中考数学证明题
2023年数学中考试题精选：几何综合证明(一)
1.（2023.营口24题）在平行四边形ABCD中，∠ADB=90°,点E在CD 上，点G在AB上，点F在BD的延长线上，连接EF，DG, ∠FED=∠ADG，ADBD =DG EF=k.（1）如图1，当k=1时，请用等式表示线段AG与线段DF的数量关系________；（2）如图2，当k=√(3)时，写出线段AD，DE和DF之间的数量关系,并说明理由；（3）在（2）的条件下，当点G是AB的中点时，连接BE，求tan∠EBF的值2.（2023.本溪铁岭辽阳25题）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，点O为AB的中点，点D在直线AB上（不与点A，B重合），连接CD，线段CD绕点C逆时针旋转90°，得到线段CE，过点B作直线l⊥BC，过点E作EF⊥l，垂足为点F，直线EF交直线OC于点G.（1）如图1，当点D与点O重合时，请直接写出线段AD与线段EF 的数量关系；（2）如图2，当点D在线段AB上时，求证：CG+BD=√2BC；（3）连接DE，△CDE的面积记为S1，△ABC的面积记为S2，当EF:BC=1:3时，请直接写出S1S2的值.3.(2023.大连25题)综合与实践问题情境：数学活动课上，王老师给同学们每人发了一张等腰三角形纸片探究折叠的性质。
已知AB=AC，∠A>90°，点E为AC上一动点，将△ABE以BE为对称轴翻折，同学们经过思考后进行如下探究：独立思考：小明：“当点D落在BC上时，∠EDC=2∠ACB.”小红：“若点E为AC中点，给出AC与DC的长，就可求出BE的长.”补足探究：奋进小组的同学们经过探究后提出问题1，请你回答：问题1：在等腰△ABC中，AB=AC，∠A>90°，△BDE由△ABE翻折得到.（1）如图1，当点D落在BC上时，求证：∠EDC=2∠ACB；（2）如图2，若点E为AC中点，AC=4，CD=3，求BE的长.问题解决：小明经过探究发现：若将问题1中的等腰三角形换成∠A<90°的等腰三角形，可以问题进一步拓展.问题2：如图3，在等腰△ABC中，∠A<90°，AB=AC=BD=4，2∠D=∠ABD.若CD=1，则求BC的长.4.(2023.牡丹江26题)平行四边形ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，连接DE，将ED绕点E逆时针旋转90°，得到EF，连接BF.（1）当点E在线段BC上，∠ABC=45°时，如图1，求证：AE+EC=BF；（2）当点E在线段BC延长线上，∠ABC=45°时，如图2，当点E在线段CB延长线上，∠ABC=135°时，如图3，请猜想并直接写出线段AE，EC,BF的数量关系；（3）在（1）、（2）的条件下，若BE=3，DE=5，则CE=______.5.（2023.贵州省25题）如图1，小红在学习了三角形相关知识后，对等腰直角三角形进行了探究，在等腰直角三角形ABC中，CA=CB,∠C=90°,过点B作射线BD⊥AB，垂足为B，点P在CB上.（1）【动手操作】如图2，若点P在线段CB上，画出射线PA，并将射线PA绕点P逆时针旋转90°与BD交于点E,根据题意在图中画出图形，图中∠PBE的度数为______度；（2）【问题探究】根据（1）所画图形，探究线段PA与PE的数量关系，并说明理由；（3）【拓展延伸】如图3，若点P在射线CB上移动，将射线PA绕点P逆时针旋转90°与BD将于点E，探究线段BA，BP，BE之间的数量关系，并说明理由.6.(2023.沈阳24题)如图1.在平行四边形纸片中，AB=10，AD=6，∠DAB=60°，点E为BC边上的一点（点E不与点C重合），连接AE，将平行四边形ABCD纸片沿AE所在直线折叠，点C，D的对应点分别为C`，D`，射线C`E与射线AD将于点F.（1）求证：AF=EF；（2）如图2，当EF⊥AF时，DF的长为______;（3）如图3，当CE=2时，过点F作FM⊥AE，垂足为点M，延长FM 交C`D`于点N，连接AN，EN，求△ANE的面积。
2023年数学中考真题：圆的有关计算及证明精选(一)
圆的有关计算及证明2023年数学中考试题精选（一）1.（2023.营口23题）如图，在△ABC中，AB=BC，以BC为直径作圆O与AC将于点D，过点D作DE⊥AB，交CB延长线于点F，垂足为点E.（1）求证：DF为圆O的切线；，求BF的长。
（2）若BE=3，cosC=452.（2023.本溪铁岭辽阳24题）如图，AB是圆O的直径，点C，E在圆O上，∠CAB=2∠EAB，点F在线段AB的延长线上，且∠AFE=∠ABC.（1）求证：EF与圆O相切；，求BC的长。
（2）若BF=1，sin∠AFE=453.(2023.沈阳22题)如图，BE是圆O的直径，点A和点D是圆O上的两点，过点A作圆O的切线交BE延长线于点C.（1）若∠ADE=25°，求∠C的度数；（2）若AB=AC，CE=2，求圆O半径的长.4.(2023.大连市23题)如图1，在圆O中，AB为圆O的直径，点C为圆O上一点，AD为∠CAB的平分线交圆O于点D，连接OD交BC于点E.（1）求∠BED的度数；（2）如图2，过点A作圆O的切线BC延长线于点F，过点D作DG ∥AF交AB于点G.若AD=2√35,DE=4，求DG的长。
5.(2023.湖北省恩施州23题)如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，点O为AB的中点，连接CO交圆O于点E，圆O与AC 相切于点D.（1）求证：BC是圆O的切线；（2）延长CO交圆O于点G，连接AC交圆O于点F，若AC=4√(2)，求FG的长.6.（2023.贵州省23题）如图，已知圆O是等边三角形ABC的外接圆，连接CO并延长交AB于点D，交圆O于点E，连接EA，EB.（1）写出图中一个度数为30°的角；____，图中与△ACD全等的三角形是______；（2）求证：△AED∽△CEB;（3）连接OA，OB，判断四边形OAEB的形状，并说明理由。
7.(2023.江苏省24题)如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的圆O交边AC于点D，连接BD，过点C作CE∥AB.（1）请用无刻度的直尺和圆规作图：过点B作圆O的切线，交CE 于点F；（不写作法，保留作图痕迹，标明字母）（2）在（1）的条件下，求证：BD=BF.8.(2023.江西省20题)如图，在△ABC中，AB=4,∠C=64°，以AB为直径的圆O与AC相交于点D，E为优弧ABD上一点，且∠ADE=40°.（1）求BE的长；（2）若∠EAD=76°，求证：CB为圆O的切线.9.(2023.沈阳22题)如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上的一点（点C不与点A，B重合），连接AC，BC，点D是AB上的一点，AC=AD，BE交CD的延长线于点E，且BE=BC.（1）求证：BE是圆O的切线；（2）若圆O的半径为5，tanE=1，则BE的长为_____.210.(2023.扬州市25题)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D是AB∠A，点O在BC上，以点O为圆心的圆经过C、上一点，且∠BCD=12D两点.（1）试判断直线AB与圆O的位置关系，并说明理由；，圆O的半径为3，求AC的长.（2）若sinB=3511.(2023.广西壮族自治区23题)如图，PO平分∠APD，PA与圆O相切于点A，延长AO交PD于点C，过点O作OB⊥PD，垂足为B.（1）求证：PB是圆O的切线；（2）若圆O的半径为4，OC=5，求PA的长.12.（2023.广东省22题）如图1，在矩形ABCD中（AB>AD），对角线AC，BD相交于点O，点A关于BD的对称点为A`，连接AA`交BD于点E，连接CA`.（1）求证：AA`⊥CA`；（2）以点O为圆心，OE为半径作圆.①如图2，圆O与CD相切，求证：AA`=√3CA`；②如图3，圆O与CA`相切，AD=1，求圆O的面积.13.(2023.安徽省20题)已知四边形ABCD内接于圆O，对角线BD是圆O的直径.（1）如图1，连接OA，CA，若OA⊥BD，求证：CA平分⊥BCD; （2）如图2，E为圆O内一点，满足AE⊥BC，CE⊥AB，若BD=3√3，AE=3.求弦BC的长.14.(2023.湖北黄冈市20题)如图，⊥ABC 中，以AB 为直径的圆O 交BC 于点D ，DE 是圆O 的切线 ，且DE⊥AC ，垂足为E ，延长CA 交圆O 于点F.（1）求证：AB=AC ；（2）若AE=3，ED=6，求AF 的长。
中考数学证明题集锦及答案
中考数学证明题精选1.如图，两相交圆的公共弦AB为32，在⊙O1中为内接正三角形的一边，在⊙O2中为内接正六边形的一边，求这两圆的面积之比。
2.扇形的圆心角为1500，弧长为π20，求扇形的面积。
3.如图，PA、PB切⊙O于A、B两点，PO＝4cm，∠APB＝600，求阴影局部的周长。
4.如图，直角扇形AOB，半径OA＝2cm，以OB为直径在扇形内作半圆M，过M引MP∥AO交⋂AB于P，求⋂AB与半圆弧及MP围成的阴影局部面积阴S。
5.如图，⊙O内切于△ABC，切点分别为D、E、F，假设∠C＝900，AD＝4，BD＝6，求图中阴影局部的面积。
第1题图6.如图，在Rt△ABC中，∠C＝900，O点在AB上，半圆O切AC于D，切BC于E，AO＝15cm，BO＝20cm，求⋂DE的长。
2O1O••例1图BA例3图例4图OBA•第2题图EA BOCD7.如图，有一个直径是1米圆形铁皮，要从中剪出一个最大的圆心角为900的扇形ABC ，求：〔1〕被剪掉〔阴影〕局部的面积；〔2〕用所留的扇形铁皮围成一个圆锥，该圆锥的底面半径是多少？8.如图，⊙O 与⊙O '外切于M ，AB 、CD 是它们的外公切线，A 、B 、C 、D 为切点，E O '⊥OA 于E ，且∠AOC ＝1200。
〔1〕求证：⊙O '的周长等于⋂AMC 的弧长；〔2〕假设⊙O '的半径为1cm ，求图中阴影局部的面积。
9.如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠BCD=90°,且AB=1，BC=2，tan ∠ADC=2. (1) 求证：DC=BC;(2) E 是梯形内一点，F 是梯形外一点，且∠E DC=∠F BC ，DE=BF ，试判断△E CF 的形状，并证明你的结论； (3) 在〔2〕的条件下，当BE ：CE=1：2，∠BEC=135°时，求sin ∠BFE 的值.10.：如图，在□ABCD 中，E 、F 分别为边AB 、CD 的中点，BD 是对角线，AG ∥DB 交CB 的延长线于G ． 〔1〕求证：△ADE ≌△CBF ；〔2〕假设四边形 BEDF 是菱形，那么四边形AGBD 是什么特殊四边形？并证明你的结论．11.如图13－1，一等腰直角三角尺GEF 的两条直角边与正方形ABCD 的两条边分别重合在一起．现正方形ABCD 保持不动，将三角尺GEF 绕斜边EF 的中点O 〔点O 也是BD 中点〕按顺时针方向旋转．〔1〕如图13－2，当EF 与AB 相交于点M ，GF 与BD 相交于点N 时，通过观察或测量BM ，FN 的长度，猜测BM ，FN 满足的数量关系，并证明你的猜测； 〔2〕假设三角尺GEF 旋转到如图13－3所示的位置时，线段FE 的延长线与AB 的延长线相交于点M ，线段BD的延长线与GF 的延长线相交于点N ，此时，〔1〕中的猜测还成立吗？假设成立，请证明；假设不成立，请说明理由． E BF CD A D F O N D FN CO•第3题图AB OCO '第4题图MDEA B O C12.如图，⊙O 的直径AB 垂直于弦CD 于E ，连结AD 、BD 、OC 、OD ，且OD ＝5。
中考复习初中数学几何证明 试题(含答案)
初中几何证明题经典题（一）1、已知：如图，O 是半圆的圆心，C 、E 是圆上的两点，CD ⊥AB ，EF ⊥AB ，EG ⊥CO ． 求证：CD ＝GF ．（初二）.如下图做GH ⊥AB,连接EO 。
由于GOFE 四点共圆，所以∠GFH ＝∠OEG , 即△GHF ∽△OGE,可得EO GF =GO GH =COCD,又CO=EO ，所以CD=GF 得证。
2、已知：如图，P 是正方形ABCD 内点，∠PAD ＝∠PDA ＝150． 求证：△PBC 是正三角形．（初二）.3、如图，已知四边形ABCD 、A 1B 1C 1D 1都是正方形，A 2、B 2、C 2、D 2分别是AA 1、BB 1、CC 1、DD 1的中点．求证：四边形A 2B 2C 2D 2是正方形．（初二）APCDB D 2C 2 B 2 A 2D 1C 1B 1C B DA A 1 AFGCEBOD4、已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，AD 、BC的延长线交MN 于E 、F ．求证：∠DEN ＝∠F ．经典题（二）1、已知：△ABC 中，H 为垂心（各边高线的交点），O（1）求证：AH ＝2OM ； （2）若∠BAC ＝600，求证：AH ＝AO ．（初二）2、设MN 是圆O 外一直线，过O 作OA ⊥MN 于A ，自A 及D 、E ，直线EB及CD 分别交MN 于P 、Q ． 求证：AP ＝AQ ．（初二）3、如果上题把直线MN 由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题：设MN 是圆O 的弦，过MN 的中点A 任作两弦BC 、DE ，设CD 、EB 分别交MN 于P 、Q ． 求证：AP ＝AQ ．（初二）4、如图，分别以△ABC 的AC 和BC 为一边，在△ABC 的外侧作正方形ACDE 和正方形CBFG ，点P 是EF 的中点．BF求证：点P 到边AB 的距离等于AB 的一半．经典题（三）1、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，AE ＝AC ，AE 与CD 相交于F ．求证：CE ＝CF ．（初二）2、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，且CE ＝CA ，直线EC 交DA 延长线于F ．求证：AE ＝AF ．（初二）3、设P 是正方形ABCD 一边求证：PA ＝PF ．（初二）4、如图，PC 切圆O 于C ，AC 为圆的直径，PEFB 、D ．求证：AB ＝DC ，BC ＝AD ．（初三）经典题（四）1、已知：△ABC 是正三角形，P 是三角形内一点，PA ＝3，PB ＝4，PC ＝5． 求：∠APB 的度数．（初二）2、设P 是平行四边形ABCD 内部的一点，且∠PBA ＝∠PDA ． 求证：∠PAB ＝∠PCB ．（初二）3、设ABCD 为圆内接凸四边形，求证：AB ·CD ＋AD ·BC ＝AC ·BD ．（初三）4、平行四边形ABCD 中，设E 、F 分别是BC 、AB 上的一点，AE 与CF 相交于P ，且 AE ＝CF ．求证：∠DPA ＝∠DPC ．（初二）经典难题（五）1、 设P 是边长为1的正△ABC 内任一点，L ＝PA ＋PB ＋PC ，求证：≤L ＜2．2、已知：P 是边长为1的正方形ABCD 内的一点，求PA ＋PB ＋PC 的最小值． A P CB P A D CB C B D A F PD E CB A APCB3、P为正方形ABCD内的一点，并且PA＝a，PB＝2a，PC＝3a，求正方形的边长．4、如图，△ABC中，∠ABC＝∠ACB＝800，D、E分别是AB、AC上的点，∠DCA＝300，∠EBA＝200，求∠BED的度数．经典题（一）1.如下图做GH⊥AB,连接EO。
【中考数学】2022-2023学年易错常考专题训练—切线的证明(含解析)
【中考数学】2022-2023学年易错常考专题训练—切线的证明一、综合题1．如图，⊙O 是Rt △ABC 的外接圆，∠ABC ＝90°，BD ＝BA ，BE ⊥DC 交DC 的延长线于点E ．（1）若∠BAD ＝70°，则∠BCA ＝ °；（2）若AB ＝12，BC ＝5，求DE 的长： （3）求证：BE 是⊙O 的切线．2．如图，AB 为 的直径，C 为 上一点，D 为BA 延长线上一点， ．⊙O ⊙O ∠ACD =∠B（1）求证：DC 为 的切线；⊙O （2）线段DF 分别交AC ，BC 于点E ，F 且 ， 的半径为5， ，求∠CEF =45∘⊙O sinB =35CF 的长．3．如图，四边形ABCD 的顶点在⊙O 上，BD 是⊙O 的直径，延长CD 、BA 交于点E ，连接AC 、BD 交于点F ，作AH ⊥CE ，垂足为点H ，已知∠ADE ＝∠ACB ．（1）求证：AH 是⊙O 的切线；（2）若OB ＝4，AC ＝6，求sin ∠ACB 的值；（3）若 ＝ ，求证：CD ＝DH ．DF FO 234．如图，⊙ 是△ 的外接圆， 为直径，弦 ， 交 的延长线于点O ABC AC BD =BA BE ⊥DC DC ，求证：E（1） ；∠ECB =∠BAD （2） 是⊙ 的切线．BE O 5．如图，已知Rt △ABC ，∠C=90°，D 为BC 的中点，以AC 为直径的⊙O 交AB 于点E ．（1）求证：DE 是⊙O 的切线；（2）若AE ：EB=1：2，BC=6，求AE 的长．6．如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠BAC 的角平分线AD 交BC 边于D ．以AB 上某一点O 为圆心作⊙O ，使⊙O 经过点A 和点D ．（1）判断直线BC 与⊙O 的位置关系，并说明理由；（2）若AC=3，∠B=30°．①求⊙O 的半径；②设⊙O 与AB 边的另一个交点为E ，求线段BD 、BE 与劣弧DE 所围成的阴影部分的图形面积．（结果保留根号和π）7．如图，等腰三角形ABC 中，AC=BC=10，AB=12，以BC 为直径作⊙O 交AB 于点D ，交AC 于（1）求证：直线EF 是⊙O 的切线；（2）求cos ∠E 的值．8．如图，已知△ABC 是等边三角形，以AC 为直径的⊙O 分别交AB ，BC 于点D ，E ，点F 在AB的延长线上，2∠BCF=∠BAC ．（1）求∠ADE 的度数．（2）求证：直线CF 是⊙O 的切线．9．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于H ，G 为⊙O 上一点，连接AG 交CD 于K ，在CD 的延长线上取一点E ，使EG=EK ，EG 的延长线交AB 的延长线于F.（1）求证：EF 是⊙O 的切线； （2）连接DG ，若AC ∥EF 时.①求证：△KGD ∽△KEG ；②若，AK= ，求BF 的长.cosC =451010．在 中， ， ， 是 边上的点，⊙O 与 相切，切点Rt △ABC ∠A =90°AB =AC =4O BC AB 为 ， 与⊙O 相交于点 ，且 ．D ACE AD =AE（1）求证： 是⊙O 的切线；AC （2）如果 为 弧上的一个动点（不与 、 重合），过点 作⊙O 的切线分别与边 F DE D E F 、 相交于 、 ，连接 、 ，有两个结论：①四边形 的周长不变，②AB AC G H OG OH BCHG 的度数不变．已知这两个结论只有一个符合题意，找出正确的结论并证明；∠GOH （3）探究：在（2）的条件下，设 ， ，试问 与 之间满足怎样的函数关系，BG =x CH =y y x 写出你的探究过程并确定变量 的取值范围，并说明当 时 点的位置．x x =y F 11．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，以AB 为直径的⊙O 交BC 于点D ，连接AD ，过点D 作DM ⊥AC ，垂足为M ，AB 、MD 的延长线交于点N.（1）求证：MN 是⊙O 的切线；（2）求证：DN 2＝BN•（BN+AC ）；（3）若BC ＝6，cosC ＝ ，求DN 的长.3512．如图，AB 为⊙O 的直径，P 为BA 延长线上一点，点C 在⊙O 上，连接PC ，D 为半径OA 上一点，PD ＝PC ，连接CD 并延长交⊙O 于点E ，且E 是 的中点.AB（1）求证：PC 是⊙O 的切线；（2）若AB ＝8，CD•DE ＝15，求PA 的长.13．如图，内接于⊙，⊙的直径AD 与弦BC 相交于点E ，BE ＝CE ，过点D 作交△ABC O O DF ∥BC AC 的延长线于点F ．（1）求证：DF 是⊙的切线；O （2）若，AB ＝6，求DF 的长．sin∠BAD =1314．如图，在中，，，以边上一点为圆心，为半径作，RtΔABC ∠BAC =90°∠C =30°AC O OA ⊙O 恰好经过边的中点，并与边相交于另一点.⊙O BC D AC F（1）求证：是的切线.BD ⊙O （2）若，是半圆上一动点，连接，，.填空： AB =3E AGF AE AD DE ①当的长度是 时，四边形是菱形；AE ABDE ②当的长度是 时，是直角三角形.AE ΔADE15．已知AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于H ，过CD 延长线上一点E 作⊙O 的切线交AB 的延长线于F ，切点为G ，连接AG 交CD 于K ．（1）如图1，求证：KE=GE ；（2）如图2，连接CA ，BG ，若∠FGB= ∠ACH ，求证：CA ∥FE ；12（3）如图3，在（2）的条件下，连接CG 交AB 于点N ，若sinE= ，AK= ，求CN 的3510长．16．如图，已知在 Rt △ABC 中， ∠C=90° ，点D 为AC 的中点.（1）请利用尺规作出以BC 为直径的⊙O ； （保留作图痕迹 ）（2）AB 交⊙O 于点 E ，连接 DE ，求证： DE 是 ⊙O 的切线.（3）若 ∠ABC=30° ， BC=6 ，求⊙O 与 DE 、 DC 组成的阴影部分面积.答案解析部分1．【正确答案】（1）70（2）解：在Rt △ABC 中，AC ＝ ＝13， ∠BDE ＝∠BAC ，∠BED ＝∠CBA ＝90°，BC 2+AB 2∴△DEB ∽△ABC ，∴ ，即 ， 解得，DE ＝ ；DE AB =BD AC DE 12=121314413（3）证明：连接OB ， ∵OB ＝OC ，∴∠OBC ＝∠OCB ， ∵四边形ABCD 内接于⊙O ， ∴∠BAD+∠BCD ＝180°， ∵∠BCE+∠BCD ＝180°，∴∠BCE ＝∠BAD ，∵BD ＝BA ， ∴∠BDA ＝∠BAD ，∵∠BDA ＝∠ACB ，∴∠ACB ＝∠BAD ，∴∠OBC ＝∠BCE ，∴OB ∥DE ，∵BE ⊥DC ， ∴BE ⊥OB ，∴BE 是⊙O 的切线．2．【正确答案】（1）解：如图，连接OC ，为 的直∵AB ⊙O 径，， ∴∠ACB =∠BCO +∠OCA =90°，∴∠B =∠BCO ，∵∠ACD =∠B ，∴∠ACD =∠BCO ，即 ，∴∠ACD +∠OCA =90∘∠OCD =90∘ 为 的切线∴DC ⊙O （2）解： 中， ，， ， ，(2)Rt △ACB AB =10sinB =35=ACAB ∴AC =6BC =8 ， ，∵∠ACD =∠B ∠ADC =∠CDB ∽ ，∴△CAD △BCD ，∴AC BC =AD CD =68=34设 ， ，AD =3x CD =4x 中， ， ，Rt △OCD OC 2+CD 2=OD 252+(4x)2=(5+3x)2 舍 或 ，x =0()307 ， ，∵∠CEF =45∘∠ACB =90∘ ，∴CE =CF 设 ，CF =a ，∵∠CEF =∠ACD +∠CDE ，∠CFE =∠B +∠BDF ，∴∠CDE =∠BDF ，∵∠ACD =∠B ∽ ，∴△CED △BFD ，∴CE CD =BF BD ，，∴a 4×307=8−a 10+3×307a =247∴CF =2473．【正确答案】（1）证明：连接OA ，由圆周角定理得，∠ACB ＝∠ADB ， ∵∠ADE ＝∠ACB ，∴∠ADE ＝∠ADB ，∵BD 是直径， ∴∠DAB ＝∠DAE ＝90°， 在△DAB 和△DAE 中，，{∠BAD =∠EADDA =DA∠BDA =∠EDA ∴△DAB ≌△DAE ，∴AB ＝AE ，又∵OB ＝OD ， ∴OA ∥DE ，又∵AH ⊥DE ，∴OA ⊥AH ，∴AH 是⊙O 的切线（2）解：由（1）知，∠E ＝∠∠DBE ＝∠ACD ， ∴∠E ＝∠ACD ，∴AE ＝AC ＝AB ＝6．在Rt △ABD 中，AB ＝6，BD ＝8，∠ADE ＝∠ACB ，∴sin ∠ADB ＝ ＝ ，即sin ∠ACB ＝ 683434（3）证明：由（2）知，OA 是△BDE 的中位线，∴OA ∥DE ，OA ＝ DE ．12∴△CDF ∽△AOF ， ∴ ＝ ＝ ， CD AO DF OF 23∴CD ＝ OA ＝ DE ，即CD ＝ CE ，231314∵AC ＝AE ，AH ⊥CE ，∴CH ＝HE ＝ CE ，12∴CD ＝ CH ，12∴CD ＝DH ．4．【正确答案】（1）证明：∵四边形ABCD 是圆内接四边形，∴∠ECB=∠BAD．（2）证明：连结OB ，OD ，在△ABO 和△DBO 中， ，∴△ABO ≌△DBO （SSS ），{AB =BDBO =BOOA =OD ∴∠DBO=∠ABO ，∵∠ABO=∠OAB=∠BDC ，∴∠DBO=∠BDC ， ∴OB ∥ED ，∵BE ⊥ED ，∴EB ⊥BO ， ∴BE 是⊙O 的切线5．【正确答案】（1）证明：连接OE 、EC ，∵AC 是⊙O 的直径，∴∠AEC=∠BEC=90°，∵D 为BC 的中点，∴ED=DC=BD ，∴∠1=∠2，∵OE=OC ，∴∠3=∠4，∴∠1+∠3=∠2+∠4，即∠OED=∠ACB ，∵∠ACB=90°，∴∠OED=90°，∴DE 是⊙O 的切线（2）解：由（1）知：∠BEC=90°，∵在Rt △BEC 与Rt △BCA 中，∠B=∠B ，∠BEC=∠BCA ，∴△BEC ∽△BCA ，∴ = ，BE BC BC BA ∴BC 2=BE•BA ，∵AE ：EB=1：2，设AE=x ，则BE=2x ，BA=3x ，∵BC=6，∴62=2x•3x ，解得：x= ，6即AE= 66．【正确答案】（1）解：（1）直线BC 与⊙O 相切；连结OD ，如图所示，∵OA=OD ，∴∠OAD=∠ODA ，∵∠BAC 的角平分线AD 交BC 边于D ，∴∠CAD=∠OAD ，∴∠CAD=∠ODA ，∴OD ∥AC ，∴∠ODB=∠C=90°，即OD ⊥BC ．又∵直线BC 过半径OD 的外端，∴直线BC 与⊙O 相切．（2）解：①设OA=OD=r ，在Rt △BDO 中，∠B=30°，∴OB=2r ，在Rt △ACB 中，∠B=30°，∴AB=2AC=6，∴3r=6，解得r=2．②在Rt △ACB 中，∠B=30°，∴∠BOD=60°．∴．∴所求图形面积为．7．【正确答案】（1）证明：如图，方法1：连接OD 、CD ．∵BC 是直径，∴CD ⊥AB ．∵AC=BC ．∴D 是AB 的中点．∵O 为CB 的中点，∴OD ∥AC ．∵DF ⊥AC ，∴OD ⊥EF ．∴EF 是圆O 的切线．方法2：∵AC=BC ，∴∠A=∠ABC ，∵OB=OD ，∴∠DBO=∠BDO ，∵∠A+∠ADF=90°∴∠EDB+∠BDO=∠A+∠ADF=90°．即∠EDO=90°，∴OD ⊥ED∴EF 是圆O 的切线.（2）解：连BG ．∵BC 是直径，∴∠BDC=90°．∴CD= =8．AC 2−AD 2∵AB•CD=2S △ABC =AC•BG ，∴BG= = = ．AB ⋅CD AC 9610485∴CG= = ．BC 2−BG 2145∵BG ⊥AC ，DF ⊥AC ，∴BG ∥EF ．∴∠E=∠CBG ，∴cos ∠E=cos ∠CBG= = ．BG BC 24258．【正确答案】（1）解：∵△ABC 是等边三角形，∴∠ACB=∠ACE=60°，∴∠ADE=180°﹣∠ACE=120°（2）解：∵⊙O 的直径是AC ， ∴∠AEC=90°，即AE ⊥BC ．又∵AB=AC ，∴∠BAE=∠CAE ．∵2∠BCF=∠BAC ，∴∠BCF=∠CAE ．∵∠CAE+∠ECA=90°，∴∠BCF+∠ECA=90°，即∠ACF=90°．又AC 是直径，∴直线CF 是⊙O 的切线9．【正确答案】（1）证明：如图，连接OG.∵EG=EK ，∴∠KGE=∠GKE=∠AKH ，又OA=OG ，∴∠OGA=∠OAG ， ∵CD ⊥AB ，∴∠AKH+∠OAG=90°，∴∠KGE+∠OGA=90°，∴EF 是⊙O 的切线.（2）解：①∵AC ∥EF ，∴∠E=∠C ， 又∠C=∠AGD ，∴∠E=∠AGD ，又∠DKG=∠CKE ，∴△KGD ∽△KGE.②连接OG ，如图所示.∵，AK= ，cosC =4510设 ，∴ ， ，则 cosC =45=CHAC =kCH =4k AC =5k AH =3k KE=GE ，AC ∥EF ，∴CK=AC=5k ，∴HK=CK －CH=k.在Rt △AHK 中，根据勾股定理得AH 2+HK 2=AK 2，即 ， ， ， ，则 ，(3k)2+k 2=(10)2k =1CH =4AC =5AH =3设⊙O 半径为R ，在Rt △OCH 中，OC=R ，OH=R －3k ，CH=4k ，由勾股定理得：OH 2＋CH 2=OC 2， ，∴(R−3)2+42=R 2R =256在Rt △OGF 中，，∴ ，cosC =cos∠GOF =45=OG OF OF =12524∴BF =OF−OB =12524−256=252410．【正确答案】（1）解：如图，连接OA ，OD ，OE ，∵AB 是⊙O 的切线，点D 为切点，∴∠ADO=90°，∵AD=AE ，OD=0E ，AO=AO ，∴△AOD ≌△AOE ，∴∠ADO=∠AEO=90°，∴AC 是⊙O 的切线，点E 为切点；（2）解：根据题意，四边形BCHG 的周长为BC+CH+BG+HG ， ∵ ， ，∠A =90°AB =AC =4∴∠B=∠C=45°，BC=4 ，2∵∠ADO=∠AEO=90°，OD=0E ，∴∠DOB=∠EOC=45°，△BOD ≌△COE ，∴OB=OC ，BD=CE ，∴∠EOD=90°，∠AOB=90°，∠BAO=45°，∴BD=OD=DA=CE= AB=2，12∵AB ，AC ，GH 都是⊙O 的切线，∴HF=HE ，GD=GF ，∴四边形BCHG 的周长为BC+CE+EH+GH+BD+GD =BC+CE+BD+GH+HF+FG = BC+CE+BD+2GH =4+4 +2GH ，2∵GH 是变量，∴四边形BCHG 的周长不是定值，这个结论不符合题意；∵AB ，AC ，GH 都是⊙O 的切线，根据切线长定理，得GO 平分∠DOF ，HO 平分∠EOF ，∴∠GOH=∠GOF+∠HOF= ∠DOF+ ∠EOF= （∠DOF+∠EO ）121212= ∠EOD ，12∵∠EOD=90°，∴∠GOH=45°，是个定值，故该结论符合题意（3）解：根据题意，GD=GF=x-2，HE=HF=y-2， ∴GH=x+y-4，AG=4-x ，AH=4-y ，在直角三角形AGH 中， ，AG 2+AH 2=GH 2∴ ，(x−2)2+(y−2)2=(x +y−4）2整理，得y= ，且2＜x ＜4，8x 当x=y 时，∴AG=AH ，∴AG ：AB=AH ：AC ，∴GH ∥BC ，∴OF ⊥GH ，∵BG=CH ，∠B=∠C ，BO=CO ，∴△BOG ≌△COH ，∴GO=HO ，∴GF=FH ，∴A ，F ，O 三点一线，∴∠DOF=∠EOF ， ∴弧DF=弧EF ，故点F 是弧DE 的中点．11．【正确答案】（1OD ，∵AB 是直径，∴∠ADB ＝90°，又∵AB ＝AC ，∴BD ＝CD ，∠BAD ＝∠CAD ，∵AO ＝BO ，BD ＝CD ，∴OD ∥AC ，∵DM ⊥AC ，∴OD ⊥MN ，又∵OD 是半径，∴MN 是⊙O 的切线；（2）证明：∵AB ＝AC ， ∴∠ABC ＝∠ACB ，∵∠ABC+∠BAD ＝90°，∠ACB+∠CDM ＝90°，∴∠BAD ＝∠CDM ，∵∠BDN ＝∠CDM ，∴∠BAD ＝∠BDN ，又∵∠N ＝∠N ，∴△BDN ∽△DAN ，∴，BN DN =DNAN ∴DN 2＝BN•AN ＝BN•（BN+AB ）＝BN•（BN+AC ）；（3）解：∵BC ＝6，BD ＝CD ， ∴BD ＝CD ＝3，∵cosC ＝ ＝ ，35CD AC ∴AC ＝5，∴AB ＝5，∴AD ＝ ＝ ＝4，AB 2−BD 225−9∵△BDN ∽△DAN ，∴ ＝ ＝ ，BN DN =DN AN BD AD 34∴BN ＝ DN ，DN ＝ AN ，3434∴BN ＝ （ AN ）＝ AN ，3434916∵BN+AB ＝AN ，∴ AN+5＝AN 916∴AN ＝ ，807∴DN ＝ AN ＝ .3460712．【正确答案】（1）证明：连接OC ，OE ，∵OC=OE ，∴∠OEC=∠OCE ，∵E 是 的中点，AB ∴ ，AE =BE ∴∠AOE=∠BOE=90°，∴∠OEC+∠ODE=90°，∵PC=PD ，∴∠PCD=∠PDC ，∵∠PDC=∠ODE ，∴∠PCD=∠ODE ，∴∠PCD+∠OCD=∠ODE+∠OEC=90°，∴OC ⊥PC ，∴PC 是⊙O 的切线；（2）解：连接AC ，BE ，BC ， ∵∠ACD=∠DBE ，∠CAD=∠DEB ，∴△ACD ∽△EBD ，∴，AD DE =CDBD ∴CD•DE=AD•BD=（AO-OD ）（AO+OD ）=AO 2-OD 2；∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB=90°，∵∠PCO=90°，∴∠ACP=∠BCO ，∵∠BCO=∠CBO ，∴∠ACP=∠PBC ，∵∠P=∠P ，∴△ACP ∽△CBP ，∴ ，PC PB =PA PC ∴PC 2=PB•PA=（PD+DB ）（PD-AD ）=（PD+OD+OA ）（PD+OD-OA ）=（PD+OD ）2-OA 2=PD 2+2PD•OD+OD 2-OA 2，∵PC=PD ，∴PD 2=PD 2+2PD•OD+OD 2-OA 2，∴OA 2-OD 2=2OD•PD ，∴CD•DE=2OD•PD ；∵AB=8，∴OA=4，由CD•DE=AO 2-OD 2；∵CD•DE=15，∴15=42-OD 2，∴OD=1（负值舍去），∴AD=3，由CD•DE=2OD•PD ，∴PD= ，CD•DE 2OD =152∴PA=PD-AD= .9213．【正确答案】（1）证明：∵AD 为的直径，BE ＝CE ，⊙O ∴，AD ⊥BC ∴，∠AEC =90°∵，DF ∥BC ∴，∠ADF =∠AEC =90°∴，且OD 是的半径，DF ⊥AD ⊙O ∴DF 是的切线；⊙O （2）解：连接CD ，∵，AB ＝6，sin∠BAD =13∴CE ＝BE ＝2，∴，AE =AB 2−BE 2=42∵，AD ⊥BC ∴AC ＝AB ＝6，∵，cos∠CAD =AE AC =AC AD ∴，426=6AD ∴，AD =922∵，tan∠CAD =DF AD =CEAE ∴，DF922=242∴（注：答案不唯一，可利用两个三角形相似进行解答）.DF =9414．【正确答案】（1，OD ∵在中，，，RtΔABC ∠BAC =90°∠C =30°∴，AB =12BC∵是的中点，∴，D BC BD =12BC∴，∴，AB =BD ∠BAD =∠BDA ∵，∴，OA =OD ∠OAD =∠ODA ∴，即，∠ODB =∠BAO =90°OD ⊥BC（2）；或23π13ππ15．【正确答案】（1）证明：如图1，连接OG ．∵EF 切⊙O 于G ，∴OG ⊥EF ，∴∠AGO+∠AGE=90°，∵CD ⊥AB 于H ，∴∠AHD=90°，∴∠OAG+∠AKH=90°，∵OA=OG ，∴∠AGO=∠OAG ，∴∠AGE=∠AKH ，∵∠EKG=∠AKH ，∴∠EKG=∠AGE ，∴KE=GE（2）证明：设∠FGB=α，∵AB 是直径，∴∠AGB=90°，∴∠AGE=∠EKG=90°﹣α，∴∠E=180°﹣∠AGE﹣∠EKG=2α，∵∠FGB= ∠ACH ，12∴∠ACH=2α，∴∠ACH=∠E ，∴CA ∥FE（3）解：作NP ⊥AC 于P ．∵∠ACH=∠E ，∴sin ∠E=sin ∠ACH= ，AH AC =35设AH=3a ，AC=5a ，则CH= ，tan ∠CAH= ，AC 2−CH 2=4a CH AH =43∵CA ∥FE ，∴∠CAK=∠AGE ，∵∠AGE=∠AKH ，∴∠CAK=∠AKH ，∴AC=CK=5a ，HK=CK﹣CH=4a ，tan ∠AKH= =3，AK= ，AH HK AH 2+HK 2=10a ∵AK= ，10∴ ，10a =10∴a=1．AC=5，∵∠BHD=∠AGB=90°，∴∠BHD+∠AGB=180°，在四边形BGKH 中，∠BHD+∠HKG+∠AGB+∠ABG=360°，∴∠ABG+∠HKG=180°，∵∠AKH+∠HKG=180°，∴∠AKH=∠ABG ，∵∠ACN=∠ABG ，∴∠AKH=∠ACN ，∴tan ∠AKH=tan ∠ACN=3，∵NP ⊥AC 于P ，∴∠APN=∠CPN=90°，在Rt △APN 中，tan ∠CAH=，设PN=12b ，则AP=9b ，PN AP =43在Rt △CPN 中，tan ∠ACN= =3，PNCP ∴CP=4b ，∴AC=AP+CP=13b ，∵AC=5，∴13b=5，∴b= ，∴CN= = = ．513PN 2+CP 2410⋅b 20131016．【正确答案】（1）解：如图 ，作 的垂直平分线，交 于 ，以 为半径作⊙O ， 1BC BC O OB 则 ⊙O 即为所作；OD OE（2）解：如图2，连接，，∵O BC D AC是的中点，是的中点，∴OD△ACB是的中位线，∴OD//AB，∴∠COD=∠B∠DOE=∠OEB，，∵OE=OB，∴∠OEB=∠B，∴∠COD=∠DOE，∵OC=OE OD=OD，，∴△OCD△OED(SAS)≌，∴∠OED=∠OCD=90°，∵OE⊙O是的半径，∴DE⊙O是的切线；（3）解：如图2，，∵OB =OE ，∴∠OEB =∠B =30° ，∴∠COE =∠OEB +∠B =60°由（2）知： ≌ ，△OCD △OED ，∴∠COD =∠DOE =30° ，∵BC =6 ，∴OC =3 中， ，Rt △OCD CD =3 与 、 组成的阴影部分面积∴⊙O DE DC .=2S △OCD −S 扇形OCE =2×12×3×3−60π×32360=33−3π2。
中考数学-几何证明
2020年-春季-初三下-【入学考试】1.(初2020级BZ初三下入学测试)如图，正方形ABCD中，对角线AC, BD交于点。
，点E.点OB ,线段AB上，且AF OE ,连接AE交OF于G , 连接DG交AO于H.F分别在线段⑴如图1,若点E为线段BO中点，AE J5,求BF的长：(2)如图2,若AE平分BAC,求证：FG HG;(3)如图3,点E在线段BO (含端点)上运动，连接HE，当线段HE长度取得最大值时，直接写出cos HDO的值.2.(初2020级BS初三下入学测试)如图，平行四边形ABCD中，AB=2BC, B 60 . 曲 DC中点，连接AE . F为AD上一点，连接CF交AE与点G , CM平分FCB交AB于点M .(1)如图1,若BC 3,AF 1 求sin DCF 的值.(2)求证：EG BM CG(3)如图2, CN AB于点N ,若AG=4, MN : BN=3: 5.求CG 的长度.3.(初2020级YZ初三下入学测试)在0ABCD中BAC=90 , AB=AE,延长BE交CD 于点F . AG BE交BE于点H点，M是BC边上的点.(1)如图1,若点M与点G重合，AH 5, AD 显26 ,求CF的长：2(2)如图2.若AM是BAD的角平分线，连接MH , HMG MAH ,求证：AM 2 .2HM(3)如图3,若点M为BC的中点，作点B关于AM的对称点N，连接AN、MN、EN,请直接写出AMH、NAE、MNE之间的角度关系.4.(初2020级YZ 初三下入学测试)在正方形 ABCD 中，E 为边CD 上一点(不与点 C 、D 第4页共34重合)，垂直于BE 的一条直线 MN 分别交BC 、BE 、AD 于点M 、P 、N,正方形ABCD 的边长为6.(1)如图1,当点M 和点C 重合时，若AN =4,求线段PM 的长度;(2)如图2,当点M 在边BC 上时，判断线段AN 、MB 、EC 之间的数量关系，并说明理由;(3)如图3,当垂足P 在正方形 ABCD 的对角线 AC 上运动时，连接 NB,将^ BPN 沿着BN 翻折，点P 落在点P 处，AB 的中点为Q,直接写出PQ 的最小值.5.(万二中初2020级初三下入学测试)在4ABC与4ADF中，/BAC=/DAF=90° ,AB=AC,AD=AF, DF的延长线交BC于点E,连接DB、CF.(1)如图1,当点C、A、D三点在同一直线上，且AC=g AF, AF=超时，求CE的长；(2)如图2,当/ AFC = 90°时，求证：E是BC的中点；(3)如图3,若CF平分/ ACB,且CF的延长线与DB交于点G,请直接写出BG、DG、FG之间的数量关系.[ D6.(万中初2020级初三下入学测试) 如图，在？ABCD中，/ACB = 45° , AEXBC于点E, 过点C 作CFLAB于点F,交AE于点M.点N在边BC上，且AM = CN ,连结DN .(1)若AB= 10Q , AC = 4,求BC 的长；(2)求证：AD+AM= 22DN .(3)如图，连接EF、探究AF、EF、CF之间存在的数量关系，直接写出数量关系不需要证明.2020年-春季-初三下-【第一次诊断】1.(初2020级YW初三下第一次诊断)如图，在平行四边形ABCD中，AC为对角线，过点D作DELDC交直线AB于点E,过点E作EHXAD于点H,过点B作BFXAD于点F.(1)如图，若/ BAD=60° , AF=3, AH=2,求AC 的长.(2)如图，若BF=DH,在AC上取一点G,连接DG、GE, 若/ DGE=75° ,/CDG=45° -/CAB,求证：DG 立CG22.如图，已知ABCD中，/ B=45° , CE^AD于G,交BA延长线E, CF平分/ DCE ,连接EF, ED.(1)如果AB=5, AD = 372,求线段DE的长.(2)如果/ CFE=90° ,求证：CD 2DF 版AG .(3)如图，在(2)的条件下，若FG J5,点M、N是线段CF、CD上的动点，DM+MN 是否存在最小值，若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由 ^3.(初2020级BZ初三下第一次诊断)已知△ ABC是等边三角形，CD，AB交AB于M, DBXBC, E是AC上一点，EHXBC,垂足为H, EH与CD交于点F,连接BE.(1)如图，若EC=-AC , EH=6,求BE 的长. 5(2)如图，连接AF,将AF绕点A顺时针旋转，使F点落在BD边上的G点处，AG交CD 于Q,求证：BG=CF.(3)如图，在(2)的条件下，连接FG,交BE于N,连接MN,若竺勺，4AGF的面QG 3积为49户，求MN的长.3.(万州国本中学初三下期中考试)已知，在0ABCD中，AB BD, AB BD, E为射线BC上一点，连接AE交BD于点F .(1)如图1,若点E与点C重合，且AF 2胫，求AD的长；(2)如图2,当点E在BC边上时，过点D作DG AE于G ,延长DG交BC于H ,连接FH ,求证：AF DH FH ；(3)如图3,当点E在射线BC上运动时，过点D作DG AE于G , M为AG的中点，点N在BC边上且BN 1 ,已知AB 4 J2 ,请直接写出MN的最小值.4 .（万州国本中学初三下第一次诊断） 【问题背景】如图1所示，在gABC 中，AB= BC, ABC=90，点D 为直线BC 上的一个动点（不与 B 、C 重合），连结AD,将线段AD 绕点D 按顺时针方向旋转90。
2024年中考数学复习重难点题型训练—简单几何证明题(含答案解析)
2024年中考数学复习重难点题型训练—简单几何证明题（含答案解析）类型一三角形全等1.(2022·西藏)如图，已知AD平分∠BAC，AB=AC.求证：△ABD≌△ACD．【答案】证明：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，在△ABD和△ACD中，AB=AC∠BAD=∠CADAD=AD，∴△ABD≌△ACD(SAS)．2.(2022·湖南省益阳市)如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，CD//AB，DE⊥AC于点E，且CE=AB.求证：△CED≌△ABC．【答案】证明：∵DE⊥AC，∠B=90°，∴∠DEC =∠B =90°，∵CD//AB ，∴∠A =∠DCE ，在△CED 和△ABC 中，∠DCE =∠A CE =AB ∠DEC =∠B ，∴△CED≌△ABC(ASA)．3.(2022·江苏省南通市)如图，AC 和BD 相交于点O ，OA =OC ，OB =OD ．(1)求证：∠A =∠C ；(2)求证：AB//CD ．【答案】证明：(1)在△AOB 和△COD 中，OA =OC ∠AOB =∠COD OB =OD ,∴△AOB≌△COD(SAS)，∴∠A =∠C ；(2)由(1)得∠A =∠C ，∴AB//CD ．4.(2022·上海市)如图所示，在等腰三角形ABC 中，AB =AC ，点E ，F 在线段BC 上，点Q 在线段AB 上，且CF =BE ，AE 2=AQ ⋅AB ．求证：(1)∠CAE =∠BAF ；(2)CF ⋅FQ =AF ⋅BQ ．【答案】证明：(1)∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵CF=BE，∴CF−EF=BE−EF，即CE=BF，在△ACE和△ABF中，AC=AB∠C=∠BCE=BF，∴△ACE≌△ABF(SAS)，∴∠CAE=∠BAF；(2)∵△ACE≌△ABF，∴AE=AF，∠CAE=∠BAF，∵AE2=AQ⋅AB，AC=AB，∴AE AQ=AC AF，∴△ACE∽AFQ，∴∠AEC=∠AQF，∴∠AEF=∠BQF，∵AE=AF，∴∠AEF=∠AFE，∴∠BQF=∠AFE，∵∠B=∠C，∴△CAF∽△BFQ，∴CF BQ=AF FQ，即CF⋅FQ=AF⋅BQ．5.(2022·贵州省铜仁市)如图，点C在BD上，AB⊥BD，ED⊥BD，AC⊥CE，AB=CD.求证：△ABC≌△CDE．【答案】证明：∵AB⊥BD，ED⊥BD，AC⊥CE，∴∠B=∠D=∠ACE=90°，∴∠DCE+∠DEC=90°，∠BCA+∠DCE=90°，∴∠BCA=∠DEC，在△ABC和△CDE中，∠BCA=∠DEC∠B=∠DAB=CD，∴△ABC≌△CDE(AAS)．6.(2022·广东省云浮市)如图，已知∠AOC=∠BOC，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E.求证：△OPD≌△OPE．【答案】证明：∵∠AOC=∠BOC，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD=PE，在Rt△OPD和Rt△OPE中，OP=OPPD=PE，∴Rt△OPD≌Rt△OPE(HL)．7.(2022·四川省宜宾市)已知：如图，点A、D、C、F在同一直线上，AB//DE，∠B=∠E，BC=EF.求证：AD=CF．【答案】证明：∵AB//DE，∴∠A=∠EDF．在△ABC和△DEF中，∠A=∠EDF∠B=∠EBC=EF，∴△ABC≌△DEF(AAS)．∴AC=DF，∴AC−DC=DF−DC，即：AD=CF．8.(2022·陕西省)如图，在△ABC中，点D在边BC上，CD=AB，DE//AB，∠DCE=∠A.求证：DE=BC．【答案】.证明：∵DE//AB，∴∠EDC=∠B，在△CDE和△ABC中，∠EDC=∠BCD=AB∠DCE=∠A，∴△CDE≌△ABC(ASA)，∴DE=BC．9.(2022·湖南省衡阳市)如图，在△ABC中，AB=AC，D、E是BC边上的点，且BD=CE.求证：AD=AE．【答案】证明：∵AB=AC，∴∠B=∠C，在△ABD和△ACE中，AB=AC∠B=∠CBD=CE，∴△ABD≌△ACE(SAS)，∴AD=AE．10.(2022·四川省乐山市)如图，B是线段AC的中点，AD//BE，BD//CE.求证：△ABD≌△BCE．【答案】证明：∵点B为线段AC的中点，∴AB=BC，∵AD//BE，∴∠A =∠EBC ，∵BD//CE ，∴∠C =∠DBA ，在△ABD 与△BCE 中，∠A =∠EBC AB =BC ∠DBA =∠C ，∴△ABD≌△BCE.(ASA)．11.（2021·湖南衡阳市·中考真题）如图，点A 、B 、D 、E 在同一条直线上，,//,//AB DE AC DFBC EF =．求证：ABC DEF △≌△．【答案】见解析【分析】根据//,//AC DF BC EF ，可以得到,A FDE ABC DEF ∠=∠∠=∠，然后根据题目中的条件，利用ASA 证明△ABC ≌△DEF 即可．【详解】证明：点A ，B ，C ，D ，E 在一条直线上∵//,//AC DF BC EF∴,A FDE ABC DEF∠=∠∠=∠在ABC 与DEF 中CAB FDE AB DE ABC DEF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴()ABC DEF ASA △≌△【点睛】本题重点考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS 、ASA 、SAS 、SSS ，直角三角形可用HL 定理，但AAA 、SSA ，无法证明三角形全等，本题是一道较为简单的题目．12.（2021·四川乐山市·中考真题）如图，已知AB DC =，A D ∠=∠，AC 与DB 相交于点O ，求证：OBC OCB ∠=∠．【答案】证明见解析【分析】根据全等三角形的性质，通过证明ABO DCO △≌△，得OB OC =，结合等腰三角形的性质，即可得到答案．【详解】∵A D AOB DOC AB DC ∠=∠∠=∠=⎧⎪⎨⎪⎩，∴ABO DCO △≌△（AAS ），∴OB OC =，∴OBC OCB ∠=∠．【点睛】本题考查了全等三角形、等腰三角形的知识；解题的关键是熟练掌握全等三角形、等腰三角形的性质，从而完成求解．13.（2021·四川泸州市·中考真题）如图，点D 在AB 上，点E 在AC 上，AB=AC ，∠B=∠C ，求证：BD=CE【答案】证明见详解．【分析】根据“ASA”证明△ABE ≌△ACD ，然后根据全等三角形的对应边相等即可得到结论.【详解】证明：在△ABE 和△ACD 中，∵A A AB AC B C ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩,△ABE ≌△ACD (ASA)，∴AE=AD ，∴BD=AB–AD=AC-AE=CE ．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法（即SSS 、SAS 、ASA 、AAS 和HL ）和全等三角形的性质（即全等三角形的对应边相等、对应角相等）是解题的关键．14.（2021·云南中考真题）如图，在四边形ABCD 中，,,AD BC AC BD AC ==与BD 相交于点E ．求证：DAC CBD ∠=∠．【答案】见解析【分析】直接利用SSS 证明△ACD ≌△BDC ，即可证明．【详解】解：在△ACD 和△BDC 中，AD BC AC BD CD DC =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴△ACD ≌△BDC （SSS ），∴∠DAC=∠CBD ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是根据题意灵活运用SSS 的方法．15.（2020•菏泽）如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，点E 在AC 的延长线上，ED ⊥AB 于点D ，若BC ＝ED ，求证：CE ＝DB．【分析】由“AAS ”可证△ABC ≌△AED ，可得AE ＝AB ，AC ＝AD ，由线段的和差关系可得结论．【解答】证明：∵ED ⊥AB ，∴∠ADE ＝∠ACB ＝90°，∠A ＝∠A ，BC ＝DE ，∴△ABC ≌△AED （AAS ），∴AE ＝AB ，AC ＝AD ，∴CE ＝BD ．16.（2020•南充）如图，点C 在线段BD 上，且AB ⊥BD ，DE ⊥BD ，AC ⊥CE ，BC ＝DE ．求证：AB ＝CD ．【分析】证明△ABC≌△CDE（ASA），可得出结论．【解答】证明：∵AB⊥BD，ED⊥BD，AC⊥CE，∴∠ACE＝∠ABC＝∠CDE＝90°，∴∠ACB+∠ECD＝90°，∠ECD+∠CED＝90°，∴∠ACB＝∠CED．在△ABC和△CDE中，∠ACB=∠CEDBC=DE∠ABC=∠CDE，∴△ABC≌△CDE（ASA），∴AB＝CD．17.（2020•硚口区模拟）如图，点D在AB上，点E在AC上，AB＝AC，∠B＝∠C，求证：BD＝CE．【分析】要证BD＝CE只要证明AD＝AE即可，而证明△ABE≌△ACD，则可得AD＝AE．【解答】证明：在△ABE与△ACD中∠A=∠AAB=AC∠B=∠C，∴△ABE≌△ACD．∴AD ＝AE ．∴BD ＝CE ．18.（2020•铜仁市）如图，∠B ＝∠E ，BF ＝EC ，AC ∥DF ．求证：△ABC ≌△DEF ．【分析】首先利用平行线的性质得出∠ACB ＝∠DFE ，进而利用全等三角形的判定定理ASA ，进而得出答案．【解答】证明：∵AC ∥DF ，∴∠ACB ＝∠DFE ，∵BF ＝CE ，∴BC ＝EF ，在△ABC 和△DEF 中，∠B =∠E BC =EF ∠ACB =∠DFE ，∴△ABC ≌△DEF （ASA ）．19.（2020•无锡）如图，已知AB ∥CD ，AB ＝CD ，BE ＝CF ．求证：（1）△ABF ≌△DCE ；（2）AF ∥DE ．【分析】（1）先由平行线的性质得∠B ＝∠C ，从而利用SAS 判定△ABF ≌△DCE ；（2）根据全等三角形的性质得∠AFB ＝∠DEC ，由等角的补角相等可得∠AFE ＝∠DEF ，再由平行线的判定可得结论．【解答】证明：（1）∵AB ∥CD ，∴∠B ＝∠C ，∵BE ＝CF ，∴BE ﹣EF ＝CF ﹣EF ，即BF ＝CE ，在△ABF 和△DCE 中，∵AB =CD ∠B =∠C BF =CE ，∴△ABF ≌△DCE （SAS ）；（2）∵△ABF ≌△DCE ，∴∠AFB ＝∠DEC ，∴∠AFE ＝∠DEF ，∴AF ∥DE ．20.（2020•台州）如图，已知AB ＝AC ，AD ＝AE ，BD 和CE 相交于点O ．（1）求证：△ABD ≌△ACE ；（2）判断△BOC 的形状，并说明理由．【分析】（1）由“SAS ”可证△ABD ≌△ACE ；（2）由全等三角形的性质可得∠ABD ＝∠ACE ，由等腰三角形的性质可得∠ABC ＝∠ACB ，可求∠OBC＝∠OCB，可得BO＝CO，即可得结论．【解答】证明：（1）∵AB＝AC，∠BAD＝∠CAE，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE（SAS）；（2）△BOC是等腰三角形，理由如下：∵△ABD≌△ACE，∴∠ABD＝∠ACE，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∴∠ABC﹣∠ABD＝∠ACB﹣∠ACE，∴∠OBC＝∠OCB，∴BO＝CO，∴△BOC是等腰三角形．21.如图，点C、E、F、B在同一直线上，点A、D在BC异侧，AB∥CD，AE＝DF，∠A＝∠D．（1）求证：AB＝CD；（2）若AB＝CF，∠B＝40°，求∠D的度数．【分析】（1）根据平行线的性质求出∠B＝∠C，根据AAS推出△ABE≌△DCF，根据全等三角形的性质得出即可；（2）根据全等得出AB＝CD，BE＝CF，∠B＝∠C，求出CF＝CD，推出∠D＝∠CFD，即可求出答案．【解答】（1）证明：∵AB∥CD，∴∠B＝∠C，在△ABE和△DCF中，∠A=∠D∠B=∠CAE=DF，∴△ABE≌△DCF（AAS），∴AB＝CD；（2）解：∵△ABE≌△DCF，∴AB＝CD，BE＝CF，∠B＝∠C，∵∠B＝40°，∴∠C＝40°∵AB＝CF，∴CF＝CD，∴∠D＝∠CFD=12×（180°﹣40°）＝70°．类型二特殊四边形判定及性质22.(2022·广西壮族自治区河池市)如图，点A，F，C，D在同一直线上，AB=DE，AF=CD，BC=EF．(1)求证：∠ACB=∠DFE；(2)连接BF，CE，直接判断四边形BFEC的形状．【答案】(1)证明：∵AF=CD，∴AF+CF=CD+CF，即AC=DF，在△ABC和△DEF中，AB=DEBC=EFAC=DF，∴△ABC≌△DEF(SSS)，∴∠ACB=∠DFE；(2)解：如图，四边形BFEC是平行四边形，理由如下：由(1)可知，∠ACB=∠DFE，∴BC//EF，又∵BC=EF，∴四边形BFEC是平行四边形．23.(2022·青海省西宁市)如图，四边形ABCD是菱形，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F．(1)求证：△ABE≌△ADF；(2)若AE=4，CF=2，求菱形的边长．【答案】(1)证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴AB =BC =CD =AD ，∠B =∠D ，∵AE ⊥BC ，AF ⊥CD ，∴∠AEB =∠AFD ，在△ABE 和△ADF 中，∠AEB =∠AFD ∠B =∠D AB =AD ，∴△ABE≌△ADF(AAS)；(2)解：设菱形的边长为x ，∵AB =CD =x ，CF =2，∴DF =x −2，∵△ABE≌△ADF ，∴BE =DF =x −2，在Rt △ABE 中，根据勾股定理得，AE 2+BE 2=AB 2，即42+(x −2)2=x 2，解得x =5，∴菱形的边长是5．24.(2022·江苏省无锡市)如图，已知四边形ABCD为矩形，AB=22，BC=4，点E在BC 上，CE=AE，将△ABC沿AC翻折到△AFC，连接EF．(1)求EF的长；(2)求sin∠CEF的值．【答案】解：(1)∵CE=AE，∴∠ECA=∠EAC，根据翻折可得：∠ECA=∠FCA，∠BAC=∠CAF，∵四边形ABCD是矩形，∴DA//CB，∴∠ECA=∠CAD，∴∠EAC=∠CAD，∴∠DAF=∠BAE，∵∠BAD=90°，∴∠EAF=90°，设CE=AE=x，则BE=4−x，在△BAE中，根据勾股定理可得：BA2+BE2=AE2，即：(22)2+(4−x)2= x2，解得：x=3，在Rt△EAF中，EF=AF2+AE2=17．(2)过点F作FG⊥BC交BC于点G，设CG=x，则GB=3−x，∵FC=4，FE=17，∴FG2=FC2−CG2=FE2−EG2，即：16−x2=17−(3−x)2，解得：x=43，∴FG=FC2−CG2∴sin∠CEF=FG EF=25.(2022·湖北省荆门市)如图，已知矩形ABCD中，AB=8，BC=x(0<x<8)，将△ACB 沿AC对折到△ACE的位置，AE和CD交于点F．(1)求证：△CEF≌△ADF；(2)求tan∠DAF的值(用含x的式子表示)．【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=∠D=90°，BC=AD，根据折叠的性质得：BC=CE，∠E=∠B=90°，∴∠E=∠D=90°，AD=CE，在△CEF与△ADF中，∠ CFE=∠AFD∠D=∠E=90°AD=CE，∴△CEF≌△ADF(AAS)；(2)解：设DF=a，则CF=8−a，∵四边形ABCD是矩形，∴AB//CD，AD=BC=x，∴∠DCA=∠BAC，根据折叠的性质得：∠EAC=∠BAC，∴∠DCA=∠EAC，∴AF=CF=8−a，在Rt△ADF中，∵AD2+DF2=AF2，∴x2+a2=(8−a)2，∴a=64−x216，∴tan∠DAF=DF AD=64−x216x．26.(2022·四川省遂宁市)如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E是AD的中点，连接OE，过点D作DF//AC交OE的延长线于点F，连接AF．(1)求证：△AOE≌△DFE；(2)判定四边形AODF的形状并说明理由．【答案】(1)证明：∵E是AD的中点，∴AE=DE，∵DF//AC，∴∠OAD=∠ADF，∵∠AEO=∠DEF，∴△AOE≌△DFE(ASA)．(2)解：四边形AODF为矩形．理由：∵△AOE≌△DFE，∴AO=DF，∵DF//AC，∴四边形AODF为平行四边形，∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，即∠AOD=90°，∴平行四边形AODF为矩形．27.(2022·湖北省)如图，已知E、F分别是▱ABCD的边BC，AD上的点，且BE=DF(1)求证：四边形AECF是平行四边形；(2)若四边形AECF是菱形，且BC=10，∠BAC=90°，求BE的长．【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD//BC，且AD=BC，∴AF//EC，∵BE=DF，∴AF=EC，∴四边形AECF是平行四边形；(2)如图所示：∵四边形AECF是菱形，∴AE=EC，∴∠1=∠2，∵∠3=90°−∠2，∠4=90°−∠1，∴∠3=∠4，∴AE=BE，∴BE=AE=CE=12BC=5．28.(2022·云南省)如图，在平行四边形ABCD中，连接BD，E为线段AD的中点，延长BE 与CD的延长线交于点F，连接AF，∠BDF=90°．(1)求证：四边形ABDF是矩形；(2)若AD=5，DF=3，求四边形ABCF的面积S．【答案】.(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BA//CD，∴∠BAE=∠FDE，∵点E是AD的中点，∴AE=DE，在△BEA和△FED中，∠BAE=∠FDEAE=DE∠BEA=∠FED，∴△BEA≌△FED(ASA)，∴EF=EB，又∵AE=DE，∴四边形ABDF是平行四边形，∵∠BDF=90°．∴四边形ABDF是矩形；(2)解：由(1)得四边形ABDF是矩形，∴∠AFD=90°，AB=DF=3，AF=BD，∴AF=AD2−DF2=52−32=4，∴S矩形ABDF=DF⋅AF=3×4=12，BD=AF=4，∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD=AB=3，∴S△BCD=12BD⋅CD=12×4×3=6，∴四边形ABCF的面积S=S矩形ABDF+S△BCD=12+6=18，答：四边形ABCF的面积S为18．29.(2022·广西壮族自治区河池市)如图，点A，F，C，D在同一直线上，AB=DE，AF=CD，BC=EF．(1)求证：∠ACB=∠DFE；(2)连接BF，CE，直接判断四边形BFEC的形状．【答案】(1)证明：∵AF=CD，∴AF+CF=CD+CF，即AC=DF，在△ABC和△DEF中，AB=DEBC=EFAC=DF，∴△ABC≌△DEF(SSS)，∴∠ACB=∠DFE；(2)解：如图，四边形BFEC是平行四边形，理由如下：由(1)可知，∠ACB=∠DFE，∴BC//EF，又∵BC=EF，∴四边形BFEC是平行四边形．30.(2022·湖南省郴州市)如图，四边形ABCD是菱形，E，F是对角线AC上的两点，且AE=CF，连接BF，FD，DE，EB.求证：四边形DEBF是菱形．【答案】证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=AD，∠DAB=∠DCB，AC平分∠DAB，AC平分∠DCB，∴∠DAC=∠BAC=12∠DAB，∠DCA=∠ACB=12∠DCB，∴∠DAC=∠BAC=∠DCA=∠ACB，∵AE=CF，∴△DAE≌△BAE≌△BCF≌△DCF(SAS)，∴DE=BE=BF=DF，∴四边形DEBF是菱形．31.(2022·山东省聊城市)如图，△ABC中，点D是AB上一点，点E是AC的中点，过点C 作CF//AB，交DE的延长线于点F．(1)求证：AD=CF；(2)连接AF，CD.如果点D是AB的中点，那么当AC与BC满足什么条件时，四边形ADCF 是菱形，证明你的结论．【答案】(1)证明：∵CF//AB，∴∠ADF=∠CFD，∠DAC=∠FCA，∵点E是AC的中点，∴AE=CE，∴△ADE≌△CFE(AAS)，∴AD=CF；(2)解：当AC⊥BC时，四边形ADCF是菱形，证明如下：由(1)知，AD=CF，∵AD//CF，∴四边形ADCF是平行四边形，∵AC⊥BC，∴△ABC是直角三角形，∵点D是AB的中点，∴CD=12AB=AD，∴四边形ADCF是菱形．32.(2022·北京市)如图，在▱ABCD中，AC，BD交于点O，点E，F在AC上，AE=CF．(1)求证：四边形EBFD是平行四边形；(2)若∠BAC=∠DAC，求证：四边形EBFD是菱形．【答案】证明：(1)在▱ABCD中，OA=OC，OB=OD，∵AE=CF．∴OE=OF，∴四边形EBFD是平行四边形；(2)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB//DC，∴∠BAC=∠DCA，∵∠BAC=∠DAC，∴∠DCA=∠DAC，∴DA=DC，∵OA=OC，∴DB⊥EF，∴平行四边形EBFD是菱形．33.(2022·湖南省张家界市)如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E是CD的中点，连接OE，过点C作CF//BD交OE的延长线于点F，连接DF．(1)求证：△ODE≌△FCE；(2)试判断四边形ODFC的形状，并写出证明过程．【答案】.(1)证明：∵点E是CD的中点，∴CE=DE，又∵CF//BD∴∠ODE=∠FCE，在△ODE和△FCE中，∠ODE=∠FCEDE=CE∠DEO=∠CEF，∴△ODE≌△FCE(ASA)；(2)解：四边形ODFC为矩形，证明如下：∵△ODE≌△FCE，∴OE=FE，又∵CE=DE，∴四边形ODFC为平行四边形，又∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，即∠DOC=90°，∴四边形ODFC为矩形．34.(2022·四川省内江市)如图，在▱ABCD中，点E、F在对角线BD上，且BE=DF．求证：(1)△ABE≌△CDF；(2)四边形AECF是平行四边形．【答案】证明：(1)∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB=CD，AB//CD，∴∠ABD=∠CDB，在△ABE和△CDF中，AB=CD∠ABE=∠CDFBE=DF，∴△ABE≌△CDF(SAS)；(2)由(1)可知，△ABE≌△CDF，∴AE=CF，∠AEB=∠CFD，∴180°−∠AEB=180°−∠CFD，即∠AEF=∠CFE，∴AE//CF，∵AE=CF，AE//CF，∴四边形AECF是平行四边形．35.(2022·湖南省长沙市)如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB=AD．(1)求证：AC⊥BD；(2)若点E，F分别为AD，AO的中点，连接EF，EF=32，AO=2，求BD的长及四边形ABCD 的周长．【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，AB=AD，∴▱ABCD是菱形，∴AC⊥BD；(2)解：∵点E，F分别为AD，AO的中点，∴EF是△AOD的中位线，∴OD=2EF=3，由(1)可知，四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=AD，AC⊥BD，BD=2OD=6，在Rt△AOD中，由勾股定理得：AD=AO2+OD2=22+32=13，∴菱形ABCD的周长=4AD=41336.（2021·四川广安市·中考真题）如图，四边形ABCD是菱形，点E、F分别在边AB、AD=．连接CE、CF．的延长线上，且BE DF求证：CE CF=．【答案】见解析【分析】根据菱形的性质得到BC=CD，∠ADC=∠ABC，根据SAS证明△BEC≌△DFC，可得CE=CF．【详解】解：∵四边形ABCD 是菱形，∴BC=CD ，∠ADC=∠ABC ，∴∠CDF=∠CBE ，在△BEC 和△DFC 中，BE DF CBE CDF BC CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BEC ≌△DFC （SAS ），∴CE=CF ．【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是根据菱形得到判定全等的条件．37.（2021·江苏扬州市·中考真题）如图，在ABC 中，BAC ∠的角平分线交BC 于点D ，//,//DE AB DF AC．（1）试判断四边形AFDE 的形状，并说明理由；（2）若90BAC ∠=︒，且AD =，求四边形AFDE 的面积．【答案】（1）菱形，理由见解析；（2）4【分析】（1）根据DE ∥AB ，DF ∥AC 判定四边形AFDE 是平行四边形，再根据平行线的性质和角平分线的定义得到∠EDA=∠EAD ，可得AE=DE ，即可证明；（2）根据∠BAC=90°得到菱形AFDE是正方形，根据对角线AD求出边长，再根据面积公式计算即可．【详解】解：（1）四边形AFDE是菱形，理由是：∵DE∥AB，DF∥AC，∴四边形AFDE是平行四边形，∵AD平分∠BAC，∴∠FAD=∠EAD，∵DE∥AB，∴∠EDA=∠FAD，∴∠EDA=∠EAD，∴AE=DE，∴平行四边形AFDE是菱形；（2）∵∠BAC=90°，∴四边形AFDE是正方形，∵AD=，=2，∴∴四边形AFDE的面积为2×2=4．【点睛】本题考查了菱形的判定，正方形的判定和性质，平行线的性质，角平分线的定义，解题的关键是掌握特殊四边形的判定方法．38.（2021·江苏连云港市·中考真题）如图，点C是BE的中点，四边形ABCD是平行四边形．（1）求证：四边形ACED是平行四边形；，求证：四边形ACED是矩形．（2）如果AB AE【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）由平行四边形的性质以及点C是BE的中点，得到AD∥CE，AD=CE，从而证明四边形ACED是平行四边形；（2）由平行四边形的性质证得DC=AE，从而证明平行四边形ACED是矩形．【详解】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，且AD=BC．∵点C是BE的中点，∴BC=CE，∴AD=CE，∵AD∥CE，∴四边形ACED是平行四边形；（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=DC，∵AB=AE，∴DC=AE，∵四边形ACED是平行四边形，∴四边形ACED是矩形．【点睛】本题考查了平行四边形和矩形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．39.（2021·四川遂宁市·中考真题）如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，过点O 的直线EF 与BA 、DC 的延长线分别交于点E 、F ．（1）求证：AE ＝CF ；（2）请再添加一个条件，使四边形BFDE是菱形，并说明理由．【答案】（1）见解析；（2）EF ⊥BD 或EB ＝ED ，见解析【分析】（1）根据平行四边形的性质和全等三角形的证明方法证明AOE COF V V ≌，则可得到AE ＝CF ；（2）连接BF ，DE ，由AOE COF V V ≌，得到OE=OF ，又AO=CO ，所以四边形AECF 是平行四边形，则根据EF ⊥BD 可得四边形BFDE 是菱形．【详解】证明：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形∴OA ＝OC ，BE ∥DF∴∠E ＝∠F在△AOE 和△COF 中E F AOE COF OA OC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴AOE COF V V ≌()AAS ∴AE ＝CF（2）当EF ⊥BD 时，四边形BFDE 是菱形，理由如下：如图：连结BF ，DE∵四边形ABCD 是平行四边形∴OB ＝OD∵AOE COFV V ≌∴OE OF=∴四边形BFDE 是平行四边形∵EF ⊥BD ，∴四边形BFDE 是菱形【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定、平行四边形的性质，菱形的判定等知识点，熟悉相关性质，能全等三角形的性质解决问题是解题的关键．40（2020•黄冈）已知：如图，在▱ABCD 中，点O 是CD 的中点，连接AO 并延长，交BC 的延长线于点E ，求证：AD ＝CE ．【分析】只要证明△AOD≌△EOC（ASA）即可解决问题；【解答】证明：∵O是CD的中点，∴OD＝CO，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠D＝∠OCE，在△ADO和△ECO中，∠D=∠OCEOD=OC∠AOD=∠EOC，∴△AOD≌△EOC（ASA），∴AD＝CE．41.（2020•扬州）如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点O作EF⊥AC，分别交AB、DC于点E、F，连接AF、CE．（1）若OE=32，求EF的长；（2）判断四边形AECF的形状，并说明理由．【分析】（1）判定△AOE≌△COF（ASA），即可得OE＝OF=32，进而得出EF的长；（2）先判定四边形AECF是平行四边形，再根据EF⊥AC，即可得到四边形AECF是菱形．【解析】（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AO＝CO，∴∠FCO＝∠EAO，又∵∠AOE＝∠COF，∴△AOE≌△COF（ASA），∴OE＝OF=32，∴EF＝2OE＝3；（2）四边形AECF是菱形，理由：∵△AOE≌△COF，∴AE＝CF，又∵AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形，又∵EF⊥AC，∴四边形AECF是菱形．42.（2020•青岛）如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别在BD和DB的延长线上，且DE＝BF，连接AE，CF．（1）求证：△ADE≌△CBF；（2）连接AF，CE．当BD平分∠ABC时，四边形AFCE是什么特殊四边形？请说明理由．【分析】（1）根据四边形ABCD是平行四边形，可以得到AD＝CB，∠ADC＝∠CBA，从而可以得到∠ADE＝∠CBF，然后根据SAS即可证明结论成立；（2）根据BD平分∠ABC和平行四边形的性质，可以证明▱ABCD是菱形，从而可以得到AC ⊥BD，然后即可得到AC⊥EF，再根据题目中的条件，可以证明四边形AFCE是平行四边形，然后根据AC⊥EF，即可得到四边形AFCE是菱形．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝CB，∠ADC＝∠CBA，∴∠ADE＝∠CBF，在△ADE和△CBF中，AD=CB∠ADE=∠CBFDE=BF，∴△ADE≌△CBF（SAS）；（2）当BD平分∠ABC时，四边形AFCE是菱形，理由：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD，AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD，∴∠ABD＝∠ADB，∴AB＝AD，∴平行四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴AC⊥EF，∵DE＝BF，∴OE＝OF，又∵OA＝OC，∴四边形AFCE是平行四边形，∵AC⊥EF，∴四边形AFCE是菱形．43.（2020•新疆）如图，四边形ABCD是平行四边形，DE∥BF，且分别交对角线AC于点E，F，连接BE，DF．（1）求证：AE＝CF；（2）若BE＝DE，求证：四边形EBFD为菱形．【分析】（1）根据平行四边形的性质，可以得到AD＝CB，AD∥CB，从而可以得到∠DAE＝∠BCF，再根据DE∥BF和等角的补角相等，从而可以得到∠AED＝∠CFB，然后即可证明△ADE和△CBF全等，从而可以得到AE＝CF；（2）根据（1）中的△ADE和△CBF全等，可以得到DE＝BF，再根据DE∥BF，即可得到四边形EBFD是平行四边形，再根据BE＝DE，即可得到四边形EBFD为菱形．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ＝CB ，AD ∥CB ，∴∠DAE ＝∠BCF ，∵DE ∥BF ，∴∠DEF ＝∠BFE ，∴∠AED ＝∠CFB ，在△ADE 和△CBF 中，∠DAE =∠BCF ∠AED =∠CFB AD =CB ，∴△ADE ≌△CBF （AAS ），∴AE ＝CF ；（2）证明：由（1）知△ADE ≌△CBF ，则DE ＝BF ，又∵DE ∥BF ，∴四边形EBFD 是平行四边形，∵BE ＝DE ，∴四边形EBFD 为菱形．类型三与相似有关的证明44.（2021·广东中考真题）如图，边长为1的正方形ABCD 中，点E 为AD 的中点．连接BE ，将ABE △沿BE 折叠得到,FBE BF 交AC 于点G ，求CG 的长．【答案】CG =【分析】根据题意，延长BF 交CD 于H 连EH ，通过证明()Rt EDH Rt EFH HL ≌、DHE AEB ∽得到34CH =，再由HGC BGA ∽得到()34CG AC CG =-，进而即可求得CG 的长．【详解】解：延长BF 交CD 于H 连EH ，∵FBE 由ABE △沿BE 折叠得到，∴EA EF =，90EFB EAB ∠=∠=︒，∵E 为AD 中点，正方形ABCD 边长为1，∴12EA ED ==，∴12ED EF ==，∵四边形ABCD 是正方形，∴90D EFB EFH ∠=∠=∠=︒，在Rt EDH △和Rt EFH 中，ED EF EH EH=⎧⎨=⎩，∴()Rt EDH Rt EFH HL ≌，又∵AEB FEB ∠=∠，∴90DEH AEB ∠+∠=︒，∵90ABE AEB ∠+∠=︒，∴ABE DEH ∠=∠，∴DHE AEB ∽，∴12DH AE DE AB ==，∴14DH =，∴13144CH CD DH =-=-=，∵CH AB ∥，∴HGC BGA ∽，∴34CG CH AG AB ==，∴()3344CG AG AC CG ==-，∵1AB =，1CB =，90CBA ∠=︒，∴AC =，∴)34CG CG =，∴CG =．【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定及性质、三角形相似的判定及性质以及正方形的性质，熟练掌握相关几何知识是解决本题的关键．45.（2021·湖北鄂州市·中考真题）如图，在ABCD 中，点E 、F 分别在边AD 、BC 上，（1）探究四边形BEDF的形状，并说明理由；（2）连接AC，分别交BE、DF于点G、H，连接BD交AC于点O．若23AGOG=，4AE=，求BC的长．【答案】（1）平行四边形，见解析；（2）16【分析】（1）利用平行四边形的判定定理，两组对边分别平行是平行四边形即可证明；（2）根据23AGOG=，找到边与边的等量关系，再利用三角形相似，建立等式进行求解即可．【详解】（1）四边形BEDF为平行四边形．理由如下：∵四边形ABCD为平行四边形∴ABC ADC∠=∠∵ABE CDF∠=∠∴EBF EDF∠=∠∵四边形ABCD为平行四边形∴//AD BC∴EDF DFC EBF∠=∠=∠∴//BE DF∵//AD BC∴四边形BEDF 为平行四边形（2）设2AG a =，∵23AG OG =∴3OG a =，5AO a=∵四边形ABCD 为平行四边形∴5AO CO a ==，10AC a =，8CG a=∵//AD BC,,AGE CGB AEG CBG EAG BCG ∠=∠∠=∠∠=∠，∴AGE CGB∆∆∽∴14AE AG BC GC ==∵4AE =∴16BC =．【点睛】本题考查了平行四边形的判定定理、相似三角形的判定定理，解题的关键是：熟练掌握相关定理，能进行相关的证明．46.（2021·北京中考真题）如图，在ABC 中，,,AB AC BAC M α=∠=为BC 的中点，点D 在MC 上，以点A 为中心，将线段AD 顺时针旋转α得到线段AE ，连接,BE DE ．（1）比较BAE ∠与CAD ∠的大小；用等式表示线段,,BE BM MD 之间的数量关系，并证明；（2）过点M 作AB 的垂线，交DE 于点N ，用等式表示线段NE 与ND 的数量关系，并证明．【答案】（1）BAE CAD ∠=∠，BM BE MD =+，理由见详解；（2）DN EN =，理由见详解．【分析】（1）由题意及旋转的性质易得BAC EAD α∠=∠=，AE AD =，然后可证ABE ACD △≌△，进而问题可求解；（2）过点E 作EH ⊥AB ，垂足为点Q ，交AB 于点H ，由（1）可得ABE ACD ∠=∠，BE CD =，易证BH BE CD ==，进而可得HM DM =，然后可得DMN DHE ∽，最后根据相似三角形的性质可求证．【详解】（1）证明：∵BAC EAD α∠=∠=，∴BAE BAD BAD CAD α∠+∠=∠+∠=，∴BAE CAD ∠=∠，由旋转的性质可得AE AD =，∵AB AC =，∴()ABE ACD SAS ≌，∴BE CD =，∵点M 为BC 的中点，∴BM CM =，∵CM MD CD MD BE =+=+，∴BM BE MD =+；（2）证明：DN EN =，理由如下：过点E 作EH ⊥AB ，垂足为点Q ，交AB 于点H ，如图所示：∴90EQB HQB ∠=∠=︒，由（1）可得ABE ACD △≌△，∴ABE ACD ∠=∠，BE CD =，∵AB AC =，∴ABC C ABE ∠=∠=∠，∵BQ BQ =，∴()BQE BQH ASA ≌，∴BH BE CD ==，∵MB MC =，∴HM DM =，∵MN AB ⊥，∴//MN EH ，∴DMN DHE ∽，∴12DM DN DH DE ==，∴DN EN =．【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定、相似三角形的性质与判定及等腰三角形的性质、旋转的性质，熟练掌握全等三角形的性质与判定、相似三角形的性质与判定及等腰三角形的性质、旋转的性质是解题的关键．47.（2020•长沙）在矩形ABCD 中，E 为DC 边上一点，把△ADE 沿AE 翻折，使点D 恰好落在BC边上的点F．（1）求证：△ABF∽△FCE；（2）若AB＝23，AD＝4，求EC的长；（3）若AE﹣DE＝2EC，记∠BAF＝α，∠FAE＝β，求tanα+tanβ的值．【分析】（1）根据两角对应相等的两个三角形相似证明即可．（2）设EC＝x，证明△ABF∽△FCE，可得AB CF=BF EC，由此即可解决问题．（3）首先证明tanα+tanβ=BF AB+EF AF=BF AB+CF AB=BF+CF AB=BC AB，设AB＝CD＝a，BC＝AD＝b，DE＝x，解直角三角形求出a，b之间的关系即可解决问题．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠C＝∠D＝90°，由翻折可知，∠D＝∠AFE＝90°，∴∠AFB+∠EFC＝90°，∠EFC+∠CEF＝90°，∴∠AFB＝∠FEC，∴△ABF∽△FCE．（2）设EC＝x，由翻折可知，AD＝AF＝4，∴BF=AF2−AB2=16−12=2，∴CF＝BC﹣BF＝2，∵△ABF∽△FCE，∴AB CF=BF EC，∴2322，∴x=∴EC=（3）∵△ABF∽△FCE，∴AF EF=AB CF，∴tanα+tanβ=BF AB+EF AF=BF AB+CF AB=BF+CF AB=BC AB，设AB＝CD＝a，BC＝AD＝b，DE＝x，∴AE＝DE+2CE＝x+2（a﹣x）＝2a﹣x，∵AD＝AF＝b，DE＝EF＝x，∠B＝∠C＝∠D＝90°，∴BF=b2−a2，CF=x2−(a−x)2=2ax−a2，∵AD2+DE2＝AE2，∴b2+x2＝（2a﹣x）2，∴a2﹣ax=14b2，∵△ABF∽△FCE，∴AB CF=BF EC，−(a−x)=b2−a2a−x，∴a2﹣ax=b2−a2•2ax−a2，∴14b2=b2−a2•整理得，16a4﹣24a2b2+9b4＝0，∴（4a2﹣3b2）2＝0，∴b a=233，∴tanα+tanβ=BC AB=48.（2020•怀化）如图，在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，延长AB到点D，使CD ＝CA，且∠D＝30°．（1）求证：CD是⊙O的切线．（2）分别过A、B两点作直线CD的垂线，垂足分别为E、F两点，过C点作AB的垂线，垂足为点G．求证：CG2＝AE•BF．【分析】（1）连接OC，∠CAD＝∠D＝30°，由OC＝OA，进而得到∠OCA＝∠CAD＝30°，由三角形外角定理得到∠COD＝∠A+∠OCA＝60°，在△OCD中由内角和定理可知∠OCD＝90°即可证明；（2）证明AC是∠EAG的角平分线，CB是∠FCG的角平分线，得到CE＝CG，CF＝CG，再证明△AEC∽△CFB，对应线段成比例即可求解．【解答】（1）证明：连接OC，如右图所示，∵CA＝CD，且∠D＝30°，∴∠CAD＝∠D＝30°，∵OA＝OC，∴∠CAD＝∠ACO＝30°，∴∠COD＝∠CAD+∠ACO＝30°+30°＝60°，∴∠OCD＝180°﹣∠D﹣∠COD＝180°﹣30°﹣60°＝90°，∴OC⊥CD，∴CD是⊙O的切线；（2）∵∠COB＝60°，且OC＝OB，∴△OCB为等边三角形，∴∠CBG＝60°，又∵CG⊥AD，∴∠CGB＝90°，∴∠GCB＝∠CGB﹣∠CBG＝30°，又∵∠GCD＝60°，∴CB是∠GCD的角平分线，∵BF⊥CD，BG⊥CG，∴BF＝BG，又∵BC＝BC，∴Rt△BCG≌Rt△BCF（HL），∴CF＝CG．∵∠D＝30°，AE⊥ED，∠E＝90°，∴∠EAD＝60°，又∵∠CAD＝30°，∴AC是∠EAG的角平分线，∵CE⊥AE，CG⊥AB，∴CE＝CG，∵∠E＝∠BFC＝90°，∠EAC＝30°＝∠BCF，∴△AEC∽△CFB，。
中考数学证明题
中考数学证明题第一篇：中考数学证明题中考数学证明题o是已知线段ab上的一点，以ob为半径的圆o交ab于点c，以线段ao为直径的半圆圆o于点d，过点b作ab的垂线与ad的延长线交于点e(1)说明ae切圆o于点d(2)当点o位于线段ab何处时，△odc恰好是等边三角形〉说明理由答案：一题：显然三角形doe是等边三角形：理由：首先能确定o为圆心然后在三角形obd中：bo=od，再因角b为60度，所以三角形obd为等边三角形;同理证明三角形oce为等边三角形从而得到：角bod=角eoc=60度，推出角doe=60度再因为od=oe，三角形doe为等腰三角形，结合上面角doe=60度，得出结论：三角形doe为等边三角形第三题没作思考，有事了，改天再解二题：要证明三角形ode为等边三角形，其实还是要证明角doe=60度，因为我们知道三角形ode是等腰三角形。
此时，不妨设角abc=x度，角acb=y度，不难发现，x+y=120度。
此时我们要明确三个等腰三角形：ode;bod;oce此时在我们在三角形bod中，由于角obd=角odb=x度从而得出角bod=180-2x同理在三角形oce中得出角eoc=180-2y则角bod+角eoc=180-2x+180-2y，整理得：360-2(x+y)把x+y=120代入，得120度。
由于角eoc+角bod=120度，所以角doe就为60度。
外加三角形doe本身为等腰三角形，所以三角形doe为等边三角形!图片发不上来，看参考资料里的1如图，ab⊥bc于b，ef⊥ac于g，df⊥ac于d，bc=df。
求证：ac=ef。
2已知ac平分角bad，ce垂直ab于e，cf垂直ad于f，且bc=cd(1)求证：△bce全等△dcf3.如图所示，过三角形abc的顶点a分别作两底角角b和角c的平分线的垂线，ad垂直于bd于d，ae垂直于ce于e，求证：ed||bc.4.已知，如图，pb、pc分别是△abc的外角平分线，且相交于点p。
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一、证明题
1. 在矩形ABCD中，将点A翻折到对角线BD上的点M处，折痕BE交AD于E．将点C翻折到对角线BD上的点N处，折痕DF交BC于点F．
（1）求证：四边形BFDE为平行四边形；
AB ，求BC的长．
（2）若四边形BFDE为菱形，且2
2. 如图，在四边形ABCD中，AB=BC，对角线BD平分ABC，P是BD上一点，过点P作PM AD，PN CD，垂足分别为M、N.
(1) 求证：ADB=CDB；
(2) 若ADC=90，求证：四边形MPND是正方形.
∠交AB于点E，BF平分3. 如图，四边形ABCD是平行四边形，DE平分ADC
∠交CD于点F.
ABC
=；
（1）求证：DE BF
（2）连接EF，写出图中所有的全等三角形.（不要求证明）
4. 如图，在平行四边形ABCD 中，E 为BC 边上的一点.连结AE 、BD ，且AE=AB . （1）求证：ABE EAD ∠=∠；
（2）若2AEB ADB ∠=∠，求证：四边形ABCD 是菱形.
5. 如图，在△ABC中，点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，AH是边BC上的高．
(1)求证：四边形ADEF是平行四边形；
(2)求证：∠DHF=∠DEF．
6．四边形ABCD中，AD=BC，BE=DF，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F．（1）求证：△ADE≌△CBF；
（2）若AC与BD相交于点O，求证：AO=CO．
7.已知：如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F．求证：△ADE≌△CBF．
8. 如图，在▱ABCD中，点O是边BC的中点，连接DO并延长，交AB延长线于点E，连接BD，EC．
（1）求证：四边形BECD是平行四边形；
（2）若∠A=50°，则当∠BOD= °时，四边形BECD是矩形．
9. 已知，如图，平行四边形ABCD中，E是BC边的中点，连DE并延长交AB的延长线于点F，求证：AB=BF．
10. 如图，点C是AB的中点，AD=CE，CD=BE．
（1）求证：△ACD≌△CBE；
（2）连接DE，求证：四边形CBED是平行四边形．
11. 如图，AB 与
O 相切于点B ，C B 为O 的弦，C O ⊥OA ，OA 与C B 相交于点P ；
（1）求证：AP =AB ；
（2）若4OB =，3AB =，求线段BP 的长．
12.如图，正方形ABCD 中，G 为BC 边上一点，BE AG 于E ，DF AG 于F ，连接DE .
(1)求证：ABE DAF △≌△； (2)若1AF
，四边形ABED 的面积为
6，求EF 的长.
13.如图，∠A=∠B，AE=BE，点D在C
A边上，12
B相交于点O．
∠=∠，AE和D
（1）求证：C
∆AE≌D
∆BE；
（2）若142
∠=，求D
∠B E的度数．
14. 如图，在四边形ABCD中，BD为一条对角线，0
=∠=，
//,2,90
AD BC AD BC ABD
E为AD的中点，连接BE.
（1）求证：四边形BCDE为菱形；
（2）连接AC，若AC平分,1
∠=，求AC的长.
BAD BC
15、如图，AC为矩形ABCD的对角线，将边AB沿AE折叠，使点B落在AC上的点M处，将边CD沿CF折叠，使点D落在AC上的点N处。
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）若AB=6，AC=10，求四边形AECF的面积。
16、如图，在ABC ∆中， 90=∠ABC ， 60=∠BAC 。
ACD ∆是等边三角形，E 是AC 的中点。
连接BE 并延长，交DC 与点F ，求证： ⑴ABE ∆≌CFE ∆
⑵四边形ABFD 是平行四边形。
17、如图，已知BD是△ABC的角平分线，点E、F分别在边AB、BC上，ED∥BC，EF∥AC．求证：BE=CF
A
E D
B C
18．如图，△ABC中，AB=AC，E在BA的延长线上，AD平分∠CAE．
（1）求证：AD∥BC；
（2）过点C作CG⊥AD于点F，交AE于点G，若AF=4，求BC的长．
19.（本小题满分8分）已知，如图，在菱形ABCD中，点E、F分别为边AC、AD 的中点，连接AE、CF，求证：ΔADE≌ΔCDF
20．（本小题6分）如图，点D是AB上一点，DF交AC于E，DE＝FE，FC∥AB．求证：AE＝CE．
B
C F
E A
21．如图，△ABC≌△ABD，点E在边AB上，CE∥BD，连接DE．求证：
（1）∠CEB=∠CBE；
（2）四边形BCED是菱形．
22．已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，E是BC的中点，直线AE交DC的延长线于点F．试判断四边形ABFC的形状，并证明你的结论．。