高等数学 12-5全微分方程
高等数学微分方程总结
二阶变 y f ( x, y) 令y p( x)
系数
y f ( y, y) 令y p[ y(x)]
1.r1 r2 y c1er1x c2er2x
2.r1 r2 y er1x (c1 c2 x)
3.r1,2 i y ex (c1 cos x c2 sin x) 二阶
一阶
y py qy 0 齐次
[
Q( x)e P( x)dxdx C ]
Bernoulli y P( x) y Q( x) yn (n 0,1) 令 z y1n
全微分方程 P(xy)dx Q(xy)dy 0 dU (xy) P Q y x
1.折线积分 2.凑全微分 3.定积分
二阶线性方程 a0(x) y a1(x) y a2(x) y 0 y a1(x) y a2 (x) y f (x)
于是
F(x) e2x e2x
二、两类二阶微分方程的解法
1. 可降阶微分方程的解法 — 降阶法
•
d2 y dx2
f
(x)
逐次积分求解
•
d2y dx2
f
(x, dy) dx
令
p (x) dy dx
•
d2y dx2
f
(y, dy) dx
令
p(y) dy dx
d p f (x, p) dx
2. 二阶线性微分方程的解法
• 常系数情形
齐次 非齐次
代数法
y py qy 0,
y py qy f ( x)
求解二阶常系数线性方程 二阶常系数齐次线性微分方程求通解的一般步骤:
(1) 写出相应的特征方程
r 2 pr q 0;
(2) 求出特征方程的两个根
r1 与 r2；
高等数学11-5.1二阶常系数齐次线性微分方程(18)
三、小结
高等数学
二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤: （1）写出相应的特征方程; （2）求出特征根; （3）根据特征根的不同情况,得到相应的通解.
(见下表)
y py qy 0
高等数学
r 2 pr q 0
特征根的情况
实根r1 r2 实根r1 r2
复根r1,2 i
通解的表达式
因此 u( x) 0
2r1 p 0
可取满足上式的简单函数 u( x) x
高等数学
由此得到方程 (1)的另一个与 y1 线性无关的解
y2
xe
r
1
x
于是，方程(1)的通解为 :y C1er1x C2 xer1 x (C1 C2 x)er1 x
3 当 p2 4q 0时,
特征方程有一对共轭复根 :
便是( 1 )的通解, 其中C1 , C 2是任意常数。
如何找出齐次方程的两个线性无关的解呢?
高等数学
下面介绍求解的欧拉指数法 ---特征方程法
由于当r为常数时,指数函数y erx及其各阶导数,
都只相差一个常数因子r, 根据指数函数的这个特点, 我们用y erx来尝试, 看能否取到适当的常数 r, 使y erx 满足方程(1)。
第五节 二阶常系数线性 微分方程
一、二阶常系数齐次线性方程
二、二阶常系数非齐次线性方程
高等数学
一、二阶常系数齐次线性方程解法
设二阶线性常系数齐次方程为
y py qy 0 (1) 由上一节的讨论可以知道，求出齐次方程的通解的 关键是找出方程的两个线性无关的特解 y1 , y2
这样
y C1 y1 C2 y2
y1线性无关的解
y2 ,
为此,
高等数学(上册)第12章(1)习题答案_吴赣昌_人民大学出版社_高数_
高等数学(上册)第12章(1)习题答案_吴赣昌_人民大学出版社_高数_第十二章微分方程内容概要§12.1微分方程的基本概念内容概要课后习题全解1．指出下列微分方程的阶数：知识点：微分方程阶的定义★（1）某(y)24yy3某y0；解：出现的未知函数y的最高阶导数的阶数为1，∴方程的阶数为1。
注：通常会有同学误解成未知函数y的幂或y的导数的幂。
例：（错解）方程的阶数为2。
((y))★（2）2某y2y某2y0；解：出现的未知函数y的最高阶导数的阶数为2，∴方程的阶数为2。
★（3）某y5y2某y0；解：出现的未知函数y的最高阶导数的阶数为3，∴方程的阶数为3。
★（4）(7某6y)d某(某y)dy0。
(n)思路：先化成形如F(某,y,y,,y解：化简得)0的形式，可根据题意选某或y作为因变量。
dy6y7某，出现的未知函数y的最高阶导数的阶数为1，∴方程的阶数为1。
d某某y2指出下列各题中的函数是否为所给微分方程的解：知识点：微分方程的解的定义思路：将所给函数及其相应阶导数代入方程验证方程是否成立。
★（1）某y2y，y5某2；2解：将y10某，y5某代入原方程得左边所以某10某25某22y右边，y5某2是所给微分方程的解。
y2y0,yC1co某C2in某；解：yC1in某C2co某，将y2C1co某2C2in某，yC1co某C2in某，代入原方程得：左边所以★（3）y2y2C1co某2C2in某2(C1co某C2in某)右边，yC1co某C2in某是所给微分方程的解。
y22yy20,yC1某C2某2；某某2解：将yC1某C2某，yC12C2某，y2C2，代入原方程得：2C14C2某2(C1某C2某2)22y左边=yy22C20右边2某某某某所以yC1某C2某2是所给微分方程的解。
y(12)y12y0yC1e1某C2e2某；1某解：将yC1eC2e2某，yC11e1某C22e2某，yC112e1某C222e2某，代入原方程得：左边y(12)y12y22C11e1某C22e2某(12)(C11e1某C22e2某)12(C1e1某C2e2某) 0所以右边，yC1e1某C2e2某是所给微分方程的解。
《医用高等数学》(第二版)5-5二阶线性微分方程
高等数学
例 求非齐次微分方程 y+y+4y=x+2
的一个特解。
05-05-19
高等数学
05-05-20
非齐次项 f(x)
特解的形式
ax+b
(1)当0不是特征根时：
y*=Ax+B (2)当0是特征根(单根)时：
y*=x(Ax+B) (3)当0是特征根(重根)时：
y*=x2(Ax+B)
高等数学
例 求非齐次微分方程 y+2y+3y=3cos2x
（3）y–2y+5y=0
高等数学
05-05-17
课堂讨论题 求下列方程的通解或 特解。
（1）y–y=0
（2）y–5y+6y=0, y|x=0=0.5, y|x=0=1 （3）y+4y+4y=0
高等数学
05-05-18
二阶常系数线性非齐次微分方程 形如
y+py+qy=f(x) 的微分方程，称为二阶常系数线性 非齐次微分方程，其中 p,q 为常数。
y+p(x)y+q(x)y=f(x) 的通解。
高等数学
05-05-11
例 已知微分方程
(x–1)y–xy+y= –x2+2x–2 的三个解为 y1=x2，y2=x+x2， y3=x2+ex，求微分方程的通解。
高等数学
05-05-12
二阶常系数线性齐次微分方程 形如 y+py+qy=0 的微分方程，
y(x)=C1y1(x)+C2y2(x) 也是齐次方程 y+p(x)y+q(x)y=0 的 解，其中 C1,C2 为任意常数。
《高等数学》第6章常微分方程
y x2 4 4 x2
想一想
一电机开动后,每分钟温度升高10 C,同时将按冷却定律不断发散
热量.设电机安置在15 C恒温的房子里,求电机温度与时间t的函
数关系.
6.3 二阶常系数线性微分方程
了解二阶常系数线性微分方程的 概念及分类；掌握二阶常系数齐 次、非齐次线性微分方程的求解 方法及分类；能够灵活运用公式 解决实际问题.
Cx x 1,两边积分得 : Cx 1 x 12 C.因此原方程通
2 解为 :
y
1 2
x
12
C x
12
1 2
x
14
Cx
12
(C为任意常数).
2. 求微分方程y 2 y x满足条件y2 0的特解.
x
解：先解方程y 2 y 0 dy 2 dx,两边积分得y Cx2.
方程. 这类方程的求解一般分为两步：
1 分离变量：化原方程为 dy f (x)dx的形式；
g( y)
2 两边积分： gd(yy) f (x)dx得到x与y的一个关系式,即通解.
例题
1. 求微分方程 dy 2xy的通解.
dx
解：分离变量为dy
y
2 xdx, 两边积分得
dy y
2xdx ln
同时,C1,C2为任意常数,故y C1ex C2e2x是微分方程的通解.
将条件代入通解中, 得CC11
C2 0 2C2 1
CC12
1 .
1
故所求特解为： y ex e2x.
想一想
建设绿地、防止土地沙漠化的环保意识已成为人 们的共识.现已查明，有一块土地正在沙化，并且 沙化的数量正在增加，其增加的速率与剩下的绿地 数量成正比.有统计得知，每年沙化土地的增长率 是绿地的 1 ，现有土地10万亩，试求沙化土地与
第十一章 微分方程【高等数学】
第十一章 微分方程一、内容分析及教学建议微分方程是本门课程的三个组成部分之一，是微积分的具体应用。
实际上微分方程问题， 早在十七世纪末，微积分开始形成时，就已经涉及，可以说是与微积分同时发展起来的。
在二十世纪前，微分方程问题主要来源于几何学、力学和物理学；而现在，几乎在自然科学、工程技术，甚至于生物、医学、经济学领域的各个部门都会出现，它已成为研究科学技术、解决实际问题不可缺少的有力工具。
（一） 微分方程的概念从实例引入微分方程的主要概念，要着重指出通解中常数个数与阶数的关系，并且要注意：① 通解中所含任意常数的个数不是形式上，而是实质上的；② 微分方程解中并非只有通解和特解，还存在既非通解又非特解的解。
例如：函数221ln ln x c x c y +=是微分方程02='+''y x y x 的解，x c x c c x c x c y ln ln )2(ln ln 21221=+=+=,)2(21c c c +=∴ 此解不是通解，也不是特解。
(二) 一阶微分方程的解法1、一阶微分方程类型较多，教学中应让学生能掌握正确判断方程的类型，按方程所属类型采用适当的方法求解； 如322y x y dx dy -=，改写为221y x ydx dy -=-（关于x 的一阶线性微分方程等）； 2、一阶微分方程中分离变量法是最基本的，要有足够的训练，让学生牢固掌握，必要时让学生复习不定积分的基本内容；3、可通过齐次方程的求解，引入一般的变量代换解法，要求学生了解其思想，对于具体代换，只介绍简单的代换，如y x u +=，xy u =即可；4、关于一阶线性微分方程，一定要交待常数变易法的想法及步骤，导出通解公式后，指出其通解结构，为以后高阶线性微分方程奠定基础；5、对于全微分方程求解，涉及到“曲线积分”内容，通常有三种解法（见“曲线积分”一章注解），关于积分因子，主要取决于微分的熟练，但教学中要求不高；6、关于贝努利方程，注意：ny x Q y x P y )()(=+'，这里n 可放宽到任意实数仍成立。
高等数学上册第七章微分方程
n 个函数, 若存在不全为 0 的常数
使得
则称这 n个函数在 I 上线性相关, 否则称为线性无关.
例如，
在( , )上都有
故它们在任何区间 I 上都线性相关;
又如，
若在某区间 I 上
必需全为 0 ,
在I 上都 线性无关.
DMU
第五节 二阶线性微分方程解的结构
两个函数在区间 I 上线性无关的充要条件:
(1) 当p2 4 q 0 时, ②有两个相异实根
则微分
方程有两个线性无关的特解:
因此方程的通解为 y C1 er1 x C2 er2 x
DMU
第六节 常系数齐次线性微分方程
(2) 当p2 4 q 0 时, 特征方程有两个相等实根
则微分方程有一个特解
设另一特解
( u (x) 待定)
代入方程得:
可化为变量分离方程的类型
• 形如 dy g的(方y )程，称为齐次方程 dx x
如何求解满足上述条件的齐此方程
令 y u, y ux x
du u x du ,
dx
dx
x du g(u) u dx
du g(u) u
dx
x
化为一个变量可分离的方程
DMU
第二节 可分离变量的微分方程 齐次方程
第一节 微分方程的概念
微分方程的预备知识
➢ 微分方程
y P(x) y Q(x)y f (x)
➢ 阶：最高阶导数的阶数 ➢ 解：使方程成为恒等式的函数
➢ 通解： y (c1, c2, , cn )
➢ 特解：满足初始条件的解 ➢ 初始条件：
y(x0 ) y0, y(x0 ) y1, , y(n1) (x0 ) yn1
十二五高等数学教材目录
十二五高等数学教材目录高等数学教材目录1. 高等数学教材简介2. 第一章：数列与极限2.1 数列的概念与性质2.2 数列极限的定义与性质2.3 函数极限的概念与性质2.4 极限存在准则与计算方法3. 第二章：连续函数与导数3.1 连续函数的概念与性质3.2 导数的概念与性质3.3 高阶导数与应用3.4 微分中值定理与导数的应用4. 第三章：定积分与不定积分4.1 定积分的概念与性质4.2 不定积分的概念与性质4.3 积分运算法则与方法4.4 定积分的应用5. 第四章：微分方程5.1 高阶导数与微分方程5.2 一阶微分方程及其解法5.3 高阶线性微分方程及其解法5.4 微分方程的应用6. 第五章：多元函数与偏导数6.1 多元函数的极限与连续性 6.2 偏导数的概念与计算方法 6.3 隐函数与高阶偏导数6.4 多元函数微分学应用7. 第六章：多重积分与曲线积分 7.1 二重积分的概念与性质7.2 二重积分的计算方法7.3 极坐标系下的二重积分7.4 曲线积分的概念与性质7.5 曲线积分计算方法与应用8. 第七章：曲面积分与空间向量 8.1 曲面积分的概念与性质8.2 曲面积分计算方法8.3 向量的基本概念与运算8.4 空间向量的应用9. 第八章：无穷级数与幂级数9.1 无穷级数的概念与性质9.2 收敛级数的判别法与计算9.3 函数展开成幂级数9.4 幂级数的收敛半径与展开10. 第九章：常微分方程10.1 一阶常微分方程的基本理论 10.2 高阶线性常微分方程的解法10.3 常微分方程的应用11. 第十章：向量场与格林公式11.1 曲线积分与对弧长的应用 11.2 向量场的概念与性质11.3 向量场的散度与旋度11.4 格林公式的概念与应用12. 第十一章：傅里叶级数与傅里叶变换12.1 傅里叶级数的概念与性质12.2 傅里叶级数的收敛性与展开12.3 傅里叶变换的概念与性质12.4 傅里叶变换的计算及应用13. 第十二章：多元函数积分学13.1 多元函数的极限与连续性13.2 二重积分的概念与性质13.3 三重积分的概念与性质13.4 曲线与曲面的面积与体积以上为《十二五高等数学教材》的目录内容。
《高等数学》第七章 微分方程
曲线积分
1.两类曲线积分的基本计算法 2.格林公式及其应用 3.平面曲线积分与路径无关的条件,二元函数的全微 分求积
曲面积分
1.两类曲面积分的基本计算方法 2.高斯 ( Gauss )公式(p229定理1,p231例1,2 P236.1.作业题.p247.4(2)(3))
2.应用 (几何应用:空间曲线的切线与法平面(p94例4), 曲面的切平面与法线(p99例6).
多元函数的极值:无条件极值(p110定理1.2例4), 条件极值(p115.拉格朗日乘数法,p116例8))
第十,十一章.多元函数积分学(40)%
重积分
1.计算二重积分( 直角坐标, 极坐标),交换积分次序
(2) 求出特征方程的两个根 r1 与 r2；
(3) 根据特征方程的两个根的不同情况,按照下列规 则写出微分方程的通解
特征方程的两个根r1 ，r2
微分方程的通解
两个不相等的实根 r1，r2
y C1er1x C2er2x
两个相等的实根 r1 r2
y (C1 C2 x)er1x
一对共轭复根 r1,2 i y ex (C1 cos x C2 sin x)
y(x0 ) y0 , y(x0 ) y0 , , y(n1) (x0 ) y0(n1)
引例1 通解:
dy dx
2x
y x1 2
引例2
y x2 C
d2y dx2
0.4
s t0 0 ,
ds dt
t0 20
s 0.2t 2 C1t C2
特解: y x2 1
s 0.2t 2 20t
小结 y py qy f ( x)
通解 y Y y* c1 y1 c2 y2 y*
高等数学微分方程总结
代数解法， y特征方程：r 2 pr q 0
二阶 常系
y py qy f (x) 非齐次
数
y c1 y1 c2 y2 y *
解的结构
一阶
y(n) f (x) 连续积分 n次
高阶
Euler方程
P348 xn y(n) p1 xn1 y(n1) pn1 y pn y f ( x) 令x et
二阶 y f (x, y) 令y p(x)
变系
数
y f ( y, y) 令y p[ y(x)]
1.r1 r2 y c1er1x c2er2x 2.r1 r2 y er1x (c1 c2 x)
3.r1,2 i y ex (c1 cosx c2 sin x) 二阶
y py qy 0 齐次
令y=ut
可分离变量方程求解
(4) y2 (x 3y ) dx (1 3 xy2 ) dy 0 变方程为 y2 x dx dy 3 y2 ( ydx xdy) 0
两边乘积分因子 y2
x dx y2 dy 3( ydx xdy) 0
用凑微分法得通解:
1 x2 y1 3 xy C 2
1 变量代换法 —— 代换自变量 代换因变量 代换某组合式
2 积分因子法 —— 选积分因子; 解全微分方程
1 一阶标准类型
(1)
y
1 y2
e y3x
0;
(3)
y
1 2x
y2
;
(2) xy x2 y2 y ;
(4)
y
6x3 3xy2 3x2 y 2y3
.
提示: 1 因e y3 x e y3 ex , 故为分离变量方程:
齐次通解
非齐特解
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1
章
节
题
目
第五节 全微分方程
内
容
提
要
全微分方程及其解法
积分因子法
重
点
分
析
全微分方程的判定及其解法
用凑微分法求解微分方程
难
点
分
析
积分因子的构造
习
题
布
置
352
P
1（单）、2（单）、4
备
注
2
教 学 内 容
一、全微分方程及其求法
1.定义: 若有全微分形式dyyxQdxyxPyxdu),(),(),(
则0),(),(dyyxQdxyxP全微分方程或恰当方程
例如 ,0ydyxdx
),(21),(22yxyxu
,),(ydyxdxyxdu
所以是全微分方程.
.xQyP全微分方程
2.解法:0),(),(dyyxQdxyxP全微分方程
应用曲线积分与路径无关.
xQyP
通解为yyxxdyyxQxdyxPyxu00),(),(),(0
,),(),(000xdyxPdyyxQxxyy
;),(Cyxu
用直接凑全微分的方法.
例1.0)3()3(2323的通解求方程dyyxydxxyx
解 ,6xQxyyP是全微分方程,
yxdyyxdxyxyxu03023)3(),(
,42344224yyxx
原方程的通解为.42344224Cyyxx
例2.0324223的通解求方程dyyxydxyx
解 ,64xQyxyP是全微分方程,
将左端重新组合
3
)32(14232dyyxdxyxdyy)()1(32yxdyd),1(32yxyd
原方程的通解为.132Cyxy
二、积分因子法
定义: 0),(yx连续可微函数，使方程
0),(),(),(),(dyyxQyxdxyxPyx
成为全微分方程.则称),(yx为方程的积分因子.
问题: 如何求方程的积分因子?
1.公式法:
,)()(xQyP
xQxQyPyP
，两边同除
xQyPyPxQ
lnln
求解不容易
特殊地:
;.有关时只与当xa
,0
y
,dxdx
)(1lnxQyPQdxd
)(xf
.)()(dxxfex
;.有关时只与当yb
,0
x
,dydy
)(1lnyPxQPdyd
)(yg
.)()(dyygey
2.观察法: 凭观察凑微分得到),(yx
4
常见的全微分表达式
可选用的积分因子有
.,,1,1,1,12222222等
xyyxyxyxxyx
.0)()3(322的通解、求微分方程例dyxyxdxyxy
解 ,1)(1xxQyPQdxxex1)(.x
则原方程为
,0)()3(2322dyyxxdxxyyx
)(332xdyydxxydyxydxx
可积组合法
))(21(23xyyxd
,0
原方程的通解为
.)(2123Cxyyx
(公式法)
例4 求微分方程.0)1(222的通解dyyxdxyxx
解 ,02222dyyxdxyxxxdx
,0)()(2222dyyxxdyxxd
将方程左端重新组合,有,0)()(222yxdyxxd
原方程的通解为 .)(322322Cyxx
例5 求微分方程.0)1(ln2222的通解dyyyxydxxy
解 将方程左端重新组合,有
xyd
x
ydxxdy
2
xyd
x
ydxxdy
2
xydyxydxxdyarctan
22
xydxyydxxdyln
)ln(212222yxd
yx
ydyxdx
yxyxdyxydxxdyln2
1
22
5
,01)ln2222dyyydyxydxxy（
,1),(yyx易知
,01)ln2(22dyyydyyxydxx则
可积组合法
.0)1(31)ln(2322ydyxd即
原方程的通解为.)1(31ln2322Cyyx
例6.132的通解求微分方程xyxxdxdy
解1 整理得,112xyxdxdy
A 常数变易法: .1xCy对应齐方通解
.1)(xxCy设
.43)(43CxxxC
B 公式法: ],[11211Cdxexeydxxdxx
.4343Cxxxyy通解为
解2整理得,0)1()(32dyxdxyxx
,1xQyP
.是全微分方程
A 用曲线积分法:
,)1()(),(0032yxdyxdxxxyxu
B 凑微分法:
,0)(32dxxdxxydxxdydy
，043)(43xdxdxyddy
6
.0)43(43xxxyyd
C 不定积分法:
,32yxxxu
dxyxx)(
32
),(4343yCxyxx
),(yCxyu,1xyu又
,1)(xyCx,1)(yC,)(yyC
原方程的通解为.4343Cxxxyy
三、一阶微分方程小结
思考题
方程0324223dyyxydxyx是否为全微分方程？
思考题解答
32yxyy
P
,
64yx
4223yxyxxQ
,64yx
xQyP
原方程是全微分方程.
一阶微分方程
分离变量法 常数变易法 全微分方程