高中数学新教材人教B版必修第一册课时分层作业均值不等式的应用 Word版含解析
新教材高中数学第2章均值不等式及其应用第2课时均值不等式的应用学案含解析新人教B版必修第一册
新教材高中数学：第2课时 均值不等式的应用学 习 目 标核 心 素 养1.熟练掌握利用均值不等式求函数的最值问题．(重点)2．会用均值不等式求解实际应用题．(难点)1.通过均值不等式求最值，提升数学运算素养．2．借助均值不等式在实际问题中的应用，培养数学建模素养．(1)某养殖场要用100米的篱笆 围成一个矩形的鸡舍，怎样设计才能 使鸡舍面积最大？(2)某农场主想用篱笆围成一个10 000平方米的矩形农场，怎样设计才能使所用篱笆最省呢？ 问题 实例中两个问题的实质是什么？如何求解？已知x ，y 都是正数．(1)若x ＋y ＝S (和为定值)，则当x ＝y 时，积xy 取得最大值S 24.(2)若xy ＝p (积为定值)，则当x ＝y 时，和x ＋y 取得最小值2p . 上述命题可归纳为口诀：积定和最小，和定积最大．[拓展] 在应用均值不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件：一正、二定、三相等，这三个条件缺一不可．一正：各项必须为正数．例如，求代数式x ＋1x 的最值时，不能直接用x ＋1x≥2x ·1x＝2.取特殊值x ＝－1，x ＋1x ＝－2，可见x ＋1x的最小值不为2，产生错误的原因是这里的x 不一定为正数．只有各项为正数时才能利用均值不等式．二定：积或和为定值．积为定值和有最小值；和为定值积有最大值．为了利用均值不等式，有时对给定的代数式要进行适当变形．例如：①当x ＞2时，x ＋1x －2＝(x －2)＋1x －2＋2≥2＋2＝4(当且仅当x ＝3时，等号成立). ②当0＜x ＜83时，x (8－3x )＝13(3x )(8－3x )≤13⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋8－3x 22＝163(当且仅当x ＝43时，等号成立). 三相等：等号能否取到．例如，x 2＋2＋1x 2＋2中，虽然x 2＋2与1x 2＋2的积为定值1，但是当x 2＋2＝1x 2＋2时，有x 2＝－1不成立．所以x 2＋2＋1x 2＋2≥2中等号不成立，即此时不能用均值不等式求最值．另外，在连续使用公式求最值时，取等号的条件很严格，要求同时满足任何一次等号成立的字母取值存在且一致．1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两个正数的积为定值，一定存在两数相等时，它们的和有最小值． ( ) (2)若a >0，b >0且a ＋b ＝4，则ab ≤4. ( )(3)当x >1时，函数y ＝x ＋1x －1≥2x x －1，所以函数y 的最小值是2x x －1.( )[答案] (1)√ (2)√ (3)× [提示] (1)由a ＋b ≥2ab 可知正确．(2)由ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝4可知正确．(3)xx －1不是常数，故错误．2．已知a ，b ∈R ，则“ab ＞0”是“a b ＋b a＞2”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件B [ab ＞0时，ab ＞0，b a ＞0，∴a b ＋b a≥2，当且仅当a ＝b 时取等号，故充分性不成立．反之，∵a b ＋b a＞2，∴a 2＋b 2ab －2＞0，∴（a －b ）2ab ＞0，∴ab ＞0，∴“ab ＞0”是“a b ＋b a＞2”的必要不充分条件．]3．(教材P76练习A ①改编)若x >0，则x ＋2x的最小值是________．22 [x ＋2x≥2x ·2x＝22，当且仅当x ＝2时，等号成立．] 4．设x ，y ∈N *满足x ＋y ＝20，则xy 的最大值为________． 100 [∵x ，y ∈N *， ∴20＝x ＋y ≥2xy ， ∴xy ≤100.]利用均值不等式求最值【例1】 (1)已知x <54，求y ＝4x －2＋14x －5的最大值；(2)已知0<x <12，求y ＝12x (1－2x )的最大值．[思路点拨] (1)看到求y ＝4x －2＋14x －5的最值，想到如何才能出现乘积定值；(2)要求y ＝12x (1－2x )的最值，需要出现和为定值．[解] (1)∵x <54，∴5－4x >0，∴y ＝4x －2＋14x －5＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫5－4x ＋15－4x ＋3≤－2＋3＝1，当且仅当5－4x ＝15－4x ，即x ＝1，x ＝32(舍去)时，上式等号成立，故当x ＝1时，y max ＝1. (2)∵0<x <12，∴1－2x >0，∴y ＝14×2x (1－2x )≤14×⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1－2x 22＝14×14＝116.∴当且仅当2x ＝1－2x ⎝⎛⎭⎪⎫0<x <12，即x ＝14时，y max ＝116. ,利用均值不等式求最值的关键是获得满足均值不等式成立条件，即“一正、二定、三相等”．解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创设应用均值不等式的条件．具体可归纳为三句话：若不正，用其相反数，改变不等号方向；若不定，应凑出定和或定积；若不等，一般用后面第三章函数的单调性解决．[跟进训练]1．(1)已知x >0，求函数y ＝x 2＋5x ＋4x的最小值；(2)已知0<x <13，求函数y ＝x (1－3x )的最大值．[解] (1)∵y ＝x 2＋5x ＋4x ＝x ＋4x＋5≥24＋5＝9，当且仅当x ＝4x，即x ＝2时等号成立．故y ＝x 2＋5x ＋4x(x >0)的最小值为9.(2)法一：∵0<x <13，∴1－3x >0.∴y ＝x (1－3x )＝13·3x (1－3x )≤13⎣⎢⎡⎦⎥⎤3x ＋（1－3x ）22＝112，当且仅当3x ＝1－3x ，即x ＝16时，等号成立．∴当x ＝16时，函数取得最大值112.法二：∵0<x <13，∴13－x >0.∴y ＝x (1－3x )＝3·x ⎝ ⎛⎭⎪⎫13－x ≤3·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋13－x 22＝112，当且仅当x ＝13－x ，即x ＝16时，等号成立． ∴当x ＝16时，函数取得最大值112.利用均值不等式求条件最值【例2】 已知x ＞0，y ＞0，且满足8x ＋1y＝1.求x ＋2y 的最小值．[解] ∵x ＞0，y ＞0，8x ＋1y＝1，∴x ＋2y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8x ＋1y (x ＋2y )＝10＋x y ＋16y x≥10＋2x y ·16yx＝18， 当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧8x ＋1y ＝1，x y ＝16y x ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝3时，等号成立，故当x ＝12，y ＝3时，(x ＋2y )min ＝18.若把“8x ＋1y ＝1”改为“x ＋2y ＝1”，其他条件不变，求8x ＋1y的最小值．[解] ∵x ，y ∈R ＋，且x ＋2y ＝1， ∴8x ＋1y＝(x ＋2y )⎝ ⎛⎭⎪⎫8x ＋1y＝8＋16y x ＋x y ＋2＝10＋16y x ＋xy≥10＋216＝18.当且仅当16y x ＝xy时取等号，结合x ＋2y ＝1，得x ＝23，y ＝16，∴当x ＝23，y ＝16时，8x ＋1y取到最小值18.常数代换法求最值的方法步骤常数代换法适用于求解条件最值问题．应用此种方法求解最值的基本步骤为： (1)根据已知条件或其变形确定定值(常数). (2)把确定的定值(常数)变形为1.(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式． (4)利用均值不等式求最值．[跟进训练]2．已知a ＞0，b ＞0，a ＋2b ＝1，求1a ＋1b的最小值．[解] 法一：1a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ·1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ·(a ＋2b ) ＝1＋2b a＋a b ＋2＝3＋2b a ＋ab≥3＋22b a ·a b＝3＋22，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧2b a ＝a b ，a ＋2b ＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2－1，b ＝1－22时等号成立．∴1a ＋1b的最小值为3＋2 2.法二：1a ＋1b ＝a ＋2b a ＋a ＋2b b ＝1＋2b a ＋a b＋2＝3＋2b a＋ab≥3＋22，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧2b a ＝a b ，a ＋2b ＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2－1，b ＝1－22时等号成立，∴1a ＋1b的最小值为3＋2 2.利用均值不等式解决实际问题【例3】 (教材P74例3改编)如图，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．现有36 m 长的钢筋网材料，每间虎笼的长、宽分别设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？[解] 设每间虎笼长x m ，宽y m ， 则由条件知，4x ＋6y ＝36，即2x ＋3y ＝18. 设每间虎笼面积为S ，则S ＝xy .法一：由于2x ＋3y ≥22x ·3y ＝26xy ， 所以26xy ≤18，得xy ≤272，即S max ＝272，当且仅当2x ＝3y 时，等号成立．由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＝18，2x ＝3y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4.5，y ＝3. 故每间虎笼长为4.5 m ，宽为3 m 时，可使每间虎笼面积最大． 法二：由2x ＋3y ＝18，得x ＝9－32y .∵x >0，∴0<y <6，S ＝xy ＝y ⎝ ⎛⎭⎪⎫9－32y ＝32y (6－y ).∵0<y <6，∴6－y >0. ∴S ≤32⎣⎢⎡⎦⎥⎤（6－y ）＋y 22＝272.当且仅当6－y ＝y ，即y ＝3时，等号成立，此时x ＝4.5. 故每间虎笼长为4.5 m ，宽为3 m 时，可使每间虎笼面积最大．用均值不等式解决实际问题的步骤 (1)理解题意，设好变量；(2)建立相应的关系式，把实际问题转化、抽象为最大值或最小值问题； (3)在自变量范围内，求出最大值或最小值； (4)结合实际意义求出正确的答案，回答实际问题．[跟进训练]3．某单位用2 160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层，每层2 000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为x (x ≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560＋48x (单位：元).为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？(注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝购地总费用建筑总面积)[解] 设将楼房建为x 层，则每平方米的平均购地费用为2 160×1042 000x ＝10 800x .∴每平方米的平均综合费用y ＝560＋48x ＋10 800x＝560＋48⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋225x .当x ＋225x取最小值时，y 有最小值．∵x >0，∴x ＋225x≥2x ·225x＝30.当且仅当x ＝225x，即x ＝15时，上式等号成立． ∴当x ＝15时，y 有最小值2 000元．因此该楼房建为15层时，每平方米的平均综合费用最少．知识：1．利用均值不等式求最值(1)利用均值不等式求最值要把握下列三个条件：①“一正”——各项为正数；②“二定”——“和”或“积”为定值；③“三相等”——等号一定能取到．这三个条件缺一不可．(2)利用均值不等式求最值的关键是获得定值条件，解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创建应用均值不等式的条件．(3)在求最值的一些问题中，有时看起来可以运用均值不等式求最值，但由于其中的等号取不到，所以运用均值不等式得到的结果往往是错误的．2．不等式的应用题大都与函数相关联，在求最值时，均值不等式是经常使用的工具，但若对自变量有限制，一定要注意等号能否取到．方法：利用均值不等式求最值时，得出定值常用的方法有：配凑法、分离因式法、“1”的代换法等．1．若实数a ，b 满足1a ＋2b＝ab ，则ab 的最小值为( )A ． 2B ．2C ．2 2D ．4C [由题意知a ＞0，b ＞0， 则1a ＋2b ≥22ab＝22ab，当且仅当1a ＝2b，即b ＝2a 时，等号成立．因为1a ＋2b＝ab ，所以ab ≥22ab，即ab ≥22，所以ab 的最小值为22，故选C.]2．若正实数a ，b 满足a ＋b ＝2，则ab 的最大值为( ) A ．1 B ．2 2 C ．2 D ．4A [由均值不等式得，ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝1，当且仅当a ＝b ＝1时取到等号．]3．已知0<x <1，则x (3－3x )取最大值时x 的值为( ) A ．12 B ．34 C ．23D ．25A [∵0<x <1，∴1－x >0，则x (3－3x )＝3[x (1－x )]≤3×⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1－x 22＝34，当且仅当x ＝1－x ，即x ＝12时取等号．]4．已知a ＞1，当a ＝________时，代数式a ＋2a －1有最小值． 1＋2 [∵a ＞1，∴a －1＞0，2a －1＞0， ∴a ＋2a －1＝a －1＋2a －1＋1≥2（a －1）×2a －1＋1 ＝22＋1， 当且仅当a －1＝2a －1时，等号成立． 即a ＝1＋2或a ＝1－2(舍)时，代数式a ＋2a －1有最小值． ∴a ＝1＋ 2.] 5．已知x >0，求y ＝2xx 2＋1的最大值． [解] y ＝2x x 2＋1＝2x ＋1x. ∵x >0，∴x ＋1x≥2x ·1x＝2， ∴y ≤22＝1，当且仅当x ＝1x ，即x ＝1时等号成立．。
2019-2020人教B版数学必修第一册新教材课时分层作业17 均值不等式的应用+Word版含解析
课时分层作业(十七) 均值不等式的应用(建议用时：60分钟)[合格基础练]一、选择题1．若a ＞1，则a ＋1a －1的最小值是( ) A ．2 B ．a C.2a a －1D ．3 D [∵a ＞1，∴a －1＞0，∴a ＋1a －1＝a －1＋1a －1＋1≥2 (a －1)·1a －1＋1＝3.] 2．已知x ＜0，则y ＝x ＋1x －2有( )A ．最大值为0B ．最小值为0C ．最大值为－4D ．最小值为－4C [∵x <0，∴y ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤(－x )＋1(－x )－2≤－2－2＝－4，当且仅当－x ＝1－x，即x ＝－1时取等号．]3．设x ＞0，则y ＝3－3x －1x 的最大值是( )A ．3B ．－3 2C ．3－2 3D ．－1C [∵x ＞0，∴y ＝3－⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋1x ≤3－23x ·1x ＝3－2 3.当且仅当3x ＝1x ，且x ＞0，即x ＝33时，等号成立．] 4．若x ＞0，y ＞0，且1x ＋4y ＝1，则x ＋y 的最小值是( )A ．3B ．6C ．9D ．12C [x ＋y ＝(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y ＝1＋y x ＋4x y ＋4 ＝5＋y x ＋4x y ≥5＋2y x ·4x y ＝5＋4＝9. 当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧ 1x ＋4y ＝1，y x ＝4x y ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝6时等号成立，故x ＋y 的最小值为9.] 5．已知x ＞0，y ＞0，且x ＋y ＝8，则(1＋x )(1＋y )的最大值为( )A ．16B ．25C ．9D ．36B [(1＋x )(1＋y )≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤(1＋x )＋(1＋y )22 ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2＋(x ＋y )22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋822＝25， 当且仅当1＋x ＝1＋y ，即x ＝y ＝4时，(1＋x )(1＋y )取最大值25，故选B.]二、填空题6．函数y ＝x ＋1x ＋1(x ≥0)的最小值为________． [答案] 17．如图，有一张单栏的竖向张贴的海报，它的印刷面积为72 dm 2(图中阴影部分)，上下空白各宽2 dm ，左右空白各宽1 dm ，则四周空白部分面积的最小值是________dm 2.56 [设阴影部分的高为x dm ，则宽为72x dm ，四周空白部分的面积是y dm 2.由题意，得y ＝(x ＋4)⎝ ⎛⎭⎪⎫72x ＋2－72 ＝8＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋144x ≥8＋2×2x ·144x ＝56(dm 2)． 当且仅当x ＝144x ，即x ＝12 dm 时等号成立．]8．若a ，b ∈(0，＋∞)，满足a ＋b ＋3＝ab ，则a ＋b 的取值范围是________．[6，＋∞) [∵a ＋b ＋3＝ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22， ∴(a ＋b )2－4(a ＋b )－12≥0，解得a ＋b ≥6，当且仅当a ＝b ＝3时取等号．]三、解答题9．当x <32时，求函数y ＝x ＋82x －3的最大值． [解] y ＝12(2x －3)＋82x －3＋32 ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3－2x 2＋83－2x ＋32， ∵当x <32时，3－2x >0，∴3－2x 2＋83－2x ≥23－2x 2 ·83－2x ＝4，当且仅当3－2x 2＝83－2x ，即x ＝－12时取等号．于是y ≤－4＋32＝－52，故函数有最大值－52.10．为了改善居民的居住条件，某城建公司承包了棚户区改造工程，按合同规定在4个月内完成．若提前完成，则每提前一天可获2 000元奖金，但要追加投入费用；若延期完成，则每延期一天将被罚款5 000元．追加投入的费用按以下关系计算：6x ＋784x ＋3－118(千元)，其中x 表示提前完工的天数，试问提前多少天，才能使公司获得最大附加效益？(附加效益＝所获奖金－追加费用)[解] 设城建公司获得的附加效益为y 千元，由题意得y ＝2x －⎝ ⎛⎭⎪⎫6x ＋784x ＋3－118＝118－⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋784x ＋3 ＝118－⎣⎢⎡⎦⎥⎤4(x ＋3)＋784x ＋3－12 ＝130－⎣⎢⎡⎦⎥⎤4(x ＋3)＋784x ＋3 ≤130－24(x ＋3)·784x ＋3＝130－112＝18(千元)， 当且仅当4(x ＋3)＝784x ＋3，即x ＝11时取等号． 所以提前11天，能使公司获得最大附加效益．[等级过关练]1．若－4<x <1，则y ＝x 2－2x ＋22x －2( ) A ．有最小值1B ．有最大值1C ．有最小值－1D ．有最大值－1 D [y ＝x 2－2x ＋22x －2＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤(x －1)＋1x －1， 又∵－4<x <1，∴x －1<0.∴－(x －1)>0.故y ＝－12⎣⎢⎡⎦⎥⎤－(x －1)＋1－(x －1)≤－1.当且仅当x －1＝1x －1，即x ＝0时等号成立．]2．已知x >0，y >0，且2x ＋1y ＝1，若x ＋2y >m 2恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．m ≤－22或m ≥2 2B ．m ≤－4或m ≥2C ．－2＜m ＜4D ．－22＜m ＜2 2D [∵x >0，y >0且2x ＋1y ＝1，∴x ＋2y ＝(x ＋2y )⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1y ＝4＋4y x ＋x y ≥4＋24y x ·x y ＝8，当且仅当4y x ＝x y ， 即x ＝4，y ＝2时取等号，∴(x ＋2y )min ＝8，要使x ＋2y >m 2恒成立，只需(x ＋2y )min >m 2恒成立，即8>m 2，解得－22<m <2 2.]3．若x >0，y >0，且x ＋4y ＝1，则xy 的最大值为________．116[1＝x ＋4y ≥24xy ＝4xy ， ∴xy ≤116，当且仅当x ＝4y ＝12时等号成立．]4．若实数x ，y 满足x 2＋y 2＋xy ＝1，则x ＋y 的最大值是________．233 [x 2＋y 2＋xy ＝(x ＋y )2－xy ＝1，∴(x ＋y )2＝xy ＋1≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＋1.∴34(x ＋y )2≤1.∴－233≤x ＋y ≤233，当且仅当x ＝y ＝33时等号成立．]5．在下面等号右侧两个分数的分母方块处，各填上一个正整数，并且使这两个正整数的和最小，1＝1□＋9□，试求这两个数．[解] 设1a ＋9b ＝1，a ，b ∈N *，∴a ＋b ＝(a ＋b )·1＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋9b ＝1＋9＋b a ＋9a b≥10＋2b a ·9ab＝10＋2×3＝16， 当且仅当b a ＝9a b ，即b ＝3a 时等号成立．又1a ＋9b ＝1，∴1a ＋93a ＝1，∴a ＝4，b ＝12.这两个数分别是4,12.。
必修1数学新教材人教B版第二章 2.2.4 均值不等式及其应用
（1 x)(3 x) 1 x 3 x 2 2
从而（1+x）（3-x）≤4，即y≤4.
当且仅当1+x=3-x，即x=1时，等号成立. 从而x=1时，y取得最大值4.
典型例题
例5 已知a，b是实数，求证： a2+b2≥2ab.
而且，等号成立时，当且仅当（ a b）2 0 ，即a=b.
值得注意的是，均值不等式中的a，b可以是任意正实数，因此我们 可以代入任意满足条件的数或式子，比如
6 7 42
2
一定是正确的.
均值不等式也称为基本不等式（基本不等式中的a，b还可以为 零），其实质是：两个正实数的算术平均值不小于它们的几何平均 值.那么，均值不等式有什么几何意义呢？
a
1
2
b
1
4
1
3
1
从具体实例中可以看出，两个正数的算术平均值大于或等于它们 的几何平均值.一般地，我们有如下结论. 均值不等式 如果a，b都是正数，那么
a b ab 2
当且仅当a=b时，等号成立.
证明 即
因为a，b都是正数，所以
ab
ab a b 2
ab
（
a
b）2 0,
2
2
2
a b ab 2
典型例题
例6 已知a，b∈R，求证： （1）(a+b)2≥4ab； （2）2(a2+b2)≥(a+b)2.
典型例题
例2 已知ab>0，求证b： a 2 ，并推导出
等号成立的条件
ab
典型例题
例3（1）已知矩形的面积为100，则这个矩形的长、宽各为 多少时，矩形的周长最短？最短周长是多少？
高中数学(人教B版)必修第一册：均值不等式及其应用【精品课件】
2
同理可得， b c 2bc ，当且仅当 b c 时，等号成立，
2
2
c2 a 2 2ca ，当且仅当 c a 时，等号成立，
所以， 2 a b c
2
2
2
2ab 2bc 2ca ，
即 a b c ab bc ca ．
2
2
2
ab
a
b
谢谢
x y
根据均值不等式有
xy ，
2
x y 18
则 xy
81 ，
2 2
2
2
当且仅当 x y 9 时，等号成立，
即当矩形长、宽均为 9 时，矩形的面积最大，最大值为 81 ．
由此可得：两个正数的积是常数时，它们的和有最小值，
即 x y 2 xy ；
∴当 x 1 时， ymax 4 ．
2．证明问题
例 4．已知： x R ，求证： x 2
1
2
x 2
2
2．
1
t ，
证明：令 t x 2 ，则 t 0 ，则 x 2+
2
t
x 2
2
2
1
由均值不等式得， t 2 1 2 ，
t
1
当且仅当 t ，即 t 1 时，等号成立．
均值不等式及其应用（2）
高一年级 数学
主讲人
安东明
北京市第四中学
ab
如果 a , b 都是正数，那么
ab ，当且仅当 a b 时，等号成立．
2
等与不等的问题就要设及到最大、最小值的问题，均值不
2.2.4 第2课时 均值不等式的应用(课后作业,含解析)(人教B版必修第一册)
2.2.4 第2课时 均值不等式的应用1、若0,0,a b a b ab >>+=,则a b +的最小值为( )A.2B.4C.6D.8【答案】B【解析】∵0,0a b >>,∴2()4a b a b ab ++=≤,即4a b +≥,当且仅当2a b ==时等号成立,所以a b +的最小值为4.故选B. 2、若关于x 的不等式2162a b x x b a+<+对任意的0,0a b >>恒成立，则实数x 的取值范围是（ ） A.{20}x x -<< B.{20}x x x <->或C.{42}x x -<<D.{42}x x x <->或【答案】C【解析】因为0,0a b >>,所以161628a b a b b a b a+≥⋅ (当且仅当4a b =时等号成立），所以由题意，得228x x +<，解得42x -<<,故选C.3、若0,0x y >>,则1122x y x y +++的最小值是（ ） A.32 B.42 C.4 D.2【答案】A 【解析】11112222223222x y x y x y x y +++≥⋅⋅==22x y =时等号成立. 4、若0,0,a b >>且4a b +=,则下列不等式恒成立的是( )A.114ab ≤ B. 111a b +≤ C. 2ab ≥D. 228a b +≥【答案】D 【解析】42a b ab =+≥112,4,,4ab ab ab ≤≤≥选项A,C 均不成立；1141,a ba b ab ab ++==≥选项B 不成立;222()21628a b a b ab ab +=+-=-≥ (当且仅当a b =时,等号成立),选项D 成立.5、若41x -<<,则222()22x x f x x -+=-( )A.有最小值1B.有最大值1C.有最小值-1D.有最大值-1 【答案】D 【解析】()22211(1)2221x x f x x x x -+⎡⎤==-+⎢⎥--⎣⎦,又∵41x -<<,∴10x -<.∴()10x -->.∴()11(1)12(1)f x x x ⎡⎤=---+≤-⎢⎥--⎣⎦.当且仅当111x x -=-,即0x =时等号成立.6、已知两个正数,a b 满足321a b +=,则32a b +的最小值是( )A.23B.24C.25D.26【答案】C【解析】根据题意，正数,a b 满足321a b +=， 则32326666(32)()13()1325a b a ba b a b a b b a b a +=++=++≥+⨯=，，当且仅当15a b ==时，取到等号，即32a b +的最小值是25．故选C ．7、若正数 ,x y 满足35x y xy +=,当34x y +取得最小值时, 2x y +的值为( )A. 245B. 2C. 285D. 5【答案】B【解析】∵35,0,0x y xy x y +=>>∴13155y x +=∴()1313341331235555555534354x y x y y x y x y x y x y x ⎛⎫+=++⨯+≥+⋅= ⎪⎭=+⎝当且仅当tan tan 1tan tan A C A C -++即21x y ==时取等号, 2x y +的值为2.故答案为:B.8、某工厂第一年产量为A ,第二年增长率为(0)a a >,第三年的增长率为(0)b b >,这两年的平均增长率为x ,则( )A. 2a b x +=B. 2a b x +≤C. 2a b x +>D. 2a b x +≥ 【答案】B【解析】这两年的平均增长率为2,(1)(1)(1)x A x A a b ∴+=++，22(1)(1)(1)x a b ∴+=++，111(1)(1)122a b a b x a b ++++∴+=++=+，2a b x +∴≤，当且仅当11a b +=+，即a b =时取等号. 9、已知0x >，0y >，228x y xy ++=,则2x y + 的最小值是（ ） A.3 B.4 C. 92 D. 112【答案】B【解析】∵228x y xy ++=，∴8022x y x -=>+，∴08x <<∴()899221221242211x x y x x x x x x -+=+⋅=++-≥+⋅=+++，当且仅当911x x +=+，即2x =时，取“=”号，此时1y =.10、已知正实数,a b 满足21a b +=,则1112a b ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的最小值为____________. 【答案】18 【解析】因为1112121212222a b a b b a ab ab ab ++⎛⎫⎛⎫++=+++=+=+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，又1222a b ab =+≥18ab ≤，即2222818ab +≥+⨯=，当且仅当2a b =，即11,24a b ==时取等号. 11、若,a b R ∈,0ab >,则4441a b ab++的最小值为__________. 【答案】4【解析】44224141a b a b ab ab +++≥114244ab ab ab ab=+≥⋅,(前一个等号成立条件是222a b =,后一个等号成立的条件是12ab =,两个等号可以同时取得,则当且仅当222a =,224b =时取等号).12、已知,,a b c 均为正实数,求证: )2222222a b b c c a a b c +++++.【解析】∵222a b ab +≥，当且仅当a b =时等号成立，∴()()2222222a b a ab b a b +≥++=+，∴()2222a b a b ++≥， 222a b + 222b c +，②222c a +.③①+②+③，得)22222222a b b c c a a b c +++=++，当且仅当a b c ==的时等号成立.。
人教B版高中数学必修1课后习题 第二章 等式与不等式 分层作业16 均值不等式的应用
分层作业16 均值不等式的应用A级必备知识基础练1.[探究点一]若m>0,n>0,1m +4n=1,则m+n( )A.有最大值,最大值为6B.有最大值,最大值为9C.有最小值,最小值为6D.有最小值,最小值为92.[探究点一]已知正数x,y满足x+2y-xy=0,则x+2y的最小值为( )A.8B.4C.2D.03.[探究点二](多选题)若a,b均为正数,且a+2b=1,则下列结论正确的是( )A.ab的最大值为18B.1a+2b的最小值为9C.a2-b2的最小值为-13D.a2+b2的最小值为154.[探究点一]若m>0,n>0,m+n=1且tm +1n(t>0)的最小值为9,则t= .5.[探究点三]为净化水质,向一个游泳池中加入某种化学药品,加药后池水中该药品的浓度c(单位:mg·L-1)随时间t(单位:h)的变化关系为c=20tt2+4,则经过h后池水中该药品的浓度达到最大.6.[探究点三]某人准备租一辆车从甲地出发去乙地,已知从出发点到目的地的距离为100 km,按交通法规定:这段公路车速限制在40~100(单位:km/h).假设目前油价为7.2元/L,汽车的耗油率为(3+x 2360)L/h,其中x(单位:km/h)为汽车的行驶速度,耗油率指汽车每小时的耗油量.租车需付给司机每小时的工资为76.4元,不考虑其他费用,这次租车的总费用最少是多少?此时的车速x 是多少?(注:租车总费用=耗油费+司机的工资)7.[探究点一·河南周口高一校联考阶段练习] (1)若x>1,求y=x+4x -1的最小值及对应x 的值; (2)若0<x<2,求4x+12-x 的最小值及对应x 的值.B级关键能力提升练8.已知x>0,y>0,且x+y=8,则(1+x)(1+y)的最大值为( )A.16B.25C.9D.369.若a,b为大于1的实数,且满足a+b=ab,则4a-1+1b-1的最小值是( )A.2B.4C.6D.810.[河北秦皇岛高一校考阶段练习](多选题)已知x,y是正实数,则下列选项正确的是( )A.若x+y=2,则1x +1y有最小值2B.若x+y=3,则x(y+1)有最大值5C.若4x+y=1,则2√x+√y有最大值√2D.x4+y2x+1y有最小值9411.已知a>0,b>0,且a+2b=1,则1b +b2a+b的最小值为.12.已知正数a,b,x,y满足a+b=10,ax +by=1,x+y的最小值为18,求a,b的值.13.第一机床厂投资A生产线500万元,每万元可创造利润1.5万元.该厂通过引进先进技术,在A生产线的投资减少了x(x>0)万元,且每万元创造的利润变为原来的(1+0.005x)倍.现将在A生产线少投资的x万元全部投入B生产线,且每万元创造的利润为1.5(a-0.013x)万元,其中a>0. (1)若技术改进后,A生产线的利润不低于原来A生产线的利润,求x的取值范围;(2)若B生产线的利润始终不高于技术改进后A生产线的利润,求a的最大值.C级学科素养创新练14.若实数x,y满足x2+y2+xy=1,则x+y的最大值是.分层作业16 均值不等式的应用1.D 因为m+n=(m+n)(1m+4n)=5+nm+4m n≥5+2√n m·4m n=9,当且仅当nm=4m n,即m=3,n=6时等号成立,所以m+n 的最小值为9.2.A 由x+2y-xy=0得,2x+1y=1,且x>0,y>0.所以x+2y=(x+2y)(2x+1y)=4y x+x y+4≥4+4=8,当且仅当x=2y,即x=4,y=2时等号成立.3.ABD 因为a,b 均为正数,且a+2b=1,则有ab=12·a·2b≤12·(a+2b 2)2=18,当且仅当a=2b=12时等号成立,即ab 的最大值为18,A 正确;1a+2b=(a+2b)(1a+2b)=5+(2b a+2a b)≥5+2√2b a·2a b=9,当且仅当a=b=13时等号成立,即1a+2b的最小值为9,B 正确;显然0<b<12,a 2-b 2=(1-2b)2-b 2=3b 2-4b+1,在b ∈(0,12)上无最小值,C 不正确;a 2+b 2=(1-2b)2+b 2=5b 2-4b+1=5(b-25)2+15≥15,当且仅当b=25时等号成立,即a 2+b 2的最小值为15,D 正确.故选ABD.4.4 因为t m+1n=(t m+1n)(m+n)=t+1+tnm +m n ≥t+1+2√tn m ·mn=(√t +1)2,所以最小值为(√t +1)2=9,当且仅当tn 2=m 2时,等号成立,所以√t =2,即t=4. 5.2 c=20tt 2+4=20t+4t.因为t>0,所以t+4t≥2√t ·4t=4. 所以c=20t+4t≤204=5,当且仅当t=4t,即t=2时,c 取得最大值.6.解设总费用为y 元,由题意,得y=76.4×100x+7.2×100x×(3+x 2360)=9800x+2x(40≤x≤100).因为y=9800x+2x=196002x+2x≥2√19600=280,当且仅当9800x=2x,即x=70时等号成立.所以这次租车的总费用最少是280元,此时的车速为70km/h. 7.解(1)因为x>1,所以x-1>0,4x -1>0,y=x-1+4x -1+1≥2√(x -1)·4x -1+1=5,当且仅当x-1=4x -1(x>1),即x=3时等号成立,函数取得最小值5.(2)y=12(4x +12-x)×2=12(4x+12-x )[x+(2-x)]=12[5+4(2-x )x +x 2-x]≥12(5+2√4(2-x )x·x 2-x )=92,当且仅当4(2-x )x=x 2-x(0<x<2),即x=43时等号成立,函数取得最小值92. 8.B (1+x)(1+y)≤[(1+x )+(1+y )2]2=[2+(x+y )2]2=(2+82)2=25,当且仅当1+x=1+y,即x=y=4时,(1+x)(1+y)取得最大值25,故选B. 9.B 因为a,b 为大于1的实数,所以4a -1>0,1b -1>0.由a+b=ab 可知ab-(a+b)=0,所以4a -1+1b -1≥2√4a -1·1b -1=√ab -b -a+1=4.当且仅当a=3,b=32时等号成立.10.AC 对于A,∵x>0,y>0,x+y=2,∴1x +1y =12(x+y)(1x +1y )=12(2+y x +x y )≥12(2+2√y x ·xy )=2,当且仅当{x +y =2,y x=x y,即x=y=1时等号成立,则1x+1y有最小值2,故A 正确;对于B,∵x>0,y>0,x+y=3,∴x+y+1=4,∴x(y+1)≤[x+(y+1)2]2=4,当且仅当{x +y =3,x =y +1,即x=2,y=1时等号成立,则x(y+1)有最大值4,故B 错误; 对于C,∵x>0,y>0,4x+y=1,∴(2√x +√y )2=4x+y+4√xy =1+2×2√x ·√y ≤1+(2√x )2+(√y )2=1+4x+y=2,∴0<2√x +√y ≤√2,当且仅当{4x +y =1,2√x =√y ,即x=18,y=12时等号成立,则2√x +√y 有最大值√2,故C 正确;对于D,当x=2,y=1时,x4+y 2x+1y=12+12+1=2<94,故D 错误.故选AC.11.32+√21b+b 2a+b=a+2b b+b 2a+b=a+12b+32bb +b 2a+b =2a+b 2b+b 2a+b+32≥2√2a+b 2b·b2a+b+32=√2+32,当且仅当2a+b 2b=b2a+b,即a=4√2-57,b=6-2√27时等号成立. 即1b +b 2a+b的最小值为32+√2.12.解因为a x+by=1,所以x+y=(x+y)(a x+by)=a+bx y+ay x+b=10+bx y+ay x.因为x,y>0,a,b>0,所以x+y≥10+2√ab =18, 当且仅当bx y=ay x时,等号成立.即√ab =4.又a+b=10,所以{a =2,b =8或{a =8,b =2.第11页 共11页 13.解(1)由题意,得1.5(1+0.005x)(500-x)≥1.5×500,整理得x 2-300x≤0,解得0≤x≤300,又x>0,故0<x≤300,即x 的取值范围为(0,300].(2)由题意知,B 生产线的利润为1.5(a-0.013x)x 万元,技术改进后,A 生产线的利润为1.5(1+0.005x)(500-x)万元,则1.5(a-0.013x)x≤1.5(1+0.005x)(500-x)恒成立,又x>0,∴a≤x 125+500x +1.5恒成立,又x 125+500x ≥4,当且仅当x=250时,等号成立,∴0<a≤5.5,即a 的最大值为5.5.14.2√33 x 2+y 2+xy=(x+y)2-xy=1,∴(x+y)2=xy+1≤(x+y 2)2+1,∴34(x+y)2≤1. ∴x+y≤2√33,故x+y 的最大值为2√33,当且仅当x=y=√33时,等号成立.。
人教B数学(新教材)必修第一册课件：2.2.4第2课时均值不等式的应用
第二章等式与不等式第2课时均值不等式的应用第二章等式与不等式考点证明不等式学习目标会利用均值不等式证明不等式问题核心素养逻辑推理会利用均值不等式解决与函解决实际问题b数关的实际问题数学建模解决恒成立问题会将不等式的恒成立问题,过分离参数转化为均值不等式问题求解逻辑推理、数学运算讲练互动已知a, b9 cW(O, +°°),且a+b+c = l・求证：~~1yr 丿探究点利用均值不等式证明不等式解惑•探究•突破OO【证明】因为a, b, cG(O, +°°), a+b+c = l9所以1=同理A* A*上述三个不等式两边均为正，分别相乘,得当且仅当a=b=c=^f等号成立.互动探究在本例条件下，求证：:+£+*$9.证明：因为 a, b, cG(O, + °°),且 “+方+c = l, 所以++出。
+方+0+"+心+心+。
+〃+(a rM3+2+2+2=9・当且仅当a=〃=c=f 时，等号成立.b=3+件辺0113圈利用均值不等式证明不等式的思路利用均值不等式证明不等式时，要先观察题中要证明的不等式的结构特征，若不能直接使用均值不等式证明，则考虑对代数式进行拆项、变形、配凑等，使之达到能使用基本不等式的形式；若题目中还有已知条件，则先观察已知条件和所证不等式之间的联系，当已知条件中含有“1”时，要注意“1”的代换.另外，解题时要时刻注意等号能否取到.1.已知a, b都是正实数，且ab=2f求证：（l+2a）（l+〃）M9. 证明：因为a, 〃都是正实数，且ab=2f所以寸而=4,所以（l+2«）（l+〃） = l+2a+方+2ab=5+2a+〃M5+4=9・即（1+勿）（1+方）$9・护方2 c22.已知a, b, c>0,求证：牛+7+［纹+方+c.2证明：因为a, b, c>0,所以利用均值不等式可得,+心2a,12 2 2 12 2—+cM2b, —+aM2c,所以〒+—+—+a+〃+cM2«+2方+2c, c a u c d2>22故彳+7+》Ma+b+c,当且仅当a=b=c时，等号成立.探究点酉利用均值不等式解实际应用题每吨面粉的价格为1 800元，面粉的保管费及其他费用为平均某食品厂定期购买面粉, 已知该厂每天需用面粉6吨,每吨每天3元，购买面粉每次需支付运费900元.求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天支付的总费用最少?【解】 设该厂每兀天购买一次面粉，其购买量为6x 吨. 由题意可知,面粉的保管费等其他费用为3X[6x+6(x-l)+6(x-2) + -+6Xl]=9x(x+l)(元).设平均每天所支付的总费用为y 元，则 J = ~[9x(x + 1) + 900] + 6X1 800 = 9兀 +型+ 10 809M故该厂每10天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用 最少.也+10 809=10 989(元),当且仅当％=響即x = 10时，等号成立.利用均值不等式解决实际问题的思路利用均值不等式解决应用问题的关键是构建模型，一般来说, 都是从具体的几何图形，通过相关的关系建立关系式.在解题过程中尽量向模型ax^~^2\[ab(a>09 b>09兀>0)上靠拢•1.某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产 的产品可获得的总利润刃单位：万元)与机器运转时间班单位: -X 2 + 18X -25(X EN*),则当每台机器运转解析：每台机器运转x 年的年平均利润为^=18—兀+丁，且 X \ X ) x>0,故［W18-2何=8,当且仅当x=5时等号成立，此时年 平均利润最大，最大值为8万元.答案：5 8年时，年平均利润最大，最大值是 万元•年)的关系为y =25、2・用一段长为36 m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长.宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少?解：设矩形菜园的长为x m＞宽为ym, 则2(x+j)=36, x+j = 18, 矩形菜园的面积为xjm2.可得巧W81,当且仅当x=j,即x=y=9时，等号成立.因此，这个矩形的长、宽都为9: 面积为81 m2.m时，菜园的面积最大，最大2働［3）不等式9x +1（常数a>0）,对一切正实数x 成立, 求。
新教材人教B版高中数学必修第一册练习-均值不等式及其应用答案含解析
2.2.4均值不等式及其应用 第二章 等式与不等式2.2 不等式2.2.4 均值不等式及其应用考点1均值不等式的理解1.(2018·山东兖州二中高二月考)若a ,b ∈R,且ab >0,则下列不等式中,恒成立的是( )。
A.a 2+b 2>2ab B.a +b ≥2√ab C.1a +1b>2√abD.b a +a b≥2答案：D解析：a 2+b 2≥2ab ,所以A 错误;ab >0,只能说明两实数同号,同为正数,或同为负数,所以当a <0,b <0时,B 错误;同理,C 错误;a b或b a都是正数,根据不等式求最值,a b +b a≥2√a b×b a=2,故D 正确。
2.若a ,b ∈R,则下列不等式恒成立的是( )。
A.|a+b |2≥√|ab | B.b a +a b≥2C.a 2+b 22≥(a+b 2)2 D.(a +b )(1a +1b)≥4 答案：C解析：对于A ,当a ,b 同号时,不等式成立,当a ,b 异号时,不等式不成立,故A 中不等式不恒成立;对于B ,当a ,b 同号时,不等式成立,当a ,b 异号时,-(a b+b a)≥2√a b ·b a=2,那么a b +b a≤-2,故B 中不等式不恒成立;对于C ,a 2+b 22≥(a+b 2)2,故C 中不等式恒成立;对于D ,(a +b )1a +1b=2+a b +b a,当a ,b 同号时a b +b a≥2,原不等式成立,当a ,b 异号时,-(a b+b a)≥2√a b ·b a=2,那么a b +b a≤-2,原不等式不成立,故D 中不等式不恒成立。
故选C 。
3.(2019·北京第九十四中高二期中)若正实数a ,b 满足1a +2b=√2ab ,则ab 的最小值为( )。
A.√2 B.2 C.2√2 D.4答案：B解析：对于正实数a ,b ,由均值不等式可知1a +2b ≥√2√ab ,当且仅当1a =2b 时取等号,则√2ab ≥√2√ab⇒ab ≥2,故选B 。
2021_2022学年新教材高中数学课时分层作业16均值不等式(含解析)新人教B版必修第一册
课时分层作业(十六) 均值不等式(建议用时：60分钟)[合格根底练]一、选择题1．设t ＝a ＋2b ，s ＝a ＋b 2＋1，那么t 与s 的大小关系是( ) A ．s ≥t B ．s >t C ．s ≤tD ．s <tA [∵b 2＋1≥2b ，∴a ＋2b ≤a ＋b 2＋1.] 2．以下不等式中正确的选项是( ) A ．a ＋4a≥4B ．a 2＋b 2≥4ab C.ab ≥a ＋b2D ．x 2＋3x2≥2 3D [a ＜0，那么a ＋4a≥4不成立，故A 错；a ＝1，b ＝1，a 2＋b 2＜4ab ，故B 错； a ＝4，b ＝16，那么ab ＜a ＋b2，故C 错；由均值不等式可知D 项正确．]3．a >0，b >0，那么以下不等式中错误的选项是( )A ．ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22 B ．ab ≤a 2＋b 22C.1ab ≥2a 2＋b 2D.1ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫2a ＋b 2D [由均值不等式知A 、C 正确，由重要不等式知B 正确，由a 2＋b 22≥ab 得，ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22，∴1ab ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋b 2，应选D.] 4．假设a ＞b ＞0，那么以下不等式成立的是( ) A ．a ＞b ＞a ＋b2＞abB ．a ＞a ＋b2＞ab ＞b C ．a ＞a ＋b2＞b ＞abD.a ＞ab ＞a ＋b2＞bB [a ＝a ＋a 2＞a ＋b2＞ab ＞b ·b ＝b ，因此只有B 项正确．]5．假设a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝4，那么以下不等式恒成立的是( ) A.1ab ＞12 B.1a ＋1b≤1C.ab ≥2D.1a 2＋b 2≤18D [由ab ≤2得ab ≤4， ∴1ab ≥14，故A 错； B 中，1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝4ab≥1，故B 错；由a ＋b ＝4，得ab ≤a ＋b 2＝42＝2，故C 错；由a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22得a 2＋b 2≥2×⎝ ⎛⎭⎪⎫422＝8， ∴1a 2＋b 2≤18，D 正确．] 二、填空题6．a ＞b ＞c ，那么(a －b )(b －c )与a －c2的大小关系是________．(a －b )(b －c )≤a －c2[∵a ＞b ＞c ，∴a －b ＞0，b －c ＞0，∴(a －b )(b －c )≤(a －b )＋(b －c )2＝a －c2.]7．某工厂第一年的产量为A ，第二年的增长率为a ，第三年的增长率为b ，那么这两年的平均增长率x 与增长率的平均值a ＋b2的大小关系为________．x ≤a ＋b2[用两种方法求出第三年的产量分别为A (1＋a )(1＋b )，A (1＋x )2，那么有(1＋x )2＝(1＋a )(1＋b )．∴1＋x ＝(1＋a )(1＋b )≤1＋a ＋1＋b 2＝1＋a ＋b2， ∴x ≤a ＋b2.当且仅当a ＝b 时等号成立．]8．函数y ＝4x ＋ax(x >0，a >0)在x ＝3时取得最小值，那么a ＝________.36 [y ＝4x ＋a x≥24x ·a x ＝4a (x >0，a >0)，当且仅当4x ＝a x，即x ＝a2时等号成立，此时y 取得最小值4a .又由x ＝3时，y min ＝4a ，∴a2＝3，即a ＝36.]三、解答题9．a ，b ，c 为正实数，且a ＋b ＝1.求证：1a ＋1b≥4.[证明] 1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋bb＝1＋b a ＋ab ＋1 ＝2＋b a ＋a b≥2＋2b a ·ab＝4. 当且仅当a ＝b 时“＝〞成立． 10．a ，b ，c 为正数，求证：b ＋c －a a ＋c ＋a －b b ＋a ＋b －cc≥3. [证明] 左边＝b a ＋c a －1＋c b ＋a b－1＋a c ＋bc－1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c a ＋a c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c b ＋b c －3.∵a ，b ，c 为正数，∴b a ＋a b≥2(当且仅当a ＝b 时取“＝〞)；c a ＋ac≥2(当且仅当a ＝c 时取“＝〞)； c b ＋bc≥2(当且仅当b ＝c 时取“＝〞)． 从而⎝⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ＋⎝⎛⎭⎪⎫c a ＋a c ＋⎝⎛⎭⎪⎫c b ＋bc≥6(当且仅当a ＝b ＝c 时取等号)． ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c a ＋a c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c b ＋b c －3≥3， 即b ＋c －a a ＋c ＋a －b b ＋a ＋b －cc≥3. [等级过关练]1．以下不等式一定成立的是( ) A ．x ＋1x≥2B.x 2＋2x 2＋2≥ 2C.x 2＋3x 2＋4≥2D ．2－3x －4x≥2B [A 项中当x <0时，x ＋1x<0<2，∴A 错误．B 项中，x 2＋2x 2＋2＝x 2＋2≥2，∴B 正确．而对于C ，x 2＋3x 2＋4＝x 2＋4－1x 2＋4，当x ＝0时，x 2＋3x 2＋4＝32<2，显然选项C 不正确．D 项中取x ＝1,2－3x －4x<2，∴D 错误．]2．a ≥0，b ≥0，且a ＋b ＝2，那么( ) A ．ab ≤12B ．ab ≥12C ．a 2＋b 2≥2D ．a 2＋b 2≤3C [∵a ≥0，b ≥0，且a ＋b ＝2，∴ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝1，而4＝(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2ab ≤2(a 2＋b 2)， ∴a 2＋b 2≥2.]3．假设x 2＋y 2＝4，那么xy 的最大值为________． 2 [xy ≤x 2＋y 22＝2，当且仅当x ＝y 时取“＝〞．]4．设a ，b 为非零实数，给出不等式： ①a 2＋b 22≥ab ；②a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22；③a ＋b 2≥aba ＋b ； ④a b ＋b a≥2.其中恒成立的不等式是________．①② [由重要不等式a 2＋b 2≥2ab 可知①正确； ②a 2＋b 22＝2(a 2＋b 2)4＝(a 2＋b 2)＋(a 2＋b 2)4≥a 2＋b 2＋2ab 4＝(a ＋b )24＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22，故②正确；对于③，当a ＝b ＝－1时，不等式的左边为a ＋b2＝－1，右边为ab a ＋b ＝－12，可知③不正确；令a ＝1，b ＝－1可知④不正确．]5．a ，b ，c 为不全相等的正实数，求证：a ＋b ＋c ＞ab ＋bc ＋ca . [证明] ∵a ＞0，b ＞0，c ＞0，∴a ＋b2≥ab ，b ＋c2≥bc ，c ＋a2≥ca ，∴a ＋b 2＋b ＋c2＋c ＋a2≥ab ＋bc ＋ca ，即a ＋b ＋c ≥ab ＋bc ＋ca .由于a ，b ，c 不全相等， ∴等号不成立，∴a ＋b ＋c ＞ab ＋bc ＋ca .。
(新教材)2022年高中数学人教B版必修第一册学案：2.2.4.1 均值不等式 (含答案)
2．2.4 均值不等式及其应用第1课时均值不等式1.均值不等式(基本不等式)(1)算术平均值与几何平均值．前提给定两个正数a，b结论数a＋b2称为a，b的算术平均值数ab 称为a，b的几何平均值(2)均值不等式前提a，b都是正数，结论a＋b2≥ab ，等号成立的条件当且仅当a＝b时，等号成立几何意义所有周长一定的矩形中，正方形的面积最大．(3)本质：算数平均值的本质就是数a ，b 在数轴上对应点的中点坐标．几何平均值的本质就是a ，b 乘积的开方．均值不等式就是在正数的前提下其算数平均值大于等于其几何平均值． (4)应用：应用均值不等式求最值．(1)均值不等式中的a ，b 只能是具体的某个数吗？ 提示：Xa ，b 既可以是具体的某个数，也可以是代数式．(2)均值不等式的叙述中，“正数”两个字能省略吗？请举例说明． 提示：不能，如（－3）＋（－4）2 ≥（－3）×（－4） 是不成立的． 2．均值不等式与最值两个正数的积为常数时，它们的和有最小值； 两个正数的和为常数时，它们的积有最大值．通过以上结论可以得出，利用均值不等式求最值要注意哪几方面？ 提示：求最值时，要注意三个条件，即“一正”“二定”“三相等”．1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”).(1)两个不等式a 2＋b 2≥2ab 与a ＋b2 ≥ab 成立的条件是相同的．( )提示：×．不等式a 2＋b 2≥2ab 成立的条件是a ，b ∈R ；不等式a ＋b2 ≥ab成立的条件是a >0，b >0.(2)当a >0，b >0时a ＋b ≥2ab .( ) 提示：√．均值不等式的变形公式．(3)当a >0，b >0时ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2 2.( ) 提示：√．均值不等式的变形公式． (4)函数y ＝x －1＋1x －1的最小值是2.( )提示：×．当x －1<0，即x ＜1时，x －1＋1x －1 是负数．2．若正实数a ，b 满足a ＋b ＝2，则ab 的最大值为( ) A ．1 B ．22 C ．2 D ．4【解析】选A.当a ，b 为正实数时，由ab ≤a ＋b 2 ，ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a ＋b 2 2 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22 2＝1，当且仅当a ＝b ＝1时等号成立，所以ab 的最大值为1. 3．(教材例题改编)已知x >1，y ＝x ＋1x －1 ，则y 的最小值是( )A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】选C.因为x >1，则x －1>0，由基本不等式得y ＝x －1＋1x －1＋1≥2（x －1）·1x －1＋1＝3，当且仅当x ＝2时，等号成立，因此，y 的最小值是3.类型一 对均值不等式的理解(数学抽象)1．给出下列条件：①ab >0；②ab <0；③a >0，b >0；④a <0，b <0.其中能使b a ＋ab ≥2成立的条件个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】选C.由均值不等式的前提需“一正、二定、三相等”，即当ba ，ab 均为正数时，可得b a ＋ab ≥2，此时只需a ，b 同号即可，所以①③④均满足要求．2．不等式a ＋1≥2 a (a >0)中等号成立的条件是( ) A ．a ＝0 B ．a ＝12 C ．a ＝1 D ．a ＝2【解析】选C.因为a >0，根据均值不等式ab ≤a ＋b2 ，当且仅当a ＝b 时等号成立，故a ＋1≥2 a 中等号成立当且仅当a ＝1. 3．若a >0，b >0，且M ＝a ＋b2 ，G ＝ab ，H ＝a 2＋b 22 ，则M ，G ，H 的大小关系为________．【解析】因为a >0，b >0，所以有a ＋b2 ≥ab (当且仅当a ＝b 时取等号)，因此有M ≥G .a 2＋b 2≥2ab ⇒a 2＋b 2＋a 2＋b 2≥2ab ＋a 2＋b 2⇒a 2＋b 2≥（a ＋b ）22 ⇒a 2＋b 22 ≥（a ＋b ）24(当且仅当a ＝b 时取等号)，因为a >0，b >0，所以有a 2＋b 22 ≥a ＋b2 ，因此有H ≥M . 答案：H ≥M ≥G均值不等式使用的条件利用均值不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：“一正”是，要判断参数是否为正；“二定”是，要看和或积是否为定值(和定积最大，积定和最小)；“三相等”是，一定要验证等号能否成立(主要注意两点，一是相等时参数是否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立).【补偿训练】设0<a<b ，则下列不等式中正确的是( ) A ．a<b<ab <a ＋b 2 B ．a<ab <a ＋b2 <b C ．a<ab <b<a ＋b 2 D ．ab <a<a ＋b2 <b【解析】选B .因为0<a<b ，所以0< a < b ，所以a<ab ，同样由0<a<b 得a 2 <b 2 ，所以a ＋b 2 <b ，由均值不等式可得，ab <a ＋b 2 ，综上，a<ab <a ＋b2 <b.类型二 利用均值不等式求最值(数学运算)【典例】当x>1时，求x 2＋8x －1 的最小值．探求解书写表达令t＝x2＋8x－1＝（x－1）2＋2（x－1）＋9x－1＝(x－1)＋9x－1＋2，①因为x－1＞0，所以t≥2（x－1）·9x－1＋2＝8，当且仅当x－1＝9x－1，即x＝4时，t的最小值为8.②注意书写的规范性：①为了表达式的完整性，可以将表达式记为t＝x2＋8x－1②步骤中不能省略验证等号成立的条件题后反思表达式的恒等变形是解题的关键，ax2＋bx＋cdx＋e(ad≠0)形式的表达式通常分母不变，将分子化为m(dx＋e)2＋n(dx＋e)＋q的形式(m，n，q为常数)并展开，再利用均值不等式求解，均值不等式的应用必须一正、二定、三相等，三者缺一不可利用均值不等式求最值的两种类型和一个关注点(1)两种类型：①若a＋b＝p(两个正数a，b的和为定值)，则当a＝b时，积ab有最大值p24，可以用均值不等式ab ≤a＋b2求得．②若ab＝S(两个正数的积为定值)，则当a＝b时，和a＋b有最小值2S ，可以用均值不等式a＋b≥2ab 求得．(2)一个关注点：不论哪种情况都要注意等号取得的条件．(2021·潍坊高一检测)规定记号“⊙”表示一种运算，即a⊙b＝ab ＋a ＋b(a，b为正实数).若1⊙k＝3，则k的值为________，此时函数y＝k⊙xx的最小值为________．【解析】由题意得1⊙k＝k ＋1＋k＝3，即k＋k －2＝0，所以k ＝1或k ＝－2(舍去)，所以k＝1.y＝k⊙xx ＝x＋x＋1x＝1＋x ＋1x≥1＋2x×1x＝3，当且仅当x ＝1x，即x＝1时，等号成立．答案：1 3【拓展延伸】1.一次式除以二次式形式的表达式的最值的求法(1)分子一次形式不变，将分母的二次形式改写为分子一次形式的平方或者一次形式的几倍或者常数形式．(2)分子分母同除以分子后利用均值不等式求解．2．利用均值不等式求解整式形式的最值(1)判断所求表达式中未知量的正负．(2)直接使用均值不等式求解，特别注意最后要进行等号成立时的未知量的检验．【拓展训练】对任意x>0，xx 2＋3x ＋1的最大值为________．【解析】由题意，对任意x>0，有x x 2＋3x ＋1 ＝1x 2＋3x ＋1x ＝1x ＋1x ＋3≤12x·1x ＋3 ＝15 ，当且仅当x ＝1x ，即x ＝1时，等号成立， 即x x 2＋3x ＋1 的最大值为15 . 答案：15总结：本题主要考查了均值不等式的应用，解答中对xx 2＋3x ＋1 进行等价转化求得最大值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．类型三 间接利用均值不等式求最值“不正”问题【典例】已知x<0，则3x ＋12x 的最大值为________． 【思路导引】变形为各项均大于0后利用均值不等式求最值． 【解析】因为x<0，所以－x>0.则3x ＋12x ＝－⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12－x ＋（－3x ） ≤－212（－x ）·（－3x ） ＝－12，当且仅当12－x＝－3x ，即x ＝－2时，3x ＋12x 取得最大值为－12. 答案：－12若条件改为“x<1”，结论改为“则3(x －1)＋12x －1 的最大值为________．”如何求解？【解析】因为x<1，所以x －1<0，故－(x －1)>0，所以3(x －1)＋12x －1 ＝－⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－3（x －1）＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12x －1 ≤ －2－3（x －1）·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12x －1 ＝－12，当且仅当－3(x －1)＝－12x －1 ，即x ＝－1时，3(x －1)＋12x －1 取得最大值－12.答案：－12“不定”问题【典例】(1)已知x>2，求x ＋1x －2的最小值．【思路导引】先对式子变形，凑定值后再利用均值不等式求最值． 【解析】(1)因为x>2，所以x －2>0，所以x ＋1x －2 ＝x －2＋1x －2 ＋2≥2（x －2）⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1x －2 ＋2＝4，所以当且仅当x －2＝1x －2 (x>2)，即x ＝3时，x ＋1x －2 的最小值为4.(2)已知0<x<4，求x(8－2x)的最大值．【解析】因为0<x<4，所以8－2x>0，所以x(8－2x)＝12 ×2x(8－2x)≤12 ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋8－2x 2 2 ＝8， 所以当且仅当2x ＝8－2x ()0<x<4 ， 即x ＝2时有最大值，x(8－2x)的最大值为8.若把本例(1)改为：已知x<54 ， 试求4x －2＋14x －5的最大值．【解析】因为x<54 ，所以4x －5<0，5－4x>0. 所以4x －5＋3＋14x －5 ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫5－4x ＋15－4x ＋3≤－2（5－4x ）·15－4x＋3＝1.当且仅当5－4x ＝15－4x 时等号成立，又5－4x>0，所以5－4x ＝1，x ＝1时，4x －2＋14x －5的最大值是1.1．负数在均值不等式中的应用当所给式子均小于0时，也可以利用均值不等式求最值，但是要注意不等号方向的变化．2．通过拼凑法利用均值不等式求最值的策略(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形．(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标． (3)拆项、添项应注意检验利用均值不等式的前提．1．(2021·宜春高一检测)已知两个正数a ，b 满足3a ＋2b ＝1，则3a ＋2b 的最小值是( )A ．23B ．24C ．25D ．26【解析】选C .根据题意，正数a ，b 满足3a ＋2b ＝1， 则3a ＋2b ＝⎝⎛⎭⎫3a ＋2b ⎝⎛⎭⎪⎫3a ＋2b ＝13＋⎝⎛⎭⎪⎫6a b ＋6b a≥13＋26a b ·6ba ＝25，当且仅当a ＝b ＝15 时等号成立． 即3a ＋2b 的最小值是25.2．不等式9x －2 ＋(x －2)≥6(其中x>2)中等号成立的条件是( )A ．x ＝3B ．x ＝－3C ．x ＝5D ．x ＝－5【解析】选C .由均值不等式知等号成立的条件为9x －2 ＝x －2，即x ＝5(x ＝－1舍去).3．已知x<0，则x ＋94x 的最大值是________．【解析】已知x<0，则x ＋94x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－x ＋9－4x ≤－294 ＝－3，当－x ＝9－4x，即x ＝－32 时，等号成立．答案：－3【补偿训练】(2020·潍坊高一检测)设a>b>0，则a 2＋1ab ＋1a （a －b ）的最小值是( )A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】选D .因为a>b>0，所以a 2＋1ab ＋1a （a －b ）＝a 2－ab ＋ab ＋1ab ＋1a （a －b ）＝ab ＋1ab ＋a(a －b)＋1a （a －b ） ≥2＋2＝4，(当且仅当ab ＝1且a(a －b)＝1即a ＝ 2 ，b ＝22 时，取“＝”号)，故应选D .备选类型 “不等”问题【典例】下列命题中，正确的是( ) A ．x ＋4x 的最小值是4B ．x 2＋4 ＋1x 2＋4的最小值是2C ．如果a>b ，c>d ，那么a －c>b －dD ．如果ac 2>bc 2，那么a>b【思路导引】利用均值不等式和对勾函数的性质，以及不等式的性质，分别对四个选项进行判断，得到答案．【解析】选D .选项A 中，若x<0，则无最小值，所以错误；选项B 中，t ＝x 2＋4 ≥2，则函数y ＝x 2＋4 ＋1x 2＋4转化为函数y ＝t ＋1t ，在[2，＋∞)上单调递增，所以最小值为52 ，所以错误； 选项C 中，若a ＝c ，b ＝d ，则a －c ＝b －d ，所以错误； 选项D 中，如果ac 2>bc 2，则c≠0，所以c 2>0，所以可得a>b.运用均值不等式解“不等”问题(1)观察运用均值不等式求最值的表达式是否满足一正二定； (2)使用均值不等式，检验等号是否成立，成立即运用均值不等式，否则结合单调性加以求解．下列各式中，最小值是2的为( )A ．(x ＋1)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1B ．(x ＋2)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋2C ．(x 2＋1)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋1 D ．x 2＋3 ＋1x 2＋3【解析】选C .选项A ，只有当x ＋1>0，即x ＞－1时，才有(x ＋1)＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1x ＋1≥2（x ＋1）·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1x ＋1 ＝2(当且仅当x ＝0时取等号)成立，此时(x ＋1)＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1x ＋1 的最小值为2，当x ＋1<0，即x<－1时，(x ＋1)＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1x ＋1 没有最小值，因此选项A 是错误的；选项B ，只有当x ＋2>0，即x ＞－2时，才有(x ＋2)＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1x ＋2 ≥2（x ＋2）·1（x ＋2）＝2(当且仅当x ＝－1时取等号)成立，此时(x ＋2)＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1x ＋2 的最小值为2，当x ＋2<0，即x ＜－2时，(x ＋2)＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1x ＋2 没有最小值，因此选项B 是错误的；选项C ，因为x 2＋1>0，所以⎝⎛⎭⎫x 2＋1 ＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1x 2＋1 ≥ 2⎝⎛⎭⎫x 2＋1·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1x 2＋1 ＝2(当且仅当x ＝0时取等号)，因此⎝⎛⎭⎫x 2＋1 ＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1x 2＋1 的最小值为2，所以本选项是正确的； 选项D ，因为x 2＋3 >0，所以x 2＋3 ＋1x 2＋3≥2x 2＋3·1x 2＋3＝2，x 2＋3 ＝1x 2＋3⇒x 2＋3＝1⇒x 2＝－2方程无实数根，故不等式取不到等号，因此本选项是错误的．1．若x 2＋y 2＝4，则xy 的最大值是( ) A ．12 B ．1 C ．2 D ．4【解析】选C.xy ≤x 2＋y 22 ＝2，当且仅当x ＝y 时取“＝”．2．(2021·烟台高一检测)已知a >0，b >0，若不等式4a ＋1b ≥ma ＋b 恒成立，则m 的最大值为( )A ．10B ．12C ．16D ．9【解析】选D.由已知a >0，b >0，若不等式4a ＋1b ≥ma ＋b恒成立，所以m ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫4a ＋1b (a ＋b )恒成立，转化成求y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4a ＋1b (a ＋b )的最小值，y＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4a ＋1b (a ＋b )＝5＋4b a ＋ab ≥5＋24b a ·ab ＝9，当且仅当a ＝2b 时等号成立，所以m ≤9.3．(教材练习改编)已知x>3，y ＝x 2－3x ＋1x －3 ，则y 的最小值为( )A ．2B ．3C ．4D ．5【解析】选D .因为x>3，所以x －3>0，则y ＝x 2－3x ＋1x －3＝x ＋1x －3＝x －3＋1x －3＋3≥2（x －3）×1x －3＋3＝5，当且仅当x －3＝1x －3，即x ＝4时取等号． 4．已知0<x<4，则4x ＋14－x 的最小值为________，此时x ＝________．【解析】因为x ＋4－x4 ＝1，且0<x<4，所以4x ＋14－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫4x ＋14－x ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 4＋4－x 4 ＝54 ＋x 4（4－x ） ＋4－x x ≥54 ＋2x 4（4－x ）·4－x x ＝94 ，当且仅当x ＝83 时等号成立．答案：94 835．若a>0，b>0且2a ＋1b ＝3，则ab 的最大值为________． 【解析】因为a>0，b>0，所以2a ＋1b ＝3≥22a b ，当且仅当2a ＝1b ，即a ＝34 ，b ＝23 时，等号成立，所以a b ≤98 . 答案：98。
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课时分层作业(十七) 均值不等式的应用
(建议用时：40分钟)
一、选择题 1．若a ＞1，则a ＋
1
a －1
的最小值是( ) A ．2 B ．a C ．2a
a －1 D ．3
D [∵a ＞1，∴a －1＞0，∴a ＋1a －1＝a －1＋1
a －1
＋1≥2 （a －1）·1
a －1
＋
1＝3.当且仅当a －1＝
1
a －1
时，即a ＝2时取等号．故选D.] 2．已知x ＜0，则y ＝x ＋1
x －2有( ) A ．最大值为0 B ．最小值为0 C ．最大值为－4
D ．最小值为－4
C [∵x <0，∴－x ＞0，∴y ＝－⎣⎢⎡
⎦⎥⎤（－x ）＋1（－x ）－2≤－2－2＝－4，当且
仅当－x ＝
1
－x
，即x ＝－1时取等号．故选C.] 3．设x ＞0，则y ＝3x －3x 2－1
x 的最大值是( )
A ．3
B ．－3 2
C ．3－2 3
D ．－1
C [∵x ＞0，∴y ＝3－⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋1x ≤3－23x ·
1x ＝3－23，当且仅当3x ＝1
x ，且
x ＞0，即x ＝3
3时，等号成立．故选C.]
4．若x ＞0，y ＞0，且1x ＋4
y ＝1，则x ＋y 的最小值是( ) A ．3 B ．6 C ．9 D ．12 C [x ＋y ＝(x ＋y )·
⎝ ⎛⎭
⎪⎫
1x ＋4y ＝1＋y x ＋4x y ＋4
＝5＋y x ＋4x
y ≥5＋2y x ·4x
y ＝5＋4＝9.
当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧1x ＋4y ＝1，
y x ＝4x y ，
即⎩⎨⎧x ＝3，
y ＝6
时等号成立，故x ＋y 的最小值为9.故选C.] 5．已知x ＞0，y ＞0，且x ＋y ＝8，则(1＋x )(1＋y )的最大值为( ) A ．16 B ．25 C ．9 D ．36 B [(1＋x )(1＋y )≤⎣⎢
⎡⎦⎥⎤（1＋x ）＋（1＋y ）22
＝⎣⎢
⎡⎦⎥⎤2＋（x ＋y ）22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋822
＝25， 当且仅当1＋x ＝1＋y ，即x ＝y ＝4时， (1＋x )(1＋y )取最大值25，故选B.] 二、填空题 6．函数y ＝x ＋1
x ＋1
(x ≥0)的最小值为________． [答案] 1
7．如图，有一张单栏的竖向张贴的海报，它的印刷面积为72 dm 2(图中阴影部分)，上下空白各宽2 dm ，左右空白各宽1 dm ，则四周空白部分面积的最小值是________dm 2.
56 [设阴影部分的竖边长为x dm ，则宽为72
x dm ，四周空白部分的面积是y dm 2.
由题意，得y ＝(x ＋4)⎝ ⎛⎭⎪⎫
72x ＋2－72
＝8＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫
x ＋144x ≥8＋2×2
x ·144
x ＝56(dm 2).
当且仅当x ＝144x ， 即x ＝12 dm 时等号成立．]
8．若a ，b ∈(0，＋∞)，满足a ＋b ＋3＝ab ，则a ＋b 的取值范围是________． [6，＋∞) [∵a ＋b ＋3＝ab ≤⎝
⎛⎭
⎪⎫a ＋b 22
， ∴(a ＋b )2－4(a ＋b )－12≥0，解得a ＋b ≥6或a ＋b ≤－2(舍去)，当且仅当a ＝b ＝3时取等号．]
三、解答题
9．当x <32时，求函数y ＝x ＋8
2x －3的最大值．
[解] y ＝12(2x －3)＋82x －3＋3
2
＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫3－2x
2＋
83－2x ＋32， ∵当x <3
2时，3－2x >0， ∴3－2x 2＋83－2x
≥2
3－2x 2·83－2x ＝4，当且仅当3－2x 2＝83－2x
，即x ＝－1
2时取等号．于是y ≤－4＋32＝－52，故函数有最大值－5
2.
10．为了改善居民的居住条件，某城建公司承包了棚户区改造工程，按合同规定在4个月内完成．若提前完成，则每提前一天可获2 000元奖金，但要追加投入费用；若延期完成，则每延期一天将被罚款5 000元．追加投入的费用按以下关系计算：6x ＋
784
x ＋3
－118(千元)，其中x 表示提前完工的天数，试问提前多少天，才能使公司获得最大附加效益？(附加效益＝所获奖金－追加费用)
[解] 设城建公司获得的附加效益为y 千元，由题意得 y ＝2x －⎝ ⎛⎭⎪⎫6x ＋784x ＋3－118＝118－⎝ ⎛⎭
⎪⎫4x ＋784x ＋3
＝118－⎣⎢⎡⎦⎥⎤
4（x ＋3）＋784x ＋3－12
＝130－⎣⎢⎡⎦⎥⎤4（x ＋3）＋784x ＋3 ≤130－2
4（x ＋3）·784
x ＋3
＝130－112＝18(千元)，
当且仅当4(x ＋3)＝784
x ＋3，即x ＝11时取等号．
所以提前11天完工，能使公司获得最大附加效益．
11．若－4<x <1，则y ＝x 2－2x ＋2
2x －2( )
A ．有最小值1
B ．有最大值1
C ．有最小值－1
D ．有最大值－1
D [y ＝x 2－2x ＋22x －2＝12⎣⎢⎡
⎦⎥⎤（x －1）＋1x －1，
又∵－4<x <1，∴x －1<0.∴－(x －1)>0. 故y ＝－12⎣⎢⎡⎦⎥⎤
－（x －1）＋1－（x －1）≤－1.
当且仅当x －1＝
1
x －1
，即x ＝0时等号成立．故选D.] 12．已知x >0，y >0，且2x ＋1
y ＝1，若x ＋2y >m 2恒成立，则实数m 的取值范围是( )
A ．m ≤－22或m ≥2 2
B ．m ≤－4或m ≥2
C ．－2＜m ＜4
D ．－22＜m ＜22
D [∵x >0，y >0且2x ＋1
y ＝1， ∴x ＋2y ＝(x ＋2y )⎝ ⎛⎭⎪⎫
2x ＋1y ＝4＋4y x ＋x y
≥4＋2
4y x ·x y ＝8，当且仅当4y x ＝x y ，
即x ＝4，y ＝2时取等号，
∴(x ＋2y )min ＝8，要使x ＋2y >m 2恒成立，。