成都七中上学期高三阶段考试数学(理)
2020届四川省成都市第七中学高三上学期期中考试数学(理)试卷带解析
【答案】 【解析】
【分析】利用正方体棱的关系，判断平面 所成的角都相等的位置，然后求解 截此正方体所得截面三角形面积的最大值．
【详解】解：正方体的所有棱中，实际上是 组平行的棱，每条棱所在直线与平面 所成的角都相等，如图所示的正三角形所在平面或其平行平面为平面 时，满足平面 与正方体每条棱所成的角均相等，
8.已知等比数列{an}的各项均为正数，且 ， ，a2成等差数列，则 =（）
A.1B.3C.6D.9
【答案】D
【解析】
【分析】设各项都是正数的等比数列 的公比为 ， ，由题意可得关于 的式子，解得 ，而所求的式子等于 ，计算可得．
【详解】设各项都是正数的等比数列 的公比为 ， ，
由题意可得 ，即 ，
．
故选： ．
【点睛】本题主要考查了几何概型中的长度类型问题，属于基础题．
6.已知数列{an}的前n项和为Sn，则“{an}是等差数列”是“ 是等差数列”的（）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】根据等差数列的定义证明求解.
【详解】首先证“充分条件”：因为{an}是等差数列，所以
三、解答题（本大题共7小题，17-21题各12分，22或23题10分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.已知函数 .
（1）用“五点作图法”作出 在一个周期内的图像；
（2）在 中，若函数 在角 处取得最大值，且 ，求 周长的最大值.
【答案】（1）作图见解析（2）
2022届四川省成都市第七中学高三上学期1月阶段性考试数学(理)试题解析
2022届四川省成都市第七中学高三上学期1月阶段性考试数学（理）试题一、单选题1．已知全集U =R ，集合{}23A x x =-≤<，{}2,0xB y y x ==≥，则A B =（ ）A ．{}20x x -≤<B ．{}13x x ≤<C ．{}20x x -≤≤D ．{}03x x ≤<【答案】B求出{}1B y y =≥，进而求解A B解：因为2x y =单调递增，当0x ≥时，[)1,2xy ∈=+∞，故{}1B y y =≥，故A B ={}13x x ≤<故选：B2．已知复数(12)z i i =-，则z 的共轭复数z 的虚部为（ ） A ．2 B ．1 C ．1- D ．2-【答案】C由已知复数等式求复数z ，进而写出共轭复数z ，即可确定虚部. 解：由题设，2(12)22z i i i i i =-=-=+，即2z i =-，其虚部为1-. 故选：C3．已知0b a <<，则下列不等式一定成立的是（ ） A ．11b a<B ．44bc ac <C ．b c ba c a+<+ D ．11b a a b+<+【答案】D利用不等式及不等式的性质逐项判断即可.解：解：对A ，由0b a <<，令1b =-，12a =-，则11b =-，12a =-，12->-，故A 错误；对B ，当0c 时，44bc ac =，故B 错误；对C ，当0c 时，b c ba c a+=+，故C 错误； 对D ，()111111b a b a b a b a b a a b a b ab ab -⎛⎫⎛⎫+-+=-+-=+-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 因为0b a <<，所以0ab >，0b a -< 所以()110b a ab ⎛⎫-+< ⎪⎝⎭即110b a a b ⎛⎫+-+< ⎪⎝⎭所以11b a a b+<+，故D 正确.故选：D.4． “22530x x --<”的一个必要不充分条件是（ ） A ．132x -<<B ．16x -<<C ．132x -<<D ．102x -<<【答案】B由集合的包含关系直接判断即可.解：212530(3)(21)032x x x x x --<⇔-+<⇔-<<，因为1{|3}{|16}2x x x x -<<-<<，所以142x -<<是22530x x --<的必要不充分条件.故选：B.5．已知不重合的直线m 、n 、l 和平面α，下列命题中真命题是（ ） A ．如果l 不平行于α，则α内的所有直线均与l 异面 B ．如果m α⊂，n α⊄，m 、n 是异面直线，那么n 与α相交 C ．如果m α⊂，n α∥，m 、n 共面，那么m n ∥D ．如果l 上有两个不同的点到平面α的距离相等，则l α∥ 【答案】C根据点、线、面的位置关系并结合图形即可判断答案.解：对于A ，当l 与α相交时，在平面α内且过交点的直线与l 都是共面的，故A 错； 对于B ，如图1，可能是n α∥，故B 错；对于C ，这是线面平行的性质定理的等价说法，故C 正确； 对于D ，如图2，由于直线l 与α相交时，也可以有两点到α的距离相等，故D 错． 故选：C.6．元朝著名的数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗：“我有一壶酒，携着游春走.遇店添一倍，逢友饮一斗.”基于此情景，设计了如图所示的程序框图，若输入的54x =，输出的9x =，则判断框中可以填（ ）A ．k 6<B ．5k <C ．4k >D ．5k >【答案】D根据程序框图的算法功能，模拟程序运行即可推理判断作答.解：由程序框图知，直到型循环结构，先执行循环体，条件不满足，继续执行循环体，条件满足跳出循环体，则有：当第一次执行循环体时，532142x =⨯-=，2k =，条件不满足，继续执行循环体；当第二次执行循环体时，32122x =⨯-=，3k =，条件不满足，继续执行循环体；当第三次执行循环体时，2213x =⨯-=，4k =，条件不满足，继续执行循环体； 当第四次执行循环体时，2315x =⨯-=，5k =，条件不满足，继续执行循环体； 当第五次执行循环体时，2519x =⨯-=，6k =，条件满足，跳出循环体，输出9x =， 于是得判断框中的条件为：5k >， 所以判断框中可以填：5k >. 故选：D7．如图，在△ABC 中，120BAC ∠=︒，2AB =，1AC =，D 是边BC 上一点，2DC BD =，则AD BC ⋅=（ ）A ．23B．74-C．52D．83-【答案】D用AB与AC表达出AD，BC，进而利用向量的数量级运算公式进行计算.解：由2DC BD=可得，13BD BC=∴1121()3333AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC=+=+=+-=+BC AC AB=-∴2221211()()33333AD BC AB AC AC AB AB AC AB AC⋅=+⋅-=-++⋅211184112()33323=-⨯+⨯+⨯⨯⨯-=-故选：D．8．过抛物线21:4C x y=的焦点F作直线l交抛物线C于A，B两点，若点A到抛物线的准线的距离为3，则||AB=（）A．92B．3 C．72D．4【答案】A求出抛物线C的焦点坐标及准线方程，根据给定条件求出点A的横坐标，设出直线l的方程并与抛物线方程联立，求出B的横坐标即可计算作答.解：抛物线2:4C y x=的焦点(1,0)F，准线为：1x=-，设点1122(,),(,)A x yB x y，依题意，1(1)3x--=，解得12x=，显然，直线l的斜率存在且不为0，设其方程为(1)y k x=-，由2(1)4y k xy x=-⎧⎨=⎩消去y并整理得：22222(2)0k x k x k-++=，则有121=x x，于是得21112xx==，因此，129||||||(1)(1)2AB AF BFx x =+=--+--=， 所以9||2AB =. 故选：A9．在四面体S ABC -中，SA ⊥平面ABC ，7BC =，2SA AC ==，1AB =，则该四面体外接球的表面积为（ ） A ．7π B ．11πC ．283π D ．403π 【答案】D在ABC 中由余弦定理求出120BAC ∠=︒，再利用正弦定理可求出ABC 外接圆的半径，设球心为O ，平面ABC 的外接圆圆心为1O ，从而可求出四面体外接球的半径，进而可求得答案解：在ABC 中，7BC =，2AC =，1AB =， 所以由余弦定理得1471cos 2122BAC +-∠==-⨯⨯，因为0180BAC ︒<∠<︒ 所以120BAC ∠=︒， 设ABC 外接圆的半径为r ，则2sin BC r BAC=∠，所以723r=，则73r =， 又因为SA ⊥平面ABC ，2SA =，设球心为O ，平面ABC 的外接圆圆心为1O ， 所以四面体外接球的半径2211710133R OO O B =+=+=， 所以四面体S ABC -外接球的表面积四面体24043S R ππ==球.故选：D10．已知函数2()2sin(2)2sin ()136f x x x ππ=+-++，把函数()f x 的图象向右平移6π个单位，得到函数()g x 的图象，若1x 、2x 是()g x m =在[0,]2π内的两根，则12sin()x x +的值为（ ）A B C ．D ． 【答案】A化简()f x 解析式，通过三角函数图象变换求得()g x 解析式，求得()g x 在[0,]2π内的对称轴，根据对称性求得122x x πϕ+=-，进而求得12sin()x x +的值.解：()2sin(2)cos(2))333f x x x x πππϕ=+++=++，1sin tan 2ϕϕϕ===，不妨设ϕ为锐角，则04πϕ<<.则0,0,28828424ϕππϕππϕπ<<-<-<<-<，所以())])63g x x x ππϕϕ-++=+，由2,2x k k Z πϕπ+=+∈，可得422k x ππϕ=+-，取0k =， 可得()g x 在[0,]2π内的对称轴方程为42x πϕ=-，因为12x x 、是()0g x m -=在[0,]2π内的两根， 所以122x x πϕ+=-，所以12sin()cos x x ϕ+== 故选：A11．双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，过1F 的直线l 与y 轴交于点A 、与双曲线右支交于点B ，若2ABF 为等边三角形，则双曲线C 的离心率为（ ）AB C ．2 D 【答案】B由双曲线的定义知，122BF BF a -=，又2ABF 为等边三角形，所以11122AF BF BA BF BF a =-=-=，由对称性有212AF AF a ==，所以124,2BF a BF a ==，在直角三角形1AOF 中，求出1cos AFO ∠，在三角形12BF F 中，由余弦定理求出1cos AFO ∠，从而即可求解.解：解：由双曲线的定义知，122BF BF a -=，又2ABF 为等边三角形， 所以11122AF BF BA BF BF a =-=-=，由对称性有212AF AF a ==，所以124,2BF a BF a ==，在直角三角形1AOF 中，111cos 2F O c AF O AF a∠==， 在三角形12BF F 中，由余弦定理有()()()22222222121211212423cos 22424F F F B F Bc a a a c AF O F F F Ba cac+-+-+∠===⨯⨯，所以22324c a c a ac +=，解得223c a=，所以双曲线C 的离心率3==c e a ，故选：B.12．已知函数222ln()()(0),()3x m x f x m g x x x --=<=，设方程1(())0f g x m+=的3个实根分别为123,,x x x ，且123x x x <<，则()()()12323g x g x g x ++的值可能为（ ）A ．2e- B ．2eC ．3e -D ．3e【答案】B利用导数研究()g x 的单调性、极值及区间值域，由题设可知22320x mx m +-=在(,0)(0,)-∞+∞上必有两个不等的实根12,t t (假设12t t >)且122,3mt m t =-=，结合()g x 的性质有220e 3m -<<且212()()t g x g x ==，13()t g x =，进而求目标式的值，即可确定答案.解：由题设，2ln()()x g x x -=的定义域为(,0)-∞，且22[1ln()]()x g x x --'=， ∴当(,e)x ∈-∞-时，()0g x '<，即()g x 递减；当(e,0)x ∈-时，()0g x '>，即()g x 递增. ∴2()(e)eg x g ≥-=-，又x 在(,e)-∞-上逐渐变小时()g x 逐渐趋近于0，当10x -<<时()(1)0g x g >-=且随x 趋向于0，()g x 趋向无穷大.∴()g x 的图象如下：∵()f x 的定义域为{|0}x x ≠，由1()0f x m+=可得：22320x mx m +-=在(,0)(0,)-∞+∞上必有两个不等的实根12,t t (假设12t t >)且122,3mt m t =-=(0)m <， ∴令()t g x =，要使1()0f t m +=的3个实根，则1[0,)t ∈+∞、22(,0)et ∈-，即220e 3m -<<，可得30em -<<. ∴由123x x x <<知：212()()t g x g x ==，13()t g x =，∴()()()123123233()(0,)e g x g x g x t t m ++=+=-∈.故选：B.【点睛】关键点点睛：首先应用导数研究()g x 的性质，根据1(())0f g x m+=有3个实根，则22320x mx m +-=在(,0)(0,)-∞+∞上必有两个不等的实根122,3mt m t =-=，结合()g x 的值域求m 的范围且212()()t g x g x ==、13()t g x =，即可求目标式的范围. 二、填空题13．若()6221(0)a x x a x ⎛⎫++> ⎪⎝⎭的展开式中含7x 项的系数为90，则=a ___________.3根据二项展开式的通项公式，结合第一个括号分类求含7x 项，合并同类项即可求解.解：对于二项式62a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式而言，其通项12316C r r rr T a x -+=，于是62(21)a x x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式会出现两类，一类是13362C r r ra x -，一类是1236C r r r a x -，只有当2r =时，才会出现7x 项，此时系数是22262C 3090a a ==，解得 3.a = 314．已知x，y满足约束条件1031030x yx yx y-+≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≥⎩，则点(),P x y与点()2,0A-连线的斜率的取值范围为___________.【答案】119k≤<1,19⎡⎫⎪⎢⎣⎭.画出可行域，再数形结合分析得解.解：解：画出可行域（如图阴影部分），可行域为以直线10x y-+=，30x y+-=和直线310--=x y为边界的开放型区域.设P A的斜率为k，联立31030x yx y--=⎧⎨+-=⎩得51,22B⎛⎫⎪⎝⎭，所以AB的斜率1012=5922ABk-=+，所以119k≤<.故答案为：119k≤<15．已知函数()()()1log20,1af x x a a=+->≠的图象经过定点(,)A m n，若正数x，y满足1m nx y+=，则2xx yy++的最小值是__________【答案】13先求出()f x经过的定点A，再由基本不等式即可求解解：函数()()()1log20,1af x x a a=+->≠令21x-=，可得3x=，代入函数可得1y=，∴定点A的坐标(3,1)，代入1m nx y+=可得311x y+=，那么3xxy=-，且0,0x y>>，则31333333(3)372767132y x y xx y x yx y x y x yxx yy⎛⎫=+-=++-=++≥⋅=+=⎪⎝⎭++当且仅当33y xx y=，即4x y==时，取等号，∴2xx yy++的最小值为13.故答案为：1316．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点M ，N 分别为棱11,B C CD 上的动点(包含端点)，则下列说法正确的是___________．①当M 为棱11B C 的中点时，则在棱CD 上存在点N 使得MN AC ⊥；②当M ，N 分别为棱11,B C CD 的中点时，则在正方体中存在棱与平面1A MN 平行；③当M ，N 分别为棱11,B C CD 的中点时，则过1A ，M ，N 三点作正方体的截面，所得截面为五边形； ④直线MN 与平面ABCD 2⑤若正方体的棱长为2，点1D 到平面1A MN 2 【答案】①③④①当N 为CD 的中点时，过M 作MM BC '⊥于M '，证AC MM N '⊥平面即可； ②根据正方体棱的特征和线面平行的判定方法可知没有满足条件的棱；③通过线线平行和线面平行的性质，作出平面1A MN 与正方体各个面的交线即可判断； ④过M 作MM BC '⊥于M '，tan MM MNM M N''∠='，M N '长度的最大值为对角线BD ； ⑤三棱锥1D －1A MN 体积为定值，要使点1D 到平面1A MN 的距离最大，则使△1A MN 的面积最小，据此即可求解﹒解：①如图，当N 为CD 的中点时，过M 作MM BC '⊥于M '，∴MM ABCD '⊥平面，∴MM AC '⊥，又M NAC ，M N '与MM '相交于M '，∴AC MM N '⊥平面，又MN MM N '⊂平面，∴MNAC ⊥，故①正确；②在正方体1111ABCD A B C D -中，棱可分为三类，分别是与1DA DC DD ，，平行的棱，又1DA DC DD ，，不与平面1A MN 平行，∴在正方体1111ABCD A B C D -中，不存在棱与平面1A MN 平行，故②错误； ③如图，取BC 中点M '，连接AM '，∴1AM A M '∥，过N 作AM '的平行线交AD 于点E ，此时14DE DA =，∴1EN A M ∥，即EN 为过1A M N ，，三点的平面与平面ABCD 的交线；连接1A E ，在BC 上取点F ，使得14CF CB =，∴11A E B F ∥，再过点M 作1B F 的平行线交1CC 于点G ，此时113CG CC =，∴1A E MG ∥，即MG 为过1A M N ，，三点的平面与平面11BCC B 的交线；连接NG ，则可得五边形1A MGNE 即为正方体中过1A M N ，，三点的截面，故③正确；④设正方体棱长为2，如图，过M 作MM BC '⊥于M '，∴MM ABCD '⊥平面，∴MN 与平面ABCD 所成角即为MNM '∠，∴2tan MM MNM M N M N''∠==''；又M N '长度的最大值为22，∴MN 与平面ABCD 所成角的正切值的最小值为22，故④正确；⑤M ，N 在棱11B C ，CD 上运动时，M 到11A D 距离始终为2，N 到平面11A D M 的距离始终为2，∴1111114222323D A MN N A MD V V --==⨯⨯⨯⨯=恒为定值．要使1D 到平面1A MN 的距离最大，则三角形1A MN 的面积应为最小．当M N ，分别运动到1C C ，时，1A MN S =△，此时1D 到平面1A MNM ，N 分别运动到棱11B C ，CD 中点时，1A M MN =，13A N =，∴1cos A MN ∠则11111···sin 22A MNSA M MN A MN =∠=⨯；又<∴当M ，N 为11B C ，CD 中点时，1D 到平面1A MN ∴⑤错误． 故答案为：①③④．【点睛】本题较难，需要判断的选项较多，综合考察了空间里面点线面的位置关系，需要结合图形自行作出辅助线求解，在求解时还要结合平面几何的解三角形的相关方法进行长度或面积的计算，属于几何的综合性难题. 三、解答题17．已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，3a 是2a 和22S 的等差中项，且3322S a =-. (1)求{}n a 的通项公式；(2)若数列{}n b 满足221log n n b a -=，且{}n b 的前n 项和为n T ，求使得2022n n S T >-成立的n 的最小值. 【答案】(1)2n n a =，n N +∈ (2)min 10n =(1)由条件转化为首相和公比的等式，求得首项和公比，再求通项公式； （2）由等差和等比数列的前n 项和，转化不等式为12220240n n ++->， (1)22322S a a +=，3322S a =-∵0n a >，∴2322q q +=，()21112a q a q +=-∴2q ，12a =.∴2n n a =，n N +∈(2)221log 21n n b a n -==-()21212n n n T n +-==()12122212n n n S +⨯-==--.20220n n S T +->，12220240n n ++->，数列{}122n n ++为单调递增，当9n =时，12211052024n n ++=<. 当10n =时，12221482024n n ++=>. ∴min 10n =.18．如图，ABC 的外接圆O 的直径2AB =，CE 垂直于圆O 所在的平面，//BD CE ，2CE =，1BC BD ==.（1）求证：平面AEC ⊥平面BCED .（2）若13DM DE =，求二面角C AM D --的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（26（1）通过证明,AC BC EC BC ⊥⊥，证得BC ⊥平面ACE ，由此证得平面AEC ⊥平面BCED . （2）建立空间直角坐标系，利用平面CAM 的法向量和平面AMD 的法向量计算出二面角C AMD --的余弦值.解：（1）证明：ABC 的外接圆O 的直径AB AC BC ∴⊥.又因为EC ⊥平面ABC ，所以EC BC ⊥ 又AC EC C =∴BC ⊥平面ACE ，又BC ⊂平面BCDE ， ∴平面AEC ⊥平面BCED .（2）以C 为原点，直线CA 为x 轴，直线CB 为y 轴，直线CE 为z 轴建立空间直角坐标系，则(3,0,0),(0,1,0),(0,1,1),(0,0,2)A B D E .设1124(,,),(,1,1)(0,1,1)(0,,)3333M x y z DM DE x y z M =⇒--=-⇒ 设平面CAM 的法向量为111(,,)m x y z =，24(3,0,0),(0,,)33CA CM ==则111300240033x m CA m CM y z ⎧=⎧⋅=⎪⇒⎨⎨⋅=+=⎩⎪⎩取，(0,2,1)m =-设平面AMD 的法向量为222(,,)n x y z =，24(3,,),(3,1,1)33AM AD =-=-00n AM n AD ⎧⋅=⎨⋅=⎩取(23,3,3)n =则6cos 10m n m n m n⋅<⋅>==-，因为二面角C AM D --的平面角为锐角∴二面角C AM D --的余弦值610.【点睛】向量法计算二面角，关键是计算出两个半平面的法向量.19．5G 的到来给人们的生活带来颠覆性的变革，某科技创新公司基于领先技术的支持，5G 经济收入在短期内逐月攀升，该创新公司在第1月份至6月份的5G 经济收入y （单位：百万元）关于月份x 的数据如表： 时间（月份）12 3 4 5 6 收入（百万元） 6.68.616.121.633.041.0根据以上数据绘制散点图，如图.(1)根据散点图判断，y ax b =+与dx y ce =（a ，b ，c ，d 均为常数）哪一个适宜作为5G 经济收入y 关于月份x 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）(2)根据（1）的结果及表中数据，求出y 关于x 的回归方程，并预测该公司8月份的5G 经济收入；(3)从前6个月的收入中抽取3个，记月收入超过16百万的个数为X ，求X 的分布列和数学期望. 参考数据：其中设ln u y =，()ln 1,2,3,4,5,6i i u y i ==参考公式和数据：对于一组具有线性相关关系的数据()(),1,2,3,,i i x v i n =，其回归直线v x βα=+的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：()()()121n iii nii x x v v x x β==--=-∑∑，a v x β=-， 4.5695.58e≈，4.5897.51e ≈. 【答案】(1)dx y ce =(2)回归方程为 1.520.38e +=x y ，8月份的5G 经济收入95.58百万元. (3)答案见解析（1）根据散点图判断可得答案；（2）根据（1）的结果ln ln y c dx =+，然后根据参考数据求出方程，进而求得y 关于x 的回归方程，再将8x =代入方程可得答案；（3）求出X 的可能取值及概率，可得分布列和数学期望. (1)dx y ce =，散点图中点的分布不是一条直线，相邻两点在y 轴上差距是增大的趋势，故用dx y ce =表示更合适. (2)由dx y ce =得ln ln e ln ==+dx y c c dx ，设ln u y =，所以ln u c dx =+， 因为 3.50=x ，()62117.50=-=∑i i x x，()()616.73=--=∑i i i x x u u ， 2.85=u ，所以()()()1216.730.3817.50==--==≈-∑∑niii nii x x v v d x x ， 2.850.38 3.50 1.52β=-=-⨯=a v x ， ln 0.38 2.580.38 3.50 1.52=-=-⨯=c u x ，所以ln 1.520.38y x =+，即 1.520.38e +=x y ，则回归方程为 1.520.38e +=x y ，预测该公司8月份的5G 经济收入 1.520.388 4.56e e e 95.58⨯==≈y 百万元. (3)月收入超过16百万的个数为X 的可能取值为1，2，3，则()212436411205====C C P X C ， ()1224361232205====C C P X C ，()032436413205====C C P X C ， 则X 的分布列为所以()1311232555E X =⨯+⨯+⨯=.20．已知动点P 到两点()，)的距离之和为4，点P 在x 轴上的射影是C ，2CQ CP =.（1）求动点Q 的轨迹方程；（2）过点()的直线交点P 的轨迹于点,A B ，交点Q 的轨迹于点,M N ，求214MN AB -的最大值.【答案】（1）224x y +=.（2）1（1）根据椭圆的定义和题设条件，求得点P 的轨迹方程是2214x y +=，设点Q 坐标为(),x y ，由2CQ CP =所以点P 的坐标为,2y x ⎛⎫⎪⎝⎭，代入即可求解.（2）若AB x ⊥轴，求得2104MN AB -=；若直线AB 不与x 轴垂直，设直线AB 的方程为y kx =，根据圆的弦长公式，求得()222441k MN k +=+，再联立方程组，结合根与系数的关系，求得AB 的表达式，代入化简，即可求解. 解：（1）设()1F ，)2F因为点P到两点()),的距离之和为4，即124PF PF +=可得点P的轨迹是以()),为焦点，长轴长为4的椭圆，所以24a =，即2a =，且c =1b ， 所以点P 的轨迹方程是2214x y +=.设点Q 坐标为(),x y ，因2CQ CP =所以点P 的坐标为,2y x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，可得22142x y ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，化简得点Q 的轨迹方程为224x y +=.（2）若AB x ⊥轴，则12AB MN ==，，2104MN AB ∴-=. 若直线AB 不与x 轴垂直，设直线AB的方程为y kx =，即0kx y -=，则坐标原点到直线AB的距离d =()()222244441k MN d k +∴=-=+.设()()1122,,,A x y B x y .将y kx =代入2214x y +=，并化简得，()2222141240k xx k +++-=.12x x ∴+=212212414k x x k -=+.12AB x ∴=-224414k k +==+22422219911445145k MN AB k k k k ∴-==≤=++++， 当且仅当2214kk =即k =. 综上所述，214MN AB -最大值为1. 【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程，圆的性质，及直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用,解答此类题目，通常联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.21．已知函数()(1)f x a x =-，()e (1)x g x bx =-，R a ∈．(1)当2b =时，函数()()y f x g x =-有两个零点，求a 的取值范围； (2)当b a =时，不等式()()f x g x >有且仅有两个整数解，求a 的取值范围． 【答案】(1)32(0,1)(4e ,)a ∞∈⋃+； (2)22e [2e 1a ∈-,1).（1）令()()0y f x g x =-=，可得e (21)(1)1x x a x x -=≠-，将问题转化为e (21)()(1)1x x F x x x -=≠-与y a=有两个交点，应用导数研究()F x 的单调性、极值，进而确定区间值域，即可得a 的取值范围； （2）由题设可得1()1e x x a x --<，构造1()e xx h x x -=-，应用导数研究()h x 的单调性且极小值为02001()0ex x h x +>>，进而讨论a 判断()1ah x <的整数解个数求a 的取值范围．(1)当2b =时，()e (21)x g x x =-，由()()0y f x g x =-=得：()()f x g x =，即e (21)(1)1x x a x x -=≠-， 令e (21)()(1)1x x F x x x -=≠-，则2e (23)()(1)x x x F x x --'=，∴0x <时()0F x '>，()F x 在(,0)-∞内递增， 01x <<时()0F x '<，()F x 在(0,1)内递减，312x <<时()0F x '<，()F x 在3(1,)2内递减， 32x >时()0F x '>，()F x 在3(,)2+∞内递增， ∴极大值()01F =，极小值3234e 2F ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴在(,0)-∞上值域为(0,1)，在(0,1)上值域为(,1)-∞，在3(1,)2上值域为32[4e ,)∞+，在3(,)2+∞上值域为32[4e ,)∞+，∴要使函数()()y f x g x =-有两个零点，则32(0,1)(4e ,)a ∞∈⋃+； (2)当b a =时，由()()f x g x >得：1()1e xx a x --<． 令1()e x x h x x -=-，则e 2()e x xx h x +-'=．令()e 2x x x ω=+-，则()e 10x x ω'=+>，即()x ω在R 上单调递增，又(0)10ω=-<，(1)ωe 10=->，∴()x ω在R 上有唯一零点0(0,1)x ∈，此时()h x 在0(,)x -∞上递减，在0(x ,)∞+上递增． 0000min0e 1()()e x x x x h x h x -+∴==，令()e 1x k x x =--，则()e 1x k x '=-，故(,0)-∞上()0k x '<，在(0,)+∞上()0k x '>， ∴()k x 在(,0)-∞上递减，在(0,)+∞上递增，则()(0)0k x k ≥=，即e 1x x >+， ∴00020000e 11()0e ex x x x x x h x -++=>>．当0x ≤时，()(0)10h x h ≥=>；当1≥x 时，()(1)h x h ≥1=．①若0a ≤，则()01ah x ≤<，此时()1ah x <有无穷多个整数解，不合题意； ②若1a ≥，即11a≤，因为()h x 在(-∞,0]上单调递减，在[1,)∞+上单调递增， 所以x ∈Z 时，()min{(0)h x h ≥，()h 11}1a=≥，所以1()h x a <无整数解，不合题意；③若01a <<，即11a>，此时(0)(1)h h =11a =<，故0，1是1()h x a <的两个整数解，又1()h x a <只有两个整数解，因此()h 11a ≥且(2)h 1a ≥，解得22e2e 1a ≥-．∴22e [2e 1a ∈-,1)．【点睛】关键点点睛：第二问，通过构造中间函数研究其单调性、极值，进而讨论参数判断()1ah x <的整数解个数是否符合题设.22．已知曲线1C 的参数方程为sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩，（θ为参数）.以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2sin 4cos ρθθ=. （1）求1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（2）若过点(10)F ，的直线l 与1C 交于A ，B 两点，与2C 交于M ，N 两点，求FA FB FM FN的取值范围.【答案】(1)见解析;(2)108⎛⎤⎥⎝⎦，.【解析】解：试题分析：（1）利用平方法消去参数，即可得到1C 的普通方程，两边同乘以ρ利用cos ,sin x y ρθρθ== 即可得2C 的直角坐标方程；（2）设直线l 的参数方程为1x tcos y tsin αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数），代入2212x y +=，利用韦达定理、直线参数方程的几何意义以及三角函数的有界性可得结果.试题解析：（1）曲线1C 的普通方程为2212x y +=，曲线2C 的直角坐标方程为 24y x =；（2）设直线l 的参数方程为1x tcos y tsin αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数）又直线l 与曲线2C ：24y x =存在两个交点，因此sin 0α≠.联立直线l 与曲线1C ：2212x y +=可得()221sin 2cos 10t t αα++-=则12211sin FA FB t t α⋅==+ 联立直线l 与曲线2C ：24y x =可得22sin 4cos 40t t αα--=，则1224sin FM FN t t α⋅==即2222211sin 1111sin 0,4141sin 481sin sin FA FB FM FN ααααα⋅⎛⎤+==⋅=⋅∈ ⎥⋅+⎝⎦+ 23．已知实数,,a b c ，满足1a b c ++=．（1）若,,0a b c +∈=R ，求证：2211252a b a b ⎛⎫⎛⎫+++≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）设222,1a b c a b c >>++=，求证：1a b +>． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．（1）利用基本不等式可证得222111112a a b a b b ⎛⎫⎛⎫+++≥⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫++ ⎪⎝⎭⎝⎭，再由基本不等式计算11a b +的最值，即可求证；（2）利用反证法证明，假设1a b +≤，将已知条件平方可得0ab bc ca ++=，由已知条件可知0a b c >>≥可得0ab bc ca ++>，得出矛盾即可得证.解：（1）0c 时，1a b +=，因为2211112a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++≥++ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以222211112112a b a b a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭+++≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 221111122a b a b a b ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎝⎭==， ,,1a b R a b +∈+=，∴1111()224b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+ ⎪⎝⎭ 114a b∴+≥从而22211(14)2522a b a b +⎛⎫⎛⎫+++≥= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 当且仅当111a b b a a ba b a b ⎧⎪+=⎪⎪=⎨⎪⎪+=+⎪⎩即12a b ==时等号成立， （2）假设1a b +≤，则由1a b c ++=，知0c ≥，故0a b c >>≥．又由2222()2221a b c a b c ab ac bc ++=+++++=，得0ab bc ca ++=但由0a b c >>≥知0ab bc ca ++>矛盾，故1a b +≤不成立，所以1a b +>．【点睛】易错点点睛：利用基本不等式求最值或证明不等式时，必须满足一正、二定、三相等，验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.。
2024届成都七中度高三(上)入学考试理数试题+答案
, 得
x2
y2
y
4 1
2s s2
.
48
1 s2 1 s2
2
2
2s2
1 s2 2
1 ，而
x
4 1 s2
2
2 ，
即曲线 C 的直角坐标方程为 x2 y2 1 x 2 ，
48
x 1 t cos
由
y
2
t
sin
(t 为参数），
当 cos 0 时，消去参数 t ，可得直线 l 的直角坐标方程为 y x tan 2 tan ， 当 cos 0 时，可得直线 l 的参数方程为 x= 1 . （2）将直线 l 的参数方程代入曲线 C 的直角坐标方程， 整理可得： (1 cos2 )t 2 4(sin cos )t 2 0．①
2 ，过点 F 作直线 l 与双曲线 C的左、右支分别交于点 A 、 B ，过点 F 作直线 l2 与双曲线 E 的左、右支分别
交于点 C、 D ，且点 B、 C关于原点 O对称．
(1)求双曲线 E 的方程； (2)求证：直线 A D 过定点．
注：22 与 23 题为选做题，2 选 1，均为 10 分。
欧拉公式，复数 z ei 在复平面上所对应的点在（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
3．椭圆 x2 y2 1的焦距是 2，则 m 的值为（ ） m4
A．8
B．5
C．5 或 3
D．第四象限 D．8 或 5
4．某几何体的正视图与侧视图如图所示：则下列两个图形① ②中，可能是其俯
视图的是
A．① ② 都可能
(2)设 g x
f
x
1 2
x2
1
，若
成都七中高2023 届高三第一次阶段测试(10月9日)理数试卷答案
成都七中高2023届高三上期10月阶段考试数学试卷理科参考答案一．选择题1-5：BCAAB 6-10：BDBCA 11-12：DA二．填空题13. -21 14. 221 15. 16. 13 三．解答题17. 解:（1）根据题意得，=a 11，数列a n }{是等差数列，设公差为d ，则由+=a a 1837，得+++=a d a d 261811，解得=d 2，…………………………………………………3分 所以 =+-⨯=-a n n n 11221)(.…………………………………………………………6分（2）由（1）可得⎝⎭-+-+ ⎪==-⎛⎫n n n n b n (21)(21)221211111， 所以⎝⎭⎝⎭⎝⎭-+ ⎪ ⎪ ⎪=-+-++-⎛⎫⎛⎫⎛⎫n n T n 2323522121111111111⎝⎭++ ⎪=-=⎛⎫n n n 22121111.………12分18. 解:（1）证明: ∵PD ⊥平面ABCD ，∴PD ⊥BC ， 又∵正方形ABCD 中，CD ⊥BC ，PD CD ＝D ，∴BC ⊥平面PCD ， 又∵DE ⊂平面PCD ，∴BC ⊥DE ， ∵PD ＝CD ，E 是PC 的中点，DE ⊥PC ，PC BC ＝C ， 且⊂PC 面PCB ，⊂BC 面PCB∴DE ⊥平面PCB ………………………………………………………………………5分 （2）以点D 为坐标原点，分别以直线DA ，DC ，DP 为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系， ……………………………………………………6分 由题意知：D P B E 0,0,0,0,0,2,2,2,0,0,1,1,)()()()( 则==DB DE 2,2,0,0,1,1)()(，设平面BDE 的法向量为=n x y z ,,)(， 则⎩⎩⋅=+=⎨⎨⇒⋅=⎧+=⎧n DE y z n DB x y 000220， 令=z 1，得到=-=y x 1,1， ∴ =-n 1,1,1)(又Q C A 0,2,0,2,0,0)()(，则=-AC 2,2,0)(，且AC ⊥平面PDB ，∴平面PDB 的一个法向量为， 设二面角--E BD P 的平面角为α， 则，所以二面角--E BD P 12分 19. 解:（1）平均值为=⨯+++++++++=x 104 4.565 6.57.588.5951111)(万元; 中位数为=+276.57.5万元. …………………………………………………………3分 （2）年薪高于7万的有5人，低于或等于7万的有5人；ξ取值为0，1，2.由已知可得-≤≤y 220，所以当=-y 20时，△MAB面积的最大值为…………………………………12分21.解：（1）若m =2，则=-+f x x x x 2()2(ln 1)2， ⎝⎭ ⎪=-+⋅+=+'⎛⎫x f x x x x x x ()2ln 12ln 1， 则切线的斜率为='f 11)(，又=-+=-f 22(1)(2)13， 所以曲线=y f x )(在点f 1,1)()(处的切线方程是⎝⎭⎪--=-⎛⎫y x 213， 即--=x y 2250.………………………………………………………………………4分(2)解：函数F(x)=m ln(x +2)+x 22−2x , 其定义域为-+∞2,)(， 则F ′(x )=m x+2+x −2=x 2+(m−4)x+2(x >−2)，因为='F x ()0的两根为x x ,12且<x x 12当−4<m −4<0即0<m <4时，由F ′(x )=0，得x 1=−√4−m >−2,x 2=√4−m ，满足两根在-+∞(2,)所以x 1+x 2=0,x 1x 2=m −4且∈x 0,22)(，m =x 1x 2+4，……………………6分因为+=x x 012，所以=-x x 21，所以F (−x 1)=F (x 2)，m =x 1x 2+4=4−x 22，要证F (−x 1)+F (x 2)>2x 1⇔2F (x 2)−2x 1>0⇔F (x 2)+x 2>0，⇔++->⇔-++->m x x x x x x x 22ln 204ln 202222222222)()()(， ⇔++->x x x 22ln 20222)()(，令=++-<<g x x x x x 22ln 2(02))()()(， 则=++>+>g x x 22ln 2ln2011')()(， 所以g x )(在0,2)(上单调递增，且=>g 02ln20)(， 故>>g x g 00)()(，即-+>F x F x x 2121)()(,即：F(−x 1)−2x 1+F(x 2)>0……………………………………………………12分22. 解（1）因为曲线C 的参数方程为⎩=⎨⎧=--θθy x 2sin 12cos ，（θ为参数）， 所以曲线C 的普通方程为++=x y 1422)(．由⎝⎭ ⎪+=⎛⎫ρθπ4sin+=ρθρθππ44sin cos cos sin +=ρθρθsin cos 2， 因为=ρθx cos ，=ρθy sin ，所以直线l 的直角坐标方程为+-=x y 20．…………5分（2）因为直线l 的斜率为-1，所以l 的倾斜角为π43， 所以过点-M 2,1)(且与直线l 平行的直线'l的方程可设为⎩⎪=⎪⎨⎪⎪=-⎧y x 12（t 为参数）．设点A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，将⎩⎪=+⎪⎨⎪⎪=-⎧y x 12代入++=x y 1422)(，可得⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+=⎛⎫⎛⎫11422，整理得+-=t 202，则∆>0，+=-t t 12=-t t 212，4所以+====+-MA MB MA MB t t MA MB t t ||||||||211||||||1212．…………10分 23. 解：（1） 当<-x 23时，=---=-f x x x x 32234)(，由≤f x 8)(可得≥-x 2，则-≤<-x 223； 当x -≤<2233时，=-++=f x x x 32236)(，由≤f x 8)(可得显然成立，则x -≤<2233； 当≥x 23时，=-++=f x x x x 23234)(，由≤f x 8)(可得≤x 2，则≤≤x 223； 综上：不等式≤f x 8)(的解集为-≤≤x x 22}{；………………………………5分 （2）=-++≥--+=f x x x x x 232323236)()()(，当且仅当-+≤x x 23230)()(即-≤≤x 2233时取等，∴=M 6，则++=a b c 231111， 又a ，b ，c 均为正数，则⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪ ⎪ ⎪ ⎪++=++++=++++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫b c a c c b a a b c a b c b a b a c b c a 223233323323231121)(≥+39，当且仅当⎩⎪=⎪⎪⎨=⎪⎪⎪=⎧c b b c c a a c b a a b 32233322，即⎩⎪=⎪⎨=⎪⎪⎧=c b a 1233时等号成立，则++≥a b c 239.………………………………………………………………10分 （法2：柯西不等式）。
成都七中上学期高三阶段考试数学(理)
成都七中上学期高三阶段考试数学（理）姓名： _______________指导: _________________日期： _______________第1页共13页成都七中2020〜2021学年度上期2021届高三阶段性测试数学试卷(理科)考试时HJ： 120分钟总分:150分选择题(每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求•把答案涂在答題卷上・)1.复数2=(1÷∕)2的虚部为《)A. 21B・2 C・-2/ D・一22.d}, ^={A-∣Λ2+∕=2}> 则PΓ∖Q=()尸=PA=A. [-√2.√2]B. {(1.1).(-1.1)}C. {θ.√2∣D・[0,√2]3."α>2o足“函数/(H = (x-α0在(0,十8)上有极值”的( )人充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.若如图所示的程序框图输出的S是126,则条件①可为()Λ. n≤5? B. n≤6? C・ n <7? D∙ n≤8?5.某几何体的三视RI如上国(右)所示•则该几何体的体积为( )3 1 IΛ. —B・1 C・—D・—2 2 36.关丁函数「(x)二4sinj2x十月(XWR)有如下角题.其中匸确的个数有( (Dy = f(x)的农达式可改爲为f(x)= 4cos; 2x-^I(XeR)®y - f (χ)是以加为故小正周期的周期函数；®y = f(x)的图象关于；对称；试卷第1臾，总4页弟2贝开13贝15. 已切集合{α.⅛c}≡{0.h2∣・冇下列三个关系（Da≠2:②/>二2：③0・若三个关系中冇且只仃…个正确的.則α÷2Λ+3c= ____________ ・16. 己HJ 函数 f （x ）≈2∖nx -ax 2 *5.若W 在实故加・刀"1. 5 ）iA⅛π-m≥2时./（〃” = /（〃）成立.刚实ft αffj⅛i 大位为三、解劄8（共70分・22与23題二选一，各10分.其余大题均为12分）17. （本⅛812 分）已Jffl∣⅛lft∕⅛=（sin J,sinZ?）, IT=（COSe 9cos4）, ∕w∙∕J = sin2C, f B∙ C 分别为4忧的0边次b.。
四川省成都市第七中学2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题(含答案)
2024-2025学年度高三上期数学10月阶段性测试（考试时间：120分钟；满分150分）第Ⅰ卷（选择题，共58分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．1．已知集合，则（ ）A ．B ．C ．D ．2．已知复数满足，则（ ）A ．B ．C ．D ．3．已知向量满足，且，则（ ）A ．B ．C ．D ．4．如图为函数在上的图象，则的解析式只可能是（ ）A ．B ．C ．D ．5．已知为奇函数，则曲线在点处的切线方程为（ ）A ．B ．C ．D ．6．在体积为12的三棱锥中，，平面平面，若点都在球的表面上，则球的表面积为（ ）A ．B ．C ．D ．7．若，则的最大值为（ ）ABCD8．设，则（ ）{{},21x A x y B y y ====+A B = (]0,1(]1,2[]1,2[]0,2z 23i z z +=+3iz+=12i+12i-2i+2i-,a b 222a b a b -=-= 1b = a b ⋅=1414-1212-()y f x =[]6,6-()f x ())ln cos f x x x=+())lnsin f x x x=+())ln cos f x x x=-())ln sin f x x x=-()()cos f x x a x =+()y f x =()()π,πf ππ0x y +-=ππ0x y -+=π0x y -+=0x y +=A BCD -,AC AD BC BD ⊥⊥ACD ⊥ππ,,34BCD ACD BCD ∠=∠=,,,A B C D O O 12π16π32π48π()()sin cos2sin αβααβ+=-()tan αβ+202420230.2024log 2023,log 2022,log 0.2023a b c ===A ．B ．C ．D ．二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．9．设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并满足条件：，下列结论正确的是（ ）A ．B ．C ．是数列中的最大值D ．数列无最大值10．透明的盒子中装有大小和质地都相同的编号分别为的4个小球，从中任意摸出两个球．设事件“摸出的两个球的编号之和小于5”，事件“摸出的两个球的编号都大于2”，事件“摸出的两个球中有编号为3的球”，则（ ）A ．事件与事件是互斥事件B ．事件与事件是对立事件C ．事件与事件是相互独立事件D ．事件与事件是互斥事件11．已知，其中，则的取值可以是（ ）A ．eB ．C ．D ．第Ⅱ卷（非选择题，共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，第14题第一个空3分，第二个空2分．12．若，则______．13．设是数列的前n 项和，点在直线上，则数列的前项和为______．14．已知点是轴上的动点，且满足的外心在轴上的射影为，则点的轨迹方程为______，的最小值为______．四、解答题：本题共5小题，共77分．15．（13分）设的内角的对边分别为，且，边上的两条中线相交于点．c a b <<b c a <<b a c <<a b c<<{}n a q n n S n n T 2024120242025202511,1,01a a a a a ->><-20242025S S <202420261a a <2024T {}n T {}n T 1,2,3,41A =2A =3A =1A 2A 1A 3A 1A 3A 23A A 13A A 6ln ,6e n m m a n a =+=+e nm ≠e nm +2e23e24e1sin 3α=-()cos π2α-=n S {}n a ()()*,n n a n ∈N 2y x =1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭n ()()2,0,1,4,A B M N 、y 4,MN AMN =△P y Q P PQ PB +ABC △,,A B C ,,a b c ()()()sin sin sin sin b a ABC BAC c ABC C +∠-∠=∠-,BC AC ,AD BE P（1）求；（2）若，求的面积．16．（15分）如图，在三棱锥中，是以为斜边的等腰直角三角形，是边长为2的正三角形，为的中点，为上一点，且平面平面．（1）求证：平面；（2）若平面平面，求平面与平面夹角的余弦值．17．（15分）为研究“眼睛近视是否与长时间看电子产品有关”的问题，对某班同学的近视情况和看电子产品的时间进行了统计，得到如下的列联表：每天看电子产品的时间近视情况超过一小时一小时内合计近视10人5人15人不近视10人25人35人合计20人30人50人附表：0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828．（1）根据小概率值的独立性检验，判断眼睛近视是否与长时间看电子产品有关；（2）在该班近视的同学中随机抽取3人，则至少有两人每天看电子产品超过一小时的概率是多少？（3）以频率估计概率，在该班所在学校随机抽取2人，记其中近视的人数为，每天看电子产品超过一小时的人数为，求的值．BAC ∠2,cos AD BE DPE ==∠=ABC △D ABC -ABC △AB ABD △E AD F DC BEF ⊥ABD AD ⊥BEF ABC ⊥ABD BEF BCD αx α()()()()22()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++0.05α=2χX Y ()P X Y =18．（17分）已知函数．（1）求曲线在处的切线方程；（2）讨论函数的单调性；（3）设函数．证明：存在实数，使得曲线关于直线对称．19．（17分）已知椭圆的对称中心在坐标原点，以坐标轴为对称轴，且经过点和．（1）求椭圆的标准方程；（2）过点作不与坐标轴平行的直线交曲线于两点，过点分别向轴作垂线，垂足分别为点，，直线与直线相交于点．①求证：点在定直线上；②求面积的最大值．2024-2025学年度高三上期数学10月阶段性测试（参考答案）一、单项选择题：BAACDDDC8．【解】由对数函数的性质知，，所以；当时，，所以，取，则，所以，即，综上，．二、多项选择题：ABC ACD CD ．11．【解】令，则，()()ln 1f x x =+()y f x =3x =()()()F x ax f x a =-∈R ()()1111g x x f f x x ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭m ()y g x =x m =C )⎛- ⎝C ()2,0M l C ,A B ,A B xDE AE BD P P PAB △0.20240.2024log 0.2023log 0.20241c =>=2024202420242023202320230log 1log 2023log 20241,0log 1log 2022log 20231=<<==<<=1,01,01c a b ><<<<2n >()()ln 1ln ln 10n n n +>>->()()()()222ln 1ln 1ln 1ln 1(ln )(ln )2n n n n n n ++-⎡⎤+⋅--<-⎢⎥⎣⎦()()()2222222222ln 1ln 11ln (ln )(ln )(ln )(ln )(ln )0222n n n n n n n n n ⎡⎤-+-⎡⎤⎛⎫=-=-<-=-=⎢⎥ ⎪⎢⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦2023n =2lg2022lg2024(lg2023)0⋅-<220232024lg2022lg2023lg2022lg2024(lg2023)log 2022log 20230lg2023lg2024lg2023lg2024b a ⋅--=-=-=<⋅b a <b ac <<()6ln f x x x =-()661xf x x x-=-='故当时，单调递增，当时，单调递减，，又，不妨设，解法一：记，设，则在上恒成立，所以在上单调递减，所以，则，又因为，且在上单调递减，所以，则，所以．解法二：由，两式相减，可得，令，则；令，则，令，则在上恒成立，所以在上单调递增，因为在上恒成立，所以在上单调递增，则，即，所以．解法三：，两式相减得，，可得，三、填空题： ；3()0,6x ∈()()0,f x f x '>()6,x ∈+∞()()0,f x f x '<()()6ln ,66lne e ,e n n n m m a n a f m f =+==+∴= e n m ≠06e n m <<<12,e nx m x ==()()()()12,0,6g x f x f x x =--∈()()()()2662(6)1201212x x x g x f x f x x x x x ---=---=-=<--'''()0,6()g x ()0,6()()()()()1260,0,6g x f x f x g x =-->=∈()()()11212f x f x f x ->=()1212,6,x x -∈+∞()f x ()6,+∞1212x x -<1212x x +>e 12n m +>6ln ,66lne e nnm m a n a =+==+e 6ln e n nm m =-e (1)n t t m=>()()61ln 6ln 6ln 6ln 1,,e ,e 111n n t t t t tt m t m mt m t t t +=-===∴+=---()()()1ln 21,1g t t t t t =+-->()11ln 2ln 1t g t t t t t+=+-=+-'1ln 1(1)y t t t =+->221110t y t t t-=-=>'()1,+∞()g t '()1,+∞()()10g t g ''>=()1,+∞()g t ()1,+∞()()10g t g >=()1ln 21t t t +>-()61ln e 121n t tm t ++=>-6ln ,66lne e nnm m a n a =+==+ e 6lne ln n n mm-=-212121ln ln 2x x x xx x -+<<-e 12n m +>79-1n n +24y x =14．【解】设点，则根据点是的外心，，而，则，所以从而得到点的轨迹为，焦点为由抛物线的定义可知，因为，即，当点在线段上时等号成立．四、解答题：15．【解】（1）因为，所以由正弦定理得，由余弦定理得，又，所以．（2）因为是边上的两条中线与的交点，所以点是的重心．又，所以在中，由余弦定理，所以，又，所以，所以，所以的面积为．()0,M t ()0,4)N t -P AMN V (),2P x t -22||PM PA =2224(2)(2)x x t +=-+-2(2),24t x y t -==-P 24y x =()1,0F 1PF PQ =+4,14PF PB BF PF PB PQ PB +≥=+=++≥3PQ PB +≥P BF ()()()sin sin sin sin b a ABC BAC c ABC C +∠-∠=∠-222b c a bc +-=2221cos 22b c a BAC bc +-∠==0πBAC <∠<π3BAC ∠=P ,BC AC AD BE P ABC △2,AD BE APB DPE ==∠=∠ABP △22222cos c AB PA PB PA PB APB==+-⋅∠22442433⎛⎫=+-⨯= ⎪⎝⎭2c =π2,3BE BAC =∠=2AE BE ==24b AE ==ABC △1π42sin 23⨯⨯⨯=16．【解】（1）是边长为的正三角形，为的中点，则．且平面平面，平面平面平面，则平面．（2）由于底面为等腰直角三角形，是边长为2正三角形，可取中点，连接，则．且平面平面，且平面平面，则平面．因此两两垂直，可以建立空间直角坐标系．是边长为2的正三角形，则可求得高．底面为等腰直角三角形，求得．可以得到关键点的坐标由第（1）问知道平面的法向量可取．设平面的法向量为，且，则，则，解得．则．则平面与平面17．【解】（1）零假设为：学生患近视与长时间使用电子产品无关．计算可得，，根据小概率值的独立性检验，推断不成立，即患近视与长时间使用电子产品的习惯有关．（2）每天看电子产品超过一小时的人数为，ABD △2E AD BE AD ⊥BEF ⊥ABD BEF ,ABD BE AD =⊂ABD AD ⊥BEF ABC △ABD △AB O OD ,OD AB OC AB ⊥⊥ABC ⊥ABD ABC ABD AB =OD ⊥ABC ,,OC OA OD O xyz -ABD △OD =ABC △1OC OA OB ===()()()(0,1,0,0,1,0,1,0,0,A B C D -BEF (0,AD =-BCD (),,m x y z = ()(1,1,0,BC CD ==- 0m BC m CD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩x y x +=⎧⎪⎨-+=⎪⎩)m = cos ,m AD m AD m AD ⋅〈〉===⋅ BEF BCD 0H 220.0550(1025105)4006.349 3.8411535203063x χ⨯⨯-⨯==≈>=⨯⨯⨯0.05α=2χ0H ξ则，所以在该班近视的同学中随机抽取3人，则至少有两人每天看电子产品超过一小时的概率是．（3）依题意，，事件包含两种情况：①其中一人每天看电子产品超过一小时且近视，另一人既不近视，每天看电子产品也没超过一小时；②其中一人每天看电子产品超过一小时且不近视，另一人近视且每天看电子产品没超过一小时，于是，所以．18．【解】（1）切点为．因为，所以切线的斜率为，所以曲线在处的切线方程为，化简得；（2）由题意可知，则的定义域为，当时，，则在上单调递减；当时，令，即，解得，若；若，则在上单调递减，在上单调递增．综上所述，当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增；()()()21310510331515C C C 45512069223C C 45591P P P ξξξ⨯+≥==+==+==6991()()1111110,22245525P X Y P X Y ===⨯====⨯=1X Y ==()1122111161C C 2551025P X Y ===⨯⨯+⨯⨯=()()()()1165301242525100P X Y P X Y P X Y P X Y ====+==+===++=()3,ln4()11f x x '=+()134k f ='=()y f x =3x =()1ln434y x -=-48ln230x y -+-=()()ln 1F x ax x =-+()F x ()1,-+∞()()11,1,,11ax a F x a x x x +-=-=∈-'+∞++0a ≤()101F x a x '=-<+()F x ()1,-+∞0a >()0F x '=10ax a +-=11x a=-()11111,01a ax a x F x a a x '-+--<≤=-=≤+()111,01ax a x F x a x +--'>=>+()F x 11,1a ⎛⎤-- ⎥⎝⎦11,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭0a ≤()F x ()1,-+∞0a >()F x 11,1a ⎛⎤-- ⎥⎝⎦11,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭（3）证明：函数，函数的定义域为．若存在，使得曲线关于直线对称，则关于直线对称，所以由．可知曲线关于直线对称．19．【解】（1）设椭圆的方程为，代入已知点的坐标，得：，解得，所以椭圆的标准方程为．（2）如图：①设直线的方程为，并记点，由消去，得，易知，则．由条件，，直线的方程为，直线的方程为()()111ln 1ln 2g x x x x ⎛⎫⎛⎫=++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()g x ()(),10,-∞-+∞ m ()y g x =x m =()(),10,-∞-+∞ x m =12m =-()()111ln 1ln 211g x x x x ⎛⎫⎛⎫--=-+-+ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭21121lnln ln ln 111x x x x x x x x x x +++=--=-+++()()()11211211lnln ln 1ln ln 1x x x x x x x g x x x x x x+++++=+--=+-=+()y g x =12x =-C 221(0,0,)mx ny m n m n +=>>≠312413m n m n +=⎧⎪⎨+=⎪⎩1612m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩C 22162x y +=l ()20x my m =+≠()()()112200,,,,,A x y B x y P x y 222,162x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩x ()223420m y my ++-=()()222Δ16832410m m m =++=+>12122242,33m y y y y m m --+==++()()12,0,,0D x E x AE ()1212y y x x x x =--BD，联立解得，所以点在定直线上．②，而，所以，则令，则，所以，当且仅当时，等号成立，所以．()2121y y x x x x =--()()2112211212012121222223my y my y x y x y my y x y y y y y y ++++====++++P 3x =0212121121111312222PAB S AD x x y x y my y my y =⋅-=⋅-=⋅-=-△121212my y y y =+()121212my y y y =+1211211224PABy y S y y y +=-=-==△t =1t >2122PAB t S t t t==≤=++△t =PAB △。
四川省成都市第七中学2022-2023学年高三上学期10月阶段考试数学(理)试题含答案
成都七中高2023届高三上期10月阶段考试数学试卷（理科）考试时间：120分钟 总分：150分一、选择题（每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求．把答案涂在答题卷上．）1．若复数=+z i(32i)（i 是虚数单位），则z 的虚部是（ ）A ．3iB ．3C ．-3iD ．-32．某统计部门对四组数据进行统计分析后，获得如图所示的散点图．下面关于相关系数的比较，正确的是（ ）A ．<<<r r r r 4213B ．<<<r r r r 2413C ．<<<r r r r 2431D ．<<<r r r r 42313．设全集=U R ，集合=≤M x x 1}{，=-≥N x x x 20}{)(，则M ∩(∁U N )=（ ） A ．<≤x x 01}{ B ．<x x 2}{C ．≤≤x x 01}{D ．≤x x 2}{4．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某个零件的三视图，则这个零件的体积等于（ ）A ．π6B ．π8C ．π10D ．π125．函数-=⋅+ππxf x x x cos ln )(在-ππ,)(上的图象大致为（ ） A ． B ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上． 13．已知平面向量a ，b ，c 满足++=a b c 0，且===a b c 1，则的值为________.14. 哥德巴赫猜想是指“每个大于2的偶数都可以表示为两个素数的和”，例如=+1073，=+16133，在不超过40的素数中，随机选取两个数，其和等于40的概率为________.15．已知双曲线，-=>>a bC a b x y :1002222)(的右顶点为A ，若以点A 为圆心，以b 为半径的圆与双曲线C 的一条渐近线交于，M N 两点，点O 为坐标原点，且，则 双曲线C 的离心率为_______．16.辅助角公式是我国清代数学家李善兰发现的用来化简三角函数的一个公式，其内容为+=+ϕa x b x x sin cos )(．（其中R ≠∈=ϕaa b b 0,,tan ）．已知函数=+>>ωωωf x x m x m sin cos (0,0))(的图像的两相邻零点之间的距离小于π,=πx 6为函数f x ()的极大值点,且⎝⎭⎪=⎛⎫πf 3则实数ω的最小值为_______.三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17—21题为必考题，每个试题考生都必须作答。
四川省成都市第七中学2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题
2024-2025学年度高三上期数学10月阶段性测试（考试时间：120 分钟；满分 150 分）第I 卷（选择题，共58分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.1．已知集合{A x y ==，{}21x B y y ==+，则A B = （）A ．(]0,1B ．(]1,2C ．[]1,2D ．[]0,22．已知复数z 满足23i z z +=+，则3i z +=（）A ．12i +B ．12i -C ．2i +D ．2i-3．已知向量a ，b 满足222a b a b -=-= ，且1b = ，则a b ⋅= （）A ．14B ．14-C ．12D ．12-4．如图为函数=在[]6,6-上的图象，则()fx 的解析式只可能是（）A ．())ln cos f x x x=B ．())lnsin f x x x =C ．())ln cos f x x x =D．)f x x x 5．已知()()cos ()=ln sin f x x a x =+为奇函数，则曲线()y f x =在点()()π,πf 处的切线方程为（）A ．ππ0x y +-=B ．ππ0x y -+=C ．π0x y -+=D ．0x y +=6．在体积为12的三棱锥A BCD -中，AC AD ⊥，BC BD ⊥，平面ACD ⊥平面BCD ，π3ACD ∠=，π4BCD ∠=，若点,,,A B C D 都在球O 的表面上，则球O 的表面积为（）A ．12πB ．16πC ．32πD ．48π7．若sin()cos 2sin()αβααβ+=-，则tan()αβ+的最大值为（）A．2B．4CD．48．设2024log 2023a =，2023log 2022b =，0.2024log 0.2023c =，则（）A ．c a b <<B ．b c a <<C ．b a c <<D ．a b c<<16．（15分）如图，在三棱锥D －ABC 中，△ABC 是以AB 为斜边的等腰直角三角形，△ABD 是边长为2的正三角形，E 为AD 的中点，F 为DC 上一点，且平面BEF ⊥平面ABD .(1)求证：AD ⊥平面BEF ；(2)若平面ABC ⊥平面ABD ，求平面BEF 与平面BCD 夹角的余弦值.17．（15分）为研究“眼睛近视是否与长时间看电子产品有关”的问题，对某班同学的近视情况和看电子产品的时间进行了统计，得到如下的列联表：近视情况每天看电子产品的时间合计超过一小时一小时内近视10人5人15人不近视10人25人35人合计20人30人50人附表：α0.10.050.010.0050.001x α2.7063.841 6.6357.87910.82822()()()()()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++．(1)根据小概率值0.05α=的2χ独立性检验，判断眼睛近视是否与长时间看电子产品有关；(2)在该班近视的同学中随机抽取3人，则至少有两人每天看电子产品超过一小时的概率是多少？(3)以频率估计概率，在该班所在学校随机抽取2人，记其中近视的人数为X ，每天看电子产品超过一小时的人数为Y ，求()P X Y =的值．18．（17分）已知函数()()ln 1f x x =+．(1)求曲线=在3x =处的切线方程；(2)讨论函数()()()F x ax f x a =-∈R 的单调性；(3)设函数()()1111g x x f f x x ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．证明：存在实数m ，使得曲线=关于直线x m =对称.19．（17分）已知椭圆C 的对称中心在坐标原点，以坐标轴为对称轴，且经过点)和⎛- ⎝⎭．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)过点()2,0M 作不与坐标轴平行的直线l 交曲线C 于A ，B 两点，过点A ，B 分别向x 轴作垂线，垂足分别为点D ，E ，直线AE 与直线BD 相交于P 点．①求证：点P 在定直线上；②求PAB 面积的最大值．。