连续函数的运算与性质
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连续函数的运算和性质
反函数的连续性
定理2 若函数 y f ( x) 在区间 I x 上单调增加(或
单调减少)且连续, 则它的反函数 x ( y)也在对应
的区间 I y { y | y f ( x), x I x }上 单调增加(或单
调减少)且连续. 证略
同理 y arccos x 在[1,1]上单调减少且连续; y arctan x 在区间(,)内单调增加且连续; y arc cot x在区间(,)内单调减少且连续. 总之, 反三角函数 arcsin x, arccos x, arctan x, arc cot x 在它们的定义域内都是连续的.
第十节 连续函数的运算与性质
定理1 若函数 f ( x), g( x)在点 x0 处连续, 则 f ( x) g( x), f ( x) g( x),
f (x) g( x)
(g( x0 )
0)
在点 x0 处也连续. 例如, sin x, cos x 在(,)内连续,故
tan
x
sin cos
x0 2 处连续 , 于是
lim
x2
e 2x
x
1
e2 22
1
e2 5
.
幂指函数
形如 f ( x) u( x)v( x)(u( x) 0)的函数称为幂指函数.
因为
u( x)v( x) e , v( x)ln u( x)
故幂指函数可化为复合函数.
易见: 若 lim u( x) a 0, lim v( x) b, 则 lim u( x)v( x) lim ev( x)ln u( x) elim[ v( x)ln u( x )] e bln a a b .
高等数学-函数的连续性
则称 f (x) 在点 x0 处右连续.
定理1函数 f (x)在 x0 处连续 函数 f (x)在 x0 处既左连续又右连续 .
例1
讨论函数
f
(x)
x
x
2, 2,
x 0, x 0,
在 x 0处的
连续性.
注意：讨论分段函数的连续性时，在分段点处， 一定要分别考虑函数的左右连续性问题
例2
连续的几何意义：连续函数的图形是一条连续 而不间断的曲线. 例如, 函数y ex在区间 (, )内是连续的 .
二、连续函数的运算法则
1.函数的和、差、积、商的连续性
定理1：若函数 f (x), g(x)在点 x0处连续,
则 f (x) g(x),
f (x) g(x),
f (x) g(x)
(g(x0 ) 0)
0,那末就称函数
f ( x)在点 x0连续, x0称为 f ( x)的连续点.
设 x x0 x,
y f (x) f (x0 ),
x 0 就是 x x0 , y 0 就是 f (x) f (x0 ).
定义 2 设函数 f ( x)在U (x0, ) 内有定义,如果
函数 f ( x)当 x x0时的极限存在,且等于它在
定义区间是指有定义的区间.
求初等函数定义区间内各点的极限时，只 要计算它在该点的函数值
lim
x x0
f (x)
f ( x0 )
( x0 定义区间 )
例1
求
ex cos(x2 1)
lim
.
x1
2x 1
例2
求
ln(e x2 )
lim
x0
ax cos x
.
例3 求函数y x 的连续区间和间断点.
定理1函数 f (x)在 x0 处连续 函数 f (x)在 x0 处既左连续又右连续 .
例1
讨论函数
f
(x)
x
x
2, 2,
x 0, x 0,
在 x 0处的
连续性.
注意：讨论分段函数的连续性时，在分段点处， 一定要分别考虑函数的左右连续性问题
例2
连续的几何意义：连续函数的图形是一条连续 而不间断的曲线. 例如, 函数y ex在区间 (, )内是连续的 .
二、连续函数的运算法则
1.函数的和、差、积、商的连续性
定理1：若函数 f (x), g(x)在点 x0处连续,
则 f (x) g(x),
f (x) g(x),
f (x) g(x)
(g(x0 ) 0)
0,那末就称函数
f ( x)在点 x0连续, x0称为 f ( x)的连续点.
设 x x0 x,
y f (x) f (x0 ),
x 0 就是 x x0 , y 0 就是 f (x) f (x0 ).
定义 2 设函数 f ( x)在U (x0, ) 内有定义,如果
函数 f ( x)当 x x0时的极限存在,且等于它在
定义区间是指有定义的区间.
求初等函数定义区间内各点的极限时，只 要计算它在该点的函数值
lim
x x0
f (x)
f ( x0 )
( x0 定义区间 )
例1
求
ex cos(x2 1)
lim
.
x1
2x 1
例2
求
ln(e x2 )
lim
x0
ax cos x
.
例3 求函数y x 的连续区间和间断点.
连续函数的四则运算
在(0,+∞ ) 上, ymax = ymin = 1.
定理6 最大值和最小值定理 定理 一定有最大值和最小值. 在闭区间上连续的函数 一定有最大值和最小值 定理7 定理 有界性定理 在闭区间上连续的函数 一定在该区间上有界 一定在该区间上有界. 证 设函数 f ( x ) 在 [a , b] 上连续, 于是存在 m 、 上连续,
推论1在闭区间上连续的函数 推论 在闭区间上连续的函数 必取得介于最大值 之间的任何值. M 与最小值 m 之间的任何值.
例 5 证明方程 x 3 4 x 2 + 1 = 0 在区间 (0, 1) 内至 少有一个实根 . 证 令 f ( x) = x 3 4 x 2 + 1 , 则 f ( x ) 在 [0, 1] 上连续 . 又 f (0) = 1 > 0 , f (1) = 2 < 0 , 由零点定理 , ξ ∈ (0, 1) , 使 f (ξ ) = 0 , 即 根ξ . 完
1 ln(1 + x ) 解 lim = lim ln(1 + x ) x x →0 x →0 x
1 x = ln lim(1 + x ) x →0
= ln e = 1 .
完
例
求 lim cos( x + 1
x →∞ x →∞
x) .
解 lim cos( x + 1
x)
( x + 1 x )( x + 1 + x ) = cos lim x →∞ x +1+ x
3 sin x
1 2x = lim (1 + 2 x ) x →0
= e6 .
完
三、初等函数的连续性 三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续 的; 指数函数 y = a x (a > 0, a ≠ 1) 在 ( ∞ ,+∞ ) 内单调 且连续; 且连续 对数函数 y = log a x (a > 0, a ≠ 1) 在 (0,+∞ ) 内单 调且连续; 调且连续
定理6 最大值和最小值定理 定理 一定有最大值和最小值. 在闭区间上连续的函数 一定有最大值和最小值 定理7 定理 有界性定理 在闭区间上连续的函数 一定在该区间上有界 一定在该区间上有界. 证 设函数 f ( x ) 在 [a , b] 上连续, 于是存在 m 、 上连续,
推论1在闭区间上连续的函数 推论 在闭区间上连续的函数 必取得介于最大值 之间的任何值. M 与最小值 m 之间的任何值.
例 5 证明方程 x 3 4 x 2 + 1 = 0 在区间 (0, 1) 内至 少有一个实根 . 证 令 f ( x) = x 3 4 x 2 + 1 , 则 f ( x ) 在 [0, 1] 上连续 . 又 f (0) = 1 > 0 , f (1) = 2 < 0 , 由零点定理 , ξ ∈ (0, 1) , 使 f (ξ ) = 0 , 即 根ξ . 完
1 ln(1 + x ) 解 lim = lim ln(1 + x ) x x →0 x →0 x
1 x = ln lim(1 + x ) x →0
= ln e = 1 .
完
例
求 lim cos( x + 1
x →∞ x →∞
x) .
解 lim cos( x + 1
x)
( x + 1 x )( x + 1 + x ) = cos lim x →∞ x +1+ x
3 sin x
1 2x = lim (1 + 2 x ) x →0
= e6 .
完
三、初等函数的连续性 三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续 的; 指数函数 y = a x (a > 0, a ≠ 1) 在 ( ∞ ,+∞ ) 内单调 且连续; 且连续 对数函数 y = log a x (a > 0, a ≠ 1) 在 (0,+∞ ) 内单 调且连续; 调且连续
高等数学 第一章、第十节 连续函数的运算与性质
幂指函数 u( x)v( x) 的极限计算： 的极限计算：
若 lim u( x) = a > 0,
x→x0
x→x0
lim v( x) = b,
lim v( x)
则有 lim u( x)v( x) = [ lim u( x)] x→x0
x→x0 x→x0
= ab .
1 求 lim( x + 2ex ) x−1. 例6 x→0 1 1 lim 解： lim( x + 2e x )x−1 = [lim( x + 2e x )] x→0 x−1 x→0 x→0
∃ M > 0, 使对∀ x∈[a, b], 都有| f ( x) |≤ M （2） f (x) 在 [ a , b ] 上一定能取得它的最大值和最小值 ）
即至少一点ξ1 ∈[a, b], 使 f (ξ1 )为最大值 ,
和至少一点ξ2 ∈[a, b], 使 f (ξ2 )为最小值 . y 1 注记： 注记： （1）区间一定要是闭区间。 ）区间一定要是闭区间。 y= x 1 3 例 y = , I = (0, 1) o 1 x 在 I = (0, 1) 上连续, 但无界, 1 也无最大值和最小值。 也无最大值和最小值。
第十节 连续函数的运算与性质
• • • • • 一、四则运算的连续性 二、反函数与复合函数的连续性 三、初等函数的连续性 四、闭区间上连续函数的性质 五、小结
一、四则运算的连续性
, 定理1 定理1 若函数 f ( x), g( x)在点x0处连续
f ( x) ( g( x0 ) ≠ 0) 则 f ( x) ± g( x), f ( x) ⋅ g( x), g( x) 在点x 在点 0 处也连续.
(1) lim f ( x) = A , lim f ( x) = B, 且 A⋅ B< 0,
连续函数
x x0
则复合函数y f [ ( x )]当x x0时极限存在且等于f ( u0 )， 即 lim f [ ( x )] f [ lim ( x )] f ( u0 ).
x x0 x x0
特别地，若(1)函数u ( x )在点x0 处连续； ( 2)函数y f ( u)在点u0 处连续； 则复合函数y f [ ( x )])在点x0 处连续，
x2 1 (1) y x 1 x2 1 解：函数 y 在x 1处无定义， x 1 所以x 1是函数的间断点. x2 1 又 lim lim( x 1) 2， x 1 x 1 x 1 所以x 1是函数的可去间断点.
高等数学Ⅰ课件
三峡大学理学院
பைடு நூலகம்
x , x 1, ( 2) f ( x ) 0, x 1
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
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注 : 若在y f ( x0 x ) f ( x0 )中，记x x0 x，则x 0 x x0，y 0 f ( x ) f ( x0 )，于是有如下等价定义：
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二、 间断点及其类型
设函数f ( x )在点x0的某去心邻域内有定义，则有下列情形 之一者，函数f ( x )在点x0 不连续 :
(1)函数f ( x )在点x0 无定义；
( 2)函数f ( x )在点x0 有定义，但 lim f ( x )不存在；
x x0
( 3)函数f ( x )在点x0 有定义，且 lim f ( x )存在，但
定义1-23：在点 x0 的单侧连续性
则复合函数y f [ ( x )]当x x0时极限存在且等于f ( u0 )， 即 lim f [ ( x )] f [ lim ( x )] f ( u0 ).
x x0 x x0
特别地，若(1)函数u ( x )在点x0 处连续； ( 2)函数y f ( u)在点u0 处连续； 则复合函数y f [ ( x )])在点x0 处连续，
x2 1 (1) y x 1 x2 1 解：函数 y 在x 1处无定义， x 1 所以x 1是函数的间断点. x2 1 又 lim lim( x 1) 2， x 1 x 1 x 1 所以x 1是函数的可去间断点.
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x , x 1, ( 2) f ( x ) 0, x 1
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
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注 : 若在y f ( x0 x ) f ( x0 )中，记x x0 x，则x 0 x x0，y 0 f ( x ) f ( x0 )，于是有如下等价定义：
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二、 间断点及其类型
设函数f ( x )在点x0的某去心邻域内有定义，则有下列情形 之一者，函数f ( x )在点x0 不连续 :
(1)函数f ( x )在点x0 无定义；
( 2)函数f ( x )在点x0 有定义，但 lim f ( x )不存在；
x x0
( 3)函数f ( x )在点x0 有定义，且 lim f ( x )存在，但
定义1-23：在点 x0 的单侧连续性
连续函数的运算与性质
由零点定理 ,
(0, 1) , 使 f ( ) 0 , 即 3 4 2 1 0 .
方程 x 3 4x 2 1 0 在 (0, 1) 内至少有一个实根 .
例 8（ E06） 设函数 f ( x) 在区间 [ a, b] 上连续 , 且 f (a) 使得 f ( ) .
证 令 F ( x) f ( x) x , 则 F ( x) 在 [ a, b] 上连续 . 而 F (a ) f (a) a 0 , F (b) f (b) b 0 , 由零点定理 , 即 f( ) .
解
因为 f ( x)
ex 2x
1
是初等函数， 且
x0
2 是其定义区间内的点， 所以 f (x)
ex 在 2x 1
2/4
点 x0 2 处连续，于是
ex lim
e2
e2
.
x 2 2x 1 2 2 1 5
1
例 6（讲义例 4） 求 lim (x 2ex) x 1 .
x0
1
1
解 lim ( x 2e x ) x 1
至少各有一个实根 .
例 10 设 f (x) 在 [ a, ) 上连续 , f (a) 0, 且
lim f (x) A 0,
x
证明 : 在 [ a, ) 上至少有一点 , 使 f ( ) 0.
证 只要能找到一点 x1 a , 使 f ( x1) 0 , 便可对 f ( x) 在 [ a, x1 ] 上应用零点定理 ，得到 所需的结论 .
f ( ) 0.
由于 (a, x1) (a, ), 也就是说在 (a, ) 内至少有一点 , 使 f ( ) 0.
课堂练习
x
1. 求下列极限 lim ln( e | x |) . x1
连续函数运算及性质-PPT课件
同理 y arccos x 在 [ 1 , 1 ] 上单调减少且 ;
反三角函数在其定义域内皆连续.
世界会向那些有目标和远见的人让 路 与君共勉 3
y arctan x , y arc cot x 在 [ , ] 上单调 .
定理3
若 lim ( x ) a ,函数 f ( u ) 在点 a 连续 ,
2 2 (1 x 1 )( 1 x 1 ) lim 解 原式 2 x 0 x (1 x 1 ) x 0 lim 0 . 2 x 0 1 x 1 2
注意 1. 初等函数仅在其定义区间内连续, 在 其定义域内不一定连续;
例如,
y cos x 1 , D : x 0 , 2 , 4 ,
这些孤立点的邻域内没有定义.
y x( x 1 ),
2 3
D : x 0 , 及 x 1 ,
在0点的邻域内没有定义.
函数在区间 [ 1 , ) 上连续 .
★ 三角函数及反三角函数在它们的定义域内是
连续的.
x ★ 指数函数 y a ( a 0 , a 1 )
在 ( , ) 内单调且连续 ;
★ 对数函数 y log x ( a 0 , a 1 ) a
在 ( 0 , ) 内单调且连续 ;
世界会向那些有目标和远见的人让 路 与君共勉 9
一、四则运算的连续性
定理1
若函数 f( x ),g ( x ) 在点 x 处连续 , 0
f( x ) 则 f( x ) g ( x ), f( x ) g ( x ), ( g ( x ) 0 ) 0 g ( x ) 在点 x 处也连续 . 0
x , cos x 在 ( , ) 内连续 , 例如, sin
函数的连续性与连续函数的运算
连续，由此得到函数 x , x 的连续性.
y
x0 处
y max{ f ( x), g ( x)}
y f x y g x
y min{ f ( x), g ( x)}
O
x
2.复合函数的连续性 定理2 若函数 y f (u ) 在点 u
u u ( x) 在点 x x0 处连续, 则复合函数 y f u( x)
1 f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) , 2
( x) min{ f ( x), g ( x)}
1 f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) , 2
再注意到：若 f ( x)在点 x0 处连续，则 f ( x) 在点
g x
f x
g ( x0 ) 0
都在点 x0 处连续.
例
设函数 f ( x), g ( x) 在点 x0 处连续，则函数
( x) max{ f ( x), g ( x)}, ( x) min{ f ( x), g ( x)},
在点 证
x0 处连续. 因 ( x) max{ f ( x), g ( x)}
y
1
1
之间变动，则把点 x0 称为函数 f ( x)的振荡间断点. 可去间断点与跳跃间断点的特征是,
若当 x x0 时，函数值 f ( x) 无限次地在两个不同的数
函数在这一点的左右极限均存在. 通常把这一类间断点
称为第一类间断点.
除此之外的间断点称为第二类间断点.
x 2 1 x 1 例 讨论函数 f ( x) 0 1 x 1 的连续性. x x 1
y
x0 处
y max{ f ( x), g ( x)}
y f x y g x
y min{ f ( x), g ( x)}
O
x
2.复合函数的连续性 定理2 若函数 y f (u ) 在点 u
u u ( x) 在点 x x0 处连续, 则复合函数 y f u( x)
1 f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) , 2
( x) min{ f ( x), g ( x)}
1 f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) , 2
再注意到：若 f ( x)在点 x0 处连续，则 f ( x) 在点
g x
f x
g ( x0 ) 0
都在点 x0 处连续.
例
设函数 f ( x), g ( x) 在点 x0 处连续，则函数
( x) max{ f ( x), g ( x)}, ( x) min{ f ( x), g ( x)},
在点 证
x0 处连续. 因 ( x) max{ f ( x), g ( x)}
y
1
1
之间变动，则把点 x0 称为函数 f ( x)的振荡间断点. 可去间断点与跳跃间断点的特征是,
若当 x x0 时，函数值 f ( x) 无限次地在两个不同的数
函数在这一点的左右极限均存在. 通常把这一类间断点
称为第一类间断点.
除此之外的间断点称为第二类间断点.
x 2 1 x 1 例 讨论函数 f ( x) 0 1 x 1 的连续性. x x 1
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三、 初等函数的连续性
定理30
一切初等函数在其定义区间内都是 连续的.
三、 初等函数的连续性
注
定义区间是指包含在定义域内的区间.初等函数仅 在其定义区间内连续，在其定义域内不一定连续.
例如,函数y=x2(x－1)3的定义域为{0}∪［1,+∞),函 数在点x=0的邻域内没有定义，因而函数y在x=0处不 连续，但函数在定义区间［1,+∞)上连续.
一定有界.
例53证明：若函数f(x)在(－∞,+∞)上连续，且
limx→∞f(x)存在，则f(x)在(－∞,+∞)上必有界.
证设limx→∞f(x)=A.若取ε=1
X>0,当x>X时，
f(x)－A<ε=1 即f(x)<1+A.
四、 闭区间上连续函数的性质
另一方面，f(x)在(－∞,+∞)上连续，所以在闭区 间［－X,X］上连续，因此当x≤X时，f(x)在［－X,X］ 上一定有界，即存在M0>0
图 2-16
四、 闭区间上连续函数的性质
推论
在闭区间上连续的函数必取得介于 最大值M与最小值m之间的任何值.
四、 闭区间上连续函数的性质
【例54】
设函数f(x)在(a,b)上连续，任取x1，x2∈(a,b)且x1<x2，证明在 (a,b)内至少存在一点ξ，使得
五、 一致连续性
f(x)≤M0. 若取M=maxM0,1+A，则对于任意的x∈(－ ∞,+∞)，均有f(x)≤M，即f(x)在(－∞,+∞)上有界. 如果f(x0)=0，则称x0为函数f(x)的零点.
四、 闭区间上连续函数的性质
定理33
(零点定理)设函数f(x)在闭区间 ［a,b］上连续，且f(a)与f(b)异号 ［f(a)·f(b)<0］，则在开区间(a,b)内至 少有函数f(x)的一个零点，即至少存在 一点ξ(a<ξ<b)，使f(ξ)=0.
四、 闭区间上连续函数的性质
定理34
(介值定理)设函数f(x)在闭区间［a,b］上连续，且在该区间的端点 处有不同的函数值f(a)=A及f(b)=B，那么，对于A与B之间的任意一个 数C，在开区间(a,b)内至少有一点ξ，使得f(ξ)=C.
介值定理的几何意义是：对介于fa与fb之间的任何一个数C,直线 y=C与连续曲线y=fx至少有一个交点，如图2-16所示.
例如，函数u=1x在(－∞,0)∪(0,+∞)内连续. 函数y=sin u在(－∞,+∞)内连续，所以y=sin1x在 (－∞,0)∪(0,+∞)内连续.
三、 初等函数的连续性
定理29
基本初等函数在其定义域内是连续的. 因初等函数是由基本初等函数经过有限次 四则运算和复合运算所构成的，故得到下列重 要结论.
图 2-13
四、 闭区间上连续函数的性质
注
当定理31中的“闭区间上 连续”的条件不满足时，定理 的结论可能不成立.例如，函数
在闭区间［0,1］上有间 断点x=0,x=1.该函数在闭区间 ［0,1］上既无最大值又无最 小值(见图2-14).
图 2-14
四、 闭区间上连续函数的性质
定理32
(有界性定理)在闭区间上连续的函数在该区间上
三、 初等函数的连续性
【例52】
四、 闭区间上连续函数的性质
下面介绍闭区间上连续函数的几个基本性质，由于它们的 证明涉及严密的实数理论，故略去其严格的证明，但可以借助 几何直观地来理解.
先说明最大值和最小值的概念.对于在区间I上有定义的函 数f(x),如果存在x0∈I，使得对于任一x∈I
f(x)≤f(x0)［f(x)≥f(x0) 则称f(x0)是函数f(x)在区间I上的最大值(最小值). 例如，函数y=cos x在区间π2,π上有最大值0和最小值－1. 函数y=sgn x在(－∞,+∞)内有最大值1和最小值－1.
二、 反函数与复合函数的连续性
定理27
二、 反函数与复合函数的连续性
注
把定理27中的x→x0换成x→∞，可得类似的定理.
二、 反函数与复合函数的连续性
【例50】
二、 反函数与复合函数的连续性
【例51】
二、 反函数与复合函数的连续性
定理28
设函数u=φ(x)在点x 0处连续，且φ(x0)=u0， 而函数y=f(u)在点u=u0处连续，则复合函数f ［φ(x)］在点x0处也连续.
三、 初等函数的连续性
定理30的结论非常重要,因为微积分的研究对象主要 是连续或分段连续的函数，而一般应用中所遇到的函数基 本上是初等函数，其连续性的条件总是满足的，从而使微 积分具有强大的生命力和广阔的应用前景.此外，根据定 理30求初等函数在其定义区间内某点的极限，只需求初 等函数在该点的函数值，即
连续函数的运定理25
二、 反函数与复合函数的连续性
定理26
若函数y=f(x)在区间Ix上单调增加(或单调减少)且连续， 则它的反函数x=φ(y)也在对应的区间Iy={y|y=f(x),x∈Ix}上 单调增加(或单调减少)且连续.
证明略. 例如，由于y=sin x在闭区间－π2,π2上单调增加且连续， 所以它的反函数y=arcsin x在对应区间［－1,1］上也是单 调增加且连续的.同理可得其他反三角函数的连续性.总之,反 三角函数在其定义域内都是连续的.
四、 闭区间上连续函数的性质
定理31
(最值定理)在闭区间上连续的函 数一定有最大值和最小值.
定理31表明，若函数f(x)在闭区 间［a,b］上连续，则至少存在一点 ξ1∈［a,b］，使f(ξ1)是f(x)在闭区间 ［a,b］上的最小值；又至少存在一 点ξ2∈［a,b］，使f(ξ2)是f(x)在闭区 间［a,b］上的最大值(见图2-13).
零点定理的几何意义是：若连续曲 线y=fx在［a,b］的端点处的函数值异 号，则曲线与x轴至少有一个交点，如 图2-15所示.
图 2-15
四、 闭区间上连续函数的性质
【例54】
证明方程x5－7x+3=0在区间(0,1)上至少有一个实根. 证令f(x)=x5－7x+3,则f(x)在区间0,1上连续, f(0)=3>0,f(1)=－3<0 由零点定理知,在区间(0,1)内至少存在一点ξ, f(ξ)=0 即ξ5－7ξ+3=0.因此方程x5－7x+3=0在区间(0,1)上至少 有一个实根.