(完整word版)河南农业大学高等数学2010考试题

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（完整）2010年全国高考数学试题及答案-全国2卷,推荐文档

（完整）2010年全国高考数学试题及答案-全国2卷,推荐文档绝密★启用前2010年普通高等学校招生全国统一考试（全国Ⅱ卷）文科数学第Ⅰ卷（选择题）本卷共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么球的表面积公式(+)()+()P A B P A P B = S=4πR 2如果事件A 、B 相互独立，那么其中R 表示球的半径()()()P A B P A P B ?=? 球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么34V R 3π= n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率其中R 表示球的半径P ()(1)(0,1,2,,)k k n k n n k C p p k n -=-=L一、选择题（1）设全集{}*U 6x N x =∈<，集合{}{}A 1,3B 3,5==，,则U ()A B =U e（）（Ａ）{}1,4 （Ｂ）{}1,5 （Ｃ）{}2,4 （Ｄ）{}2,5（２）不等式302x x -<+的解集为（）（Ａ）{}23x x -<< （Ｂ）{}2x x <-（Ｃ）{}23x x x <->或（Ｄ）{}3x x >（3）已知2sin 3α=，则cos(2)πα-= (A) 53- (B) 19- (C) 19(D) 53 （4）函数1ln(1)(1)y x x =+->的反函数是(A) 11(0)x y ex +=-> (B) 11(0)x y e x -=+> (C) 11(R)x y e x +=-∈ (D) 11(R)x y e x -=+∈ (5) 若变量,x y 满足约束条件1325x y x x y ≥-??≥??+≤?，则2z x y =+的最大值为(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D)4（6）如果等差数列{}n a 中，3a +4a +5a =12，那么1a +2a +…+7a =(A) 14 (B) 21 (C) 28 (D)35（7）若曲线2y x ax b =++在点(0,)b 处的切线方程式10x y -+=，则（A ）1,1a b == （B ）1,1a b =-=（C ）1,1a b ==- （D ）1,1a b =-=-（8）已知三棱锥S ABC -中，底面ABC 为边长等于2的等边三角形，SA 垂直于底面ABC ，SA=3，那么直线AB 与平面SBC 所成角的正弦值为（A ）3 （B ）5 （C ）7 （D ） 34（9）将标号为1,2,3,4,5,6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1,2的卡片放入同一信封，则不同的放法共有（A ）12种（B ）18种（C ）36种（D ）54种（10）△ABC 中，点D 在边AB 上，CD 平分∠ACB ，若CB a =，CA b =，1,2a b ==，则CD =（A ）1233a b + （B ）2233a b + （C ）3455a b + （D ）4355a b + （11）与正方体1111ABCD A B C D -的三条棱AB 、1CC 、11A D 所在直线的距离相等的点（A ）有且只有1个（B ）有且只有2个（C ）有且只有3个（D ）有无数个（12）已知椭圆C ：22x a +22by =1(0)a b >>的离心率为23，过右焦点F 且斜率为k （k ＞0）的直线与C 相交于A 、B 两点，若AF =3FB ，则k = （A ）1（B ）2 （C ）3 （D ）2第Ⅱ卷（非选择题）二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

2010高考全国Ⅰ数学试题与答案

2010年普通高等学校招生全国统一考试文科数学(必修+选修> 解读版参考公式：如果事件互斥，那么球的表面积公式如果事件相互独立，那么其中R表示球的半径球的体积公式如果事件A在一次实验中发生的概率是，那么次独立重复实验中事件恰好发生次的概率其中R表示球的半径一、选择题(1>(A> (B>- (C> (D>1.C【命题意图】本小题主要考查诱导公式、特殊三角函数值等三角函数知识【解读】(2>设全集，集合，，则A.B.C. D.2.C 【命题意图】本小题主要考查集合的概念、集合运算等集合有关知识【解读】，，则=(3>若变量满足约束条件则的最大值为(A>4 (B>3 (C>2 (D>13.B 【命题意图】本小题主要考查线性规划知识、作图、识图能力及计算能力.【解读】画出可行域<如右图），，由图可知,当直线经过点A(1,-1>时，z最大，且最大值为.<4）已知各项均为正数的等比数列{}，=5，=10，则(A>(B> 7 (C> 6 (D>A4.A【命题意图】本小题主要考查等比数列的性质、指数幂的运算、根式与指数式的互化等知识，着重考查了转化与化归的数学思想.mmVxZudVti【解读】由等比数列的性质知，10,所以,所以(5>的展开式的系数是(A>-6 (B>-3 (C>0 (D>35.A. 【命题意图】本小题主要考查了考生对二项式定理的掌握情况，尤其是展开式的通项公式的灵活应用，以及能否区分展开式中项的系数与其二项式系数，同时也考查了考生的一些基本运算能力.mmVxZudVti【解读】的系数是 -12+6=-6(6>直三棱柱中，若，，则异面直线与所成的角等于(A>30° (B>45°(C>60° (D>90°6.C【命题意图】本小题主要考查直三棱柱的性质、异面直线所成的角、异面直线所成的角的求法.【解读】延长CA到D，使得，则为平行四边形，就是异面直线与所成的角，又三角形为等边三角形，(7>已知函数.若且，，则的取值范围是(A> (B>(C> (D>7.C【命题意图】本小题主要考查对数函数的性质、函数的单调性、函数的值域，考生在做本小题时极易忽视a的取值范围，而利用均值不等式求得a+b=,从而错选D,这也是命题者的用苦良心之处.mmVxZudVti【解读1】因为 f(a>=f(b>,所以|lga|=|lgb|,所以a=b(舍去>，或，所以a+b=又0<a<b,所以0<a<1<b，令由“对勾”函数的性质知函数在(0,1>上为减函数，所以f(a>>f(1>=1+1=2,即a+b的取值范围是(2,+∞>.mmVxZudVti【解读2】由0<a<b,且f(a>=f(b>得：，利用线性规划得：，化为求的取值范围问题，，过点时z最小为2,∴(C> mmVxZudVti<8）已知、为双曲线C:的左、右焦点，点P在C上，∠=，则A BC DA 1B 1C 1D 1O(A>2 (B>4 (C> 6 (D> 88.B 【命题意图】本小题主要考查双曲线定义、几何性质、余弦定理，考查转化的数学思想，通过本题可以有效地考查考生的综合运用能力及运算能力.mmVxZudVti 【解读1】.由余弦定理得cos ∠P =4【解读2】由焦点三角形面积公式得：4<9）正方体-中，与平面所成角的余弦值为 <A ）<B ）<C ） <D ）9.D 【命题意图】本小题主要考查正方体的性质、直线与平面所成的角、点到平面的距离的求法，利用等体积转化求出D 到平面AC 的距离是解决本题的关键所在,这也是转化思想的具体体现.mmVxZudVti 【解读1】因为BB1//DD1,所以B 与平面AC 所成角和DD1与平面AC 所成角相等,设DO⊥平面AC，由等体积法得,即.设DD1=a,mmVxZudVti则,.所以,记DD1与平面AC所成角为,则,所以.【解读2】设上下底面的中心分别为；与平面AC所成角就是B与平面AC所成角，<10）设则<A）<B） (C> (D>10.C 【命题意图】本小题以指数、对数为载体，主要考查指数函数与对数函数的性质、实数大小的比较、换底公式、不等式中的倒数法则的应用.mmVxZudVti【解读1】 a=2=, b=In2=,而,所以a<b,c==,而,所以c<a,综上c<a<b.【解读2】a=2=,b=ln2=, ，； c=，∴c<a<b<11）已知圆的半径为1，PA、PB为该圆的两条切线，A、B为两切点，那么的最小值为(A> (B> (C> (D>11.D【命题意图】本小题主要考查向量的数量积运算与圆的切线长定理，着重考查最值的求法——判别式法,同时也考查了考生综合运用数学知识解题的能力及运算能力.mmVxZudVti 【解读1】如图所示：设PA=PB=,∠APO=,则∠APB=，PO=，，===，令，则，即，由是实数，所以，，解得或.故.此时.【解读2】设，换元：，【解读3】建系：园的方程为，设，<12）已知在半径为2的球面上有A、B、C、D四点，若AB=CD=2,则四面体ABCD的体积的最大值为mmVxZudVti(A> (B> (C> (D>12.B【命题意图】本小题主要考查几何体的体积的计算、球的性质、异面直线的距离,通过球这个载体考查考生的空间想象能力及推理运算能力.mmVxZudVti【解读】过CD作平面PCD，使AB⊥平面PCD,交AB与P,设点P到CD的距离为,则有,当直径通过AB与CD的中点时,,故.mmVxZudVti第Ⅱ卷注意事项：1．答题前，考生先在答题卡上用直径0.5毫M黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码。

2010“专升本”《高数》试题及答案

《高等数学》试卷一、单项选择题（每题2分，共计60分，在每小题的备选答案中选出一个正确答案，并将其代码写在题干后面的括号内。

不选、错选或多选者，该题无分）1.已知函数)12(-x f 的定义域为]1,0[ ，则)(x f 的定义域为（）A. ]1,21[ B. ]1,1[- C. ]1,0[ D. ]2,1[-解：B x x ⇒≤-≤-⇒≤≤112110.2.)1lg()(2x x x f -+=在),(+∞-∞是（） A ．奇函数 B. 偶函数 C.非奇非偶函数 D. 既奇又偶函数解：01lg )1lg()1lg()()(22==+++-+=-+x x x x x f x f A ⇒. 3. 当0→x 时，x x s i n 2-是x的（） A. 高阶无穷小 B. 低阶无穷小 C. 同阶非等价无穷小 D. 等价无穷小解： 1sin lim20-=-→x x x x ， C ⇒. 4.=+∞→nn n n sin 32lim （）A. ∞B. 2C. 3D. 5 解：B n n n n n n n ⇒=+=+∞→∞→2]sin 32[lim sin 32lim . 5.设函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠-=0,10,1)(2x a x x e x f ax 在0=x 处连续，则 =a （） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 解：B a a a ae x e x f ax x ax x x ⇒=⇒+===-=→→→1122lim 1lim)(lim 20200. 6. 设函数)(x f 在1=x 可导，则=--+→xx f x f x )1()21(lim0 （） A. )1(f ' B. )1(2f ' C. )1(3f ' D. -)1(f '解：x x f f f x f x x f x f x x )1()1()1()21(lim )1()21(lim 00--+-+=--+→→ C f x f x f x f x f x x ⇒'=---+-+=→→)1(3)1()1(lim 2)1()21(lim200 7. 若曲线12+=x y 上点M 处的切线与直线14+=x y 平行，则M 的坐标（）A. （2，5）B. （-2，5）C. （1，2）D.（-1，2）解： A y x x x y ⇒==⇒=⇒='5,5422000.8.设⎪⎩⎪⎨⎧==⎰202cos sin ty du u x t ，则=dx dy （） A. 2t B. t 2 C.-2t D. t 2-解： D t tt t dx dy ⇒-=-=2sin sin 222. 9.已知x x x f n ln )()2(=-，则=)()(x f n （）A.211x+ B. x 1C. x lnD. x x ln 解：B x x f x x f x x x f n n n ⇒=⇒+=⇒=--1)(ln 1)(ln )()()1()2(.10.233222++--=x x x x y 有（）A. 一条垂直渐近线，一条水平渐近线B. 两条垂直渐近线，一条水平渐近线C. 一条垂直渐近线，两条水平渐近线D. 两条垂直渐近线，两条水平渐近线解：A y y y x x x x x x x x y x x x ⇒∞=-==⇒++-+=++--=-→-→∞→2122lim ,4lim ,2lim )2)(1()3)(1(2332 . 11.在下列给定的区间满足罗尔中值定理的是（）A. ]2,0[|,1|-=x yB. ]2,0[,)1(132-=x yC.]2,1[,232+-=x x y D ． ]1,0[,arcsin x x y = 解：由罗尔中值定理条件：连续、可导及端点的函数值相等C ⇒12. 函数x e y -=在区间),(+∞-∞为（）A. 单增且凹B. 单增且凸C. 单减且凹D. 单减且凸解： C e y e y x x ⇒>=''<-='--0,0.13.⎰+=C x F dx x f )()(曲线，则⎰=--dx e f e xx )( （） A.C e F e x x ++--)( B. C e F e x x +---)(C. C e F x +-)(D. C e F x +--)(解：D C e F e d e f dx e f e xx x x x ⇒+-=-=⎰⎰-----)()()()(.14. 设函数x e x f =-')12( ，则 =)(x f （）A. C e x +-1221 B. C e x +-)1(212 C. C e x ++1221 D. C e x ++)1(212解：D C e x f e x f e x f x x x ⇒+=⇒='⇒=-'++)1(21)1(212)()()12(. 15. =⎰b axdx dx darctan （）A.x arctanB. 0C. a b arctan arctan -D. a b arctan arctan + 解：⎰b a xdx arctan 是常数，所以 B xdx dx d ba ⇒=⎰0arctan .16.下列广义积分收敛的为（） A. ⎰+∞1dx e x B. ⎰+∞11dx x C. ⎰+∞+1241dx x D. ⎰+∞1cos xdx 解：C x dx x ⇒-==++∞∞+⎰)21arctan 4(412arctan 4141112π. 17.设区域D 由)(),(,),(,x g y x f y a b b x a x ==>==所围成，则区域D 的面积为（） A. ⎰-b a dx x g x f )]()([ B. ⎰-b a dx x g x f )]()([ C. ⎰-b adx x f x g )]()([ D. ⎰-b adx x g x f |)()(|解：由定积分的几何意义可得D 的面积为 ⎰-badx x g x f |)()(|D ⇒.18. 若直线32311-=+=-z n y x 与平面01343=++-z y x 平行，则常数=n （）A. 2B. 3C. 4D. 5 解： B n n n ⇒=⇒=+-⇒-⊥30943}3,43{}3,,1{.19.设y xy x y x f arcsin)1(),(-+=，则偏导数)1,(x f x '为（） A.2 B.1 C.-1 D.-2 解： B x f x x f x ⇒='⇒=1)1,()1,(. 20. 方程02=-xyz e z 确定函数),(y x f z = ，则x z ∂∂ = （）A. )12(-z x zB. )12(+z x zC. )12(-z x yD. )12(+z x y解：令⇒-='-='⇒-=xy e F yz F xyz e z y x F z z x z 222,),,( A z x zxy xyz yz xy e yz x z z ⇒-=-=-=∂∂⇒)12(222 21.设函数xy y x z +=2，则===11y x dz （）A. dy dx 2+B. dy dx 2-C. dy dx +2D. dy dx -2 解：222x ydx xdy dy x xydx dz -++= A dy dx dx dy dy dx dz y x ⇒+=-++=⇒==2211.22.函数2033222+--=y x xy z 在定义域上（）A.有极大值，无极小值B. 无极大值，有极小值C.有极大值，有极小值D. 无极大值，无极小值解：,6)0,0(),(062,06222-=∂∂⇒=⇒=-=∂∂=-=∂∂x z y x y x y z x y x z⇒=∂∂∂-=∂∂2,6222y x zy z 是极大值A ⇒. 23由012222=+--+y x y x 围成的闭区域D ，则=⎰⎰Ddxdy （）A. πB. 2πC.4πD. 16π解：有二重积分的几何意义知：=⎰⎰Ddxdy 区域D 的面积为π.24累次积分⎰⎰>axa dy y x f dx 0)0(),(交换后为（）A. ⎰⎰a x dx y x f dy 0),( B. ⎰⎰a aydx y x f dy 0),(C. ⎰⎰a a dx y x f dy 0),( D. ⎰⎰a yadx y x f dy 0),(解：积分区域},0|),{(}0,0|),{(a x y a y y x x y a x y x D ≤≤≤≤=≤≤≤≤=B ⇒.25.二重积分⎰⎰20sin 20)sin ,cos (πθθθθrdr r r f d 在直角坐标系下积分区域可表示为（）A. ,222y y x ≤+B. ,222≤+y xC. ,222x y x ≤+D. 220y y x -≤≤ 解：在极坐标下积分区域可表示为：}sin 20,20|),{(θπθθ≤≤≤≤=r r D ，在直角坐标系下边界方程为y y x 222=+，积分区域为右半圆域D ⇒26.设L 为直线1=+y x 坐标从点)0,1(A 到)1,0(B 的有向线段，则⎰-+L dy dx y x )( （） A. 2 B.1 C. -1 D. -2解：L ：,1⎩⎨⎧-==x y xx x 从1变到0 ，⎰⎰⇒-=+=-+012)(D dx dx dy dx y x L . 27.下列级数绝对收敛的是（）A ．∑∞=1sin n n πB ．∑∞=-1sin )1(n n n π C ． ∑∞=-12sin )1(n n n π D ． ∑∞=0cos n n π解： ⇒<22sin n n ππC n n ⇒∑∞=12sin π. 28. 设幂级数n n n n a x a (0∑∞=为常数 ,2,1,0=n ），在 2-=x 处收敛，则∑∞=-0)1(n n na （）A. 绝对收敛B. 条件收敛C. 发散D. 敛散性不确定解：∑∞=0n nn x a 在2-=x 收敛，则在1-=x 绝对收敛，即级数∑∞=-0)1(n n n a 绝对收敛A ⇒.29. 微分方程0sin cos cos sin =+ydx x ydy x 的通解为（） A.C y x =sin cos B. C y x =cos sin C. C y x =sin sin D. C y x =cos cos 解：dx x x dy y y ydx x ydy x sin cos sin cos 0sin cos cos sin -=⇒=+ C C x y x x d y y d ⇒=+⇒-=⇒ln sin ln sin ln sin sin sin sin . 30.微分方程x xe y y y -=-'+''2，特解用特定系数法可设为（） A.x e b ax x y -+=*)( B. x e b ax x y -+=*)(2 C. x e b ax y -+=*)( D. x axe y -=* 解：-1不是微分方程的特征根，x 为一次多项式，可设x e b ax y -+=*)( C ⇒.二、填空题（每题2分，共30分） 31.设 ,1||,01||,1)(⎩⎨⎧>≤=x x x f ，则=)(sin x f _________ 解：1)(sin 1}sin |=⇒≤x f x .32.若=--+→x x x x 231lim 22=_____________ 解：=++=++--=--+→→→)31(1lim )31)(2()2(lim 231lim 2222x x x x x x x x x x x x 123341==. 33.已知x y 2arctan =，则=dy __________ 解：dx xdy 2412+= . 34.函数 bx x a x x f ++=23)(，在1-=x 处取得极值-2，则_______,==b a . 解：b a b a b ax x x f -+-=-=+-⇒++='12,02323)(2.5,4==⇒b a .35.曲线12323-+-=x x x y 的拐点为 __________解：)1,1(),(0662632-=⇒=-=''⇒+-='y x x y x x y .36.设)(),(x g x f 是可微函数，且为某函数的原函数，有1)1(,3)1(==g f 则=-)()(x g x f _________解：2)1()1()()(=-=⇒=-g f C C x g x f 2)()(=-⇒x g x f .37.⎰-=+ππ)sin (32x x _________解：3202sin )sin (023232ππππππππ=+=+=+⎰⎰⎰⎰---x xdx dx x x x . 38.设⎪⎩⎪⎨⎧<≥=0,0,)(2x x x e x f x ，则 ⎰=-20)1(dx x f __________解：⎰⎰⎰⎰--=--=+==-201110012132)()1(e dx e dx x dt t f dx x f x t x .39. 已知 }1,1,2{},2,1,1{-==b a，则向量a 与b 的夹角为=__________解：3,21663||||,cos π>=⇒<==⋅>=<b a b a b a b a.40.空间曲线⎩⎨⎧==022z xy 绕x 轴旋转所得到的曲面方程为 _________.解：把x y 22=中的2y 换成22y z +即得所求曲面方程x y z 222=+.41. 函数y x x z sin 22+=，则 =∂∂∂yx z2_________解： ⇒+=∂∂y x x x z sin 22y x yx z cos 22==∂∂∂ . 42.设区域}11,10|),{(≤≤-≤≤=y x y x D ，则___)(2⎰⎰=-Ddxdy xy . 解：⎰⎰⎰⎰⎰-=-=-=--Ddx x dy x y dx dxdy x y 102101122322)()( .43. 函数2)(x e x f -=在0=x 处的展开成幂级数为________________解： ∑∞=⇒=0!n n xn x e ∑∑∞=∞=-+∞-∞∈-=-==0022),(,!1)1(!)()(2n n n n n x x x n n x e x f .44.幂级数∑∞=+++-0112)1()1(n n n nn x 的和函数为 _________ 解：∑∑∑∞=∞=-+∞=+++=-=+-=+-0111011)21ln()2()1(1)2()1(2)1()1(n n nn n n n n n nx n x n x n x .45.通解为x x e C e C y 321+=-的二阶线性齐次常系数微分方程为_________解：x x e C e C y 321+=-0323,1221=--⇒=-=⇒λλλλ032=-'-''⇒y y y .三、计算题（每小题5分，共40分）46． x x e x xx 2sin 1lim 3202-→-- 解：20300420320161lim 3222lim 81lim 2sin 1lim2222x e x xe x x ex xx e x x x x x x x x x -=+-=--=---→-→-→-→ 161lim 161322lim220000-=-=-=-→-→x x x x e x xe . 47.设x x x y 2sin 2)3(+=，求dxdy解：取对数得：)3ln(2sin ln 2x x x y +=，两边对x 求导得：xx x x x x x y y 3322sin )3ln(2cos 2122++++='所以]3322sin )3ln(2cos 2[)3(222sin 2xx x x x x x x x y x +++++=' xx x x x x x x x x x 2sin )32()3()3ln(2cos )3(212sin 222sin 2+++++=-.48.求 ⎰-dx x x 224解：⎰⎰⎰⎰-===-=dt t tdt tdt t tdx x x tx )2cos 1(2sin 4cos 2cos 2sin 4422sin 222C x x x C t t x C t t +--=+-=+-=242arcsin 2cos sin 22arcsin 22sin 2249.求⎰--+102)2()1ln(dx x x解：⎰⎰⎰+---+=-+=-+101010102)1)(2(12)1ln(21)1ln()2()1ln(dx x x x x x d x dx x x⎰=-=+-+=++--=10102ln 312ln 322ln 12ln 312ln )1121(312ln x x dx x x ..50.设),()2(xy x g y x f z ++= ，其中),(),(v u g t f 是可微函数，求 yzx z ∂∂∂∂,解：xv v g x u u g x y x y x f x z ∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂+∂+'=∂∂)2()2( ),(),()2(2xy x g y xy x g y x f v u'+'++'==∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂+∂+'=∂∂y vv g y u u g y y x y x f y z )2()2(),()2(xy x g x y x f v '++'. 51．计算积分⎰⎰=Dydxdy x I 2 ，其中:D 由直线1,2,===x x y x y 所围成的闭区域.解：积分区域如图所示，可表示为：x y x x 2,10≤≤≤≤.所以 ⎰⎰⎰⎰==1222xx Dydy x dx ydxdy x I10310323)2(10510421022====⎰⎰x dx x y dx x xx52．求幂级数nn nx ∑∞=--+0)1()3(11的收敛区间（不考虑端点）. 解：令t x =-1，级数化为 n n nt ∑∞=-+0)3(11，这是不缺项的标准的幂级数. 因为 313)3(11)3(1lim )3(1)3(1lim lim 11=--+-=-+-+==∞→+∞→+∞→nnn n n n n n n a a ρ，故级数nn nt ∑∞=-+0)3(11的收敛半径31==ρR ，即级数收敛区间为（-3，3）. 对级数nn nx ∑∞=--+0)1()3(11有313<-<-x ，即42<<-x . 故所求级数的收敛区间为），（42-.53．求微分方程 0)12(2=+-+dy x xy dy x 通解.解：微分方程0)12(2=+-+dx x xy dy x 可化为 212xxy x y -=+'，这是一阶线性微分方程，它对应的齐次线性微分方程02=+'y x y 通解为2xCy =.设非齐次线性微分方程的通解为2)(x x C y =，则3)(2)(xx C x C x y -'='，代入方程得C x x x C x x C +-=⇒-='2)(1)(2.故所求方程的通解为2211xCx y +-=.四、应用题（每题7分，共计14分）54.某公司甲乙两厂生产一种产品，甲乙两厂月产量分别为y x ,千件；甲厂月产量成本为5221+-=x x C ，乙厂月产量成本为3222++=y y C ；要使月产量为8千件，且总成本最小，求甲乙两厂最优产量和最低成本？解：由题意可知：总成本8222221++-+=+=y x y x C C C ，约束条件为8=+y x .问题转化为在8=+y x 条件下求总成本C 的最小值 . 由8=+y x 得x y -=8，代入得目标函数为0(882022>+-=x x x C 的整数）.则204-='x C ，令0='C 得唯一驻点为5=x ，此时有04>=''C . 故5=x 使C 得到极小唯一极值点，即最小值点.此时有38,3==C y . 所以甲乙两厂最优产量分别为5千件和3千件，最低成本为38成本单位. 55.求曲线)2)(1(--=x x y 和x 轴所围成图形绕y 轴旋转一周所得的体积. 解：平面图形如下图所示：此立体可看作x 区域绕y利用体积公式⎰=ba y dx x f x V |)(|2π.显然，抛物线与x 两交点分别为（1，0）；（2平面图形在x 轴的下方.故⎰⎰---==21)2)(1(2|)(|2x x x dx x f x V ba y ππ2)4(2)23(2212342123πππ=+--=+--=⎰x x x dx x x x .xx五、证明题（6分）56设)(x f 在],[a a -上连续，且>a ，求证⎰⎰--+=aaadx x f x f dx x f 0)]()([)(.并计算⎰--+441cos ππdx e xx .证明：因为⎰⎰⎰--+=aaaadx x f dx x f dx x f 0)()()(，而⎰⎰⎰⎰-=-=--=-=-0)()()()()(aaa tx a dx x f dt t f t d t f dx x f ，故⎰⎰⎰⎰⎰-+=+=--aaa aa adx x f dx x f dx x f dx x f dx x f 0)()()()()( 即有⎰⎰--+=aaadx x f x f dx x f 0)]()([)(.利用上述公式有dx e e e x dx e x e x dx e x x x x x x x ⎰⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++=+-++=+---404044111cos ]1)cos(1cos [1cos ππππ 22sin cos 4040===⎰ππx dx x .说明：由于时间紧，个别题目语言叙述与试卷有点不近相同，没有进行认真检查，考生仅作参考.河南省“专升本”考试《高等数学》辅导专家葛云飞提供.。

2010高考数学试卷(全)

2010年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（必修+选修I ）第I 卷一、选择题（1）cos300°＝（A ）32- （B ）12- （C ）12 （D ）32（2）设全集U ＝（1，2，3，4，5），集合M ＝（1，4），N ＝（1，3，5），则N ⋂（C ，M ）（A ）（1，3）（B ）（1，5）（C ）（3，5）（D ）（4，5）（3）若变量x 、y 满足约束条件 1.0.20.y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪--≤⎩则z ＝x-2y 的最大值为（A ）4 （B ）3 （C ）2 （D ）1(4)已知各项均为正数的等比数列｛a n ｝中，a 1a 2a 3=5，a 7a 8a 9=10，则a 4a 5a 6=（A ）52 (B)7 (C)6 (D)4 2(5)(1－x )2(1－x )3的展开式中x 2的系数是(A)－6 (B ）－3 (C)0 (D)3(6)直三棱柱ABC －A １B 1C 1中，若∠BAC =90°,AB =AC=AA 1，则异面直线BA 1与AC 1所成的角等于（A ）30° (B)45° (C)60° (D)90°(7)已知函数f (x )= lg x .若a ≠b ，且f (a )=f (b )，则a +b 的取值范围是（A ）（1，+∞）（B ）[1,+∞] (C)(2,+∞) (D)[2,+∞)(8)已知F 1、F 2为双曲线C :x 2－y 2=1的左、右焦点，点P 在C 上，∠F 1PF 2=60°，则 1PF ·2PF ＝（A ）2 (B)4 (C)6 (D)8(9)正方体ABCD －A 1BCD 1中，BB 1与平面ACD 1所成角的余弦值为 (A) 23 (B)33 (C) 23 (D) 63 (10)设a =log 3，2，b =ln2，c =125-,则（A ）a ＜b ＜c (B)b ＜c ＜a (C)c ＜a ＜b (D)c ＜b ＜a(11)已知圆O 的半径为１，P A 、PB 为该圆的两条切线，A 、B 为两切点，那么PA ·PB 的最小值为（A ）－4+2 （B ）－3+2 （C ）－4+22 （D ）－3+22（12）已知在半径为２的球面上有A 、B 、C 、D 四点，若AB =CD =2,则四面体ABCD 的体积的最大值为（A ）233 (B) 433 (C) 23 (D) 8332010年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（必修＋选修Ⅰ）第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上.（13）不等式2232x x x -++>0的解集是 . （14）已知α为第一象限的角，sin α＝35，则tan α＝ . （15）某学校开设A 类选修课3门，B 类选修课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程种各至少选一门.则不同的选法共有种.（用数字作答）（16）已知F 是椭圆C 的一个焦点，B 是短轴的一个端点，线段BF 的延长线交C 于点D ，且BF ＝2FD ，则C 的离心率为 .三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（17）（本小题满分10分）记等差数列{a n }的前n 项和为S ，设S x ＝12，且2a 1，a 2，a 3＋1成等比数列，求S n .（18）（本小题满分12分）已知△ABC 的内角A ，B 及其对边a ，b 满足a ＋b ＝a cot A ＋b cot B ，求内角C .(19)（本小题满分12分）投到某杂志的稿件，先由两位初审专家进行评审，若能通过两位初审专家的评审，则予以录用：若两位初审专家都未予通过，则不予录用：若恰能通过一位初审专家的评审，则再由第三位专家进行复审，若能通过复审专家的评审，则予以录用，否则不予录用.设稿件能通过各初审专家评审的概率均为0.5，复审的稿件能通过评审的概率为0.3.各专家独立评审. (Ⅰ)求投到该杂志的1篇稿件被录用的概率;(Ⅱ)求投到该杂志的4篇稿件中，至少有2篇被录用的概率.(20)(本小题满分12分)如图，四棱锥S—ABCD中，SD⊥底面ABCD,AB∥DC,AD⊥DC,AB=AD=1,DC=SD=2,E 为棱SB上的一点，平面EDC⊥平面SBC.(Ⅰ)证明：SE=2EB;(Ⅱ)求二面角A—DC—C的大小.(21)（本小题满分12分）已知函数f(x)=3a x4-2(3a+2)x2+4x.(Ⅰ)当a=16时，求f(x)的极值;(Ⅱ)若f(x)在(-1,1)上是增函数，求a的取值范围.(22)(本小题满分12分)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点K(-1,0)的直线l与C相交为A、B两点，点A关于x轴的对称点为D.(Ⅰ)证明：点F在直线BD上；(Ⅱ)设89FA FB−−→-−−→=，求△BDK的内切圆M的方程.。

2010河南专升本高等数学真题及答案详解

2010年河南省普通高等学校选拔优秀专科毕业生进入本科阶段学习考试高等数学答题前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上。

本试卷的试题答案必须答在答题卡上，答在试卷上无效。

一、选择题（每小题2分，共60分）在每小题的四个备选答案中选出一个正确答案，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

1．设函数)(x f 的定义域为区间(1,1]-，则函数(1)e f x -的定义域为A ．[2,2]-B ．(1, 1]-C ．(2, 0]-D ．(0, 2]2．若()f x ()x R ∈为奇函数，则下列函数为偶函数的是A ．()y x =，[1, 1]x ∈-B ．3()tan y xf x x =+，(π, π)x ∈-C ．3sin ()y x x f x =-，[1, 1]x ∈-D ．25()e sin x y f x x =，[π, π]x ∈- 3．当0→x 时，2e1x-是sin 3x 的A ．低阶无穷小B ．高阶无穷小C ．等价无穷小D ．同阶非等价无穷小4．设函数2511sin , 0()e , 0xx x x f x x ⎧>⎪=⎨⎪<⎩，则0x =是)(x f 的 A ．可去间断点 B ．跳跃间断点 C ．连续点D ．第二类间断点5．下列方程在区间(0, 1)内至少有一个实根的为 A ．220x +=B ．sin 1πx =-C ．32520x x +-=D ．21arctan 0x x ++=6．函数)(x f 在点0x x =处可导，且1)(0-='x f ，则000()(3)lim2h f x f x h h→-+=A ．23B ．23-C ．32-D ．327．曲线x x y ln =的平行于直线01=+-y x 的切线方程是 A ．1-=x y B ．)1(+-=x y C ．1y x =-+D ．)1)(1(ln -+=x x y8．设函数π2sin 5y =，则='y A．π2cos 5-B．CD．2πcos 55-9．若函数()f x 满足2d ()2sin d f x x x x =-，则()f x = A ．2cos xB ．2cos x C +C ．2sin x C +D ．2cos x C -+10．d e sin(12)d d b xax x x --=⎰ A ．e sin(12)x x -- B ．e sin(12)d x x x -- C ．e sin(12)x x C --+D ．011．若()()f x f x -=，在区间(0, )+∞内，()0f x '>，()0f x ''>，则()f x 在区间(, 0)-∞内A ．()0f x '<，()0f x ''<B ．()0f x '>，()0f x ''>C ．()0f x '>，()0f x ''<D ．()0f x '<，()0f x ''>12．若函数()f x 在区间(, )a b 内连续，在点0x 处不可导，0(, )x a b ∈，则 A ．0x 是()f x 的极大值点 B ．0x 是()f x 的极小值点 C ．0x 不是()f x 的极值点 D ．0x 可能是()f x 的极值点13．曲线e xy x -=的拐点为 A ．1x =B ．2x =C ．222,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．11,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭14．曲线2arctan 35xy x=+ A ．仅有水平渐近线 B ．仅有垂直渐近线C ．既有水平渐近线，又有垂直渐近线D ．既无水平渐近线，又无垂直渐近线 15．若x cos 是)(x f 的一个原函数，则=⎰)(d x fA ．sin x C -+B ．sin xC + C ．cos x C -+D ．cos x C +16．设曲线()y f x =过点(0, 1)，且在该曲线上任意一点(, )x y 处切线的斜率为e x x +，则=)(x fA ．2e 2x x -B ．2e 2x x +C ．2e x x +D ．2e x x -17．2 π4πsin d 1x xx x -=+⎰A ．2B ．0C ．1D ．1-18．设)(x f 是连续函数，则2()d x af t t ⎰是A ．)(x f 的一个原函数B ．)(x f 的全体原函数C ．)(22x xf 的一个原函数D ．)(22x xf 的全体原函数19．下列广义积分收敛的是 A．1x +∞⎰ B ．2 e ln d xx x +∞⎰C ．2e1d ln x x x+∞⎰D ．21d 1xx x+∞+⎰20．微分方程0)(224=-'+''y x y y x 的阶数是 A ．1B ．2C ．3D ．421．已知向量{5, , 2}a x =-和{, 6, 4}b y = 平行，则x 和y 的值分别为A ．4-，5B ．3-，10-C ．4-，10-D ．10-，3-22．平面1x y z ++=与平面2=-+z y x 的位置关系是 A ．重合 B ．平行C ．垂直D ．相交但不垂直23．下列方程在空间直角坐标系中表示的曲面为柱面的是 A ．221y z += B ．22z x y =+ C ．222z x y =+D ．22z x y =-24．关于函数222222,0(,)0,0xy x y x y f x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩下列表述错误的是A ．(, )f x y 在点(0, 0)处连续B ．(0, 0)0x f =C ．(0, 0)0y f =D ．(, )f x y 在点(0, 0)处不可微25．设函数)ln(y x y x z -=，则=∂∂yzA ．)(y x y x -B ．2ln()x x y y --C ．ln()()x y xy y x y -+- D ．2ln()()x x y xy y x y ---- 26．累次积分2d (, )d x f x y y ⎰⎰写成另一种次序的积分是A ．1d (, )d yyy f x y x -⎰⎰B．2d (, )d y f x y x ⎰⎰C．11d (,)d y f x y x -⎰⎰D．11 11d (, )d y f x y x -⎰⎰27．设{(, )|D x y x =≤2, y ≤2}，则⎰⎰=Dy x d dA ．2B ．16C ．12D ．428．若幂级数∑∞=0n nnx a的收敛半径为R ，则幂级数∑∞=-02)2(n n n x a 的收敛区间为A．( B ．(2, 2)R R -+ C ．(, )R R -D．(2 229．下列级数绝对收敛的是 A ．∑∞=-11)1(n nnB ．∑∞=-1223)1(n n nnC ．∑∞=-+-1121)1(n n n nD ．∑∞=--1212)1(n nn n30．若幂级数(3)nn n a x ∞=-∑在点1x =处发散，在点5x =处收敛，则在点0x =，2x =，4x =，6x =中使该级数发散的点的个数有A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个二、填空题（每空2分，共20分）31．设(32)f x -的定义域为(3, 4]-，则)(x f 的定义域为________． 32．极限limx =________．33．设函数()(1)(2)(3)(4)f x x x x x =++--，则(4)()f x =________．34．设参数方程22 1 31x t y t =+⎧⎨=-⎩所确定的函数为()y y x =，则22d d yx =________． 35．(ln 1)d x x +=⎰________．36．点(3, 2, 1)-到平面10x y z ++-=的距离是________． 37．函数(1)x z y =+在点(1, 1)处的全微分d z =________．38．设L 为三个顶点分别为(0, 0)，(1, 0)和(0, 1)的三角形边界，L 的方向为逆时针方向，则2322()d (3)d Lxyy x x y xy y -+-=⎰ ________．39．已知微分方程x ay y e =+'的一个特解为x x y e =，则a =________．40．级数03!nn n ∞=∑的和为________．三、计算题（每小题5分，共45分）41．求极限2040sin d (e 1)sin lim 1cos x x x t t x x x →⎛⎫- ⎪- ⎪- ⎪⎝⎭⎰． 42．设由方程22e e y xy -=确定的函数为)(x y y =，求d d x yx =． 43．求不定积分2xx ．44．求定积分( 2d x x ⎰．45．求过点(1, 2, 5)-且与直线213 3 x y z x y -+=⎧⎨-=⎩平行的直线方程．46．求函数x xy y x y x f 823),(22+-+=的极值． 47．将23()21xf x x x =+-展开成x 的幂级数． 48．计算二重积分Dσ⎰⎰，其中D 是由圆223x y +=所围成的闭区域．49．求微分方程069=+'-''y y y 的通解．四、应用题（每小题8分，共16分）50．要做一个容积为V 的圆柱形带盖容器，问它的高与底面半径的比值是多少时用料最省？ 51．平面图形D 由曲线2x y =，直线x y -=2及x 轴所围成．求：（1）D 的面积；（2）D 绕x 轴旋转形成的旋转体的体积．五、证明题（9分）52．设函数)(x f 在闭区间]1,0[上连续，在开区间)1,0(内可导，且(0)0f =，(1)2f =．证明：在)1,0(内至少存在一点ξ，使得()21f ξξ'=+成立．2010年河南省普通高等学校选拔优秀专科毕业生进入本科阶段学习考试高等数学试题参考答案及评分标准一、选择题（每小题2分，共60分）二、填空题（每小题2分，共20分）31．[5, 9)- 32．5233．24 34．3235．ln x x C + 3637．2ln 2d d x y + 38．0 39．1- 40．3e三、计算题（每小题5分，共45分）41．3242．222002d d 24e d d e 0x x y y y xx-======- 43．322(e 1)3x C +-44．π22+ 45．125315x y z --+==- 46．函数在(6, 2)--处有极小值(6, 2)24f --=- 47．00111()(1)2[(1)2], , 22nnnnn n nn n n f x x x x x ∞∞∞===⎛⎫=--=--∈- ⎪⎝⎭∑∑∑48．49．1312()e x y C C x =+（1C ，2C 是任意常数）四、应用题（每小题8分，共16分）50．3232ππ2πππV h V V V r r r r V===⋅=⋅= 51．（1） 1201d 112A x x =+⋅⋅⎰ 13015326x =+= （2） 14201πd π113x V x x =+⋅⋅⎰ 150π8ππ5315x =+=第51题图五、证明题（9分）52．证明：构造函数2()()F x f x x =-，因)(x f 在闭区间]1,0[上连续，在开区间)1,0(内可导，所以函数)(x F 在闭区间]1,0[上连续，在开区间)1,0(内可导，且()()2F x f x x ''=-．于是)(x F 在]1,0[上满足拉格朗日中值定理的条件，故在开区间)1,0(内至少存在一点ξ，使得(1)(0)()10F F F ξ-'=-，将(0)0f =，(1)2f =代入上式，得(1)(0)()[(1)1][(0)0]110F F F f f ξ-'==---=-，即()21f ξξ'-=，于是()21f ξξ'=+．。

大一上学期高数期末考试试题(五套)详解答案

2010级高等数学(上)A 解答一、填空题：(每题3分，共18分)(请将正确答案填入下表，否则不给分)1．已知极限01lim 2=⎪⎪⎭⎫⎝⎛--+∞→b ax x x x ，则常数b a ,的值分别是(空1)。

解：0x b a 1x x lim b ax 1x x x 1lim x 2x =⎪⎭⎫ ⎝⎛--+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+∞→∞→ ⇒1-a=0⇒a=1⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=∞→∞→x 1x x lim ax 1x x lim b 2x 2x 1x111lim 1x x lim 1x x x x lim x x 22x -=+-=+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=∞→∞→∞→ 或：01x b x )b a (x )a 1(lim b ax 1x x lim 2x 2x =⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-+--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+∞→∞→ 所以1-a=0,a+b=0⇒a=1,b=-1。

或：⎪⎪⎭⎫⎝⎛++--+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+∞→∞→1x 1b ax 1x 1x lim b ax 1x x lim 2x 2x 01x 1)b 1(x )a 1(lim 1x 1b ax 1x lim x x =⎪⎭⎫ ⎝⎛+++--=⎪⎭⎫ ⎝⎛++---=∞→∞→ 所以1-a=0,1+b=0⇒a=1,b=-1。

2．函数xx x x x f 323)(23---=的第一类间断点是(空2)。

解：f(x)在x=3,0,-1处无定义，是间断点。

121)3x )(1x (x 3x lim x 3x 2x 3x lim)x (f lim 3x 233x 3x =-+-=---=→→→，x=3是第一类间断点。

∞=---=-→-→x3x 2x 3x lim)x (f lim 231x 1xx=-1是第二类间断点。

∞=---=→→x3x 2x 3x lim)x (f lim 230x 0xx=0是第二类间断点。

3．设函数)(x f 可导，)(1)(2x f x g +=，则)('x g ＝(空3)。

2010年河南专升本高数真题+答案解析

2010年河南省普通高等学校选拔优秀专科毕业生进入本科阶段学习考试高等数学一、选择题（每小题2 分，共60 分）1．设函数()f x 的定义域为区间(1,1]-，则函数(1)f x e -的定义域为（）A ．[]2,2-B ．(1,1]-C ．(2,0]-D ．(0,2]【答案】D【解析】由题意得，()f x 的定义域为(1,1]-，则在(1)f x e -中，1(1,1]x -∈-，即02x <≤，故选D ．2．若()()f x x R ∈为奇函数，则下列函数为偶函数的是（） A ．[]331(),1,1y x x x -∈- B ．3()tan ,(,)y xf x x x ππ=+∈-C ．[]3sin (),1,1y x x f x x =-∈-D ．[]25()sin ,,x y f x e x x ππ=∈-【答案】D【解析】()f x 为奇函数，对于选项D ，22()55()sin ()()sin x x f x e x f x e x ---=，故选D ．3．当0x →时，21x e -是sin3x 的（） A ．低阶无穷小 B ．高阶无穷小C ．等价无穷小D ．同阶非等价无穷小【答案】D【解析】200122lim lim sin333x x x e x x x →→-==，从而21x e -是sin3x 的同阶非等价无穷小，故选D ．4．设函数2511sin ,0(),0xx x x f x e x ⎧>⎪=⎨⎪<⎩，则0x =是()f x 的（）A ．可去间断点B ．跳跃间断点C ．连续点D ．第二类间断点【解析】2501lim sin 0x x x+→=，10lim 0x x e -→=，00lim ()lim ()x x f x f x +-→→=，从而0x =是()f x 的可去间断点，故选A ．5．下列方程在区间(0,1)内至少有一个实根的为（） A ．20x += B ．sin 1x π=-C ．32520x x +-=D ．21arctan 0x x ++=【答案】C【解析】对于选项C ，构造函数32()52f x x x =+-，(0)20f =-<，(1)40f =>，由零点定理得，()0f x =在(0,1)上至少存在一个实根，故选C ．6．函数()f x 在点0x x =处可导，且0()1f x '=-，则000()(3)lim2x f x f x h h→-+=（）A ．23 B ．23-C ．32-D ．32【答案】D 【解析】0000000()(3)(3)()333limlim ()23222x x f x f x h f x h f x f x h h →→-++-⎛⎫'=⋅-=-= ⎪⎝⎭，故选D ．7．曲线ln y x x =平行于直线10x y -+=的切线方程是（） A ．1y x =- B ．(1)y x =-+C ．1y x =-+D ．(ln 1)(1)y x x =+-【答案】A【解析】ln 1y x '=+，又直线10x y -+=的斜率1k =，令1y '=得1x =，0y =，从而与直线平行的切线方程为01y x -=-，即1y x =-，故选A ．8．设函数212sin 5y x π=-，则y '=（）A ．22cos51x π-- B ．21x-C 21x-D ．22cos 551x π-【解析】(2212sin 51y x xπ''⎛⎫'=--= ⎪⎝⎭-B ．9．若函数()f x 满足2()2sin df x x x dx =-，则()f x =（）A ．2cos xB ．2cos xC +C ．2sin x C +D ．2cos x C -+【答案】B【解析】2()2sin df x x x dx =-，则2222()(2sin )sin cos f x x x dx x dx x C =-=-=+⎰⎰，故选B ． 10．sin(12)b xa d e x dx dx--=⎰（）A ．sin(12)x e x --B ．sin(12)x e x dx --C ．sin(12)x e x C --+D ．0【答案】D【解析】sin(12)bx a e x dx --⎰为一常数，从而sin(12)0b xa d e x dx dx--=⎰，故选D ．11．若()()f x f x -=，在区间(0,)+∞内，()0f x '>，()0f x ''>，则()f x 在区间(,0)-∞内（） A ．()0,()0f x f x '''<< B ．()0,()0f x f x '''>>C ．()0,()0f x f x '''><D ．()0,()0f x f x '''<>【答案】D【解析】()()f x f x -=，则()f x 为偶函数，又在(0,)+∞上，()0f x '>，()0f x ''>，所以在(,0)-∞上()0f x '<，()0f x ''>，故选D ．12．若函数()f x 在区间(,)a b 内连续，在点0x x =处不可导，0(,)x a b ∈，则（） A ．0x 是()f x 的极大值点 B ．0x 是()f x 的极小值点C ．0x 不是()f x 的极值点D ．0x 可能是()f x 的极值点【答案】D【解析】由判断极值的方法知，0x 可能是()f x 的极值点，故选D ．13．曲线x y xe -=的拐点为（）A ．1x =B ．2x =C ．222,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．11,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】C【解析】(1)x y x e -'=-，(2)x y x e -''=-，令0y ''=，得2x =，22y e=．当2x >时，0y ''>，2x <，0y ''<，所以曲线的拐点为222,e ⎛⎫⎪⎝⎭，故选C ．14．曲线2arctan 5xy x=（） A ．仅有水平渐近线 B ．仅有垂直渐近线C ．既有水平渐近线，又有垂直渐近线D ．既无水平渐近线，又无垂直渐近线【答案】A 【解析】002arctan 22limlim 555x x x x x x →→==，所以曲线没有垂直渐近线；2arctan lim 05x xx→∞=，所以0y =为曲线的水平渐近线，故选A ．15．若cos x 是()f x 的一个原函数，则()df x =⎰（）A ．sin x C -+B ．sin xC +C ．cos x C -+D ．cos x C +【答案】A【解析】令()cos F x x =，则()()sin f x F x x '==-，所以()(sin )sin df x d x x C =-=-+⎰⎰，故选A ．16．设曲线()y f x =过点(0,1)，且在该曲线上任意一点(,)x y 处切线的斜率为x x e +，则()f x =（）A ．22x x e -B ．22x x e +C ．2x x e +D ．2x x e -【答案】B【解析】由题意得xy x e '=+，则2()2xx x y x e dx e C =+=++⎰，又因为曲线过点(0,1)，有0C =，从而2()2x x y f x e ==+，故选B ．17． 24sin 1x xdx x ππ-=+⎰（）A ．2B ．0C ．1D ．1-【答案】B【解析】24sin 1x xx +为奇函数，积分区间关于原点对称，从而24sin 01x x dx xππ-=+⎰．18．设()f x 是连续函数，则20()x f t dt ⎰是（）A ．()f x 的一个原函数B ．()f x 的全体原函数C ．22()xf x 的一个原函数D ．22()xf x 的全体原函数【答案】C【解析】220()2()x f t dt xf x '⎛⎫= ⎪⎝⎭⎰，由原函数的定义可知，它是22()xf x 的一个原函数，故选C ．19．下列广义积分收敛的是（）A ．1x+∞⎰B ．2ln exdx x+∞⎰C ．21ln edx x x+∞⎰D ．21exdx x +∞+⎰【答案】C 【解析】22111ln 011ln ln ln eee dx d x x x x x+∞+∞+∞==-=+=⎰⎰，故选C ．20．微分方程422()0x y y x y '''+-=的阶数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】由微分方程的概念知，阶数为方程中的最高阶导数的阶数，故选B ．21．已知向量{}5,,2x =-a 和{},6,4y =b 平行，则x 和y 的值分别为（）A ．4,5-B ．3,10--C ．4,10--D ．10,3--【答案】B【解析】向量a 与b 平行，所以5264x y -==，得3x =-，10y =-，故选B ．22．平面1x y z ++=与平面2x y z +-=的位置关系是（）A ．重合B ．平行C ．垂直D ．相交但不垂直【答案】D【解析】两平面的法向量分别为1(1,1,1)=n ，2(1,1,1)=-n ，而111111=≠-，从而两平面不平行，又121⋅=n n ，从而两平面不垂直但相交，故选D ．23．下列方程在空间直角坐标系中表示的曲面为柱面的是（）A ．221y z +=B ．22z x y =+C ．222z x y =+D ．22z x y =-【答案】A【解析】由柱面方程的特点可知，221y z +=表示圆柱面，故选A ．24．关于函数222222,0(,)0,0xyx y x y f x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩，下列表述错误的是（）A ．(,)f x y 在点(0,0)处连续B ．(0,0)0f =C ．(0,0)0y f '=D ．(,)f x y 在点(0,0)处不可微【答案】A【解析】令y kx =，则222222000lim lim (1)1x x y kx xy kx kx y k x k →→=→==+++．当k 取不同值时，极限值不同，因此2200limx y xyx y →→+不存在，所以在点(0,0)处不连续，故选A ．25．设函数ln()x z x y y =-，则zy∂=∂（） A ．()x y x y -B ．2ln()x x y y --C ．ln()()x y xy y x y -+- D ．2ln()()x x y xy y x y ---- 【答案】D 【解析】221ln()ln()(1)()z x x x x y xx y y y y x y y y x y ∂-=--+⋅⋅-=--∂--．26．累次积分222202(,)x x x x dx f x y dy --⎰写成另一种次序的积分是（）A ．10(,)yydy f x y dx -⎰⎰B ．222202(,)y y y y dy f x y dx ---⎰C ．221111(,)y y dy f x y dx ----⎰D ．22111111(,)y y dy f x y dx +----⎰⎰【答案】D【解析】由题意知，02x ≤≤，2222x x y x x -≤≤-11y -≤≤，221111y x y -≤-，所以交换积分次序后为22111111(,)y y dy f x y dx +----⎰⎰．27．设{}(,)2,2D x y x y =≤≤，则Ddxdy =⎰⎰（）A ．2B ．16C ．12D ．4【答案】B【解析】222216Ddxdy dx dy --==⎰⎰⎰⎰，故选B ．28．若幂级数0nn n a x ∞=∑的收敛半径为R ，则幂级数20(2)n n n a x ∞=-∑的收敛区间为（）A ．(,)R RB ．(2,2)R R -+C ．(,)R R -D ．(2,2)R R【答案】D【解析】令2(2)t x =-，则0n n n a t ∞=∑的收敛半径为R ，即R t R -<<，则2(2)x R -<，即22R x R <<D ．29．下列级数绝对收敛的是（）A ．1(1)nn n∞=-∑B ．213(1)2nnn n ∞=-∑C ．11(1)21nn n n ∞=+--∑D ．21(1)21nn n ∞=--∑【答案】B【解析】对选项B ，21133(1)24nn nn n n ∞∞==⎛⎫-= ⎪⎝⎭∑∑，级数收敛，从而原级数绝对收敛，故选B ．30．若幂级数0(3)n n n a x ∞=-∑在点1x =处发散，在点5x =收敛，则在点0x =，2x =，4x =，6x =中使该级数发散的点的个数有（）A ．0 个B ．1个C ．2个D ．3个【答案】C【解析】由幂级数发散、收敛性质及收敛区间的讨论可得，在这4个点中发散点的个数有两个，即0x =，6x =，故选C ．二、填空题（每空 2分，共 20分）31．设(32)f x -的定义域为(3,4]-，则()f x 的定义域为________．【答案】[5,9)-【解析】(32)f x -的定义域为(3,4]-，即34x -<≤，所以5329x -≤-<，即()f x 的定义域为[5,9)-．32．极限lim (23)x x x x +-=________．【答案】52【解析】55lim (23)limlim2232311x x x x x x x x x x x+-===++-++-．33．设函数()(1)(2)(3)(4)f x x x x x =++--，则(4)()f x =________．【答案】24【解析】(4)()4!24f x ==．34．设参数方程22131x t y t =+⎧⎨=-⎩所确定的函数为()y y x =，则22d ydx =________．【答案】32【解析】632dydy t dt t dx dx dt===，22(3)322d dy d y t dt dx dx dx dt ⎛⎫ ⎪'⎝⎭===．35．(ln 1)x dx +=⎰________．【答案】ln x x C +【解析】1(ln 1)ln ln ln x dx xdx dx x x x dx x x x C x+=+=-⋅+=+⎰⎰⎰⎰．36．点(3,2,1)-到平面10x y z ++-=的距离是________． 3【解析】321131113d +--===++．37．函数(1)x z y =+在点(1,1)处的全微分dz =________．【答案】2ln 2dx dy + 【解析】(1)ln(1)x zy y x∂=++∂，1(1)x z x y y -∂=+∂，(1,1)(1,1)2ln 2z z dz dx dy dx dy xy ⎛⎫∂∂=+=+ ⎪∂∂⎝⎭．‘38．设L 为三个顶点分别为(0,0)，(1,0)和(0,1)的三角形边界，L 的方向为逆时针方向，则2322()(3)Lxy y dx x y xy dy -+-=⎰________．【答案】0 【解析】223P xy y y ∂=-∂，223Qxy y x∂=-∂，P Q y x ∂∂=∂∂，由格林公式得，该曲线积分为0．39．已知微分方程x y ay e '+=的一个特解为x y xe =，则a =________．【答案】1-【解析】将x y xe =代入微分方程得x x x x e xe axe e ++=，即1a =-．40．级数03!nn n ∞=∑的和为________．【答案】3e【解析】23012!3!!!n n xn x x x x e x n n ∞==++++++=∑，故303!nn e n ∞==∑．三、计算题（每小题5 分，共45 分）41．求极限2040sin (1)sin lim 1cos x x x tdt e x x x →⎡⎤-⎢⎥-⎢⎥-⎢⎥⎣⎦⎰．【答案】32【解析】220044000sin sin (1)sin (1)sin lim lim lim 1cos 1cos x x x x x x x tdt tdt e x e x x x x x →→→⎡⎤--⎢⎥-=-⎢⎥--⎢⎥⎣⎦⎰⎰ 230022sin 13lim lim 214222x x x x x x x x→→⋅=-=-=．42．设由方程22y e xy e -=确定的函数为()y y x =，求0x dy dx=．【答案】24e -【解析】方程两边同时关于x 求导，得220y e y y xy y ''⋅--⋅=，当0x =时，2y =，代入得 204x dy e dx-==．43．求不定积分21x xe +．32(1)213x x e e C ++ 【解析】令1x t e =+21x e t =-，2ln(1)x t =-，则221tdx dt t =-，于是 2222332(1)222(22)2(1)211331xx x x t t dt t dt t t C e e C t t e -=⋅=-=-+=++-+⎰⎰．44．求定积分220(2)x x x dx +-⎰．【答案】22π+【解析】22222000(2)221(1)(1)x x x dx xdx x x dx x d x -=+-=----⎰⎰⎰⎰令1t x =-，则122220111(1)(1)11122x d x t dt t dt ππ-----=-=--=-⋅⋅=-⎰⎰⎰，故220(2)22x x x dx π-=+⎰．45．求过点(1,2,5)-且与直线2133x y z x y -+=⎧⎨-=⎩平行的直线方程．【答案】125315x y z --+==- 【解析】由题意得，两平面的法向量分别为1(2,1,1)=-n ，2(1,3,0)=-n ，所以该直线的方向向量为12211(3,1,5)130=⨯=-=--i j ks n n ，又直线过点(1,2,5)-，故该直线的方程为125315x y z --+==-．46．求函数22(,)328f x y x y xy x =+-+的极值．【答案】24-【解析】228x f x y =-+，62y f y x =-，令00x y f f =⎧⎪⎨=⎪⎩，得驻点为62x y =-⎧⎨=-⎩，又2xx f =，2xy f =-，6yy f =，对于驻点(6,2)--，280B AC -=-<，20A =>，故函数在点(6,2)--处取得极小值(6,2)24f --=-．47．将23()21xf x x x =+-展开成x 的幂级数．【答案】011()(1)222n n n n f x x x ∞=⎛⎫⎡⎤=-+-<< ⎪⎣⎦⎝⎭∑ 【解析】2311()21112x f x x x x x ==-+-+-，其中01(1)(11)1n n n x x x ∞==--<<+∑，00111(2)21222n n nn n x x x x ∞∞==⎛⎫==-<< ⎪-⎝⎭∑∑，故00011()(1)2(1)222nnnnn n n n n n f x x x x x ∞∞∞===⎛⎫⎡⎤=-+=-+-<< ⎪⎣⎦⎝⎭∑∑∑．48．计算二重积分22Dx y d σ+，其中D 是由圆223x y +=所围成的闭区域．【答案】3π【解析】用极坐标计算，{}(,)03,02D r r θθπ=≤≤≤≤，于是232220323Dx y d d rdr d ππσθθπ+=⋅==⎰．49．求微分方程960y y y '''-+=的通解．【答案】1312()x y C C x e =+（12,C C 是任意常数）【解析】对应的特征方程为29610r r -+=，特征根为1213r r ==，因此所给方程的通解为1312()x y C C x e =+（12,C C 是任意常数）．四、应用题（每小题8 分，共 16 分）50．要做一个容积为V 的圆柱形带盖容器，问它的高与底面半径的比值是多少时用料最省？【答案】当2hr=时，用料最省【解析】设该容器的高为h ，底面半径为r ，则该容器的容积2V r h π=，即2Vh r π=，该带盖容器的用料222222V S r rh r r πππ=+=+，则224V S r rπ'=-，令0S '=，解得唯一驻点32V r π=，故当32Vr πS 取值最小，此时 323322V h V V V r r r r ππππ===⋅=．51．平面图形D 由曲线2y x =直线2y x =-及x 轴所围成．求：（1）D 的面积；（2）D 绕x 轴旋转形成的旋转体的体积．【答案】（1）56 （2）815π 【解析】（1）由题意可得，此平面区域D 如图所示，则1312200125(2)2236S y y dy y y y ⎡⎤⎡=-=--=⎢⎥⎣⎣⎦⎰．（2）平面D 绕x 轴旋转形成的旋转体的体积为124251322101118(2)245315x V x dx x dx x x x x πππππ⎛⎫=+-=+-+=⎪⎝⎭⎰⎰．五、证明题（9 分）52．设函数()f x 在闭区间[]0,1上连续，在开区间(0,1)内可导，且(0)0f =，(1)2f =．证明：在(0,1)内至少存在一点ξ，使得()21f ξξ'=+．【解析】构造函数2()()F x f x x =-，由题意可知()F x 在[]0,1上满足拉格朗日中值定理的条件，故在(0,1)内至少存在一点ξ，使得(1)(0)()10F F F ξ-'=-，代入得，()()21F f ξξξ''=-=，即()21f ξξ'=+．。

2010数学真题卷及答案

2010年全国普通高等学校运动训练、民族传统体育专业单独统一招生考试数学一、选择题：每小题6分，共10小题，共60分．在每小题的四个选项中，只有一项是符合要求的．1．已知集合A ＝｛x|x 2―1＞0}，B ＝｛x|log 2x ＜0}，则A ∩B 等于 ( )A ．ØB ．｛x|x ＜－1}C ．｛x|x ＞1}D ．｛x|x ＜－1或x ＞1}2. 若不等式||x a -<1成立的充分条件是04<<x ，则实数a 的取值范围是( ) A. a ≥3B. a ≤3C. a ≥1D. a ≤13．函数)1(log 2-=x y 的反函数图像是 ( )A B4. 如图所示，∆OAB 是边长为2的等边三角形，直线x t =截这个三角形位于此直线左方的图形面积为y （见图中阴影部分）则函数y f t =()的大致图形为( )5．已知a 、b 是非零向量且满足（a －2b ）⊥a ，（b －2a ）⊥b ，则a 与b 的夹角是( )A ．6π B ．3π C ．32π D ．65π6椭圆22143x y +=的右焦点到直线y x =的距离是（）A.127. 过圆锥曲线C 的一个焦点F 的直线l 交曲线C 于A 、B 两点，且以AB 为直径的圆与F 相应的准线相交，则曲线C 为A. 双曲线B. 抛物线C. 椭圆D. 以上都有可能 8．若αααααcos sin cos 3sin ,2tan +-=则的值是（）A ．31-B ．－35C ．31 D ．35 9．直线052)3(057)3()1(2=-+-=-+-++y x m m y m x m 与直线垂直的充要条件是（）A ．2-=mB ．3=mC ．31=-=m m 或D ．23-==m m 或10．已知1(2)2x f x x ++=+，则1(2)f x -+= ( ) A.12x x -+ B.11x -+ C.211x x +-- D.21x x +-+二、填空题：每小题5分，共8小题，共计40分．将答案填在题中的横线上。

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河南农业大学2009-2010学年第二学期《高等数学》（工科）期末考试试卷(A)
一、判断题（每题2分，共20分，正确的打√，错误的打×）
（）1、设,,a b c r r r
为非零向量，且
a c
b
c ⋅=⋅r r r r 则a b =r r ．
（）2、方程z =
表示一个开口向z 轴正方向的锥面．
（）3、若),(y x f z =在),(000y x P 处的两个偏导数存在，则函数必在该点连续．（）4、如果级数
∑∞
=1
n n
a
收敛，级数
∑∞
=1
n n
b
发散，则级数
)(1
n n n
b a
+∑∞
=也发散．
（）5、若在区域D 上
(,)0D
f x y d σ≤⎰⎰，则(,)0f x y ≤．
（）6、若),(y x f 在有界闭区域D 上连续，则
⎰⎰
⎰⎰≤D
D
d y x f d y x f σσ),(),(．
（）7、多元初等函数在其定义域内的极值点是驻点．
（）8、设C 为圆周2
2
1x y +=，定向为正向，记C 所围平面区域为D ，则
2222222222220()()C D
xdy ydx y x y x d x y x y x y σ⎛⎫
---=-= ⎪
+++⎝⎭
⎰⎰⎰Ñ．（）9、正项级数
1
n
n u
∞
=∑，若lim 0n n u →∞
=，则级数
1
n
n u
∞
=∑一定收敛．
（）10、级数∑∞
=⎪⎭⎫
⎝⎛++-1
3322)1(n n
n
n n 是绝对收敛．
二、填空题（每空2分，共计20分）
1、设}1,0,1{=a ρ
，}0,1,0{=b ρ，则=⨯b a ρρ _________.
院、系班级姓名学号座号
密封线
- 2 -
2、通过点)2,1,0(且垂直于直线⎪⎩⎪
⎨⎧=-=+=t z t y t x 211的平面方程为_______ .
3、=⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+→∞→x
y x x y 1lim 2 _________．
4、曲面:∑由0,0,0x y z ===及1=++z y x 所围成的四面体的整个边界曲面，则
=∑
⎰⎰xyzdS __ ___．
5、若y
x e
z +=2，则全微分=-)2,1(dz ___________．
6、交换积分次序=+⎰⎰
⎰⎰-2
1
20
1
),(),(x
x
dy y x f dx dy y x f dx ______ ． 7、设C 为曲线)2
0(1π
θ≤≤=r ，则=⎰+C
y x ds e
2
2________________.
8、已知C 为圆周22x x y -=
上由点)0,0(沿着顺时针方向到点)0,2(的一段弧，则
⎰
=+--C
dy y x dx y x )sin ()(2________________.
9、级数∑∞
=-2
ln 2)32(n n n x 的收敛区间为．
10、设函数()f x 以2π为周期，在[,)ππ-上定义⎩
⎨⎧<≤<≤-=ππx x x x f 00
,0)(，则其傅
里叶级数在x π=收敛于________________.
三、计算题（每题10分，共计60分）
1、设函数),(2
xy
e x
f z =的二阶偏导连续，求x z
∂∂，y
x z ∂∂∂2.
- 3 -
2、计算二重积分
⎰⎰++D d y
x y
x σ22，其中}1,1|),{(22≥+≤+=y x y x y x D .
3、计算三重积分
zdv Ω
⎰⎰⎰
,其中Ω是由2
244y x z +=与平面4=z 围成的空间区域．
4、求过点)4,0,1(-，且平行于平面01043=-+-z y x 又与直线
2
1311z
y x =-=+相交的直线方程．
院、系班级姓名学号座号
密封线
- 4 -
5、计算曲面积分⎰⎰=S
dydz z
I 2
，
其中S 是平面1=++z y x 位于第一卦限部分的上侧.
6、将函数3
21
)(2-+=x x x f 在点2=x 处展开成泰勒级数，并求出收敛域.
就这些了。