解三角形课件

6－ 2
2×
62－2－23＝－12. 2
∵0°<A<180°，∴A＝120°，C＝15°.
故 c＝
6＋ 2
2，A＝60°，C＝75°或 c＝
6－ 2
2，A＝120°，C＝15°.
法二：由正弦定理sina A＝sinb B，得
sin A＝asibn B＝
3·sin
45°＝ 2
23.
又∵a>b，∴A>B，∴A＝60°或 120°.
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[再练一题]
3．若 2,3，x 是锐角三角形的三边，求实数 x 的取值范围． 【解】 由题意可知2222＋＋3x22－－3x22>>00，，
1<x<5，
－ 13<x< 13， 即x> 5或x<－ 5，
1<x<5，
∴ 5<x< 13.
[构建·体系]
1．在△ABC 中，AB＝5，AC＝3，BC＝7，则∠BAC＝________.
1．已知三角形三边求角时，可先利用余弦定理求角，再用正弦定理求解，在 用正弦定理求解时，要根据边的大小确定角的大小，防止产生增解或漏解．
2．若已知三角形三边的比例关系，常根据比例的性质引入 k，从而转化为已 知三边解三角形．
[再练一题] 2．已知△ABC 的三边长为 a＝3，b＝4，c＝ 37，求△ABC 的最大内角． 【解】 ∵c>a，c>b，∴角 C 最大．由余弦定理，得 c2＝a2＋b2－2abcos C， 即 37＝9＋16－24cos C，∴cos C＝－12. ∵0°<C<180°，∴C＝120°. ∴△ABC 的最大内角为 120°.
当 A＝60°时，得 C＝75°. 由余弦定理得 c2＝a2＋b2－2abcos C
＝3＋2－2×
6×
6－ 4
2＝2＋
3，
∴c＝
2＋
3＝
6＋ 2
2 .
或用正弦定理求边 c，由sinc C＝sinb B得 c＝bssiinnBC＝
2si·nsin457°5°＝
2×
6＋ 4
2
2 ＝
2
6＋ 2 2.
当 A＝120°时，得 C＝15°，同理可求 c＝
[小组合作型]
已知两边及一角解三角形
在△ABC 中，已知 a＝ 3，b＝ 2，B＝45°，解此三角形． 【精彩点拨】 法一：直接利用余弦定理求边、求角；法二：先利用正弦定 理求角，再利用余弦定理求边．
【自主解答】 法一：由余弦定理知
b2＝a2＋c2－2accos B，
∴2＝3＋c2－2 3·22c，
【提示】 若 a2＋b2<c2，则△ABC 是钝角三角形，反之不成立．
若钝角△ABC 的三边长分别为 a，a＋1，a＋2，求实数 a 的取值范围． 【精彩点拨】 首先 a，a＋1，a＋2 需满足构成三角形的条件，其次要满足 a ＋2 对应的角为钝角．
【自主解答】 由题意知，a＋2 是三角形的最大边，
【答案】 1
5．设△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.已知 b2＋c2＝a2＋ 3bc， 求：
(1)A 的大小； (2)2sin Bcos C－sin(B－C)的值．
【解】 (1)由余弦定理：a2＝b2＋c2－2bccos A， 故 cos A＝b2＋2cb2c－a2＝ 23bbcc＝ 23，所以 A＝π6. (2)2sin Bcos C－sin(B－C) ＝2sin Bcos C－(sin Bcos C－cos Bsin C) ＝sin BcosC＋cos Bsin C ＝sin(B＋C)＝sin(π－A)＝sin A＝12.
已知三边或三边关系解三角 形
已知△ABC 中，a∶b∶c＝2∶ 6∶( 3＋1)，求三角形的各角大小． 【精彩点拨】 设 a＝2k，b＝ 6k，c＝( 3＋1)k，代入 cos A，cos B，cos C 求解． 【自主解答】 设 a＝2k，b＝ 6k，c＝( 3＋1)k(k>0)， 由余弦定理得 cos A＝b2＋2cb2c－a2＝6k2＋2 63＋3＋121k2k－2 4k2＝ 22，∴A＝45°. 同理可得 cos B＝12，B＝60°. ∴C＝180°－A－B＝75°.
【解析】 ∵cos A＝b2＋2cb2c－a2<0， ∴A∈(90°，180°)．∴△ABC 必为钝角三角形．
【答案】 钝角
[质疑·手记] 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1：____________________________________________________ 解惑：_____________________________________________________ 疑问2：____________________________________________________ 解惑：_____________________________________________________ 疑问3：____________________________________________________ 解惑：_____________________________________________________
为 锐角 ．
1．在△ABC 中，a＝3，b＝ 7，c＝2，则 B＝________. 【解析】 cos B＝a2＋2ca2c－b2＝9＋142－7＝12， ∴B＝60°. 【答案】 60°
2．在△ABC 中，若 b2＋c2－a2<0，则△ABC 必为________三角形. 【导学号：91730008】
即 c2－
6c＋1＝0，解得 c＝
6＋ 2
2或 c＝
6－ 2
2 .
当 c＝
6＋ 2
2时，由余弦定理得
cos A＝b2＋2cb2c－a2＝2＋ 2×
6＋ 2
2×
62＋2－23＝12. 2
∵0°<A<180°，∴A＝60°，∴C＝75°.
当 c＝
6－ 2
2时，由余弦定理得 cos A＝b2＋2cb2c－a2＝2＋ 2×
当 a＝6 时，由正弦定理得 sin A＝asibn B＝6×3 12＝1， ∴A＝90°， ∴C＝60°.
法二 由 b<c，B＝30°，b>csin 30°＝3 3×12＝323知本题有两解． 由正弦定理得 sin C＝csibn B＝3 33×12＝ 23， ∴C＝60°或 120°. 当 C＝60°时，A＝90°， 由勾股定理 a＝ b2＋c2＝ 32＋3 32＝6； 当 C＝120°时，A＝30°，△ABC 为等腰三角形， ∴a＝3. 综上所述，当 a＝3 时，A＝30°，C＝120°；当 a＝6 时，A＝90°，C＝60°.
1．在△ABC 中，若 b＝1，c＝ 3，A＝π6，则 a＝________. 【解析】 a＝ b2＋c2－2bccos A＝1. 【答案】 1
2．在△ABC 中，若 a＝5，c＝4，cos A＝196，则 b＝________. 【解析】 由余弦定理可知 25＝b2＋16－2×4bcos A， 即 b2－92b－9＝0， 解得 b＝6.
我还有这些不足： (1) ________________________________________________________ (2) ________________________________________________________ 我的课下提升方案： (1) ________________________________________________________ (2) ________________________________________________________
[再练一题] 1．在△ABC 中，若 b＝3，c＝3 3，B＝30°，解此三角形.
【导学号：91730009】
【解】 法一 由余弦定理 b2＝a2＋c2－2accos B， 得 32＝a2＋(3 3)2－2a×3 3×cos 30°， ∴a2－9a＋18＝0，得 a＝3 或 6. 当 a＝3 时，A＝30°， ∴C＝120°；
【答案】 6
教材整理 2 余弦定理的变形
阅读教材 P13“思考”以下内容～P14，完成下列问题．
1．余弦定理的变形
b2＋c2－a2
cos A＝ 2bc
，
a2＋c2－b2
cos B＝ 2ca
，
a2＋b2－c2
cos C＝ 2ab
.
2．余弦定理与勾股定理的关系
在△ABC 中，c2＝a2＋b2⇔C 为 直角；c2>a2＋b2⇔C 为 钝角 ；c2<a2＋b2⇔C
a>0， 故aa＋2＋aa＋2＋a11a>＋2a－＋1a2＋，22<0，
a>0， 即a>1，
a2－2a－3<0， 解得 1<a<3.
用余弦定理判断三角形的形状 1．在△ABC 中，若 a2<b2＋c2，则 0°<A<90°；反之，若 0°<A<90°，则 a2<b2 ＋c2. 2．在△ABC 中，若 a2＝b2＋c2，则 A＝90°；反之，若 A＝90°，则 a2＝b2＋c2. 3．在△ABC 中，若 a2>b2＋c2，则 90°<A<180°；反之，若 90°<A<180°，则 a2>b2 ＋c2. 提醒：①判断三角形形状时，要灵活选用公式，做到事半功倍．②注意题目 中的隐含条件，防止增解或漏解．
阶
段
阶
一
段
三
1.2 余弦定理
第 1 课时 余弦定理(1)
学Leabharlann 阶 段 二业 分 层 测