2012年上海初三数学一模试卷及答案(虹口)

虹口区2012学年度第一学期初三年级数学学科期终教学质量监控测试题（满分150分，考试时间100分钟）一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．下列二次函数解析式中，其图像与y 轴的交点在x 轴下方的是A ．23y x =+ ； B ．23y x =- ； C ．23y x =-+； D ．2y x =． 2．关于二次函数221y x =-+的图像，下列说法中，正确的是 A ．开口向上；B ．对称轴是直线1x =；C ．有最高点（0，1）；D ．是中心对称图形． 3．在Rt ABC ∆中，90A ∠=︒，5AC =，12AB =，那么sin B 的值是A ．125 ； B ．512； C ．1312； D ．135． 4．若a 、b 均为非零向量，且a ∥b ，则在下列结论中，一定正确的是A ．(0)a mb m =≠；B ．a b =±；C ．a b =；D ．a b =-． 5．如图，分别以下列选项作为一个已知条件，其中不一定．．．能得到△AOB ∽△COD 的是 A ．∠BAC =∠BDC ； B ．∠ABD =∠ACD ； C ．AO DO COBO=； D ．AO OD OBCO=．6．如图，已知EF ∥CD ，DE ∥BC ，下列结论中，不一定．．．正确是 A ．AF AD ADAB=； B ．AE AF ADAC=； C ．DE EF BCCD=； D ．AB AC ADAE=．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）[请将结果直接填入答题纸的相应位置] 7．实数2与0.5的比例中项是 ．8．抛物线22(1)3y x =-+的顶点坐标为 ．A第6题图BCDE FAB COD第5题图CO第12题图DBA9．将抛物线22y x =-向右平移4个单位,再向上平移3个单位得到的抛物线表达式是 ．10．已知向量a r 、b r 、x r 满足关系式3()20a x b --=r r rr ，那么用向量a r 、b r 表示向量x r = ．11．已知：2sin(15)3α+=，则锐角α= ．12．如图，若3AD AO =,则当:CO BO 的值为 时，有AB ∥CD 成立．13．如果△ABC 的三边长分别为3、4、5，与其相似的△A ’B ’C ’的最长边为15，那么△A ’B ’C ’的周长 ．14．如图，在△ABC 中， BC=3，点G 是△ABC 的重心，如果DG ∥BC ，那么DG= ． 15．如图，某商场开业，要为一段楼梯铺上红地毯，已知楼梯高AB ＝6m ，坡面AC 的坡度41:3i =，则至少需要红地毯 m ． 16．已知点()11A y -，、()2B y 2，与()3C y 4，是抛物线上223y x x =-++的三点，则1y 、2y 、3y 的大小是 ．（用“﹤”连接）17．如图，在Rt △ABC 中，90ACB ∠=°，3BC =，4AC =，AB 的垂直平分线DE 交BC 的延长线于点E ，则CE 的长为 ．18．已知△ABC 中，AB AC m ==，72ABC ∠=︒，1BB 平分ABC ∠交AC 于1B ，过1B 作12B B //BC 交AB 于2B ，作23B B 平分21AB B ∠交AC 于3B ，过3B 作34//B B BC 交AB 于4B ，则线段34B B 的长度为 ．（用含有m 的代数式表示）AB C第15题图CG第14题图DBAC 第18题图 B 1B A B 2B 3 B 4 AD BEC第17题图三、解答题（本大题共7题，满分78分） 19．（本题满分10分）计算：2cos 45tan 60tan 30cos60︒+︒︒⋅︒．20．（本题满分10分，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分4分）已知二次函数215322y x x =-+-．（1）用配方法求出该函数图像的顶点坐标和对称轴； （2）在平面直角坐标系中画出该函数的大致图像．21．（本题满分10分）已知：如图，AB =AC ，∠DAE =∠B ． 求证：△ABE ∽△DCA ．Oyx第20题图DCAEMB第23题图22．（本题满分10分，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分4分）如图是某货站传送货物的平面示意图， AD 与地面的夹角为60°．为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹角，使其由45°成为37°， 因此传送带的落地点由点B 到点C 向前移动了2米．（1）求点A 与地面的高度；（2）如果需要在货物着地点C 的左侧留出2米，那么请判断距离D 点14米的货物Ⅱ是否需要挪走，并说明理由．(参考数据：sin37°取0.6，cos37°取0.8，tan37°取0.75，3取1.73)23．（本题满分12分，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分6分）如图，在Rt ACB △中，90ACB ∠=°，点D 在边AB 上，DE 平分CDB ∠交边BC 于点E ，EM 是线段BD 的垂直平分线．（1）求证：CD BE BCBD=；（2）若410cos 5AB B ==，，求CD 的长．B第22题图BC 37° A45°DⅡⅠ60°24．（本题满分12分，第（1）小题满分3分，第（2）小题满分4分，第（1）小题满分5分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线2y x bx c =++经过(0,3)A ，(1,0)B 两点，顶点为M ．（1）求b 、c 的值；（2）将OAB △绕点B 顺时针旋转90°后，点A 落到点C 的位置，该抛物线沿y 轴上下平移后经过点C ，求平移后所得抛物线的表达式；（3）设（2）中平移后所得的抛物线与y 轴的交点为1A ，顶点为1M ，若点P 在平移后的抛物线上，且满足△1PMM 的面积是△1PAA 面积的3倍，求点P 的坐标．25．（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分，第（3）小题满分4分）如图，已知梯形ABCD ，AD ∥BC ，AB ＝AD ＝5，3tan 4DBC ∠=．E 为射线BD 上一动点，过点E 作EF ∥DC 交射线BC 于点F ．联结EC ，设BE = x ，ECF BDCS y S ∆∆=．（1）求BD 的长；（2）当点E 在线段BD 上时，求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； （3）联结DF ，若△BDF 与△BDA 相似，试求BF 的长．BCEF 第25题图ADyxB A O 第24题图M BCAD 备用图虹口区2012学年第一学期初三年级数学学科期终教学质量监控测试卷参考答案及评分建议2012.1说明：1．解答只列出试题的一种或几种解法．如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中评分标准相应评分；2．第一、二大题若无特别说明，每题评分只有满分或零分；3．第三大题中各题右端所注分数，表示考生正确做对这一步应得分数；4．评阅试卷，要坚持每题评阅到底，不能因考生解答中出现错误而中断对本题的评阅．如果考生的解答在某一步出现错误，影响后继部分而未改变本题的内容和难度，视影响的程度决定后继部分的给分，但原则上不超过后继部分应得分数的一半；5．评分时，给分或扣分均以1分为基本单位．一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1．B ； 2．C ； 3．D ； 4．A ； 5．C ； 6．B .二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7． 1± ； 8． (1，3) ； 9． 2(4)1y x =-+ ； 10．23a b -； 11．45° ； 12．2 ； 13．36 ； 14．1 ； 15．14 ；16．312y y y <<； 17．76； 18． 3512m ⎛⎫-⎪⎝⎭（或52m m -） 三、解答题（本大题共7题，满分78分） 19．（本题满分10分）22()2+33132⨯原式＝……………………………………………………………………（4分）3+3=……………………………………………………………………………（4分）＝23………………………………………………………………………………（2分）20．（本题满分10分）解：（1）经配方得：2322y x =--+1（）…………………………………………………（2分）∴顶点坐标为（3，2），对称轴为直线3x =，………………………………（2分，2分） （2）画图正确．…………………………………………………………………………（4分）21．（本题满分10分） 证明：∵AB =AC ，∴B C ∠=∠．……………………………………………………………………（3分） ∵BAE BAD DAE ∠=∠+∠，CDA BAD B ∠=∠+∠， 又DAE B ∠=∠，∴BAE CDA ∠=∠．……………………………………………………………（5分） 又∵B C ∠=∠，∴△ABE ∽△DCA ．……………………………………………………………（2分）22．（本题满分10分，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分4分）解：（1）作AE ⊥BC 于点E ， ……………………………………………………（1分）设AE x =,在Rt △ACE 中，4cot 3CE AE ACE x =⋅∠=，……………………………………（1分）在Rt △ABE 中， cot BE AE ABE x =⋅∠=，……………………………………（1分） ∵BC=CE-BE ，423x x -= 解得6x =．………………………………………………………（2分） 答：点A 与地面的高度为6米．……………………………………………………（1分） （2）结论：货物Ⅱ不用挪走． ………………………………………………………（1分）在Rt △ADE 中，3cot 6233ED AE ADE =⋅∠=⨯= ……………………（1分） c o t 8C E A E A C E =⋅∠=…………………………………………………………（1分） ∴CD=CE+ED =82311.46+≈1411.46 2.542-=>……………………………………………………………（1分） ∴货物Ⅱ不用挪走．23．（本题满分12分，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分6分） （1）证明：∵EM 是线段BD 的垂直平分线， ∴ED =EB ，∴∠EDB =∠B ．∵DE 平分CDB ∠， ∴∠CDE =∠EDB ．∴∠CDE =∠B ．……………………………………………………………（2分） 又∵∠DCE =∠BCD ， ∴△CDE ∽△CBD ．………………………………（1分）∴CD DEBC BD=， 又由ED =EB ， 得CD BEBC BD=……………………………………………（2分） （2）解：∵90ACB ∠=°，410cos 5AB B ==， ∴68AC BC ==，．…………………………………………………………（1分）∵EM 是线段BD 的垂直平分线， ∴DM =BM ∴2CD BE BEBC BD BM==．………………………………………………………（2分） ∴82CD BE BM =， 即4BECD BM = …………………………………………（1分） 4cos 5BM B BE ==∴5454CD =⨯=．……………………………………（2分）24．（本题满分12分，第（1）小题满分3分，第（2）小题满分4分，第（3）小题满分5分）解：（1）已知抛物线2y x bx c =++经过(0,3)(1,0)A B ，，∴3,01.c b c =⎧⎨=++⎩ …………………………………………………………………（2分）解得4,3.b c =-⎧⎨=⎩……………………………………………………………………（1分）∴b 、c 的值分别为-4，3． （2）(0,3)A ，(1,0)B ，∴31OA OB ==，，可得旋转后C 点的坐标为(41)，．……………………………………………………（2分）当4x =时，由243y x x =-+得3y =， 可知抛物线243y x x =-+过点(43)，．∴将原抛物线沿y 轴向下平移2个单位后过点C ．∴平移后的抛物线解析式为：241y x x =-+．…………………………………（2分） （3）点P 在241y x x =-+上，可设P 点坐标为2000(41)x x x -+，，将241y x x =-+配方得()223y x =--，∴其对称轴为2x =．……………（1分）113PMM PAA S S =△△ 112MM AA == ∴02x <．①当002x <<时，113PMM PAA S S =△△，∴()0011223222x x ⨯⨯-=⨯⨯⨯， ∴012x = , 此时2003414x x -+=-．∴P 点的坐标为13()24-，．…………………………………………………………（2分）②当00x <时，同理可得()00112232()22x x ⨯⨯-=⨯⨯⨯-， ∴01x =- , 此时200416x x -+=．∴点P 的坐标为(16)-，．……………………………………………………………（2分）综上述，可知：点P 的坐标为13()24-，或(16)-，．25．（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分，第（3）小题满分4分）解：（1）过点A 作AH ⊥BD 于点H ,∵AD ∥BC ，AB ＝AD =5∴∠ABD =∠ADB=∠DBC , BH ＝HD ……………………………………………（1分） 在Rt △ABH 中，∵3tan tan 4ABD DBC ∠=∠=， ∴4cos 5BH ABD AB ∠==…………………………………………………………(1分) ∴BH=DH=4， ……………………………………………………………………（1分） ∴BD =8 ……………………………………………………………………………（1分）（2）∵EF∥DC∴8FC DE x BF BE x-==，∵△EFC与△EFB同高，∴8EFCEFBS FC xS BF x∆∆-==…………………………………（2分）由EF∥DC可得：△FEB∽△CDB∴222()()864FEBCDBS BE x xS BD∆∆===……………………………………………………（1分）∴2281164648EFC EFC EFBBDC EFB BDCS S S x xy x xS S S x∆∆∆∆∆∆-==⋅=⋅=-+，(08)x<<……（2分，1分）（3）∵AD∥BC ∴∠ADB=∠DBC,∵△BDF与△BDA相似①∠BFD=∠A，可证四边形ABFD是平行四边形∴BF=AD=5．…………………………………………………………………………（2分）②∠BFD=∠ABD，∴DB=DF．可求得：BF=645．……………………………………………………………………（2分）综上所述，当△BDF与△BDA相似时，BF的长为5或645．。