2015届四川省成都七中高三数学文上学期期中考试(2014.11)word版

成都七中高2015届高三上学期期中数学考试题答案（文科）一、选择题，10个小题，每小题5分，共50分，每小题有一个正确选项，请将正确选项涂在答题卷上. 1.ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若13, 2.cos()3a b A B ==+=，则c =（ ）.4..3.A B C D答案：D解析：22211cos ,2cos 94232()1733C c a b ab C =-=+-=+-⋅⋅-=2．《张丘建算经》卷上第22题为：今有女善织，日益功疾，且从第2天起，每天比前一天多织相同量的布，若第1天织5尺布，现在一月（按30天计）共织390尺布，则每天比前一天多织________尺布。

（不作近似计算）（ ）答案：C解析：由题可知,是等差数列,首项是5,公差为d ,前30项和为390.根据等差数列前n 项和公式,有3在),1(+∞-上是减函数，则b 的取值范围是（ ） .[1,)A -+∞ .(1,)B -+∞ .(,1)C -∞- .(,1]D -∞-答案：D解析：由题意可知()02bf x x x '=-+≤+，在(1,)x ∈-+∞上恒成立， 即(2)b x x ≤+在(1,)x ∈-+∞上恒成立，2()(2)2f x x x x x =+=+ 且(1,)x ∈-+∞()1f x ∴>-∴要使(2)b x x ≤+，需1b ≤- 故答案为1b ≤-，选D4．已知c ＞1，( )A ．a ＜bB ．a ＞bC ．a ＝bD ．a 、b 大小不定 答案：A，易看出分母的大小，所以a ＜b5．已知数列{}n a满足*110,n a a n N +==∈，则2015a 等于( ).0...A B C D -答案：B解析：根据题意，由于数列{a n }满足a 1＝0，a n ＋1，那么可知∴a 1=0，a 2=-，a 3=，a 4=0，a 5=-a 6=…，故可知数列的周期为3，那么可知20152a a ==，选B.6．在ABC ∆中，若a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，且cos2cos cos()1B B A C ++-=，则有（ ）A ．,,a c b 成等比数列B ．,,a c b 成等差数列C ．,,a b c 成等差数列D ．,,a b c 成等比数列答案：D解析：由cos 2cos cos()1B B A C ++-=变形得：cos cos()1cos 2B A C B +-=-，[]2cos cos ()cos(),cos 212sin B A C A C B B π=-+=-+=- ，∴上式化简得：2cos()cos()2sin A C A C B --+=，22sin sin()2sin A C B ∴--=，即2sin sin sin A C B =，由正弦定理:sin :sin :sin a A b B c C ==得：2ac b =，则,,a b c 成等比数列．故选D7.设M 是ABC ∆所在平面上的一点，且330,22MB MA MC D ++=是AC 中点，则MD BM的值为（ ）11...1.232A B C D答案：A解析：D 为AC 中点，33()2322MB MA MC MD MD ∴=-+=-⋅=-13MD MB ∴=8．已知函数9()4,(0,4),1f x x x x =-+∈+当x a =时，()f x 取得最小值b ，则在直角坐标系中函数||1()()x b g x a+=的图像为（ ）答案：B解析：因为x ∈（0，4），∴x+1＞1，故99()41551,(0,4),11f x x x x x x =-+=++-≥-=∈++当且仅当911x x +=+时取得等号，此时函数有最小值1，∴a=2，b=1，可知g(x)的解析式进而作图可知结论选B.9．下列说法正确的是（ ）A ．函数y f x =()的图象与直线x a =可能有两个交点；B ．函数22log y x =与函数22log y x =是同一函数；C ．对于[]a b ,上的函数y f x =()，若有0f a f b ⋅()()＜，那么函数y f x =()在()a b ,内有零点； D ．对于指数函数xy a = (1a ＞)与幂函数ny x = (0n ＞)，总存在一个0x ,当0x x ＞时，就会有x n a x ＞． 答案：D解析：因为选项A 中最多有个交点，选项B 中，不是同一函数，定义域不同，选项C 中，函数不一定是连续函数，故选D.10．若存在过点(1,0)的直线与曲线3y x =和21594y ax x =+-都相切,则a = ( ) A. 1-或2564- B. 1-或214 C. 74-或2564- D. 74-或7答案：A解析：由3y x =求导得2'3y x =设曲线3y x =上的任意一点300(,)x x 处的切线方程为320003()y x x x x -=-，将点()1,0代入方程得00x =或032x =. （1）当00x =时：切线为0y =，所以215904ax x +-=仅有一解，得2564a =- （2）当032x =时：切线为272744y x =-,由22727441594y x y ax x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+-⎪⎩得24309ax x --=仅有一解，得1a =-. 综上知1a =-或2564a =-. 二、填空题，本大题共5个小题，每小题5分，共25分，请将正确答案填在答题卷上. 11．sin155cos35cos 25cos 235-= __ ．12.已知指数函数()y f x =，对数函数()y g x =和幂函数()y h x =的图像都过1(,2)2P ，如果123()()()4f x g x h x ===，那么123x x x ++=答案：32解析：令(),()log ,()xcb f x a g x x h x x ===则12111()2,()log log 22222b b f a g ====-=，11()()222c h ==11123114,1()441,,44x a b c f x x x x ∴===-∴==⇒===12332x x x ∴++=13答案：( 解析：t a b t a b +-与 的夹角为钝角，∴2222()0,0,36720,ta b ta b t a b t t +⋅-<∴-<∴-<<< )(又因为ta b + 与ta b -不共线,所以0t ≠,所以(t ∈14.已知命题p ：函数2()2f x x ax =+-在[1,1]-内有且仅有一个零点．命题q ：23(1)20x a x +++≤在区间13[,]22内恒成立．若命题“p 且q”是假命题，实数a 的取值范围是 ． 答案：52a >-提示：先确定p 且q 为真命题的a 的取值范围，然后取补集可得结果. 15.给出定义：若11,,()22x m m m Z ⎛⎤∈-+∈ ⎥⎝⎦，则m 叫做实数x 的“亲密函数”，记作{}x m =，在此基础上给出下列函数{}()f x x x =-的四个命题：①函数()y f x =在(0,1)x ∈上是增函数；②函数()y f x =是周期函数，最小正周期为1； ③函数()y f x =的图像关于直线()2kx k Z =∈对称； ④当(]0,2x ∈时，函数()()ln g x f x x =-有两个零点. 其中正确命题的序号是 答案：②③④ 解析：11,22x ⎛⎤∈-⎥⎝⎦时，{}()0f x x x x =-=-，当13,22x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()1f x x =- 当35,22x ⎛⎤∈⎥⎝⎦时，()2f x x =-，作出函数的图像可知①错，②，③对，再作出ln y x =的图像可判断有两个交点，④对三、解答题，本大题共6个小题，共75分，请将答案及过程写在答题卷上.16.（12分）已知函数2()42cos (2)14f x x x π=-++（1）求()f x 得最小正周期；（2）求()f x 在区间,64ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的取值范围.解析：（1）()4cos(4)4sin 42sin(4),233f x x x x x x T πππ=-+=+=+∴=（2）4,4,sin(4)1643333x x x ππππππ-≤≤∴-≤+≤≤+≤ ()f x ∴的取值范围为2⎡⎤⎣⎦ 17. （12分）已知数列{}n a 满足11121,(*)2n nn nn a a a n N a ++==∈+. （Ⅰ）证明数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列；（Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅲ）设(1)n n b n n a =+，求数列{}b 的前n 项和S .解析:1的等差数列.（Ⅲ）由（Ⅱ）知，2n n b n =⋅，所以231222322n n S n =⋅+⋅+⋅++⋅ ，234121222322n n S n +=⋅+⋅+⋅++⋅ ，相减得23122222n n n S n +-=++++-⋅ 11222n n n ++=--⋅，∴1(1)22n n S n +=-⋅+18.(12分) ABC ∆为一个等腰三角形形状的空地，腰AC 的长为3（百米），底AB 的长为4（百米）.现决定在空地内筑一条笔直的小路EF （宽度不计），将该空地分成一个四边形和一个三角形，设分成的四边形和三角形的周长相等，面积分别为1S 和2S . （1）若小路一端E 为AC 的中点，求此时小路的长度； （2）若小路的端点,E F 两点分别在两腰上，求12S S 得最小值. 解：（1）E 为AC 中点，333,34222AE EC ∴==+<+ ，F ∴不在BC 上，故F 在AB 上，可得72AF =， 在ABC ∆中，2cos 3A=，在AEF ∆中，222152cos 2EF AE AF AE AF A =+-⋅=，EF ∴=（2）若小路的端点,E F 两点分别在两腰上，如图所示， 设,CE x CF y ==，则5x y +=CABEF1221sin 991121111125sin 22ABC CEF ABCCEF CEFCA CB CS S S S S S S xy x y CE CF C∆∆∆∆∆⋅-==-=-=-≥-=+⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭当且仅当52x y ==时取等号，故12S S 的最小值为1125. 19．(12分)关于x（Ⅰ）当1m =时，解此不等式；（Ⅱ）设函数|)7||3lg(|)(--+=x x x f ，当解析：（1）当1m =时，原不等式可变为0|3||7|10x x <+--<，可得其解集为{|27}.x x << （2）设|3||7|t x x =+--，则由对数定义及绝对值的几何意义知100≤<t ，因x y lg =在),0(∞+上为增函数， 则1lg ≤t ，当7,10≥=x t 时，1lg =t ， 故只需1>m 即可，即1m >时，m x f <)(恒成立．20．(13分)设y x ,满足约束条件的可行域为M （1）求x y A 2-=的最大值与22y x B +=的最小值;（2）若存在正实数a ,的图象经过区域M 中的点,.解:（1）由⎩⎨⎧=+=1021y x x ，得⎩⎨⎧==81y x ∴)8,1(B ，得⎩⎨⎧==24y x ∴)2,4(c ，可行域M 为如图ABC ∆ ，又∵x y A 2-= ∴A A x y ,2+=是y 轴的截距，∴过点)8,1(B 时，6128最大=⨯-=A ∵22y x B +=是表示区域M 上的点),(yx 到原点O )0,0(距离平方.（2M 中的点，而区域中41≤≤x 又∵0>a ，函数x a y cos =图象过点∴满足x a y cos =过区域M 中的点，只须图象与射线. ∴只须1=x 时∴所求a 的取值范21.（14分）已知函数21(),()()sin 2f x xg x f x x λ'==+，其中函数()g x 在[]1,1-上是减函数. （1）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（2）若()3sin1g x λ≤+在[]1,1x ∈-上恒成立，求λ得取值范围.（3）关于x 的方程ln (1)2f x x m +=-，11.1x e e ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦有两个实根，求m 的取值范围.解析：（1）2(),()2,(1)2f x x f x x f ''=∴== ，∴在点(1,(1))f 处的切线方程为12(1)y x -=-， 即210x y --=（2）()sin ,()cos ,()g x x x g x x g x λλ'=+∴=+ 在[]1,1-上单减()0g x '∴≤在[]1,1-上恒成立， 即cos x λ≤-在[]1,1-上恒成立，1λ∴≤-，又()g x 在[]1,1-单减，[]max ()(1)sin1g x g λ∴=-=-()3sin1g x λ≤+ 在[]1,1x ∈-上恒成立，∴只需sin13sin1λλ--≤+恒成立，2sin1λ∴≥-sin 30sin1,12sin1,2sin11λ<<∴-≤≤-（3）由（1）知2(1)(1)f x x +=+∴方程为2ln(1)2x x m +=-，设2()ln(1)2h x x x m =+-+，则方程2ln(1)2x x m +=-根的个数即为函数()h x 图像与x 轴交点的个数.22()211xh x x x-'=-=++ ，当(1,0)x ∈-时，()0,()h x h x '>∴在(1,0)-上为增函数, 当(,1)(0,)x ∈-∞-+∞ 时，()0,()h x h x '<∴在(,1)(0,)x ∈-∞-+∞和都是减函数.() h x∴在1,01e⎡⎫⎪⎢-⎣⎭上为减函数，在(]0,1e-上为减函数.() h x∴在1,11ee⎡⎤-⎢⎥-⎣⎦上的最大值为(0)h m=，又12(1),(1)42h m h e m ee e-=--=+-且224ee->，∴所求方程有两根需满足1(1)0(0)0(1)0hehh e⎧-≤⎪⎪>⎨⎪-≤⎪⎩20me⇒<≤时原方程有两根，20,me⎛⎤∴∈ ⎥⎝⎦。