平行四边形的判定定理
平面向量的平行四边形定理和平行四边形法则
平面向量的平行四边形定理和平行四边形法则平面向量是解决空间中几何问题的重要工具之一。
在平面向量的运算中，平行四边形定理和平行四边形法则是非常基础且重要的内容。
本文将为你详细介绍平行四边形定理和平行四边形法则的概念、性质及应用。
一、平行四边形定理的概念和性质平行四边形定理是关于平行四边形的平面向量性质的定理。
根据平行四边形定理，如果平面上四个向量AB、BC、CD和DA构成一个平行四边形，那么这四个向量之和为零。
也就是说，AB + BC + CD + DA = 0。
平行四边形定理的性质可以推导出以下几个重要的结论：1. 如果ABCD是一个平行四边形，那么向量AB = DC，向量AD = BC。
2. 如果平行四边形ABCD的一组对角线向量相等，即向量AC = BD，那么它是一个平行四边形。
二、平行四边形法则的概念和性质平行四边形法则是平行四边形定理的逆定理，即如果一个平面上四个向量AB、BC、CD和DA满足向量AB + BC + CD + DA = 0，那么这四个向量构成一个平行四边形。
根据平行四边形法则的性质，可以推导出以下几个重要结论：1. 如果向量AB = DC，向量AD = BC，那么四边形ABCD是一个平行四边形。
2. 如果向量AC = BD，那么四边形ABCD是一个平行四边形。
三、平行四边形定理和平行四边形法则的应用平行四边形定理和平行四边形法则在解决平面向量问题时，常用于以下几个方面的应用：1. 平行四边形的判定：通过使用平行四边形定理和平行四边形法则，可以判断给定的四个向量是否能够构成一个平行四边形。
2. 向量之间的关系：根据平行四边形定理和平行四边形法则的性质，可以得到向量之间的关系。
例如，如果向量AB = DC，那么可以推导出向量AB和向量DC平行。
3. 向量的线性运算：平行四边形定理和平行四边形法则可以应用于向量的线性运算中。
例如，如果已知向量AB = DC，向量AD = BC，则可以通过平行四边形定理推导出向量AC = BD。
平行四边形的判定定理五条
平行四边形的判定定理五条
一、求余边定理：
如果两条相邻边之间的倾斜角相等，那么两条边之间的连接边就必然是平行的。
二、定位定理：
如果四个点形成一个平行四边形，那么这四个点的位置的距离必定相等。
三、折射定律：
如果给定一个平行四边形，那么它的对边必定是平行的，而且它的节点位置也会折射出其他的平行直线。
四、向量定理：
若 ab 为交点 A 的一条边，CD 为另一条边，则AB ⊥ CD 并且AB·CD = 0，其中AB 为标量向量，CD 为向量 B 向量 C 的合向量
五、三角形定理：
如果AB和CD是平行四边形的两条相邻边，则对应角AB＝CD，AB·CD=0，AB和CD垂直于BC 且两个三角形ABC，DBC具有相同的度数。
平行四边形的判定定理ppt
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已知：AB=CD,AD=BC. 求证：四边形ABCD是平行四边形 判定定理： 两组对边分别相等的四边形是平行四边形
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已知：在四边形ABCD中，OA=OC,OB=OD. 求证：四边形ABCD是平行四边形
判定定理： 对角线互相平分的四边形是平行四边形
平行四边形的定义： 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 性质： 对边相等,对角相等 对角线互相平分
AB∥CD,AD∥BC
AB=CD,AD=BC
∠BDA=∠DCB, ∠ADC=∠CBA
OA=OC,OB=O.D
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平行四边形的判定
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2
经过观察，我们发现 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 对角线互相平分的四边形是平行四边形
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总结： 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 对角线互相平分的四边形是平行四边形 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
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谢谢
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已知：四边形ABCD是平行四边形，对角线 AC,BD交于点O。AE=CF。
求证：四边形EDFB是平行四边形
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已知：∠1=∠3，∠2=∠4。 求证：四边形ABCD是平行四边形 判定定理： 两组对角分别相等的四边形是平行四边形
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已知：AB=CD且AB∥CD。 求证：四边形ABCD是平行四边形 判定定理： 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
平行四边形的判定定理总结
1、在下列条件中,不能判定四边形是 平行四边形的是( D ) (A)AB∥CD,AD∥BC
(B) AB=CD,AD=BC (C)(C)AB∥CD,AB=CD (D)(D) AB∥CD,AD=BC (E)(E) AB∥CD, ∠A=∠C
例1 ：已知：如图，在□ABCD中，E、F分别
A
D
是AB，CD的中点。
A
E
D
B
F
C
已知：平行四边形ABCD中，E， F分别是边AD，BC的中点（如图）
求证：EB=DF
A
E
DБайду номын сангаас
B
F
C
已知：平行四边形ABCD中，E，F分
别是边AD，BC的中点（如图）
求证：EB=DF
A
E
D
证明：∵四边形ABCD 是平行
四边形
∴AD BC
B
F
C
∵ED=1/2AD BF=1/2BC
∴ED BF ∴四边形EBFD是平行四边形 （一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）
∴EB=DF
作业题：２、已知：E、F是平行四边形ABCD
对角线AC上的两点，并且AE=CF。
大 显 身
求证：四边形BFDE是平行四边形
证明：
Q
四边形ABCD是平行四边形
AD ∥ BC且AD =BC
手A
EAD= FCB
D 在 AED和 CFB中
E
B
AE=CF
F
EAD=
FCB
C
AD=BC AED ≌ CFB(SAS)
∴四边形ABCD是平行四边形 （根平据行什四么边？形）的定义） ∴该命题是真命题
定理1：
平行四边形性质定理和判定定理总结
平行四边形性质定理和判定定理总结
平行四边形
性质定理和判定定理
矩形菱形
性质定理
边对边平行且相等对边平行且相等对边平行，四边相等
角对角相等，邻角互补四个角都是直角对角相等，邻角互补
对角线对角线互相平分对角线互相平分且相等对角线互相垂直且平分
每条对角线平分一组对角对称性中心对称图形，对称中心是对角线的交点轴对称图形中心对称图形，轴对称图形
判定定理边两组对边分别平行的四边形（定义）
两组对边分别相等的四边形
一组对边平行且相等的四边形
一组邻边相等的平行四边形（定义）
四条边相等的四边形
角两组对角分别相等的四边形有一个角是直角的平行四边形（定义）
有三个角是直角的四边形
对角线对角线互相平分对角线相等的平行四边形对角线互相垂直的平行四边形。
平行四边形及定理性质
画出相应的图形，并写出几何语言
其他判定方法：
1. 一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形。
如图，在四边形
ABCD 中，AB ∥CD ，∠A=∠C ，求证：四边形ABCD 是平行四边形。
2. 熟练掌握平行四边形角平分线的相关问题
(1). 如图，在平行四边形ABCD 中，∠BAD 、∠BCD 的平分线分别交BC 、AD 于点E 、F ．四边形AECF 是平行四边形吗？为什么？
(2). □ABCD 中，DE 平分∠ADC 交BC 的延长线于E ，BF 平分∠ABC 交AB 形 DEBF 是平行四边形
3. 总结求证四边形是平行四边形的方法
已知一组对边平行
已知一组对边相等
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F
E
C
D
B。
平行四边形、矩形的判定、性质、定理
平行四边形
定义：
在同一平面内有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
性质：
（1）平行四边形对边平行且相等。
（2）平行四边形两条对角线互相平分。
（3）平行四边形的对角相等，两邻角互补
判定：
1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形（定义判定法）；
2.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
3.对角线互相平分的四边形是平行四边形；
4.两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
5.两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
矩形
定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形。
性质
矩形是特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形的所有性质，从而矩形的性质可归结为从三个方面来看：
（1）平行四边形与矩形共有的性质：
①从边看，矩形对边平行且相等。
（2）矩形特有的性质：
②从角看，矩形四个角都是直角。
③从对角线看，矩形对角线互相平分且相等。
④矩形的代表：正方形——具有菱形和平行四边形的一切性质。
判定
①定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形
②有三个角是直角的四边形是矩形
③对角线互相平分且相等的四边形是矩形性质定理2
直角三角形斜边中线等于斜边一半
矩形的四个角都是直角
矩形的对角线相等。
数学平行四边形、菱形、矩形、正方形的定理、性质、判定
1. 定义: 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
2.性质:⑴如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两组对边分别相等。
（简述为“平行四边形的对边相等”）⑵如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两组对角分别相等。
（简述为“平行四边形的对角相等”）⑶夹在两条平行线间的平行线段相等。
⑷如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两条对角线互相平分。
（简述为“平行四边形的两条对角线互相平分”）⑸平行四边形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点。
3.判定：（1）如果一个四边形的两组对边分别相等，那么这个四边形是平行四边形。
（简述为“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”）（2）如果一个四边形的一组对边平行且相等，那么这个四边形是平行四边形。
（简述为“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”）（3）如果一个四边形的两条对角线互相平分，那么这个四边形是平行四边形。
（简述为“对角线互相平分的四边形是平行四边形”）（4）如果一个四边形的两组对角分别相等，那么这个四边形是平行四边形。
（简述为“两组对角分别相等的四边形是平行四边形”（5）如果一个四边形的两组对边分别平行，那么这个四边形是平行四边形。
（简述为“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”）矩形的性质和判定定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.性质：①矩形的四个角都是直角；②矩形的对角线相等 .注意：矩形具有平行四边形的一切性质 .判定：①有一个角是直角的平行四边形是矩形；②有三个角是直角的四边形是矩形；③对角线相等的平行四边形是矩形 .菱形的性质和判定定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.性质：①菱形的四条边都相等；②菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角 .注意：菱形也具有平行四边形的一切性质 .判定：①有一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四条边都相等的四边形是菱形；③对角线互相垂直的平行四边形是菱形(4).有一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形正方形的性质和判定定义：有一组邻边相等并且有一角是直角的平行四边形叫做正方形.性质：①正方形的四个角都是直角，四条边都相等；②正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角 .判定：因为正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质，所以我们判定正方形有三个途径①四条边都相等的平行四边形是正方形②有一组临边相等的矩形是正方形③有一个角是直角的菱形是正方形梯形及特殊梯形的定义梯形：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形.（一组对边平行且不相等的四边形叫做梯形.）等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形. 直角梯形：一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形.等腰梯形的性质1、等腰梯形两腰相等、两底平行；2、等腰梯形在同一底上的两个角相等；3、等腰梯形的对角线相等；4、等腰梯形是轴对称图形，它只有一条对称轴，一底的垂直平分线是它的对称轴. 等腰梯形的判定1、两腰相等的梯形是等腰梯形；2、在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形；3、对角线相等的梯形是等腰梯形.平行四边形性质定理1 平行四边形的对角相等平行四边形性质定理2 平行四边形的对边相等且平行平行四边形性质定理3 平行四边形的对角线互相平分平行四边形判定定理1 两组对角分别相等的四边形是平行四边形平行四边形判定定理2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形平行四边形判定定理3 对角线互相平分的四边形是平行四边形平行四边形判定定理4 一组对边平行相等的四边形是平行四边形矩形性质定理1 矩形的四个角都是直角矩形性质定理2 矩形的对角线相等矩形判定定理1 有一个角是直角的平行四边形是矩形矩形判定定理2 对角线相等的平行四边形是矩形正方形性质定理1正方形的四个角都是直角，四条边都相等正方形性质定理2正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角菱形性质定理1 菱形的四条边都相等菱形性质定理2 菱形的对角线互相垂直菱形面积=对角线乘积的一半，即S=（a×b）÷2菱形判定定理1 四边都相等的四边形是菱形菱形判定定理2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形菱形判定定理3是对称轴图形的平行四边形是菱形。
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2、四边形BFDE是平行四边形吗？
3、若点E、F在OA、OC的中点上，你能解决1、2两问吗？
在教师的组织、引导、点拨下主动地从事观察、实验、猜测、验证与交流等数学活动，从而真正有效理解和掌握知识。
经历平行四边形判别问题的探索过程，逐步掌握书面表达方法。
让学生通过观察、思考的活动，在解决问题的过程中，发展学生的合情推理意识，培养主动探究的习惯。
实物道具
8分钟
D
解决问题
（课件演示）教师演示课件后问：同学们能用文字叙述刚才得出的结论吗？
B
C
A
通过观察图形，结合课件演示，得出：
两条对角线互相平分的四边形是平行四边形。
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
两给对边分别平行（相等）的四边形是平行四边形。
让学生时行想像、猜测、观察、实验、验证与交流等数学活动，使学生通过活动、体会、感受拼法和学习的乐趣，并经历从多角度思考问题的过程。从而培养学生正确的学习数学的方法。
平行四边形的判定
教学目标：
1、经历平行四边形判定的探索过程，使学生逐步掌握说理的基本方法。
2、探索并掌握平行四边形判定的判别条件：对角线互相平分的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
3、在探索的过程中，发展学生的合情推理意识，培养主动探究的习惯，
4、通过探索式证明法，开拓学生的思路，发展学生的思维能力。
课件演示
10分钟
（实际应用）
将两根细木条AC、BD的中点重叠，并用钉子固定，则四边形ABCD是平行四边形。
学生认真观察图片，回答问题提出的
体现教学来源于生活，又应用于生活。
实物操作
2分钟
（例题分1、如图：AC‖ED，点B在AC上且AC＝ED＝BC，找出图中的平行四边形。
例2、如图，在平行四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，点E、F在对角线AC上，且OE＝OF，
通过一些现实情境引入，可以激发学生学习兴趣。集中学生的注意力。
实物道具演示
5分钟
提出问题
（探究）
如何确定一个四边形是平行四边形呢？
（动手操作）
现在大家拿出几根小木棒，来动手拼一个平行四边形。
1、用量角器等工具检验所拼四边形是否是平行四边形？
2、提问：若一长一短的两根小木棒不作为对角线，能确定平行四边形吗？若不行，能拼出一个特殊的四边形吗？那怎样改变条件，就能确定平行四边形？
3、用四根一样的小木棒以，来拼一个平行四边形。
1、学生充分想像，再用量角器度量四边形各内角的度数，讨论分析此四边形是什么四边形。
2、回答：能拼成一个特殊的四边形，是梯形。
3、用刀截去长的木棒，使两根木棒一样长，再动手拼。
让学生在拼摆各种图形的过程中，积累数学活动经验，增强学生的创新意识，使学生在探索的过程中形成自己的观点，培养学生团结协作的精神。
教学重点
平行四边形的判别条件。
教学难点
平行四边形的判别条件的应用。
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
技术应用
时间安排
背景问题
（引入）（描述有关平行四边形的精美框架）
看到这么精美的框架图片，你想不想也制作一个平行四边形框架呢？还记得平行四边形的定义和性质吗？
学生倾听老师讲述，回顾旧知识，与同伴进行交流。
2、已知：四边形ABCD中，AC‖C，要使四边形ABCD为平行四边形，需添加一个条件是（）
通过进一步练习，学生的知识能力得到巩固和提高。
课堂小结
今天这节课我们共同讨论了平行四边形的判别方法，谁能来总结一下？
学生讨论2分钟，然后自由发言，其他同学作进一步补充。
让学生关注并参与活动，能提高学生的语言表达能力，展示在活动中表达的思维水平，从而增强学生的自信心。
2分钟
课堂作业：在作业本上完成。
巩固所学知识，为下一节课作铺垫。
本节课打破了封闭式的教学过程，构建开放工的学习过程，充分体现了学生是学习的主人，教师是教学活动的组织者、引导者和参与者。教学过程中，学生通过观察和动手操作，经历和体验了图形的变化过程，这样不仅培养了学生的实际操作能力、合作交流精神，同时也发展了他们的空间观念，
通过探索式证明法，开拓学生的思路，发展学生的思维能力。
例题讲解
10分钟
巩固练习
随堂练习：
1、能确定四边形是平行四边形的条件是（）
A、一组对边平行，另一组对边相等
B、一组对边平等，一组对角相等
C、一组对边平行，一组邻角相等
D、一组对边平行，两条对角线相等
练习：学生首先独立思考一会儿，然后与同伴交流或讨论，最后举手发表自己的见解。