中考专题：代数综合问题的解决方法

中考专题：代数综合问题的思考方法

【问题概述】

初中代数综合题，主要以方程、函数这两部分为重点，因此牢固地掌握方程与不等式的解法、一元二次方程的解法和根的判别式、函数的解析式的确定及函数性质等重要基础知识，是解好代数综合题的关键．在许多问题中，代数和几何问题交织在一起，就要沟通这些知识之间的内在联系，以数形结合的方法找到解决问题的突破口．通过解综合题有利于透彻和熟练地掌握基础知识和基本技能，更深刻地领悟数学思想方法，提高分析问题和解决问题的能力．

【方法点拨】

(1)对“数学概念”的深刻理解是解综合题的基础；

(2)认识综合题的结构是解综合题的前提；

(3)灵活运用数学思想方法是解综合题的关键；

(4)建立思维程序是解综合题的核心．

* 审题(读题、断句、找关键)；

* 先宏观(题型、知识块、方法)；

后微观(具体条件，具体定理、公式)

* 由已知，想可知(联想知识)；

由未知，想须知(应具备的条件)，注意知识的结合；

* 观察——挖掘题目结构特征；

联想——联系相关知识网络；

突破——抓往关键实现突破。

(5)准确计算，严密推理是解综合题的保证．

【典型例题】

类型一、方程与不等式综合（方程、不等式思想解决问题）

1．已知方程组2323,342 1.

x y a x y a -=-⎧⎨-=+⎩的解满足0,0.x y >⎧⎨<⎩ 求a 的取值范围． 【思路点拨】本题考查了含字母系数的方程解法及利用不等式组求字母的取值范围问题．

【答案与解析】

解：23233421x y a x y a -=-⎧⎨-=+⎩①②

①×3－②×2得：y ＝13a －4

①×4－②×3得：x ＝18a －5

由题意令x ＞0，y ＞0得：1850,1340.a a ->⎧⎨-<⎩ ∴5418

13a <<. 【总结升华】在解含字母系数的方程时要分清未知数和字母常数，这样才能更准确地对方程进行求解．

【过关测试】线上 同步辅导-不等式与不等式组-B7、B8；海淀一模 22（2）、26（2）

2．m 为何值时，22

2(2)21x m x m m --+++是完全平方式

【思路点拨】

本题直观考查完全平方式的特征，但是因为代数式的定性衍生出方程，不定性衍生出函数，所以完全平方式形式在方程和函数中又被赋予了独有的含义．因此，本题也可以看作是间接考查了对完全平方式不同角度的理解．

【答案与解析】

解：解法1：待定系数法

设原式＝[x-(m-2)]2＝x 2-2(m-2)x+m 2-4m+4

所以m 2+2m+l ＝m 2-4m+4，12m =； 解法2：配方法（代数式运算、因式分解） 原式＝22222(2)(2)(2)21x m x m m m m --+---+++．

＝[x-(m-2)]2+6m-3，6m-3＝0，12

m =； 解法3：判别式法（一元二次方程） 因为是完全平方式，所以方程222(2)210x m x m m --+++=有两等根，

△＝[-2(m-2)]2－4(m 2+2m+1)＝0，12

m =

； 解法4：函数思想方法

因为是完全平方式，所以令222(2)21y x m x m m =--+++， 所以抛物线顶点在x 轴上，2

404ac b a

-=， 224(21)4(2)04m m m ++--=，630m -=，12

m =． 【总结升华】

对于代数式，可以考虑其为特殊值，将其看作方程，从方程的角度解决问题；也可以考虑其值不定，从函数的角度解决问题．解决问题的角度不同，但结果是相同的．

类型二、方程与函数综合

3．请你根据下图中图象所提供的信息，解答下面问题：

(1)分别写出1l ，2l 中变量y 随x 变化而变化的情况；

(2)写出一个二元一次方程组，使它满足图象中的条件．

【思路点拨】

本题是一次函数与二元一次方程组的综合题．本题考查了一次函

数的性质，两个一次函数图象的交点与方程组的解的关系．

【答案与解析】

解：(1)的值随x 的增大而增大；

的值随x 的增大而减小．

(2)设直线1l ，2l 的函数表达式分别为11y a x b =+，22y a x b =+，

由题意得11111a b b +=⎧⎨=-⎩，2222130

a b a b +=⎧⎨+=⎩．

解得：1121a b =⎧⎨=-⎩，221232a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩． ∴直线1l ，2l 的函数表达式分别为21y x =-，1322

y x =-+． ∴所求的方程组为211322

y x y x =-⎧⎪⎨=-+⎪⎩． 【总结升华】

利用函数及图象解决方程组的解的问题，体现了数形结合的思想．

【过关测试】线上 中考专题-压轴题专题（03）-代数综合题（一）第一题；海淀一模 25（3） 举一反三：

【变式】已知：如图，平行于x 轴的直线y ＝a(a ≠0)与函数y ＝x 和函数x y 1=

的图象分别交于点A 和点B ，又有定点P(2，0)．

(1)若a ＞0，且9

1tan =∠POB ，求线段AB 的长； (2)在过A ，B 两点且顶点在直线y ＝x 上的抛物线中，已知线段

3

8=AB ，且在它的对称轴左边时，y 随着x 的增大而增大，求满足条件的抛物线的解析式； (3)已知经过A ，B ，P 三点的抛物线，平移后能得到259x y =

的图象，求点P 到直线AB 的距离．

【答案】

解：（1）设第一象限内的点B （m,n ），则1tan 9

n POB m ∠==，得m=9n ，又点B 在函数1y x =的图象上，得1n m

=，所以m=3（－3舍去），点B 为1(3,)3， 而AB ∥x 轴，所以点A 11(,)33，所以18333

AB =-=． （2）由条件可知所求抛物线开口向下，设点A （a ,a ）， B （1,a a ），则183

AB a a =-=,