上海浦东区2015-2016学年度高一第二学期期中联考数学试题及答案
上海浦东区2015-2016学年度高一第二学期期中联考数学试题和答案
2016学年度上海市重点中学高一数学联考试题（满分100分 考试时间90分钟） 1．求值：52log 35________.+=2. 已知函数2()1(2)f x x x =-≤-，则1(4)_________.f -=3. 与83π-终边相同的最小正角是_______________. 4. 已知sin cos 0αα<，则α是第__________象限角. 5. 已知a =2log 3，则18log 32用a 表示为 .6. 若1log 14a<，则a 的取值范围是____________________. 7. 函数12)(2++=ax x x f 在]2,1[- 上不存在．．．反函数，则实数a 的取值范围为 .8. 若53,42ππα⎛⎫∈⎪⎝⎭_______________.= 9. 设函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当(0,)x ∈+∞时，()lg ,f x x =则满足()0f x >的x 的取值范围是 .10、若342sin ,cos ,,552a a a a παααπ--==<<++则____________.a = 11、已知函数)1,0(),3(log ≠>-=a a ax y a 在]1,0[上单调递减，则实数a 的取值范围为 。
12. 已知角α终边上一点(,4)P t -，若cos 5tα=，则tan ____________.α=二、选择题（本大题4小题，每小题3分，共12分） 13. “1sin 2α=-”是“56πα=-”的（ ） A .充分非必要条件 .B 必要非充分条件 .C 充要条件 .D 既非充分又非必要条件14、若函数22log (43)y kx kx =++的定义域为R ，则k 的取值范围是 （ ）A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛43,0 B ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡43,0C ． ⎪⎭⎫⎢⎣⎡43,0D ．⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞-∞,43]0,(15. 将2(0,1)ba N a a =>≠转化为对数形式，其中错误的是（ ）.A 1log 2a b N = .B 2log a b N = .C log 2b a N = .D log 2a Nb =16. 已知函数(1)()l o g (2)()n f n n n *+=+∈N ，若存在正整数k 满足：(1)(2)(3)f ff f n k ⋅⋅⋅⋅=，那么我们把k 叫做关于n 的“对整数”，则当[1,10]n ∈时，“对整数”共有（ ）（A ）1个 （B ）2个 （C ）4个 （D ）8个三、解答题（本大题共5小题，满分52分） 17.（本小题满分8分）解方程：22log (95)log (32)2x x-=-+18.（每小题各4分，满分8分） 已知tan 2α=-，求下列各式的值. （1）4sin 3cos 2sin cos αααα+- （2）224sin 3cos αα+19. （本小题满分10分） 已知()()1sin cos 5παπα++-=，且2παπ<<，求tan(2).πα-20. （第一小题4分，第二小题6分，满分10分） 已知扇形AOB 的周长为8 cm.(1)若这个扇形的面积为3 cm 2，求圆心角的大小；(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB （保留三角比）..21. （第一小题4分，第二小题3分，第三小题6分，第四小题3分，满分16分） 已知函数1()log (0,1)1a mxf x a a x -=>≠-是奇函数. （1）求m 的值； （2）求()f x 的反函数1()fx -；（3）讨论()f x 的单调性，并用定义证明；（4）当()f x 定义域区间为()1,2a -时，()f x 的值域为()1,+∞，求a 的值.2016学年度第二学期高一数学联考试题参考答案（满分100分 考试时间90分钟）一、填空题（本大题12小题，每小题3分，共36分） 1．求值：52log 35+= 75 2. 已知函数2()1(2)f x x x =-≤-，则1(4)f -=3. 与83π-终边相同的最小正角是43π4. 已知sin cos 0αα<，则α是第_二或四__象限角.5. 已知a =2log 3，则18log 32用a 表示为25a a+.6. 若1log 14a <，则a 的取值范围是()10,1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭7. 函数12)(2++=ax x x f 在]2,1[- 上不存在．．．反函数，则实数a 的取值范围为()2,1- 8. 若53,42ππα⎛⎫∈⎪⎝⎭=cos sin αα- 9. 设函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当(0,)x ∈+∞时，()lg ,f x x =则满足()0f x ≥的x 的取值范围是[][)1,01,-+∞10、若342sin ,cos ,,552a a a a παααπ--==<<++则a = 8 11、已知函数)1,0(),3(log ≠>-=a a ax y a 在]1,0[上单调递减，则实数a 的取值范围为()1,312. 已知角α终边上一点(,4)P t -，若cos 5tα=，则tan α=4330433t t t ⎧-=⎪⎪=⎨⎪⎪=-⎩不存在二、选择题（本大题4小题，每小题3分，共12分）13. “1sin 2α=-”是“56πα=-”的（ B ） A .充分非必要条件 .B 必要非充分条件 .C 充要条件 .D 既非充分又非必要条件14、若函数22log (43)y kx kx =++的定义域为R ，则k 的取值范围是 （ C ）A ．⎪⎭⎫⎝⎛43,0 B ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡43,0C ． ⎪⎭⎫⎢⎣⎡43,0D ．⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞-∞,43]0,(15. 将2(0,1)ba N a a =>≠转化为对数形式，其中错误的是（ D ）.A 1log 2a b N = .B 2log a b N = .C log 2b a N = .D log 2a Nb =16. 已知函数(1)()l o g (2)()n f n n n *+=+∈N ，若存在正整数k 满足：(1)(2)(3)f f f f n k ⋅⋅⋅⋅=，那么我们把k 叫做关于n 的“对整数”，则当[1,10]n ∈时，“对整数”共有（ B ）（A ）1个 （B ）2个 （C ）4个 （D ）8个三、解答题（本大题共5小题，满分52分） 17.（本小题满分8分）解方程：22log (95)log (32)2x x-=-+解：954(32)x x-=-————————2分 ()234330x x-⋅+=———————2分 313xx==或301x x ∴==或——————————2分 经检验0x =是增根，舍去—————1分 ∴原方程的解是1x =————————1分18.（每小题各4分，满分8分） 已知tan 2α=-，求下列各式的值.（1）4sin 3cos 2sin cos αααα+- （2）224sin 3cos αα+解：（1）原式=4tan 322tan 1αα+------分 （2）原式=22224sin 3cos 2sin cos αααα+--------+分=12---------分 =224tan 31tan 1αα+--------+分 =1915---------分（不同解法相应给分） 19. （本小题满分10分）已知()()1sin cos 5παπα++-=，且2παπ<<，求tan(2).πα- 解：由已知得1sin cos 5αα+=--------------------------------2分两边平方得：242sin cos 25αα=-----------------------------2分3222ππαπαπ<<∴<<cos 0sin αα∴>>----------------------------------------------2分14sin cos sin 552432sin cos cos 255αααααα⎧⎧+=-=-⎪⎪⎪⎪∴⇒⎨⎨⎪⎪=-=⎪⎪⎩⎩---------------------2分4tan(2)tan 3παα-=-=------------------------------------------2分（不同解法相应给分）20. （第一小题4分，第二小题6分，满分10分） 已知扇形AOB 的周长为8 cm.(1)若这个扇形的面积为3 cm 2，求圆心角的大小；(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB （保留三角比）. 解：（1）设扇形的半径为r ，弧长为l ---------------------------1分281313232r l r r l l lr +=⎧==⎧⎧⎪⇒⎨⎨⎨===⎩⎩⎪⎩或-------------------------2分233αα∴==圆心角或----------------------------------1分（2）21112242442r l S lr r l +⎛⎫==⋅⋅≤⋅= ⎪⎝⎭-------------------2分当且仅当2r l =时，等号成立-------------------------------1分 max 2,4,4,r l S α∴===当时此时=2-------------------1分 4sin1AB ∴=----------------------------------------------------2分（其他方法相应给分）21. （第一小题4分，第二小题3分，第三小题6分，第四小题3分，满分16分） 已知函数1()log (0,1)1a mxf x a a x -=>≠-是奇函数. （1）求m 的值； （2）求()f x 的反函数1()fx -；（3）讨论()f x 的单调性，并用定义证明；（4）当()f x 定义域区间为()1,2a -时，()f x 的值域为()1,+∞，求a 的值.解：（1）222111()()log log log 0111aa a mx mx m x f x f x x x x+---+=+==--------------2分 对定义域内的任意x 恒成立 ()2222211,101m x m x x-∴=-=-即 解得1m =±，经检验1m =----------------------------------------------------------2分（2）111log 111y ya y x x a y a x x x a +++=⇒=⇒=---()0y ≠-------------------------2分 11()(0,0,1)1x xa f x x a a a -+∴=≠>≠-----------------------------------------1分（3）由（1）可知函数()f x 的定义域为()(),11,-∞-+∞--------------------1分设12121(),111x g x x x x x x +=<<-<<-任取或 2112122()()()0(1)(1)x x g x g x x x --=>-- 12()()g x g x ∴>所以，函数()()1(),11,1x g x x +=-∞-+∞-在或上单调递减-----------------3分所以当()()1(),11,a f x >-∞-+∞时，在和上单调递减当01a <<时，()()(),11,f x -∞-+∞在和上单调递增.------------------2分 （4）123x a a <<-∴> ()()1,2f x a ∴-由(3)可知在上单调递减--------------------------------------1分21(2)1,l o g 1,410,232a a f a a a a a -∴-==-+=∴-即化简得分。
【经典】上海市上海中学2015学年高一数学第二学期期中考试试卷
6
则：
数列： 1， 2， 2，3， 3， 3， 4， 4， 4， 4， ????????????的??前? 100 项的和是
答 9、已知 4 sin
2 cos
5cos sin
2
，则
7
2
sin
2
4sin cos 2 cos 的值为
10 、 一元二次方程 mx 2 (2m 3) x m 2 0 的两根为 tan , tan ,则 tan(
）
A5
B-
2
C-
5
D-
4
6
3
6
3
12、若 -
2
0, 则（ cot , cos ) 在（
）
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2 cos
5cos sin
2
，则
7
2
sin
2
4sin cos 2 cos 的值为
10 、 一元二次方程 mx 2 (2m 3) x m 2 0 的两根为 tan , tan ,则 tan(
. ；
) 的最小值
为
；
二、选择题（有 10 小题，每小题 4 分，共计 40 分）
题 11、下列各角与 120 0 角终边重合的是 （
； ；
4、对数 log 4x（ 9x -2）的值恒为正数，则 x 的取值范围为 ____________
；
内
5、方程 4 x 6 2 x 16 0 的解为
；
不 6、 半径为 r 的圆内有一条弦 AB，长度为 2 r , 则弦 AB 所对的弧长等于
；
7、点 P（ 2a, 3a)(a 0) 是角 终边上的一点，则 sin 的值为
；
内
上海浦东区2015年度-2016年度学年度高一第二学期期中联考数学试题和规范标准答案
2016学年度上海市重点中学高一数学联考试题（满分100分 考试时间90分钟） 1．求值：52log 35________.+=2. 已知函数2()1(2)f x x x =-≤-，则1(4)_________.f -=3. 与83π-终边相同的最小正角是_______________. 4. 已知sin cos 0αα<，则α是第__________象限角. 5. 已知a =2log 3，则18log 32用a 表示为 .6. 若1log 14a<，则a 的取值范围是____________________. 7. 函数12)(2++=ax x x f 在]2,1[- 上不存在．．．反函数，则实数a 的取值范围为 .8. 若53,42ππα⎛⎫∈⎪⎝⎭_______________.= 9. 设函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当(0,)x ∈+∞时，()lg ,f x x =则满足()0f x >的x 的取值范围是 .10、若342sin ,cos ,,552a a a a παααπ--==<<++则____________.a = 11、已知函数)1,0(),3(log ≠>-=a a ax y a 在]1,0[上单调递减，则实数a 的取值范围为 。
12. 已知角α终边上一点(,4)P t -，若cos 5tα=，则tan ____________.α=二、选择题（本大题4小题，每小题3分，共12分） 13. “1sin 2α=-”是“56πα=-”的（ ）A .充分非必要条件 .B 必要非充分条件 .C 充要条件 .D 既非充分又非必要条件14、若函数22log (43)y kx kx =++的定义域为R ，则k 的取值范围是（ ）A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛43,0 B ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡43,0C ． ⎪⎭⎫⎢⎣⎡43,0D ．⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞-∞,43]0,(Y15. 将2(0,1)baN a a =>≠转化为对数形式，其中错误的是（ ）.A 1log 2a b N = .B 2log a b N = .C log 2b a N = .D log 2a Nb =16. 已知函数(1)()log (2)()n f n n n *+=+∈N ，若存在正整数k 满足：(1)(2)(3)()f f f f n k ⋅⋅⋅⋅=L ，那么我们把k 叫做关于n 的“对整数”，则当[1,10]n ∈时，“对整数”共有（ ）（A ）1个 （B ）2个 （C ）4个 （D ）8个三、解答题（本大题共5小题，满分52分） 17.（本小题满分8分）解方程：22log (95)log (32)2x x-=-+18.（每小题各4分，满分8分） 已知tan 2α=-，求下列各式的值. （1）4sin 3cos 2sin cos αααα+- （2）224sin 3cos αα+19. （本小题满分10分） 已知()()1sin cos 5παπα++-=，且2παπ<<，求tan(2).πα-20. （第一小题4分，第二小题6分，满分10分） 已知扇形AOB 的周长为8 cm.(1)若这个扇形的面积为3 cm 2，求圆心角的大小；(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB （保留三角比）..21. （第一小题4分，第二小题3分，第三小题6分，第四小题3分，满分16分） 已知函数1()log (0,1)1a mxf x a a x -=>≠-是奇函数. （1）求m 的值； （2）求()f x 的反函数1()fx -；（3）讨论()f x 的单调性，并用定义证明；（4）当()f x 定义域区间为()1,2a -时，()f x 的值域为()1,+∞，求a 的值.2016学年度第二学期高一数学联考试题参考答案（满分100分 考试时间90分钟）一、填空题（本大题12小题，每小题3分，共36分） 1．求值：52log 35+= 752. 已知函数2()1(2)f x x x =-≤-，则1(4)f -=3. 与83π-终边相同的最小正角是43π 4. 已知sin cos 0αα<，则α是第_二或四__象限角. 5. 已知a =2log 3，则18log 32用a 表示为25a a+. 6. 若1log 14a<，则a 的取值范围是()10,1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭U 7. 函数12)(2++=ax x x f 在]2,1[- 上不存在．．．反函数，则实数a 的取值范围为()2,1-8. 若53,42ππα⎛⎫∈⎪⎝⎭=cos sin αα- 9. 设函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当(0,)x ∈+∞时，()lg ,f x x =则满足()0f x ≥的x 的取值范围是[][)1,01,-+∞U10、若342sin ,cos ,,552a a a a παααπ--==<<++则a = 8 11、已知函数)1,0(),3(log ≠>-=a a ax y a 在]1,0[上单调递减，则实数a 的取值范围为()1,312. 已知角α终边上一点(,4)P t -，若cos 5tα=，则tan α=4330433t t t ⎧-=⎪⎪=⎨⎪⎪=-⎩不存在二、选择题（本大题4小题，每小题3分，共12分）13. “1sin 2α=-”是“56πα=-”的（ B ） A .充分非必要条件 .B 必要非充分条件 .C 充要条件 .D 既非充分又非必要条件14、若函数22log (43)y kx kx =++的定义域为R ，则k 的取值范围是 （ C ）A ．⎪⎭⎫⎝⎛43,0 B ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡43,0 C ． ⎪⎭⎫⎢⎣⎡43,0 D ．⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞-∞,43]0,(Y15. 将2(0,1)ba N a a =>≠转化为对数形式，其中错误的是（ D ）.A 1log 2a b N = .B 2log a b N = .C log 2b a N = .D log 2a Nb =16. 已知函数(1)()log (2)()n f n n n *+=+∈N ，若存在正整数k 满足：(1)(2)(3)()f f f f n k ⋅⋅⋅⋅=L ，那么我们把k 叫做关于n 的“对整数”，则当[1,10]n ∈时，“对整数”共有（ B ）（A ）1个 （B ）2个 （C ）4个 （D ）8个三、解答题（本大题共5小题，满分52分） 17.（本小题满分8分）解方程：22log (95)log (32)2x x-=-+解：954(32)xx-=-————————2分()234330x x -⋅+=———————2分313xx==或301x x ∴==或——————————2分 经检验0x =是增根，舍去—————1分 ∴原方程的解是1x =————————1分18.（每小题各4分，满分8分） 已知tan 2α=-，求下列各式的值.（1）4sin 3cos 2sin cos αααα+- （2）224sin 3cos αα+解：（1）原式=4tan 322tan 1αα+------分 （2）原式=22224sin 3cos 2sin cos αααα+--------+分=12---------分 =224tan 31tan 1αα+--------+分 =1915---------分（不同解法相应给分） 19. （本小题满分10分）已知()()1sin cos 5παπα++-=，且2παπ<<，求tan(2).πα- 解：由已知得1sin cos 5αα+=--------------------------------2分两边平方得：242sin cos 25αα=-----------------------------2分3222ππαπαπ<<∴<<Qcos 0sin αα∴>>----------------------------------------------2分14sin cos sin 552432sin cos cos 255αααααα⎧⎧+=-=-⎪⎪⎪⎪∴⇒⎨⎨⎪⎪=-=⎪⎪⎩⎩---------------------2分4tan(2)tan 3παα-=-=------------------------------------------2分（不同解法相应给分）20. （第一小题4分，第二小题6分，满分10分） 已知扇形AOB 的周长为8 cm.(1)若这个扇形的面积为3 cm 2，求圆心角的大小；(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB （保留三角比）. 解：（1）设扇形的半径为r ，弧长为l ---------------------------1分281313232r l r r l l lr +=⎧==⎧⎧⎪⇒⎨⎨⎨===⎩⎩⎪⎩或-------------------------2分233αα∴==圆心角或----------------------------------1分（2）21112242442r l S lr r l +⎛⎫==⋅⋅≤⋅= ⎪⎝⎭-------------------2分当且仅当2r l =时，等号成立-------------------------------1分 max 2,4,4,r l S α∴===当时此时=2-------------------1分4sin1AB ∴=----------------------------------------------------2分 （其他方法相应给分）21. （第一小题4分，第二小题3分，第三小题6分，第四小题3分，满分16分） 已知函数1()log (0,1)1a mxf x a a x -=>≠-是奇函数. （1）求m 的值； （2）求()f x 的反函数1()fx -；（3）讨论()f x 的单调性，并用定义证明；（4）当()f x 定义域区间为()1,2a -时，()f x 的值域为()1,+∞，求a 的值.解：（1）222111()()log log log 0111aa a mx mx m x f x f x x x x +---+=+==----Q ----------2分 对定义域内的任意x 恒成立 ()2222211,101m x m x x-∴=-=-即 解得1m =±，经检验1m =----------------------------------------------------------2分（2）111log 111y ya y x x a y a x x x a +++=⇒=⇒=---()0y ≠-------------------------2分 11()(0,0,1)1x xa f x x a a a -+∴=≠>≠-----------------------------------------1分（3）由（1）可知函数()f x 的定义域为()(),11,-∞-+∞U --------------------1分设12121(),111x g x x x x x x +=<<-<<-任取或 2112122()()()0(1)(1)x x g x g x x x --=>--Q 12()()g x g x ∴>所以，函数()()1(),11,1x g x x +=-∞-+∞-在或上单调递减-----------------3分 所以当()()1(),11,a f x >-∞-+∞时，在和上单调递减当01a <<时，()()(),11,f x -∞-+∞在和上单调递增.------------------2分（4）123x a a <<-∴>Q()()1,2f x a ∴-由(3)可知在上单调递减--------------------------------------1分21(2)1,log 1,410,22a a f a a a a a -∴-==-+=∴=+-即化简得分。
2015-2016年上海市浦东新区建平中学高一(下)期中数学试卷和答案
2015-2016学年上海市浦东新区建平中学高一（下）期中数学试卷一、填空题1．（3分）幂函数f（x）的图象过点（3，），则f（x）的解析式是．2．（3分）若角α的终边上一点P（﹣3a，4a）（a≠0），则cosα=．3．（3分）若扇形的中心角，则扇形的内切圆的面积与扇形面积之比为．4．（3分）已知点P（tanα，cosα）在第三象限，则角α的终边在第象限．5．（3分）已知，且α在第二象限角，则tanα=．6．（3分）已知，α在第二象限，则=．7．（3分）求值：=．8．（3分）已知sin（2x+）=，x∈[，]，则cos2x=．9．（3分）在△ABC中，sin2B+sinAsinC≥sin2A+sin2C，则角B的最小值是．10．（3分）△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知3acosC=2ccosA，tanA=，则B=．11．（3分）已知函数f（x）=（）x，g（x）=x，记函数h（x）=，则函数F（x）=h（x）+x﹣5所有零点的和为．12．（3分）如果满足B=45°，AC=10，BC=k的△ABC恰有一个，则实数k的取值范围是．二、选择题13．（3分）“θ=”是“sin（x+θ）=cosx”成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件14．（3分）等于（）A．cos2B．﹣cos2C．cos D．﹣cos15．（3分）△ABC中，三边长分别为、、，且x2+y2=z2，则△ABC的形状为（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．无法判断16．（3分）设函数f（x）=a x+b x﹣c x，其中c＞a＞0，a＞b＞0，若a、b、c是△ABC的三条边长，则下列结论中正确的是（）①存在x∈R+，使a x、b x、c x不能构成一个三角形的三条边②对一切x∈（﹣∞，1），都有f（x）＞0③若△ABC为钝角三角形，则存在x∈（1，2），使f（x）=0．A．①②B．①③C．②③D．①②③三、解答题17．已知α为第二象限角，化简．18．已知cosα=，cos（α﹣β）=，且0＜β＜α＜．（Ⅰ）求t an2α的值；（Ⅱ）求cosβ．19．如图，C、D是两个小区所在地，C、D到一条公路AB的垂直距离分别为CA=1km，DB=2km，AB两端之间的距离为6km．（1）如图1，某移动公司将在AB之间找一点P，在P处建造一个信号塔，使得P对A、C的张角与P对B、D的张角相等，试确定点P的位置．（2）如图2，环保部门将在AB之间找一点Q，在Q处建造一个垃圾处理厂，使得Q对C、D所张角最大，试确定点Q的位置．20．若函数f（x）定义域为R，且对任意实数x1，x2，有f（x1+x2）＜f（x1）+f（x2），则称f（x）为“V形函数”，若函数g（x）定义域为R，函数g（x）＞0对任意x∈R恒成立，且对任意实数x1，x2，有lg[g（x1+x2）]＜lg[g（x1）]+lg[g （x2）]，则称为“对数V形函数”．（1）试判断函数f（x）=x2是否为“V形函数”，并说明理由；（2）若是“对数V形函数”，求实数a的取值范围；（3）若f（x）是“V形函数”，且满足对任意x∈R，有f（x）＞2，问f（x）是否为“对数V形函数”？证明你的结论．21．（1）若直角三角形两直角边长之和为12，求其周长p的最小值；（2）若三角形有一个内角为，周长为定值p，求面积S的最大值；（3）为了研究边长a，b，c满足9≥a≥8≥b≥4≥c≥3的三角形其面积是否存在最大值，现有解法如下：16S2=（a+b+c）（a+b﹣c）（a﹣b+c）（﹣a+b+c）=[（a+b）2﹣c2][c2﹣（a﹣b）2]=﹣c4+2（a2+b2）c2﹣（a2﹣b2）2=﹣[c2﹣（a2+b2）]2+4a2b2而﹣[c2﹣（a2+b2）]2≤0，a2≤81，b2≤64，则S≤36，但是，其中等号成立的条件是c2=a2+b2，a=9，b=8，于是c2=145与3≤c≤4矛盾，所以，此三角形的面积不存在最大值．以上解答是否正确？若不正确，请你给出正确的答案．（注：16S2=（a+b+c）（a+b﹣c）（a﹣b+c）（﹣a+b+c）称为三角形面积的海伦公式，它已经被证明是正确的）2015-2016学年上海市浦东新区建平中学高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题1．（3分）幂函数f（x）的图象过点（3，），则f（x）的解析式是f（x）=．【解答】解：由题意设f（x）=x a，∵幂函数f（x）的图象过点（3，），∴f（3）=3a=∴a=∴f（x）=故答案为：f（x）=2．（3分）若角α的终边上一点P（﹣3a，4a）（a≠0），则cosα=±．【解答】解：∵角α的终边上一点P（﹣3a，4a）（a≠0），∴x=﹣3a，y=4a，当a＞0时，r=|OP|=5a，则cosα==﹣，当a＜0时，r=|OP|=﹣5a，则cosα==，故答案为：．3．（3分）若扇形的中心角，则扇形的内切圆的面积与扇形面积之比为20：3．【解答】解：设扇形的半径为R，内切圆半径为r，∵扇形的中心角，∴R﹣r=2r，∴3r=R，∴扇形的面积==内切圆面积为πr2∴扇形的内切圆的面积与扇形面积之比为2：3．故答案为：2：3．4．（3分）已知点P（tanα，cosα）在第三象限，则角α的终边在第二象限．【解答】解：因为点P（tanα，cosα）在第三象限，所以，tanα＜0，cosα＜0，则角α的终边在第二象限，故答案为：二．5．（3分）已知，且α在第二象限角，则tanα=．【解答】解：∵=sinα，且α在第二象限角，∴cosα=﹣=﹣，∴tanα==．故答案为：．6．（3分）已知，α在第二象限，则=3．【解答】解：∵已知，α在第二象限，∴cosα=﹣=﹣，∴===3，故答案为：3．7．（3分）求值：=．【解答】解：∵tan60°=tan[θ+（60°﹣θ）]==，∴tanθ+tan（60°﹣θ）=﹣tanθtan（60°﹣θ），∴=﹣tanθtan（60°﹣θ）+ tanθtan（60°﹣θ）=，故答案为：．8．（3分）已知sin（2x+）=，x∈[，]，则cos2x=．【解答】解：∵x∈[，]，∴2x+∈[，]．∵sin（2x+）=，∴cos（2x+）=﹣，∴cos2x=cos[（2x+）﹣]=cos（2x+）cos+sin（2x+）sin=﹣×+=，故答案为：．9．（3分）在△ABC中，sin2B+sinAsinC≥sin2A+sin2C，则角B的最小值是．【解答】解：∵sin2B+sinAsinC≥sin2A+sin2C，∴由正弦定理，可得：b2+ac≥a2+c2，∴a2+c2﹣b2≤ac，∴cosB=≤=，∵B∈（0，π），y=cosB在（0，π）是单调递减的，∴角B的最小值是．故答案为：．10．（3分）△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知3acosC=2ccosA，tanA=，则B=．【解答】解：∵3acosC=2ccosA，由正弦定理可得3sinAcosC=2sinCcosA，∴3tanA=2tanC，∵tanA=，∴2tanC=3×=1，解得tanC=．∴tanB=tan[π﹣（A+C）]=﹣tan（A+C）=﹣=﹣=﹣1，∵B∈（0，π），∴B=．故答案为：．11．（3分）已知函数f（x）=（）x，g（x）=x，记函数h（x）=，则函数F（x）=h（x）+x﹣5所有零点的和为5．【解答】解：∵函数f（x）=（）x，g（x）=x，关于直线y=x对称，记函数h（x）=，∴可知h（x）关于直线y=x对称．∵y=x与y=5﹣x，交点为A（2.5，2.5）∴y=5﹣x，与函数h（x）交点关于A对称，x1+x2=2×=5∴函数F（x）=h（x）+x﹣5，的零点．设h（x）与y=5﹣x交点问题，可以解决函数F（x）=h（x）+x﹣5零点问题．故函数F（x）=h（x）+x﹣5所有零点的和为5．故答案为：5．12．（3分）如果满足B=45°，AC=10，BC=k的△ABC恰有一个，则实数k的取值范围是0＜k≤10或k=10．【解答】解：△ABC中，B=45°，AC=10，BC=k，∴高CD=BCsin45°=k，当AC=CD=k=10，即k=10时，△ABC只有一个；当AC≥BC，即10≥k时，∴0＜k≤10时，△ABC只有一个；∴满足条件的k的取值范围是0＜k≤10或k=10．故答案为：0＜k≤10或k=10．二、选择题13．（3分）“θ=”是“sin（x+θ）=cosx”成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：若sin（x+θ）=cosx，则θ=+2kπ，即k∈Z，当k=0时，θ=，则“θ=”是“sin（x+θ）=cosx”成立的充分不必要条件，故选：A．14．（3分）等于（）A．cos2B．﹣cos2C．cos D．﹣cos【解答】解：==|cos2|=﹣cos2．故选：B．15．（3分）△ABC中，三边长分别为、、，且x2+y2=z2，则△ABC的形状为（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．无法判断【解答】解：由已知可得为三角形最大边，设所对的最大角为θ，∵由已知可得：x2+y2=z2，可得：z=≥，（当且仅当x=y时等号成立），又∵x+y≥2，（当且仅当x=y时等号成立），∴由余弦定理可得：cosθ==≥=1﹣＞0，∴θ为锐角．故选：A．16．（3分）设函数f（x）=a x+b x﹣c x，其中c＞a＞0，a＞b＞0，若a、b、c是△ABC的三条边长，则下列结论中正确的是（）①存在x∈R+，使a x、b x、c x不能构成一个三角形的三条边②对一切x∈（﹣∞，1），都有f（x）＞0③若△ABC为钝角三角形，则存在x∈（1，2），使f（x）=0．A．①②B．①③C．②③D．①②③【解答】解：在①中，令a=2，b=3，c=4，则a．b．c可以构成三角形，但a2=4，b2=9，c2=16却不能构成三角形，故①正确．在②中，∵a，b，c是△ABC的三条边长，∴a+b＞c，∵c＞a＞0，c＞b＞0，∴0＜＜1，0＜＜1，当x∈（﹣∞，1）时，f（x）=a x+b x﹣c x=cx[（）x+（）x﹣1]＞cx（﹣1）=cx•＞0，故②正确．在③中，∵c＞a＞0，c＞b＞0，若△ABC为钝角三角形，∴a2+b2﹣c2＜0，∵f（1）=a+b﹣c＞0，f（2）=a2+b2﹣c2＜0，∴根据根的存在性定理可知在区间（1，2）上存在零点，即x∈（1，2），使f（x）=0，故③正确．故选：D．三、解答题17．已知α为第二象限角，化简．【解答】解：∵α为第二象限角，∴原式=．18．已知cosα=，cos（α﹣β）=，且0＜β＜α＜．（Ⅰ）求tan2α的值；（Ⅱ）求cosβ．【解答】解：（Ⅰ）由cosα=，0＜α＜，得sinα===；…（2分）∴tanα==×=4，于是tan2α===﹣；…（6分）（Ⅱ）由0＜α＜β＜，得0＜α﹣β＜，…（8分）又∵cos（α﹣β）=，∴sin（α﹣β）===；…（10分）由β=α﹣（α﹣β）得：cosβ=cos[α﹣（α﹣β）]=cosαcos（α﹣β）+sinαsin（α﹣β）=×+×=．…（13分）19．如图，C、D是两个小区所在地，C、D到一条公路AB的垂直距离分别为CA=1km，DB=2km，AB两端之间的距离为6km．（1）如图1，某移动公司将在AB之间找一点P，在P处建造一个信号塔，使得P对A、C的张角与P对B、D的张角相等，试确定点P的位置．（2）如图2，环保部门将在AB之间找一点Q，在Q处建造一个垃圾处理厂，使得Q对C、D所张角最大，试确定点Q的位置．【解答】解：（1）设PA=x，∠CPA=α，∠DPB=β．依题意有，．由tanα=tanβ，得，解得x=2，故点P应选在距A点2km处；（2）设PA=x，∠CQA=α，∠DQB=β．依题意有，，tan∠CQD=tan[π﹣（α+β）]=﹣tan（α+β）=，令t=x+6，由0＜x＜6，得6＜t＜12，则=，∵，∴，当时，所张的角为钝角，当，即x=时取得最大角，故点Q应选在距A点km处．20．若函数f（x）定义域为R，且对任意实数x1，x2，有f（x1+x2）＜f（x1）+f （x2），则称f（x）为“V形函数”，若函数g（x）定义域为R，函数g（x）＞0对任意x∈R恒成立，且对任意实数x1，x2，有lg[g（x1+x2）]＜lg[g（x1）]+lg[g （x2）]，则称为“对数V形函数”．（1）试判断函数f（x）=x2是否为“V形函数”，并说明理由；（2）若是“对数V形函数”，求实数a的取值范围；（3）若f（x）是“V形函数”，且满足对任意x∈R，有f（x）＞2，问f（x）是否为“对数V形函数”？证明你的结论．【解答】解：（1）∵函数f（x）=x2，∴，，当x1、x2同号时，，不满足f（x1+x2）＜f（x1）+f（x2），∴函数f（x）=x2不是“V形函数”；（2）若是“对数V形函数”，则恒成立，∴a≥0，根据题意，g（x1+x2）＜g（x1）•g（x2）恒成立，即，去括号整理得，∴a≥1；（3）若f（x）是“V形函数”，且满足对任意x∈R，有f（x）＞2，则f（x1+x2）＜f（x1）+f（x2），∵f（x1）＞2，∴f（x1）﹣1＞1，同理f（x2）﹣1＞1，∴[f（x1）﹣1][f（x2）﹣1]＞1，去括号整理得f（x1）f（x2）＞f（x1）+f（x2），∴f（x1+x2）＜f（x1）f（x2），即lg[f（x1+x2）]＜lg[f（x1）]+lg[f（x2）]，是“对数V形函数”．21．（1）若直角三角形两直角边长之和为12，求其周长p的最小值；（2）若三角形有一个内角为，周长为定值p，求面积S的最大值；（3）为了研究边长a，b，c满足9≥a≥8≥b≥4≥c≥3的三角形其面积是否存在最大值，现有解法如下：16S2=（a+b+c）（a+b﹣c）（a﹣b+c）（﹣a+b+c）=[（a+b）2﹣c2][c2﹣（a﹣b）2]=﹣c4+2（a2+b2）c2﹣（a2﹣b2）2=﹣[c2﹣（a2+b2）]2+4a2b2而﹣[c2﹣（a2+b2）]2≤0，a2≤81，b2≤64，则S≤36，但是，其中等号成立的条件是c2=a2+b2，a=9，b=8，于是c2=145与3≤c≤4矛盾，所以，此三角形的面积不存在最大值．以上解答是否正确？若不正确，请你给出正确的答案．（注：16S2=（a+b+c）（a+b﹣c）（a﹣b+c）（﹣a+b+c）称为三角形面积的海伦公式，它已经被证明是正确的）【解答】解：（1）设直角三角形两直角边长为x、12﹣x，斜边长为y，则，∴两直角边长为6时，周长p的最小值为．（2）设三角形中边长为x、y的两边所夹的角为，则周长p=，∴，即．又S=，∴为．（3）不正确．16S2=（a+b+c）（a+b﹣c）（a﹣b+c）（﹣a+b+c）=[（b+c）2﹣a2][a2﹣（b﹣c）2]=﹣a4+2（b2+c2）a2﹣（b2﹣c2）2 =﹣[a2﹣（b2+c2）]2+4b2c2而﹣[a2﹣（b2+c2）]2≤0，b2≤64，c2≤16，则S≤16，其中等号成立的条件是a2=b2+c2，b=8，c=4，则．∴当三角形的边长为的直角三角形时，其面积取得最大值16．（另解：）。
上海市2015_2016学年高一数学下学期期中试题(含答案)
上海市2015-2016学年高一下学期期中考试数学试题（考试时间：90分钟 满分：100分 ）一、填空题（本大题共12小题，满分36分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分. 1． 若2016α=︒，则α在第__________象限．2． 已知扇形所在圆的半径为8，弧长为16，则其圆心角的弧度数为________．3． 已知tan 2α=，则sin cos sin 2cos αααα-=+____________．4． 已知54cos ),,2(-=∈θππθ，则=2sin θ___________．5． 在ABC ∆中，若cos cos a B b A =，则ABC ∆的形状一定是_____________三角形.6． 已知函数()sin()(00)2f x A x x A ωϕωϕπ=+∈>><R ，，，的图像（部分）如图所示，则()f x 的解析式是_____________． 7．已知函数()2sin()(0)3f x x πϖϖ=+>的最小正周期为π，则方程()1f x =在(0,]π上的解集为___________．8． 设锐角βα、满足sin ,cos 510αβ==，则αβ+=__________．9. 函数cos2sin ,[0,]y x x x π=+∈的最大值是___________． 10． 设cos x α=,且3[,]44ππα∈-，则arcsin x 的取值范围是____________． 11． 某班设计了一个“水滴状”班徽（如图），徽章由等腰三角形ABC ，及以弦BC 和劣弧BC所围成的弓形所组成，劣弧BC 所在的圆为三角形的外接圆，若,(0,)2A παα∠=∈，外接圆半径为1，则该图形的面积为____________．12．对于函数)(x f ，在使M x f ≥)(成立的所有常数M 中，我们把M 的最大值称为函数)(x f 的“下确界”，则函数x x x x x f csc csc sin sin )(22-+-=的“下确界”为第11题___________．二、选择题（本大题共有4小题，满分12分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上将代表答案的小方格涂黑，选对得3分，否则一律得零分.13．已知函数22()cos sin f x x x =-，下列结论错误的是………………………… ( )A ．()cos 2f x x =B ．函数()f x 的图像关于直线0x =对称C ．()f x 的最小正周期为πD ．的对称中心为(,0),k k Z π∈14．在ABC ∆中，3,2,3a c B π===，则=b …………………………………… ( )15．已知m x =-)6cos(π，则=-+)3c o s (c o s πx x……………………………… ( )A.m 2B ．m 2±C ．m 3D ．m 3±16．将函数x x f 2sin )(=的图像向右平移(0)2πφφ<<个单位后得到函数()g x 的图像．若对满足12|()()|2f x g x -=的12x x 、，有12min ||3x x π-=，则φ= ………………( ) A.512π B. 3π C. 4π D. 6π 三、解答题（本大题共5题，满分52分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17．（本题满分8分）已知2)2tan(=+απ，求)2cos(απ+的值．18．（本题满分10分）本题有2个小题，第一小题满分5分，第二小题满分5分.已知函数x x x x f 2cos 3cos sin 2)(-=．（1）求)(x f 的最小正周期和单调递增区间； （2）当]2,0[π∈x 时，求函数)(x f 的最大值和最小值．19．（本题满分10分）本题有2个小题，第一小题满分4分，第二小题满分6分.如图，A B 、是单位圆O 上的动点，C 是圆与x 轴正半轴的交点，设COA α∠=． （1）当点A 的坐标为)54,53(时，求αα2cos 12sin +的值；（2）若30πα≤≤且当点A B 、在圆上沿逆时针方向移动时，总有3AOB π∠=，试求BC 的取值范围．20．（本题满分12分）本题有2个小题，第一小题满分6分，第二小题满分6分.如图，在ABC ∆中，点D 在BC 边上，7,42CAD AC π∠==，cos 10ADB ∠=-．C第19题（1）求sin C 的值；（2）若5BD =,求ABD ∆的面积．21．（本题满分12分）本题有2个小题，第一小题满分6分，第二小题满分6分.如图，某污水处理厂要在一个矩形污水处理池()ABCD 的池底水平铺设污水净化管道(,Rt FHE H ∆是直角顶点）来处理污水，管道越长，污水净化效果越好．设计要求管道的接口H 是AB 的中点，E F 、分别落在线段BC AD 、上．已知20AB =米，AD =BHE θ∠=．（1）试将污水净化管道的长度L 表示为θ的函数，并写出定义域； （2）当θ取何值时，污水净化效果最好？并求出此时管道的长度．第21题金山中学2015学年度第二学期高一年级数学学科期中考试卷（考试时间：90分钟 满分：100分 命题人：刘雪孝 审核人：龚伟杰）一、填空题（本大题共12小题，满分36分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分. 1． 若2016α=︒，则α在第_____三_____象限．2． 已知扇形所在圆的半径为8，弧长为16，则其圆心角的弧度数为____2_____． 3． 已知tan 2α=，则sin cos sin 2cos αααα-=+______41______．4． 已知54cos ),,2(-=∈θππθ，则=2sin θ____10103_______． 5． 在ABC ∆中，若cos cos a B b A =，则ABC ∆的形状一定是_____等腰_____三角形.6．已知函数()sin()(00)2f x A x x A ωϕωϕπ=+∈>><R ，，，的图像（部分）如图所示，则()f x 的解析式是___()2sin()6f x x π=π+_________．7．已知函数()2sin()(0)3f x x πϖϖ=+>的最小正周期为π，则方程()1f x =在(0,]π上的解集为___11{,}412ππ_____．8．设锐角βα、满足sin ,cos 510αβ==，则αβ+=_____4π_____． 9. 函数cos2sin ,[0,]y x x x π=+∈的最大值是___89_____．10．设cos x α=,且3[,]44ππα∈-，则arcsin x 的取值范围是_____]2,4[ππ-_______．11．某班设计了一个“水滴状”班徽（如图），徽章由等腰三角形ABC ，及以弦BC 和劣弧BC所围成的弓形所组成，劣弧BC 所在的圆为三角形的外接圆，若,(0,)2A παα∠=∈，外接圆半径为1，则该图形的面积为______sin αα+______．12．对于函数)(x f ，在使M x f ≥)(成立的所有常数M 中，我们把M 的最大值称为函数)(x f 的“下确界”，则函数x x x x x f csc csc sin sin )(22-+-=的“下确界”为____0____．第11题二、选择题（本大题共有4小题，满分12分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上将代表答案的小方格涂黑，选对得3分，否则一律得零分.13．已知函数22()cos sin f x x x =-，下列结论错误的是………………………… ( D )A ．()cos 2f x x =B ．函数()f x 的图像关于直线0x =对称C ．()f x 的最小正周期为πD ．的对称中心为(,0),k k Z π∈14．在ABC ∆中，3,2,3a c B π===，则=b …………………………………… ( D )15．已知m x =-)6cos(π，则=-+)3c o s (c o s πx x ……………………………… ( C )A.m 2B ．m 2±C ．m 3D ．m 3±16．将函数x x f 2sin )(=的图像向右平移(0)2πφφ<<个单位后得到函数()g x 的图像．若对满足12|()()|2f x g x -=的12x x 、，有12min ||3x x π-=，则φ=………………( D ) A.512π B. 3π C. 4π D. 6π 三、解答题（本大题共5题，满分52分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17．（本题满分8分）已知2)2tan(=+απ，求)2cos(απ+的值．解：54)2cos(-=+απ18．（本题满分10分）本题有2个小题，第一小题满分5分，第二小题满分5分.已知函数x x x x f 2cos 3cos sin 2)(-=． （1）求)(x f 的最小正周期和单调递增区间； （2）当]2,0[π∈x 时，求函数)(x f 的最大值和最小值．解：)32sin(2)(π-=x x f（1）π=T ，单调递增区间Z k k k ∈+-],125,12[ππππ ………………5分 （2）当125π=x 时，2)(max =x f ；当0=x 时，3)(min -=x f ………………5分 19．（本题满分10分）本题有2个小题，第一小题满分4分，第二小题满分6分.如图，A B 、是单位圆O 上的动点，C 是圆与x 轴正半轴的交点，设COA α∠=． （1）当点A 的坐标为)54,53(时，求αα2cos 12sin +的值；（2）若30πα≤≤且当点A B 、在圆上沿逆时针方向移动时，总有3AOB π∠=，试求BC 的取值范围．解：（1）34tan 2cos 12sin ==+ααα ………………4分 （2）∵B （cos （α+），sin （α+）），C （1，0），∴|BC|2=[cos （α+）﹣1]2+sin 2（α+）=2﹣2cos （α+），∵0≤α≤，∴≤α+≤，∴﹣≤cos（α+）≤， ∴1≤2﹣2cos （α+）≤3，∴1≤|BC|≤． ………………10分20．（本题满分12分）本题有2个小题，第一小题满分6分，第二小题满分6分.如图，在ABC ∆中，点D 在BC 边上，7,42CAD AC π∠==，cos 10ADB ∠=-． （1）求sin C 的值；（2）若5BD =,求ABD ∆的面积．解：（1）因为c o s ADB ∠=，所以sin ADB ∠=第20题C第19题又因为4CAD π∠=，所以4C ADB π∠=∠-．所以sin sin()sin cos cos sin 444C ADB ADB ADB πππ∠=∠-=∠⋅-∠⋅45==． ………………………6分 （2）在ACD ∆中，由ADCACC AD ∠=∠sin sin，得74sin sin AC C AD ADC ⋅⋅∠===∠．所以11sin 572210ABD S AD BD ADB ∆=⋅⋅∠=⋅⋅=． …………………12分 21．（本题满分12分）本题有2个小题，第一小题满分6分，第二小题满分6分.如图，某污水处理厂要在一个矩形污水处理池()ABCD 的池底水平铺设污水净化管道(,Rt FHE H ∆是直角顶点）来处理污水，管道越长，污水净化效果越好．设计要求管道的接口H 是AB 的中点，E F 、分别落在线段BC AD 、上．已知20AB =米，AD =BHE θ∠=．（1）试将污水净化管道的长度L 表示为θ的函数，并写出定义域； （2）当θ取何值时，污水净化效果最好？并求出此时管道的长度． 解：（1）由题意可得EH=，FH=，EF=，由于 BE=10tan θ≤10，AF=≤10，而且≤tan θ≤，θ∈[，]，∴L=++，θ∈[，]． 即L=10×，θ∈[，]． ………………………6分（2）设sin θ+cos θ=t ，则 sin θcos θ=，由于θ∈[，]，∴sin θ+cos θ=t=sin （θ+）∈[，]．由于L=在[，]上是单调减函数，∴当t=时，即 θ=或θ=时，L取得最大值为 20（+1）米． ………………………6分第21题。
上海中学2015-2016学年高一下学期期末数学试卷Word版含解析
22015-2016学年上海中学高一（下）期末数学试卷3. 若数列｛a n ｝为等差数列•且满足 a 2+a 4+a 7+a ii =44,贝U a 3+a 5+a io = _____1l+a n 4. --------------------------------------------------------- 设数列｛a n ｝满足：a i =77, a n+i = ( n 》1),贝U a 20i6= ----------------------------------------------------------- .2L_an —n *5. 已知数列｛a n ｝满足：3n =n?3 ( n € N ),则此数列前n 项和为S n=_6. _________________________________________________________ 已知数列｛ a n ｝满足：a i =3,a n +i =9?哥彳(n > 1),则芒™ a n = ____________________________________ .8等比数列｛a n ｝, a i =3—5,前8项的几何平均为9,则a 3=1 2n -1S n =f ( —) +f ( )+••+() , n=2 , 3 ,…，贝U S n = n nn '10 设x 1, X 2是方程 x 2 — xsin 色殳+cos 里匸=0的两个根，则 arctanx 1+arctanx 2的值为.5 511.已知数列｛a n ｝的前n 项和为S n , a n = 厂_.「一―「，则S 2016= __ .12. 设正数数列｛a n ｝的前n 项和为b n ,数列｛b n ｝的前n 项之积为5,且b n +5=1,则数列｛的前n 项和S n 中大于2016的最小项为第 ________ 项.、选择题.“(n+1) (n+2) ?…？( n+n ) =2n ?1?3?…？(2n - 1) ”，当 n 从 k 到 k+1)2.' =缶―3)&+1)7•等差数列｛a n ｝, ｛b n ｝的前n 项和分别为 S n ,4却 9.定义在R 上的函数f （x ）=4z +213.用数学归纳法证明 左端需增乘的代数式为一、填空题+arctan (— ：~) = __T n , 若2V5 - 1V5+1v qv —:—2M2A . 2k+1B . 2 (2k+1)2k+l k+1 2k+3 k+114. 一个三角形的三边成等比数列，则公比q 的范围是（）D . q V 亠或q >苗卡］~215•等差数列｛a n ｝中，a s <0，且a 6>0，且a 6>| a s | , S n 是其前n 项和，则下列判断正确的是 ( ) A • S i , S 2, S 3均小于 0, S 4, S 5, S 6,…均大于 0 B • S i , S 2,…，S 5均小于0, S s , S 7,…均大于0 C • S i , S 2,…S9均小于0, S io , S 11,…均大于0 D • S i , S 2,…，Sn 均小于0, S 12, S 13,…均大于016.若数列｛ a n ｝的通项公式是 即= ------ L -------- v- 一:一2 -------- 厶 ----- L , n=1, 2,…，贝y -:A . 24B 'C •'D •17.已知-2016 p |R-=，那么(sin 0+2)A . 9B8C . 12D .不确定 18已知 f (n) = (2n+7) ?3n +9，存在自然数 则最大的m 的值为( ) A .30B.26 C . 36 D . 6m ,使得对任意n € N *，都能使m 整除f ( n ),19. 20•式. 2 2 2 2 2 2 2+n + (n — 1) +・・+3 + 2 +1 = . n (2n +1)2已知数列｛a n ｝满足a i =i ，其前n 项和是S n 对任意正整数n , S n =n a n ,求此数列的通项公用数学归纳法证明: 2 2 21 +2 +3 +••+ ( n — 1)已知方程 cos2x+ . sin2x=k + 1.7T(1) k 为何值时，方程在区间［0,可］内有两个相异的解a, B2(a i +a 2+・・+a n )等于( )(cos 0+1)的值为()(2)当方程在区间［0，^—］内有两个相异的解 a, B 时，求a +B 的值.22.设数列｛a n ｝满足 a i =2, a 2=6, a n +2=2a n +i — a n +1 ( n € N* ).(1) 证明：数列｛a n +i — c h ｝是等差数列；11 1(2)求： ++••+二 .a l a2 ^OIS1 求 ｛a n ｝ , ｛b n ｝的通项.24.已知数列｛a n ｝是等比数列，且 a 2=4, a 5=32，数列｛b n ｝满足：对于任意n € N* ,有 n +i a i b i +a 2b 2+・・+a n b n = (n — 1) ?2 + +2. (1) 求数列｛a n ｝的通项公式；(2) 若数列｛d n ｝满足：d i =6, d n ?d n +i =6a?(-号)b » (a > 0),设 T n =d i d 2d 3・・d n (n € N* ), 当且仅当n=8时，T n 取得最大值，求a 的取值范围.23 .数列｛ a n ｝ , ｛ bn ｝满足*an+l_bn +l-a - 2b n，且 a i =2, b i =4.2 lin.■— 5n 2-2(n- 3) Cn+1) 【考点】【分数列的极限.利用数列的极限的运算法则化简求解即可.【解答】c- 2 5七门~~3_1饰2 = lim(n-3)Cn+1) n ^n 2-2n-3i □ n 25-0==5l-o-o 5.故答案为：5.3 .若数列｛a n ｝为等差数列•且满足 a 2+a 4+a 7+a ii =44,贝a 3+a 5+a io = 33 .【考点】等差数列的性质.【分析】利用等差数列的通项公式即可得出. 【解答】解：设等差数列｛a n ｝的公差为d ,a 2+a 4+a 7+a ii =44=4a i +20d ,a 1+5d=11. 则 a 3+a 5+a io =3a i +15d=3 (a i +5d ) =33. 故答案为：33. 、卄 14.设数列｛a n ｝满足：a 1^, a n+1= [ _ &(n 》1),贝U a 2016=_22015-2016学年上海中学高一(下)期末数学试卷参考答案与试题解析、填空题1 . arcs in (— ) +arccos (2反三角函数的运用. 利用反三角函数的定义和性质，求得要求式子的值.(— 一)+arccos (― 丄2) +arctan (― *) = — arcsin (一) + n — arccos — 2 2 2 2【考点】 【解答】解：arcsinarcta n 「 n=— + (故答案为: 71n — 一)6 7T+arctan (— :_)=—数列递推式.通过计算出前几项的值确定周期，进而计算可得结论.1+ai 1+4" 解：依题意，a 2=' = =3，I 一巧 丄，2i+ 14【考点】【分【解答】 1+引 1+3 a 3=1-3-2,1+a3 1-2 a4=幻1+2•••数列｛a n ｝是以4为周期的周期数列, 又••• 2016=504 X 4, 二 a 2016=a 4=2 , 故答案为：2.5.已知数列｛ a n ｝满足：a n =n?3n (n € N *),则此数列前n 项和为S n = ——:—?3n+1+—44【考点】数列的求和.【分析】利用错位相减法”与等比数列的前n 项和公式即可得出. 【解答】解：T a n =n?3n ,则此数列的前n 项和S n =3+2 X 32+3X 33+・・+ n?3n ,• 3S n =32+2X 33+・・+ (n - 1) ?3n +n?3n+1,•- 2S n =3+32+33+“3n - n ?3叫- n ?3叫(-n) F -；，6.已知数列｛ a n ｝满足：a 1=3, a n +1=9? (n > 1),则..,a n = 27 .【考点】数列的极限. 【分析】把已知数列递推式两边取常用对数，然后构造等比数列，求出数列 ｛a n ｝的通项公式,则极限可求.【解答】解：由a n +1=9?- (n 》1)，得 二:“二故答案为：-?3n +1+ .4 44Sn = ?3即.--..-令 b n =lga n ,则話呂F 曲，I ：• 一」 1 ''，则数列｛g - 3lg3｝是以S- 3lg3=lga 1 - 3lg3= - 2lg3为首项，以_为公比的等比数列,3••• \一 二］「一门「上：即学- • 工-厶一… ， 则 1饰 31S 3-21g3^|)'-1 3lg3 lg27 “则、-a n ==10 =10 =27 -故答案为：27.【考点】等差数列的性质.【分析】由｛a n ｝ ,｛b n ｝为等差数列，且其前n 项和满足若」=—，设S n =kn x 2n ,T n =k n( 3n +1) T n 3n+l (k 工0),则利用递推关系可得：当 n 》2时，a n =S n — S n -1；当n 》2时，b n =T n — T n - 1 •代入即可得出.【解答】解：••• ｛a n ｝ , ｛b n ｝为等差数列，且其前 n 项和满足若•=.牛1 ’ Jn+1•••设 S n =kn x 2n , T n =kn (3n+1) (k z 0),则 当 n > 2 时，a n =S n - S n -1=4kn — 2k ； 当 n > 2 时，b n =T n - T n - 1=6kn - 2k .且 5 20k _ 2k g 「=" ：l =. ”，故答案为:5 i8等比数列｛a n ｝, a 1=3-5,前8项的几何平均为9,则a 3=—【考点】等比数列的性质.【分析】设等比数列｛a n ｝的公比为q ，由题意列式求得 q ,代入等比数列的通项公式得答案. 【解答】解：设等比数列｛a n ｝的公比为q ，由题意，… 二二；7 •等差数列｛a n ｝, ｛b n ｝的前n 项和分别为 S n , T n ,若二，则…9 tf5 ，口 3兀 3兀 可得 X 1+X 2 =sin --, x i ?X 2=cos故 x 1> x 2均大于零，故 arctanx [+arctanx 2€( 0, n),丄 蛰”w 匹9」(“％ 2(1+7) X7 1)兀9,得-5-a i =3,1■J •—「，则 q=9,3"5…二，疔]'■ ? 1'严9.定义在R 上的函数f ( x )= —— S n =f(□),n=2, 3,…，则 S n =2n - 2【考数列的求和.【分析】由已知得 f (x ) +f (1 - x ) =4, 由此能求出 S n =f (')n+f 「)+-+f (」)的值.nn【解答】解：••• f (x ),.f (1 - X )=：—…,4宀+2 4+2 X 4Z 4 +2/• f (x ) +f (1 - x ) =4,二 Sn =f (二)+f () n nn _1=4 X -------- =2n — 2. 2故答案为：2n — 2.+ ・・+fn- 1 ( ) n10 .设X 1, X 2是方程 x 23 "jx 3 丿 i 31 xsin 、_ +cos =0 的两个根，贝V arctanX [+arctanx 2 的值为 — 5 5【考点】 反三角函数的运用. 【分析】求得tan 【解答】3JT 3 Jt 由条件利用韦达定理求得 X 1+X 2 =sin 一 , X 1?X 2=cos ，再利用两角和的正切公式(arctanx^arctanx 2) 的值，可得 arctanx^arctanx 2 的值. 解：由 x 1> x 2是方程 X 2— xs in —二+cos “ =0的两根， 5 52故答案为:1+12购 一 ｛込 01T■ 3S1IT7-几o 1T 貸=cot ' n =ta n （—n ）, 宀一8再兀1。
2015-2016学年上海市浦东新区高一(下)期中数学试卷 (解析版)
2015-2016学年上海市浦东新区高一（下）期中数学试卷一、填空题（共12小题）.1．（3分）若对数函数y ＝log a x 的图象过点（9，2），则a ＝ ． 2．（3分）若角θ满足sin θ＜0且cos θ＞0，则角θ在第 象限． 3．（3分）计算：log 3275+log 32﹣log 365= ．4．（3分）半径r ＝1的圆内有一条弦AB ，长度为√3，则弦AB 所对的劣弧长等于 ． 5．（3分）已知α是锐角，则log cosα(1+tan 2α)= ． 6．（3分）化简：cos(3π−θ)cot(π+θ)tan(−θ)sin(π−θ)cot(3π−θ)= ．7．（3分）函数f （x ）＝log a （4﹣x 2）在区间[0，2）上单调递增，则实数a 取值范围为 ． 8．（3分）已知tan α＝3，则sinα+cosαsinα−cosα= ．9．（3分）函数y ＝x 2+1（x ≤﹣2）的反函数为 ． 10．（3分）方程2（log 3x ）2+log 3x ﹣3＝0的解是 ．11．（3分）已知角α的终边上一点P （x ，1），且sin α=13，则x ＝ ．12．（3分）已知θ∈[0，π），集合A ＝{sin θ，1}，B ＝{12，cos θ}，A ∩B ≠∅，那么θ＝ ．二、选择题（本大题满分12分）本大题共有4题，每题都给出代号为A 、B 、C 、D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，每题答对得3分，否则一律得零分． 13．（3分）“x ＝2k π+π4（k ∈Z ）”是“tan x ＝1”成立的（ ） A ．充分不必要条件． B ．必要不充分条件． C ．充要条件．D ．既不充分也不必要条件．14．（3分）已知k ∈Z ，角的终边只落在y 轴正半轴上的角是（ ） A ．kπ2B ．k π+π2C ．2k π+π2D ．2k π−π215．（3分）为了得到函数y ＝lg x+310的图象，只需把函数y ＝lgx 的图象上所有的点（ ）A ．向左平移3，向上平移1个单位B ．向右平移3，向上平移1个单位C ．向左平移3，向下平移1个单位D．向右平移3，向下平移1个单位16．（3分）方程2x＝x+1的解的个数为（）A．0个B．1个C．2个D．3个三、解答题（本大题满分52分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤．17．（10分）已知cosα=−45，求sinα+tanα的值．18．（10分）如图，扇形的半径为rcm，周长为20cm，问扇形的圆心角α等于多少弧度时，这个扇形的面积最大，并求出扇形面积的最大值．19．（10分）已知sinαcosα=18，且π4＜a＜π2，（1）求cosα﹣sinα的值；（2）求cosα的值．20．（10分）已知函数f(x)=log4(4x−1)（1）判断f（x）的单调性，说明理由．（2）解方程f（2x）＝f﹣1（x）．21．（12分）已知函数f(x)=4x+2x+1+a2x．（1）a的值为多少时，f（x）是偶函数？（2）若对任意x∈[0，+∞），都有f（x）＞0，求实数a的取值范围．（3）若f（x）在区间[0，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围．参考答案一、填空题（共12小题）.1．（3分）若对数函数y ＝log a x 的图象过点（9，2），则a ＝ 3 ． 【分析】由题意知2＝log a 9，从而求a ．解：∵对数函数y ＝log a x 的图象经过点P （9，2）， ∴2＝log a 9， ∴a ＝3， 故答案为：3．【点评】本题考查了对数函数的应用，属于基础题．2．（3分）若角θ满足sin θ＜0且cos θ＞0，则角θ在第 四 象限． 【分析】利用三角函数的定义，可确定y ＜0，x ＞0，进而可知θ在第四象限 解：由题意，根据三角函数的定义sin θ=yr＜0，cos θ=x r＞0 ∵r ＞0， ∴y ＜0，x ＞0． ∴θ在第四象限， 故答案为：四．【点评】本题以三角函数的符号为载体，考查三角函数的定义，属于基础题． 3．（3分）计算：log 3275+log 32﹣log 365= 2 ．【分析】根据对数的基本运算性质即可求出． 解：log 3275+log 32﹣log 365=log 3（275×2×56）＝log 332＝2，故答案为：2．【点评】本题考查了对数的基本运算性质，属于基础题．4．（3分）半径r ＝1的圆内有一条弦AB ，长度为√3，则弦AB 所对的劣弧长等于2π3．【分析】求出弦AB 所对的劣弧，所对的圆心角为2α，即可求出弦AB 所对的劣弧长． 解：设弦AB 所对的劣弧，所对的圆心角为2α，则cos α=12， ∴α=π3， ∴2α=2π3，∴弦AB 所对的劣弧长等于2π3，故答案为2π3．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查弧长公式，比较基础． 5．（3分）已知α是锐角，则log cosα(1+tan 2α)= ﹣2 ．【分析】先利用同角三角函数的基本关系化简，然后由对数的运算性质得出结果．解：log cosα(1+tan 2α)=log cos α（1+sin 2αcos 2α）＝log cos α（sin 2α+cos 2αcos α）＝log cos α（1cos α）＝﹣2 故答案为：﹣2．【点评】此题考查了对数的运算性质以及同角三角函数的基本关系，属于基础题． 6．（3分）化简：cos(3π−θ)cot(π+θ)tan(−θ)sin(π−θ)cot(3π−θ)= ﹣1 ．【分析】根据诱导公式和同角的三角函数的关系化简即可． 解：cos(3π−θ)cot(π+θ)tan(−θ)sin(π−θ)cot(3π−θ)=−cosθcotθ(−tanθ)sinθ(−cotθ)=−1，故答案为：﹣1．【点评】本题考查了诱导公式和同角的三角函数的关系，属于基础题．7．（3分）函数f （x ）＝log a （4﹣x 2）在区间[0，2）上单调递增，则实数a 取值范围为 0＜a ＜1 ．【分析】根据对数函数的性质异减复合函数的单调性求出a 的范围即可． 解：∵y ＝4﹣x 2在[0，2）递减， 若f （x ）在[0，2）递增， 根据复合函数同增异减的原则， 得：0＜a ＜1， 故答案为：0＜a ＜1．【点评】本题考查了对数函数的性质，考查复合函数的单调性问题，是一道基础题． 8．（3分）已知tan α＝3，则sinα+cosαsinα−cosα= 2 ．【分析】将原式分子分母同时除以cos α，化为关于tan α的三角式求解． 解：将原式分子分母同时除以cos α，得sinα+cosαsinα−cosα=tanα+1tanα−1=2故答案为：2【点评】本题主要考查了同角三角函数，考查转化计算能力．9．（3分）函数y ＝x 2+1（x ≤﹣2）的反函数为 y =−√x −1（x ≥5） ．【分析】由y ＝x 2+1（x ≤﹣2），解得x =−√y −1（y ≥5），把x 与y 互换即可得出． 解：由y ＝x 2+1（x ≤﹣2），解得x =−√y −1（y ≥5）， 把x 与y 互换可得：y =−√x −1（x ≥5）． 故答案为：y =−√x −1（x ≥5）．【点评】本题考查了反函数的求法、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 10．（3分）方程2（log 3x ）2+log 3x ﹣3＝0的解是 3−32，3 ．【分析】设log 3x ＝t ，原方程等价转化为2t 2+t ﹣3＝0，由此能求出原方程的解． 解：设log 3x ＝t ，则由方程2（log 3x ）2+log 3x ﹣3＝0， 得：2t 2+t ﹣3＝0， 解得t 1=−32，t 2＝1， 即log 3x =−32，或log 3x ＝1， 解得x =3−32，或x ＝3．故答案为：3−32，3．【点评】本题考查方程的解的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意换元法的合理运用． 11．（3分）已知角α的终边上一点P （x ，1），且sin α=13，则x ＝ ±2√2 ． 【分析】由条件利用任意角的三角函数的定义，求得x 的值． 解：∵角α的终边上一点P （x ，1），且sin α=13=1√x +1，∴x ＝±2√2， 故答案为：±2√2．【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．12．（3分）已知θ∈[0，π），集合A ＝{sin θ，1}，B ＝{12，cos θ}，A ∩B ≠∅，那么θ＝π6或π4或0或5π6．【分析】由A ，B ，以及两集合的交集不为空集，确定出θ即可． 解：∵θ∈[0，π），集合A ＝{sin θ，1}，B ＝{12，cos θ}，且A ∩B ≠∅，∴sin θ=12或sin θ＝cos θ或cos θ＝1， ∵θ∈[0，π），∴θ=π6或π4或0或5π6，故答案为：π6或π4或0或5π6【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键． 二、选择题（本大题满分12分）13．（3分）“x ＝2k π+π4（k ∈Z ）”是“tan x ＝1”成立的（ ） A ．充分不必要条件． B ．必要不充分条件． C ．充要条件．D ．既不充分也不必要条件．【分析】根据正切函数的定义，分别判断当x ＝2k π+π4（k ∈Z ）时，tan x ＝1是否成立及tan x ＝1时，x ＝2k π+π4（k ∈Z ）是否成立，进而根据充要条件的定义可得答案 解：当x ＝2k π+π4（k ∈Z ）时，tan x ＝1成立 当tan x ＝1时，x ＝2k π+π4或x ＝2k π+5π4（k ∈Z ） 故x ＝2k π+π4（k ∈Z ）是tan x ＝1成立的充分不必要条件 故选：A ．【点评】本题考查的知识点是正切函数的定义及充要条件的定义，其中根据正切函数的定义判断出x ＝2k π+π4（k ∈Z ）⇒tan x ＝1与tan x ＝1⇒x ＝2k π+π4（k ∈Z ）的真假是解答的关键． 14．（3分）已知k ∈Z ，角的终边只落在y 轴正半轴上的角是（ ） A ．kπ2B ．k π+π2C ．2k π+π2D ．2k π−π2【分析】直接写出终边落在y 轴正半轴上的角的集合得答案． 解：终边落在y 轴正半轴上的角的集合为A ＝{α|π2+2k π}，故选：C ．【点评】本题考查了象限角和轴线角，是基础的会考题型． 15．（3分）为了得到函数y ＝lgx+310的图象，只需把函数y ＝lgx 的图象上所有的点（ ）A ．向左平移3，向上平移1个单位B ．向右平移3，向上平移1个单位C ．向左平移3，向下平移1个单位D ．向右平移3，向下平移1个单位【分析】先根据对数函数的运算法则对函数进行化简，即可选出答案． 解：∵y ＝lgx+310=−1+lg （x +3）∴只需把函数y ＝lgx 的图象上所有的点向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 故选：C ．【点评】本题主要考查函数图象的平移变换．属于基础知识、基本运算的考查． 16．（3分）方程2x ＝x +1的解的个数为（ ） A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【分析】根据函数与方程之间的关系转化为两个函数的交点个数进行求解即可． 解：设f （x ）＝2x ，g （x ）＝x +1， 作出两个函数的图象如图， 由图象知两个函数有两个交点， 即方程程2x ＝x +1的解的个数2个， 故选：C ．【点评】本题主要考查方程根的个数的判断，根据函数与方程之间的关系转化为两个函数的交点个数问题，利用数形结合是解决本题的关键．三、解答题（本大题满分52分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤． 17．（10分）已知cos α=−45，求sin α+tan α的值．【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系，分类讨论，求得sin α和tan α的值，可得sin α+tan α的值．解：∵cos α=−45，∴α是第二或第三象限角．若α是第二象限角，则sin α=√1−cos 2α=35，tan α=sinαcosα=−34，∴sinα+tanα=35−34=−320．若α是第三象限角，则sinα=2α=−35，tanα=sinαcosα=34，∴sinα+tanα=−35+34=320．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．18．（10分）如图，扇形的半径为rcm，周长为20cm，问扇形的圆心角α等于多少弧度时，这个扇形的面积最大，并求出扇形面积的最大值．【分析】设扇形的半径为r，弧长为l，利用周长关系，表示出扇形的面积，利用二次函数求出面积的最大值，以及圆心角的大小．解：设扇形的半径为r，弧长为l，则：l+2r＝20，即l＝20﹣2r（0＜r＜10）．扇形的面积S=12lr，将上式代入，得：S=12（20﹣2r）r＝﹣r2+10r＝﹣（r﹣5）2+25，所以：当且仅当r＝5时，S有最大值25，此时：l＝20﹣2×5＝10，α=lr=2rad．所以：当α＝2rad时，扇形的面积取最大值，最大值为25cm2．【点评】本题主要考查了扇形的周长，半径圆心角，面积之间的关系，考查计算能力，属于基础题．19．（10分）已知sinαcosα=18，且π4＜a＜π2，（1）求cosα﹣sinα的值；（2）求cosα的值．【分析】（1）根据α的范围判断出cosα﹣sinα为负数，将cosα﹣sinα平方，利用完全平方公式及同角三角函数间基本关系化简，把sinαcosα=18代入计算，开方即可求出值；（2）同理求出cosα+sinα的值，与cosα﹣sinα的值联立即可求出cosα的值．解：（1）∵sinαcosα=18，且π4＜a＜π2，∴cosα﹣sinα＜0，∴（cos α﹣sin α）2＝1﹣2cos αsin α=34， 则cos α﹣sin α=−√32①；（2）∵sin αcos α=18，且π4＜a ＜π2，∴cos α+sin α＞0，∴（cos α+sin α）2＝1+2cos αsin α=54， ∴cos α+sin α=√52②， 联立①②解得：cos α=√5−√34．【点评】此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键． 20．（10分）已知函数f(x)=log 4(4x −1) （1）判断f （x ）的单调性，说明理由． （2）解方程f （2x ）＝f ﹣1（x ）．【分析】（1）利用函数单调性的定义，或复合函数单调性的判定方法，可得结论； （2）求出f ﹣1（x ），可得方程，解方程，即可得到结论．解：（1）4x ﹣1＞0，所以x ＞0，所以定义域是（0，+∞），f （x ）在（0，+∞）上单调增． 证法一：设0＜x 1＜x 2，则f(x 1)−f(x 2)=log 4(4x 1−1)−log 4(4x 2−1)=log 44x 1−1x又∵0＜x 1＜x 2，∴1＜4x 1＜4x 2，0＜4x 1−1＜4x 2−1∴4x 1−14x 2−1＜1，即log 44x 1−14x 2−1＜0∴f （x 1）＜f （x 2），f （x ）在（0，+∞）上单调增．…5分 证法二：∵y ＝log 4x 在（0，+∞）上都是增函数，…2分 y ＝4x ﹣1在（0，+∞）上是增函数且y ＝4x ﹣1＞0…4分 ∴f(x)=log 4(4x −1)在（0，+∞）上也是增函数． …5分 （2）f −1(x)=log 4(4x +1)，∴f （2x ）＝f ﹣1（x ），即0＜42x ﹣1＝4x +142x ﹣4x ﹣2＝0，解得4x ＝﹣1（舍去）或4x ＝2， ∴x =log 42=12⋯9分经检验，x =12是方程的根． …10分．【点评】本题考查复合函数的单调性，考查反函数，考查学生的计算能力，属于中档题．21．（12分）已知函数f(x)=4x+2x+1+a2x．（1）a的值为多少时，f（x）是偶函数？（2）若对任意x∈[0，+∞），都有f（x）＞0，求实数a的取值范围．（3）若f（x）在区间[0，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围．【分析】（1）利用偶函数的定义进行求值．（2）求函数的最小值即可．（3）利用函数单调性的定义进行求值判断．解：（1）因为f(x)=4x+2x+1+a2x=2x+2+a2x=2x+2+a⋅2−x，要使f（x）是偶函数，则f（﹣x）＝f（x）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）即2﹣x+2+a⋅2x＝2x+2+a⋅2﹣x，解得a＝1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）（2）因为f（x）＞0，所以4x+2x+1+a＞0，即（2x+1）2+a﹣1＞0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）所以a＞1﹣（2x+1）2﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）2x+2+a2x=2x+2+a⋅2−x因为x≥0，所以2x≥1，所以（2x+1）2≥4，所以1﹣（2x+1）2≤﹣3，所以a＞﹣3﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）（3）任取0≤x1＜x2，则f（x1）＜f（x2）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）即f(x1)−f(x2)=2x1+2+ax−2x2−2−ax＜0，即2x1−2x2a2x1−a2x2=(2x1−2x2)⋅2x1+x2−a2x1x2＜0，因为0≤x1＜x2，所以2x1+x2−a＞0，即a＜2x1+x2，因为2x1+x2＞1，所以a≤1．【点评】本题主要考查函数奇偶性的应用，以及函数单调性和最值的应用，考查学生的运算能力．。
上海市浦东新区2015-2016学年高一下学期4月教学质量检测(期中)数学试题(带答案)
上海市浦东新区2015-2016学年高一下学期期中考试数学试题第I 卷（选择题)一、单选题 1．“24x k ππ=+()k Z ∈”是“tan 1x =”成立的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件2．已知k Z ∈，角的终边只落在y 轴正半轴上的角是（ ） A ．2k πB ．2k ππ+C ．22k +ππ D ．22k ππ-3．为了得到函数y ＝lg 的图像，只需把函数y ＝lgx 的图像上所有的点 （ ）A ．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度B ．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度C ．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度D ．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 4．方程21x x =+的解的个数为（ ） A ．0个 B ．1个C ．2个D ．3个第II 卷（非选择题)二、填空题 5．若对数函数log ay x =的图像过点()9,2，则a =______.6．若角θ满足sin 0θ<且cos 0θ>，则角θ在第______象限. 7．计算333276log log 2log 55+-=______.8．半径1r =的圆内有一条弦AB AB 所对的劣弧长等于______. 9．已知α是锐角，则()2cos log 1tanαα+=______.10．化简：()()()()()cos 3cot tan sin cot 3πθπθθπθπθ-+-=--______.11．函数()()2log 4a f x x =-在区间[)0,2上单调递增，则实数a 取值范围为______.12．已知tan 3α=，sin cos sin cos αααα+=-______.13．函数()212y x x =+≤-的反函数为______. 14．方程()2332log log 30x x +-=的解是______. 15．已知角α的终边上一点(),1P x ，且1sin 3α=，则x =______. 16．已知[)0,θπ∈，集合{}sin ,1A θ=，1,cos 2B θ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，且A B ⋂≠∅，那么θ=______.三、解答题 17．已知4cos 5α=-，求sin tan αα+的值. 18．如图，扇形的半径为 cm r ，周长为20cm ，问扇形的圆心角α等于多少弧度时，这个扇形的面积最大，并求出扇形面积的最大值.19．已知1sin cos 8αα=，且42ππα<<， （1）求cos sin αα-的值； （2）求cos α的值.20．已知函数()()4log 41x f x =-，（1）判断()f x 的单调性，并证明你的结论； （2）解方程()()12f x fx -=.21．已知函数()1422x x xaf x +++=. （1）实数a 的值为多少时，()f x 是偶函数；（2）若对任意[)0,x ∈+∞，都有()0f x >，求实数a 的取值范围； （3）若()f x 在区间[)0,+∞上单调递增，求实数a 的取值范围.参考答案1．A 【解析】 【分析】由题意分别考查充分性和必要性即可求得最终结果. 【详解】 当24x k ππ=+()k Z ∈时，1tanx =，即充分性成立；当1tanx =时，24x k ππ=+ ()k Z ∈或524x k ππ=+()k Z ∈，即必要性不成立； 综上可得：“24x k ππ=+ ()k Z ∈”是“1tanx =”成立的充分不必要条件.本题选择A 选项. 【点睛】本题主要考查正切函数的性质，充分必要条件的判断等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 2．C 【解析】 【分析】直接写出终边落在轴正半轴上的角的集合. 【详解】终边落在y 轴正半轴上的角的集合为|2,2A k k Z πααπ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭. 故选：C. 【点睛】本题考查了象限角和轴线角，属于基础题. 3．C 【解析】解：因为y=lgx 的图象只要向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度，即可以得到y=lg(x+3)-1=lg310x +,选择C4．C 【解析】 【分析】将问题转化为函数2xy =与函数1y x =+图象的交点个数，作出两函数的图象，观察两函数图象的交点个数即可. 【详解】由题意可知，方程21x x =+的解的个数⇔函数2xy =与函数1y x =+图象的交点个数，如下图所示：由图象可知，两个函数有2个交点，因此，方程21x x =+的解的个数为2. 故选：C. 【点睛】本题考查函数方程解的个数，一般转化为两函数图象的交点个数，考查数形结合思想与化归与转化思想的应用，属于中等题. 5．3 【解析】 【分析】由题意可得2log 9a =，即可得到a 的值. 【详解】由对数函数log ay x =的图像过点()9,2，所以，29log 232log log 3a a a ===，解得3a =.故答案为：3. 【点睛】本题考查了对数函数的应用，属于基础题. 6．四 【解析】 【分析】利用三角函数的定义，可确定0y <，0x >，进而可知θ在第四象限. 【详解】由题意，根据三角函数的定义sin 0y r θ=<，cos 0xrθ=>，又0r >， 所以0y <，0x >，即θ在第四象限. 故答案为：四. 【点睛】本题以三角函数的符号为载体，考查三角函数的定义，属于基础题. 7．2 【解析】 【分析】根据对数的基本运算性质即可求出． 【详解】233333276275log log 2log log 2log 325556⎛⎫+-=⨯⨯== ⎪⎝⎭. 故答案为：2. 【点睛】本题考查了对数的基本运算性质，属于基础题． 8．23π 【解析】 【分析】求出弦AB 所对的劣弧为l ，所对的圆心角为2α，即可求出弦AB 所对的劣弧长. 【详解】设弦AB 所对的劣弧为l ，所对的圆心角为2α，则1cos 2α=， 所以3πα=，即223πα=， 所以弦AB 所对的劣弧长为23l π=. 故答案为：23π. 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，考查弧长公式，属于基础题. 9．2- 【解析】 【分析】先利用同角三角函数的基本关系化简，然后由对数的运算性质得出结果． 【详解】()22cos cos 2sin log 1tan log 1cos ααααα⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭22cos cos 22cos sin 1log log 2cos cos αααααα⎛⎫+⎛⎫===- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故答案为：2-. 【点睛】本题考查了对数的运算性质以及同角三角函数的基本关系，属于基础题． 10．1- 【解析】 【分析】根据诱导公式和同角的三角函数的关系化简即可. 【详解】()()()()()()()cos 3cot tan cos cot tan cos tan 1sin cot 3sin cot sin πθπθθθθθθθπθπθθθθ-+---==-=----.故答案为：1-. 【点睛】本题考查了诱导公式和同角的三角函数的关系，属于基础题． 11．()0,1 【解析】 【分析】根据对数函数的性质，以及复合函数的单调性求出a 的范围即可． 【详解】由题意知，24y x =-在区间[)0,2上递减，若函数()()2log 4a f x x=-在区间[)0,2上递增，根据复合函数同增异减的原则，得01a <<. 故答案为：()0,1. 【点睛】本题考查了对数函数的性质，考查复合函数的单调性问题，属于基础题． 12．2 【解析】 【分析】在所求分式的分子和分母中同时除以cos α，将分式变形为只含tan α的代数式，然后代值计算即可. 【详解】sin cos sin cos tan 131cos cos 2sin cos sin cos tan 131cos cos αααααααααααααα++++====----. 故答案为：2. 【点睛】本题考查正、余弦齐次式的计算，考查弦化切思想的应用，考查计算能力，属于基础题. 13．)5y x =≥【分析】根据反函数的定义，解得函数的值域，进而把反函数写出来即可. 【详解】由()212y x x =+≤-知，[)5,y ∈+∞，所以)5x y =≥，把x 与y 互换可得：)5y x =≥.故答案为：)5y x =≥. 【点睛】本题考查了反函数的求法、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．143 【解析】 【分析】设3log x t =，原方程等价转化为2230t t +-=，由此能求出原方程的解. 【详解】设3log x t =，则原方程转化为2230t t +-=，解得132t =-，21t =，当132t =-，即33log 2x =-，解得x =， 当21t =，即3log 1x =，解得3x =，3.3. 【点睛】本题考查方程的解的求法，解题时要认真审题，注意换元法的合理运用，属于基础题.15．± 【解析】由条件利用任意角的三角函数的定义，求得x 的值． 【详解】由角α的终边上一点(),1P x ，则1sin 3α==解得x =±故答案为：±. 【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题． 16．4π或6π或56π或0 【解析】 【分析】由集合,A B 以及两集合的交集不是空集，确定出θ即可. 【详解】∵[)0,θπ∈，集合{}sin ,1A θ=，集合1,cos 2B θ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，且A B ⋂≠∅，∴1sin 2θ=或sin cos θθ=或cos 1θ=， 又[)0,θπ∈，∴4πθ=或6π或56π或0.故答案为：4π或6π或56π或0. 【点睛】本题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键，属于基础题. 17．见解析 【解析】 【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系，分类讨论，求得sin α和tan α的值即可. 【详解】由4cos 5α=-，则α是第二或第三象限角，若α是第二象限角，则3sin 5α==，sin 3tan cos 4ααα==-， 所以333sin tan 5420αα+=-=-；若α是第三象限角，则3sin 5α==-，sin 3tan cos 4ααα==， 所以333sin tan 5420αα+=-+=； 综上，若α是第二象限角，则sin tan αα+的值为320-；若α是第三象限角，则sin tan αα+的值为320. 【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题. 18．见解析 【解析】 【分析】设扇形的半径为r ，弧长为l ，利用周长关系，表示出扇形的面积，利用二次函数求出面积的最大值，以及圆心角的大小. 【详解】设扇形的半径为r ，弧长为l ，由题意有220l r +=，即()202010l r r =-<<， 所以，扇形的面积()()()21120252501022S l r r r r r =⋅=⋅-⋅=--+<<， 所以，当且仅当=5r 时，扇形的面积()2max 25S cm =，此时：202510l =-⨯=，()1025l rad r α===， 所以，当2rad α=时，扇形的面积取最大值，最大值为225cm . 【点睛】本题主要考查了扇形的周长，半径圆心角，面积之间的关系，考查计算能力，属于基础题.19．（1）（2【解析】 【分析】（1）根据α的范围判断出cos sin αα-为负数，利用完全平方公式以及同角三角函数间基本关系化简，开方即可求出值；（2）利用（1）的方法求出cos sin αα+的值，与cos sin αα-的值联立即可求出cos α的值. 【详解】 （1）由42ππα<<，知sin cos αα>，则cos sin 0αα-<，因1sin cos 8αα=，22sin cos 1αα+=， 所以()22213cos sin cos 2cos sin sin 1284αααααα-=-⋅+=-⨯=，故cos sin 2αα-=-. （2）由42ππα<<，1sin cos 8αα=，22sin cos 1αα+=，所以()22215cos sin cos 2cos sin sin 1284αααααα+=+⋅+=+⨯=，即cos sin αα+=，联立cos sin cos sin αααα⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得cos α=【点睛】本题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键，属于基础题. 20．（1）见解析（2）12【解析】【分析】（1）判断()f x 在()0,∞+上为单调递增，利用函数单调性的定义证明； （2）求出()1f x -，可得方程，解方程，即可得到结论.【详解】（1）由410->x ，得0x >，即()f x 的定义域为()0,∞+，()f x 在()0,∞+上为单调递增， 证明如下：设120x x <<，则()()()()11221244441log 41log 41log 41x x x x f x f x --=---=-，∵120x x <<，∴12144x x <<，则1204141x x <-<-，即12410141x x -<<-，∴12441log 041x x -<-，即()()120f x f x -<，即()()12f x f x <，故()f x 在()0,∞+上为单调递增函数.（2）由()4log 41x y =-，则()4log 41y x =+，即()4log 41xy =+，所以，反函数()()14log 41x f x -=+，由()()12f x fx -=，即()()442log 41log 41x x -=+，即24420x x --=解得41x =-（舍）或42x =，即12x =， 经检验，12x =是方程()()12f x f x -=的根. 故方程的根为12.【点睛】本题考查复合函数的单调性，考查反函数，考查学生的计算能力，属于中档题. 21．（1）1（2）()3,-+∞（3）(],1-∞ 【解析】 【分析】（1）利用偶函数的定义进行求值；（2）由题意，可得()2121x a >-+，进而利用不等式即可； （3）利用函数单调性的定义进行求值判断即可. 【详解】（1）由()1422222x x x x xaf x a +-++==++⋅，要使()f x 是偶函数，则()()f x f x =-， 即222222x x x x a a --++⋅=++⋅，解得1a =， 所以实数a 的值为1.（2）由()0f x >，即2220x x a -++⋅>，整理得()22110x a ++->，所以()2121x a >-+，因0x ≥，则21x ≥，所以()2214x +≥，即()21213x -+≤-，所以3a >-，即实数a 的取值范围为()3,-+∞.（3）由题意，()f x 在区间[)0,+∞上单调递增，任取210x x >≥，则()()12f x f x <， 即()()1212122222022xx x x a a f x f x -=++---<， 整理得()1212121212222220222x x x x x x x x x x a a a ++-+--=-⋅<，又因为210x x >≥，则1221x x +>，所以1220x x a +->，即122x x a +<， 所以1a ≤，即实数a 的取值范围为(],1-∞. 【点睛】本题主要考查函数奇偶性的应用，以及函数单调性和最值的应用，考查学生的运算能力，属于中档题.。
上海市2015_2016学年高一数学下学期期中试题
如果您喜欢这份文档，欢迎下载！祝您成绩进步，学习愉快！上海市2015-2016学年高一数学下学期期中试题（考试时间：90分钟 满分：100分 ）一、填空题（本大题共12小题，满分36分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分. 1． 若2016α=︒，则α在第__________象限．2． 已知扇形所在圆的半径为8，弧长为16，则其圆心角的弧度数为________．3． 已知tan 2α=，则sin cos sin 2cos αααα-=+____________．4． 已知54cos ),,2(-=∈θππθ，则=2sin θ___________．5． 在ABC ∆中，若cos cos a B b A =，则ABC ∆的形状一定是_____________三角形.6． 已知函数()sin()(00)2f x A x x A ωϕωϕπ=+∈>><R ，，，的图像（部分）如图所示，则()f x 的解析式是_____________． 7．已知函数()2sin()(0)3f x x πϖϖ=+>的最小正周期为π，则方程()1f x =在(0,]π上的解集为___________．8． 设锐角βα、满足5310sin ,cos 510αβ==，则αβ+=__________．9. 函数cos2sin ,[0,]y x x x π=+∈的最大值是___________． 10． 设cos x α=,且3[,]44ππα∈-，则arcsin x 的取值范围是____________．11． 某班设计了一个“水滴状”班徽（如图），徽章由等腰三角形ABC ，及以弦BC 和劣弧BC所围成的弓形所组成，劣弧BC 所在的圆为三角形的外接圆，若,(0,)2A παα∠=∈，外接圆半径为1，则该图形的面积为____________．12．对于函数)(x f ，在使M x f ≥)(成立的所有常数M 中，我们把M 的最大值称为函数)(x f 的“下确界”，则函数x x x x x f csc csc sin sin )(22-+-=的“下确界”为－2xyO 231 65 第6题第11题___________．二、选择题（本大题共有4小题，满分12分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上将代表答案的小方格涂黑，选对得3分，否则一律得零分.13．已知函数22()cos sin f x x x =-，下列结论错误的是………………………… ( )A ．()cos 2f x x =B ．函数()f x 的图像关于直线0x =对称C ．()f x 的最小正周期为πD ．的对称中心为(,0),k k Z π∈14．在ABC ∆中，3,2,3a c B π===，则=b …………………………………… ( ) 197 15．已知m x =-)6cos(π，则=-+)3cos(cos πx x……………………………… ( )A.m 2B ．m 2±C ．m 3D ．m 3±16．将函数x x f 2sin )(=的图像向右平移(0)2πφφ<<个单位后得到函数()g x 的图像．若对满足12|()()|2f x g x -=的12x x 、，有12min ||3x x π-=，则φ= ………………( ) A.512π B. 3π C. 4π D. 6π 三、解答题（本大题共5题，满分52分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17．（本题满分8分）已知2)2tan(=+απ，求)2cos(απ+的值．18．（本题满分10分）本题有2个小题，第一小题满分5分，第二小题满分5分.已知函数x x x x f 2cos 3cos sin 2)(-=．（1）求)(x f 的最小正周期和单调递增区间； （2）当]2,0[π∈x 时，求函数)(x f 的最大值和最小值．19．（本题满分10分）本题有2个小题，第一小题满分4分，第二小题满分6分.如图，A B 、是单位圆O 上的动点，C 是圆与x 轴正半轴的交点，设COA α∠=． （1）当点A 的坐标为)54,53(时，求αα2cos 12sin +的值；（2）若30πα≤≤且当点A B 、在圆上沿逆时针方向移动时，总有3AOB π∠=，试求BC 的取值范围．20．（本题满分12分）本题有2个小题，第一小题满分6分，第二小题满分6分.如图，在ABC ∆中，点D 在BC 边上，7,42CAD AC π∠==，2cos 10ADB ∠=-．C第19题（1）求sin C 的值；（2）若5BD =,求ABD ∆的面积．21．（本题满分12分）本题有2个小题，第一小题满分6分，第二小题满分6分.如图，某污水处理厂要在一个矩形污水处理池()ABCD 的池底水平铺设污水净化管道(,Rt FHE H ∆是直角顶点）来处理污水，管道越长，污水净化效果越好．设计要求管道的接口H 是AB 的中点，E F 、分别落在线段BC AD 、上．已知20AB =米，103AD =米，记BHE θ∠=．（1）试将污水净化管道的长度L 表示为θ的函数，并写出定义域； （2）当θ取何值时，污水净化效果最好？并求出此时管道的长度．第21题金山中学2015学年度第二学期高一年级数学学科期中考试卷（考试时间：90分钟 满分：100分 命题人：刘雪孝 审核人：龚伟杰）一、填空题（本大题共12小题，满分36分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分. 1． 若2016α=︒，则α在第_____三_____象限．2． 已知扇形所在圆的半径为8，弧长为16，则其圆心角的弧度数为____2_____． 3． 已知tan 2α=，则sin cos sin 2cos αααα-=+______41______．4． 已知54cos ),,2(-=∈θππθ，则=2sin θ____10103_______． 5． 在ABC ∆中，若cos cos a B b A =，则ABC ∆的形状一定是_____等腰_____三角形.6．已知函数()sin()(00)2f x A x x A ωϕωϕπ=+∈>><R ，，，的图像（部分）如图所示，则()f x 的解析式是___()2sin()6f x x π=π+_________．7．已知函数()2sin()(0)3f x x πϖϖ=+>的最小正周期为π，则方程()1f x =在(0,]π上的解集为___11{,}412ππ_____．8．设锐角βα、满足5310sin ,cos 510αβ==，则αβ+=_____4π_____． 9. 函数cos2sin ,[0,]y x x x π=+∈的最大值是___89_____．10．设cos x α=,且3[,]44ππα∈-，则arcsin x 的取值范围是_____]2,4[ππ-_______．11．某班设计了一个“水滴状”班徽（如图），徽章由等腰三角形ABC ，及以弦BC 和劣弧BC所围成的弓形所组成，劣弧BC 所在的圆为三角形的外接圆，若,(0,)2A παα∠=∈，外接圆半径为1，则该图形的面积为______sin αα+______．12．对于函数)(x f ，在使M x f ≥)(成立的所有常数M 中，我们把M 的最大值称为函数)(x f 的“下确界”，则函数x x x x x f csc csc sin sin )(22-+-=的“下确界”为____0____．－2xyO 231 65第6题第11题二、选择题（本大题共有4小题，满分12分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上将代表答案的小方格涂黑，选对得3分，否则一律得零分.13．已知函数22()cos sin f x x x =-，下列结论错误的是………………………… ( D )A ．()cos 2f x x =B ．函数()f x 的图像关于直线0x =对称C ．()f x 的最小正周期为πD ．的对称中心为(,0),k k Z π∈14．在ABC ∆中，3,2,3a c B π===，则=b …………………………………… ( D ) 197 15．已知m x =-)6cos(π，则=-+)3cos(cos πx x ……………………………… ( C )A.m 2B ．m 2±C ．m 3D ．m 3±16．将函数x x f 2sin )(=的图像向右平移(0)2πφφ<<个单位后得到函数()g x 的图像．若对满足12|()()|2f x g x -=的12x x 、，有12min ||3x x π-=，则φ=………………( D ) A.512π B. 3π C. 4π D. 6π 三、解答题（本大题共5题，满分52分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17．（本题满分8分）已知2)2tan(=+απ，求)2cos(απ+的值．解：54)2cos(-=+απ18．（本题满分10分）本题有2个小题，第一小题满分5分，第二小题满分5分.已知函数x x x x f 2cos 3cos sin 2)(-=． （1）求)(x f 的最小正周期和单调递增区间； （2）当]2,0[π∈x 时，求函数)(x f 的最大值和最小值．解：)32sin(2)(π-=x x f（1）π=T ，单调递增区间Z k k k ∈+-],125,12[ππππ ………………5分 （2）当125π=x 时，2)(max =x f ；当0=x 时，3)(m in -=x f ………………5分 19．（本题满分10分）本题有2个小题，第一小题满分4分，第二小题满分6分.如图，A B 、是单位圆O 上的动点，C 是圆与x 轴正半轴的交点，设COA α∠=． （1）当点A 的坐标为)54,53(时，求αα2cos 12sin +的值；（2）若30πα≤≤且当点A B 、在圆上沿逆时针方向移动时，总有3AOB π∠=，试求BC 的取值范围．解：（1）34tan 2cos 12sin ==+ααα ………………4分 （2）∵B （cos （α+），sin （α+）），C （1，0），∴|BC|2=[cos （α+）﹣1]2+sin 2（α+）=2﹣2cos （α+），∵0≤α≤，∴≤α+≤，∴﹣≤cos（α+）≤， ∴1≤2﹣2cos （α+）≤3，∴1≤|BC|≤． ………………10分20．（本题满分12分）本题有2个小题，第一小题满分6分，第二小题满分6分.如图，在ABC ∆中，点D 在BC 边上，7,42CAD AC π∠==，2cos 10ADB ∠=-．（1）求sin C 的值；（2）若5BD =,求ABD ∆的面积． 解：（1）因为2cos ADB ∠=-，所以72sin ADB ∠=． 第20题C第19题又因为4CAD π∠=，所以4C ADB π∠=∠-．所以sin sin()sin cos cos sin 444C ADB ADB ADB πππ∠=∠-=∠⋅-∠⋅7222245=⋅+⋅=． ………………………6分 （2）在ACD ∆中，由ADCAC C AD ∠=∠sin sin ，得74sin 2522sin 72AC C AD ADC ⋅⋅∠===∠． 所以1172sin 22572210ABD S AD BD ADB ∆=⋅⋅∠=⋅⋅⋅=． …………………12分 21．（本题满分12分）本题有2个小题，第一小题满分6分，第二小题满分6分.如图，某污水处理厂要在一个矩形污水处理池()ABCD 的池底水平铺设污水净化管道(,Rt FHE H ∆是直角顶点）来处理污水，管道越长，污水净化效果越好．设计要求管道的接口H 是AB 的中点，E F 、分别落在线段BC AD 、上．已知20AB =米，103AD =米，记BHE θ∠=．（1）试将污水净化管道的长度L 表示为θ的函数，并写出定义域； （2）当θ取何值时，污水净化效果最好？并求出此时管道的长度． 解：（1）由题意可得EH=，FH=，EF=，由于 BE=10tanθ≤10，AF=≤10，而且≤tanθ≤，θ∈[，]，∴L=++，θ∈[，]． 即L=10×，θ∈[，]． ………………………6分（2）设sinθ+cosθ=t，则 sinθcosθ=，由于θ∈[，]，∴sinθ+cosθ=t=sin （θ+）∈[，]．由于L=在[，]上是单调减函数，∴当t=时，即 θ=或θ=时，L取得最大值为 20（+1）米． ………………………6分第21题。
2015—2016学年度第二学期期中六校联考高一数学答案
2015-2016学年度第二学期期中六校联考高一数学答案一、选择题二、填空题9．34 10.3+ 11.12.1- 13.5|32x x orx ⎧⎫≤>⎨⎬⎩⎭14.2⎤⎥⎝⎦ 15．（本小题满分12分）解：(1)由b sin A ＝3a cos B 及正弦定理a sin A ＝b sin B， 得sin B ＝3cos B ，…………2分所以tan B ＝3，…………4分所以B ＝π3.…………6分 (2)由sin C ＝2sin A 及a sin A ＝c sin C，得c ＝2a . …………8分 由b ＝3及余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得9＝a 2＋c 2－ac . …………10分所以a ＝3， c ＝23.…………12分16.（本小题满分12分）(Ⅰ)解：在ABC ∆中，由题意知，sin A ==.…………2分 又因为2B A π=+，所以sin sin 2B A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭cos A ==…………4分由正弦定理可得，sin sin a B b A===.…………6分 (Ⅱ)由2B A π=+得cos cos 2B A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭sin A =-=.…………8分 由A B C π++=，得()C A B π=-+，…………9分所以sin C =()sin A B π-+⎡⎤⎣⎦()sin A B =+sin cos cos sin A B A B =+⎛= ⎝13=.…………11分 因此ABC ∆的面积1sin 2S ab C=11323=⨯⨯=.…………12分 17. （本小题满分12分） (1)设b n =,所以b 1==2, …………1分则b n+1-b n =- =·[(a n+1-2a n )+1] =[(2n+1-1)+1]=1. …………3分 所以数列是首项为2,公差为1的等差数列. …………4分(2)由(1)知,=2+(n-1)×1,所以a n =(n+1)·2n +1. …………6分因为S n =(2·21+1)+(3·22+1)+…+(n·2n-1+1)+[(n+1)·2n +1]=2·21+3·22+…+n·2n-1+(n+1)·2n +n.设T n =2·21+3·22+…+n·2n-1+(n+1)·2n , ①2T n =2·22+3·23+…+n·2n +(n+1)·2n+1, ②②-①,得T n =-2·21-(22+23+…+2n )+(n+1)·2n+1=-4-+(n+1)·2n+1=n·2n+1…………11分所以S n =n·2n+1+n=n·(2n+1+1). …………12分18．（本小题满分14分）解： （1)不等式()0f x >的解集为}12|{<>x x x 或所以与之对应的二次方程220ax bx -+=的两个根为1,2由根与系数关系的1,3a b ==…………4分（2）{}1(2)()011,|2211,|221,|22x x aa x x a a x x a a x x --≤⎧⎫>≤≤⎨⎬⎩⎭⎧⎫<≤≤⎨⎬⎩⎭==若解集是若0<解集是若解集是 …………10分（3）令2()(2)2g a a x x x =--+则(1)01x=|2x=0(2)02g x x x g >⎧⎧⎫><⎨⎨⎬>⎩⎭⎩或0解得或或 …………14分（19）解：（1） a S n n -=+62a S n n -=+-512 (+∈≥N n n 且2)…………1分∴ 512+-=-=n n n n S S a …………2分经检验1=n 时也成立∴ 52+=n n a …………3分 6411==S a =a n -+6264=∴a …………4分（2）)121111(4)12)(11(411+-+=++=+n n n n b b n n ……………………6分 其前n 项和)121111...141131131121(4+-+++-+-=n n T n =)121121(4+-n …………8分 （3）解：方法一：)5...321(1n n nb n +++++= =211+n …………9分 562211112n n n n a n b n ++==++ …………10分 ()()7617612112(12)221211(12)11n n n n n n n n n n a a b b n n n n +++++++-+-=-=++++ ()()62222(12)(12)11n n n n n ++-+⎡⎤⎣⎦=++ ()()62100(12)11n n n n ++=>++…………12分 ∴⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n b a 在其定义域上单调递增…………13分∴⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n b a min 11b a =332= …………14分 方法二、)5...321(1n n nb n +++++==211+n …………9分 562211112n n n n a n b n ++==++ …………10分 )1211(212)11(2211221225611+-=++=++=++++n n n n n b ab a n n n n n …………12分即nn n n b ab a 11++>1 又 0>nn b a ∴⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n b a 在其定义域上单调递增…………13分∴⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n b a min 11b a =332= …………14分。
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2016学年度上海市重点中学高一数学联考试题（满分100分 考试时间90分钟）1．求值：52log 35________.+=2. 已知函数2()1(2)f x x x =-≤-，则1(4)_________.f-= 3. 与83π-终边相同的最小正角是_______________. 4. 已知sin cos 0αα<，则α是第__________象限角.5. 已知a =2log 3，则18log 32用a 表示为 .6. 若1log 14a<，则a 的取值范围是____________________. 7. 函数12)(2++=ax x x f 在]2,1[- 上不存在．．．反函数，则实数a 的取值范围为 .8. 若53,42ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭_______________.= 9. 设函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当(0,)x ∈+∞时，()lg ,f x x =则满足()0f x >的x 的取值范围是 .10、若342sin ,cos ,,552a a a a παααπ--==<<++则____________.a = 11、已知函数)1,0(),3(log ≠>-=a a ax y a 在]1,0[上单调递减，则实数a 的取值范围为 。
12. 已知角α终边上一点(,4)P t -，若cos 5t α=，则tan ____________.α=二、选择题（本大题4小题，每小题3分，共12分） 13. “1sin 2α=-”是“56πα=-”的（ ） A .充分非必要条件 .B 必要非充分条件 .C 充要条件 .D 既非充分又非必要条件14、若函数22log (43)y kx kx =++的定义域为R ，则k 的取值范围是（ ）A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛43,0B ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡43,0C ． ⎪⎭⎫⎢⎣⎡43,0D ．⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞-∞,43]0,(Y15. 将2(0,1)b a N a a =>≠转化为对数形式，其中错误的是（ ）.A 1log 2a b N = .B 2log a b N = .C log 2b a N = .D log 2a Nb =16. 已知函数(1)()log (2)()n f n n n *+=+∈N ，若存在正整数k 满足：(1)(2)(3)()f f f f n k ⋅⋅⋅⋅=L ，那么我们把k 叫做关于n 的“对整数”，则当[1,10]n ∈时，“对整数”共有（ ）（A ）1个 （B ）2个 （C ）4个 （D ）8个三、解答题（本大题共5小题，满分52分）17.（本小题满分8分）解方程：22log (95)log (32)2x x-=-+18.（每小题各4分，满分8分）已知tan 2α=-，求下列各式的值.（1）4sin 3cos 2sin cos αααα+- （2）224sin 3cos αα+19. （本小题满分10分）已知()()1sin cos 5παπα++-=，且2παπ<<，求tan(2).πα-20. （第一小题4分，第二小题6分，满分10分）已知扇形AOB 的周长为8 cm.(1)若这个扇形的面积为3 cm 2，求圆心角的大小；(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB （保留三角比）..21. （第一小题4分，第二小题3分，第三小题6分，第四小题3分，满分16分）已知函数1()log (0,1)1amx f x a a x -=>≠-是奇函数. （1）求m 的值；（2）求()f x 的反函数1()f x -；（3）讨论()f x 的单调性，并用定义证明；（4）当()f x 定义域区间为()1,2a -时，()f x 的值域为()1,+∞，求a 的值.2016学年度第二学期高一数学联考试题参考答案（满分100分 考试时间90分钟）一、填空题（本大题12小题，每小题3分，共36分）1．求值：52log 35+= 752. 已知函数2()1(2)f x x x =-≤-，则1(4)f -=3. 与83π-终边相同的最小正角是43π 4. 已知sin cos 0αα<，则α是第_二或四__象限角.5. 已知a =2log 3，则18log 32用a 表示为25a a+. 6. 若1log 14a <，则a 的取值范围是()10,1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭U 7. 函数12)(2++=ax x x f 在]2,1[- 上不存在．．．反函数，则实数a 的取值范围为()2,1- 8. 若53,42ππα⎛⎫∈⎪⎝⎭=cos sin αα- 9. 设函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当(0,)x ∈+∞时，()lg ,f x x =则满足()0f x ≥的x 的取值范围是[][)1,01,-+∞U 10、若342sin ,cos ,,552a a a a παααπ--==<<++则a = 8 11、已知函数)1,0(),3(log ≠>-=a a ax y a 在]1,0[上单调递减，则实数a 的取值范围为()1,312. 已知角α终边上一点(,4)P t -，若cos 5t α=，则tan α=4330433t t t ⎧-=⎪⎪=⎨⎪⎪=-⎩不存在 二、选择题（本大题4小题，每小题3分，共12分） 13. “1sin 2α=-”是“56πα=-”的（ B ） A .充分非必要条件 .B 必要非充分条件 .C 充要条件 .D 既非充分又非必要条件14、若函数22log (43)y kx kx =++的定义域为R ，则k 的取值范围是 （ C ） A ．⎪⎭⎫⎝⎛43,0 B ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡43,0 C ． ⎪⎭⎫⎢⎣⎡43,0 D ．⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞-∞,43]0,(Y 15. 将2(0,1)b a N a a =>≠转化为对数形式，其中错误的是（ D ）.A 1log 2a b N = .B 2log a b N = .C log 2b a N = .D log 2a N b =16. 已知函数(1)()log (2)()n f n n n *+=+∈N ，若存在正整数k 满足：(1)(2)(3)()f f f f n k ⋅⋅⋅⋅=L ，那么我们把k 叫做关于n 的“对整数”，则当[1,10]n ∈时，“对整数”共有（ B ）（A ）1个 （B ）2个 （C ）4个 （D ）8个三、解答题（本大题共5小题，满分52分）17.（本小题满分8分）解方程：22log (95)log (32)2x x -=-+解：954(32)x x -=-————————2分()234330x x -⋅+=———————2分 313x x ==或301x x ∴==或——————————2分经检验0x =是增根，舍去—————1分∴原方程的解是1x =————————1分18.（每小题各4分，满分8分）已知tan 2α=-，求下列各式的值.（1）4sin 3cos 2sin cos αααα+- （2）224sin 3cos αα+ 解：（1）原式=4tan 322tan 1αα+------分 （2）原式=22224sin 3cos 2sin cos αααα+--------+分=12---------分 =224tan 31tan 1αα+--------+分 =1915---------分 （不同解法相应给分）19. （本小题满分10分）已知()()1sin cos 5παπα++-=，且2παπ<<，求tan(2).πα- 解：由已知得1sin cos 5αα+=--------------------------------2分 两边平方得：242sin cos 25αα=-----------------------------2分 3222ππαπαπ<<∴<<Q cos 0sin αα∴>>----------------------------------------------2分14sin cos sin 552432sin cos cos 255αααααα⎧⎧+=-=-⎪⎪⎪⎪∴⇒⎨⎨⎪⎪=-=⎪⎪⎩⎩---------------------2分 4tan(2)tan 3παα-=-=------------------------------------------2分 （不同解法相应给分）20. （第一小题4分，第二小题6分，满分10分）已知扇形AOB 的周长为8 cm.(1)若这个扇形的面积为3 cm 2，求圆心角的大小；(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB （保留三角比）.解：（1）设扇形的半径为r ，弧长为l ---------------------------1分 281313232r l r r l l lr +=⎧==⎧⎧⎪⇒⎨⎨⎨===⎩⎩⎪⎩或-------------------------2分 233αα∴==圆心角或----------------------------------1分 （2）21112242442r l S lr r l +⎛⎫==⋅⋅≤⋅= ⎪⎝⎭-------------------2分 当且仅当2r l =时，等号成立-------------------------------1分 max 2,4,4,r l S α∴===当时此时=2-------------------1分4sin1AB ∴=----------------------------------------------------2分 （其他方法相应给分）21. （第一小题4分，第二小题3分，第三小题6分，第四小题3分，满分16分） 已知函数1()log (0,1)1amx f x a a x -=>≠-是奇函数. （1）求m 的值；（2）求()f x 的反函数1()f x -；（3）讨论()f x 的单调性，并用定义证明；（4）当()f x 定义域区间为()1,2a -时，()f x 的值域为()1,+∞，求a 的值.解：（1）222111()()log log log 0111a a a mx mx m x f x f x x x x +---+=+==----Q ----------2分 对定义域内的任意x 恒成立 ()2222211,101m x m x x-∴=-=-即 解得1m =±，经检验1m =----------------------------------------------------------2分（2）111log 111y y a y x x a y a x x x a +++=⇒=⇒=---()0y ≠-------------------------2分11()(0,0,1)1x x a f x x a a a -+∴=≠>≠-----------------------------------------1分 （3）由（1）可知函数()f x 的定义域为()(),11,-∞-+∞U --------------------1分 设12121(),111x g x x x x x x +=<<-<<-任取或 2112122()()()0(1)(1)x x g x g x x x --=>--Q 12()()g x g x ∴>所以，函数()()1(),11,1x g x x +=-∞-+∞-在或上单调递减-----------------3分所以当()()1(),11,a f x >-∞-+∞时，在和上单调递减当01a <<时，()()(),11,f x -∞-+∞在和上单调递增.------------------2分（4）123x a a <<-∴>Q()()1,2f x a ∴-由(3)可知在上单调递减--------------------------------------1分21(2)1,log 1,410,22aa f a a a a a -∴-==-+=∴=+-即化简得分。