i j a a +排列，再根据集合的定义得出结论后可求解．考查了逻辑推理能力，运算求解能力．4．∈∉∉∉∈∈解析：根据自然数，整数，有理数，实数的定义即可判断.详解：0是自然数，则0N ∈；3-不是自然数，则3N -∉；0.5Z Z ∉；13是有理数，则13Q ∈；π是无理数，则R π∈故答案为：(1)∈；(2)∉；(3)∉；(4)∉；(5)∈；(6)∈点睛：本题主要考查了元素与集合间的关系，属于基础题.5．2解析：由已知中若0∈m，m 2﹣2m}，根据元素与集合之间的关系，可得m ＝0或m 2﹣2m ＝0，分类讨论，结合集合元素的互异性排除掉不满足条件的m 值，即可得到答案．详解：解：∵0∈m，m 2﹣2m}，∴m＝0或m 2﹣2m ＝0当m ＝0时，m 2﹣2m ＝0，这与集合元素的互异性矛盾，当m 2﹣2m ＝0时，m ＝0（舍去）或m ＝2故答案为：2点睛：本题考查的知识点是元素与集合关系的判断，其中根据0∈m，m 2﹣2m}，得到关于m 的方程是解答本题的关键，但解答过程中易忽略集合元素的互异性，而错解为m ＝0或m ＝2三、解答题1．（1）1,0a b =-=；（2）1,2a b ==或01a b ==，解析：（1）若{}1,1A =-，则210ax bx ++=的两个根分别为1,1-，根据韦达定理求得参数值.（2）若{}1A =-，分0a =和0a ≠两种情况进行讨论，从而求得参数值.详解：（1）若{}1,1A =-，则210ax bx ++=的两个根分别为1,1-，由韦达定理可得110a b ⎧-=⎪⎨⎪=⎩，故1,0a b =-=. （2）若{}1A =-，则01a b =⎧⎨=⎩或0112a ab a⎧⎪≠⎪⎪=⎨⎪⎪-=-⎪⎩，故1,2a b ==. 综上若{}1A =-，则1,2a b ==或0,1a b ==2．（1）0，2，4，6，8，10}；（2）0，2}；（3）(0，1)}；（4）1，2，3，…}．解析：根据题意求得集合的元素，然后用列举法表示集合.详解：解（1）因为不大于10是指小于或等于10，非负是大于或等于0的意思，所以不大于10的非负偶数集是 0，2，4，6，8，10}．（2）方程x 2＝2x 的解是x ＝0或x ＝2，所以方程的解组成的集合为0，2}．（3）将x ＝0代入y ＝2x ＋1，得y ＝1，即交点是(0，1)，故交点组成的集合是(0，1)}．（4）正整数有1，2，3，…，所求集合为1，2，3，…}．3．（1）{}4,5,6,7,8,9；（2）{}3,3-.解析：（1）用列举法，直接写出结果；（2）先解方程，即可得出对应的集合.详解：（1）由大于3且小于10的所有整数组成的集合为{}4,5,6,7,8,9；（2）解方程290x 得3x =±，所以方程290x 的所有实数解组成的集合为{}3,3-. 点睛：本题主要考查列举法表示集合，属于基础题型.。

高中数学必修一人教A版1.1 集合的概念解答题练习(含解析)

1.1 集合的概念1．用描述法表示下列集合：①正偶数集；②被3除余2的正整数的集合；③平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合.2．集合A中共有3个元素－4，2a－1，a2，集合B中也共有3个元素9，a－5，1－a，现知9∈A且集合B中再没有其他元素属于A，能否根据上述条件求出实数a的值？若能，则求出a的值，若不能，则说明理由．3．用列举法表示下列集合（1）由大于3且小于10的所有整数组成的集合（2）方程290x的所有实数解组成的集合4．用列举法表示下列集合：(1)满足－2≤x≤2且x∈Z的元素组成的集合A；(2)方程(x－2)2(x－3)＝0的解组成的集合M；(3)方程组281x yx y+=⎧⎨-=⎩的解组成的集合B；(4)15的正约数组成的集合N.5．已知集合M中含有三个元素2，a，b，集合N中含有三个元素2a,2，b2，且两集合相等，求a，b的值．6．分别用列举法和描述法表示方程x 2+x –2=0的所有实数解的集合．7．已知集合4,3A xZ x N x ⎧⎫=∈∈⎨⎬-⎩⎭，试用列举法表示集合A ．8．已知集合A 满足条件：①1A ∉；②若a A ∈，则11A a ∈-．（1）若2A ∈，求集合A ；（2）若a A ∈，求证：11A a -∈；（3）在集合A 中的元素能否只有一个实数？若有，求出此集合；否则，请说明理由；9．用区间表示下列的集合 {|12}x x -<≤ 1{|}6x x -≤<- {|7}x x < {}|3x x ≥ {} 5|2x x ≤≤10．由2a ，2a -，4所组成的集合记为A.（1）是否存在实数a ，使得A 中只含有一个元素？若存在，求出a 的值，若不存在，说明理由；（2）若A 中只含有两个元素，求a 的值.11．已知集合A 中含有两个元素a-3和2a-1.（1）若-3是集合A 中的元素，试求实数a 的值；（2）-5能否为集合A 中的元素？若能，试求出该集合中的所有元素；若不能，请说明理由.12．已知A=x|x 2+px+q=x}，B=x|(x-1)2+p(x-1)+q=x+1}，当A=2}时，求集合B ．13．用列举法表示下列集合（1）x∈N*|x 是15的约数}（2）x|x 2﹣2x ﹣8＝0}（3）x|x 为不大于10的正偶数}（4）a|1≤a＜5，a∈N}（5）A ＝x∈N|169-x∈N} （6）（x ，y ）|x∈1，2}，y∈1，2}}．14．已知2{1,0,}x x ∈，求实数x 的值.15．已知3,⎛ ⎝⎭和都是集合{}22(,)|1A x y ax by =-=中的元素,求实数,a b 的值.16．集合论是德国数学家康托尔于19世纪末创立的，当时，康托尔在解决涉及无限量研究的数学问题时，越过“数集”限制，提出了一般性的“集合”概念，关于集合论，希尔伯特赞誉其为“数学思想的惊人的产物，在纯粹理性的范畴中人类活动的最美的表现之一”，罗素描述其为“可能是这个时代所能夸耀的最伟大的工作”，请你查阅相关资料，用简短的报告阐述你对这些评价的认识.17．已知集合M 满足：1，2}⫋M ⊆1，2，3，4，5}，写出集合M 所有的可能情况.18．已知集合A ＝x∈R|ax 2＋2x ＋1＝0}，其中a∈R.若1是集合A 中的一个元素，请用列举法表示集合A.19．用列举法表示下列集合：（1）{}2|9A x x ==；（2）{}|12B x N x =∈≤≤ ；（3）{}2|320C x x x =-+=.20．已知集合{}22,A y y x x x ==-∈R ，{}226,B y y x x x ==-++∈R ．（1）求A B ；（2）若集合A ，B 中的元素都为整数，求A B ．（3）若集合A 变为{}22,A x y x x x ==-∈R ，其他条件不变，求A B ；（4）若集合A ，B 分别变为(){}2,2,A x y y x x x ==-∈R ，(){}2,26,B x y y x x x ==-++∈R ，求A B ．参考答案1．①*{|2,}x x n n N =∈； ②2,{|3}x x n n N =+∈；③{(,)|0}x y xy =. 解析：描述法表示集合即为{}()x p x ，()p x 为元素的性质，根据这个概念写出集合即可. 详解：①偶数可用2,x n n Z =∈表示，当x 为正偶数时，*n N ∈，所以正偶数集可表示为*{|2,}x x n n N =∈.②设被3除余2的数为x ，则32,x n n Z =+∈，但元素为正整数，故32,x n n N =+∈，所以被3除余2的正整数集合可表示为2,{|3}x x n n N =+∈.③坐标轴上的点(,)x y 的特点是横、纵坐标中至少有一个为0，即0xy =，故坐标轴上的点的集合可表示为{(,)|0}x y xy =.点睛：本题考查描述法表示集合，数集与点集，属于基础题.2．存在，a ＝－3.解析：由题意知9∈A，则2a －1＝9或a 2＝9，解出a ，利用题干条件和集合的互异性逐一判断a 的取值，可求出结果.详解：∵9∈A，∴2a－1＝9或a 2＝9，若2a －1＝9，则a ＝5，此时A 中的元素为－4，9，25；B 中的元素为9，0，－4，显然－4∈A 且－4∈B，与已知矛盾，故舍去．若a 2＝9，则a ＝±3，当a ＝3时，A 中的元素为－4，5，9；B 中的元素为9，－2，－2， B 中有两个－2，与集合中元素的互异性矛盾，故舍去．当a ＝－3时，A 中的元素为－4，－7，9；B 中的元素为9，－8，4，符合题意．综上所述，满足条件的a 存在，且a ＝－3.点睛：本题考查已知集合中的元素求参数，考查集合中元素的互异性，同时也考查了分类讨论的思想，属于基础题.3．（1）{}4,5,6,7,8,9；（2）{}3,3-.解析：（1）用列举法，直接写出结果；（2）先解方程，即可得出对应的集合.详解：（1）由大于3且小于10的所有整数组成的集合为{}4,5,6,7,8,9；（2）解方程290x 得3x =±，所以方程290x 的所有实数解组成的集合为{}3,3-.点睛：本题主要考查列举法表示集合，属于基础题型.4．(1) －2，－1,0,1,2}(2) M ＝2,3}(3) B ＝(x ，y)|(3,2)} (4) N ＝1,3,5,15}解析：（1）根据题意，得到2,1,0,1,2x =--，即可表示集合A ；（2）求解出方程的根，即可表示集合M ；（3）求解方程组的解(3,2)，即可表示集合B ；（4）找到15的正约数，即可表示集合N .详解：(1)22,x x ≤≤∈Z －，2,1,0,1,2x ∴=--， {}2,1,0,1,2A =--；(2)解方程()()2230x x --=2∴和3是方程的根， {}2,3M ∴=；(3)解方程组281x y x y +=⎧⎨-=⎩得32x y =⎧⎨=⎩()(){},3,2B x y ∴=；(4)15的正约数有1,3,5,15四个数字，{}1,3,5,15N ∴=．点睛：本题考查集合的列举法，区分点集和数集，属于简单题.5．a ＝0，b ＝1或a ＝14 ，b ＝12详解：试题分析：根据集合相等的条件:元素完全相同，建立方程即可得到a ，b 的值,要注意检验是否符合集合元素的互异性.试题解析：由题意，得或解得或或经检验，a ＝0，b ＝0不合题意；a ＝0，b ＝1或a ＝，b ＝合题意．所以，a ＝0，b ＝1或a ＝，b ＝.6．1，–2}，x|x=1或x=–2}解析：根据列举法和描述法的定义分别进行表示即可．详解：由220x x +-= 得1x = 或2x =- ，所以用列举法表示解集为}{1,2- ，用描述法表示为}{{}22012.x x x x x x +-===-=-或点睛：本题主要考查集合表示的两种方法：列举法和描述法，比较基础，要注意两者之间的区别．7．{}1,2,4,5,7解析：根据Z 和N 的含义，可采用列举法，列举出所有方程求得结果.详解： 43Z x ∈-且x ∈N ∴32x -=-或31x -=-或31x -=或32x -=或34x -= x ∴=1或2或4或5或7 {}1,2,4,5,7A ∴=本题正确结果：{}1,2,4,5,7点睛：本题考查集合元素的求解，关键是能够熟练掌握常用数集的表示法.8．（1）11,,22⎧⎫-⎨⎬⎩⎭；（2）略；（3）否，理由见解析解析：（1）利用a A ∈则11A a∈-，依次代入2a =和1a =-即可求得全部元素，从而得到集合A ；（2）由a A ∈得11A a ∈-，进而得到1111A a∈--，整理可得结果；（3）假设集合A 中只有一个元素，则11a a=-，方程无解，可知假设错误，得到结论. 详解：（1）2A ∈ 1112A ∴=-∈- 11112A ∴=∈+ 又12112=- 11,,22A ⎧⎫∴=-⎨⎬⎩⎭ （2）由a A ∈得：11A a ∈-，则1111A a∈-- 又1111111111a a a a a a a a--====------ 11A a ∴-∈ （3）假设集合A 中只有一个元素 a A ∈，则11A a ∈- 11a a ∴=-，方程无解 ∴假设错误，即集合A 中的元素不能只有一个实数点睛：本题考查集合与元素关系的应用，对于元素的求解，可采用循环代入的方式求得全部元素.9．(12]-，；[61)-，；(7)-∞，；[3)+∞，；[2]5，解析：由集合的意义及区间的定义直接写出每个集合的区间表达形式.详解：{|12}x x -<≤的区间表达为(12]-，; 1{|}6x x -≤<-的区间表达为[61)-，; {|7}x x <的区间表达为(7)-∞，; {}|3x x ≥的区间表达为[3)+∞， ; {} 5|2x x ≤≤的区间表达为[2]5，. 点睛：本题考查集合与区间的转换，属于基础题.10．（1）存在，2a =-（2）2a =或1a =解析：(1)由题意可利用224a a =-=即可求得满足条件的实数a ；(2)由题意可得224a a =-≠，或242a a =≠-，或224a a -=≠，分别解得即可得出答案. 详解：(1)存在，理由如下：由题意知若A 中只含有一个元素，则这三个数相等，即224a a =-=，由24a -=解得2a =-.此时24a =，所以符合条件.故当2a =-时，A 中只有一个元素.（2）由题意可知，这三个数中必有两个数相等即有224a a =-≠，或242a a =≠-，或224a a -=≠若224a a =-≠，解得1a =；若242a a =≠-，解得2a =；若224a a -=≠，无解；综上可得，当2a =或1a =时，集合A 中只含有两个元素.点睛：本题考查了集合元素性质的应用，属于一般难度的题.11．（1）实数a 的值为0或-1；（2）-5不能为集合A 中的元素；答案见解析.解析：（1）由-3是集合A 中的元素，可得所以-3=a-3或-3=2a-1，即可求得a 的值，并检验是否满足集合的互异性，即可得答案（2）假设-5是集合A 中的元素，可得a-3=-5，或2a-1=-5，解出a 的值，并检验是否满足集合的互异性，即可得答案.详解：（1）因为-3是集合A 中的元素，所以-3=a-3或-3=2a-1.解得0a =或1a =-，当a=0时，此时集合A 含有两个元素-3，-1，符合要求；当a=-1时，此时集合A 中含有两个元素-4，-3，符合要求.综上所述，满足题意的实数a 的值为0或-1.（2）若-5为集合A 中的元素，则a-3=-5，或2a-1=-5.当a-3=-5时，解得a=-2，此时2a-1=2×(-2)-1=-5，显然不满足集合中元素的互异性；当2a-1=-5时，解得a=-2，此时a-3=-5，显然不满足集合中元素的互异性.综上，-5不能为集合A 中的元素.点睛：本题考查集合确定性、互异性的应用，考查分析理解的能力，属基础题.12．解析：先由2x =是方程2x px q x ++=的解可得34p q =-⎧⎨=⎩，故2{|(1)3(1)41}B x x x x =---+=+，从而解方程即可.详解：当{2}A =时,方程2x px q x ++=有两个相等的实根为2，所以2422(1)40p q p q ++=⎧⎨∆=--=⎩，解得34pq=-⎧⎨=⎩，所以2{|(1)3(1)41}B x x x x=---+=+，由2(1)3(1)41x x x---+=+，即2670x x-+=，得3x=所以{3B=.故答案为：{3.点睛：本题考查列举法表示集合，考查解方程，考查运算能力.属于较易题.13．解析：（1）1，3，5，15}；（2）﹣2，4}；（3）2，4，6，8，10}；（4）1，2，3，4}；（5）1，5，7，8}；（6）（1，1），（1，2），（2，1），（2，2）}.（1）根据x是15的约数列举；（2）根据x2﹣2x﹣8＝0的根列举；（3）根据x为不大于10的正偶数列举；（4）根据1≤a＜5且a∈N列举；（5）根据x∈N且169-x∈N列举；（6）根据|x∈1，2}，y∈1，2}列举；详解：（1）x∈N*|x是15的约数}，列举法表示为1，3，5，15}（2）x|x2﹣2x﹣8＝0}，列举法表示为﹣2，4}（3）x|x为不大于10的正偶数}，列举法表示为2，4，6，8，10} （4）a|1≤a＜5，a∈N}，列举法表示为1，2，3，4}（5）A＝x∈N|169-x∈N}，列举法表示为1，5，7，8}（6）（x，y）|x∈1，2}，y∈1，2}}．列举法表示为（1，1），（1，2），（2，1），（2，2）}点睛：本题主要考查集合的表示方法，属于基础题.14．1-解析：由元素与集合的关系，分类讨论21x=、20=x、2x x=三种情况，得出x的值，再由集合中元素的性质去验证，进行取舍，得出结果.详解：因为2{1,0,}x x ∈所以21x =或20=x 或2x x =解得1x =±或0x =由集合元素的互异性可知0x ≠且1x ≠所以，1x =-点睛：本题考查了元素与集合之间的关系，集合的性质等基本知识，考查了理解辨析能力和逻辑推理能力，属于一般题目.15．1,14a b ==解析：把3,⎛ ⎝⎭和代入方程221ax by -=列出方程组，即可求出实数,a b 的值. 详解：由题：3,⎛ ⎝⎭和都是集合{}22(,)|1A x y ax by =-=中的元素,所以3,⎛ ⎝⎭和满足方程221ax by -=， 59141631a b a b ⎧-=⎪⎨⎪-=⎩，解得：141a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，所以1,14a b ==.点睛：此题考查根据集合中的元素求参数的值，关键在于准确代值列出方程组，解方程组即可得解.16．见解析解析：集合论是现代数学的基础，已渗透到数学的所有领域.详解：集合论，是数学的一个基本的分支学科，研究对象是一般集合.集合论在数学中占有一个独特的地位，它的基本概念已渗透到数学的所有领域.按现代数学观点，数学各分支的研究对象或者本身是带有某种特定结构的集合如群、环、拓扑空间，或者是可以通过集合来定义的（如自然数、实数、函数）.从这个意义上说，集合论可以说是整个现代数学的基础.点睛：本题考查了对于集合论的一些认识，意在考查学生的理解应用能力.17．1，2，3}，1，2，4}，1，2，5}，1，2，3，4}，1，2，3，5}，1，2，4，5}，1，2，3，4，5}解析：根据子集与真子集的定义，即可求解.详解：由题意可以确定集合M 必含有元素1，2，且至少含有元素3，4，5中的一个，因此依据集合M 的元素个数分类如下：含有3个元素：1，2，3}，1，2，4}，1，2，5}；含有4个元素：1，2，3，4}，1，2，3，5}，1，2，4，5}；含有5个元素：1，2，3，4，5}.故满足条件的集合M 为1，2，3}，1，2，4}，1，2，5}，1，2，3，4}，1，2，3，5}，1，2，4，5}，1，2，3，4，5}.点睛：本题考查集合间的关系，属于基础题.18．1,13A ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭解析：把1代入方程求得a ，然后再解方程得解集．详解：∵1是集合A 中的一个元素，∴1是关于x 的方程ax 2＋2x ＋1＝0的一个根，∴a×12＋2×1＋1＝0，即a ＝－3.方程即为－3x 2＋2x ＋1＝0，解这个方程，得x 1＝1，x 2＝－13，∴集合A ＝－13，1}. 故答案为：1,13⎧⎫-⎨⎬⎩⎭．点睛：本题考查集合的概念，属于简单题．19．(1){}3,3- ；(2) {}1,2；(3){}1,2.解析：(1)解方程29x =即可；(2)根据x ∈N 求解；.(3)接方程2320x x -+=即可；详解：(1)由29x =得3x =±，,因此{}{}2|93,3A x x ===-.(2)由x ∈N ，且12x ≤≤,，,得1,2x =，因此{}{}|121,2B x N x =∈≤≤=.(3)由2320x x -+=得1,2x =，.因此{}{}2|3201,2C x x x =-+==.点睛：本题主要考查集合的表示方法以及一元二次方程的解法，还考查了运算求解的能力，属于基础题.20．（1）{}17A B y y ⋂=-≤≤（2）{}1,0,1,2,3,4,5,6,7A B =-（3）{}7A B y y ⋂=≤（4）()(){}3,3,1,3A B =-解析：（1）将二次函数配方，得到其二次函数的值域，从而求得A B ；（2）由于集合A ，B 中的元素都为整数，所以题意就是求（1）中所得的A B 中的整数元素，可得解；（3）集合A 表示的是二次函数22,y x x x =-∈R 的定义域，所以得A =R ，再求A B ；（4）集合A 、B 表示的是二次函数图象上的点，求A B 实际上是求这两个二次函数的交点，联立其方程可得解.详解：（1）∵()222111y x x x =-=--≥-，()2226177y x x x =-++=--+≤， ∴{}1A y y =≥-，{}7B y y =≤，∴{}17A B y y ⋂=-≤≤．（2）由已知，得{}1A y y =∈≥-Z ，{}7B y y =∈≤Z ，所以{}17A B y y ⋂=∈-≤≤Z∴{}1,0,1,2,3,4,5,6,7A B =-．（3）由已知，得A =R ，{}7B y y =≤，∴{}7A B y y ⋂=≤．（4）由22226y x x y x x ⎧=-⎨=-++⎩，得2230x x --=，解得3x =或1x =-．∴33x y =⎧⎨=⎩，或13x y =-⎧⎨=⎩， ∴()(){}3,3,1,3A B =-．故得解.点睛：本题考查集合的交集运算，求解的关键是理解集合中的元素具体含义，特别是分清集合表示的是点集还是数集，属于基础题.。

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高中数学课时分层作业1集合的含义（含解析）新人教A 版必修1 课时分层作业(一) 集合的含义
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1．下列各组对象不能构成集合的是( )
A ．拥有手机的人
B ．2019年高考数学难题
C ．所有有理数
D ．小于π的正整数
B [B 选项中“难题”的标准不明确，不符合确定性，所以选B.]
2．集合M 是由大于－2且小于1的实数构成的，则下列关系式正确的是( )
A.5∈M
B ．0M
C ．1∈M
D ．－π2
∈M D [5>1，故A 错；－2<0<1，故B 错；1不小于1，故C 错；－2<－π2
<1，故D 正确．] 3．若a 是R 中的元素，但不是Q 中的元素，则a 可以是( )
A ．3.14
B ．－5
C ．37
D ．7
D [由题意知a 应为无理数，故a 可以为7.]
4．已知集合Ω中的三个元素l ，m ，n 分别是△ABC 的三边长，则△ABC 一定不是( )
A ．锐角三角形
B ．直角三角形
C ．钝角三角形
D ．等腰三角形
D [因为集合中的元素是互异的，所以l ，m ，n 互不相等，即△ABC 不可能是等腰三角形，故选D.]
5．下列各组中集合P 与Q ，表示同一个集合的是( )
A ．P 是由元素1，3，π构成的集合，Q 是由元素π，1，|－3|构成的集合
B ．P 是由π构成的集合，Q 是由3.141 59构成的集合
C ．P 是由2，3构成的集合，Q 是由有序数对(2，3)构成的集合
D ．P 是满足不等式－1≤x ≤1的自然数构成的集合，Q 是方程x 2
＝1的解集
A [由于A 中P ，Q 的元素完全相同，所以P 与Q 表示同一个集合，而
B ，
C ，
D 中P ，Q 的元素不相同，所以P 与Q 不能表示同一个集合．故选A.]
二、填空题
6．若1∈A ，且集合A 与集合B 相等，则1________B (填“∈”或“”)．
∈ [由集合相等的定义可知，1∈B .] 7．设集合A 是由1，k 2
为元素构成的集合，则实数k 的取值范围是________． k ≠±1 [∵1∈A ，k 2∈A ，结合集合中元素的互异性可知k 2≠1，解得k ≠±1.]
8．用符号“∈”或“”填空：
(1)设集合B 是小于11的所有实数的集合，则23________B ，1＋2________B ；
(2)设集合C 是满足方程x ＝n 2
＋1(其中n 为正整数)的实数x 的集合，则3________C ，5________C ；
(3)设集合D 是满足方程y ＝x 2的有序实数对为(x ，y )的集合，则－1________D ，(－1，
1)________D .
(1) ∈ (2) ∈ (3) ∈ [(1)∵23＝12>11，∴23B ；∵(1＋2)2＝3＋22<3＋2×4＝11，∴1＋2<11，∴1＋2∈B .
(2)∵n 是正整数，∴n 2＋1≠3，∴3C ；当n ＝2时，n 2＋1＝5，∴5∈C .
(3)∵集合D 中的元素是有序实数对(x ，y )，则－1是数，∴－1D ；又(－1)2＝1，∴(－1，1)∈D .]
三、解答题
9．设A 是由满足不等式x <6的自然数构成的集合，若a ∈A 且3a ∈A ，求a 的值．
[解] ∵a ∈A 且3a ∈A ，
∴⎩⎪⎨⎪⎧a <6，3a <6，解得a <2.又a ∈N ， ∴a ＝0或1.
10．已知集合A 中含有两个元素x ，y ，集合B 中含有两个元素0，x 2
，若A ＝B ，求实数x ，y 的值．
[解] 因为集合A ，B 相等，则x ＝0或y ＝0.
(1)当x ＝0时，x 2＝0，则不满足集合中元素的互异性，故舍去．
(2)当y ＝0时，x ＝x 2，解得x ＝0或x ＝1.
由(1)知x ＝0应舍去．
综上知：x ＝1，y ＝0.
[等级过关练]
1．已知集合M 是方程x 2－x ＋m ＝0的解组成的集合，若2∈M ，则下列判断正确的是( )
A ．1∈M
B ．0∈M
C ．－1∈M
D ．－2∈M C [由2∈M 知2为方程x 2－x ＋m ＝0的一个解，所以22－2＋m ＝0，解得m ＝－2.
所以方程为x 2
－x －2＝0，
解得x 1＝－1，x 2＝2.
故方程的另一根为－1.选C.]
2．由实数x ，－x ，|x |，x 2，－3x 3所组成的集合，最多含元素( )
A ．2个
B ．3个
C ．4个
D ．5个
A [当x >0时，x ＝|x |＝x 2，－3x 3＝－x <0，此时集合共有2个元素，
当x ＝0时，x ＝|x |＝x 2＝－3x 3＝－x ＝0，此时集合共有1个元素，
当x <0时，x 2＝|x |＝－x ，－3x 3＝－x ，此时集合共有2个元素，综上，此集合最多有
2个元素，
故选A.]
3．已知集合P 中元素x 满足：x ∈N ，且2<x <a ，又集合P 中恰有三个元素，则整数a ＝________．
6 [∵x ∈N ，2<x <a ，且集合P 中恰有三个元素，
∴结合数轴知a ＝6.]
4．若a ，b ∈R ，且a ≠0，b ≠0，则|a |a ＋|b |b
的可能取值所组成的集合中元素的个数为________．
3 [当a ，b 同正时，|a |a ＋|b |b ＝a a ＋b b
＝1＋1＝2. 当a ，b 同负时，|a |a
＋|b |b ＝－a a ＋－b b ＝－1－1＝－2. 当a ，b 异号时，|a |a ＋|b |b ＝0.
∴|a |a ＋|b |b
的可能取值所组成的集合中元素共有3个．] 5．已知数集A 满足条件：若a ∈A ，则
11－a
∈A (a ≠1)，如果a ＝2，试求出A 中的所有元素． [解] 根据题意，由2∈A 可知，11－2＝－1∈A ；由－1∈A 可知，11－（－1）＝12
∈A ；由12∈A 可知，11－12
＝2∈A . 故集合A 中共有3个元素，它们分别是－1，12
，2.。