2020年上海闵行初三数学一模试卷及答案
上海市闵行区2019-2020学年中考数学一模考试卷含解析
上海市闵行区2019-2020学年中考数学一模考试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．研究表明某流感病毒细胞的直径约为0.00000156m，用科学记数法表示这个数是（）A．0.156×10－5B．0.156×105C．1.56×10－6D．1.56×1062．在平面直角坐标系中，二次函数y=a（x–h）2+k（a<0）的图象可能是A．B．C．D．3．若()292mm--=1，则符合条件的m有（）A．1个B．2个C．3个D．4个4．要整齐地栽一行树，只要确定两端的树坑的位置，就能确定这一行树坑所在的直线，这里用到的数学知识是（）A．两点之间的所有连线中，线段最短B．经过两点有一条直线，并且只有一条直线C．直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短D．经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直5．人的大脑每天能记录大约8 600万条信息，数据8 600用科学记数法表示为（）A．0.86×104B．8.6×102C．8.6×103D．86×1026．如图，四边形ABCD是正方形，点P，Q分别在边AB，BC的延长线上且BP=CQ，连接AQ，DP 交于点O，并分别与边CD，BC交于点F，E，连接AE，下列结论：①AQ⊥DP；②△OAE∽△OPA；③当正方形的边长为3，BP＝1时，cos∠DFO=35，其中正确结论的个数是( )A．0 B．1 C．2 D．37．在数轴上表示不等式组10240xx+≥⎧⎨-<⎩的解集，正确的是（）A．B．C．D．8．9的值是()A．±3 B．3 C．9 D．819．如图在△ABC中，AC＝BC，过点C作CD⊥AB，垂足为点D，过D作DE∥BC交AC于点E，若BD＝6，AE＝5，则sin∠EDC的值为（）A．35B．725C．45D．242510．在一组数据：1，2，4，5中加入一个新数3之后，新数据与原数据相比，下列说法正确的是（）A．中位数不变，方差不变B．中位数变大，方差不变C．中位数变小，方差变小D．中位数不变，方差变小11．如图，直线AB∥CD，AE平分∠CAB，AE与CD相交于点E，∠ACD=40°，则∠DEA=（）A．40°B．110°C．70°D．140°12．已知一个多边形的每一个外角都相等，一个内角与一个外角的度数之比是3：1，这个多边形的边数是()A．8 B．9 C．10 D．12二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．从长度分别是3，4，5的三条线段中随机抽出一条，与长为2，3的两条线段首尾顺次相接，能构成三角形的概率是_______．14．方程3x2﹣5x+2=0的一个根是a，则6a2﹣10a+2=_____．15．如图，△ABC中，AD是中线，AE是角平分线，CF⊥AE于F，AB=10，AC=6，则DF的长为__．16．如图，在平面直角坐标系中，已知A （﹣2，1），B （1，0），将线段AB 绕着点B 顺时针旋转90°得到线段BA′，则A′的坐标为_____．17．如图放置的正方形ABCD ，正方形11DCC D ，正方形1122D C C D ，…都是边长为3的正方形，点A 在y 轴上，点12,,,B C C C ，…，都在直线33y x 上，则D 的坐标是__________，n D 的坐标是______.18．图，A ，B 是反比例函数y=k x图象上的两点，过点A 作AC ⊥y 轴，垂足为C ，AC 交OB 于点D ．若D 为OB 的中点，△AOD 的面积为3，则k 的值为________．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）为落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念,某市政部门招标一工程队负责在山脚下修建一座水库的土方施工任务．该工程队有,A B 两种型号的挖掘机,已知3台A 型和5台B 型挖掘机同时施工一小时挖土165立方米；4台A 型和7台B 型挖掘机同时施工一小时挖土225立方米．每台A 型挖掘机一小时的施工费用为300元,每台B 型挖掘机一小时的施工费用为180元．分别求每台A 型, B 型挖掘机一小时挖土多少立方米?若不同数量的A 型和B 型挖掘机共12台同时施工4小时,至少完成1080立方米的挖土量,且总费用不超过12960元．问施工时有哪几种调配方案,并指出哪种调配方案的施工费用最低,最低费用是多少元?20．（6分）如图，已知AB 是⊙O 上的点，C 是⊙O 上的点，点D 在AB 的延长线上，∠BCD=∠BAC ．求证：CD 是⊙O 的切线；若∠D=30°，BD=2，求图中阴影部分的面积．21．（6分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，BF平分∠ABC交AD于点E，交AC 于点F，求证：AE＝AF．22．（8分）某纺织厂生产的产品,原来每件出厂价为80元,成本为60元.由于在生产过程中平均每生产一件产品有0.53m的污水排出,现在为了保护环境,需对污水净化处理后再排出.已知每处理13m污水的费用为2元,且每月排污设备损耗为8000元.设现在该厂每月生产产品x件,每月纯利润y元：（1）求出y与x的函数关系式.(纯利润=总收入-总支出)（2）当y=106000时,求该厂在这个月中生产产品的件数.23．（8分）(1)计算：3tan30°+|2﹣3|+（13）﹣1﹣（3﹣π）0﹣（﹣1）2018.(2)先化简，再求值：（x﹣22xy yx-）÷222x yx xy-+，其中x=2，y=2﹣1.24．（10分）如图，一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数ayx=的图象交于点A（4，3），与y轴的负半轴交于点B，连接OA，且OA＝OB．（1）求一次函数和反比例函数的表达式；（2）过点P（k，0）作平行于y轴的直线，交一次函数y＝2x＋n于点M，交反比例函数ayx=的图象于点N，若NM＝NP，求n的值．25．（10分）已知一次函数y＝x+1与抛物线y＝x2+bx+c交A（m，9），B（0，1）两点，点C在抛物线上且横坐标为1．（1）写出抛物线的函数表达式；（2）判断△ABC的形状，并证明你的结论；（3）平面内是否存在点Q在直线AB、BC、AC距离相等，如果存在，请直接写出所有符合条件的Q的坐标，如果不存在，说说你的理由．26．（12分）为了维护国家主权和海洋权利，海监部门对我国领海实现了常态化巡航管理，如图，正在执行巡航任务的海监船以每小时50海里的速度向正东方航行，在A处测得灯塔P在北偏东60°方向上，继续航行1小时到达B处，此时测得灯塔P在北偏东30°方向上．求∠APB的度数；已知在灯塔P的周围25海里内有暗礁，问海监船继续向正东方向航行是否安全？．27．（12分）在东营市中小学标准化建设工程中，某学校计划购进一批电脑和电子白板，经过市场考察得知，购买1台电脑和2台电子白板需要3.5万元，购买2台电脑和1台电子白板需要2.5万元.求每台电脑、每台电子白板各多少万元?根据学校实际，需购进电脑和电子白板共30台，总费用不超过30万元，但不低于28万元，请你通过计算求出有几种购买方案，哪种方案费用最低.参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．C【解析】解：，故选C.2．B【解析】【分析】根据题目给出的二次函数的表达式，可知二次函数的开口向下，即可得出答案.【详解】Q二次函数y=a（x﹣h）2+k（a＜0）∴二次函数开口向下.即B成立.故答案选:B.【点睛】本题考查的是简单运用二次函数性质，解题的关键是熟练掌握二次函数性质.3．C【解析】【分析】根据有理数的乘方及解一元二次方程-直接开平方法得出两个有关m的等式，即可得出.【详解】Q()29-=1m-2m∴m2-9=0或m-2= ±1即m= ±3或m=3,m=1∴m有3个值故答案选C.【点睛】本题考查的知识点是有理数的乘方及解一元二次方程-直接开平方法，解题的关键是熟练的掌握有理数的乘方及解一元二次方程-直接开平方法.4．B【解析】【分析】本题要根据过平面上的两点有且只有一条直线的性质解答．【详解】根据两点确定一条直线．故选：B．【点睛】本题考查了“两点确定一条直线”的公理，难度适中．5．C【分析】科学记数法就是将一个数字表示成a×10的n 次幂的形式，其中1≤|a|＜10，n 表示整数．n 为整数位数减1，即从左边第一位开始，在首位非零的后面加上小数点，再乘以10的n 次幂．【详解】数据8 600用科学记数法表示为8.6×103 故选C ．【点睛】用科学记数法表示一个数的方法是（1）确定a ：a 是只有一位整数的数；（2）确定n ：当原数的绝对值≥10时，n 为正整数，n 等于原数的整数位数减1；当原数的绝对值＜1时，n 为负整数，n 的绝对值等于原数中左起第一个非零数前零的个数（含整数位数上的零）．6．C【解析】【分析】由四边形ABCD 是正方形，得到AD=BC,90DAB ABC ∠=∠=︒，根据全等三角形的性质得到∠P=∠Q ，根据余角的性质得到AQ ⊥DP ；故①正确；根据勾股定理求出5,AQ ==,DFO BAQ ∠=∠直接用余弦可求出．【详解】详解：∵四边形ABCD 是正方形，∴AD=BC,90DAB ABC ∠=∠=o ，∵BP=CQ ，∴AP=BQ ， 在△DAP 与△ABQ 中, AD AB DAP ABQ AP BQ =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DAP ≌△ABQ ，∴∠P=∠Q ，∵90Q QAB ∠+∠=o，∴90P QAB ∠+∠=o ，∴90AOP ∠=o ，∴AQ ⊥DP ；②无法证明，故错误．∵BP=1，AB=3，∴4BQ AP ==，5,AQ ==,DFO BAQ ∠=∠ ∴3cos cos .5AB DFO BAQ AQ ∠=∠== 故③正确， 故选C ．【点睛】考查正方形的性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理，锐角三角函数等，综合性比较强，对学生要求较高．7．C【解析】【分析】解不等式组，再将解集在数轴上正确表示出来即可【详解】解1＋x≥0得x≥﹣1，解2x －4＜0得x ＜2，所以不等式的解集为﹣1≤x ＜2，故选C.【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组的求解，求出题中不等式组的解集是解题的关键.8．C【解析】3=3故选C.9．A【解析】【分析】由等腰三角形三线合一的性质得出AD=DB=6，∠BDC=∠ADC=90°，由AE=5，DE ∥BC 知AC=2AE=10，∠EDC=∠BCD ，再根据正弦函数的概念求解可得．【详解】∵△ABC 中，AC ＝BC ，过点C 作CD ⊥AB ，∴AD＝DB＝6，∠BDC＝∠ADC＝90°，∵AE＝5，DE∥BC，∴AC＝2AE＝10，∠EDC＝∠BCD，∴sin∠EDC＝sin∠BCD＝63105 BDBC==，故选：A．【点睛】本题主要考查解直角三角形，解题的关键是熟练掌握等腰三角形三线合一的性质和平行线的性质及直角三角形的性质等知识点．10．D【解析】【分析】根据中位数和方差的定义分别计算出原数据和新数据的中位数和方差，从而做出判断．【详解】∵原数据的中位数是=3，平均数为=3，∴方差为×[（1-3）2+（2-3）2+（4-3）2+（5-3）2]=；∵新数据的中位数为3，平均数为=3，∴方差为×[（1-3）2+（2-3）2+（3-3）2+（4-3）2+（5-3）2]=2；所以新数据与原数据相比中位数不变，方差变小，故选：D．【点睛】本题考查了中位数和方差，解题的关键是掌握中位数和方差的定义．11．B【解析】【分析】先由平行线性质得出∠ACD与∠BAC互补，并根据已知∠ACD=40°计算出∠BAC的度数，再根据角平分线性质求出∠BAE的度数，进而得到∠DEA的度数．【详解】∵AB∥CD，∴∠ACD+∠BAC=180°，∵∠ACD=40°，∴∠BAC=180°﹣40°=140°，∵AE平分∠CAB，∴∠BAE=12∠BAC=12×140°=70°，∴∠DEA=180°﹣∠BAE=110°，故选B．【点睛】本题考查了平行线的性质和角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握两直线平行，同旁内角互补．12．A【解析】试题分析：设这个多边形的外角为x°，则内角为3x°，根据多边形的相邻的内角与外角互补可的方程x+3x=180，解可得外角的度数，再用外角和除以外角度数即可得到边数．解：设这个多边形的外角为x°，则内角为3x°，由题意得：x+3x=180，解得x=45，这个多边形的边数：360°÷45°=8，故选A．考点：多边形内角与外角．二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．2 3【解析】共有3种等可能的结果，它们是：3，2，3；4, 2, 3；5, 2, 3；其中三条线段能够成三角形的结果为2，所以三条线段能构成三角形的概率=23.故答案为23.14．-1【解析】【分析】根据一元二次方程的解的定义，将x=a代入方程3x1-5x+1=0，列出关于a的一元二次方程，通过变形求得3a1-5a的值后，将其整体代入所求的代数式并求值即可．【详解】解：∵方程3x1-5x+1=0的一个根是a，∴3a1-5a+1=0，∴3a1-5a=-1，∴6a1-10a+1=1（3a1-5a）+1=-1×1+1=-1．故答案是：-1．【点睛】此题主要考查了方程解的定义．此类题型的特点是，利用方程解的定义找到相等关系，再把所求的代数式化简后整理出所找到的相等关系的形式，再把此相等关系整体代入所求代数式，即可求出代数式的值．15．1【解析】【详解】试题分析：如图，延长CF交AB于点G，∵在△AFG和△AFC中，∠GAF=∠CAF，AF=AF，∠AFG=∠AFC，∴△AFG≌△AFC（ASA）．∴AC=AG，GF=CF．又∵点D是BC中点，∴DF是△CBG的中位线．∴DF=12BG=12（AB﹣AG）=12（AB﹣AC）=1．16．(2，3)【解析】【分析】作AC⊥x轴于C，作A′C′⊥x轴，垂足分别为C、C′，证明△ABC≌△BA′C′，可得OC′=OB+BC′=1+1=2，A′C′=BC=3，可得结果．【详解】如图，作AC⊥x轴于C，作A′C′⊥x轴，垂足分别为C、C′，∵点A、B的坐标分别为（-2，1）、（1，0），∴AC=2，BC=2+1=3，∵∠ABA′=90°，∴ABC+∠A′BC′=90°，∵∠BAC+∠ABC=90°，∴∠BAC=∠A′BC′，∵BA=BA′，∠ACB=∠BC′A′，∴△ABC≌△BA′C′，∴OC′=OB+BC′=1+1=2，A′C′=BC=3，∴点A′的坐标为（2，3）．故答案为（2，3）．【点睛】此题考查旋转的性质，三角形全等的判定和性质，点的坐标的确定．解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形．17．33,2 2⎛⎫+⎪⎪⎝⎭3333,222n n⎛⎫+++⎪⎪⎝⎭【解析】【分析】先求出OA的长度，然后利用含30°的直角三角形的性质得到点D的坐标，探索规律，从而得到nD的坐标即可．【详解】分别过点12,,D D D L作y轴的垂线交y轴于点12,,E E E L，∵点B在33y x=上设3(,)3B mtan333AOBm∴∠==∴60AOB∠=︒3AB=Q2sin 60AB OA ∴===︒ 90AOB OAB ∠+∠=︒Q30OAB ∴∠=︒90,90EAD OAB EAD EDA ∠+∠=︒∠+∠=︒Q30EDA OAB ∴∠=∠=︒同理，1122,n n AD E AD E AD E V V L V 都是含30°的直角三角形∵32ED AD ==,12AE AD ==22OE OA AE ∴=+=+∴3(,2)22D +同理，点n D的横坐标为31)(1)2n n n x E D AD n n ===+=+纵坐标为1122(1)21)22n n AO AE AD n n +=+=++=+ 故点n D的坐标为3322222n n ⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭故答案为：3,222⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭；33,22222n n ⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭． 【点睛】本题主要考查含30°的直角三角形的性质，找到点的坐标规律是解题的关键．18．1．【解析】先设点D 坐标为（a ，b ），得出点B 的坐标为（2a ，2b ），A 的坐标为（4a ，b ），再根据△AOD 的面积为3，列出关系式求得k 的值．解：设点D 坐标为（a ，b ），∵点D 为OB 的中点，∴点B 的坐标为（2a ，2b ），∴k=4ab ，又∵AC ⊥y 轴，A 在反比例函数图象上，∴A 的坐标为（4a ，b ），∴AD=4a ﹣a=3a ，∵△AOD 的面积为3， ∴×3a×b=3，∴ab=2，∴k=4ab=4×2=1．故答案为1“点睛”本题主要考查了反比例函数系数k 的几何意义，以及运用待定系数法求反比例函数解析式，根据△AOD 的面积为1列出关系式是解题的关键．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（1）每台A 型挖掘机一小时挖土30立方米,每台B 型挖据机一小时挖土15立方米；（2）共有三种调配方案．方案一: A 型挖据机7台,B 型挖掘机5台；方案二: A 型挖掘机8台,B 型挖掘机4台；方案三: A 型挖掘机9台,B 型挖掘机3台．当A 型挖掘机7台, B 型挖掘机5台的施工费用最低,最低费用为12000元．【解析】分析：（1）根据题意列出方程组即可；（2）利用总费用不超过12960元求出方案数量，再利用一次函数增减性求出最低费用．详解：(1)设每台A 型,B 型挖掘机一小时分别挖土x 立方米和y 立方米,根据题意,得35165,47225,x y x y +=⎧⎨+=⎩ 解得30,15.x y =⎧⎨=⎩所以,每台A 型挖掘机一小时挖土30立方米,每台B 型挖据机一小时挖土15立方米．(2)设A 型挖掘机有m 台,总费用为W 元,则B 型挖据机有()12m -台．根据题意,得43004180W m =⨯+⨯ ()124808640m m -=+，因为()()430415121080430041801212960m m m m ⎧⨯+⨯-≥⎪⎨⨯+⨯-≤⎪⎩，解得69m m ≥⎧⎨≤⎩， 又因为12m m ≠-,解得6m ≠,所以79m ≤≤．所以,共有三种调配方案．方案一:当7m =时,125m -= ,即A 型挖据机7台,B 型挖掘机5台；方案二:当8m =时,124m -= ,即A 型挖掘机8台,B 型挖掘机4台；方案三:当9m =时,123m -= ,即A 型挖掘机9台,B 型挖掘机3台．4800Q >,由一次函数的性质可知,W 随m 的减小而减小,当7m =时，=4807+8640=12000W ⨯最小，此时A 型挖掘机7台, B 型挖掘机5台的施工费用最低,最低费用为12000元．点睛：本题考查了二元一次方程组和一次函数增减性，解答时先根据题意确定自变量取值范围，再应用一次函数性质解答问题．20．（1）证明见解析；（2）阴影部分面积为43π【解析】【分析】（1）连接OC ，易证∠BCD=∠OCA ，由于AB 是直径，所以∠ACB=90°，所以∠OCA+OCB=∠BCD+∠OCB=90°，CD 是⊙O 的切线；（2）设⊙O 的半径为r ，AB=2r ，由于∠D=30°，∠OCD=90°，所以可求出r=2，∠AOC=120°，BC=2，由勾股定理可知：△OAC 的面积以及扇形OAC 的面积即可求出阴影部分面积.【详解】（1）如图，连接OC ，∵OA=OC ，∴∠BAC=∠OCA ，∵∠BCD=∠BAC ，∴∠BCD=∠OCA ，∵AB 是直径，∴∠ACB=90°，∴∠OCA+OCB=∠BCD+∠OCB=90°∴∠OCD=90°∵OC 是半径，∴CD 是⊙O 的切线（2）设⊙O 的半径为r ，∴AB=2r ，∵∠D=30°，∠OCD=90°，∴OD=2r ，∠COB=60°∴r+2=2r ，∴r=2，∠AOC=120°∴BC=2，∴由勾股定理可知：AC=23，易求S△AOC=12×23×1=3S扇形OAC=12044 3603ππ⨯=，∴阴影部分面积为43 3π-.【点睛】本题考查圆的综合问题，涉及圆的切线判定，勾股定理，含30度的直角三角形的性质，等边三角形的性质等知识，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.21．见解析【解析】【分析】根据角平分线的定义可得∠ABF=∠CBF，由已知条件可得∠ABF+∠AFB=∠CBF+∠BED=90°，根据余角的性质可得∠AFB=∠BED，即可求得∠AFE=∠AEF，由等腰三角形的判定即可证得结论．【详解】∵BF 平分∠ABC，∴∠ABF=∠CBF，∵∠BAC=90°，AD⊥BC，∴∠ABF+∠AFB=∠CBF+∠BED=90°，∴∠AFB=∠BED，∵∠AEF=∠BED，∴∠AFE=∠AEF，∴AE=AF．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定、直角三角形的性质，根据余角的性质证得∠AFB=∠BED是解题的关键．22．（1）y=19x-1(x>0且x是整数) （2）6000件【解析】【分析】（1）本题的等量关系是：纯利润=产品的出厂单价×产品的数量-产品的成本价×产品的数量-生产过程中的污水处理费-排污设备的损耗，可根据此等量关系来列出总利润与产品数量之间的函数关系式；（2）根据（1）中得出的式子，将y的值代入其中，求出x即可．【详解】（1）依题意得：y=80x-60x-0.5x•2-1，化简得：y=19x-1，∴所求的函数关系式为y=19x-1．（x＞0且x是整数）（2）当y=106000时，代入得：106000=19x-1，解得x=6000，∴这个月该厂生产产品6000件．【点睛】本题是利用一次函数的有关知识解答实际应用题，可根据题意找出等量关系，列出函数式进行求解．23．(1)3；(2) x﹣y，1．【解析】【分析】（1）根据特殊角的三角函数值、绝对值、负整数指数幂、零指数幂可以解答本题；（2）根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将x、y的值代入化简后的式子即可解答本题．【详解】（1）3tan30°（13）-1-（3-π）0-（-1）2018+3-1-1，=，=3；（2）（x﹣22xy yx-）÷222x yx xy-+，=()()() 222•x x yx xy yx x y x y+-++-，=()()()()2•x y x x yx x y x y-++-=x-y，当，-1时，原式+1=1．【点睛】本题考查特殊角的三角函数值、绝对值、负整数指数幂、零指数幂、分式的化简求值，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法．24．20（1）y＝2x－5, y=12x；（2）n＝－4或n＝1【解析】【分析】（1）由点A坐标知OA=OB=5，可得点B的坐标，由A点坐标可得反比例函数解析式，由A、B两点坐标可得直线AB的解析式；（2）由k=2知N（2，6），根据NP=NM得点M坐标为（2，0）或（2，12），分别代入y=2x-n可得答案．【详解】解：（1）∵点A的坐标为（4，3），∴OA=5，∵OA=OB，∴OB=5，∵点B在y轴的负半轴上，∴点B的坐标为（0，-5），将点A（4，3）代入反比例函数解析式y=ax中，∴反比例函数解析式为y=12x，将点A（4，3）、B（0，-5）代入y=kx+b中，得：k=2、b=-5，∴一次函数解析式为y=2x-5；（2）由（1）知k=2，则点N的坐标为（2，6），∵NP=NM，∴点M坐标为（2，0）或（2，12），分别代入y=2x-n可得：n=-4或n=1．【点睛】本题主要考查直线和双曲线的交点问题，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及分类讨论思想的运用．25．（1）y＝x2﹣7x+1；（2）△ABC为直角三角形．理由见解析；（3）符合条件的Q的坐标为（4，1），（24，1），（0，﹣7），（0，13）．【解析】【分析】（1）先利用一次函数解析式得到A（8，9），然后利用待定系数法求抛物线解析式；（2）先利用抛物线解析式确定C（1，﹣5），作AM⊥y轴于M，CN⊥y轴于N，如图，证明△ABM和△BNC都是等腰直角三角形得到∠MBA＝45°，∠NBC＝45°，AB＝，BN＝，从而得到∠ABC ＝90°，所以△ABC为直角三角形；（3）利用勾股定理计算出AC＝，根据直角三角形内切圆半径的计算公式得到Rt△ABC的内切圆的半径＝，设△ABC的内心为I，过A作AI的垂线交直线BI于P，交y轴于Q，AI交y轴于G，如图，则AI、BI为角平分线，BI⊥y轴，PQ为△ABC的外角平分线，易得y轴为△ABC的外角平分线，根据角平分线的性质可判断点P、I、Q、G到直线AB、BC、AC距离相等，由于BI×＝4，则I（4，1），接着利用待定系数法求出直线AI的解析式为y＝2x﹣7，直线AP的解析式为y＝﹣12x+13，然后分别求出P、Q、G的坐标即可．【详解】解：（1）把A（m，9）代入y＝x+1得m+1＝9，解得m＝8，则A（8，9），把A（8，9），B（0，1）代入y＝x2+bx+c得64+8+91b cc=⎧⎨=⎩，解得-71bc=⎧⎨=⎩，∴抛物线解析式为y＝x2﹣7x+1；故答案为y＝x2﹣7x+1；（2）△ABC为直角三角形．理由如下：当x＝1时，y＝x2﹣7x+1＝31﹣42+1＝﹣5，则C（1，﹣5），作AM⊥y轴于M，CN⊥y轴于N，如图，∵B（0，1），A（8，9），C（1，﹣5），∴BM＝AM＝8，BN＝CN＝1，∴△ABM和△BNC都是等腰直角三角形，∴∠MBA＝45°，∠NBC＝45°，AB＝，BN＝，∴∠ABC＝90°，∴△ABC为直角三角形；（3）∵AB＝BN＝，∴AC＝，∴Rt△ABC设△ABC的内心为I，过A作AI的垂线交直线BI于P，交y轴于Q，AI交y轴于G，如图，∵I为△ABC的内心，∴AI、BI为角平分线，∴BI⊥y轴，而AI⊥PQ，∴PQ为△ABC的外角平分线，易得y轴为△ABC的外角平分线，∴点I、P、Q、G为△ABC的内角平分线或外角平分线的交点，它们到直线AB、BC、AC距离相等，BI×＝4，而BI⊥y轴，∴I（4，1），设直线AI的解析式为y＝kx+n，则41 89k nk n+=⎧⎨+=⎩，解得27 kn=⎧⎨=-⎩，∴直线AI的解析式为y＝2x﹣7，当x＝0时，y＝2x﹣7＝﹣7，则G（0，﹣7）；设直线AP的解析式为y＝﹣12x+p，把A（8，9）代入得﹣4+n＝9，解得n＝13，∴直线AP的解析式为y＝﹣12x+13，当y＝1时，﹣12x+13＝1，则P（24，1）当x＝0时，y＝﹣12x+13＝13，则Q（0，13），综上所述，符合条件的Q的坐标为（4，1），（24，1），（0，﹣7），（0，13）．【点睛】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、角平分线的性质和三角形内心的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质是解题的关键．26．（1）30°；（2）海监船继续向正东方向航行是安全的．【解析】【分析】（1）根据直角的性质和三角形的内角和求解；（2）过点P作PH⊥AB于点H，根据解直角三角形，求出点P到AB的距离，然后比较即可.【详解】解：（1）在△APB中，∠PAB=30°，∠ABP=120°∴∠APB=180°-30°-120°=30°（2）过点P作PH⊥AB于点H在Rt△APH中，∠PAH=30°，3PH在Rt△BPH中，∠PBH=30°，BH=33PH∴AB=AH-BH=33PH=50解得325，因此不会进入暗礁区，继续航行仍然安全. 考点：解直角三角形27．（1）每台电脑0.5万元，每台电子白板1.5万元（2）见解析【解析】解：（1）设每台电脑x 万元，每台电子白板y 万元，根据题意得：x 2y 3.5{2x y 2.5+=+=，解得：x 0.5{y 1.5==。
2020年上海市中考数学一模试卷及解析
2020年上海市中考一模试卷数学试卷一、选择题（本大题共6小题，共24分）1.在Rt△ABC中，∠C=90°，如果BC=5，AB=13，那么sin A的值为()A. 513B. 512C. 1213D. 1252.下列函数中，是二次函数的是()A. y=2x−1B. y=2x2C. y=x2+1D. y=(x−1)2−x23.抛物线y=x2−4x+5的顶点坐标是()A. (−2,1)B. (2,1)C. (−2,−1)D. (2,−1)4.如图，点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，下列各比例式不一定能推得DE//BC的是()A. ADBD =AECEB. ADAB=DEBCC. ABBD =ACCED. ADAB=AEAC5.如图，传送带和地面所成斜坡的坡度为1：3，它把物体从地面点A处送到离地面3米高的B处，则物体从A到B所经过的路程为()A. 3√10米B. 2√10米C. √10米D. 9米6.下列说法正确的是()A. a⃗+(−a⃗ )=0B. 如果a⃗和b⃗ 都是单位向量，那么a⃗=b⃗C. 如果|a⃗|=|b⃗ |，那么a⃗=b⃗D. 如果a⃗=−12b⃗ (b⃗ 为非零向量)，那么a⃗//b⃗二、填空题（本大题共12小题，共48分）7.已知x=3y，那么x+yx+2y=______．8.已知线段AB=2cm，P是线段AB的黄金分割点，PA>PB，那么线段PA的长度等于______cm．9.如果两个相似三角形对应边之比是2：3，那么它们的对应中线之比是______．10.如果二次函数y=x2−2x+k−3的图象经过原点，那么k的值是______．11.将抛物线y=−3x2向下平移4个单位，那么平移后所得新抛物线的表达式为______．12.如果抛物线经过点A(−1,0)和点B(5,0)，那么这条抛物线的对称轴是直线______．13.二次函数y=−2(x+1)2的图象在对称轴左侧的部分是______.(填“上升”或“下降”)14.如图，在△ABC中，AE是BC边上的中线，点G是△ABC的重心，过点G作GF//AB交BC于点F，那么EFEB=______．15.如图，已知AB//CD//EF，AD=6，DF=3，BC=7，那么线段CE的长度等于______．16.如图，将△ABC沿射线BC方向平移得到△DEF，边DE与AC相交于点G，如果BC=6cm，△ABC的面积等于9cm2，△GEC的面积等于4cm2，那么CF=______cm．17.用“描点法”画二次函数y=ax2+bx+c的图象时，列出了如下的表格：x…01234…y=ax2+bx+c…−3010−3…那么当x=5时，该二次函数的值为．18.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=4，点D、E分别是边BC、AB的中点，将△BDE绕着点B旋转，点D、E旋转后的对应点分别为点、，当直线经过点A时，线段的长为______．三、计算题（本大题共1小题，共10分）19.为了测量大楼顶上(居中)避雷针BC的长度，在地面上点A处测得避雷针底部B和顶部C的仰角分别为55°58′和57°，已知点A与楼底中间部位D的距离约为80米，求避雷针BC的长度(参考数据：，，，sin57°≈0.84，tan57°≈1.54)四、解答题（本大题共6小题，共68分） 20. 计算：tan45°−cos60°2sin30∘+cot 260°21. 如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在边AD 上，且AE =2ED ，联结BE 并延长交边CD 的延长线于点F ，设BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，BC⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ． (1)用a ⃗ ，b ⃗ 表示BE⃗⃗⃗⃗⃗ ，DF ⃗⃗⃗⃗⃗ ； (2)先化简，在求作：(−32a⃗ +b ⃗ )+2(a ⃗ −b ⃗ )(不要求写作法，但要写明结论)．22. 如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，且AD =3，AC =6，AE =4，AB =8．(1)如果BC =7，求线段DE 的长；(2)设△DEC 的面积为a ，求△BDC 的面积(用a 的代数式表示)．23.如图，已知△ABC和△ADE，点D在BC边上，DA=DC，∠ADE=∠B，边DE与AC相交于点F．(1)求证：AB⋅AD=DF⋅BC；(2)如果AE//BC，求证：BDDC =DFFE．24.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=−x2+bx+c与x轴的两个交点分别为A(−1,0)，B(3,0)，与y轴相交于点C．(1)求抛物线的表达式；(2)联结AC、BC，求∠ACB的正切值；(3)点P在抛物线上，且∠PAB=∠ACB，求点P的坐标．25.在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=4，AC=3，D为AB边上一动点(点D与点A、B不重合)，联结CD，过点D作DE⊥DC交边BC于点E．(1)如图，当ED=EB时，求AD的长；(2)设AD=x，BE=y，求y关于x的函数解析式并写出函数定义域；(3)把△BCD沿直线CD翻折得，联结，当是等腰三角形时，直接写出AD的长．答案和解析1.【答案】A【解析】解：如图：在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=5，AB=13，sinA=BCAB =513．故选：A．本题可画出三角形，结合图形运用三角函数定义求解．此题考查了三角函数的定义．可借助图形分析，确保正确率．2.【答案】C【解析】解：二次函数的标准形式为y=ax2+bx+c(a≠0)，∴y=x2+1是二次函数，故选：C．根据二次函数的标准形式y=ax2+bx+c(a≠0)，从选项中直接可以求解．本题考查二次函数的定义；熟练掌握二次函数的定义是解题的关键．3.【答案】B【解析】解：∵y=x2−4x+5=(x−2)2+1，∴顶点坐标为(2,1)，故选：B．利用配方法化成顶点式求解即可．本题考查了二次函数的性质，化成顶点解析式是求抛物线的顶点坐标的一种方法．4.【答案】B【解析】解：∵ADBD =AECE，∴DE//BC，∵ABBD =ACEC，∴DE//BC，∵ADAB =AEAC，∴DE//BC，故选：B．根据平行线分线段成比例定理判断即可．本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．5.【答案】A【解析】解：∵BC：AC=1：3，∴3：AC=1：3，∴AC=9，∴AB=√AC2+BC2=√9+81=3√10，∴物体从A到B所经过的路程为3√10，故选：A．由题意可得物体从A到B所经过的路程为AB的长，根据坡比求出AC的长，再根据勾股定理求出AB的长即可．本题考查了轨迹，解直角三角形，知道坡比的概念是解题的关键．6.【答案】D【解析】解：A、a⃗+(−a⃗ )=0，错误应该等于零向量．B、如果a⃗和b⃗ 都是单位向量，那么a⃗=b⃗ ，错误，模相等，方向不一定相同．C、如果|a⃗|=|b⃗ |，那么a⃗=b⃗ ，错误，模相等，方向不一定相同．D、如果a⃗=−12b⃗ (b⃗ 为非零向量)，那么a⃗//b⃗ ，正确，故选：D．根据平面向量的性质一一判断即可．本题考查平面向量，平行向量等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．7.【答案】45【解析】解：∵x=3y，∴x+yx+2y =3y+y3y+2y=45．故答案为：45．直接利用已知代入原式求出答案．此题主要考查了比例的性质，正确把x代入是解题关键．8.【答案】√5−1【解析】解：根据黄金分割定义，得PA2=AB⋅PB，PA2=2(2−PA)解得PA=√5−1．故答案为√5−1．根据黄金分割的定义：把线段AB分成两条线段AP和BP(PA>PB)，且使AP是AB和BP的比例中项，叫做把线段AB黄金分割，点P叫做线段AB的黄金分割点．本题考查了黄金分割，解决本题的关键是掌握黄金分割定义．9.【答案】2：3【解析】解：∵两个相似三角形对应边之比是2：3，∴它们的对应中线之比是2：3，故答案为：2：3．根据相似三角形对应中线的比等于相似比解答．本题考查的是相似三角形的性质，相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．10.【答案】3【解析】解：∵二次函数y=x2−2x+k−3的图象经过原点，∴k−3=0，解得k=3，故答案为：3．将原点坐标(0,0)代入二次函数解析式，列方程求k即可．此题考查了二次函数图象上的点与解析式的关系，将点的坐标代入解析式是解题的关键．11.【答案】y=3x2−4【解析】解：∵抛物线y=−3x2向下平移4个单位，∴抛物线的解析式为y=−3x2−4，故答案为：y=−3x2−4．根据向下平移，纵坐标相减，即可得到答案．本题考查了二次函数的图象与几何变换，向下平移|a|个单位长度纵坐标要减|a|．12.【答案】x=2【解析】解：∵抛物线经过点A(−1,0)和点B(5,0)，∴抛物线的对称轴为直线x=−1+52=2．故答案为：x=2．根据点A，B的坐标，利用二次函数的性质可求出抛物线的对称轴，此题得解．本题考查了二次函数的性质，根据抛物线的对称性，找出抛物线的对称轴是解题的关键．13.【答案】上升【解析】解：∵−2<0，∴二次函数的开口向下，则图象在对称轴左侧的部分y随x值的增大而增大，故答案为上升．由函数解析式可知二次函数的开口向下，图象在对称轴左侧的部分y随x值的增大而增大．本题考查二次函数的性质；熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键．14.【答案】13【解析】解：∵点G是△ABC的重心，∴GE：AG=1：2，∴GE：AE=1：3，∵GF//AB，△EGF∽△EAB，∴EFEB =GEAE=13，故答案为13．由点G是△ABC的重心，可得GE：AG=1：2，则GE：AE=1：3，再GF//AB，得出结论．本题考查了三角形的重心：三角形的重心是三角形三边中线的交点；重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1.也考查了相似三角形的判定与性质．15.【答案】72【解析】解：∵AB//CD//EF，AD=6，DF=3，BC=7，∴ADDF =BCCE，即63=7CE，解得：CE=72，故答案为：72根据平行线分线段所得线段对应成比例解答即可．本题主要考查平行线分线段成比例，掌握平行线分线段所得线段对应成比例是解题的关键．16.【答案】2【解析】解：∵AB//DE，∴△ABC∽△GEC，∴S△GECS△ABC =(ECBC)2=49，∴EC6=23∴EC=4cm，∵EF=BC=6cm，∴CF=EF−EC=6−4=2cm．故答案是：2易证△ABC∽△GEC，根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方，即可求得EC的长，则CF即可求解．本题考查了平移的性质，以及相似三角形的性质，正确理解性质求得EC的长是关键．17.【答案】−8【解析】解：从表格可知：抛物线的顶点坐标为(2,1)，设y=ax2+bx+c=a(x−2)2+1，从表格可知过点(0,−3)，代入得：−3=a(0−2)2+1，解得：a=−1，即y=−(x−2)2+1，当x=5时，y=−(5−2)2+1=−8，故答案为：−8．从表格可知：抛物线的顶点坐标为(2,1)，抛物线过点(0,−3)，代入求出抛物线的解析式，再把x=5代入函数解析式，即可求出答案．本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的图象和性质，用待定系数法求二次函数的解析式等知识点，能求出函数的解析式是解此题的关键．18.【答案】2√5或65√5【解析】解：如图1，当点A在的延长线上时，∵∠C=90°，AC=2，BC=4，∴AB=√AC2+BC2=√4+16=2√5，∵点D、E分别是边BC、AB的中点，∴DE//AC，DE=12AC=1，BD=12BC=2，∴∠EDB=∠ACB=90°，∵将△BDE绕着点B旋转，，，，∵在Rt△ABC和中，，AB=BA，∴Rt△ABC≌，，且，∴四边形是平行四边形，且∠ACB=90°，∴四边形是矩形，；如图2，当点A在线段的延长线上时，，，，∵将△BDE绕着点B旋转，，∵BE′AB =12=BD′BC，∽，，，，故答案为：2√5或6√55．分两种情况：①点A在的延长线上时；②点A在线段的延长线上时；然后分类讨论，求出线段BD的长各是多少即可．本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．19.【答案】解：在Rt△ABD中，∵tan∠BAD=BDAD，∴1.48=BD80，∵AD =80米，∴BD =118.4(米)，在Rt △CAD 中，∵tan∠CAD =CDAD ， ∴1.54=CDAD ，∴CD =123.2(米)，∴BC =CD −BD =4.8(米)． 答：避雷针BC 的长度为4.8米．【解析】解直角三角形求出CD ，BD ，根据BC =CD −BD 求解即可．本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．20.【答案】解：原式=1−122×12+(√33)2=12+13=56．【解析】直接利用特殊角的三角函数值进而分别代入求出答案．此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键． 21.【答案】解：(1)∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，AB//CD ， ∵AE =2ED ，∴AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =23AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23b ⃗ ，∴BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ +23b ，∵DF ：AB =DE ：AE =1：2， ∴DF =12AB ，∴DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =12BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =12a ⃗ ．(2)(−32a ⃗ +b ⃗ )+2(a ⃗ −b ⃗ )=−32a ⃗ +b ⃗ +2a ⃗ −2b ⃗ =12a ⃗ −b⃗ ，取AB 的中点H ，连接HC ，HC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 即为所求．【解析】(1)利用三角形的法则以及平行线分线段成比例定理求解即可．(2)先化简，取AB 的中点H ，连接HC ，HC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 即为所求． 本题考查平面向量，平行向量等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．22.【答案】解：(1)∵AEAB =48=12，ADAC=36=12，∴AEAB =ADAC，且∠DAE=∠BAC，∴△ADE∽△ACB，∴ADAC =DEBC=12，∴DE=12BC=12×7=72；(2)∵AE=4，AC=6，∴EC=2=13AC，∴S△ACD=3S△DEC=3a，∵AD=3，AB=8，∴BD=5=53AD，∴S△BDC=53S△ADC=5a．【解析】(1)通过证明△ADE∽△ACB，可求解；(2)由线段的数量关系可求面积关系，即可求解．本题考查了相似三角形的判定和性质，证明△ADE∽△ACB是本题的关键．23.【答案】(1)证明：∵DA=DC，∴∠DAC=∠C，又∵∠ADE=∠B，∴△ABC∽△FDA，∴ABDF =BCAD，∴AB⋅AD=DF⋅BC；(2)证明：∵∠ADE+∠CDF=∠B+∠BAD，∠ADE=∠B，∴∠CDF=∠BAD，∵AE//BC，∴∠E=∠CDF，∠C=∠EAF，∴∠BAD=∠E，又∵∠ADE=∠B，∴△ABD∽△EDA，∴BDAD =ADAE，∵DA=DC，∴∠DAC=∠C，∴∠EAF=∠DAC，即AC平分∠DAE，作FM⊥AD于M，FN⊥AE于N，则FM=FM，∵△ADF的面积△AEF的面积=DFEF=12AD×FM12AE×FN=ADAE，∴BD DC =DFFE ．【解析】(1)由等腰三角形的性质得出∠DAC =∠C ，由已知∠ADE =∠B ，证明△ABC∽△FDA ，得出ABDF =BCAD ，即可得出结论；(2)由三角形的外角性质得出∠CDF =∠BAD ，由平行线的性质得出∠E =∠CDF ，∠C =∠EAF ，证出∠BAD =∠E ，证明△ABD∽△EDA ，得出BDAD =ADAE ，证出∠EAF =∠DAC ，即AC 平分∠DAE ，作FM ⊥AD 于M ，FN ⊥AE 于N ，则FM =FM ，求出△ADF 的面积△AEF 的面积=DF EF=AD AE，即可得出结论．本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形的外角性质、平行线的性质、角平分线的性质等知识；证明三角形相似是解题的关键．24.【答案】解：(1)将点A(−1,0)，B(3,0)代入抛物线y =−x 2+bx +c 中， 得{−1−b +c =0−9+3b +c =0， 解得，b =2，c =3，∴抛物线的表达式为y =−x 2+2x +3；(2)∵在y =−x 2+2x +3中，当x =0时，y =3， ∴C(0,3)，∴OC =OB =3，∴△OBC 为等腰直角三角形，∠OBC =45°， ∴BC =√2OC =3√2，如图1，过点A 作AH ⊥BC 于H ， 则∠HAB =∠HBA =45°， ∴△AHB 是等腰直角三角形， ∵AB =4， ∴AH =BH =√22AB =2√2，∴CH =BC −BH =√2， ∴在Rt △AHC 中，tan∠ACH =AH CH=2√2√2=2，即∠ACB 的正切值为2；(3)①如图2，当∠PAB =∠ACB 时，过点P 作PM ⊥x 轴于点M ，设P(a,−a 2+2a +3)，则M(a,0)， 由(1)知，tan∠ACB =2， ∴tan∠PAM =2， ∴PMAM =2， ∴−a 2+2a+3a+1=2，解得，a 1=−1(舍去)，a 2=1， ∴P 1(1,4)；②取点P(1,4)关于x 轴的对称点Q(1,−4)，延长AQ 交抛物线于P 2，则此时∠P 2AB =∠PAM =∠ACB ，设直线PQ 的解析式为y =kx +b ，将A(−1,0)，Q(1,−4)代入， 得，{−k +b =0k +b =−4，解得，k =−2，b =−2， ∴y AQ =−2x −2， 联立，{y =−2x −2y =−x 2+2x +3，解得，{x =−1y =0或{x =5y =−12，∴P 2(5,−12)；综上所述，点P 的坐标为(1,4)或(5,−12)．【解析】(1)将点A ，B 坐标代入抛物线y =−x 2+bx +c 即可；(2)如图1，过点A 作AH ⊥BC 于H ，分别证△OBC 和△AHB 是等腰直角三角形，可求出CH ，AH 的长，可在Rt △AHC 中，直接求出∠ACB 的正切值； (3)此问需分类讨论，当∠PAB =∠ACB 时，过点P 作PM ⊥x 轴于点M ，设P(a,−a 2+2a +3)，由同角的三角函数值相等可求出a 的值，由对称性可求出第二种情况．本题考查了待定系数法求解析式，锐角三角函数，交点的坐标等，解题关键是第三问要注意分类讨论思想的运用．25.【答案】解：(1)∵ED =EB ， ∴∠EDB =∠B ， ∵CD ⊥DE ，∴∠CDE =∠A =90°，∵∠ACD +∠ADC =90°，∠ADC +∠EDH =90°， ∴∠ACD =∠EDB =∠B ， ∴tan∠ACD =tan∠B ， ∴AD AC =AC AB ，∴AD 3=34， ∴AD =94．(2)如图1中，作EH ⊥BD 于H ．在Rt △ACB 中，∵∠A =90°，AC =3，AB =4， ∴BC =√AC 2+BC 2=√32+42=5， ∵BE =y ，∴EH =35y ，BH =45y ，DH =AB −AD −BH =4−x −45y ， ∵∠A =∠DHE =90°，∠ACD =∠EDH ， ∴△ACD∽△HDE ， ∴ACDH =AD EH ，∴34−x−45y=x35y， ∴y =20x−5x 29+4x(0<x <4)．(3)①如图3−1中，设CB′交AB 于K ，作AE ⊥CK 于E ，DM ⊥CB′于M ，DN ⊥BC 于N∵AC =AB =3，AE ⊥CB′， ∴CE =EB′=12CB′=52，∴AE =√AC 2−CE 2=√32−(52)2=√112， 由△ACE∽△KCA ， 可得AK =3√115，CK =185，∴BK =AB −AK =4−3√115， ∵∠DCK =∠DCB ，DM ⊥CM ，DN ⊥CB ， ∴DM =DN ， ∴S △CDKS△CDB=DKDB =12⋅CK⋅DM 12⋅BC⋅DN =CKCB =1855=1825，∴BD =2543BK =10043−1543√11，∴AD =AB −BD =4−(10043−15√1143)=7243+15√1143．②如图3−2中，当CB′交BA 的延长线于K 时，同法可得BD =2543BK =10043+15√1143，∴AD =AB −BD =7243−15√1143．【解析】(1)证明∠ACD=∠EDB=∠B，推出tan∠ACD=tan∠B，可得ADAC =ACAB，由此构建方程即可解决问题．(2)如图1中，作EH⊥BD于H.证明△ACD∽△HDE，推出ACDH =ADEH，由此构建关系式即可解决问题．(3)分两种情形：①如图3−1中，设CB′交AB于K，作AE⊥CK于E，DM⊥CB′于M，DN⊥BC于N.利用角平分线的性质定理求出BD即可．②如图3−2中，当CB′交BA的延长线于K时，同法可得BD．本题属于几何变换综合题，考查了解直角三角形，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考压轴题．。
上海市闵行区2020届九年级上学期期末(一模)质量调研数学试卷(word解析版)
2020年上海市闵行区中考数学一模试卷答案解析版一、选择题1.如果把Rt △ABC 的各边长都扩大到原来的n 倍，那么锐角A 的四个三角比值( ) A. 都缩小到原来的n 倍 B. 都扩大到原来的n 倍； C. 都没有变化 D. 不同三角比的变化不一致.【答案】C 【解析】 【分析】根据题意易得边长扩大后的三角形与原三角形相似，那么对应角相等，相应的三角比值不变． 【详解】∵各边都扩大n 倍，∴新三角形与原三角形的对应边的比为n ：1， ∴两三角形相似， ∴∠A 的三角比值不变， 故答案为C.【点睛】本题考查锐角三角函数的定义，用到的知识点有：三边对应成比例，两三角形相似；相似三角形的对应角相等．三角函数值只与角的大小有关，与角的边的长短无关． 2.已知P 是线段AB 的黄金分割点，且AP>BP ，那么下列比例式能成立的是( )A.AB APAP BP= B.AB BPAP AB= C.BP ABAP BP= D.12AB AP =【答案】A 【解析】 【分析】由于点P 是线段AB 的黄金分割点，且AP>BP ，故有AP 2=BP×AB ，那么AB APAP BP=. 【详解】∵点P 是线段AB 的黄金分割点，且AP>BP ， ∴AP 2=BP×AB ， 即AB APAP BP=，故A 正确，B 、C 错误；BP AP AP AB ==，故D 错误； 故答案A.【点睛】本题考查了黄金分割的知识，把线段AB 分成两条线段AC 和BC （AC ＞BC ），且使AC 是AB 和BC 的比例中项，叫做把线段AB 黄金分割． 3.k 为任意实数，抛物线2()0y a x k k a =--≠（）的顶点总在( ) A. 直线y x =上 B. 直线y x =-上C. x 轴上D. y 轴上【答案】B 【解析】 【分析】根据题意首先求出顶点坐标，然后即可判定该点所在直线. 【详解】根据题意，得抛物线的顶点坐标为(),k k - ∴该点总在直线y x =-上 故答案为B.【点睛】此题主要考查抛物线的性质，熟练掌握，即可解题. 4.如图，在正三角形ABC 中，分别在AC ，AB 上，且13AD AC =，AE BE =，则有（ ）A. AED BED ∆∆∽B. AED CBD ∆∆∽C. AED ABD ∆∆∽D. BAD BCD ∆∆∽【答案】B 【解析】 【分析】本题可以采用排除法，即根据已知中正三角形ABC 中，D 、E 分别在AC 、AB 上，13AD AC =，AE ＝BE ，我们可以分别得到：△AED 、△BCD 为锐角三角形，△BED 、△ABD 为钝角三角形，然后根据锐角三角形不可能与钝角三角形相似排除错误答案，得到正确答案．【详解】由已知中正三角形ABC中，D、E分别在AC、AB上，13ADAC=，AE＝BE，易判断出：△AED为一个锐角三角形，△BED为一个钝角三角形，故A错误；△ABD也是一个钝角三角形，故C也错误；但△BCD为一个锐角三角形，故D也错误；故选B．【点睛】本题考查的知识点是相似三角形的判定，其中在解答选择题时，我们可以直接根据相似三角形的定义，大小不同，形状相同，排除错误答案，得到正确结论．5.下列命题是真命题的是( )A. 经过平面内任意三点可作一个圆B. 相等的圆心角所对的弧一定相等C. 相交两圆公共弦一定垂直于两圆的连心线D. 内切两圆的圆心距等于两圆的半径的和【答案】C【解析】【分析】利用经过不在同一直线上的三点才可以确定一个圆；在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧一定相等；相交圆的公共线垂直于连心线；内切两圆的圆心距等于两圆半径的和或差判断求解.【详解】A选项，经过平面上在同一直线上的三点不能确定一个圆，错误；B选项，需在同圆中才成立，错误；C选项，相交两圆的连心线垂直平分公共弦，正确；D选项，不对，应为两圆半径之差；故答案为C.【点睛】此题主要考查了与圆有关的定理和推论，解题的关键是准确记忆有关定理和推论.6.二次函数2(0)y a x bx c a=++≠的图像如图所示，现有以下结论：①0a<；②0abc>；③0a b c-+<；④240b ac-<；其中正确的结论有( )的A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个.【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数图像的性质：抛物线开口向下；与y 轴的交点；两根判别式；逐一判定即可. 【详解】①根据图像，开口向下，得出0a <，正确； ②根据图像，对称轴为 1.52bx a=-=，0b ＞，与y 轴的交点为（0,c ），0c ＞，0abc <错误；③根据图像，以及对称轴，3b a =-，0a b c -+<，正确；④根据图像，顶点坐标均大于0，即2404ac b a-＞，240b ac -＞，错误；故答案为B.【点睛】此题主要考查二次函数图像的性质，熟练掌握，即可解题.二、填空题7.已知线段4a =，9c =，那么a 和c 的比例中项b =________. 【答案】6； 【解析】 【分析】根据比例中项的定义可得b 2＝ac ，从而易求b ． 【详解】∵b 是a 、c 的比例中项， ∴b 2＝ac ， 即b 2＝36，∴b ＝6（负数舍去）， 故答案是6．【点睛】本题考查了比例线段，解题的关键是理解比例中项的含义． 8.在ABC V 中，若C 90∠=o ，AB 10=，2sinA 5=，则BC =______ 【答案】4 【解析】 【分析】根据锐角三角函数的定义得出sinA=2=5BC AB，代入求出即可． 【详解】解：2BC sinA 5AB==Q ，AB 10=， BC 4∴=，故答案为4．【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，能熟记锐角三角函数的定义的内容是解此题的关键．9.抛物线22(1)3y x =--+在对称轴右侧的部分是______的.(填“上升”或“下降”) 【答案】下降 【解析】 【分析】首先根据抛物线解析式判定开口向下，以及对称轴，然后即可得解. 【详解】根据题意，得抛物线开口向下，对称轴为1x = ∴对称轴右侧的部分是下降的【点睛】此题主要考查抛物线图像的增减性，熟练掌握，即可解题.10.如果两个相似三角形的相似比为2︰3，两个三角形的周长的和是100cm ，那么较小的三角形的周长为_______cm. 【答案】40【解析】 【分析】首先设两个三角形的周长分别为,x y ，然后根据相似三角形的相似比等于周长比，列出二元一次方程组，求解即可.【详解】设两个三角形的周长分别为,x y 由已知，得23100x y x y ⎧=⎪⎨⎪+=⎩解得40,60x y ==∴较小的三角形的周长为40 cm.【点睛】此题主要考查相似三角形的性质，利用相似三角形周长比等于相似比，求解即可. 11.e r 为单位向量，a r 与e r 的方向相反，且长度为6，那么a r =_____e r. 【答案】-6 【解析】 【分析】根据向量的性质，方向和长度确定，即可得解. 【详解】根据题意，得a r =-6e r故答案为-6.【点睛】此题主要考查对向量的理解，熟练掌握，即可解题.12.某人从地面沿着坡度为i =100米，这时他离地面的高度是________米． 【答案】50 【解析】 【分析】垂直高度、水平距离和坡面距离构成一个直角三角形．利用坡度比找到垂直高度和水平距离之间的关系后，借助于勾股定理进行解答．【详解】∵坡度为i =∴设离地面的高度为x ,.∵222)100x +=,解得x =50. 即这时他离地面的高度是50米. 故答案为50.【点睛】考查解直角三角形的应用-坡度坡角问题，根据勾股定理列出方程是解题的关键. 13.已知正方形ABCD 的边长为2，如果将线段BD 绕着点B 旋转后，点D 落在BC 的延长线上的点E 处，那么tan BAE ∠=______.【解析】 【分析】根据旋转不变性，BD=BE ．根据三角函数的定义可得tan ∠BAE 的值．【详解】由题意，得BD=BE=tan BE BAE BA ===∠.【点睛】本题主要突破两点：一是三角函数的定义；二是旋转图形的性质．14.已知在Rt △ABC 中，∠C=90º，AC=3，BC=4，⊙C 与斜边AB 相切，那么⊙C 的半径为______. 【答案】125【解析】【分析】首先根据勾股定理求出AB，然后根据圆相切性质得出CD⊥AB，CD即为⊙C的半径，然后根据三角形面积列出等式，即可解得CD.【详解】设切点为D，连接CD，如图所示∵∠C=90º，AC=3，BC=4，∴AB5==又∵⊙C与斜边AB相切，∴CD⊥AB，CD即为⊙C的半径∴1122ABCS BC AC AB CD =⋅=⋅△∴125 CD=故答案为12 5.【点睛】此题主要考查圆相切的性质以及勾股定理的运用，熟练掌握，即可解题.15.设抛物线l：2(0)y a x bx c a=++≠的顶点为D，与y轴的交点是C，我们称以C为顶点，且过点D的抛物线为抛物线l的“伴随抛物线”，请写出抛物线241y x x=-+的伴随抛物线的解析式______.【答案】21y x=-+【解析】【分析】首先根据题意求出抛物线的顶点坐标和与y轴的交点坐标，然后即可得出伴随抛物线的顶点坐标和所过点，列出顶点式解析式，代入所过点，即可得出其解析式.的【详解】根据题意，得抛物线241y x x =-+的顶点坐标为()2,3-，与y 轴的交点是()0,1 ∴其伴随抛物线的顶点坐标为()0,1，过点()2,3- 则其解析式为21y ax =+，将点()2,3-代入，得1a =-∴其解析式为21y x =-+【点睛】此题主要考查抛物线的性质，熟练掌握，即可解题.16.半径分别为3cm cm 的⊙O 1与⊙O 2相交于A 、B 两点，如果公共弦AB=cm ，那么圆心距O 1O 2的长为______cm. 【答案】2或4 【解析】 【分析】首先连接O 1O 2、O 1A 、O 2A ，令O 1O 2交AB 于点C ，根据垂径定理和勾股定理即可得解. 【详解】连接O 1O 2、O 1A 、O 2A ，令O 1O 2交AB 于点C ，如图所示由已知得O 1A=3，O 2，AB=∴AC BC ==∴11O C ===23O C ===∴1212134O O O C O C =+=+= 或1221312O O O C O C =-=-=∴答案为2或4.【点睛】此题主要考查垂径定理以及勾股定理的应用，注意有两种情况，不要遗漏. 17.正五边形的边长与边心距的比值为______.(用含三角比的代数式表示) 【答案】2tan36o 【解析】 【分析】本题应作出辅助线，构造出直角三角形来解决．【详解】经过正五边形的中心O 作边AB 的垂线OC ，则∠BOC=36°， 在直角△OBC 中，根据三角函数得到tan 36BCOC=︒ 2tan 36ABOC=︒故答案为2tan36o【点睛】正多边形的计算一般要经过中心作边的垂线，并连接中心与一个端点构造直角三角形，把正多边形的计算转化为解直角三角形的问题．18.如图，在等腰△ABC中，AB=AC=4，BC=6点D在底边BC上，且∠DAC=∠ACD，将△ACD沿着AD所在直线翻折，使得点C落到点E处，联结BE，那么BE的长为______.【答案】1【解析】【分析】只要证明△ABD∽△MBE，得AB BDBM BE=，只要求出BM、BD即可解决问题．【详解】∵AB=AC，∴∠ABC=∠C，∵∠DAC=∠ACD，∴∠DAC=∠ABC，∵∠C=∠C，∴△CAD∽△CBA，∴CA CD CB AC=∴464CD =，∴CD=83，BD=BC-CD=6-83=103，∵∠DAM=∠DAC=∠DBA，∠ADM=∠ADB，∴△ADM∽△BDA，∴AD DMBD DA=，即8310833DM=，∴DM=3215，MB=BD-DM=103-3215=65，∵∠ABM=∠C=∠MED，∴A、B、E、D四点共圆，∴∠ADB=∠BEM，∠EBM=∠EAD=∠ABD，∴△ABD∽△MBE，∴AB BD BM BE=，∴6105314BM BDBEAB⋅⋅===．【点睛】本题考查翻折变换、等腰三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是充分利用相似三角形的性质解决问题，本题需要三次相似解决问题.三、解答题19.已知二次函数图像的最高点是A(1，4)，且经过点B(0，3)，与x轴交于C、D两点(点C 在点D的左侧).求△BCD的面积.【答案】S△BCD=6.【解析】【分析】首先利用B点求出二次函数解析式，令0y=，即可得出CD=4，进而得出△BCD的面积.【详解】设所求的二次函数解析式为2(1)4(0)y a x a =-+≠， 把B(0，3)代入得23(01)4a =-+ 解得：1a =-.令0y =，那么2(1)4=0x --+， 解得：123,1x x ==-. ∴CD=4.在△BCD 中，12BCD S ∆=·CD·OB=143=62创. 【点睛】此题主要考查二次函数与三角形的综合应用，熟练掌握，即可解题. 20.已知：在平行四边形ABCD 中，AB ︰BC=3︰2.(1)根据条件画图：作∠BCD 的平分线，交边AB 于点E ，取线段BE 的中点F ，连接DF 交CE 于点G.(2)设,AB a AD b ==u u u r r u u u r r ，那么向量CG u u u r =______.(用向量a r 、b r表示)，并在图中画出向量DG u u u r在向量AB u u u r 和AD u u u r 方向上的分向量.【答案】(1)见解析；(2) CG u u u r =12a -r 34b -r，画图见解析.【解析】 【分析】（1）首先作∠BCD 的平分线，然后作BE 的垂直平分线即可；（2）首先判定△GEF ∽△GCD ，然后根据AB ︰BC=3︰2，得出13EF EG CD CG ==，进而得出13,34EF CD CG CE ==，最后根据向量的运算，即可得出CG u u u r 和DG u u u r ，即可画出分向量.【详解】（1）根据已知条件，作图如下：（2）∵CE 为∠BCD 的平分线， ∴∠BCE=∠DCE 又∵AB ∥CD∴∠DCE=∠BEC ，△GEF ∽△GCD 又∵AB ︰BC=3︰2∴13EF EG CD CG == ∴13,34EF CD CG CE ==又∵,AB a AD b ==u u u r r u u u r r ，∴,DC AB B a b C AD ====u u u r u u u r u u u r u u u r r r又∵EB BC EC +=uu r uu u r uu u r ，C C GE E G =--uu u r uu u r uu u r∴()3321344324CG EB a a BC b b ⎛⎫=-+=-+=-- ⎪⎝⎭uu u r r uu u r uu r r r r 同理可得，()333213444324AF b DG DF DA a a b ⎛⎫==+=-=- ⎪⎝⎭uu u r uuu r uuu r r uu u r r r rDG u u u r在向量AB u u u r 和AD u u u r 方向上的分向量，如图所示：【点睛】此题主要考查角平分线的作图以及向量的运算，熟练掌握，即可解题.B .以AB为直21.如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90º，AD= 2，BC= 4，tan3径作⊙O，交边DC于E、F两点.(1)求证：DE=CF.(2)求直径AB的长.【答案】(1)证明见解析；(2)AB=.【解析】【分析】（1）首先根据AD∥BC，∠ADC=90º，OH⊥DC，得出AD∥OH∥BC，进而根据OA=OB 得出DH=HC，然后根据垂径定理得出EH = HF，进而得出DE=CF；（2）首先根据∠AGB =∠BCN = 90°，得出AG∥DC，然后根据AD∥BC，得出AD=CG.，进而得出BG，再根据三角函数得出AG，最后根据勾股定理得出AB.【详解】(1)过点O作OH⊥DC，垂足为H.∵AD∥BC，∠ADC=90º，OH⊥DC，∴∠BCN=∠OHC=∠ADC =90º.∴AD∥OH∥BC.又∵OA=OB.∴DH=HC.∵OH⊥DC，OH过圆心，∴EH = HF.∴DH-EH =HC-HF.即：DE=CF.(2)过点A 作AG ⊥BC ，垂足为点G ，∠AGB = 90°， ∵∠AGB =∠BCN = 90°， ∴AG ∥DC. ∵AD ∥BC ， ∴AD=CG. ∵AD= 2，BC= 4， ∴BG= BC-CG =2.在Rt △AGB 中，∵tan 3B =， ∴tan 236AG BG B =⋅=⨯=. 在Rt △AGB 中，222AB AG BG =+∴AB=【点睛】此题主要考查垂径定理、勾股定理以及三角函数的综合应用，熟练掌握，即可解题.22.2019年第18号台风“米娜”于9月29日早晨5点整，由位于台湾省周边的B 岛东南方约980千米的西北太平洋洋面上(A 点)生成，向西北方向移动.并于9月30日20时30分到达B 岛后风力增强且转向，一路向北于24小时后在浙江省舟山市登陆.“米娜”在登录后风力减弱且再一次转向，以每小时20千米的速度向北偏东30º的方向移动，距台风中心170千米的范围内是受台风影响的区域.已知上海位于舟山市北偏西7º方向，且距舟山市250千米.(1)台风中心从生成点(A 点)到达B 岛的速度是每小时多少千米？(2)10月2日上海受到“米娜”影响，那么上海遭受这次台风影响的时间有多长？(结果保留整数，参考数据：sin 230.39≈o ，cos230.92≈o ，tan 230.42≈o ；sin 370.60≈o ，cos370.80≈o ，tan370.75≈o .)【答案】(1)台风中心从生成点(A 点)到达B 岛的速度是每小时25千米；(2)上海遭受这次台风影响的时间为8小时. 【解析】 【分析】（1）由路程和时间可以求得速度； （2）首先求出Rt △SHZ 中∠CZD正弦函数，进而得出SH ，即可设台风中心移动到E 处时上海开始遭受台风影响，根据到F 处影响结束，得出SE=SF=170，然后利用勾股定理得出EF ，即可得出上海遭受这次台风影响的时间.【详解】(1)由题意得，AB=980千米，台风中心到达B 岛的时间是39.5小时. ∴9802539.5v =≈(千米). 答：台风中心从生成点(A 点)到达B 岛的速度是每小时25千米. (2)过点S 作SH ⊥ZD ，垂足为点H ， ∴∠SHZ= 90°，∵∠NZD=30°，∠CZN=7°，∴∠CZD=∠CZN+∠NZD=7° + 30°=37°. 在Rt △SHZ 中，sin ∠CZD =SHSZ. ∵∠CZD=37°，SZ=250千米，∴SH=SZ·sin ∠CZD=250sin372500.60150⨯≈⨯≈o (千米). ∵150千米<170千米，∴设台风中心移动到E 处时上海开始遭受台风影响的到F 处影响结束.即SE=SF=170(千米).∵在Rt △SEH 中，∠SHE= 90°，222SE SH HE =+，∴80HE =≈. ∴EF=2EH≈160(千米). ∴上海遭受这次台风影响时间为16082020EF =≈(小时).答：上海遭受这次台风影响的时间为8小时.【点睛】此题主要考查三角函数与勾股定理的实际运用，熟练掌握，即可解题.23.如图，在△ABC 中，BD 是AC 边上的高，点E 在边AB 上，联结CE 交BD 于点O ，且AD OC AB OD ⋅=⋅，AF 是∠BAC 的平分线，交BC 于点F ，交DE 于点G. (1)求证：CE ⊥AB.(2)求证：AF DE AG BC ⋅=⋅.【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析. 【解析】 【分析】（1）首先判定Rt △ADB ∽Rt △ODC ，得出∠ABD =∠OCD ，然后通过三角形内角和转换得的出∠OEB = 90°，进而得出CE ⊥AB ； （2）首先判定△ADB ∽△AEC ，得出AD ABAE AC=，然后再判定△DAE ∽△BAC ，得出AG DEAF BC=，进而得出AF DE AG BC ⋅=⋅. 【详解】(1)∵AD OC AB OD ⋅=⋅， ∴AD ABOD OC=. ∵BD 是AC 边上的高，∴∠BDC = 90°，△ADB 和△ODC 是直角三角形. ∴Rt △ADB ∽Rt △ODC. ∴∠ABD =∠OCD.又∵∠EOB=∠DOC ，∠DOC+∠OCD+∠ODC=180°， ∠EOB +∠ABD+∠OEB =180°. ∴∠OEB = 90°. ∴CE ⊥AB.(2)在△ADB 和△AEC 中，∵∠BAD=∠CAE ，∠ABD =∠OCD ， ∴△ADB ∽△AEC. ∴AD AB AE AC =， 即AD AEAB AC=. 在△DAE 和△BAC 中 ∵∠DAE =∠BAC ，AD AEAB AC=. ∴△DAE ∽△BAC. ∵AF 是∠BAC 的平分线， ∴AG DEAF BC=，即AF DE AG BC ⋅=⋅. 【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握，即可解题.24.已知：在平面直角坐标系xOy 中，对称轴为直线x = -2的抛物线经过点C(0，2)，与x 轴交于A(-3，0)、B 两点(点A 在点B 的左侧). (1)求这条抛物线的表达式. (2)连接BC ，求∠BCO 的余切值.(3)如果过点C 的直线，交x 轴于点E ，交抛物线于点P ，且∠CEO =∠BCO ，求点P 的坐标.【答案】(1)228233y x x =++；(2)cot 2BCO ∠=；(3)点P 坐标是(134-，38)或(194-，358).【解析】 【分析】（1）首先设抛物线的解析式，然后根据对称轴和所经过的点，列出方程，即可得出解析式； （2）首先求出B 坐标，即可得出1OB =，2OC =，进而得出∠BCO 的余切值； （3）首先根据CEO BCO ∠=∠的余切值列出等式，得出点E 的坐标，然后根据点C 的坐标得出直线解析式，最后联立直线和抛物线的解析式即可得出点P 坐标. 【详解】(1)设抛物线的表达式为2(0)y ax bx c a =++≠.由题意得：229302ba abc c ⎧-=-⎪⎪-+=⎨⎪=⎪⎩解得：23a =，83b =.∴这条抛物线的表达式为228233y x x =++. (2)令y = 0，那么2282033x x ++=，解得13x =-，21x =-. ∵点A 的坐标是(-3，0)∴点B 的坐标是(-1，0).∵C(0，2)∴1OB =，2OC =.在Rt △ OBC 中，∠BOC=90º， ∴cot 2OC BCO OB∠==. (3)设点E 的坐标是(x ，0)，得OE=x .∵CEO BCO ∠=∠，∴cot cot CEO BCO ∠=∠.在Rt △EOC 中，∴cot 22x OE CEO OC ∠===. ∴x =4，∴点E 坐标是(4，0)或 (-4，0).∵点C 坐标是(0，2)， ∴11:2=222CE l y x y x =+-+或. ∴212228233y x y x x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=++⎪⎩ ，或212228233y x y x x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=++⎪⎩解得13438x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩和02x y =⎧⎨=⎩(舍去)，或194358x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩和02x y =⎧⎨=⎩(舍去)； ∴点P 坐标是(134-，38)或(194-，358). 【点睛】此题主要考查直线、抛物线解析式的求解以及综合应用，熟练掌握，即可解题. 25.已知：如图，在Rt △ABC 和Rt △ACD 中，AC=BC ，∠ACB=90°，∠ADC=90°，CD=2，(点A 、B 分别在直线CD 的左右两侧)，射线CD 交边AB 于点E ，点G 是Rt △ABC 的重心，射线CG 交边AB 于点F ，AD=x ，CE=y.(1)求证：∠DAB=∠DCF.(2)当点E 在边CD 上时，求y 关于x 的函数关系式，并写出x 的取值范围.(3)如果△CDG 是以CG 为腰的等腰三角形，试求AD 的长.【答案】(1)证明见解析；(2)24(02)2x y x x +=≤+＜；(3)AD=1【解析】【分析】（1）首先根据点G 是Rt △ABC 的重心，得出CF 是Rt △ABC 的中线.，又由AC=BC ，∠ACB=90°，得出CF ⊥AB ，即∠AFC=90°，然后等量转换即可得出∠DAB=∠DCF ； （2）首先判定△CAD ≌△BCH ，得出BH = CD ，CH = AD ，又根据∠ADC=∠BHC=90°，得出AD ∥BH ，进而得出AD DE BH EH=，列出等式，即可得出y 关于x 的函数关系式； （3）分两种情况进行求解：①当GC=GD 时，根据直角三角形斜边中线定理得出MD=MC ，进而得出MG ⊥CD ，且直线MG 经过点B ，那么BH 与MG 共线，即可得出AD ；②当CG=CD 时，CG=2，点G 为△ABC 的重心，然后运用勾股定理即可得出AD.【详解】(1)证明：∵点G 是Rt △ABC 的重心，∴CF 是Rt △ABC 的中线.又∵在Rt △ABC ，AC=BC ，∠ACB=90°，∴CF ⊥AB ，即∠AFC=90°.∵∠DEF=∠ADE+∠DAE=∠EFC+∠ECF ，且∠ADE=∠EFC=90°，∴∠DAB=∠DCF.(2)解：如图，过点B 作BH ⊥CD 于点H.DAC HCB AC CBDCA HBC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△CAD ≌△BCH （ASA ）.∴BH = CD = 2，CH = AD = x ，DH = 2-x.∵∠ADC=∠BHC=90°∴AD ∥BH.∴AD DE BH EH=. 2x DE EH =，22x DE EH DH EH EH ++==，422x EH x -=+. 2424(02)22x x y CE CH HE x x x x -+==+=+=<≤++.(3)解：当GC=GD 时，如图1，取AC 的中点M ，联结MD.那么MD=MC ，联结MG ，MG ⊥CD ，且直线MG 经过点B.那么BH 与MG 共线.又CH=AD ，那么AD=CH=112CD =. 当CG=CD 时，如图2，即CG=2，点G 为△ABC 的重心，332CF CG ==，AB=2CF=6，2AC AB ==，AD综上所述，AD=1【点睛】此题主要考查三角形与函数的综合应用，涉及到的知识点有直角三角形斜边中线定理、重心、勾股定理等，熟练掌握，即可解题.。
2020年上海市中考数学一模试卷附答案解析
2020年上海市中考数学一模试卷含答案解析一．选择题（共6小题，每题4分，满分24分）1．函数y＝﹣2x2先向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得函数解析式是（）A．y＝﹣2（x﹣1）2+2B．y＝﹣2（x﹣1）2﹣2C．y＝﹣2（x+1）2+2D．y＝﹣2（x+1）2﹣22．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若BC＝3，AC＝4，则sin B的值为（）A．B．C．D．3．下列说法中，正确的是（）A．如果k＝0，是非零向量，那么k＝0B．如果是单位向量，那么＝1C．如果||＝||，那么＝或＝﹣D．已知非零向量，如果向量＝﹣5，那么∥4．如图，在6×6的正方形网格中，联结小正方形中两个顶点A、B，如果线段AB与网格线的其中两个交点为M、N，那么AM：MN：NB的值是（）A．3：5：4B．3：6：5C．1：3：2D．1：4：25．使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量y（单位：m3）与旋钮的旋转角度x（单位：度）（0°＜x≤90°）近似满足函数关系y＝ax2+bx+c（a≠0）．如图记录了某种家用节能燃气灶烧开同一壶水的旋钮的旋转角度x与燃气量y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮的旋转角度约为（）A．33°B．36°C．42°D．49°6．如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E、F，连结BD、DP，BD与CF相交于点H，给出下列结论：①BE＝2AE②△DFP∽△BPH③DP2＝PH•PC；④FE：BC＝，其中正确的个数为（）A．1B．2C．3D．4二．填空题（共12小题，每题4分，满分48分）7．如果tanα＝，那么锐角α的度数是．8．已知f（x）＝，那么f（3）＝．9．已知线段AB＝2，如果点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，那么AP的值为．10．已知点A（x1，y1）、B（x2，y2）为抛物线y＝（x﹣2）2上的两点，如果x1＜x2＜2，那么y1y2．（填“＞”“＜”或“＝”）11．如果点A（﹣3，y1）和点B（﹣2，y2）是抛物线y＝x2+a上的两点，那么y1y2．（填“＞”、“＝”、“＜”）．12．抛物线y＝﹣2（x﹣1）2+3在对称轴右侧的部分是的．（填“上升”或“下降”）13．如图，某小区门口的栏杆从水平位置AB绕固定点O旋转到位置DC，已知栏杆AB的长为3.5米，OA的长为3米，点C到AB的距离为0.3米，支柱OE的高为0.6米，那么栏杆端点D离地面的距离为米．14．如图，在菱形ABCD中，O、E分别是AC、AD的中点，联结OE．如果AB＝3，AC＝4，那么cot∠AOE＝．15．如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，AB＝3，BC＝2，tan A＝，则CD＝．16．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，⊙C与斜边AB相切，那么⊙C的半径为．17．在方格纸中，每个小格的顶点叫做格点，以格点连线为边的三角形叫做格点三角形．如图，请在边长为1个单位的2×3的方格纸中，找出一个格点三角形DEF．如果△DEF 与△ABC相似（相似比不为1），那么△DEF的面积为．18．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝4，BC＝6，点D在底边BC上，且∠DAC＝∠ACD，将△ACD沿着AD所在直线翻折，使得点C落到点E处，联结BE，那么BE的长为．三．解答题（共7小题，满分78分）19．计算：3tan30°﹣+cos45°+20．已知：在平行四边形ABCD中，AB：BC＝3：2．（1）根据条件画图：作∠BCD的平分线，交边AB于点E，取线段BE的中点F，联结DF交CE于点G．（2）设＝，＝，那么向量＝；（用向量、表示），并在图中画出向量在向量和方向上的分向量．21．如图1为放置在水平桌面l上的台灯，底座的高AB为5cm，长度均为20cm的连杆BC、CD与AB始终在同一平面上．（1）转动连杆BC，CD，使∠BCD成平角，∠ABC＝150°，如图2，求连杆端点D离桌面l的高度DE．（2）将（1）中的连杆CD再绕点C逆时针旋转，经试验后发现，如图3，当∠BCD＝150°时台灯光线最佳．求此时连杆端点D离桌面l的高度比原来降低了多少厘米？22．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝4，tan B＝3．以AB为直径作⊙O，交边DC于E、F两点．（1）求证：DE＝CF；（2）求：直径AB的长．23．水城门位于淀浦河和漕港河三叉口，是环城水系公园淀浦河梦蝶岛区域重要的标志性景观．在课外实践活动中，某校九年级数学兴趣小组决定测量该水城门的高．他们的操作方法如下：如图，先在D处测得点A的仰角为20°，再往水城门的方向前进13米至C处，测得点A的仰角为31°（点D、C、B在一直线上），求该水城门AB的高．（精确到0.1米）（参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36，sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60）24．已知：在平面直角坐标系xOy中，对称轴为直线x＝﹣2的抛物线经过点C（0，2），与x轴交于A（﹣3，0）、B两点（点A在点B的左侧）．（1）求这条抛物线的表达式；（2）联结BC，求∠BCO的余切值；（3）如果过点C的直线，交x轴于点E，交抛物线于点P，且∠CEO＝∠BCO，求点P 的坐标．25．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝16，点D为BC边上的一个动点（点D不与点B、点C重合）．以D为顶点作∠ADE＝∠B，射线DE交AC边于点E，过点A作AF ⊥AD交射线DE于点F．（1）求证：AB•CE＝BD•CD；（2）当DF平分∠ADC时，求AE的长；（3）当△AEF是等腰三角形时，求BD的长．参考答案与试题解析一．选择题（共6小题，每题4分，满分24分）1．【分析】先确定物线y＝﹣2x2的顶点坐标为（0，0），再把点（0，0）平移所得对应点的坐标为（1，﹣2），然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式．【解答】解：抛物线y＝﹣2x2的顶点坐标为（0，0），把（0，0）先向右平移1个单位，再向下平移2个单位所得对应点的坐标为（1，﹣2），所以平移后的抛物线解析式为y＝﹣2（x﹣1）2﹣2．故选：B．2．【分析】根据三角函数的定义解决问题即可．【解答】解：如图，在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，∴AB＝＝＝5，∴sin B＝＝，故选：A．3．【分析】根据平面向量的性质一一判断即可．【解答】解：A、如果k＝0，是非零向量，那么k＝0，错误，应该是k＝．B、如果是单位向量，那么＝1，错误．应该是||＝1．C、如果||＝||，那么＝或＝﹣，错误．模相等的向量，不一定平行．D、已知非零向量，如果向量＝﹣5，那么∥，正确．故选：D．4．【分析】根据平行线分线段成比例定理得出即可．【解答】解：∵＝，＝，∴AM：MN：NB＝1：3：2，故选：C．5．【分析】根据题意和二次函数的性质，可以确定出对称x的取值范围，从而可以解答本题．【解答】解：由图象可知，物线开口向上，该函数的对称轴x＞且x＜54，∴36＜x＜54，即对称轴位于直线x＝36与直线x＝54之间且靠近直线x＝36，故选：C．6．【分析】由正方形的性质和相似三角形的判定与性质，即可得出结论．【解答】解：∵△BPC是等边三角形，∴BP＝PC＝BC，∠PBC＝∠PCB＝∠BPC＝60°，在正方形ABCD中，∵AB＝BC＝CD，∠A＝∠ADC＝∠BCD＝90°∴∠ABE＝∠DCF＝30°，∴BE＝2AE；故①正确；∵PC＝CD，∠PCD＝30°，∴∠PDC＝75°，∴∠FDP＝15°，∵∠DBA＝45°，∴∠PBD＝15°，∴∠FDP＝∠PBD，∵∠DFP＝∠BPC＝60°，∴△DFP∽△BPH；故②正确；∵∠PDH＝∠PCD＝30°，∠DPH＝∠DPC，∴△DPH∽△CPD，∴，∴DP2＝PH•PC，故③正确；∵∠ABE＝30°，∠A＝90°∴AE＝AB＝BC，∵∠DCF＝30°，∴DF＝DC＝BC，∴EF＝AE+DF＝﹣BC，∴FE：BC＝（2﹣3）：3故④正确，故选：D．二．填空题（共12小题，每题4分，满分48分）7．【分析】直接利用特殊角的三角函数值进而代入求出答案．【解答】解：∵tanα＝，∴锐角α的度数是：60°．故答案为：60°．8．【分析】将x＝3代入f（x）＝计算即可．【解答】解：当x＝3是，f（3）＝＝，故答案为．9．【分析】直接利用黄金分割的定义计算．【解答】解：∵点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，∴AP＝AB＝×2＝﹣1．故答案为﹣1．10．【分析】根据二次函数的性质得到抛物线y＝（x﹣2）2的开口向上，对称轴为直线x＝2，则在对称轴左侧，y随x的增大而减小，所以x1＜x2＜2时，y1＞y2．【解答】解：∵y＝（x﹣2）2，∴a＝1＞0，∴抛物线开口向上，∵抛物线y＝（x﹣2）2对称轴为直线x＝2，∵x1＜x2＜2，∴y1＞y2．故答案为＞．11．【分析】根据二次函数的图象和性质得出抛物线的对称轴是直线x＝0，抛物线的开口向上，当x＜0时，y随x的增大而减小，再比较即可．【解答】解：∵y＝x2+a，∴抛物线的对称轴是直线x＝0，抛物线的开口向上，当x＜0时，y随x的增大而减小，∵﹣3＜﹣2＜0，∴y1＞y2，故答案为：＞．12．【分析】根据a＜0，知抛物线开口向下，则在对称轴右侧的部分呈下降趋势．【解答】解：∵a＝﹣2＜0，∴抛物线开口向下，∴对称轴右侧的部分呈下降趋势．故答案为：下降．13．【分析】过D作DG⊥AB于G，过C作CH⊥AB于H，则DG∥CH，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解答】解：过D作DG⊥AB于G，过C作CH⊥AB于H，则DG∥CH，∴△ODG∽△OCH，∴＝，∵栏杆从水平位置AB绕固定点O旋转到位置DC，∴CD＝AB＝3.5m，OD＝OA＝3m，CH＝0.3m，∴OC＝0.5m，∴＝，∴DG＝1.8m，∵OE＝0.6m，∴栏杆D端离地面的距离为1.8+0.6＝2.4m．故答案为：2.4．14．【分析】连接OD，根据菱形的性质、勾股定理求出OD，根据三角形中位线定理得到∠AOE＝∠ACD，根据余切的定义计算，得到答案．【解答】解：连接OD，∵四边形ABCD为菱形，∴OD⊥AC，OA＝OC＝AC＝2，由勾股定理得，OD＝＝＝，∵O、E分别是AC、AD的中点，∴OE∥CD，∴∠AOE＝∠ACD，∴cot∠AOE＝cot∠ACD＝＝＝，故答案为：．15．【分析】延长AD和BC交于点E，在直角△ABE中利用三角函数求得BE的长，则EC 的长即可求得，然后在直角△CDE中利用三角函数的定义求解．【解答】解：延长AD和BC交于点E．∵在直角△ABE中，tan A＝＝，AB＝3，∴BE＝4，∴EC＝BE﹣BC＝4﹣2＝2，∵△ABE和△CDE中，∠B＝∠EDC＝90°，∠E＝∠E，∴∠DCE＝∠A，∴直角△CDE中，tan∠DCE＝tan A＝＝，∴设DE＝4x，则DC＝3x，在直角△CDE中，EC2＝DE2+DC2，∴4＝16x2+9x2，解得：x＝，则CD＝．故答案是：．16．【分析】r的长即为斜边AB上的高，由勾股定理易求得AB的长，根据直角三角形面积的不同表示方法，即可求出r的值．【解答】解：Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4；由勾股定理，得：AB2＝32+42＝25，∴AB＝5；又∵AB是⊙C的切线，∴CD⊥AB，∴CD＝r；∵S△ABC＝AC•BC＝AB•r，∴r＝，故答案为：．17．【分析】根据相似三角形的判定定理得到△DEF∽△ABC，根据三角形的面积公式计算，得到答案．【解答】解：如图，在△DEF中，DE＝，EF＝2，DF＝，则＝，＝＝，＝＝，∴＝＝，∴△DEF∽△ABC，△DEF的面积＝×2×1＝1，故答案为：1．18．【分析】只要证明△ABD∽△MBE，得＝，只要求出BM、BD即可解决问题．【解答】解：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，∵∠DAC＝∠ACD，∴∠DAC＝∠ABC，∵∠C＝∠C，∴△CAD∽△CBA，∴＝，∴＝，∴CD＝，BD＝BC﹣CD＝，∵∠DAM＝∠DAC＝∠DBA，∠ADM＝∠ADB，∴△ADM∽△BDA，∴＝，即＝，∴DM＝，MB＝BD﹣DM＝，∵∠ABM＝∠C＝∠MED，∴A、B、E、D四点共圆，∴∠ADB＝∠BEM，∠EBM＝∠EAD＝∠ABD，∴△ABD∽△MBE，（不用四点共圆，可以先证明△BMA∽△EMD，推出△BME∽AMD，推出∠ADB＝∠BEM也可以！）∴＝，∴BE＝＝1．故答案为：1．三．解答题（共7小题，满分78分）19．【分析】代入特殊角的三角函数值即可．【解答】解：原式＝3×﹣+×+＝﹣2+2+﹣1＝2﹣1．20．【分析】（1）首先作∠BCD的平分线，然后作BE的垂直平分线即可；（2）首先判定△GEF∽△GCD，然后根据AB：BC＝3：2，得＝＝，进而得出EF＝CD，CG＝CE，最后根据向量运算即可得结论，即可画出分向量．【解答】解：（1）作∠BCD的平分线，交边AB于点E，取线段BE的中点F，联结DF 交CE于点G．作图如下：（2）∵CE为∠BCD的平分线，∴∠BCE＝∠DCE又∵AB∥CD∴∠DCE＝∠BEC∴△GEF∽△GCD∵AB：BC＝3：2∴＝＝∴EF＝CD，CG＝CE∵＝，＝，∴＝＝，＝＝∵+＝，＝﹣﹣∴＝﹣（+）＝﹣（+）＝﹣﹣同理可得，＝﹣＝（+）＝（﹣）＝﹣）在向量和方向上的分向量，如图所示：故答案为：＝．21．【分析】（1）如图2中，作BO⊥DE于O．解直角三角形求出OD即可解决问题．（2）过C作CG⊥BH，CK⊥DE，由题意得，BC＝CD＝20m，CG＝KH，解直角三角形即可得到结论．【解答】解：（1）如图2中，作BO⊥DE于O．∵∠OEA＝∠BOE＝∠BAE＝90°，∴四边形ABOE是矩形，∴∠OBA＝90°，∴∠DBO＝150°﹣90°＝60°，∴OD＝BD•sin60°＝20（cm），∴DE＝OD+OE＝OD+AB＝（20+5）cm；（2）过C作CG⊥BH，CK⊥DE，由题意得，BC＝CD＝20m，CG＝KH，∴在Rt△CGB中，sin∠CBH＝，∴CG＝10cm，∴KH＝10cm，∵∠BCG＝90°﹣60°＝30°，∴∠DCK＝150°﹣90°﹣30°＝30°，在Rt△DCK中，sin∠DCK＝＝＝，∴DK＝10cm，∴（20+5）﹣（15+10）＝10﹣10，答：比原来降低了（10﹣10）厘米．22．【分析】（1）直接利用垂径定理结合平行线分线段成比例定理得出DH＝HC，进而得出答案；（2）过点A作AG⊥BC，垂足为点G，再利用已知结合勾股定理得出答案．【解答】（1）证明：过点O作OH⊥DC，垂足为H．∵AD∥BC，∠ADC＝90°，OH⊥DC，∴∠BCN＝∠OHC＝∠ADC＝90°．∴AD∥OH∥BC．又∵OA＝OB．∴DH＝HC．∵OH⊥DC，OH过圆心，∴EH＝HF，∴DH﹣EH＝HC﹣HF．即：DE＝CF．（2）解：过点A作AG⊥BC，垂足为点G，∠AGB＝90°，∵∠AGB＝∠BCN＝90°，∴AG∥DC．∵AD∥BC，∴AD＝CG．∵AD＝2，BC＝4，∴BG＝BC﹣CG＝2．在Rt△AGB中，∵tan B＝3，∴AG＝BG•tan B＝2×3＝6．在Rt△AGB中，AB2＝AG2+BG2∴AB＝．23．【分析】在Rt△ABD中可得出BD＝，在Rt△ABC中，可得BC＝，则可得BD﹣BC＝13，求出AB即可．【解答】解：由题意得，∠ABD＝90°，∠D＝20°，∠ACB＝31°，CD＝13，在Rt△ABD中，∵tan∠D＝，∴BD＝＝，在Rt△ABC中，∵tan∠ACB＝，∴BC＝＝，∵CD＝BD﹣BC，∴13＝，解得AB≈11.7米．答：水城门AB的高为11.7米．24．【分析】（1）设抛物线的表达式为y＝ax2+bx+c，将A，B的坐标及对称轴方程代入即可；（2）分别求出点B，C的坐标，直接在Rt△OBC中，根据余切定义即可求出；（3）设点E的坐标是（x，0），求出点E的坐标，再求出CE的解析式，即可求出其与抛物线的交点坐标．【解答】解：（1）设抛物线的表达式为y＝ax2+bx+c，将点C（0，2）、A（﹣3，0）、对称轴直线x＝﹣2代入，得：，解得：，，∴这条抛物线的表达式为；（2）令y＝0，那么，解得x1＝﹣3，x2＝﹣1，∵点A的坐标是（﹣3，0），∴点B的坐标是（﹣1，0），∵C（0，2），∴OB＝1，OC＝2，在Rt△OBC中，∠BOC＝90°，∴；（3）设点E的坐标是（x，0），得OE＝|x|．∵∠CEO＝∠BCO，∴cot∠CEO＝cot∠BCO，在Rt△EOC中，∴，∴|x|＝4，∴点E坐标是（4，0）或（﹣4，0），∵点C坐标是（0，2），∴，∴，或解得和（舍去），或和（舍去）；∴点P坐标是（，）或（，）．25．【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠B＝∠C，根据三角形的外角性质得到∠BAD ＝∠CDE，得到△BAD∽△CDE，根据相似三角形的性质证明结论；（2）证明DF∥AB，根据平行线的性质得到＝，证明△BDA∽△BAC，根据相似三角形的性质列式计算，得到答案；（3）分点F在DE的延长线上、点F在线段DE上两种情况，根据等腰三角形的性质计算即可．【解答】（1）证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∠ADC＝∠BAD+∠B，∠ADE＝∠B，∴∠BAD＝∠CDE，又∠B＝∠C，∴△BAD∽△CDE，∴＝，即AB•CE＝BD•CD；（2）解：∵DF平分∠ADC，∵∠CDE＝∠BAD，∴∠ADE＝∠BAD，∴DF∥AB，∴＝，∵∠BAD＝∠ADE＝∠B，∴∠BAD＝∠C，又∠B＝∠B，∴△BDA∽△BAC，∴＝，即＝解得，BD＝，∴＝，解得，AE＝；（3）解：作AH⊥BC于H，∵AB＝AC，AH⊥BC，∴BH＝HC＝BC＝8，由勾股定理得，AH＝＝＝6，∴tan B＝＝，∴tan∠ADF＝＝，设AF＝3x，则AD＝4x，由勾股定理得，DF＝＝5x，∵△BAD∽△CDE，∴＝，当点F在DE的延长线上，F A＝FE时，DE＝5x﹣3x＝2x，∴＝，解得，CD＝5，当EA＝EF时，DE＝EF＝2.5x，∴＝，解得，CD＝，∴BD＝BC﹣CD＝；当AE＝AF＝3x时，DE＝x，∴＝，解得，CD＝，∴BD＝BC﹣CD＝；当点F在线段DE上时，∠AFE为钝角，∴只有F A＝FE＝3x，则DE＝8x，∴＝，解得，CD＝20＞16，不合题意，∴△AEF是等腰三角形时，BD的长为11或或．。
2020年上海市闵行区中考数学一模试卷(解析版)
2020年上海市闵行区中考数学一模试卷一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，请选择正确选项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1．（4分）如果把Rt△ABC的各边长都扩大到原来的n倍，那么锐角A的四个三角比值（）A．都缩小到原来的n倍B．都扩大到原来的n倍C．都没有变化D．不同三角比的变化不一致2．（4分）已知P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，那么下列比例式能成立的是（）A．B．C．D．3．（4分）k为任意实数，抛物线y＝a（x﹣k）2﹣k（a≠0）的顶点总在（）A．直线y＝x上B．直线y＝﹣x上C．x轴上D．y轴上4．（4分）如图，在正三角形ABC中，点D、E分别在AC、AB上，且，AE＝BE，那么有（）A．△AED∽△BED B．△BAD∽△BCD C．△AED∽△ABD D．△AED∽△CBD 5．（4分）下列命题是真命题的是（）A．经过平面内任意三点可作一个圆B．相等的圆心角所对的弧一定相等C．相交两圆的公共弦一定垂直于两圆的连心线D．内切两圆的圆心距等于两圆的半径的和6．（4分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，现有以下结论：①a＜0；②abc＞0；③a﹣b+c＜0；④b2﹣4ac＜0；其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】7．（4分）如果线段a＝4厘米，c＝9厘米，那么线段a、c的比例中项b＝厘米．8．（4分）在△ABC中，若∠C＝90°，AB＝10，sin A＝，则BC＝9．（4分）抛物线y＝﹣2（x﹣1）2+3在对称轴右侧的部分是的．（填“上升”或“下降”）10．（4分）如果两个相似三角形的相似比为2：3，两个三角形的周长的和是100cm，那么较小的三角形的周长为cm．11．（4分）为单位向量，与的方向相反，且长度为6，那么＝．12．（4分）某人从地面沿着坡度为i＝1：的山坡走了100米，这时他离地面的高度是米．13．（4分）已知正方形ABCD的边长为2，如果将线段BD绕着点B旋转后，点D落在BC的延长线上的点E处，那么tan∠BAE＝．14．（4分）已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，⊙C与斜边AB相切，那么⊙C的半径为．15．（4分）设抛物线l：y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点为D，与y轴的交点是C，我们称以C为顶点，且过点D的抛物线为抛物线l的“伴随抛物线”，请写出抛物线y＝x2﹣4x+1的伴随抛物线的解析式．16．（4分）半径分别为3cm与cm的⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，如果公共弦AB ＝4cm，那么圆心距O1O2的长为cm．17．（4分）正五边形的边长与边心距的比值为．（用含三角比的代数式表示）18．（4分）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝4，BC＝6，点D在底边BC上，且∠DAC ＝∠ACD，将△ACD沿着AD所在直线翻折，使得点C落到点E处，联结BE，那么BE的长为．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（10分）已知二次函数图象的最高点是A（1，4），且经过点B（0，3），与x轴交于C、D两点（点C在点D的左侧）．求△BCD的面积．20．（10分）已知：在平行四边形ABCD中，AB：BC＝3：2．（1）根据条件画图：作∠BCD的平分线，交边AB于点E，取线段BE的中点F，联结DF交CE于点G．（2）设＝，＝，那么向量＝；（用向量、表示），并在图中画出向量在向量和方向上的分向量．21．（10分）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝4，tan B＝3．以AB为直径作⊙O，交边DC于E、F两点．（1）求证：DE＝CF；（2）求：直径AB的长．22．（10分）2019年第18号台风“米娜”于9月29日早晨5点整，由位于台湾省周边的B岛东南方约980千米的西北太平洋洋面上（A点）生成，向西北方向移动．并于9月30日20时30分到达B岛后风力增强且转向，一路向北于24小时后在浙江省舟山市登陆．“米娜”在登录后风力减弱且再一次转向，以每小时20千米的速度向北偏东30°的方向移动，距台风中心170千米的范围内是受台风影响的区域．已知上海位于舟山市北偏西7°方向，且距舟山市250千米．（1）台风中心从生成点（A点）到达B岛的速度是每小时多少千米？（2）10月2日上海受到“米娜”影响，那么上海遭受这次台风影响的时间有多长？（结果保留整数，参考数据：sin23°≈0.39，cos23°≈0.92，tan23°≈0.42；sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75．）23．（12分）如图，在△ABC中，BD是AC边上的高，点E在边AB上，联结CE交BD 于点O，且AD•OC＝AB•OD，AF是∠BAC的平分线，交BC于点F，交DE于点G．求证：（1）CE⊥AB；（2）AF•DE＝AG•BC．24．（12分）已知：在平面直角坐标系xOy中，对称轴为直线x＝﹣2的抛物线经过点C（0，2），与x轴交于A（﹣3，0）、B两点（点A在点B的左侧）．（1）求这条抛物线的表达式；（2）联结BC，求∠BCO的余切值；（3）如果过点C的直线，交x轴于点E，交抛物线于点P，且∠CEO＝∠BCO，求点P的坐标．25．（14分）已知：如图，在Rt△ABC和Rt△ACD中，AC＝BC，∠ACB＝90°，∠ADC ＝90°，CD＝2，（点A、B分别在直线CD的左右两侧），射线CD交边AB于点E，点G是Rt△ABC的重心，射线CG交边AB于点F，AD＝x，CE＝y．（1）求证：∠DAB＝∠DCF；（2）当点E在边CD上时，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；（3）如果△CDG是以CG为腰的等腰三角形，试求AD的长．2020年上海市闵行区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，请选择正确选项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1．（4分）如果把Rt△ABC的各边长都扩大到原来的n倍，那么锐角A的四个三角比值（）A．都缩小到原来的n倍B．都扩大到原来的n倍C．都没有变化D．不同三角比的变化不一致【分析】根据三角形三边扩大相同的倍数，可得边的比不变，根据锐角三角函数的定义，可得答案．【解答】解：如果把Rt△ABC的三边长度都扩大2倍，锐角A不变，锐角三角函数值不变，故选：C．【点评】本题考查了锐角三角函数，注意锐角不变，锐角三角函数值不变．2．（4分）已知P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，那么下列比例式能成立的是（）A．B．C．D．【分析】根据黄金分割的定义：把线段AB分成两条线段AP和BP（AP＞BP），且使AP 是AB和BP的比例中项，叫做把线段AB黄金分割，点P叫做线段AB的黄金分割点【解答】解：根据黄金分割定义可知：AP是AB和BP的比例中项，即AP2＝AB•BP，∴＝．故选：A．【点评】本题考查了黄金分割，解决本题的关键是掌握黄金分割定义．3．（4分）k为任意实数，抛物线y＝a（x﹣k）2﹣k（a≠0）的顶点总在（）A．直线y＝x上B．直线y＝﹣x上C．x轴上D．y轴上【分析】求出抛物线的顶点为（k，﹣k），可以得到顶点在y＝﹣x直线上．【解答】解：∵y＝a（x﹣k）2﹣k（a≠0），∴抛物线的顶点为（k，﹣k），∵k为任意实数，∴顶点在y＝﹣x直线上，故选：B．【点评】本题考查二次函数的性质；熟练掌握二次函数顶点的求法，和一次函数的性质是解题的关键．4．（4分）如图，在正三角形ABC中，点D、E分别在AC、AB上，且，AE＝BE，那么有（）A．△AED∽△BED B．△BAD∽△BCD C．△AED∽△ABD D．△AED∽△CBD 【分析】根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可判定△AED∽△CBD．【解答】解：∵AD：AC＝1：3，∴AD：DC＝1：2；∵△ABC是正三角形，∴AB＝BC＝AC；∵AE＝BE，∴AE：BC＝AE：AB＝1：2∴AD：DC＝AE：BC；∵∠A为公共角，∴△AED∽△CBD；故选：D．【点评】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；也考查了等边三角形的性质．5．（4分）下列命题是真命题的是（）A．经过平面内任意三点可作一个圆B．相等的圆心角所对的弧一定相等C．相交两圆的公共弦一定垂直于两圆的连心线D．内切两圆的圆心距等于两圆的半径的和【分析】利用确定圆的条件，弦、弧的关系及两圆的位置关系分别判断后即可确定正确的选项．【解答】解：A、经过不在同一直线上的三点才能确定一个圆，错误，是假命题；B、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧一定相等，错误，是假命题；C、相交两圆的公共弦一定垂直于两圆的连心线，正确，是真命题；D、内切两圆的圆心距等于两圆的半径的差．错误，是假命题；故选：C．【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解确定圆的条件，弦、弧的关系及两圆的位置关系，属于基础题，难度不大．6．（4分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，现有以下结论：①a＜0；②abc＞0；③a﹣b+c＜0；④b2﹣4ac＜0；其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】利用抛物线开口方向对①进行判断；利用对称轴的位置得到b＞0，利用抛物线与y轴的交点位置得到c＞0，则可对②进行判断；利用自变量为﹣1对应的函数值为负数可对③进行判断；利用抛物线与x轴的交点个数和判别式的意义可对④进行判断．【解答】解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，所以①正确；∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，∴a、b异号，即b＞0，∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c＞0，∴abc＜0，所以②错误；∵x＝﹣1时，y＜0，即a﹣b+c＜0，所以③正确；∵抛物线与x轴有2个交点，∴△＝b2﹣4ac＞0，所以④错误．故选：B．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时，对称轴在y轴左；当a与b异号时，对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）．抛物线与x轴交点个数由判别式确定：△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】7．（4分）如果线段a＝4厘米，c＝9厘米，那么线段a、c的比例中项b＝6厘米．【分析】根据比例中项的定义得到a：b＝b：c，然后利用比例性质计算即可．【解答】解：∵线段a和c的比例中项为b，∴a：b＝b：c，即4：b＝b：9，∴b＝±6（负值舍去）．故答案为：6．【点评】本题考查了比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如a：b＝c：d（即ad＝bc），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．判定四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排列好，判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可．8．（4分）在△ABC中，若∠C＝90°，AB＝10，sin A＝，则BC＝4【分析】根据锐角三角函数的定义得出sin A＝＝，代入求出即可．【解答】解：∵sin A＝＝，SB＝10，∴BC＝4，故答案为：4．【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，能熟记锐角三角函数的定义的内容是解此题的关键．9．（4分）抛物线y＝﹣2（x﹣1）2+3在对称轴右侧的部分是下降的．（填“上升”或“下降”）【分析】根据a＜0，知抛物线开口向下，则在对称轴右侧的部分呈下降趋势．【解答】解：∵a＝﹣2＜0，∴抛物线开口向下，∴对称轴右侧的部分呈下降趋势．故答案为：下降．【点评】本题考查了二次函数的性质，根据抛物线的开口方向分析对称轴左右两侧的变化规律是解题的关键．10．（4分）如果两个相似三角形的相似比为2：3，两个三角形的周长的和是100cm，那么较小的三角形的周长为40cm．【分析】根据相似三角形周长比等于相似比列式计算．【解答】解：设较小的三角形的周长为xcm，则较大的三角形的周长为（100﹣x）cm，∵两个相似三角形的相似比为2：3，∴两个相似三角形的周长比为2：3，∴＝，解得，x＝40，故答案为：40．【点评】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形周长比等于相似比是解题的关键．11．（4分）为单位向量，与的方向相反，且长度为6，那么＝﹣6．【分析】根据平面向量的性质解决问题即可．【解答】解：∵为单位向量，与的方向相反，且长度为6，∴＝﹣6，故答案为﹣6．【点评】本题考查平面向量，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．12．（4分）某人从地面沿着坡度为i＝1：的山坡走了100米，这时他离地面的高度是50米．【分析】垂直高度、水平距离和坡面距离构成一个直角三角形．利用坡度比找到垂直高度和水平距离之间的关系后，借助于勾股定理进行解答．【解答】解：∵坡度为i＝1：，∴设离地面的高度为x，那么水平距离为x．∵x2+（x）2＝1002解得x＝50．即这时他离地面的高度是50米．【点评】本题考查了坡度＝垂直距离：水平距离．它们与斜边构成直角三角形．13．（4分）已知正方形ABCD的边长为2，如果将线段BD绕着点B旋转后，点D落在BC的延长线上的点E处，那么tan∠BAE＝．【分析】由正方形ABCD中四个内角为直角，四条边相等，求出BC与DC的长，利用勾股定理求出BD的长，由旋转的性质可求BE的长，即可求解．【解答】解；如图，∵正方形ABCD，∴∠ABC＝∠C＝90°，在Rt△BCD中，DC＝BC＝2，根据勾股定理得：BD＝＝＝2，∵将线段BD绕着点B旋转后，点D落在BC的延长线上的点E处，∴BE＝BD＝2，∴tan∠BAE＝＝＝，故答案为：．【点评】此题考查了旋转的性质，勾股定理，正方形的性质，解直角三角形等知识，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．14．（4分）已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，⊙C与斜边AB相切，那么⊙C的半径为．【分析】r的长即为斜边AB上的高，由勾股定理易求得AB的长，根据直角三角形面积的不同表示方法，即可求出r的值．【解答】解：Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4；由勾股定理，得：AB2＝32+42＝25，∴AB＝5；又∵AB是⊙C的切线，∴CD⊥AB，∴CD＝r；∵S＝AC•BC＝AB•r，△ABC∴r＝，故答案为：．【点评】本题考查了切线的性质、勾股定理、直角三角形面积的求法，熟练掌握切线的性质是解题的关键．15．（4分）设抛物线l：y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点为D，与y轴的交点是C，我们称以C为顶点，且过点D的抛物线为抛物线l的“伴随抛物线”，请写出抛物线y＝x2﹣4x+1的伴随抛物线的解析式y＝﹣x2+1．【分析】先根据抛物线的解析式求出其顶点D和抛物线与y轴的交点C的坐标．然后根据C的坐标用顶点式二次函数通式设伴随抛物线的解析式然后将D点的坐标代入抛物线的解析式中即可求出伴随抛物线的解析式．【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣4x+1＝（x﹣2）2﹣3，∴顶点坐标D为（2，﹣3），与y轴交点为C（0，1），设伴随抛物线的解析式为：y＝ax2+1，把D（2，﹣3）代入得a＝﹣1，∴伴随抛物线y＝﹣x2+1，故答案为：y＝﹣x2+1．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，属于新定义题，难度适中，关键是正确理解题意再用待定系数法求函数解析式．16．（4分）半径分别为3cm与cm的⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，如果公共弦AB ＝4cm，那么圆心距O1O2的长为2或4cm．【分析】利用连心线垂直平分公共弦的性质，构造直角三角形利用勾股定理及有关性质解题．【解答】解：如图，∵⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，∴O1O2⊥AB，且AD＝BD；又∵AB＝4厘米，∴AD＝2厘米，∴在Rt△AO1D中，根据勾股定理知O1D＝1厘米；在Rt△AO2D中，根据勾股定理知O2D＝3厘米，∴O1O2＝O1D+O2D＝4厘米；同理知，当小圆圆心在大圆内时，解得O1O2＝3厘米﹣1厘米＝2厘米．故答案是：4或2；【点评】本题主要考查了圆与圆的位置关系，勾股定理等知识点．注意，解题时要分类讨论，以防漏解．17．（4分）正五边形的边长与边心距的比值为2tan36°．（用含三角比的代数式表示）【分析】根据圆内接正五边形的性质求出∠BOC，再根据垂径定理求出∠1＝36°，然后利用勾股定理和解直角三角形即可得解【解答】解：∵⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，∴∠BOC＝×360°＝72°，∴∠1＝∠BOC＝×72°＝36°，设这个正五边形的边长为a，半径为R，边心距为r，R2﹣r2＝（a）2＝a2，a＝R sin36°，a＝2R sin36°；a＝r tan36°，∴a＝2r tan36°，∴＝2tan36°，故正五边形的边长与边心距的比值为2tan36°，故答案为：2tan36°．【点评】本题考查了正多边形与圆，解直角三角形，熟练掌握圆内接正五边形的性质并求出中心角的度数是解题的关键．18．（4分）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝4，BC＝6，点D在底边BC上，且∠DAC ＝∠ACD，将△ACD沿着AD所在直线翻折，使得点C落到点E处，联结BE，那么BE 的长为1．【分析】只要证明△ABD∽△MBE，得＝，只要求出BM、BD即可解决问题．【解答】解：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，∵∠DAC＝∠ACD，∴∠DAC＝∠ABC，∵∠C＝∠C，∴△CAD∽△CBA，∴＝，∴＝，∴CD＝，BD＝BC﹣CD＝，∵∠DAM＝∠DAC＝∠DBA，∠ADM＝∠ADB，∴△ADM∽△BDA，∴＝，即＝，∴DM＝，MB＝BD﹣DM＝，∵∠ABM＝∠C＝∠MED，∴A、B、E、D四点共圆，∴∠ADB＝∠BEM，∠EBM＝∠EAD＝∠ABD，∴△ABD∽△MBE，（不用四点共圆，可以先证明△BMA∽△EMD，推出△BME∽AMD，推出∠ADB＝∠BEM也可以！）∴＝，∴BE＝＝1．故答案为：1．【点评】本题考查翻折变换、等腰三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是充分利用相似三角形的性质解决问题，本题需要三次相似解决问题，题目比较难．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（10分）已知二次函数图象的最高点是A（1，4），且经过点B（0，3），与x轴交于C、D两点（点C在点D的左侧）．求△BCD的面积．【分析】根据二次函数图象的最高点是A（1，4），且经过点B（0，3），可以求得该函数的解析式，然后令y＝0，求出相应的x的值，即可得到点C和点D的坐标，从而可以求得△BCD的面积．【解答】解：设二次函数解析式为y＝a（x﹣1）2+4（a≠0），把B（0，3）代入得3＝a（0﹣1）2+4解得：a＝﹣1，令y＝0，那么﹣（x﹣1）2+4＝0，解得：x1＝3，x2＝﹣1，∴点C的坐标为（﹣1，0），点D的坐标为（3，0），∴CD＝4，∵点B的坐标为（0，3），∴OB＝3，∴△BCD的面积是：＝6．【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．20．（10分）已知：在平行四边形ABCD中，AB：BC＝3：2．（1）根据条件画图：作∠BCD的平分线，交边AB于点E，取线段BE的中点F，联结DF交CE于点G．（2）设＝，＝，那么向量＝﹣；（用向量、表示），并在图中画出向量在向量和方向上的分向量．【分析】（1）首先作∠BCD的平分线，然后作BE的垂直平分线即可；（2）首先判定△GEF∽△GCD，然后根据AB：BC＝3：2，得＝＝，进而得出EF＝CD，CG＝CE，最后根据向量运算即可得结论，即可画出分向量．【解答】解：（1）作∠BCD的平分线，交边AB于点E，取线段BE的中点F，联结DF 交CE于点G．作图如下：（2）∵CE为∠BCD的平分线，∴∠BCE＝∠DCE又∵AB∥CD∴∠DCE＝∠BEC∴△GEF∽△GCD∵AB：BC＝3：2∴＝＝∴EF＝CD，CG＝CE∵＝，＝，∴＝＝，＝＝∵+＝，＝﹣﹣∴＝﹣（+）＝﹣（+）＝﹣﹣同理可得，＝﹣＝（+）＝（﹣）＝﹣）在向量和方向上的分向量，如图所示：故答案为：＝．【点评】此题考查了角平分线的作图以及向量的运算，熟练掌握，即可解题．21．（10分）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝4，tan B＝3．以AB为直径作⊙O，交边DC于E、F两点．（1）求证：DE＝CF；（2）求：直径AB的长．【分析】（1）直接利用垂径定理结合平行线分线段成比例定理得出DH＝HC，进而得出答案；（2）过点A作AG⊥BC，垂足为点G，再利用已知结合勾股定理得出答案．【解答】（1）证明：过点O作OH⊥DC，垂足为H．∵AD∥BC，∠ADC＝90°，OH⊥DC，∴∠BCN＝∠OHC＝∠ADC＝90°．∴AD∥OH∥BC．又∵OA＝OB．∴DH＝HC．∵OH⊥DC，OH过圆心，∴EH＝HF，∴DH﹣EH＝HC﹣HF．即：DE＝CF．（2）解：过点A作AG⊥BC，垂足为点G，∠AGB＝90°，∵∠AGB＝∠BCN＝90°，∴AG∥DC．∵AD∥BC，∴AD＝CG．∵AD＝2，BC＝4，∴BG＝BC﹣CG＝2．在Rt△AGB中，∵tan B＝3，∴AG＝BG•tan B＝2×3＝6．在Rt△AGB中，AB2＝AG2+BG2∴AB＝．【点评】此题主要考查了垂径定理以及勾股定理，正确应用垂径定理是解题关键．22．（10分）2019年第18号台风“米娜”于9月29日早晨5点整，由位于台湾省周边的B岛东南方约980千米的西北太平洋洋面上（A点）生成，向西北方向移动．并于9月30日20时30分到达B岛后风力增强且转向，一路向北于24小时后在浙江省舟山市登陆．“米娜”在登录后风力减弱且再一次转向，以每小时20千米的速度向北偏东30°的方向移动，距台风中心170千米的范围内是受台风影响的区域．已知上海位于舟山市北偏西7°方向，且距舟山市250千米．（1）台风中心从生成点（A点）到达B岛的速度是每小时多少千米？（2）10月2日上海受到“米娜”影响，那么上海遭受这次台风影响的时间有多长？（结果保留整数，参考数据：sin23°≈0.39，cos23°≈0.92，tan23°≈0.42；sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75．）【分析】（1）由题意得，AB＝980千米，台风中心到达B岛的时间是39.5小时，于是得到结论；（2）过点S作SH⊥ZD，垂足为点H，解直角三角形即可得到结论．【解答】解：（1）由题意得，AB＝980千米，台风中心到达B岛的时间是39.5小时，∴（千米），答：台风中心从生成点（A点）到达B岛的速度是每小时25千米；（2）过点S作SH⊥ZD，垂足为点H，∴∠SHZ＝90°，∵∠NZD＝30°，∠CZN＝7°，∴∠CZD＝∠CZN+∠NZD＝7°+30°＝37°，在Rt△SHZ中，sin∠CZD＝．∵∠CZD＝37°，SZ＝250千米，∴SH＝SZ•sin∠CZD＝250×sin37°≈250×0.60≈150（千米），∵150千米＜170千米，∴设台风中心移动到E处时上海开始遭受台风影响到F处影响结束．即SE＝SF＝170（千米）．∵在Rt△SEH中，∠SHE＝90°，SE2＝SH2+HE2，∴，∴EF＝2EH≈160（千米），∴上海遭受这次台风影响的时间为（小时），答：上海遭受这次台风影响的时间为8小时．【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，充分体现了数学与实际生活的密切联系，解题的关键是构造直角三角形．23．（12分）如图，在△ABC中，BD是AC边上的高，点E在边AB上，联结CE交BD 于点O，且AD•OC＝AB•OD，AF是∠BAC的平分线，交BC于点F，交DE于点G．求证：（1）CE⊥AB；（2）AF•DE＝AG•BC．【分析】（1）由已知得出，证明Rt△ADB∽Rt△ODC，得出∠ABD＝∠OCD，证出∠OEB＝90°，即可得出结论；（2）证明△ADB∽△AEC，得出，即，证明△DAE∽△BAC，由相似三角形的性质得出，即可得出结论．【解答】证明：（1）∵AD•OC＝AB•OD，∴，∵BD是AC边上的高，∴∠BDC＝∠BDA＝90°，△ADB和△ODC是直角三角形，∴Rt△ADB∽Rt△ODC，∴∠ABD＝∠OCD，又∵∠EOB＝∠DOC，∠DOC+∠OCD+∠ODC＝180°，∠EOB+∠ABD+∠OEB＝180°．∴∠OEB＝90°，∴CE⊥AB；（2）在△ADB和△AEC中，∵∠BAD＝∠CAE，∠ABD＝∠OCD，∴△ADB∽△AEC，∴，即，在△DAE和△BAC中∵∠DAE＝∠BAC，．∴△DAE∽△BAC，∵AF是∠BAC的平分线，∴，即AF•DE＝AG•BC．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质；熟记相似三角形的判定定理是解题的关键．24．（12分）已知：在平面直角坐标系xOy中，对称轴为直线x＝﹣2的抛物线经过点C（0，2），与x轴交于A（﹣3，0）、B两点（点A在点B的左侧）．（1）求这条抛物线的表达式；（2）联结BC，求∠BCO的余切值；（3）如果过点C的直线，交x轴于点E，交抛物线于点P，且∠CEO＝∠BCO，求点P 的坐标．【分析】（1）设抛物线的表达式为y＝ax2+bx+c，将A，B的坐标及对称轴方程代入即可；（2）分别求出点B，C的坐标，直接在Rt△OBC中，根据余切定义即可求出；（3）设点E的坐标是（x，0），求出点E的坐标，再求出CE的解析式，即可求出其与抛物线的交点坐标．【解答】解：（1）设抛物线的表达式为y＝ax2+bx+c，将点C（0，2）、A（﹣3，0）、对称轴直线x＝﹣2代入，得：，解得：，，∴这条抛物线的表达式为；（2）令y＝0，那么，解得x1＝﹣3，x2＝﹣1，∵点A的坐标是（﹣3，0），∴点B的坐标是（﹣1，0），∵C（0，2），∴OB＝1，OC＝2，在Rt△OBC中，∠BOC＝90°，∴；（3）设点E的坐标是（x，0），得OE＝|x|．∵∠CEO＝∠BCO，∴cot∠CEO＝cot∠BCO，在Rt△EOC中，∴，∴|x|＝4，∴点E坐标是（4，0）或（﹣4，0），∵点C坐标是（0，2），∴，∴，或解得和（舍去），或和（舍去）；∴点P坐标是（，）或（，）．【点评】本题考查了待定系数法求解析式，锐角三角函数等，解题关键是在求点E坐标时需注意可在x轴的正半轴，也可在负半轴．25．（14分）已知：如图，在Rt△ABC和Rt△ACD中，AC＝BC，∠ACB＝90°，∠ADC ＝90°，CD＝2，（点A、B分别在直线CD的左右两侧），射线CD交边AB于点E，点G是Rt△ABC的重心，射线CG交边AB于点F，AD＝x，CE＝y．（1）求证：∠DAB＝∠DCF；（2）当点E在边CD上时，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；（3）如果△CDG是以CG为腰的等腰三角形，试求AD的长．【分析】（1）由点G是Rt△ABC的重心，证明CF⊥AB，即∠AFC＝90°，利用外角的性质即可证明结论；（2）过点B作BH⊥CD于点H，先证△CAD≌△BCH，得出BH＝CD＝2，CH＝AD＝x，DH＝2﹣x，再证△ADE∽△BHE，利用合比性质即可求出结论；（3）分两种情况讨论，当GC＝GD时，如图2﹣1，取AC的中点M，联结MD，可证AD＝CH＝；当CG＝CD时，如图2﹣2，可由重心分别求出CF，AC，CD的长，可由勾股定理求出AD的长．【解答】（1）证明：∵点G是Rt△ABC的重心，∴CF是Rt△ABC的中线，又∵在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，∴CF⊥AB，即∠AFC＝90°，∵∠DEF＝∠ADE+∠DAE＝∠EFC+∠ECF，且∠ADE＝∠EFC＝90°，∴∠DAB＝∠DCF；（2）解：如图1，过点B作BH⊥CD于点H，则∠CBH+∠BCH＝90°，又∵∠BCH+∠ACD＝90°，∴∠ACD＝∠CBH，又∵∠ADC＝∠CHB＝90°，AC＝CB，∴△CAD≌△BCH，∴BH＝CD＝2，CH＝AD＝x，DH＝2﹣x，∵∠ADC＝∠CHB＝∠BHD＝90°，∴AD∥BH，∴△ADE∽△BHE，∴，∴，∴，∴，∴；（3）解：当GC＝GD时，如图2﹣1，取AC的中点M，联结MD，那么MD＝MC，联结MG，MG⊥CD，且直线MG经过点B，那么BH与MG共线，又CH＝AD，那么AD＝CH＝；当CG＝CD时，如图2﹣2，即CG＝2，点G为△ABC的重心，∴，∴AB＝2CF＝6，∴，∴；综上所述，AD＝1或．【点评】本题考查了函数，相似三角形的判定与性质，重心的性质等，解题关键是熟练掌握重心的性质．。
闵行区2020学年第一学期九年级质量调研考试数学试卷(含答案)
闵行区2020学年第一学期九年级质量调研考试数学试卷（测试时间：100分钟，满分：150分）1.本试卷含三个大题，共25题.答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效.2.除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤.3.本次考试不可以使用科学计算器.一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1.下列函数中，是二次函数的是（A）），= 一二一3r （B）>，=十一1）—XT（C）y = 1 lx2 + 29x；（D）y = ax2 + bx + c .2.已知在RtZ\A3C 中，ZC = 90°,= AB = 5,那么AC 的长为（A） 5cosp：（B） 5sinZ? ：（C）——；（D）.cos p sin p3.如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数），="/+/小+。
图像经过点。
（0, 0）,那么根据图像，下列判断中正确的是y（A）〃<0；（B）〃>0：/ I ।I（C）（D） c = 0. \ ［/4.以下说法错误的是「（A> 如果k］。
，那么z=o：-~7（B）如果n = -2b,那么a =2 b ；（第33图）co如果z=2/；（/；为非零向量），那么工〃/；： 3（D）如果［是与非零向量”同方向的单位向量，那么"=卜”小.5.已知。
A与。
B的半径分别是6和8,圆心距A8 = 2,那么。
A与的位置关系是（A）相交：（B）内切；（C）外切：（D）内含.6.古希腊艺术家发现当人的头顶至肚脐的长度（上半身的长度）与肚脐至足底的长度（下半身的长度）的比值为''黄金分割数”时，人体的身材是最优美的.一位女士身高为154cm,她上半身的长度为62cm,为了使自己的身材显得更为优美，计划选择一双合适的高跟鞋，使自己的下半身长度增加.你认为选择鞋跟高为多少厘米的高跟鞋最佳？（A） 4cm；（B） 6cm：（C） 8cm；（D） 10cm.二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7.如果2〃 = 3灰〃。
上海市闵行区2020-2021学年第一学期九年级数学期末质量调研试卷(中考一模)带讲解
∴△FCE∽△BAE
∴ ,即FC=
∵AB//FC
∴ ,即
∴
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了平面向量的三角形法则、平行四边形法则等知识，灵活运用向量运算的运算法则成为解答本题的关键．
21.如图， 是 的外接圆，AB长为4， ，连接CO并延长，交边AB于点D，交AB于点E，且E为弧AB的中点，求：
9.抛物线 在对称轴的右侧部分是___________的（填“上升”或“下降”）．
【答案】下降
【分析】先将函数解析式化为顶点式，根据函数的性质解答．
【详解】∵ = ，
∴抛物线的开口向下，对称轴为直线x= ，
∴在对称轴右侧部分y随着x的增大而减小，
故答案为：下降．
【点睛】此题考查抛物线的性质：当a>0时，对称轴左减右增；当a<0时，对称轴左增右减，熟记抛物线的性质是解题的关键．
（1）填空：向量 __________；
（2）填空：向量 __________，并在图中画出向量 在向量 和 方向上的分向量．
（注：本题结果用含向量 、 的式子表示，画图不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）
【答案】（1） ；（2） ；作图见解析
【分析】（1）先求出AE占AC得几分之几，然后再根据向量运算的三角形法则计算即可；
19.计算：
【答案】2
【分析】分别把特殊角的三角函数值代入，再分别计算，结合分母有理化，合并化简即可解题．
【详解】解：原式
．
【点睛】本题考查特殊角 三角函数值，分母有理化等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
20.如图，在平行四边形 中，对角线AC、BD相交于点O．E为OC的中点，连接BE并延长，交边CD于点F，设 ， ．
2020年上海市闵行区部分学校中考数学一模试题(解析版)
2020年上海市闵行区部分学校中考数学一模试题一、选择题1.下列各数中，无理数是（ ）A. B. 912C.D.227【答案】C 【解析】 【分析】根据无理数的概念及其三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，结合选项解答即可．【详解】解：A ．2=-，是整数，属于有理数； B ．192，是分数，属于有理数；C D ．227是分数，属于有理数． 故选：C ．【点睛】本题主要考查了无理数的概念，解答本题的关键是掌握无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数． 2.不等式﹣2x ＞3的解集是（ ） A. 23x >-B. 23x <-C. 32x >-D. 32x <-【答案】D 【解析】 【分析】直接把x 的系数化为1即可．【详解】解：不等式的两边同时除以﹣2得，x ＜﹣32． 故选：D ．【点睛】本题考查的是解一元一次不等式，熟知不等式的基本性质是解答此题的关键． 3.下列方程中，有实数根的是（ ）xC.22111x x x =-- D. x 2+2020x ﹣1＝0【答案】D 【解析】 【分析】A ，﹣x ＜0，则方程无实数根；B 选项中，当x ＝11，则方程无实数根；C 选项中，解得x ＝1是方程的增根，则方程无实数根；D 选项中，△＞0，则方程有两个不相等的实数根．【详解】解：，x ﹣1≥0， ∴x ≥1， ∴﹣x ＜0，﹣x ， ∴A 不正确；，当x ＝11，≥1， ∴B 不正确；22111x x x =--两边同时乘以x 2﹣1，得x ＝1， 经检验x ＝1是方程的增根， ∴方程无解； ∴C 不正确； x 2+2020x ﹣1＝0， ∵△＝20202+4＞0，∴方程有两个不相等的实数根， ∴D 正确； 故选：D ．【点睛】本题考查分式方程、无理方程、一元二次方程；熟练掌握分式方程解法、一元二次方程根的判别式、掌握二次根式成立的条件是解题的关键．4.已知反比例函数y＝kx，当x＞0时，y的值随x的值增大而增大，下列四个选项中，可能是二次函数y＝2kx2﹣x﹣k图象的选项是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】直接利用反比例函数的性质得出k的符号，再利用二次函数的性质得出答案．【详解】解：∵反比例函数y＝kx，当x＞0时，y的值随x的值增大而增大，∴k＜0，∴二次函数y＝2kx2﹣x﹣k中，2k＜0，则图象开口向下，﹣k＞0，则图象与y轴交在正半轴上，又∵b＝﹣1＜0，∴二次项与一次项系数相同，则对称轴在y轴左侧，符合题意的只有选项D．故选：D．【点睛】此题主要考查了反比例函数的性质以及二次函数的性质，正确掌握系数与图象的关系是解题关键．5.要判断一个四边形门框是否为矩形，在下面四个拟定方案中，正确的方案是（）A. 测量对角线是否相互平分B. 测量两组对边是否分别相等C. 测量对角线是否互相垂直D. 测量其中三个角是否是直角【答案】D【解析】【分析】由矩形的判定即可得出结论．【详解】解：∵对角线相互平分的四边形是平行四边形，故A错误；∵两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故B错误；∵对角线互相垂直的四边形不一定是矩形，故C错误；∵三个角是直角的四边形是矩形，故D正确；∴在这四个拟定方案中，正确的方案是D，故选：D．【点睛】本题考查了矩形的判定；熟记三个角是直角的四边形为矩形是解题的关键．6.如果两个圆的圆心距为3，其中一个圆的半径长为4，另一个圆的半径长大于1，那么这两个圆的位置关系不可能是（）A. 内含B. 内切C. 外切D. 相交【答案】C【解析】【分析】首先利用一个圆的半径为4，另一个圆的半径大于1来求得两圆的半径之差的范围，然后根据圆心距d与两半径的关系判断即可．【详解】解：∵一个圆的半径R为4，另一个圆的半径r大于1，∴R﹣r＜4﹣1，R+r＞5即：R﹣r＜3，∵圆心距为3，∴两圆不可能外切，故选：C．【点睛】本题考查了圆与圆的位置关系，解题的关键是根据两圆的半径的大小或取值范围求得两圆的半径之差，然后根据圆心距与半径的关系确定本题的答案．二、填空题（共12题）7.计算：a2•a3=_____．【答案】a5．【解析】【分析】根据同底数的幂的乘法，底数不变，指数相加，计算即可．【详解】a2•a3=a 2+3 =a 5， 故答案为a 5．【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，熟练掌握同底数的幂的乘法的运算法则是解题的关键． 8.在实数范围内分解因式：222x x --=______. 【答案】()()1313x x ---+【解析】 【分析】可将x 2-2x 先配成一个完全平方式，再应用平方差公式进行分解即可.【详解】原式=2(1)3x --(13)(13)x x =-+-- 故填：(13)(13)x x -+--【点睛】本题考查配方法的应用，用平方差公式因式分解.能想到分组因式分解是解决此题的关键. 9.已知f （x ）＝2x 2﹣1，且f （a ）＝3，那么a ＝_____． 【答案】±2 【解析】 【分析】由已知可得f （a ）＝2a 2﹣1＝3，解出a 即可． 【详解】解：∵f （x ）＝2x 2﹣1，f （a ）＝3， ∴f （a ）＝2a 2﹣1＝3， ∴2a 2﹣1＝3时，a ＝±2， 故答案为±2．【点睛】本题考查函数值；理解题意，能够将所求问题转化为一元二次方程求解是关键． 10.已知一次函数y=kx+b 的图象如图，则关于x 的不等式kx+b ＞0的解集是______.【答案】2x <【解析】 【分析】直接利用一次函数图象，结合式kx+b ＞0时，则y 的值＞0时对应x 的取值范围，进而得出答案． 【详解】如图所示：关于x 的不等式kx+b ＞0的解集是：x ＜2． 故答案为：x ＜2．【点睛】此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，正确利用数形结合是解题关键． 11.某同学计划购买一双运动鞋，在网站上浏览时发现如表所示的男鞋尺码对照表． 中码CHN220225230…250255260…美码USA 4.5 55.5…7.588.5…如果美码（y ）与中码（x ）之间满足一次函数关系，那么y 关于x 的函数关系式为_____． 【答案】y ＝0.1x ﹣17.5 【解析】 【分析】设y 关于x 的函数关系式为：y ＝kx +b ，利用待定系数法求解析式． 【详解】解：设y 关于x 的函数关系式为：y ＝kx +b ， 由题意可得：52258255k bk b=+⎧⎨=+⎩解得：0.117.5k b =⎧⎨=-⎩∴y 关于x 的函数关系式为y ＝0.1x ﹣17.5， 故答案为：y ＝0.1x ﹣17.5．【点睛】本题考查了一次函数的应用，利用待定系数法求解析式，理解题意是本题的关键．12.一个不透明的袋子中装有8个大小、形状、都一样的小球，其中有3个红球与5个黄球，从这8个球中任取一个球是红球的概率是：_____．【答案】38【解析】 【分析】让红球的个数除以球的总数即为摸到红球的概率．【详解】解：在口袋中放有3个红球与5个黄球，共8个，这两种球除颜色外完全相同，随机从口袋中任取一个球，从这8个球中任取一个球是红球的概率是：38．故答案为：38．【点睛】本题考查随机事件概率的求法：如果一个事件有n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A 出现m 种结果，那么事件A 的概率P （A ）＝m n． 13.如果一段斜坡的坡角是30°，那么这段斜坡的坡度是_______．（请写成1︰m 的形式）． 【答案】1:3． 【解析】【详解】试题分析：因为斜坡的坡角是30°，所以这段斜坡的坡度=tan30°=3：3=1︰3． 故答案为：1:3．【点睛】本题考查坡度与坡角．14.如图，在△ABC 中，AD 是边BC 上的中线，设向量AB u u u r ＝a r ，AC uuu r ＝b r ，如果用向量a r ，b r 表示向量AD u u u r ，那么向量AD u u u r可以表示为_____．【答案】12a r +12b r【解析】 【分析】如图，延长AD 到E ，使得DE ＝AD ，连接BE ，CE ．证明四边形ABEC 是平行四边形，利用三角形法则求出AE u u u r即可解决问题．【详解】解：如图，延长AD 到E ，使得DE ＝AD ，连接BE ，CE ．∵AD ＝DE ，BD ＝CD ， ∴四边形ABEC 是平行四边形， ∴BE AC b ==u u u r u u u r r ， ∵AE AB BE a b =+=+u u u r u u u r u u u r r r ，∴111222AD AE a b ==+u u u r u u u r r ．故答案为：12a r +12b r．【点睛】本题考查平面向量，平行四边形的判定和性质，三角形法则等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行四边形解决问题，属于中考常考题型． 15.已知正三角形的边长为2，那么该三角形的半径长为_____． 23 【解析】 【分析】根据题意作出图形，构造直角三角形求得外接圆的半径即可求得本题的答案． 【详解】解：如图所示：连接OA 、OB 、OC ，过O 作OD ⊥BC 于D ， ∵△ABC 是边长为2的等边三角形， ∴AB ＝AC ＝BC ＝2，∠ABC ＝60°， ∴∠OBD ＝30°， ∵OD ⊥BC ，∴∠ODB ＝90°，BD ＝CD ＝12BC ＝1， ∴OD ＝BD •tan30°＝1×33＝33，∴OB ＝2OD ＝233， ∴该三角形的半径长为233， 故答案为：23．【点睛】本题考查的是正三角形的性质、边心距、半径、周长和面积的计算；熟练掌握正三角形的性质，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键．16.如果两点A （2，a ）和B （x ，b ）在抛物线y ＝x 2﹣4x +m 上，那么a 和b 的大小关系为：a _____b ．（从“＞”“≥”“＜”“≤”中选择）． 【答案】≤ 【解析】 【分析】由已知可得当x ＝2时函数有最小值，则可求b ≥a ．【详解】解：∵抛物线y ＝x 2﹣4x +m 的对称轴为x ＝2， ∴当x ＝2时函数有最小值， ∴b ≥a ， 故答案为：≤．【点睛】本题考查二次函数图象上点的特征；熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键． 17.平移抛物线y ＝2x 2﹣4x ，可以得到抛物线y ＝2x 2+4x ，请写出一种平移方法_____． 【答案】向左平移2个单位 【解析】 【分析】把y ＝2x 2﹣4x 和y ＝2x 2+4x 改写成顶点式，进而解答即可．【详解】解：∵y ＝2x 2﹣4x ＝2（x ﹣1）2﹣2，y ＝2x 2+4x ＝2（x +1）2﹣2， ∴两抛物线的顶点坐标分别为（1，﹣2）和（﹣1，﹣2），∴将抛物线y ＝2x 2﹣4x 先向左平移2个单位长度，可以得到抛物线y ＝2x 2+4x ．故答案为：向左平移2个单位．【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换：先把二次函数的解析式配成顶点式，然后把抛物线的平移问题转化为顶点的平移问题．18.如果三角形的两个内角∠α与∠β满足2α+β＝90°，那么，我们将这样的三角形称为“准互余三角形”．在△ABC中，已知∠C＝90°，BC＝3，AC＝4（如图所示），点D在AC边上，联结BD．如果△ABD为“准互余三角形”，那么线段AD的长为_____（写出一个答案即可）．【答案】52或74【解析】【分析】作DM⊥AB于M．设∠ABD＝α，∠A＝β．分两种情形：①当2α+β＝90°时．②当α+2β＝90°时，分别求解即可．【详解】解：过点D作DM⊥AB于M．设∠ABD＝α，∠A＝β．①当2α+β＝90°时，∵α+β+∠DBC＝90°，∴∠DBC＝∠DBA，∵DM⊥AB，DC⊥BC，∴DM＝DC，∵∠DMB＝∠C＝90°，DM＝DC，BD＝BD，∴Rt△BDC≌Rt△BDM（HL），∴BM＝BC＝3，∵∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，∴AB22BC AC5，∴AM ＝5﹣3＝2，设AD ＝x ，则CD ＝DM ＝4﹣x ，在Rt △ADM 中，则有x 2＝（4﹣x ）2+22，解得x ＝52． ∴AD ＝52． ②当α+2β＝90°时，∵α+β+∠DBC ＝90°，∴∠DBC ＝β＝∠A ，∵∠C ＝∠C ，∴△CBD ∽△CAB ，∴BC 2＝CD •CA ，∴CD ＝94， ∴AD ＝AC ﹣CD ＝4﹣94＝74． 故答案为：52或74． 【点睛】本题考查的是勾股定理，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．三、解答题（共7题）19.2318- 【答案】-3.【解析】【分析】根据绝对值的性质，二次根式的混合运算，进行运算即可1243-+=-【点睛】此题考查二次根式的混合运算，解题关键在于掌握运算法则20.解方程组：2228560x y x xy y +=⎧⎨+-=⎩【答案】1112 2x y =⎧⎨=-⎩，228383xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩【解析】【分析】先将第2个方程变形为x+6y＝0，x﹣y＝0，从而得到两个二元一次方程组，再分别求解即可．【详解】解：2228560x yx xy y+=⎧⎨+-=⎩①②，由②得：x+6y＝0，x﹣y＝0，原方程组可化为2860x yx y+=⎧⎨+=⎩或28x yx y+=⎧⎨-=⎩，故原方程组的解为11122xy=⎧⎨=-⎩，228383xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．【点睛】本题考查的是高次方程，关键是通过分解，把高次方程降次，得到二元一次方程组，用到的知识点是因式分解、加减法．21.如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝1，点D在边AC上，且∠DBC＝45°，求sin∠ABD的值．【答案】624【解析】【分析】如图，作DM⊥AB于M，BA上取一点H，使得BH＝DH，连接DH．设DM＝a．解直角三角形求出BD 即可解决问题．【详解】解：如图，过点D作DM⊥AB于M，在BA上取一点H，使得BH＝DH，连接DH．设DM＝a．∵∠C＝90°，∠A＝30°，∴∠ABC＝90°﹣30°＝60°，∵∠DBC＝45°，∴∠ABD＝60°﹣45°＝15°，∵HB＝HD，∴∠HBD＝∠HDB＝15°，∴∠DHM＝∠HBD+∠HDB＝30°，∴DH＝BH＝2a，MH3，BM＝2a3，∴BD2222(23)(26)DM BM a a a a+++=，∴sin∠ABD＝62(26)DMDB a-==+【点睛】本题考查解直角三角形，直角三角形30度角的性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．22.某电脑公司2019年的各项经营收入中，经营电脑配件的收入为800万元，占全年经营总收入的40%，该公司预计2021年经营总收入要达到2880万元，且计划从2019年到2021年，每年经营总收入的年增长率相同，问2020年预计经营总收入为多少万元？【答案】2400万【解析】【分析】设从2019年到2021年，平均经营总收入增长率为x，根据等量关系：2019年经营总收入×（1+增长率）2＝2021年经营总收入，列出方程求解即可．【详解】解：从2019年到2021年，平均经营总收入增长率为x，根据题意可得：800÷40%（1+x）2＝2880，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝2.2（不合题意舍去），则800÷40%×（1+20%）＝2400（万元），答：2020年预计经营总收入为2400万元．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，属于增长率的问题，一般公式为原来的量×（1±x ）2＝后来的量，其中增长用+，减少用﹣．23.已知：如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，D 在斜边AB 上，DE ⊥AC ，DF ⊥BC ，垂足分别为E ，F ．（1）当∠ACD ＝∠BCD 时，求证：四边形DECF 是正方形；（2）当∠BCD ＝∠A 时，求证：CD CF CA AD=． 【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）由垂直的定义可得出∠DEC ＝∠DFC ，结合∠ECF ＝90°可得出四边形DECF 为矩形，由∠ACD ＝∠BCD 可得出CD 平分∠ACB ，利用角平分线的性质可得出DE ＝DF ，再利用“邻边相等的矩形是正方形”可证出四边形DECF 是正方形；（2）由∠BCD +∠ACD ＝∠ACB ＝90°，∠BCD ＝∠A 可得出∠A +∠ACD ＝90°，利用三角形内角和定理可求出∠ADC ＝90°，由∠DCF ＝∠A ，∠DFC ＝∠ADC ＝90°可证出△CDF ∽△ACD ，再利用相似三角形的性质可证出CD CF CA AD=． 【详解】证明：（1）∵DE ⊥AC ，DF ⊥BC ，∴∠DEC ＝∠DFC ＝90°，又∵∠ECF ＝90°，∴四边形DECF 为矩形．∵∠ACD ＝∠BCD ，∴CD 平分∠ACB ，∴DE ＝DF ，∴四边形DECF 是正方形．（2）∵∠BCD +∠ACD ＝∠ACB ＝90°，∠BCD ＝∠A ，∴∠A +∠ACD ＝90°，∴∠ADC ＝180°﹣90°＝90°．∵∠DCF ＝∠A ，∠DFC ＝∠ADC ＝90°，∴△CDF ∽△ACD ， ∴CD CF CA AD=． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质以及正方形的判定，解题的关键是：（1）利用“邻边相等的矩形是正方形”，证出四边形DECF 是正方形；（2）利用“两角对应相等两三角形相似”证出△CDF ∽△ACD ．24.如图，已知一个抛物线经过A （0，1），B （1，3），C （﹣1，1）三点．（1）求这个抛物线的表达式及其顶点D 的坐标； （2）联结AB 、BC 、CA ，求tan ∠ABC 的值；（3）如果点E 在该抛物线的对称轴上，且以点A 、B 、C 、E 为顶点的四边形是梯形，直接写出点E 的坐标．【答案】（1）y ＝x 2+x +1，顶点D 的坐标（﹣12，34）；（2）tan ∠ABC ＝13；（3）点E 的坐标为（﹣12，3）或（﹣12，2）或（﹣12，12） 【解析】【分析】（1）设抛物线的解析式为y ＝ax 2+bx +c ，将A （0，1）、B （1，3）、C （﹣1，1）代入，求a 、b 、c 的值，可得结果；（2）如图，过点B 作BF ⊥x 轴于F ，延长CA 交BF 于点D ，过点A 作AM ⊥BC 于M ，通过勾股定理和等腰直角三角形的性质可求AM 和BM 的长，即可求解；（3）分三种情况讨论，由梯形的性质可求解．【详解】解：（1）设抛物线的解析式为y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）．由题意可得：311a b c a b c c =++⎧⎪=-+⎨⎪=⎩解得：111 abc=⎧⎪=⎨⎪=⎩∴抛物线的解析式为：y＝x2+x+1，∵y＝x2+x+1＝213()24x++，∴顶点D的坐标（﹣12，34）；（2）如图，过点B作BF⊥x轴于F，延长CA交BF于点D，过点A作AM⊥BC于M，∴BF＝3，∵A（0，1），C（﹣1，1），∴AC∥x轴，∴CD⊥BF，∴CD＝BD＝2，AD＝1，CA＝1，∴BC＝2∠BCD＝∠CBD＝45°，∵AM⊥BC，∴∠MAC＝∠MCA＝45°，∴CM＝AM，∴CM＝AM22=，∴BM＝BC﹣CM＝322，∴tan∠ABC＝AMBM＝13；（3）∵A（0，1），B（1，3），C（﹣1，1），∴直线AC解析式为：y＝1，直线AB解析式为：y＝2x+1，直线BC解析式为：y＝x+2，若BE∥AC，则点E的纵坐标为3，且点E在对称轴上，∴点E（﹣12，3）；若CE∥AB，则CE的解析式为；y＝2x+3，∵点E在对称轴上，∴x＝﹣12，∴y＝2，即点E（﹣12，2）；若AE∥BC，则AE解析式为：y＝x+1，∵点E在对称轴上，∴x＝﹣12，∴y＝12，即点E（﹣12，12），综上所述：点E的坐标为（﹣12，3）或（﹣12，2）或（﹣12，12）．【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，等腰直角三角形的性质，勾股定理，梯形的性质等知识，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．25.在圆O中，弦AB与CD相交于点E，且弧AC与弧BD相等．点D在劣弧AB上，联结CO并延长交线段AB于点F，联结OA、OB．当OA＝5，且tan∠OAB＝12．（1）求弦CD的长；（2）如果△AOF是直角三角形，求线段EF的长；（3）如果S△CEF＝4S△BOF，求线段AF的长．【答案】（1）4；（2）3251；（3）25【解析】【分析】（1）如图，过点O作OH⊥AB于点H，由锐角三角函数可求OH＝1，AH＝2，由垂径定理可得AB＝4，即可求CD＝4（2）分两种情况讨论，由相似三角形的性质可求解；（3）先利用面积关系得出53COFO=，进而利用△OAF∽△EFC得出比例式，即可得出结论．【详解】解：（1）如图，过点O作OH⊥AB于点H，∵tan∠OAB＝12OHAH =，∴设OH＝a，AH＝2a，∵AO2＝OH2+AH2＝5，∴a＝1，∴OH＝1，AH＝2，∵OH⊥AB，∴AB＝2AH＝4，∵弧AC＝弧BD∴¶¶AB CD=，∴AB＝CD＝4；（2）∵OA＝OB，∴∠OAF＝∠OBA，∴∠OAF＝∠ECF，①当∠AFO＝90°时，∵OA tan∠OBA＝12，∴OC＝OA OF＝1，AB＝4，∴EF＝CF•tan∠ECF＝CF•tan∠OBA；②当∠AOF＝90°时，∵OA＝OB，∴∠OAF＝∠OBA，∴tan ∠OAF ＝tan ∠OBA ＝12， ∵OA∴OF ＝OA •tan ∠OAF， ∴AF ＝52， ∵∠OAF ＝∠OBA ＝∠ECF ，∠OF A ＝∠EFC ，∴△OF A ∽△EFC ，∴EF OC OF OF AF +==， ∴EF32=， 即：EF ＝32； （3）如图，连接OE ，∵∠ECB ＝∠EBC ，∴CE ＝EB ，∵OE ＝OE ，OB ＝OC ，∴△OEC ≌△OEB ，∴S △OEC ＝S △OEB ，∵S △CEF ＝4S △BOF ，∴S △CEO +S △EOF ＝4（S △BOE ﹣S △EOF ）， ∴53CEO EFO S S ∆∆=， ∴53CO FO =， ∴FO＝35CO ， ∵△OF A ∽△EFC ， ∴53CE AO OC EF FO OF ===， ∴BF ＝BE ﹣EF ＝CE ﹣EF ＝23EF ， ∴AF ＝AB ﹣BF ＝4﹣23EF ， ∵△OAF ∽△EFC ，∴CF EF FA FO=，∴85523543EF=-，∴EF＝3﹣35，∴AF＝4﹣23EF＝2+25．【点睛】此题是圆的综合题，主要考查了圆的性质，锐角三角函数，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，分类讨论的思想，判断出53CE AO OCEF FO OF===是解本题的关键．。
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闵行区2019学年第一学期九年级质量监控考试数 学 试 卷（考试时间100分钟，满分150分）考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤． 3．本次测试可使用科学计算器．一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，请选择正确选项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1．如果把Rt △ABC 的各边长都扩大到原来的n 倍，那么锐角A 的四个三角比值 （A ）都缩小到原来的n 倍； （B ）都扩大到原来的n 倍； （C ）都没有变化； （D ）不同三角比的变化不一致． 2．已知P 是线段AB 的黄金分割点，且AP > BP ，那么下列比例式能成立的是（A ）AB AP AP BP =； （B ）AB BP AP AB =； （C ）BP ABAP BP=； （D ）AB AP ． 3．k 为任意实数，抛物线2()0y a x k k a =--≠（）的顶点总在（A ）直线y x =上； （B ）直线y x =-上； （C ）x 轴上； （D ）y 轴上．4．如图在正三角形ABC 中，点D 、E 分别在AC 、AB 上，且13AD AC =，AE = BE ，那么有 （A ）△AED ∽△BED ； （B ）△BAD ∽△BCD ； （C ）△AED ∽△ABD ； （D ）△AED ∽△CBD ． 5．下列命题是真命题的是（A ）经过平面内任意三点可作一个圆； （B ）相等的圆心角所对的弧一定相等；（C ）相交两圆的公共弦一定垂直于两圆的连心线； （D ）内切两圆的圆心距等于两圆的半径的和．6．二次函数2(0)y a x bx c a =++≠①0a <；②0abc >；③0a b c -+<；④240b ac -<其中正确的结论有（A ）1个； （B ）2个； （C ）3个； （D ）4个．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】7．已知线段a = 4厘米，c = 9厘米，那么线段a 和c 的比例中项 ▲ 厘米．8．在Rt △ABC 中，∠C=90º，AB =10，2sin 5A =，那么BC = ▲ ． 9．抛物线22(1)3y x =--+在对称轴右侧的部分是 ▲ 的．（填“上升”或B C（第4题x（第6题“下降”）10．如果两个相似三角形的相似比为2︰3，两个三角形的周长的和是100cm ，那么较小的三角形的周长为 ▲ cm ．11．e 为单位向量，a 与e 的方向相反，且长度为6，那么a = ▲ e ． 12．某人从地面沿坡度i =100米，这时他离地面的高度是 ▲ 米．13．已知正方形ABCD 的边长为2，如果将线段BD 绕着点B 旋转后，点D 落在BC 的延长线上的点E 处，那么tan BAE ∠= ▲ ．14．已知在Rt △ABC 中，∠C=90º，AC =3，BC =4，⊙C 与斜边AB 相切，那么⊙C 的半径为 ▲ ．15．设抛物线l ：2(0)y a x bx c a =++≠的顶点为D ，与y 轴的交点是C ，我们称以C 为顶点，且过点D 的抛物线为抛物线l 的“伴随抛物线”，请写出抛物线241y x x =-+的伴随抛物线的解析式 ▲ ．16．半径分别为3cm的⊙O 1与⊙O 2相交于A 、B 两点，如果公共弦AB=，那么圆心距O 1O 2的长为 ▲ cm ．17．正五边形的边长与边心距的比值为 ▲ ．（用含三角比的代数式表示）18．如图，在等腰△ABC 中，AB = AC = 4，BC = 6，点D 在底边BC 上，且∠DAC =∠ACD ，将△ACD 沿着AD 所在直线翻折，使得点C 落到点E 处，联结BE ，那么BE 的长为 ▲ ．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）ACD B （第18题19．（本题满分10分）已知二次函数图像的最高点是A（1，4），且经过点B（0，3），与x轴交于C、D两点（点C在点D的左侧）．求△BCD的面积．20．（本题共2小题，第（1）小题2分，第（2）小题8分，满分10分）已知：在平行四边形ABCD中，AB︰BC = 3︰2．（1）根据条件画图：作∠BCD的平分线，交边AB于点E，取线段BE的中点F，联结DF交CE于点G．（2）设AB=a，AD=b，那么向量CG= ▲；（用向量a、b表示），并在图中画出向量DG在向量AB和AD方向上的分向量．21．（本题共2小题，第（1）小题6分，第（2）小题4分，满分10分）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90º，AD= 2，BC= 4，tan3B ．以AB为直径作⊙O，交边DC于E、F两点．（1）求证：DE=CF；（2）求：直径AB的长．BCFE（第21题22．（本题共2小题，第（1）小题3分，第（2）小题7分，满分10分） 2019年第18号台风“米娜”于9月29日早晨5点整，由位于台湾省周边的B 岛东南方约980千米的西北太平洋洋面上（A 点）生成，向西北方向移动．并于9月30日20时30分到达B 岛后风力增强且转向，一路向北于24小时后在浙江省舟山市登陆．“米娜”在登录后风力减弱且再一次转向，以每小时20千米的速度向北偏东30º的方向移动，距台风中心170千米的范围内是受台风影响的区域．已知上海位于舟山市北偏西7º方向，且距舟山市250千米．（1）台风中心从生成点（A 点）到达B 岛的速度是每小时多少千米？（2）10月2日上海受到“米娜”影响，那么上海遭受这次台风影响的时间有多长？ （结果保留整数，参考数据：sin 230.39≈，cos230.92≈，tan 230.42≈；sin370.60≈，cos370.80≈，tan370.75≈．）上海 浙江ZB台 湾A北东（第22题图）上海CNDSZ舟山23．（本题共2小题，每小题6分，满分12分）如图，在△ABC 中，BD 是AC 边上的高，点E 在边AB 上，联结CE 交BD 于点O ，且AD OC AB OD ⋅=⋅，AF 是∠BAC 的平分线，交BC 于点F ，交DE 于点G ．求证：（1）CE ⊥AB ；（2）AF DE AG BC ⋅=⋅．24．（本题共3题，每小题4分，满分12分）已知：在平面直角坐标系xOy 中，对称轴为直线x = -2的抛物线经过点C （0，2），与x 轴交于A （-3，0）、B 两点（点A 在点B（1）求这条抛物线的表达式； （2）联结BC ，求∠BCO 的余切值；x（第24题ABDC（第23题EFGO（3）如果过点C 的直线，交x 轴于点E ，交抛物线于 点P ，且∠CEO =∠BCO ，求点P 的坐标．25．（本题共3小题，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题4分，满分14分）已知：如图，在Rt △ABC 和Rt △ACD 中，AC =BC ，∠ACB =90°，∠ADC =90°，CD =2，（点A 、B 分别在直线CD 的左右两侧），射线CD 交边AB 于点E ，点G 是Rt △ABC 的重心，射线CG 交边AB 于点F ，AD =x ，CE =y .（1）求证：∠DAB =∠DCF ；（2）当点E 在边CD 上时，求y 关于x 的函数关系式，并写出x 的取值范围； （3）如果△CDG 是以CG 为腰的等腰三角形，试求AD 的长.（第25题ABDCEF G闵行区2019学年第一学期九年级质量监控试卷答案要点及评分标准一、选择题：1．C ； 2．A ； 3．B ； 4．D ； 5．C ； 6．B ．二、填空题：7．6； 8．4； 9．下降； 10．40； 11．-6； 12．50； 13；14．125； 15．21y x =-+； 16．2或4； 17．2tan36（2sin36cos36）．；18．1．三、解答题：19．解：设所求的二次函数解析式为2(1)4(0)y a x a =-+≠，………………………（2分）把B （0，3）代入得23(01)4a =-+解得：1a =-．…………………………（2分）令0y =，那么2(1)4=0x --+，解得：123,1x x ==-．………………………（2分） ∴CD=4．…………………………………………………………………………（2分）在△BCD 中，12BCD S ∆=·CD ·OB=143=62⨯⨯．………………………………（2分）20．解：（1）角平分线………………………………（1分）整体画对；……………………………（1分） （2）CG =12a -34b -．…………………（4分）画图及结论正确．……………………（4分）21．解：（1）过点O 作OH ⊥DC ，垂足为H ． ∵AD ∥BC ，∠ADC=90º，OH ⊥DC ， ∴∠BCN =∠OHC =∠ADC =90º．……（1分） ∴AD ∥OH ∥BC ．……………………（1分） 又∵OA=OB ．……………………………（1分） ∴DH=HC ．……………………………（1分） ∵OH ⊥DC ，OH 过圆心，∴EH = HF ．……………………………（1分） ∴DH -EH =HC -HF ．………………（1分） 即：DE =CF ．（2）过点A 作AG ⊥BC ，垂足为点G ，∠AGB = 90°， ∵∠AGB =∠BCN = 90°，∴AG ∥DC ．FE （第21题NH ABDC（第20题E F G∵AD ∥BC ，∴AD=CG ．……………………………………………………（1分） ∵AD= 2，BC= 4，∴BG= BC -CG =2．………………………………（1分） 在Rt △AGB 中，∵tan 3B =，∴tan 236AG BG B =⋅=⨯=．……………………………………………（1分） 在Rt △AGB 中，222AB AG BG =+∴AB=…………………………………………………（1分）22．解：（1）由题意得，AB=980千米，台风中心到达B 岛的时间是39.5小时．…（1分）∴9802539.5v =≈（千米）．…………………………………………………（1分） 答：台风中心从生成点（A 点）到达B 岛的速度是每小时25千米．…（1分） （2）过点S 作SH ⊥ZD ，垂足为点H ，∴∠SHZ = 90°， ∵∠NZD=30°，∠CZN=7°，∴∠CZD=∠CZN +∠NZD=7° + 30°=37°．………………………………（1分）在Rt △SHZ 中，sin ∠CZD =SHSZ．∵∠CZD=37°，SZ=250千米， ∴SH=SZ ·sin ∠CZD=250sin372500.60150⨯≈⨯≈（千米）．………（2分）∵150千米<170千米，∴设台风中心移动到E 处时上海开始遭受台风影响到F 处影响结束．即SE=SF=170（千米）．（第22题D∵在Rt △SEH 中，∠SHE = 90°，222SE SH HE =+，∴80HE ≈．（2分）∴EF=2EH ≈160（千米）．……………（1分）∴上海遭受这次台风影响的时间为16082020EF =≈（小时）．…………（1分） 答：上海遭受这次台风影响的时间为8小时．23．证明：（1）∵AD OC AB OD ⋅=⋅，∴AD AB OD OC=．………………………………（1分）∵BD 是AC 边上的高，∴∠BDC = 90°，△ADB 和△ODC 是直角三角形．…………………（1分） ∴Rt △ADB ∽Rt △ODC ．………………………………………………（1分） ∴∠ABD =∠OCD ．……………………………………………………（1分） 又∵∠EOB =∠DOC ，∠DOC +∠OCD +∠ODC =180°，∠EOB +∠ABD+∠OEB =180°．∴∠OEB = 90°．…………………………………………………………（1分） ∴CE ⊥AB ．………………………………………………………………（1分）（2）在△ADB 和△AEC 中，∵∠BAD =∠CAE ，∠ABD =∠OCD ，∴△ADB ∽△AEC ．………………………………………………………（2分） ∴AD AB AE AC =， 即AD AE AB AC=．…………………………………………（1分） 在△DAE 和△BAC 中∵∠DAE =∠BAC ，AD AE AB AC=． ∴△DAE ∽△BAC ．………………………………………………………（2分） ∵AF 是∠BAC 的平分线， ∴AG DE AF BC=， 即AF DE AG BC ⋅=⋅．…………………………………（1分）24．解：（1）设抛物线的表达式为2(0)y ax bx c a =++≠． 由题意得：229302b a a b c c ⎧-=-⎪⎪-+=⎨⎪=⎪⎩………………………………………………（1分） 解得：23a =，83b =．……………………………………………………（2分） ∴这条抛物线的表达式为228233y x x =++．……………………………（1分） 注：用对称性求解析式酌情给分．（2）令y = 0，那么2282033x x ++=，解得13x =-，21x =-．………………………………………………………（1分）∵点A 的坐标是（-3，0）∴点B 的坐标是（-1，0）．…………………（1分） ∵C （0，2）∴1OB =，2OC =．…………………………………………（1分） 在Rt △ OBC 中，∠BOC =90º， ∴cot 2OC BCO OB∠==．………………………………………………………（1分）（3）设点E 的坐标是（x ，0），得OE =x ．∵CEO BCO ∠=∠， ∴cot cot CEO BCO ∠=∠．在Rt △ EOC 中，∴cot 22x OE CEO OC ∠===． ∴x =4，∴点E 坐标是（4，0）或 （-4，0）．………………………（1分） ∵点C 坐标是（0，2）， ∴11:2=222CE l y x y x =+-+或．……………………………………………（1分） ∴212228233y x y x x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=++⎪⎩ ，或212228233y x y x x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=++⎪⎩解得13438x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩和02x y =⎧⎨=⎩（舍去），或194358x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩和02x y =⎧⎨=⎩（舍去）； ∴点P 坐标是（134-，38）或（194-，358）．………………………（2分）25．（1）证明：∵点G 是Rt △ABC 的重心，∴CF 是Rt △ABC 的中线．…………………………………………（1分）又∵在Rt △ABC ，AC =BC ，∠ACB =90°，∴CF ⊥AB ，即∠AFC =90°．…………………………………………（1分） ∵∠DEF =∠ADE +∠DAE =∠EFC +∠ECF ，且∠ADE =∠EFC =90°，∴∠DAB =∠DCF ．…………………………………………………（2分）（2）解： 如右图，过点B 作BH ⊥CD 于点H ． 可证△CAD ≌△BCH . ………………………（1分）∴BH = CD = 2，CH = AD = x ，DH = 2-x ．（1分）可证AD ∥BH .∴EH DE BH AD =．………………（1分） EH DE x =2，EHDH EH EH DE x =+=+22，224+-=x x EH ．……………（1分） )20(242242≤++=+-+=+==x x x x x x HE CH CE y ＜．…………（1+1分） （3）解： 当GC =GD 时，如图1，取AC 的中点M ，联结MD .那么MD =MC ，联结MG ，MG ⊥CD ，且直线MG 经过点B ．那么BH 与MG 共线．又CH =AD ，那么AD =CH =112CD =．………………………………（2分） 当CG =CD 时，如图2，即CG =2，点G 为△ABC 的重心，332CF CG ==，AB =2CF =6，2322AC AB ==， 2218414AD AC CD =-=-=．…………………………………（2分）综上所述，AD =1或14．。