一招教你搞定不定方程
不定方程的四种基本解法
不定方程的四种基本解法哎，说起不定方程啊，可能不少小伙伴儿一听这个词儿，脑瓜子就开始嗡嗡的。
但其实呢，不定方程这东西，虽然看上去复杂了点儿，但咱们只要掌握了四种基本解法，就能跟它说拜拜，从此不再头疼啦！第一种解法，咱们叫它“试探法”，也叫“瞎猫碰上死耗子法”。
为啥这么说呢？因为这种方法就是靠咱们的感觉和运气，去猜一个可能的解。
听起来有点儿不靠谱是吧？但其实，有时候咱们还真能歪打正着，找到答案呢！比如说，给定一个不定方程，咱们可以先试着代入几个数，看看符不符合条件。
如果不行，就再换几个试试。
这种方法虽然有点笨，但有时候还真能解决问题。
毕竟，谁说运气不是实力的一部分呢？第二种解法，咱们得叫它“枚举法”，听着就挺高大上的吧？其实说白了，就是“一一列举法”。
这种方法适用于那些可能的解不太多的情况。
咱们可以把所有可能的解都列出来，然后一个个地检查，看哪个是符合条件的。
这种方法虽然有点儿费时费力，但胜在稳妥。
毕竟，咱们只要耐心点儿，总能找到正确答案的。
这就跟咱们平时找东西一样，虽然过程可能有点儿曲折，但总能找到的，对吧？第三种解法，咱们叫它“公式法”。
这种方法比较厉害，它是根据不定方程的特点，推导出一种公式，然后用这个公式去求解。
这种方法的好处是，只要咱们掌握了公式，就能很快地找到答案。
不过呢，这种方法也有个缺点，就是公式有时候挺难记的。
不过，这难不倒咱们，咱们可以多练习几次，就能把公式牢牢地记在脑子里了。
毕竟，熟能生巧嘛！第四种解法，咱们叫它“图像法”。
这种方法比较直观，它是用图形来表示不定方程的解。
咱们可以在坐标轴上画出不定方程的图像，然后通过观察图像，来找到符合条件的解。
这种方法的好处是，能让咱们更直观地理解不定方程的解，而且有时候还能发现一些隐藏的规律呢！不过呢，这种方法也有个缺点，就是得有点儿想象力。
毕竟，咱们得把抽象的不定方程想象成具体的图形，这可得费点儿劲儿。
不过，只要咱们肯动脑筋，就一定能做到的！其实啊，不定方程的解法还有很多，但上面这四种是最常用的。
不定方程常用六大解法
不定方程常用六大解法不定方程，听起来是不是有点高深？其实嘛，这就像找一把钥匙，钥匙能打开无数扇门。
今天咱们就聊聊不定方程的常用六大解法，轻松又幽默地走一遭，保证你听了后，能够眉开眼笑。
我们得说说“枚举法”。
这法子就像是逛超市，看见什么就试什么。
对于简单的不定方程，咱可以一个个地把可能的解都试一遍，最后总能找到那个合适的，简直就是开盲盒的乐趣！比如，假如有个方程让你找两个数，能不能说得通呢？你就一个个试着往里代，嘿，看看有没有合适的答案，简直像是在和数学玩捉迷藏。
接下来是“辗转相除法”。
这法子就像是把问题拆开，从大到小，一步步走。
这就像是做减法，遇到难题，咱就把它分解成更小的部分，慢慢来。
比如说你有个复杂的方程，先算出个简单的结果，然后再逐步递推，真是稳扎稳打，像是爬山一样，一步一个脚印，最后能看到山顶的美景。
然后，我们不能忘记“数形结合法”。
这玩意儿就像把方程画成图，形象化的东西总是让人觉得好理解。
想象一下，把数轴上点一点，给每个可能的解都标上一个小旗子，嘿！一眼就能看出哪些地方有解，哪些地方是死胡同，简直就像开了一场小小的数学派对，大家欢聚一堂，热热闹闹。
再往下说“求解特解法”。
这个方法有点像找特定的那种解，比如你想找一个特定的答案，可以试着先求出特解，然后再加上一些通解，哇，简直就是在做数学的“DIY”。
把各种材料拼凑在一起，最终呈现出一个完整的方程，就像做蛋糕，先有底再加上奶油，最后切开一看，哇，真香！接着咱们说说“同余法”。
这玩意儿有点像打麻将，讲究的是配合和策略。
你得找到一些数字之间的关系，像是把牌搭配起来，才能找到那种刚刚好的解。
用同余法解决不定方程，就像是在解谜，你得灵活应对，变换策略，嘿，最后能把谜底揭开，真是让人倍感成就感。
最后得提一下“二次方程法”，听上去很专业对吧？但其实不然。
这个方法就像是利用已知的解来推导未知的解。
比如说，你已经知道了一个方程的解，接着就可以运用二次方程的方法，推导出更多的解，简直就像是在编故事，从一个角色引出另外的角色，最后形成一个完整的故事链。
不定方程解题最快的方法
不定方程解题最快的方法不定方程是数学中一类非常常见的方程，其特点是未知数的个数多于方程个数，无法通过直接列方程求解。
面对这种类型的问题，快速有效的解题方法对于学生和研究者来说至关重要。
在这篇文章中，我们将探讨不定方程解题最快的方法。
一、理解不定方程的特点不定方程的特点在于未知数的个数多于方程个数，因此无法直接列方程求解。
这种类型的方程常常出现在日常生活中，如人数、物品数量等不确定的场合。
因此，掌握不定方程的特点是解决这类问题的第一步。
二、观察法与列举法观察法是解决不定方程的初步方法，通过观察已知条件，可以发现一些规律或线索。
列举法则是将所有可能的答案列举出来，逐一验证是否符合题意。
这两种方法在解决简单的不定方程问题时非常有效。
三、代数法与公式法当不定方程的个数较少，可以通过列方程求解时，代数法和公式法就变得非常有用。
代数法是通过建立方程组，利用代数知识求解未知数。
公式法则是在某些特殊情况下，利用已知条件通过公式求解未知数。
这两种方法需要一定的数学基础和技巧。
四、技巧与策略除了上述方法外，解决不定方程还有一些技巧和策略。
首先，对于简单的方程组，可以通过枚举部分答案，利用排除法快速找到答案。
其次，对于较大规模的不定方程问题，可以利用数学软件或计算机程序进行求解，提高解题效率。
最后，理解不定方程的本质和特点，根据实际情况灵活选择合适的方法，是提高解题速度的关键。
五、案例分析假设有10个人参加一场聚会，每人至少有一种饮料选择（果汁、咖啡、茶）。
已知聚会场所提供了三种饮料（牛奶、可乐、啤酒），且每种饮料的数量都足够。
为了方便起见，我们设聚会场所提供的饮料数量分别为：牛奶10瓶，可乐20瓶，啤酒15瓶。
现在我们需要求解在这些人中，至少有一种饮料选择的人数。
这是一个典型的不定方程问题。
策略：根据上述技巧和策略，我们可以采取列举法逐一列举所有可能的选择，再排除不符合条件的答案。
答案：15人。
这是因为每个人至少有一种饮料选择，而聚会总共有10个人，因此至少有一种饮料选择的人数为10+1=11-3=8+2=7+4=15人。
不定方程题目解题技巧
不定方程题目解题技巧今天来聊聊不定方程题目解题技巧的一些实用技巧。
我想起自己刚开始接触不定方程的时候，那真叫一个头大啊，就像走进了一个迷宫，到处都是岔路，完全不知道该往哪儿走。
比如说有一道题是这样的：“小明去买文具，铅笔每支2元，圆珠笔每支3元，他一共花了10元钱，问他买了几支铅笔和几支圆珠笔？”设买了x支铅笔，y支圆珠笔，那就是2x + 3y = 10。
这就是个不定方程，因为有两个未知数，却只有一个方程。
那怎么解呢？首先啊，我们可以对这个方程进行分析，找出未知数的取值范围。
这就好比在迷宫里先确定自己大概在哪个区域一样。
对于这道题，x和y肯定是大于等于0的整数呀。
对了，还有个事儿要说。
我一开始就只知道乱试数字，就是那种没有头绪的试。
结果花费了很多时间，有时候还解不出来。
这就像没头的苍蝇到处乱撞一样。
后来我就发现了一个小技巧，就是用系数的最大公因数来简化方程。
拿刚才那个方程来说，2和3的最大公因数是1。
虽然这里好像没什么特别的简化作用，但在其他方程里就不一样啦。
你可能会问，那如果方程稍微复杂点怎么办呢？比如说3x + 5y = 22。
这时候啊，我们可以看看余数的情况。
22除以3余1，5除以3余2，那y要是1的话，3x + 5就有可能符合等于22这个条件咯。
这就像是拼凑拼图，一块一块去试，看哪块合适。
不过呢，这个技巧也有局限性，有时候方程很复杂的时候，计算余数也不是那么容易找准答案的。
要是这个方法不行，还有个替代方案呢，就是根据取值范围一个一个有序地去试数字。
老实说，我一开始也不懂这些方法之间怎么灵活运用，也遇到很多解不出来题目的失败经历。
但是经过慢慢的练习，我就有了一点小小的心得。
这不定方程的解题啊，就像是做一场猜数字游戏，要多从不同的角度去思考，去尝试。
也要注意，在计算的时候一定要仔细，一个小错误就会导致整个结果都不对了。
就像盖房子，一块砖歪了，房子可能就不稳了。
希望大家在做不定方程题目的时候，多思考，多尝试不同的方法，也希望大家可以分享下自己的解题经验啊。
简单不定方程的四种基本解法
简单不定方程的四种基本解法
简单不定方程的四种基本解法
简介
不定方程是指含有未知数的整数方程，其解为整数或分数。
不定方程
是数论中的一个重要分支，具有广泛的应用价值。
在实际问题中，往
往需要求解不定方程来得到问题的解答。
本文将介绍四种基本的解决
不定方程的方法。
一、贪心算法
贪心算法是一种常见且有效的算法，它通常用于求解最优化问题。
在
求解不定方程时，贪心算法可以通过枚举未知数的值来逐步逼近最优解。
二、辗转相除法
辗转相除法也称为欧几里得算法，它是一种求最大公约数的有效方法。
在求解不定方程时，我们可以使用辗转相除法来判断是否存在整数解。
三、裴蜀定理
裴蜀定理是指对于任意给定的整数a和b，它们的最大公约数d可以
表示成ax+by的形式，其中x和y为整数。
在求解不定方程时，我们可以使用裴蜀定理来判断是否存在整数解，并且可以通过扩展欧几里
得算法来求得x和y。
四、同余模运算
同余模运算是指在模n的情况下，两个整数a和b满足a≡b(mod n)。
在求解不定方程时，我们可以使用同余模运算来判断是否存在整数解，并且可以通过中国剩余定理来求得解的具体值。
结论
以上四种方法是求解不定方程的基本方法，在实际问题中，我们可以
根据具体情况选择合适的方法来求解问题。
同时，需要注意的是，在
使用这些方法时需要注意算法复杂度和精度问题，以保证算法的正确
性和效率。
不定方程的四种常用解法，多种方法叠加使用效果更佳
不定方程的四种常用解法，多种方法叠加使用效果更佳含有未知数的等式称之为方程。
小学阶段最开始接触的是一个方程只有一个未知数的情况。
比如3x+2=8，解得x=2，这样解出来的答案是唯一性的。
但是有时候我们会遇到一个方程，有两个甚至三个未知数。
这样未知数个数大于方程个数的方程（组）叫不定方程（组）。
不定方程，一般情况下解是不唯一的。
方程比如说x+y=10，问这个方程有多少组解？如果不给其他条件限制，那么这个方程会有无数组解。
所以大多数的不定方程都会有较多的限制条件。
比如说限制这些未知数均为自然数，或在某个范围内。
还是以x+y=10为例，如果x、y都是自然数，那么x、y的解会有11组。
在小升初或各大小学杯赛题目中，会出现解不定方程。
不定方程，有四种比较常用的解法。
第一种：枚举法。
枚举法在很多地方都会用得上。
比如说计数，找规律等，虽然效率不是很高但适用范围比较广。
这种方法适用于一些系数比较大的不定方程。
因为系数比较大，出现的可能性就比较少，所以可以利用枚举的方法来解答。
比如说求这个不定方程的解，7x+2y=24（x、y均为自然数）。
因为x前面的它的系数比较大，所以说x的取值范围相对来说会比较小。
因为x、y都属于自然数，x最大是3，最小是0。
也就是说，x 有可能等于0、1、2、3，最多就这4种情况，我们可以把这些x的值分别代入这个方程中解出y的值。
我们会发现x=1和x=3这两种情况是不成立的。
第二种方法，奇偶性分析。
照样以上面的例题为例，我们用奇偶分析来帮助我们缩小x的取值范围。
两个数的和等于24，是一个偶数。
2y也一定是个偶数，所以说7x 的值一定是个偶数。
7是奇数，所以说x只能是偶数。
那么x又是从0~3，那么所以说x只能是0或者2这两种可能。
最后算出有两组答案：x=0,y=12；x=2,y=5。
第三种：余数分析。
也是用的比较多的方法，通常从系数较小的未知数入手。
它的原理其实就是利用了：和的余数等于余数的和，进行判断分析。
不定方程的所有解法
不定方程的所有解法全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：不定方程是指含有未知数的方程，且未知数的值不受限制，可以是整数、分数、无理数等。
解不定方程的方法有很多种，根据方程的形式和要求选择不同的解法。
本文将介绍不定方程的所有解法，包括质因数分解法、辗转相除法、模运算法、裴蜀定理、试错法等各种方法。
1. 质因数分解法对于形如ax+by=c的不定方程，可以通过质因数分解的方法来求解。
首先分别对a和b进行质因数分解，得到a=p1^a1 * p2^a2 * ... * pn^an，b=q1^b1 * q2^b2 * ... * qm^bm。
然后利用质因数分解的特性，可知如果c不能被a和b的所有质因数整除，那么方程就无整数解；如果c能被a和b的所有质因数整除，那么方程就有整数解。
这个方法在求解一些简单的不定方程时很有效。
2. 辗转相除法辗转相除法又称为欧几里德算法，用于求两个整数的最大公约数。
对于形如ax+by=c的不定方程，可以先利用辗转相除法求出a和b的最大公约数d，然后如果c能被d整除，就存在整数解；如果不能被d整除，那么方程就无解。
这个方法比较简单，但只适用于求解一次不定方程。
3. 模运算法模运算法是一种基于模运算的解法，对于形如ax≡b(mod m)的不定方程，可以通过求解同余方程得到解。
将方程转化为标准形式ax-my=b，然后求解同余方程ax≡b(mod m)，如果方程有解，则可以通过一些变换得到原方程的解。
这个方法适用于求解模运算的不定方程。
4. 裴蜀定理裴蜀定理也称为贝祖定理，是解一元不定方程的重要方法。
对于形如ax+by=c的不定方程，根据裴蜀定理，当且仅当c是a和b的最大公约数的倍数时，方程有整数解。
此时可以通过扩展欧几里德算法求出一组解，然后通过变换得到所有解。
这个方法适用于求解一元不定方程的情况。
5. 试错法试错法是一种通过列举所有可能解，然后逐一验证的方法。
对于一些简单的不定方程，可以通过试错法找到所有整数解。
3.2 不定方程的常用解法
3．2 不定方程的常用解法对于高次不定方程，求出其通解然后再讨论有时是不现实的，因为我们甚至还没有找到判别一个高次不定方程是否有解的统一方法，当然要求出通解就更难了．或许正是因为没有统一的方法来处理高次不定方程，对具体的问题往往有许多方法来处理，并且每一种方法都表现出一定的创造性，所以，高次不定方程的问题频繁在数学竞赛中出现．当然，结合整除与同余的一些理论，求解高次不定方程也有一些常见的处理思路和解决办法． 一、因式分解法将方程的一边变为常数，而含字母的一边可以进行因式分解，这样对常数进行素因数分解后，对比方程两边，考察各因式的每种取值情况就可将不定方程变为若干个方程组去求解．这就是因式分解法处理不定方程的基本思路．例1 求方程()101xy x y －＋＝ ① 的整数解．解：利用十字相乘，可将①变形为()()1010101x y －－＝ 而101为素数，故()1010x y －，－＝（1，101），（101，1），（－1，－101），（－101，－1）． 分别求解，得方程的整数解为()x y ，＝（11，111），（111，11），（9，－91），（－91，9）． 例2 是否存在整数x 、y 、z ，使得44422222222224x y z x y y z z x ＋＋＝＋＋＋？解：若存在整数x 、y 、z 满足条件，则()22222244424222x y y z z x x y z －＝＋＋－＋＋ ＝()()22222242224x yx y z z x y－＋＋＋－＋＝()2222224x y zxy －＋－＋＝()()22222222xy x y z xy x y z ＋＋－－－＋＝()()()()2222x y z z x y ＋－－－＝()()()()x y z x y z z x y y z x ＋＋＋－＋－＋－，这要求－24能表示为4个整数x y z ＋＋，x y z ＋－，z x y ＋－，y z x ＋－的乘积的形式，而这4个数中任意两个数之差都为偶数，故这4个数具有相同的奇偶性，由－24为偶数，知它们都是偶数，但这要求42|24，矛盾． 所以，不存在符合要求的整数．说明 熟悉海伦公式的读者可以一眼看穿问题的本质．事实上，ABC S ∆a 、b 、c 为△ABC的三边长，这就是海伦公式．根号里面的式子展开后就是222a b ＋222b c ＋222c a －4a －4b －4c ．例3 求所有的正整数对（m ，n ），使得5471mn n ＋＝－． ①解：将①移项后作因式分解，得()545433711m n n n n n n ＝＋＋＝＋＋－－ ＝()()()322111n n n n n n ＋＋－－＋＋＝()()3211n n n n －＋＋＋ ② 由①知n ＞1，而n ＝2时，可得m ＝2．下面考虑n ＞2的情形，我们先看②式右边两个式子的最大公因数．()()()()32322111111n n n n n n n n n n n －＋，＋＋＝－＋－＋＋＋－，＋＝()()()()22212123n n n n n n n n －＋，＋＋＝－＋＋＋＋－＋，＋ ＝()27n －＋，．故()3211|7n n n n －＋，＋＋．结合②式知31n n －＋与21n n ＋＋都是7的幂次，而它们在n ≥3时，都大于7，这导致 ()()2327|11n n n n －＋＋＋，与前所得矛盾．综上可知，只有（m ，n ）＝（2，2）符合要求．说明 对①式变形后，所得②式两边符合因式分解方法解不定方程的套路，但7m并不是一个常数，这里需要有另外的方法来处理才能继续下去．活学活用方能攻城拔寨．二、配方法配方是代数变形中的常见方法，在处理不定方程的问题时还可综合利用完全平方数的特性，因此配方法在求解不定方程时大有用武之地．例4 求不定方程2234335x xy y －＋＝的全部整数解． 解：对方程两边都乘以3，配方后即得()22325105x y y －＋＝． ①由①式得 25105y ≤， 所以 4y ≤．当4y ＝时，325x y －＝，此时原方程的解为（x ，y ）＝（1，4），（―1，―4）． 当1y ＝时，3210x y －＝，此时原方程的解为（x ，y ）＝（4，1），（―4，―1）．当023y ＝，，时，()232x y －分别为105，85，60 ．此时，所得的方程组显然无整数解． 上面的讨论表明，原方程有4组解：（x ，y ）＝（4，1），（1，4），（―4，―1），（―1，―4）． 例5 求方程2432x x y y y y ＋＝＋＋＋的整数解．解：同上例，对方程两边同乘以4，并对左边进行配方，得()()24322141x y y y y ＋＝＋＋＋＋． ①下面对①式右端进行估计．由于()43241y y y y ＋＋＋＋ ()222212y y y y ＝＋＋－＋ ()2222341y y y y ＝＋＋＋＋， 从而，当y ＞2或y ＜－1时，有()()()2222222121y y x y y ＋＜＋＜＋＋．由于22y y ＋与22y y ＋＋1是两个连续的整数，它们的平方之间不会含有完全平方数，故上式不成立． 因此只需考虑当－1≤y ≤2时方程的解，这是平凡的，容易得到原方程的全部整数解是 （x ，y ）＝（0，－1），（－1，－1），（0，0）（－1，0），（－6，2），（5，2）． 例6 求所有的正整数n ≥2，使得不定方程组22121222232322112211501612501612501612501612n nn n nn x x x x x x x x x x x xx x x x ⎧⎪⎪⎪⋯⎨⎪⎪⎪⎩－－＋＋＝＋＋＋＝＋＋＋＝＋＋＋＝＋ 有整数解．解：移项后配方，方程组变形为()()()()()()()()122122223221221850850850850n n n n x x x x x x n x x ⎧⎪⎪⎪⎪⋯⎨⎪⎪⎪⎪⎩－－－＋－6＝， ①－＋－6＝， ②－＋－6＝， －＋－6＝．由于50表示为两个正整数的平方和只有两种：2222501755＝＋＝＋，所以，由①知261x －＝、5或7，而由②知281x －＝、5或7，从而21x ＝、7、13．进一步，可知对每个1≤i ≤n ，都有1i x ＝，7或13，依11x ＝、7、13 ，分三种情况讨论． 若11x ＝，则由①知27x ＝，再由②知313x ＝，依次往下递推，可知当()1mod3k ≡时，1k x ＝；当()2mod3k ≡时，7k x ＝；当()0mod3k ≡时，13k x ＝．所以，由第n 式，知当且仅当()11mod3n ≡＋时，原方程组有整数解，即当且仅当3|n 时，n 符合要求．对另外两种情况17x ＝和113x ＝同样讨论，得到的条件是一样的． 综上可知，满足条件的n 是所有3的倍数．说明 进一步讨论可知，当3|n 时，方程组恰有3组整数解．三、不等式估计利用不等式的知识，先确定不定方程中的某个字母的范围，然后逐个枚举得到所有解，这个方法称为不等式估计，它也是我们处理不定方程的常见方法．当然，如果能够恰当地利用字母的对称性等，那么作不等式估计时会简洁很多．例7 求不定方程3361x y xy －＝＋的正整数解．解：设（x ，y ）为方程的正整数解，则x ＞y ．设x ＝y ＋d ，则d 为正整数，且()()3361y d y y d y ＋＋＝＋－22333dy yd d ＝＋＋，即有 ()()23313161d y d d y d －＋－＋＝．故 361d ＜， 于是 3d ≤． 分别令1d ＝、2、3代入，得222161y y ＋＋＝， 2510861y y ＋＋＝， 28242761y y ＋＋＝．只有第一个方程有整数解，并由y 为正整数知y ＝5，进而x ＝6．所以，原方程只有一组正整数解（x ，y ）＝（6，5）． 例8 求所有的正整数a 、b ，使得22444aa b ＋＋＝． ①解：若（a ，b ）是满足①的正整数数对，则2b 为偶数，且24ab ＞，从而b 为偶数，且2ab ＞，故22ab ≥＋．于是()22244422a aa b ＋＋＝≥＋4a ＝＋4·2a ＋4，知22aa ≥，可得4a ≤（对a 归纳可证：当5a ≥时，有22aa ＜）．分别就a ＝1，2，3，4代入①式，可得方程的所有正整数解为（a ，b ）＝（2，6）或（4，18）．例9 求所有的正整数数组（a ，b ，c ，x ，y ，z ），使得a b c xyz x y z abc ⎧⎨⎩＋＋＝，＋＋＝，这里a b c ≥≥，x y z ≥≥．解：由对称性，我们只需考虑x a ≥的情形．这时 33xyz a b c a x ＝＋＋≤≤， 故 3yz ≤，于是 （y ，z ）＝（1，1），（2，1），（3，1）．当（y ，z ）＝（1，1）时，a b c x ＋＋＝且2x abc ＋＝，于是 2abc a b c ＝＋＋＋． 若2c ≥，则2324a b c a a abc ＋＋＋≤＋≤≤， 等号当且仅当2a b c ＝＝＝时成立．若1c ＝，则3ab a b ＝＋＋， 即 ()()114a b －－＝，得 （a ，b ）＝（5，2），（3，3）．当（y ，z ）＝（2，1）时，2266abc x a b c ＝＋＝＋＋＋，与上述类似讨论可知c ＝1，进而()()212115a b －－＝，得 （a ，b ）＝（3，2）． 当（y ，z ）＝（3，1）时，331212abc x a b c ＝＋＝＋＋＋，类似可知，此时无解．综上所述，可知（a ，b ，c ，x ，y ，z ） ＝（2，2，2，6，1，1），（5，2，1，8，1，1），（3，3，1，7，1，1）， （3，2，1，3，2，1），（6，1，1，2，2，2），（8，1，1，5，2，1）， （7，1，1，3，3，1）．说明 此题中如果没有条件a ≥b ≥c 和x ≥y ≥z ，也需要利用对称性作出这样的假设后再处理，解题中利用对称性假设x ≥a 是巧妙的，这样问题就转化为只有3种情况而便于处理了．四、同余方法若不定方程()120n F x x x ，，…，＝有整数解，则对任意的*m N ∈，其整数解（1x ，2x ，…，n x ）均满足()()120mod n F x x x m ≡，，…，．运用这一条件，同余可以作为不定方程是否有整数解的一块试金石． 例10 证明：不定方程22386x y z ＋－＝ ①没有整数解．证明 若（x ，y ，z ）是方程①的整数解，对①的两边模2，可知x 、y 同奇偶；再对①两边模4可知x 、y 都为奇数，于是()221mod8x y ≡≡，这要求6()22382mod8x y z ≡＝＋－，矛盾．故方程①没有整数解．说明 利用同余方法解不定方程问题时，选择恰当的数作为模是十分重要的，它不仅涉及问题解决的繁简程度，重要的是能否卡住字母的范围或导出矛盾． 例11 求所有的非负整数x 、y 、z ，使得223xyz ＋＝． ①解：（1）当y ＝0时，有()()22111xz z z ＝－＝－＋，于是可设 2z α－1＝，2z β＋1＝，0αβ≤≤，因此 222βα－＝．此时，若2α≥，则4|22βα－，与42矛盾，故1α≤．而0α＝导致23β＝，矛盾，故1α＝，2β＝，所以 z ＝3，x ＝3，得 （x ，y ，z ）＝（3，0，3）（2）当y ＞0时，由于323xy＋，故3z ，所以 ()21mod3z ≡．对①两边模3，知()()11mod3x≡－， 故x 为偶数，现在设x ＝2m ，则 ()()223mmyz z －＋＝，所以可设 23mz α－＝，23m z β＋＝，0αβ≤≤，y αβ＋＝， 于是 1332m βα＋－＝，若α≥1，则3|33βα－，但132m ＋，矛盾，故α＝0，因此1312m β＋－＝． 当m ＝0时，β＝1，得（x ，y ，z ）＝（0，1，2）； 当m ＞0时，()120mod4m ＋＝，故 ()31mod4β＝， 这要求β位偶数，设β＝2n ，则()()122313131m n n n ＋＝－＝－＋， 同y ＝0时的讨论，可知 312n－＝，即n ＝1，进而m ＝2，得 （x ，y ，z ）＝（4，2，5）． 所以（x ，y ，z ）＝（3，0，3），（0，1，2），（4，2，5）．例12 设m 、n 为正整数，且n ＞1，求25m n －的最小值．解：由于25m n －为奇数，而m ＝7，n ＝3时，253m n －＝，故若能证明n ＞1时，251m n －≠，则所求的最小值为3．若存在正整数m 、n ，使得n ＞1，且251m n －＝，则251m n －＝或251m n－＝－． 如果251mn－＝，那么m ≥3，两边模8，要求()57mod8n ≡， 但对任意正整数n ，51n≡或()5mod8，矛盾，故251mn－＝不成立． 如果251m n－＝－，那么由n ＞1，知m ≥3．两边模8，得 ()51mod8n≡，可知n 为偶数．设n ＝2x ，x 为正整数，则 ()()25151m x x ＝－＋， 由于51x－与51x＋是两个相邻偶数，这要求512x －＝，514x＋＝， 不可能．所以，25mn－的最小值为3．说明 上面的两个例子都用到了一个结论：两个差为2的正整数之积为2的幂次，则这两个数只能为2和4．该结论在例11的前半段解答中已予以证明．五、构造法有些不定方程的问题只需证明该方程有解或有无穷多个解，这时经常采用构造法来处理． 例13 证明：方程253x y z ＋＝有无穷多组满足0xyz ≠的整数解．证明 取15102k x ＋＝，642k y ＋＝，1072k z ＋＝，k 为非负整数，则这样的x 、y 、z 满足253x y z ＋＝，所以方程有无穷多组满足0xyz ≠的整数解．另证 先求方程的一组特解，易知x ＝10，y ＝3，z ＝7 是方程253x y z ＋＝的一组解．因而1510k x a ＝，63k y a ＝，107k z a ＝（a ，k 为非负整数）是方程的解．例14 证明：对任意整数n ，方程222x y z n ＋－＝ ①证明 现有命题“当m 为奇数或4的倍数时，方程22a b m －＝有整数解（a ，b ）”，它对解决本题是有用的．这个命题基于下面2个恒等式：()22121k k k ＋－＝＋，()()2214k k k ＋－－1＝．对于方程①，只需取x ，使x 与n 的奇偶性相反（这样的x 有无穷多个），从而利用上述命题，方程 222y z n x －＝－ 有整数解，可知方程①有无穷多组整数解．例15 是否存在两两不同的正整数m 、n 、p 、q ，使得m n p q ＋＝＋2012都成立？解：存在满足条件的正整数．由方程的结构，我们寻找形如2m a ＝，3n b ＝，2p c ＝，3q d ＝的正整数．这里a 、b 、c 、d 为正整数． 此时，条件转化为2012a b c d ＋＝＋＞，2323a b c d ＋＝＋，即 a c d b －＝－，()()()()22a c a c d b d bd b －＋＝－＋＋．令1d b －＝，即1b d ＝－，且使2012b ＞，则b 、d 的奇偶性不同，现令2212b bd d a ＋＋＋＝，2212b bd dc ＋＋－＝，那么a 、c 为正整数，且由a 、b 、c 、d 确定的m 、n 、p 、q 满足条件．例16 证明：存在无穷多组正整数组()x y z ，，，使得x 、y 、z 两两不同，并且 33xx y z ＝＋．证明 一个想法是：将x 取为3k ＋1形式的数，这时()3131k x x k ＋＝＋()()33131kk k ＝＋＋ ()()3333131k kk k k ＝＋＋＋因此，如果使3k 为一个完全立方数，那么符合要求的正整数x 、y 、z 就找到了．为此，令323m k ＋＝，这里m 为正整数，那么令31x k ＝＋，()1331km x k ＋＝＋，()31kz k ＝＋，则x 、y 、z 两两不同，且满足33xx y z ＝＋．命题获证．说明 如果不要求x 、y 、z 两两不同，我们还可以这样来构造：取2m y z ＝＝，2x α＝，则当231m αα•＝＋时，就有33xx y z ＝＋．容易看出满足231m αα•＝＋的正整数对()m α，有无穷多对．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
一招教你搞定不定方程
一相关概念
1.什么是不定方程
未知数个数多于方程个数的方程，叫做不定方程，比如：3x+4y=42就是一个二元一次方程。
在各类公务员考试中通常只讨论它的整数解或正整数解。
在解不定方程问题时，我们可以利用整数的奇偶性、自然数的质合性、数的整除特性、尾数法、特殊值法、代入排除法等多种数学知识来得到答案。
但是方法越是繁多，我们在备考过程中学习的压力就越大，为了让大家更好的地理解和掌握不定方程的求解问题，这里我们介绍一种“万能”的方法——利用同余性质求解不定方程。
2.什么是余数
被除数减去商和除数的积，结果叫做余数。
比如：19除以3，如果商6，余数就是1；如果商是5，余数就是4；如果商是7，余数就是-2.（注意，这里余数的概念指的是广义上的概念，即余数不再是比除数小的正整数）。
3.关于同余特性
①余数的和决定和的余数
例：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16=39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1；23，24除以5的余数分别是3和4，所以23+24除以5的余数等于余数和7，正余数是2.
②余数的差决定差的余数；
例：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23-16=7除以5的余数等于2，即两个余数的差3-1；16-23除以5的负余数为-2，正余数为3.
③余数的积决定积的余数；
例：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1=3。
二利用同余性质解不定方程
例1：解不定方程x+3y=100，x，y皆为整数。
A 41
B 42
C 43
D 44
解析：因为3y能够被3整除，100除以3余1，根据余数的和决定和的余数，x除以3必定是余1的，所以答案为C。
例2:：今有桃95个，分给甲，乙两个工作组的工人吃，甲组分到的桃有2/9是坏的，其他是好的，乙组分到的桃有3/16是坏的，其他是好的。
甲，乙两组分到的好桃共有多少个？
A.63
B.75
C.79
D.86
解析：由题意，甲组分到的桃的个数是9的倍数，乙组分到的桃的个数是16的倍数。
设甲组分到的桃有9x个，乙组分到16y个，则9x+16y=95。
因为9x 可以被9整除，所以95除以9的余数就等于16y除以9的余数，95除以9余5（或者余14），16y除以9的余数由16除以9的余数（7）和y除以9的余数之积决定，所以可以推出：y除以9的余数是2，那么y的值只能取2，进而求出x=7，,则甲、乙两组分到的好桃共有7x+13y=7×7+13×2=75个，答案选B。