成都七中2021届高三上学期一诊理科数学试卷及答案
2021-2022学年四川省成都七中高三(上)一诊数学试卷(理科)(附详解)
2021-2022学年四川省成都七中高三（上）一诊数学试卷（理科）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合M={x|0<x<3}，N={x|13≤x≤6}，则M∪N=()A. {x|0<x≤6}B. {x|13≤x<3} C. {x|3<x<6} D. {x|0<x≤13}2.已知z=2−i，则z(z−+i)的虚部是()A. 2B. −2C. 2iD. −2i3.如图所示的几何体是由一个正方体截去一个小正方体而得到，则该几何体的左(侧)视图为()A.B.C.D.4.已知向量a⃗=(2,−1)，a⃗⋅b⃗ =5，|a⃗+b⃗ |=8，则|b⃗ |=()A. 5B. 6C. 7D. 85.已知F1，F2是椭圆C：x29+y24=1的两个焦点，点M在C上，则|MF1|⋅|MF2|的最大值为()A. 13B. 12C. 9D. 66.饕餮纹是青铜器上常见的花纹之一，最早见于长江中下游地区的良渚文化陶器和玉器上，盛行于商代至西周早期．将青铜器中的饕餮纹的一部分画到方格纸上，如图所示，每个小方格的边长为一个单位长度，有一点P从点A出发，每次向右或向下跳一个单位长度，且向右或向下跳是等可能的，那么点P经过3次跳动后恰好是沿着饕餮纹的路线到达点B的概率为()A. 116B. 18C. 14D. 127. 记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若a 5−a 3=12，a 6−a 4=24，则Sna n=( )A. 2n −1B. 2−21−nC. 2−2n−1D. 21−n −18. 设O 为坐标原点，直线x =2与抛物线C ：y 2=2px(p >0)交于D ，E 两点，若OD ⊥OE ，则C 的焦点坐标为( )A. (14,0)B. (12,0)C. (1,0)D. (2,0)9. 星等分为两种：目视星等与绝对星等但它们之间可用公式M =m +5−5lg d3.26转换，其中M 为绝对星等，m 为目视星等，d 为距离(单位：光年).现在地球某处测得牛郎星目视星等为0.77，绝对星等为2.19；织女星目视星等为0.03，绝对星等为0.5，且牛郎星和织女星与地球连线的夹角大约为34°，则牛郎星与织女星之间的距离约为( )(参考数据：100.906≈8.054，100.716≈5.199，cos34°≈0.8)A. 26光年B. 16光年C. 12光年D. 5光年10. 若α∈(π2,π)，cosα=(2−sinα)tan2α，则tanα=( )A. √1515B. −√1515C. √53D. −√5311. 在正三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，AB =A 1A 1=1，点P 满足BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ +μBB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，其中λ∈[0,1]，μ∈[0,1]，则下列说法正确的个数是( ) ①当λ=1时，△AB 1P 的周长为定值； ②当μ=1时，三棱锥P −A 1BC 的体积为定值； ③当λ=12时，有且仅有一个点P ，使得A 1P ⊥BP ； ④当μ=12时，有且仅有一个点P ，使得A 1B ⊥平面AB 1P.A. 1B. 2C. 3D. 412. 若a =ln(ln 3)2，b =2ln(ln2)，c =2ln2，则a ，b ，c 的大小关系为( )二、单空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 曲线y =2x−1x+2在点(−1,−3)处的切线方程为 ．14. 已知F 1，F 2为双曲线C ：x 216−y 29=1的两个焦点，P ，Q 为C 上关于坐标原点对称的两点，且|PQ|=|F 1F 2|，则四边形PF 1QF 2的面积为______． 15. 已知函数f(x)=2sinωx(ω>0)在区间[−3π4,π4]上单调递增，且直线y =−2与函数f(x)的图象在[−2π,0]上有且仅有一个交点，则实数ω的取值范围是______． 16. 已知正数x ，y 满足x +4y =x 2y 3，则8x +1y 的最小值是______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 巳知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 6=36，_____．请在①a 3=5；②a 2+a 4+a 6=21，③S 7=49，这三个条件中任选一个补充在上面题干中，并回答以下问题． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{a n3n }的前n 项和T n ．18. 某投资公司2012年至2021年每年的投资金额x(单位：万元)与年利润增量y(单位：万元)的散点图如图：该投资公司为了预测2022年投资金额为20万元时的年利润增量，建立了y 关于x 的两个回归模型；模型①：由最小二乘公式可求得y 与x 的线性回归方程：y ̂=2.50x −2.50； 模型②：由图中样本点的分布，可以认为样本点集中在曲线：y =blnx +a 的附近，对投资金额x 做交换，令t =lnx ，则y =b ⋅t +a ，且有∑t 10=22.00，∑y 10=230，(1)根据所给的统计量，求模型②中y 关于x 的回归方程；(2)分别利用这两个回归模型，预测投资金额为20万元时的年利润增量(结果保留两位小数)；(3)根据下列表格中的数据，比较两种模型相关指数R 2，并说明谁的预测值精度更高、更可靠．回归模型 模型① 模型② 回归方程y ̂=2.50x −2.50y ̂=blnx +a ∑(10i=1y i ,y ̂i )2102.2836.19附：样本(t i ,y i )(i =1,2,…,n)的最小乘估计公式为b ̂=∑(n i=1t i −t −)(y i −y −)∑(n i=1t i −t −)，a ̂=y −−b ̂t −；相关指数R 2=1−∑(n i=1y i −y ̂)2∑(ni=1y i −y −)2．参考数据：ln2≈0.6931，ln5≈1.6094．19. 已知三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，M 、N 分别是CC 1与A 1B 的中点，△ABA 1为等边三角形，CA =CA 1，A 1A =A 1M =2BC ．(Ⅰ)求证：MN//平面ABC；(Ⅱ)(i)求证：BC⊥平面ABB1A1；(ii)求二面角A−MN−B的正弦值．20.已知两圆C1：(x−2)²+y²=54，C2：(x+2)²+y²=6，动圆M在圆C1内部且和圆C1内切，和圆C2外切．(1)求动圆圆心M的轨迹方程C；(2)过点A(3,0)的直线与曲线C交于P，Q两点．P关于x轴的对称点为R，求△ARQ面积的最大值．21.已知x∈[0,+∞)，函数f(x)=e x+sinx，函数g(x)=ax2+2x+1．(1)若a=1，证明：f(x)+x≥g(x)+sinx；2(2)f(x)≥g(x)恒成立，求a的取值范围．22. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =cos k t,y =sin k t(t 为参数).以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为4ρcosθ−16ρsinθ+3=0．(1)当k =1时，C 1是什么曲线？(2)当k =4时，求C 1与C 2的公共点的直角坐标．23. 已知函数f(x)=|3x +1|−2|x −1|．(1)画出y =f(x)的图象；(2)求不等式f(x)>f(x +1)的解集．答案和解析1.【答案】A≤x≤6}，【解析】解：∵集合M={x|0<x<3}，N={x|13∴M∪N={x|0<x≤6}．故选：A．利用并集定义直接求解．本题考查集合的运算，考查并集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】A【解析】解：因为z=2−i，则z(z−+i)=(2−i)(2+i+i)=(2−i)(2+2i)=4+2+2i=6+2i，所以虚部为2，故选：A．利用复数的运算性质以及共轭复数的性质即可求解．本题考查了复数的运算性质，涉及到复数虚部的定义，属于基础题．3.【答案】B【解析】解：从几何体的左边看可得到一个正方形，正方形的右上角处是一个看得到的小正方形．故选：B．找到从左向右看得到的图形即可．本题考查了简单组合体的三视图，属于基础题，关键掌握侧视图是从左向右看得到的视图．4.【答案】C【解析】解：因为a⃗=(2,−1)，所以|a⃗|=√22+(−1)2=√5，又因为a⃗⋅b⃗ =5，|a⃗+b⃗ |= 8，所以|a⃗+b⃗ |²=a⃗2+b⃗ 2+2a⃗⋅b⃗ =8²，所以|b⃗ |²=64−2⋅5−5=49，所以|b⃗ |=7故选：C．根据向量运算性质列方程，解方程求解．本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属于中档题．5.【答案】C【解析】【分析】利用椭圆的定义，结合基本不等式，转化求解即可．本题考查椭圆的简单性质的应用，基本不等式的应用，是基础题．【解答】解：F1，F2是椭圆C：x29+y24=1的两个焦点，点M在C上，|MF1|+|MF2|=6，所以|MF1|⋅|MF2|≤(|MF1|+|MF2|2)2=9，当且仅当|MF1|=|MF2|=3时，取等号，所以|MF1|⋅|MF2|的最大值为9．故选：C．6.【答案】B【解析】解：点P从A点出发，每次向右或向下跳一个单位长度，则有(右，右，右)，(右，右，下)，(右，下，右)，(下，右，右)，(右，下，下)，(下，右，下)，(下，下，右)，(下，下，下)，共8种不同的跳法(线路)，符合题意的只有(下，下，右)这1种，所以3次跳动后，恰好是沿着饕餮纹的路线到达点B的概率为P=18．故选：B．先利用列举法得到共8种不同的跳法，再利用概率公式求解即可．本题考查概率的求法，利用列举法是关键，是基础题．【解析】【分析】本题考查了等比数列的通项公式和求和公式，考查了运算求解能力，属于较易题．根据等比数列的通项公式求出首项和公比，再根据求和公式即可求出．【解答】解：设等比数列的公比为q，∵a5−a3=12，∴a6−a4=q(a5−a3)，∴q=2，∴a1q4−a1q2=12，∴12a1=12，∴a1=1，∴S n=1−2n1−2=2n−1，a n=2n−1，∴S na n =2n−12n−1=2−21−n，故选：B．8.【答案】B【解析】【分析】本题考查抛物线的简单性质的应用，是基本知识的考查．利用已知条件转化求解E、D坐标，通过k OD⋅k OE=−1，求解抛物线方程，即可得到抛物线的焦点坐标．【解答】解：将x=2代入抛物线y2=2px，可得y=±2√p，OD⊥OE，可得k OD⋅k OE=−1，即2√p2⋅−2√p2=−1，解得p=1，所以抛物线方程为：y2=2x，它的焦点坐标(12,0)．故选：B．【解析】解：∵M=m+5−5lg d3.26，∴d=3.26×10m+5−M5，由题意可知，M牛=2.19，m牛=0.77，M织=0.5，m织=0.03，设地球与牛郎星距离为d1，地球与织女星距离为d2，织女星与牛郎星距离为d，则d1=3.26×100.77+5−2.195=3.26×100.716≈3.26×5.199≈17，d2=3.26×100.03+5−0.55=3.26×100.906≈3.26×8.054≈26，d2=d12+d22−2d1d2cos34°=172+262−2×17×26×0.8=257，故d=√257≈16，故牛郎星与织女星之间的距离约为16光年．故选：B．根据已知条件，结合余弦定理，即可求解．本题主要考查函数的实际应用，掌握余弦定理是解本题的关键，属于基础题．10.【答案】B【解析】解：由cosα=(2−sinα)tan2α，得tan2α=cosα2−sinα，即sin2αcos2α=cosα2−sinα，∴2sinαcosα1−2sin2α=cosα2−sinα，∵α∈(π2,π)，∴cosα≠0，则2sinα(2−sinα)=1−2sin2α，解得sinα=14，∴cosα=−√1−sin2α=−√154，则tanα=sinαcosα=−√1515．故选：B．把已知等式变形，然后切化弦，整理后求得sinα，进一步求得cosα，再由商的关系得答案．本题考查二倍角公式、同角三角函数基本关系式的应用，考查运算求解能力，是基础题．11.【答案】C【解析】解：对于①，当λ=1时，BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +μBB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，即CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =μBB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以CP ⃗⃗⃗⃗⃗ //BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 故点P 在线段CC 1上，此时△AB 1P 的周长为AB 1+B 1P +AP ， 当点P 为CC 1的中点时，△AB 1P 的周长为√5+√2， 当点P 在点C 1处时，△AB 1P 的周长为2√2+1， 故周长不为定值，故①错误；对于②，当μ=1时，BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，即B 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以B 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ //BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 故点P 在线段B 1C 1上， 因为B 1C 1//平面A 1BC ，所以直线B 1C 1上的点到平面A 1BC 的距离相等， 又△A 1BC 的面积为定值，所以三棱锥P −A 1BC 的体积为定值，故②正确；对于③，当λ=12时，取线段BC ，B 1C 1的中点分别为M ，M 1，连结M 1M ，因为BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +μBB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，即MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =μBB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ //BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则点P 在线段M 1M 上，当点P 在M 1处时，A 1M 1⊥B 1C 1，A 1M 1⊥B 1B ， 又B 1C 1∩B 1B =B 1，所以A 1M 1⊥平面BB 1C 1C ，又BM 1⊂平面BB 1C 1C ，所以A 1M 1⊥BM 1，即A 1P ⊥BP ， 同理，当点P 在M 处，A 1P ⊥BP ，故③正确；对于④，当μ=12时，取CC 1的中点D 1，BB 1的中点D ，因为BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ +12BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，即DP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以DP ⃗⃗⃗⃗⃗ //BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则点P 在线的DD 1上，当点P 在点D 1处时，取AC 的中点E ，连结A 1E ，BE ，因为BE ⊥平面ACC 1A 1，又AD 1⊂平面ACC 1A 1，所以AD 1⊥BE ， 在正方形ACC 1A 1中，AD 1⊥A 1E ， 又BE ∩A 1E =E ，BE ，A 1E ⊂平面A 1BE ，故AD 1⊥平面A 1BE ，又A 1B ⊂平面A 1BE ，所以A 1B ⊥AD 1， 在正方形ABB 1A 1中，A 1B ⊥AB 1，又AD 1∩AB 1=A ，AD 1，AB 1⊂平面AB 1D 1，所以A 1B ⊥平面AB 1D 1， 因为过定点A 与定直线A 1B 垂直的平面有且只有一个， 故有且仅有一个点P ，使得A 1B ⊥平面AB 1P ，故④正确．故选：C ．判断当λ=1时，点P在线段CC1上，分别计算点P为两个特殊点时的周长，即可判断①；当μ=1时，点P在线段B1C1上，利用线面平行的性质以及锥体的体积公式，即可判断②；当λ=12时，取线段BC，B1C1的中点分别为M，M1，连结M1M，则点P在线段M1M上，分别取点P在M1，M处，得到均满足A1P⊥BP，即可判断③；当μ=12时，取CC1的中点D1，BB1的中点D，则点P在线的DD1上，证明当点P在点D1处时，A1B⊥平面AB1D1，利用过定点A与定直线A1B垂直的平面有且只有一个，即可判断④．本题考查了动点轨迹，线面平行与线面垂直的判定，锥体的体积问题等，综合性强，考查了逻辑推理能力与空间想象能力，属于难题．12.【答案】D【解析】解：∵a=2ln(|ln3π|)=2ln(lnπ3)，b=2ln(ln2)，c=2ln21e，而函数f(x)=2lnx在定义域(0,+∞)上单调递增，0<lnπ3<ln2<1<21e，∴a<b<c，故选：D．根据对数的运算性质以及对数函数的单调性即可判断．本题主要考查了对数函数的性质，以及利用函数的单调性比较大小，是基础题．13.【答案】5x−y+2=0【解析】【分析】本题主要考查导数的几何意义，考查运算求解能力，属于基础题．先求导，利用导数的几何意义可求出切线的斜率，再由点斜式即可求得切线方程．【解答】解：因为y=2x−1x+2，(−1,−3)在曲线上，所以y′=2(x+2)−(2x−1)(x+2)2=5(x+2)2，所以y′|x=−1=5，则曲线y=2x−1x+2在点(−1,−3)处的切线方程为：y−(−3)=5[x−(−1)]，即5x−y+2=0．故答案为：5x−y+2=0．14.【答案】16【解析】解：因为P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且|PQ|=|F1F2|，所以四边形PF1QF2为矩形，设|PF1|=m，|PF2|=n，由椭圆的定义可得||PF1|−|PF2||=|m−n|=2a=8，所以m2−2mn+n2=64，因为|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=4c2=4(a2+b2)=100，即m2+n2=100，所以mn=16，所以四边形PF1QF2的面积为|PF1||PF2|=mn=16．故答案为：16．判断四边形PF1QF2为矩形，利用双曲线的定义及勾股定理求解即可．本题主要考查双曲线的性质，双曲线的定义，考查方程思想与运算求解能力，属于中档题．15.【答案】[14,2 3 ]【解析】解：∵函数f(x)=2sinωx(ω>0)在区间[−3π4,π4]上单调递增，∴ω×(−3π4)≥−π2，且ω×π4≤π2，求得0<ω≤23．且直线y=−2与函数f(x)的图象在[−2π,0]上有且仅有一个交点，ωx∈[−2ωπ,0]，∴−5π2<−2ωπ≤−π2，求得14≤ω<54．综上可得，实数ω的取值范围为[14,23 ]，故答案为：[14,2 3 ].由题意利用正弦函数的图象和性质，求得实数ω的取值范围．本题主要考查正弦函数的图象和性质，属于中档题．16.【答案】2√2【解析】解：令1y =m ，8x +1y =t(t >0)， ∵x +4y =x 2y 3， ∴8t−m+4m=(8t−m)2⋅(1m)3，即m 4−t 2m 2+16=0，令m 2=a ，则a 2−t 2a +16=0，所以关于a 的方程a 2−t 2a +16=0有两个正实根，∴{△=t 4−64≥016>0，∴t ≥2√2，当x =4(√2+1)，y =12时取等号， ∴8x +1y 的最小值是2√2． 故答案为：2√2．利用换元法得到关于a 的方程a 2−t 2a +16=0有两个正实根，再利用根与系数的关系即可求解．本题考查了换元法的应用，一元二次方程有两个正实根的求解，属于中档题．17.【答案】解：(1)选①a 3=5．设等差数列{a n }的公差为d ， 则S 6=6a 1+6×52d =36，a 1+2d =5，解得：a 1=1，d =2， ∴a n =1+2(n −1)=2n −1． 选②a 2+a 4+a 6=21， 设等差数列{a n }的公差为d ， 则S 6=6a 1+6×52d =36，3a 1+9d =21，解得：a 1=1，d =2， ∴a n =1+2(n −1)=2n −1． 选③S 7=49，设等差数列{a n }的公差为d ， 则S 6=6a 1+6×52d =36，7a 1+7×62d =49，解得：a 1=1，d =2， ∴a n =1+2(n −1)=2n −1．(2)a n3n =2n−13n．数列{an3n }的前n 项和T n =13+332+533+⋯…+2n−13n，∴13T n =132+333+⋯…+2n−33n +2n−13n+1，相减可得：23T n =13+2(132+133+⋯…+13n )−2n−13n+1=13+2×19[1−(13)n−1]1−13−2n−13n+1，化为：T n =1−n+13n．【解析】(1)选①a 3=5.设等差数列{a n }的公差为d ，利用等差数列的通项公式与求和公式解得a 1，d ，即可得出a n ．选②a 2+a 4+a 6=21，设等差数列{a n }的公差为d ，利用等差数列的通项公式与求和公式解得a 1，d ，即可得出a n ．选③S 7=49，设等差数列{a n }的公差为d ，利用等差数列的求和公式解得a 1，d ，即可得出a n ．(2)a n3n =2n−13n.利用错位相减法可得数列{an3n}的前n 项和T n ． 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其求和公式、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.【答案】解：(1)∵∑t i 10i=1=22.00，∑y i 10i=1=230， ∴t −=2.2，y −=23，b ̂=∑(n i=1t i −t −)(y i −y −)∑(n i=1t i −t −)=∑t i 10i=1y i −10t −⋅y−∑t i 210i=1−10t−2=569−10×2.2×2350.92−10×2.2×2.2=25，则a ̂=y −−b ̂t −=23−25×2.2=−32，故模型②中y 关于x 的回归方程为y ̂=25lnx −32．(2)当x =20时，模型①的年利润的预测值为y ̂=2.5×20−2.5=47.5 (万元)， 当x =20时，模型②年利润的预测值为y ̂=25ln20−32=25×(2ln2+ln5)−32≈25×(2×0.6931+1.6094)−32=42.89(万元)．(3)由表格中的数据可得，102.28>36.19，即102.28∑(10i=1y i−y−)2>36.19∑(10i=1y i−y −)2， ∴模型①的相关指数R 2小于模型②，说明回归模型②刻画的拟合效果更好，故当x=20时，模型②的预测值比模型①的预测值进度更高，更可靠．【解析】(1)根据已知条件，结合最小二乘法和线性回归方程的公式，即可求解．(2)将x=20分别代入两个线性回归方程中，即可求解．(3)根据已知条件，结合相关系数的公式，即可求解．本题主要考查了线性回归方程的求解，需要学生熟练掌握最小二乘法公式，属于中档题．19.【答案】解：(Ⅰ)证明：取BB1的中点P，连接MP，NP，又M是CC1的中点，则MP//BC，∵MP⊄平面ABC，BC⊂平面ABC，∴MP//平面ABC，又N是A1B的中点，∴NP//A1B1，而AB//A1B1，∴NP//AB，∵NP⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，∴NP//平面ABC，∵MP∩NP=P，MP、NP⊂平面MNP，∴平面PMN//平面ABC，∵MN⊂平面PMN，∴MN//平面ABC．(Ⅱ)(i)证明：设BC=1，则A1A=A1M=2，依题意CA1=CA=C1A1，∴A1M是等腰△A1CC1底边上的中线，则A1M⊥CC1，∴AC=A1C1=√A1M2+MC12=√5，∵△ABA1为等边三角形，∴AB=AA1=BA1=2，∴AB2+BC2=5=AC2，∴AB⊥BC，同理，A1B2+BC2=A1C2，∴A1B⊥BC，∵A1B∩AB=B，A1B、AB⊂平面ABB1A1，∴BC⊥平面ABB1A1．(ii)解：∵BC⊥平面ABB1A1，AN⊂平面ABB1A1，∴AN⊥BC，∵正△ABA1中，N为BA1中点，∴AN⊥BA1，又BC∩BA1=B，BC、BA1⊂平面A1BC，∴AN⊥平面A1BC，又AN⊂平面AMN，∴平面AMN⊥平面A1BC，设A1C∩AM=Q，连接QN，则QN 为平面AMN 与平面A 1BC 的交线， 过B 作BH ⊥QN 于点H ，则BH ⊥平面AMN ， ∵MN ⊂平面AMN ，∴BH ⊥MN ， 过B 作BG ⊥MN 于点G ，连接HG ， 又BG ∩BH =B ，BG 、BH ⊂平面BGH ，∴MN ⊥平面BGH ，又GH ⊂平面BGH ，∴MN ⊥GH ， ∴∠BGH 是二面角A −MN −B 的平面角，由(i)知BC =1，CM =1，∴BM =√2， △BMA 1中，BA 1=A 1M =2，BM =√2， ∴由余弦定理得cos∠MBA 1=222×2×√2=√24， ∵N 为BA 1中点，∴BN =1， ∴△BMN 中，由余弦定理可得 MN =√12+2−2×1×√2×√24=√2，∵S △BMN =12BM ·BN ·sin∠MBN =12BG ·MN∴BG =√2×1×√78√2=√78，∵CM//AA 1，CM ：AA 1=1:2，∴CQ ：QA 1=1:2， 又A 1C =√5，∴A 1Q =2√53， Rt △A 1BC 中，cos∠BA 1C =BA1CA 1=√5，∴△A 1NQ 中，由余弦定理可得 QN =(2√53)2√532√5=√53， ∴cos∠QNA 1=(√53)2+12−(2√53)22×√53×1=−√55， ∴sin∠QNA 1=sin∠BNH =2√55，在Rt △BHN 中，sin∠BNH =BHBN ， ∴BH =BN ·2√55=2√55，∴二面角A −MN −B 的正弦值为sin∠BGH =BH BG=√3235=4√7035．【解析】本题考查线面平行、线面垂直的证明，考查二面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，题目较难． (Ⅰ)取BB 1的中点P ，证得MP//平面ABC ，NP//平面ABC ，进而平面PMN//平面ABC ，由此能证明MN//平面ABC ．(Ⅱ)(i)设BC =1，则A 1A =A 1M =2，CA 1=CA =C 1A 1，从而A 1M 是等腰△A 1CC 1底边上的中线，则A 1M ⊥CC 1，AC =A 1C 1=√A 1M 2+MC 12=√5，推导出AB ⊥BC ，同理A 1B ⊥BC ，由此能证明BC ⊥平面ABB 1A 1．(ii)由AN ⊥BC ，AN ⊥BA 1，知AN ⊥平面A 1BC ，从而平面AMN ⊥平面A 1BC ，设A 1C ∩AM =Q ，则QN 为平面AMN 与平面A 1BC 的交线，过B 作BH ⊥QN 于点H ，则BH ⊥平面AMN ，又过B 作BG ⊥MN 于点G ，则MN ⊥平面BGH ，从而∠BGH 是二面角A −MN −B 的平面角，由此能求出二面角A −MN −B 的正弦值．20.【答案】解：(1)由题意可知，圆C 1的圆心(2,0)，半径为3√6，圆C 2的圆心(−2,0)，半径为√6， 设圆M 的半径为R ，则|MC 1|+|MC 2|=(3√6−R)+(√6+R)=4√6>4=|C 1C 2|， 所以M 的轨迹是以C 1，C 2为焦点的椭圆， 则2a =4√6，2c =4，所以a =2√6，c =2，b =√a 2−b 2=2√5， 故动圆圆心M 的轨迹方程C 为x 224+y 220=1； (2)由题得直线斜率不为0，设直线的方程为x =my +3，P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)，则R(x 1,−y 1)，由{x =my +35x 2+6y 2=120，可得(5m 2+6)y 2+30my −75=0，Δ=(30m)2+4×75(5m 2+6)>0恒成立，由韦达定理可得y 1+y 2=−30m5m 2+6，y 1y 2=−755m 2+6， 由椭圆的对称性，不妨设m <0，则x 1<3，y 1>0，x 2>3，y 2<0，如图所示，则S △PQR =12×2y 1×(x 2−x 1)=y 1×(x 2−x 1)，S △PAR =12×2y 1×(3−x 1)=y 1×(3−x 1)，S △ARQ =S △PQR −S △PAR =y 1×(x 2−x 1)−y 1×(3−x 1)=y 1(x 2−3)=y 1(my 2+3−3)=my 1y 2=m ×(−755m 2+6)=75−5m+6−m ≤2√(−5m)×6−m =5√304， 当且仅当−5m =6−m ，即m =−√305时取等号，故△ARQ 面积的最大值为5√304．【解析】(1)设圆M 的半径为R ，由椭圆的定义得到点M 的轨迹，求出椭圆方程即可；(2)由题得直线斜率不为0，设直线的方程为x =my +3，P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)，与椭圆联立方程组由韦达定理可得y 1+y 2=−30m 5m 2+6，y 1y 2=−755m 2+6，S △ARQ =S △PQR −S △PAR =my 1y 2=m ×(−755m 2+6)，计算可得△ARQ 面积的最大值．本题考查了动点轨迹方程的求解，椭圆定义的理解与应用，椭圆标准方程的求解、直线与椭圆位置关系的应用，直线与圆的位置关系的理解与应用，在解决直线与圆锥曲线位置关系的问题时，一般会联立直线与圆锥曲线的方程，利用韦达定理和“设而不求”的方法进行研究，属于中档题．21.【答案】(1)证明：当a =12时，令G(x)=f(x)+x −g(x)−sinx =e x −12x 2−x −1(x ≥0)，则G′(x)=e x −x −1，G ″(x)=e x −1≥0，所以G′(x)在[0,+∞)上单调递增，所以G′(x)≥G′(0)=0，所以G(x)在[0,+∞)上单调递增，所以G(x)≥G(0)=0，所以f(x)+x ≥g(x)+sinx ；(2)e x +sinx −(ax 2+2x +1)，由题意得，ℎ(x)min ≥0，因为ℎ′(x)=e x −2ax −2+cosx ，ℎ′(0)=0，ℎ″(x)=e x −sinx −2a ，ℎ″(0)=1−2a ，ℎ″′(x)=e x −cosx ≥0，则ℎ″(x)在[0,+∞)上单调递增，当a ≤12时，ℎ″(0)=1−2a ≥0，则ℎ″(x)≥ℎ″(0)≥0，ℎ′(x)单调递增，ℎ′(x)≥ℎ′(0)=0， 则ℎ(x)在[0,+∞)上单调递增，ℎ(x)≥ℎ(0)=0，符合题意；当a >12时，ℎ″(0)=1−2a <0，由(1)的结论可得ℎ″(x)在[0,+∞)上单调递增，ℎ″(1+2a)=e 1+2a −2a −sin(1+2a)≥1+(1+2a)−2a −1>0，故必然存在x 0∈(0,1+2a)使得，x ∈(0,x 0)时，ℎ″(0)<0，则ℎ′(x)在(0,x 0)上单调递减，此时ℎ′(x)<ℎ′(0)=0，则ℎ(x)在(0,x 0)上单调递减，此时ℎ(x)<ℎ(0)=0，不符合题意，综上，a 的范围为(−∞,12].【解析】(′)把a =12代入后，构造函数令G(x)=f(x)+x −g(x)−sinx ，对其求导，然后结合导数与单调性关系即可证明；(2)令ℎ(x)=f(x)−g(x)，然后对函数求导，结合导数与单调性关系分析导数符号，再由函数的性质及零点判定定理可求．本题主要考查了导数与单调性关系的应用，还考查了利用导数及函数性质证明不等式，求解与不等式恒成立问题，体现了转化思想及分类讨论思想的应用，属于难题．22.【答案】解：(1)当k =1时，曲线C 1的参数方程为{x =cost y =sint ，(t 为参数)， 消去参数t ，可得x 2+y 2=1，故C 1是以原点为圆心，以1为半径的圆；(2)当k =4时，曲线C 1的参数方程为{x =cos 4t y =sin 4t，(t 为参数)， 两式作差可得x −y =cos 4t −sin 4t =cos 2t −sin 2t =2cos 2t −1，∴cos 2t =x−y+12，得x =cos 4t =(x−y+12)2， 整理得：(x −y)2−2(x +y)+1=0(0≤x ≤1,0≤y ≤1)．由4ρcosθ−16ρsinθ+3=0，又x =ρcosθ，y =ρsinθ，∴4x −16y +3=0．联立{(x −y)2−2(x +y)+1=04x −16y +3=0，解得{x =16936y =4936(舍)，或{x =14y =14． ∴C 1与C 2的公共点的直角坐标为(14,14).【解析】(1)当k =1时，曲线C 1的参数方程为{x =cost y =sint ，(t 为参数)，利用平方关系消去参数t ，可得x 2+y 2=1，故C 1是以原点为圆心，以1为半径的圆；(2)当k =4时，曲线C 1的参数方程为{x =cos 4t y =sin 4t，(t 为参数)，消去参数t ，可得(x −y)2−2(x +y)+1=0(0≤x ≤1,0≤y ≤1).由4ρcosθ−16ρsinθ+3=0，结合极坐标与直角坐标的互化公式可得4x −16y +3=0.联立方程组即可求得C 1与C 2的公共点的直角坐标为(14,14).本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，考查计算能力，是中档题．23.【答案】解：函数f(x)=|3x +1|−2|x −1|={x +3,(x ≥1)5x −1,(−13≤x <1)−x −3,(x <−13)， 图象如图所示(2)由于f(x +1)的图象是函数f(x)的图象向左平移了一个1单位所得，(如图所示)直线y =5x −1向左平移一个单位后表示为y =5(x +1)−1=5x +4，联立{y =−x −3y =5x +4，解得横坐标为x =−76， ∴不等式f(x)>f(x +1)的解集为{x|x <−76}.【解析】(1)将函数零点分段，即可作出图象；(2)由于f(x+1)是函数f(x)向左平移了一个1单位，作出图象可得答案；本题考查了绝对值函数的解法，分段作出图象是解题的关键．属于基础题．。
2021届四川省成都市第七中学高三第一诊断模拟测试数学(理)试题【含解析】
2021届四川省成都市第七中学高三第一诊断模拟测试数学（理）试题【含解析】一、单选题1．已知集合()1222M x y x x⎧⎫⎪⎪==-⎨⎬⎪⎪⎩⎭，{}11N x x =-<<，则M N =（ ）A ．[)0,1B ．()0,1C ．(]1,0-D ．()1,0-【答案】A【分析】先求出集合M ，再根据交集定义即可求出.【详解】(){}{}122222002M x y x xx x x x x ⎧⎫⎪⎪==-=-≥=≤≤⎨⎬⎪⎪⎩⎭， {}[)010,1M N x x ∴⋂=≤<=.故选：A.【点睛】本题考查交集运算，其中涉及函数定义域的求法，一元二次不等式的解法，属于基础题.2．若复数()12()()z m m i m R =+-∈+是纯虚数，则63iz+=( ) A ．3 B ．5C 5D ．35【答案】C【分析】先由已知，求出1m =-，进一步可得63i12i z+=-，再利用复数模的运算即可【详解】由z 是纯虚数，得10m +=且20m -≠，所以1m =-，3z i =. 因此，63631253i ii z i++==-=故选：C.【点睛】本题考查复数的除法、复数模的运算，考查学生的运算能力，是一道基础题. 3．函数()()33ln ||x xf x x -=+的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】根据函数的奇偶性以及计算()1(),22f f ，可得结果. 【详解】由题可知：函数()f x 的定义域为()(),00,x ∈-∞+∞()()()()33ln ||33ln ||x x x x f x x x f x -+--=+-=+=所以可知函数()f x 为偶函数又()()11222211()33ln 0,233ln 2022f f --⎛⎫=+<=+> ⎪⎝⎭所以选项D 正确 故选：D【点睛】本题主要考查具体函数的图像，这种类型问题，可从以下几个指标判断：（1）函数定义域；（2）函数奇偶性；（3）特殊值：（3）单调性；（4）值域，属基础题. 4．执行如图所示的程序框图，正确的是（ ）A ．若输入,,a b c 的值依次为1,2,3，则输出的值为5B ．若输入,,a b c 的值依次为1,2,3，则输出的值为7C ．若输入,,a b c 的值依次为2,3,4，则输出的值为8D ．若输入,,a b c 的值依次为2,3,4，则输出的值为10【答案】C【解析】此题为流程图，主要考察学生的思维能力和对循环结构及赋值语句的理解程度，属于高考数学中的常见题型，难度不大，建议采用筛选法或排除法． 请在此填写本题解析!解 设输入,,a b c 的值依次为1,2,3，由条件结合赋值语句得c a 1,== a 2,b c 1,===所以3,ac b +=故排除A ，B ，同理验证可知排除D ，因此选C ． 5．函数()()2sin 0,2f x x πωϕϕϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的部分图象如图所示．若对任意x ∈R ，()()2f x f t x =-恒成立，则实数t 的最大负值为（ ）A ．512π-B ．3π-C ．4π-D ．6π-【答案】A【分析】根据函数图象可确定5544T π=，由此确定ω，利用1252f π⎛⎫=- ⎪⎝⎭-可求得ϕ，从而得到()f x 解析式；由()f x 的对称轴为x t =，采用整体对应的方式可确定t 的取值，进而确定t 的最大负值. 【详解】由图象可知：555546124T πππ=+=，2T ππω∴==，解得：2ω=. 5552sin 22sin 212126f πππϕϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=⨯-+=-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()5262k k Z ππϕπ∴-+=-+∈，解得：()23k k Z πϕπ=+∈，又2πϕ<，3πϕ∴=，()2sin 23f x x π⎛⎫∴=+⎪⎝⎭. ()()2f x f t x =-，()f x ∴关于直线x t =对称， ()232t k k Z πππ∴+=+∈，解得：()122k t k Z ππ=+∈，则当1k =-时，t 取得最大负数，此时512t π=-. 故选：A .【点睛】本题考查根据正弦型函数的对称轴确定参数值的问题，关键是能够熟练掌握利用图象求解正弦型函数解析式的方法，进而采用整体对应的方式利用正弦函数的对称轴构造方程.6．历史上，最伟大的数学家一直都热衷于寻找质数的“分布规律”，法国数学家马林·梅森就是研究质数的数学家中成就很高的一位，正因为他的卓越贡献，现在人们将形如“21p -（p 是质数）”的质数称为梅森数，迄今为止共发现了51个梅森数，前4个梅森数分别是2213-=，3217-=，52131-=，721127-=，3，7是1位数，31是2位数，127是3位数.已知第10个梅森数为8921-，则第10个梅森数的位数为（ ）（参考数据：lg 20.301≈） A ．25 B ．29C ．27D ．28【答案】C【分析】计算()89lg 21-判断即可.【详解】因为()89lg 2189lg 226.789-≈≈.故8926.7892110-≈.故第10个梅森数的位数为27. 故选：C【点睛】本题主要考查了根据对数运算的应用,属于基础题型.7．在某校举行的秋季运动会中，有甲，乙，丙，丁四位同学参加了50米短跑比赛.现将四位同学安排在1，2，3，4这4个跑道上，每个跑道安排一名同学，则甲不在1道，乙不在2道的不同安排方法有（ ）种. A ．12 B ．14C ．16D ．18【答案】B【分析】甲不在1道，乙不在2道，则分别讨论甲在2道和甲不在2道两种情况，再求和即可.【详解】①甲在2道的安排方法有：336A =种；②甲不在2道，则甲只能在3或4号道，乙不能在2道，只能在剩下的2个道中选择一个，丙丁有2种，所以甲不在2号跑道的分配方案有22228A ⨯⨯=种，共有6814+=种方案. 故选B.【点睛】方法点睛：（1）先讨论甲在乙的位置的情况，此时乙不受限制，剩余元素全排列即可；（2）再讨论甲也不在乙的位置的情况； （3）两种情况求和.8．已知双曲线()2222:1,0x y C a b a b -=>23，O 为坐标原点，过右焦点F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M 、N ，且OMN 为直角三角形，若332ONM S =△，则C 的方程为（ ） A ．221124x y -=B ．22162x y -=C ．2213x y -=D ．22126x y -=【答案】C【分析】利用双曲线的离心率得出3b a =，可得3a b ，2c b =，由OMN 为直角三角形可得出直线MN 的方程，求出点N 的坐标，可得出ON 、MN ，再由33ONM S =△b 、a 的值，进而可得出双曲线C 的方程. 【详解】由于双曲线C 的离心率为2231c b e a a ⎛⎫==+= ⎪⎝⎭，3b a ∴=，可得3ab ，2c b =，设点M 、N 分别为直线3y x =、3y =上的点，且MN ON ⊥，则直线MN 的方程为)32y x b =-，联立)323y x b y x ⎧=-⎪⎨=⎪⎩，解得323x b y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 所以点33,2b b N ⎛ ⎝⎭，则2233322b b ON b ⎛⎫⎛⎫=+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 易知3MON π∠=，tan3333MN ON b b π∴===，所以，2133332ONMSON MN =⋅==1b =，3a ∴= 因此，双曲线C 的方程为2213x y -=.故选：C.【点睛】本题考查双曲线方程的求解，要结合题意得出关于a 、b 、c 的方程组，考查计算能力，属于中等题.9．设0a >，0b >，1a b +=，则下列选项错误．．的是（ ） A ．22a b +的最小值为12B ．41a b+的取值范围是[)9,+∞ C ．11a b ab++的最小值为2D ．若1c >，则231121a c ab c ⎛⎫+-⋅+ ⎪-⎝⎭的最小值为8 【答案】C【分析】由222()2a b a b ++≥，可判定A 正确；由41414()5b a a b a b a b a b⎛⎫+=++=++ ⎪⎝⎭，可判定B 正确；由ab ab ab ab ==ab 的范围，可判定C 不正确；由231424a a b ab b a+-=+≥，得到2311124(1)411a c c ab c c ⎛⎫+-⋅+≥-++ ⎪--⎝⎭，进而判定D 正确. 【详解】对于A 中，由222()122b a a b +≥=+，当且仅当12a b ==时取等，可得22a b +的最小值为12，所以A 正确； 对于B 中，由41414()55249b a a b a b a b a b⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭， 当且仅当2a b =时，即21,33a b ==时，等号成立，取得最小值9，所以B 正确； 对于C ab ab ab ab==，又由102ab <1219412222ab ab ≥+=+=，所以C 不正确； 对于D 中，由222313()4224a a a b a bab ab b a+++-=-=+≥，当且仅当2b a =时，即12,33a b ==时，等号成立， 可得2311124(1)4811a c c ab c c ⎛⎫+-⋅+≥-++≥ ⎪--⎝⎭， 当且仅当32c =时取等，所以D 正确. 故选：C.【点睛】利用基本不等式求最值时，要注意其满足的三个条件：“一正、二定、三相等”： （1）“一正”：就是各项必须为正数；（2）“二定”：就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”：利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.10．下列正确命题的序号有（ ） ①若随机变量()100,XB p ，且()20E X =，则1152D X ⎛⎫⎪⎝⎭+=．②在一次随机试验中，彼此互斥的事件A ，B ，C ，D 的概率分别为0.2，0.2，0.3，0.3，则A 与B C D 是互斥事件，也是对立事件．③一只袋内装有m 个白球，n m -个黑球，连续不放回地从袋中取球，直到取出黑球为止，设此时取出了ξ个白球，()2P ξ=等于()22A Amnn m -④由一组样本数据()11,x y ，()22,x y ，(),n n x y ⋅⋅⋅得到回归直线方程y bx a =+，那么直线y bx a =+至少经过()11,x y ，()22,x y ，(),n n x y ⋅⋅⋅中的一个点． A ．②③ B ．①②C ．③④D ．①④【答案】A【分析】根据二项分布的期望和方差公式即可判断①；根据互斥和对立事件的定义即可判断②；计算2ξ=概率可判断③；根据回归直线方程是由最小二乘法得到，且过样本中心点可判断④，进而可得正确答案. 【详解】对于①：因为()100,X B p ，且()20E X =，所以10020p =，解得15p =，所以()1110011655D X ⎛⎫=⨯⨯-= ⎪⎝⎭，所以()111424D X D X ⎛⎫+== ⎪⎝⎭，故①不正确；对于②：根据互斥事件的定义可得A 与BC D 是互斥事件，()()1P A P B C D +=也是对立事件，故②正确；对于③：2ξ=表示前两次取出的是白球，第三次取到的是黑球，则()2122m n mnA C A P ξ-==，故③正确； 对于④：对于回归直线方程，只能确定通过(),x y ，故④不正确， 所以②③正确. 故选：A11．已知231a e b e +=-=，1e =，则a b ⋅的最小值是（ ） A ．18-B ．12-C ．8-D ．6-【答案】B【分析】根据题中条件，由向量线性运算的几何意义，求出13a ≤≤，24b ≤≤，得到a 与b 取得最大值时，a 与b 恰好反向，再由向量数量积的计算公式，即可求出结果.【详解】因为231a e b e +=-=，根据向量线性运算的几何意义，可得222a e a e a e -≤+≤+，333b e b e b e -≤-≤+，即212a a -≤≤+，313b b -≤≤+， 所以13a ≤≤，24b ≤≤，当3a =时，由21a e +=可得22441a a e e+⋅+=，即912cos ,41a e +<>+=，所以cos ,1a e <>=-，因为向量夹角大于等于0且小于等于180，所以,180a e <>=，故3a e =-；当4b =时，由31b e -=可得22691b b e e-⋅+=，即1624cos ,91a e -<>+=， 所以cos ,1a e <>=，故,0a e <>=，所以4b e =，此时a 与b 恰好反向，且模都取得最大值，所以a b ⋅的最小值是34cos18012⨯⨯=-. 故选：B.【点睛】思路点睛：求解向量数量积最值问题，一般需要建立适当的坐标系，用坐标表示出向量的数量积，将问题转化为求函数最值问题进行求解；有时也可根据向量的线性运算的几何意义，确定向量的模的最值以及向量的夹角，进行求解. 12．已知函数()21cos 2f x x x =--，()2g x x k =-，若()f x 与()g x 的图象有且只有一个公共点，则k 的值为（ ） A ．1- B ．0C ．1D ．2【答案】C【分析】将问题转化为()23cos 2h x x x =+与y k =有唯一交点的问题，利用导数可求得()h x 的单调性和最值，由此得到()h x 大致图象，数形结合可求得结果. 【详解】()f x 与()g x 图象有且仅有一个公共点，()()f x g x ∴=有唯一解，即23cos 2k x x =+有唯一解， 令()23cos 2h x x x =+，则()3sin h x x x '=-，()3cos h x x ''=-， []cos 1,1x ∈-，()0h x ''∴>，()h x '∴在R 上单调递增，又()00h '=，∴当(),0x ∈-∞时，()0h x '<；当()0,x ∈+∞时，()0h x '>；()h x ∴在(),0-∞上单调递减，在()0,∞+上单调递增，()()min 01h x h ∴==，可得()h x 大致图象如下图所示：23cos 2k x x =+有唯一解等价于()y h x =与y k =有唯一交点， 由图象可知：当1k =时，()y h x =与y k =有唯一交点，即()f x 与()g x 的图象有且只有一个公共点. 故选：C.【点睛】思路点睛：本题考查根据两函数交点个数求解参数范围的问题，解题关键是能够将问题转化为平行于x 轴的直线与函数的交点个数的问题，进而利用数形结合的方法求得结果.二、填空题13．设实数x y ，满足2105x y x y y +⎧⎪-⎨⎪⎩，则4z x y =+的最小值为______.【答案】53【分析】作出可行域,观察可得,当4z x y =+过点C 时，z 有最小值,再联立方程组解得最优解C 的坐标后,代入目标函数即得.【详解】作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示；观察可知，当4z x y =+过点C 时，z 有最小值；联立210x y x y +=⎧⎨-=⎩解得13x y == 即11,33C ⎛⎫⎪⎝⎭，故4z x y =+的最小值为53． 【点睛】本题考查了线性规划求最值,属中档题. 14．已知数列{}n a 前n 项和n S 满足()132n S n n =+，n *∈N ，则数列12202011122020a a a ++⋅⋅⋅+=______． 【答案】20202021【分析】根据()132n S n n =+，利用数列通项和前n 项和的关系11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，求得1n a n =+，再由()111111n na n n n n ==-++，利用裂项相消法求解. 【详解】因为数列{}n a 前n 项和n S 满足()132n S n n =+，n *∈N ， 当1n =时，112a S ==， 当2n ≥时，()()()111312122n n n a S S n n n n n -=-=+--+=+ 对1n =时，也成立， 所以1n a n =+，所以()111111n na n n n n ==-++， 所以12202011122020a a a ++⋅⋅⋅+， 11111120201 (12232020202120212021)=-+-++-=-=，故答案为：2020 2021【点睛】方法点睛：求数列的前n项和的方法(1)公式法：①等差数列的前n项和公式，()()11122nnn a a n nS na d+-==+②等比数列的前n项和公式()11,11,11nnna qS a qqq=⎧⎪=-⎨≠⎪-⎩；(2)分组转化法：把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解．(3)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项．(4)倒序相加法：把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广．(5)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列对应项之积构成的，则这个数列的前n项和用错位相减法求解.(6)并项求和法：一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如a n＝(－1)n f(n)类型，可采用两项合并求解．15．如图，四棱锥P ABCD-的底面是边长为1的正方形，点E是棱PD上一点，3PE ED=，若PF PCλ=且满足//BF平面ACE，则λ=______．【答案】23【分析】如图，连接BD，交AC于点O，连接OE，在线段PE取一点G使得GE ED=，连接BG，可证平面//BGF平面AEC，从而可得23PF PGPC PE==.【详解】如图，连接BD，交AC于点O，连接OE，则BO OD=，在线段PE 取一点G 使得GE ED =，则23PG PE =. 连接,BG FG ，则//BG OE ，又因为OE ⊆平面AEC ，BG ⊄平面AEC ， 所以//BG 平面AEC .因为//BF 平面ACE 且满足BG BF B ⋂=，故平面//BGF 平面AEC . 因为平面PCD 平面BGF GF =，平面PCD平面AEC EC =，则//GF EC .所以23PF PG PC PE ==，即23λ=为所求. 故答案为：23.【点睛】思路点睛：已知线面平行，则可以得到两类平行关系-线线平行和面面平行，前者可找过已知线的平面，该平面和已知平面的交线与已知直线平行，后面可构造过已知的直线的平面，它与已知的平面的平行.16．在平面直角坐标系xOy 中，定点()2,0F -，已知点P 是直线2y x =+上一动点，过点P 作圆()22:24C x y -+=的切线，切点分别为A ，B ．直线PC 与AB 交于点R ，则线段FR 长度的最大值为______． 【答案】32【分析】根据点P 是直线2y x =+上一动点，设(),+2P a a ，求得CP ，然后利用射影定理24CA CR CP =⋅=，变形为2242+4R c R P c Px x y CR CP CP a x x y -====-，求得点R 的坐标，建立函数()2222R R FR x y =++，利用基本不等式求解. 【详解】如图所示：由射影定理得：24CA CR CP =⋅=， 因为点P 是直线2y x =+上一动点， 设(),+2P a a ， 所以()()()222=2+22+4CP a a a -+=所以()242+4CR CPa ==，则2242+4R c R P c Px x y CR CP CP a x x y -====-， 则22221+424+4R R a x a a y a ⎧-⎛⎫=+ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨+⎪=⎪⎩，所以()2222R R FR x y =++，22222242+4+4a a a a ⎡⎤-+⎛⎫⎛⎫=++⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，2224822344168+4+4+4a a a a a --⎛⎫=++=+⋅ ⎪⎝⎭，令223+4a t a -=， 当230m a =->时，1125425131344+2+4242t m m m m =≤=+⋅，当且仅当 25144m m =，即4a =时取等号，所以21168184FR ≤+⨯=， 所以线段FR 长度的最大值为32故答案为：32【点睛】关键点点睛：本题关键是将线段之比转化为坐标之比，即R c RP c Px x y CR CP x x y -==-，求得点R 的坐标，从而得解.三、解答题17．在①sin sin sin A b cB C b a+=--，②3sin c a A =，③23S CA CB =⋅这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答，在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，S 为ABC 的面积. （1）求角C 的大小；（2）点D 在CA 的延长线上，且A 为CD 的中点，线段BD 的长度为2，求ABC 的面积S 的最大值.（注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分.） 【答案】（1）答案见解析；（2）32. 【分析】（1）若选①，可以利用正弦定理得到关于边的关系式，再利用余弦定理得到所求的角，若选②，可利用辅助角公式求得角C 的大小，若选③，利用向量数量积的定义可得角C 的正切值，从而得到其大小.（2）利用余弦定理和基本不等式可求ab 的最大值，从而可求面积的最大值. 【详解】（1）选①：sin sin sin A b cB C b a+=--，∵由正弦定理得a b c b c b a +=--， ∴()()()a b a b c b c -=+-，即222a b c ab +-=，∴1cos 2C =， ∵(0,)C π∈，∴3C π=.选②：由正弦定理得sin sin 3sin C A A=sin 0A ≠，3sin cos 1C C =+， 12sin 1,sin 662C C ππ⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∵(0,)C π∈，∴5,666C πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，∴66C ππ-=，∴3C π=. 选③：23,sin 3cos S CA CB ab C ab C =⋅=，∴tan 3C =∵(0,)C π∈，∴3C π=，（2）在BCD △中，由余弦定理知222(2)22cos 602a b a b +-⨯⨯=︒⨯，∴224242222a b ab a b ab ab +-=⋅⋅-=，∴2ab ，当且仅当2a b =. 即2,1a b ==时取等号， 此时ab 的最大值为2，面积13sin 2S ab C ==3【点睛】方法点睛：在解三角形中，如果题设条件是关于边的二次形式，我们可以利用余弦定理化简该条件，如果题设条件是关于边的齐次式或是关于内角正弦的齐次式，那么我们可以利用正弦定理化简该条件，如果题设条件是边和角的混合关系式，那么我们也可把这种关系式转化为角的关系式或边的关系式.18．某市有一家大型共享汽车公司，在市场上分别投放了黄、蓝两种颜色的汽车，已知黄、蓝两种颜色的汽车的投放比例为3:1.监管部门为了了解这两种颜色汽车的质量，决定从投放到市场上的汽车中随机抽取5辆汽车进行试驾体验，假设每辆汽车被抽取的时能性相同.（1）求抽取的5辆汽车中恰有2辆是蓝色汽车的概率；（2）在试驾体验过程中，发现蓝色汽车存在一定质量问题，监管部门决定从投放的汽车中随机地抽取一辆送技术部门作进一步抽样检测，并规定：若抽取的是黄色汽车.则将其放回市场，并继续随机地抽取下一辆汽车；若抽到的是蓝色汽车，则抽样结束；并规定抽样的次数不超过()*N n n ∈次，在抽样结束时，若已取到的黄色汽车数以ξ表示，求ξ的分布列和数学期望.【答案】（1）135512；（2）分布列见解析，3334n⎛⎫-⨯ ⎪⎝⎭.【分析】（1）任取1辆汽车取到蓝色汽车的概率为14，从投放到市场上的汽车中随机抽取5辆汽车进行试驾体验，取到蓝色汽车的数量1~(5,)4X B ，由此能求出抽取的5辆汽车中恰有2辆是蓝色汽车的概率．（2）ξ的可能取值为0，1，2，⋯，n ，1(0)4P ξ==，31(1)44P ξ==⨯，231(2)()44P ξ==，⋯，131(1)()44n P n ξ-=-=，3()()4n P n ξ==，由此能求出ξ的分布列和数学期望．【详解】解：（1）因为随机地抽取一辆汽车是蓝色汽车的概率为14， 用X 表示“抽取的5辆汽车中蓝颜色汽车的个数”，则X 服从二项分布，即15,4XB ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 所以抽取的5辆汽车中有2辆是蓝颜色汽车的概率32253113544512P C ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （2）ξ的可能取值为：0，1，2，…，n .()104P ξ==，()31314416P ξ==⨯=，()231244P ξ⎛⎫==⨯ ⎪⎝⎭，……，()131144n P n ξ-⎛⎫=-=⋅ ⎪⎝⎭，()34nP n ξ⎛⎫== ⎪⎝⎭. 所以ξ的分布列为：ξ0 1 2…… 1n -nP14 3144⋅ 23144⎛⎫ ⎪⎝⎭ ……13144n -⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭34n⎛⎫ ⎪⎝⎭ξ的数学期望为：23313131123444444E ξ⎛⎫⎛⎫=⨯⋅+⨯⋅+⨯⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()13131444n nn n -⎛⎫⎛⎫++-⨯⋅+⨯ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， （1）()23133131311224444444n E n ξ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯⋅+⨯⋅++-⨯⋅⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()13131444nn n n +⎛⎫⎛⎫+-⨯⋅+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （2）（1）-（2）得：231131313131444444444n E ξ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅+⋅++⋅⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()1333114444n n nn n n +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⨯--⨯⋅-⨯⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦2313131314444444E ξ⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭131314444n n-⎛⎫⎛⎫++⋅+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 2313333344444n n E ξ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⋅⋅⋅++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭331443313414nn ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-.所以3334nE ξ⎛⎫=-⨯ ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，考查二项分布等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．19．已知，如图四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，60ABC ∠=︒，2AB PA ==，PA ⊥平面ABCD ，E ，M 分别是BC ，PD 中点，点F 在棱PC 上移动.（1）证明：无论点F 在PC 上如何移动，都有平面AEF ⊥平面PAD ； （2）当直线AF 与平面PCD 所成的角最大时，确定点F 的位置. 【答案】（1）证明见解析；（2）F 为PC 的中点.【分析】（1）连接AC ，可知得出AE AD ⊥和PA AE ⊥，即可证明AE ⊥平面PAD ，从而得出平面AEF ⊥平面PAD ；（2）以AE ，AD ，AP 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，利用向量法可求解.【详解】（1）证明：连接AC ，∵底面ABCD 为菱形，60ABC ∠=︒，∴ABC 为正三角形， ∵E 是BC 的中点，∴AE BC ⊥，又//AD BC ，∴AE AD ⊥， ∵PA ⊥平面ABCD ，AE ⊂平面ABCD ，∴PA AE ⊥， ∵PA AD A ⋂=，PA 、AD ⊂平面PAD ，∴AE ⊥平面PAD ， ∵AE ⊂平面AEF ，∴平面AEF ⊥平面PAD .（2）由（1）知，AE ，AD ，AP 两两垂直，故以AE ，AD ，AP 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则(0,0,0)A ，3,1,0)B -，3,1,0)C ，(0,2,0)D ，(0,0,2)P ，(0,1,1)M ，3,0,0)E ∴(3,1,2)=-PC ，(0,2,2)PD =-，(0,0,2)AP =.设(3,,2)PF PC λλλλ==-，则(3,,22)AF AP PF λλλ=+=-.. 设平面PCD 的法向量为()111,,m x y z =，则11111320220m PC x y z m PD y z ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩， 令13z =，则11x =，13y =∴(1,3,3)m =. 设直线AF 与平面PCD 所成的角为θ，222332323sin |cos ,||||(3)(22)7AF mAF m AF m λλλθλλλ⋅++-===⋅++-⨯2231172222λ=⎛⎫⨯-+⎪⎝⎭ 当12λ=时，sin θ最大，此时F 为PC 的中点. 【点睛】关键点睛：本题考查点的存在性问题，解题的关键是建立合适的空间直角坐标系，利用向量关系建立与线面角的关系，从而通过数量关系进行说明.20．已知函数()22ln f x ax x =-．（1）当2a =时，求()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程； （2）若对[]1,3x ∀∈，都有()14f x ≤恒成立，求a 的取值范围； （3）已知0a >，若1x ∃，2x 且满足120x x <<，使得()()12f x f x =，求证：)()2121220a x x x x +-+>．【答案】（1）21y x =+；（2）14a ≤；（3）证明见解析. 【分析】（1）当2a =时，求得函数的导数，求出切线的斜率和切点坐标，由点斜式方程即可得到切线的方程;（2）转化已知条件为函数()f x 在[]1,3上的最大值()max 14f x ≤，利用单调性，①0a ≤时，②0a >时，分别求解函数的最小值，推出所求a 的范围;（3）通过()()12f x f x =)()2121220a x x x x +-+>,从而得到12x x a +>,令()212ln 4x g x x +=,求导,利用单调性可得()g x 在a ⎛ ⎝单调递减,即可()0g x g a >=在x a ⎛∈ ⎝恒成立,即可证明所求成立.【详解】（1）解：当2a =时，()222ln f x x x =-，()12f =，()24f x x x'=-，()12k f ='=，∴()f x 在()()1,1f 处的切线方程为221y x -=-． 整理得: 21y x =+（2）解：法一：由题意()max 14f x ≤，()()22122ax f x ax x x-'=-= ①当0a ≤时，()'0fx <，()f x 在[]1,3上单调递减，∴()()max 114f x f a ==≤恒成立，∴0a ≤ ②当0a >时，()'0fx >，x a>∴()f x 在a ⎛ ⎝上单减，在a ⎫+∞⎪⎭上单增，（ⅰ1a≤，1a ≥时，()f x 在[]1,3上单增， ()()max134f x f =≤，12ln 349a +≤，舍去； （ⅱ3a ≥，109a <≤时，()f x 在[]1,3上单减， ()()max 114f x f =≤，14a ≤，∴109a <≤（ⅲ）当13a <<，119a <<时，()f x 在a ⎡⎢⎣上单减，a ⎤⎢⎥⎣⎦上单增， ()()114134f f ⎧≤⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩，14a ≤，1194a <≤， 综上，14a ≤． 法2：()22l 1n 4f x ax x =-≤恒成立，即212ln 4xa x +≤， 令()212ln 4x g x x +=，()334ln 2xg x x-'=，()0g x '>，381e x <<． ∴()g x 在381,e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单增，38e ,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单减，()114g =，()12ln 314394g +=>， ∴()min 14a g x ≤=．（3）证明：因为120x x +>)()2121220a x x x x +-+>， 只需证明12x x a+>， 由（2）可知120x x a <<<，要证12x x a+>， 只需证明21x x a>-，又因为2x a >1x a a ->()f x 在a ⎫+∞⎪⎭单调递增， 所以只需证明()21f x f x a ⎫>-⎪⎭， 又因为()()21f x f x =，即证()11f x f x a ⎫>⎪⎭， 令()()0g x f x f x x a a ⎫⎛=--<<⎪⎭⎝即()222ln 2ln g x ax x a x x a a ⎫⎫=--+-⎪⎪⎭⎭442ln 2ln ax x x a ⎫=--+-⎪⎭注意到0g a = 因为()221442g x a a x a x x x a a '=-=⎫-⎪⎭140a a a x a ≤=+- ⎪⎪⎝⎭则()g x 在a ⎛ ⎝单调递减， 所以()0g x g a >=在x a ⎛∈ ⎝恒成立，所以12x x a+>)()2121220a x x x x +-+>． 【点睛】(1)曲线切线方程的求法：①以曲线上的点()00()x f x ，为切点的切线方程的求解步骤：求出函数()f x 的导数()f x '；求切线的斜率()0f x '；写出切线方程()()000()y f x f x x x '-＝- ，并化简．②如果已知点11()x y ， 在曲线上，则设出切点00()x y ，，解方程组()()0010010y f x y y f x x x ⎧=⎪-⎨=-'⎪⎩得切点00()x y ，，进而确定切线方程．(2)恒成立问题与存在成立问题常转化为值域问题．单变量的恒成立、有解、无解的转化：①对任意的[]x mn ∈， ，()a f x >恒成立()max a f x ⇒>； 若存在[]x mn ∈，，()a f x >有解()min a f x ⇒> ； 若对任意[]x mn ∈，，()a f x >无解()min a f x ⇒≤. ②对任意的[]x mn ∈，，()a f x <恒成立()min a f x ⇒<. 若存在[]x mn ∈，，()a f x <有解()max a f x ⇒<； 若对任意[]x mn ∈，，()a f x <无解()max a f x ⇒≥. 双变量的恒成立、有解、无解的转化：①对任意的[]x a b ∈，，不等式()()f x g x >恒成立，只须()()[]0min f x g x >－； ②存在0[]x a b ∈，，不等式()()00f x g x >成立，只须()()[]0max f x g x >－； ③对任意1[]x ab ∈，，2[]xcd ∈，，不等式()()12f x g x >恒成立，只须()()min max f x g x >；④存在1[]x a b ∈，，2[]x c d ∈，，不等式()()12f x g x >成立，只须()()max min f x g x >； ⑤对任意1[]x ab ∈，，存在2[]xcd ∈，，不等式()()12f x g x >成立，只须()()min min f x g x >.21．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左顶点为A ，右焦点为F ，过点A 作斜率为3C 相交于A ，B ，且AB OB ⊥，O 坐标原点. （1）求椭圆的离心率e ；（2）若1b =，过点F 作与直线AB 平行的直线l ，l 与椭圆C 相交于P ，Q 两点. （ⅰ）求OP OQ k k ⋅的值；（ⅱ）点M 满足2OM OP =，直线MQ 与椭圆的另一个交点为N ，求NMNQ的值. 【答案】（125；（2）（ⅰ）15-；（ⅱ）38.【分析】（1）由几何关系可得B 点坐标，代入椭圆方程即得5a b =，又222,ca b c e a=+=即得； （2）（ⅰ）将直线PQ 与椭圆联立即得1212OP OQ y y k k x x ⋅=结果； （ⅱ）,(01)NMNM NQ NQλλλ==<<将其坐标化，利用P ，Q ，N 在椭圆上求得结果即可．【详解】（1）已知||,||,26a OA a OB BAF π==∠=， 则3,44a a B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，代入椭圆C 的方程：2222311616a a a b +=，∴225,5a a b b==，∴222c a b b =-=， ∴255c e a ==． （2）（ⅰ）由（1）可得1,5b a ==∴22:15x C y +=设直线l ：()()()11223332,,,,,,x P x y Q x y N x y =+ ∵2OM OP =，∴11,22x y M ⎛⎫⎪⎝⎭联立直线l 与椭圆C 的方程：223255x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩ 28310,0y +-=∆>恒成立1212318y y y y +==- ∴)())121212125323232348x x y y y y =++=+++=∴121215OP OQ y y k k x x ⋅==-． （ⅱ）设,(01)NMNM NQ NQλλλ==<< ()11332323,,,22x y NM x y NQ x x y y ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭()()1323132322x x x x y y y y λλ⎧-=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩ ∴12312322(1)22(1)x x x y y y λλλλ-=-⎧⎨-=-⎩()()312312122(1)122(1)x x x y y y λλλλ⎧=-⎪-⎪⎨⎪=-⎪-⎩∵P ，Q ，N 在椭圆上，∴22222211223355,55,55x y x y x y +=+=+=()()2212122222554(1)4(1)x x y y λλλλ--+=--∴()()222222112212125454520(1)x y x y x x y y λλλ+++-+=-由（ⅰ）可知121250x x y y +=，∴22144(1)λλ+=-，∴38λ=∴38NM NQ =． 22．在平面直角坐标系xOy 中，直线1l 的参数方程为3x t y kt⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），直线2l 的参数方程为33x mmy k ⎧=⎪⎨=⎪⎩（m 为参数），设直线1l 与2l 的交点为P ，当k 变化时点P 的轨迹为曲线1C .（1）求出曲线1C 的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线2C 的极坐标方程为sin 324πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭Q 为曲线1C 上的动点，求点Q 到直线2C 的距离的最大值. 【答案】（1）()22103x y y +=≠；（2）42【分析】（1）直接利用转换关系的应用，把参数方程极和直角坐标方程之间进行转换． （2）利用点到之间的距离公式的应用和三角函数关系式的变换及正弦型函数的性质的应用求出结果．【详解】解：（1）将1l ，2l 的参数方程转化为普通方程.1l ：(3y k x =， 2l ：)133y x k=，两式相乘消k 可得2213x y +=，因为0k ≠，所以0y ≠，所以1C 的普通方程为()22103x y y +=≠.（2）直线2C 的直角坐标方程为60x y +-=， 由（1）知曲线1C 与直线2C 无公共点.由于1C 的参数方程为3sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数，k απ≠，k Z ∈），所以曲线1C 上的点()3,sin Qαα到直线60x y +-=的距离为2sin 63cos sin 6322d πααα⎛⎫+- ⎪+-⎝⎭==， 所以当sin 13πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时，d 的最大值为2. 【点睛】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题． 23．已知函数()2725f x x x =-+- （1）求函数()f x 的最小值m ；（2）在（1）的条件下，正数a ，b 满足22a b m +=，证明2a b ab +≥． 【答案】（1）2m =；（2）证明见解析【分析】（1）由()()27252725x x x x -+-≥---，可求出()f x 的最小值； （2）利用基本不等式可得222a b ab +≥，从而可得1ab ≤1ab ，再结合2a b ab +≤12ab ≤1ab ≤，可证明结论. 【详解】（1）()()()272527252f x x x x x =-+-≥---=， ∴函数()f x 的最小值2m =． （2）证明：正数a ，b 满足222a b +=，又222a b ab +≥，当且仅当a b =时取等号，所以1ab ≤1ab ≤， 2a bab +≤，当且仅当a b =时取等号， 所以12ab a b ≤+， 1ab ≤，所以12ab a b ≤+， 故2a b ab +≥．【点睛】本题考查利用绝对值三角不等式求最值，考查不等式的证明，考查基本不等式的应用，考查学生的计算求解能力与推理论证能力，属于中档题.。
高2021届成都“一诊”理科数学(word版含答案)
高2021届成都“一诊”理科数学第I 卷 (选择题，共60分)一、 选择题:本大题共12小题, 每小题5分,共60分.1.设集合A={}2340,x x x --< B={}13,x x x N -<∈，，则AB=(A) {}1,2,3 (B) {}0,1,2,3 (C) {}14x x -<< (D) {}24x x -<<2.复数12(iz i i+=为虚数单位),则z 的共轭复数是 (A) 2i -- (B) 2i -+ (C) 2i - (D) 2i +3.若等比数列{}n a 满足23242,6a a a a +=-=,则6a =(A) 32- (B) 8 (C) 8 (D) 64 4.甲乙两台机床同时生产-种零件,10天中,两台机床每天出的次品数分别是:1x 、2x 分别表示甲乙两组数据的平均数，S 1、S 2分别表示甲乙两组数据的方差,则下列选项正确的是(A)1212,x x S S => (B) 1212,x x S S >> (C) 1212,x x S S <> (D) 1212,x x S S >< 5.若函数32()3f x x x a =-+有且仅有一个零点,则实数a 的取值范围为 (A) (,0)(4,)-∞+∞ (B) (,8)(0,)-∞-+∞(C) [0,4] (D) (8,0)-6.若向量,a b 满足2,(2)6a a b b =+=,则b 在a 方向上的投影为 (A) 1 (B) 12 (C) 12- (D) 1- 7.设1202120202020ln ,20212021a b c === ,则a 、b 、c 的大小关系是(A)a >b .>c (B) a >c > b (C)c >a >b (D)c >b >a 8.若α、β、γ是空间中三个不同的平面，=,,l m n αβαγγβ==,则l m 是n m 的(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件9.已知平行于x 轴的一条直线与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>相交于P 、Q 两点，4,(3PQ a PQO O π=∠=为坐标原点) ，则该双曲线的离心率为(A)2(B) 2(C)(D)10.已知锐角ϕcos 1ϕϕ-=.若要得到函数21()sin ()2f x x ϕ=-+的图象,则可 以将函数1sin 22y x =的图象 (A)向左平移712π个单位长度 (B)向左平移12π个单位长度， (C)向右平移712π个单位长度 (D)向右平移12π个单位长度11.已知抛物线24x y =的焦点为F ，过F 的直线l 与抛物线相交于A ， B 两点，P(0, 7)2- 若PB ⊥AB ，则AF = (A)32 (B)2. (C) 52(D) 3 12.已知函数()ln ,()ln f x x x g x x x =+= .若12()ln ,()f x t g x t ==，则122()ln x x x t -的最小值为 (A)21e (B) 2e (C) 12e- (D) 1e - 第II 卷(非选择题,共90分) 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卡上.13.71)x的展开式中1x -的系数是______________（用数字做答案）14.若x 、y 满足约束条件21210x y x y x y +≤⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩,则23z x y =-的最小值为_________。
2021届四川省成都七中高三第一次诊断性检测数学(理)试题Word版含解析
2021届四川省成都七中高三第一次诊断性检测数学(理)试题一、单选题1.若随机变量弁~2),且>5)=0.2,则P(1 V X < 5)=()A. 0.6B. 0.5C. 0.4D. 0.3【答案】A【解析】根据随机变量X服从正态分布N (3,。
？)，看出这组数据对应的正态曲线的对称轴x=3,根据正态曲线的特点，即可得到结果.【详解】•・,随机变量X服从正态分布N (3, o=),・••对称轴是x=3.VP (X25)=0.2,AP (1<X<5) =1 - 2P (X25) =1 -0. 4=0.6.故选：A.【点睛】本题考查正态曲线的形状认识，从形态上看，正态分布是一条单峰、对称的曲线，其对称轴为x二口，并在x=u时取最大值从x二口点开始，曲线向正负两个方向递减延伸，不断逼近x轴，但永不与x轴相交，因此说曲线在正负两个方向都是以x轴为渐近线的.2.函数)'=1)的图象大致是()【答案】D【解析】先判断函数为偶函数，再根据特殊点的函数值即可判断.【详解】y = ln（l+ x2）, 因为满足偶函数f（・X）=f（X）的定义，所以函数y=ln（l+/）为偶函数，其图象关于y轴对称，故排除B.又x=0时,y=0,排除A、C,故选D.【点睛】本题考查了函数的图象的识别，一般常用特殊点的函数值、函数的奇偶性和函数的单调性来排除，属于基础题.3. “牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在探求球体体积时构造的一个封闭几何体，它由两个等径正贯的圆柱体的恻面围成，其直视图如图（其中四边形是为体现直观性而作的辅助线）. 当“牟合方盖”的正视图和侧视图完全相同时，其俯视图为（）【答案】B【解析】相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）.根据三视图看到方向，可以确定三个识图的形状，判断答案.【详解】・・•相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）.・•・其正视图和侧视图是一个圆，俯视图是从上向下看，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上, ・♦•俯视图是有2条对角线且为实线的正方形，故选：B.【点睛】本题很是新颖，三视图是一个常考的内容，考查了空间想象能力，属于中档题.4.设'是虚数单位，复数需满足9 — 1" ="+3,贝『的虚部为（）A. 1B. -1C. -2D. 2【答案】C【解析】令z=a+bi（a,b6R）,将其代入（Z—l"=z+3,化简即可得出.【详解】令z=a+bi,代入9T）i=z + 3,（a-l+bi） a+3+bi, •---b + （a-l）i = （a + 3）+bi3 =a—2< a-1 = b ,故选C.【点睛】本题考查了复数相等的概念及运算法则、虚部的定义，考查了计算能力，属于基础题.5.执行下边的算法程序，若输出的结果为120,则横线处应填入（）k=lDOS=S*kk=k+\LOOP UNTILPRINT S\gND J.k< 6n k < 6 尸k > 6、k> 6A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得结果.【详解】模拟执行算法程序，可得：S=l, k=l,不满足条件，S=l, k=2,不满足条件，S=2, k=3,不满足条件,S=6, k=4,不满足条件,S=24, k=5,不满足条件,S=120, k=6,此时i满足条件，退出循环，输出S的值为120；所以横线处应填写的条件为卜-°,故选C.【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，属于直到型循环结构，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答.2x - y < 4x +2y < 2 y+i6.设实数满足（彳一1之° ,则丫的最大值是（）1 3A. -1B. 2 C, 1 D. 2【答案】D【解析】由约束条件确定可行域，由丁的几何意义，即可行域内的动点与定点P（0, -D连线的斜率求得答案.【详解】2x - y < 4x + 2y <2由约束条件（X—,作出可行域如图，^-l=o I 巳联立&+ 2y -2=。
四川省成都市2021-2022学年高三第一次诊断性检测理科数学附答案解析
四川省成都市2021-2022学年高三第一次诊断性检测理科数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设集合{}2|0A x x x =->，{}|e 1x B x =≥，则A B = （）A ．(),1-∞B ．()1,1-C ．()1,+∞D ．[)1,+∞2．已知复数z =i2i 1-（i 为虚数单位），则|z |=（ ）AB ．15C ．125D3．函数()()sin sin cos f x x x x =+的最小正周期是（ ）A ．3πB ．2πC ．πD ．2π4．若实数x ，y 满足约束条件03250210x y x y x y -≤⎧⎪+-≤⎨⎪-+≥⎩，则z =3x +y 的最大值为（ ）A ．3-B ．3C ．4-D ．45．在△ABC 中，已知AB ⊥BC ，AB =BC =2.现将△ABC 绕边AC 旋转一周，则所得到的旋转体的表面积是（ ）A ．2πB ．C ．πD ．π6．已知双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的一条渐近线方程为y =，则该双曲线的离心率为（ ）ABC ．2D ．37．已知实数,a b 满足log log 221a b >>，则（ ）A ．12a b<<<B ．12a b <<<C ．12b a <<<D ．12a b <<<8．已知某篮球运动员每次罚球命中的概率为0.4，该运动员进行罚球练习（每次罚球互不影响），则在罚球命中两次时，罚球次数恰为4次的概率是（ ）A ．36625B ．9125C ．108625D ．541259．已知3sin()45πα-=，则sin 1tan αα-的值为（ ）A．BC．D10．四名同学各掷骰子五次，分别记录每次骰子出现的点数．根据四名同学的统计结果，可以判断出一定没有出现点数6的是（ ）．A ．平均数为3，中位数为2B ．中位数为3，众数为2C ．平均数为2，方差为2.4D ．中位数为3，方差为2.811．如图，已知三棱锥A -BCD 的截面MNPQ 平行于对棱AC ，BD ，且,AC AMm n BD MB==，其中m ，n ∈（0，+∞）.有下列命题：①对于任意的m ，n ，都有截面MNPQ 是平行四边形；②当AC ⊥BD 时，对任意的m ，都存在n ，使得截面MNPQ 是正方形；③当m =1时，截面MNPQ 的周长与n 无关；④当AC ⊥BD ，且AC =BD =2时，截面MNPQ 的面积的最大值为1.其中假命题的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．312．已知函数()f x =1ln ,0,e ,0.x xx x x x +⎧>⎪⎨⎪≤⎩则关于x 的方程2()()10()ef x af x a R --=∈的解的个数的所有可能值为（ ）A ．3或4或6B ．1或3C ．4或6D ．3二、填空题13．512x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中3x 项的系数为___________（用数字作答）14．已知向量,a b 满足()1,1a =r ，()23,1a b +=- ，则向量a 与b的夹角为___________.15．已知斜率为13-的直线与椭圆22+197x y =相交于不同的两点A ，B ，M 为y 轴上一点且满足|MA |=|MB |，则点M 的纵坐标的取值范围是___________.16．在ABC V 中，已知角2π3A =，角A 的平分线AD 与边BC 相交于点D ，AD =2.则AB +2AC 的最小值为___________.三、解答题17．已知等差数列{an }满足2a 2+a 5=0，a 7=2a 4-2.(1)求{an }的通项公式；(2)设bn =2n a ，求数列{bn }的前n 项和.18．某项目的建设过程中，发现其补贴额x （单位：百万元）与该项目的经济回报y （单位：千万元）之间存在着线性相关关系，统计数据如下表：补贴额x （单位：百万元）23456经济回报y （单位：千万元）2.5344.56(1)请根据上表所给的数据，求出y 关于x 的线性回归直线方程ˆˆˆybx a =+；(2)为高质量完成该项目，决定对负责该项目的7名工程师进行考核.考核结果为4人优秀，3人合格.现从这7名工程师中随机抽取3人，用X 表示抽取的3人中考核优秀的人数，求随机变量X 的分布列与期望.参考公式：()()()121ˆˆˆ,niii nii x x y y bay bx x x ==--==--∑∑19．如图甲，在直角三角形ABC 中，已知AB BC ⊥，4BC =，8AB =，D ，E 分别是,AB AC 的中点.将ADE V 沿DE 折起，使点A 到达点A '的位置，且A D BD '⊥，连接,A B A C ''，得到如图乙所示的四棱锥A '-BDEC ，M 为线段A D '上一点.(1)证明：平面A DB '⊥平面BDEC ；(2)过B ，C ，M 三点的平面与线段A 'E 相交于点N ，从下列三个条件中选择一个作为已知条件，求直线DN 与平面A 'BC 所成角的正弦值.①BM BE =；②直线EM 与BC 所成角的大小为45︒；③三棱锥M BDE -的体积是三棱锥'E A BC -体积的1.4注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.20．已知抛物线C ：()220,4y px p p =>≠，过点(2,0)A 且斜率为k 的直线与抛物线C相交于P ，Q 两点.(1)设点B 在x 轴上，分别记直线PB ，QB 的斜率为12,k k .若120k k +=，求点B 的坐标；(2)过抛物线C 的焦点F 作直线PQ 的平行线与抛物线C 相交于M ，N 两点，求||||||MN AP AQ ⋅的值.21．已知函数()sin 2,f x x ax a R =-∈.(1)a ≥12时，求函数f （x ）在区间[0，π]上的最值；(2)若关于x 的不等式f （x ）≤ax cos x 在区间（0，+∞）上恒成立，求a 的取值范围.22．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为1cos 1sin x y αα=+⎧⎨=+⎩（α为参数）.以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos(4πρθ-=(1)求直线l 的直角坐标方程与曲线C 的普通方程；(2)已知点A 的直角坐标为（-1，3），直线l 与曲线C 相交于E ，F 两点，求|AE |·|AF |的值.23．已知函数()f x =|x -1|+2|x +1|.(1)求不等式()f x <5的解集；(2)设()f x 的最小值为m .若正实数a ，b ，c 满足a +2b +3c =m ，求3a 2+2b 2+c 2的最小值.参考答案：1．C 【解析】【分析】解一元二次不等式化简集合A ，解指数函数不等式化简集合B ，再求集合的交集.【详解】{}(){}{20101A x x x x x x x x =->=->=>或}0x <，{}{}{}0|e 1|e e |0x x B x x x x =≥=≥=≥，所以{}()|11,A B x x =>=+∞I .故选：C.2．A 【解析】【分析】化简得2i5z -+=，即得解.【详解】解：由题得z =i i(2i 1)2i 2i 1(2i 1)(2i 1)5+-+==--+-，所以|z 故选：A 3．C 【解析】【分析】将函数解析式化简，利用正弦函数的周期公式可得.【详解】因为()21cos 2sin 2()sin sin cos sin sin cos 22x xf x x x x x x x -=+=+=+1224x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭所以最小正周期22T ππ==.4．D 【解析】【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义，求解即可．【详解】解：可行域如图所示，作出直线3y x z =-+，可知z 要取最大值，即直线经过点C ．解方程组3250x yx y =⎧⎨+-=⎩得(1C ，1)，所以3114max z =⨯+=．故选：D ．5．D 【解析】【分析】由题知该旋转体为两个倒立的圆锥底对底组合在一起，根据圆锥的侧面积S RL π=计算公式可得．【详解】解：由题知该几何体为两个倒立的圆锥底对底组合在一起，其中圆锥母线长2L =，圆锥底面半径R =22S π∴=⨯=6．B 【解析】【分析】根据渐近线方程，即可求得,a b 之间关系，将其转化为,a c 关系，即可求得.【详解】双曲线22221x y a b-=的渐近线方程为b y x a =±因为渐近线方程为y =，所以ba=故可得：e ====故选：B 7．B 【解析】【分析】利用对数函数的单调性及对数的运算即可得解.【详解】21log log a a a >=Q ，12a ∴<<，同理12b <<又log 2log 2a b >，lg 2lg 2lg lg 22lg 20lg lg lg log log lg a b b aa b a b∴--=-=⋅>⋅又lg 20>，lg 0a >，lg 0b >，lg lg 0b a -∴>，即lg 0ba >，1b a∴>，b a ∴>，12a b ∴<<<故选：B 8．C 【解析】【分析】利用二项分布的概率即可得解.【详解】由已知命中的概率为0.4，不命中的概率为10.40.6-=罚球4次，命中两次，说明第4次命中，前3次命中1次故概率()2131080.40.60.40.1728625P C =⨯⨯==故选：C 9．B 【解析】【分析】先求出cos sin αα-=7sin cos 50αα=，再化简sin 1tan αα-即得解.【详解】解：由3sin()45πα-=3sin ),cos sin 5αααα-=∴-=，所以18712sin cos ,sin cos 2550αααα-=∴=，所以sin sin sin cos 7sin 1tan cos sin 501cos ααααααααα===---.故选：B 10．C 【解析】【分析】根据题意举出反例，即可得出正确选项．【详解】解：对于A ，当投掷骰子出现结果为1，1，2，5，6时，满足平均数为3，中位数为2，可以出现点数6，故A 错误；对于B ，当投掷骰子出现结果为2，2，3，4，6时，满足中位数为3，众数为2，可以出现点数6，故B 错误；对于C ，若平均数为2，且出现6点，则方差S 2＞15（6﹣2）2＝3.2＞2.4，∴平均数为2，方差为2.4时，一定没有出现点数6，故C 正确；对于D ，当投掷骰子出现结果为1，2，3，3，6时，满足中位数为3，平均数为：x ＝15（1+2+3+3+6）＝3方差为S 2＝15[（1﹣3）2+（2﹣3）2+（3﹣3）2+（3﹣3）2+（6﹣3）2]＝2.8，可以出现点数6，故D 错误．11．A 【解析】【分析】①证明//MN PQ ,同理//MQ PN ,所以对于任意的m ，n ，都有截面MNPQ 是平行四边形，所以该命题正确；②证明对任意的m ，都存在21n m =-，使得截面MNPQ 是正方形，所以该命题正确；③当m =1时，设,AC BD x ==求出截面的周长为2x ，所以截面MNPQ 的周长与n 无关，所以该命题正确；④截面MNPQ 的面积为24(1)nn +，利用基本不等式求出截面MNPQ 的面积的最大值为1，所以该命题正确.【详解】解：① 因为//AC 截面MNPQ ，平面ABC 平面MNPQ =,MN AC ⊂平面ABC ,所以//AC MN ,同理//AC PQ ,所以//MN PQ ,同理//MQ PN ,所以对于任意的m ，n ，都有截面MNPQ 是平行四边形，所以该命题正确；②当AC ⊥BD 时，则MN PN ⊥,所以截面MNPQ 是矩形，当ACm BD=时，,22AC ACm m PN PN =∴=，如果2,2,21AC AB AM m m m n MN BM MB =∴=∴=-=，所以当21n m =-时，MN PN =,此时对任意的m ，都存在21n m =-，使得截面MNPQ 是正方形，所以该命题正确；③当m =1时，设,AC BD x ==所以1,,11nMN x PN x MN PN x n n ==∴+=++，所以截面的周长为2x ，所以截面MNPQ 的周长与n 无关，所以该命题正确；④当AC ⊥BD ，且AC =BD =2时，2122,21111n n PN MN n n n n =⨯==⨯=++++，由于截面是矩形，所以截面MNPQ的面积为2244411(1)212n n n n n n n ==≤=+++++，当且仅当1n =时等号成立.所以截面MNPQ 的面积的最大值为1，所以该命题正确.故选：A 12．D 【解析】利用导数求出函数的单调区间，从而可画出函数的大致图象，令()f x t =，则方程210et at --=必有两个不等根，设两根分别为12,t t （不妨设12t t <），且121t t e ⋅=-，然后分11t e =-，11t e <-和110t e -<<三种情况结合函数图象讨论即可【详解】当0x >时，1ln ()x f x x+=，则'221(1ln )ln ()x x f x x x -+-==，当01x <<时，'()0f x >，当1x >时，'()0f x <，所以()f x 在(0,1)上递增，在(1,)+∞上递减，且当x →+∞时，()0f x →，当0x ≤时，()x f x xe =，则'()(1)x f x x e =+，当10-<≤x 时，'()0f x >，当1x <-时，'()0f x <，所以()f x 在(1,0]-上递增，在(,1)-∞-上递减，且当x →-∞时，()0f x →，所以()f x 的大致图象如图所示，令()f x t =，则方程210et at --=必有两个不等根，设两根分别为12,t t （不妨设12t t <），且121t t e⋅=-，当11t e =-时，则21t =，此时2()f x t =有1个根，1()f x t =有2个根，当11t e<-时，则201t <<，此时2()f x t =有2个根，1()f x t =有1个根，当110t e -<<时，则21t >，此时2()f x t =有0个根，1()f x t =有3个根，综上，对任意的a R ∈，方程都有3个根，故选：D 【点睛】此题考查导数的应用，考查函数与方程的综合应用，解题的关键是利用导数求出函数的单调区间，然后画出函数图象，结合图象求解，考查数学转化思想和数形结合的思想，属于中档题13．80-【解析】【分析】根据二项式展开式的通项公式计算出正确答案.【详解】512x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项公式为()()()5155255212rr r r r r r C x x C x ----⋅⋅-=-⋅⋅⋅，令523-=r 得1r =，所以展开式中3x 项的系数为()14151280C -⋅⋅=-.故答案为：80-14．2π##90【解析】【分析】利用向量坐标的线性运算求得(02)a = ，，相减得(22)b =，，再利用夹角公式可得结果.【详解】设(,)b x y =r ，()1,1a =r Q ，()23,1a b +=-则123121x y +=⎧⎨+=-⎩，解得11x y =⎧⎨=-⎩，(1,1)b ∴=-r故[]cos ,0,,0,πa b a b a b a b ⋅==∈⋅r rr r r r r r ，则a 、b 的夹角为2π.故答案为：2π.15．⎛ ⎝【解析】【详解】设直线AB 的方程为13y x t =-+，由2213+197y x t x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩消去y 并化简得22869630x tx t -+-=，设()()1122,,,A x y B x y ，212123963,48t x x t x x -+=⋅=，()2236329630t t ∆=-->，解得t -<<()()1212121212311373,28226648x x t x x y y t x x t t t t-++++===-++=-⨯+=.由于MA MB =，所以M 是AB 垂直平分线与y 轴的交点，AB 垂直平分线的方程为73388y t x t ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，令0x =得14y t =-，由于t -<<14t -<.也即M的纵坐标的取值范围是⎛ ⎝.故答案为：⎛ ⎝16．6+【解析】【分析】根据三角形的面积公式列方程，结合基本不等式来求得正确答案.【详解】,,,2AB c AC b BC a AD ====，依题意AD 是角A 的角平分线，由三角形的面积公式得1π1π12π2sin 2sin sin 232323c b bc ⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=⨯⨯，化简得22c b bc +=，1112b c +=，()112222223c b AB AC c b c b b c b c ⎛⎫⎛⎫+=+=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭236⎛≥+=+ ⎝当且仅当2,c bc b c==，22,22b b b c +===时等号成立.故答案为：6+17．(1)3n a n =-+；(2)3182n n S -⎛⎫=- ⎪⎝⎭.【解析】【分析】（1）设{}n a 的首项为1a ，公差为d ，列方程组解方程组即得解；（2）利用等比数列的求和公式求解.(1)解：设{}n a 的首项为1a ，公差为d ，由题意，可得()1111224062320a d a d a d a d +++=⎧⎨+-++=⎩解得12,1a d ==-.3n a n ∴=-+.(2)解：由（1），可得32n n b -+=. 所以数列{}n b 是一个以4为首项，以12为公比的等比数列，设数列{}n b 的前n 项和为n S ，则123n n S b b b b =++++ .1412112n n S ⎛⎫- ⎪⎝⎭∴=-31181822nn -⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.18．(1)ˆ0.850.6yx =+(2)分布列答案见解析，数学期望：127【解析】【分析】（1）根据表中的数据和公式直接求解即可，（2）由题意可知，X 的可能取值为0，1，2，3，然后求各自对应的概率，从而可求得分布列和期望(1)23456 2.534 4.564,455x y ++++++++==== .()()15(2)( 1.5)(1)(1)0010.5228.5iii x x y y =--=-⨯-+-⨯-+⨯+⨯+⨯=∑，()5214101410ii x x =-=++++=∑.()()()155210.85,40.8540.6iii i i x x y y bax x ==--∴===-⨯=-∑∑ .0.80.ˆ56yx ∴=+.(2)由题意可知，X 的可能取值为0，1，2，3.()()()3122134343331777C C C C C 112180,1,2C 35C 35C 35P X P X P X ========= ，34374(3)35C P X C ===，X ∴的分布列为X0123P13512351835435112184120123353535357EX ∴=⨯+⨯+⨯+⨯=.19．(1)证明见解析【解析】【分析】（1）由线面垂直的判定定理及面面垂直的判定定理可得证；（2）分别选①，②，③可求得M 为A D '的中点，再以D 为坐标原点，向量,,DE DB DA的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系D xyz -.利用空间向量求得所求的线面角.(1),D E 分别为,AB AC 的中点，DE BC ∴∥.AD BC ⊥ ，AD DE ∴⊥，A D DE '∴⊥.A D BD '⊥Q ，DE DB D ⋂=，A D '∴⊥平面BDEC .又AD '⊂平面A DB '，∴平面A DB '⊥平面BDEC .(2)（2）选①，BM BE =；BM BE = ，90BDM BDE ∠=∠=︒，BDM BDE ∴≅V V ，2DE DM ∴==，M ∴为A D '的中点.选②，直线EM 与BC 所成角的大小为45︒；BC DE ∥，∴直线EM 与BC 所成角为MED ∠.又直线EM 与BC 所成角的大小为45︒，45MED ∴∠=︒A D DE '⊥ ，2DE DM ∴==，M ∴为A D '的中点.选③，三棱锥M BDE -的体积是三棱锥'E A BC -体积的1.413E A C A EBC BC B E V V S A D ''--'==⋅V Q ，1134M BDE BDE M BDE E A CB V S MD V V '---=⋅⋅=V 又12DE BC =，即12BDE EBC S S =V V ，2A D MD'∴=M ∴为A D '的中点.∵过,,B C M 三点的平面与线段A E '相交于点N,DE BC BC ⊄∥平面A DE ¢，BC ∴∥平面A DE ¢.又平面BMNC ⋂平面A DE MN '=，BC MN ∴∥，N ∴为A E '的中点.,,DE DB DA ' 两两互相垂直，∴以D 为坐标原点，向量,,DE DB DA的方向分别为x 轴，y轴，z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -.则(0,0,0),(0,0,4),(1,0,2),(0,4,0),(4,4,0)D A N B C '；(1,0,2),(0,4,4),(4,0,0)DN BA BC '==-=.设平面A BC '的一个法向量为(,,)m x y z =，直线DN 与平面A BC '所成的角为θ.由00m BA m BC ⎧⋅=⎨⋅=⎩' ，得44040y z x -+=⎧⎨=⎩.令1y =，得(0,1,1)m =.则||sin |cos ,|||||DN m DN m DN m θ⋅=〈〉===∴直线DN 与平面A BC '.20．(1)(2,0)-(2)12【解析】【分析】（1）直线PQ 的方程为(2)y k x =-，其中0k ≠，联立直线与抛物线方程，由韦达定理结合已知条件可求得点B 的坐标；（2）直线MN 的方程为2p y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，利用倾斜角定义知sin θ=12,sin sin y y AP AQ θθ-==，联立直线与抛物线方程，利用弦长公式求得MN ，进而得解.(1)由题意，直线PQ 的方程为(2)y k x =-，其中0k ≠.设221212(,0),,,,22y y B m P y Q y p p ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 联立2(2)2y k x y px=-⎧⎨=⎩，消去x 得2240p y y p k --=.21212242160,,4p pp y y y y p k k∴∆=+>+==-.120k k += ，122212022y yy y m m p p∴+=--，即()()12121202y y y y m y y p +-+=.4202p p m p k ⎛⎫-∴-⋅= ⎪⎝⎭，即2(2)0pm k +⋅=.0p > ，2m ∴=-，∴点B 的坐标为(2,0)-.(2)由题意，直线MN 的方程为2p y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，其中tan θk =，θ为倾斜角，则sin θ=12,sin sin y y AP AQ θθ-∴==2122224114sin 1y y p AP AQ p k k kθ-⎛⎫∴⋅===+⋅ ⎪⎝⎭+设322344,,,22y y M y N y p p⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.联立222p y k x y px⎧⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎩，消去x 得2220p y y p k --=.222343424240,,p p p y y y y p k k∴∆=+>+==-.2112pk ⎛⎫-=+⋅ ⎪⎝⎭22112||11||||214p MN k AP AQ p k ⎛⎫+⋅ ⎪⎝⎭∴==⋅⎛⎫+⋅ ⎪⎝⎭.21．(1)最大值为0，最小值为2a π-(2)1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】（1）求出函数的导数，由导数小于零，可得函数在[0,]π上单调递减，从而可求出函数的最值，（2）由题意得sin 02cos xax x-≤+在区间(0,)+∞恒成立，构造函数sin (),(0,)2cos x g x ax x x=-∈+∞+，则22cos 1()(2cos )x g x a x '+=-+，设22cos 1()(2cos )x h x x +=+，利用基本不等式可求得1()1,3h x ⎡⎤∈-⎢⎣⎦，然后分13a ≥和113a π≤<判断()g x 的最大值是否小于零即可(1)由题意，()cos 2f x x a '=-.21a ≥ ，∴当[0,]x π∈时， ()0f x '≤恒成立.()f x ∴在[0,]π上单调递减.∴当0x =时，()f x 取得最大值为0；当x π=时，()f x 取得最小值为2a π-.(2)不等式()cos f x ax x ≤在区间(0,)+∞恒成立，即sin 2cos x ax ax x ≤+在区间(0,)+∞恒成立.即sin 02cos xax x-≤+在区间(0,)+∞恒成立.∴当2x π=时，有sin2022cos2a πππ-≤+成立，即1a π≥.设sin (),(0,)2cos xg x ax x x=-∈+∞+.则22cos 1()(2cos )x g x a x '+=-+.设22cos 1()(2cos )x h x x +=+，令2cos 1,[1,3]t x t =+∈-.当0=t 时，()0h x =；当0t ≠时，2449696t y t t t t==++++，即1()[1,0)0,3h x ⎛⎤∈-⋃ ⎥⎝⎦.1()1,3h x ⎡⎤∴∈-⎢⎥⎣⎦.①当13a ≥时，22cos 1()0(2cos )x g x a x '+=-≤+，即sin ()2cos x g x ax x =-+在区间(0,)+∞上单调递减，∴当,()0x ∈+∞时，()(0)0g x g <=，符合题意；②当113a π≤<时，函数2cos 1t x =+在20,3π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，函数496y t t=++在(0,3)t ∈上单调递增.∴函数22cos 1()(2cos )x g x a x '+=-+在20,3π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减.又12(0)0,033g a g a π''⎛⎫=->=-< ⎪⎝⎭，020,3x π⎛⎫∴∃∈ ⎪⎝⎭，使得()00g x '=.且当()00,,()0x x g x '∈>，即()g x 在()00,x 上单调递增，此时()0(0)0g x g >=，不符合题意.综上所述，a 的取值范围是1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.【点睛】关键点点睛：此题考查导数的应用，考查利用导数求函数的最值，利用导数解决恒成立问题，解题的关键是将不等式()cos f x ax x ≤在区间(0,)+∞恒成立，转化为sin 02cos xax x-≤+在区间(0,)+∞恒成立，然后构造函数sin (),(0,)2cos xg x ax x x=-∈+∞+，利用导数求函数的最大值小于零即可，考查数学转化思想和计算能力，属于较难题22．(1)20x y +-=，22(1)(1)1x y -+-=；(2)7.【解析】【分析】（1）消去参数α得曲线C 的普通方程，由题得cos sin 2ρθρθ+=，化成直角坐标方程即得解；（2）先写出直线的参数方程，再利用直线参数方程t 的几何意义结合韦达定理求解.(1)解：由曲线C 的参数方程，消去参数α，得曲线C 的普通方程为22(1)(1)1x y -+-=.由cos(4πρθ-cos sin θθ+=cos sin 2ρθρθ+=cos ,sin x y ρθρθ== ，∴ 直线l 的直角坐标方程为20x y +-=.(2)解：设直线l的参数方程为1,3x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），点A 在直线l 上，将直线l 的参数方程代入曲线C的普通方程，整理可得270t ++=（*）24740∆=-⨯=>.设12,t t 是方程（*）的两个实数根.12127t t t t ∴+=-=.12||||7AE AF t t ∴⋅==.23．(1)42,3⎛⎫- ⎪⎝⎭；(2)617.【解析】【分析】（1）对x 分三种情况讨论解绝对值不等式得解；答案第17页，共17页（2）先求出2m =，再利用柯西不等式求解.(1)解：①当1≥x 时，()(1)2(1)31f x x x x =-++=+.由()5f x <，解得43x <.此时413x ≤<；②当11x -<<时，()(1)2(1)3f x x x x =--++=+.由()5f x <，解得2x <.此时11x -<<；③当1x ≤-时，()(1)2(1)31f x x x x =---+=--.由()5f x <，解得2x >-.此时21x -<≤-.综上，原不等式的解集为42,3⎛⎫- ⎪⎝⎭.(2)（2）由（1）得31,1()3,1131,1x x f x x x x x +≥⎧⎪=+-<<⎨⎪--≤-⎩.当1x =-时，()f x 取得最小值2. 2m ∴=.232a b c ∴++=.由柯西不等式得()222213229(23)43a b c a b c ⎛⎫++++≥++= ⎪⎝⎭.22263217a b c ∴++≥.3c ==，即139,,171717a b c ===时，等号成立.22232a b c ∴++的最小值为617.。
四川省成都七中2021届高三上学期入学考试数学理试题及答案
成都七中2020~2021学年度上期2021届高三入学考试数学试卷（理科）考试时间：120分钟 总分：150分一、选择题（每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求．把答案涂在答题卷上．）1．已知集合(){},21A x y y x ==-，(){}2,B x y y x ==，则AB =（ ）A ．∅B ．{}1C ．(){}1,1D ．(){}1,1-2．复数z = ）A ．1BC ．2D3．已知命题():,0p x ∃∈-∞，23x x <；命题:0,2q x π⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，sin x x <，则下列命题为真命题的是（ ） A ．p q ∧B ．()p q ∨⌝C ．()p q ⌝∧D ．()p q ∧⌝4．抛物线2:4C y x =的焦点为F ，点A 在抛物线上，且点A 到直线3x =-的距离是线段AF 长度的2倍，则线段AF 的长度为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．45．一组数据的平均数是4.8，方差是3.6，若将这组数据中的每一个数据都加上60，得到一组新数据，则所得新数据的平均数和方差分别是（ ） A ．55.2，3.6 B ．55.2，56.4C ．64.8，63.6D ．64.8，3.66．设2323a ⎛⎫=⎪⎝⎭，2313b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1313c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c a b >>D ．b c a >>7．一空间几何体的三视图如图，则该几何体的体积可能为（ ）A ．12π+B ．22π+C ．1π+D ．2π+8．若α，β为锐角，且满足4cos 5α=，()5cos 13αβ+=，则sin β的值为（ ） A ．1665-B ．3365C ．5665D ．63659．已知数列{}n a 满足132n n a -=⨯，*n ∈N ，现将该数列按下图规律排成蛇形数阵（第i 行有i 个数，*i ∈N ），从左至右第i 行第j 个数记为(),i j a （i ，*j ∈N 且j i ≤），则()21,20a =（ ）．A ．23132⨯B ．21232⨯C ．23032⨯D ．21132⨯10．已知函数()()sin f x x ωϕ=+，其中0ω>，0ϕπ<<，()4f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭恒成立，且()f x 在区间0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上恰有两个零点，则ω的取值范围是（ ） A ．()6,10B ．()6,8C ．()8,10D ．()6,1211．正方体1111ABCD A B C D -中，若12CM MC =，P 在底面ABCD 内运动，且满足1DP CPD P MP=，则点P 的轨迹为（ ）A ．椭圆的一部分B ．线段C ．抛物线的一部分D ．圆弧12．己知函数()212ln x f x x -=的定义域为10,e ⎛⎤ ⎥⎝⎦，若对任意的1x ，210,x e ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，()()()1212221212f x f x m x x x x x x -+>-恒成立，则实数m的取值范围为（ ）A ．(],3-∞B ．(],4-∞C ．(],5-∞D ．(],6-∞二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上．）13．在空间直角坐标系O xyz -中，记点()1,2,3A 在xOz 平面内的正投影为点B ，则OB =________．14．已知x ，y 满足22x y x x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩，则2z x y =-+的最大值为________．15．在ABC △中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且cos cos 2B bC a c=-+，若b =4a c +=，则a 的值为________．16．已知椭圆2222:1x y a b Γ+=与双曲线2222:1x y m nΩ-=共焦点，1F 、2F 分别为左、右焦点，曲线Γ与Ω在第一象限交点为P ，且离心率之积为1．若1212sin 2sin F PF PF F ∠=∠，则该双曲线的离心率为________． 三、解答题（共70分，22与23题二选一，各10分，其余大题均为12分）17．（本题12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1a =，121n n a S +=+，数列{}n b 满足11a b =，点()1,n n P b b +在直线20x y -+=上，*n ∈N ．（Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （Ⅱ）设nn nb c a =，求数列{}n c 的前n 项和n T ． 18．（本题12分）某厂生产不同规格的一种产品，根据检测标准，其合格产品的质量()g y 与尺寸()mm x 之间近似满足关系式by c x =⋅（b ，c 为大于0的常数）．按照某指标测定，当产品质量与尺寸的比在区间（0.302，0.388）内时为优等品现随机抽取6件合格产品，测得数据如下：（1）现从抽取的6件合格产品中再任选2件，求选中的2件均为优等品的概率； （2）根据测得数据作了初步处理，得相关统计量的值如下表：根据所给统计量，求y 关于x 的回归方程． 附：对于样本()(),1,2,,6i i v u i =，其回归直线u b v a =⋅+的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：()()()1122211nniii i i i nniii i vv u u v u nvub v v vnv====---==--∑∑∑∑，a u bv =-， 2.7183e ≈．19．（本题12分）如图，在以P ，底面圆的直径AB 长为2，O 为圆心．C 是圆O 所在平面上一点，且AC 与圆O 相切．连接BC 交圆于点D ，连接PD ，PC ，E 是PC 的中点，连接OE ，ED ．（1）求证：平面PBC ⊥平面PAC ； （2）若二面角B PO D --的大小为23π，求平面PAC 与平面DOE 所成锐二面角的余弦值． 20．（本题12分）已知抛物线24x y =，F 为其焦点，椭圆()222210x y a b a b+=>>，1F ，2F 为其左右焦点，离心率12e =，过F 作x 轴的平行线交椭圆于P ，Q 两点，PQ =（1）求椭圆的标准方程；（2）过抛物线上一点A 作切线l 交椭圆于B ，C 两点，设l 与x 轴的交点为D ，BC 的中点为E ，BC 的中垂线交x 轴为K ，KED △，FOD △的面积分别记为1S ，2S ，若121849S S =，且点A 在第一象限．求点A 的坐标．21．（本题12分）已知函数()()1xf x x e =-，()lng x a x =+，其中e 是自然对数的底数．（1）若曲线()y f x =在1x =处的切线与曲线()y g x =也相切．求实数a 的值； （2）设()()()h x bf x g x a =-+，求证：当10b e<<时，()h x 恰好有2个零点． （22题与23题为选做题，二选一）22．（本题10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为22114x t ty t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+-⎪⎩（t 为参数）．（1）求曲线C 的普通方程；（2）以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为6πθ=，()ρ∈R ，直线l与曲线C 交于A ，B 两点，求线段AB 的长度AB ． 23．（本题10分）已知函数()1144f x x x =-++，M 为不等式()2f x ≤的解集． （1）求M ；（2）证明：当a ，b M ∈时，a b ≥-．成都七中2020-2021学年度上期2021届高三入学考试数学试卷（理科）答案1-5：CBCBD 6-10：BBBDA 11-12：DB 1314．1- 15．1或3 16．1217．【答案】（Ⅰ）1321n n n a b n -==- （Ⅱ）1133n n n T -+=-【解析】（1）由121n n a S +=+可得()1212n n a S n -=+≥， 两式相减得()112,32n n n n n a a a a a n ++-==≥．又21213a S =+=，所以213a a =．故{}n a 是首项为1，公比为3的等比数列．所以13n n a -=．由点()1,n n P b b +在直线20x y -+=上，所以12n n b b +-=．则数列{}n b 是首项为1，公差为2的等差数列．则()11221n b n n =+-⋅=-． （Ⅱ）因为1213n n n n b n c a --==，所以0121135213333n n n T --=++++． 则12311352133333n nn T -=++++， 两式相减得：21222221133333n n n n T --=++++-11113321121313n nn -⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭-⎢⎥⎣⎦=+⨯--1121233n nn --⎛⎫=--⎪⎝⎭∴21112113323233n n n n n n T ----+=--=-⋅⋅ 18．【答案】（1）15； （2）0.5y ex =．【解析】（1）由已知，优等品的质量与尺寸的比()0.302,0.388yx∈ 则随机抽取的6件合格产品中，有3件为优等品，有3件为非优等品，所求概率为232631155C P C ===．（2）对by c x =⋅两边取自然对数得ln ln ln y c b x =+ 令ln i i v x =，ln i i u y =，则u b v a =⋅+，且ln a c = 由所给统计量及最小二乘估计公式有：11222175.324.618.360.271101.424.660.542ni i nii v u nuvb vnv==--⨯÷====-÷-∑∑118.324.6216a u bv ⎛⎫-⨯ ⎪⎝⎭=-==，由ln a c =得c e =，所以y 关于x 的回归方程为0.5y ex =．19．【解析】（1）证明：AB 是底面圆的直径，AC 与圆切于点A ， 所以AC AB ⊥，又PO ⊥底面，则PO AC ⊥，PO AB O =，所以：AC ⊥面PAB AC PB ⇒⊥，又因为，在三角形PAB 中，2PA PB AB PA PB ==⇒⊥ PA AC A =，所以PB ⊥面PAC ，∵PB ⊂面PBC所以：平面PBC ⊥平面PAC ； （2）因为OB PO ⊥，OD PO ⊥， ∴BOD ∠为二面角B PO D --的平面角， ∴23BOD π∠=，如图建立坐标系，易知1OB =，则()0,1,0A -，()0,1,0B ，1,022D ⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭，,1,03C ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，()0,0,1P ，11,322E ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭， 由（1）知()0,1,1BP =-为平面PAC 的一个法向量， 设平面ODE 的法向量为(),,n x y z =，31111,,0322322OE x y z ⎛⎫=-⇒-+= ⎪ ⎪⎝⎭，311,002222OD x y ⎛⎫=-⇒-= ⎪ ⎪⎝⎭， 解得：()3,3,1n =，26cos 13n BP n BPθ⋅==． 20．【答案】（1）22143x y +=． （2）()2,1 【解析】（1）不妨设P 在第一象限，由题可知,13P ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，∴228113a b +=， 又∵12e =，∴22811123c c +=，可得1c =，椭圆的方程为22143x y +=． （2）设200,4x A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭则切线l 的方程为20024x x y x =-代入椭圆方程得：()4223031204x x x x x +-+-=， 设()11,B x y ，()22,C x y ，()33,E x y ，则()3012320223x x x x x +==+，()22000332032443x x x y x x =-=-+， KE 的方程为()()230022000324323x x y x x x x ⎡⎤⎢⎥+=--++⎢⎥⎣⎦， 即()20200243x y x x x =-++，令0y =得()302083K x x x =+， 在直线l 方程中令0y =得02D x x =，222004124x x FD +⎛⎫=+= ⎪⎝⎭()()()23000022003428383x x x x DK x x +=-=++，02FD k x =-，02BC xk =，∴1FD BC k k ⋅=-，FD BC ⊥，∴~DEK FOD △△，∴()()22200122220941849163x x S DK S FD x +===+． 化简得()()2200177240x x+-=，∴02x =（02x =-舍去）∴A 的坐标为()1,1，()4223031204x x x x x +-+-=， ()()462420000431234814404x x x x x ⎛⎫∆=-+-=---≥ ⎪⎝⎭，因为2008x ≤≤+21．【解析】（1）由()()1x f x x e =-得()xf x xe '=，所以切线的斜率()1k f e '==．因为切点坐标为()1,0，所以切线的方程为()1y e x =-． 设曲线()y g x =的切点坐标为()11,x y ． 由()ln g x a x =+得()1g x x '=，所以()111g x e x '==，得11x e=． 所以切点坐标为1,1a e ⎛⎫- ⎪⎝⎭．因为对1,1a e⎛⎫- ⎪⎝⎭也在直线()1y e x =-上．所以2a e =-．（2）由()()1ln xh x b x e x =--，得()211x xbx e h x bxe x x-'=-=．令()21xm x bx e =-，0x >，当10b e<<时，()()220x m x bx bx e '=+>， 故()m x 在()0,+∞上单调递增．又因为()110m be =-<，且221111ln ln 1ln 10m b b b b b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅-=-> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．所以()0m x =在()0,+∞上有唯一解，从而()0h x '=在()0,+∞上有唯一解． 不妨设为0x ，则011ln x b<<． 当()00,x x ∈时，()()()00m x m x h x x x '=<=，所以()h x 在()00,x 上单调递减； 当()0,x x ∈+∞时，()()()00m x m x h x x x'=>=，所以()h x 在()0,x +∞上单调递增．故0x 是()h x 的唯一极值点．令()ln 1t x x x =-+，则当1x >时，()110t x x'=-<，所以()t x 在()1,+∞上单调递减， 从而当1x >时，()()10t x t <=，即ln 1x x <-，所以1ln 111ln ln 1ln ln b h b e b b b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭111ln 1ln ln ln 0t b b b ⎛⎫⎛⎫=--=-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又因为()()010h x h <=，所以()h x 在()0,x +∞上有唯一零点． 又因为()h x 在()00,x 上有唯一零点，为1， 所以()h x 在()0,+∞上恰好有2个零点．另解：∵02011x x e e b =>>，∴0111x b <<+，再证明11111ln 10b h e b b +⎛⎫⎛⎫+=-+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．22．【答案】（1）26y x =-（2x ≤-或2x ≥）；（2． 【解析】（1）曲线C 的参数方程为221,14, x t ty t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+-⎪⎩①②（t 为参数），将①式两边平方，得22212x t t =++③， ③-②，得26x y -=，即26y x =-，因为112x t t t t =+=+≥=，当且仅当1t t =，即1t =±时取“=”，所以2x ≥，即2x ≤-或2x ≥， 所以曲线C 的普通方程为26y x =-（2x ≤-或2x ≥）． （2）把cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入曲线C 得：22sin cos 6ρθρθ=-，()cos 2ρθ≥，则曲线C 的极坐标方程为22sin cos 6ρθρθ=-，()cos 2ρθ≥设A ，B 的极坐标分别为1,6A πρ⎛⎫⎪⎝⎭，2,6B πρ⎛⎫⎪⎝⎭，由226sin cos 6πθρθρθ⎧=⎪⎨⎪=-⎩11得22sin cos 666ππρρ=-，即232240ρρ--=，且3ρ≥ 因为44324473∆=+⨯⨯=⨯，∴ρ=ρ=，满足ρ≥，不妨设1ρ=2ρ=所以12AB ρρ=-=注：没考虑ρ≥要酌情扣分 23．【解析】（1）()12,,411111,,4424412,4x x f x x x x x x ⎧-≤-⎪⎪⎪=-++=-<<⎨⎪⎪≥⎪⎩所以不等式的解集为[]1,1M =-．（2）要证a b -，只需证a b ≥-，即证()241ab a b -≥-，只需证22442ab a ab b -≥-+，即2242a ab b ≥++， 即证()24a b ≥+，只需证2a b ≥+因为a ，b M ∈，所以2a b +≤，所以所证不等式成立．。
四川省成都市2021-2022学年高三第一次诊断性检测理科数学试题(含答案解析)
当 时，则 ，此时 有0个根， 有3个根，
综上，对任意的 ，方程都有3个根，
故选：D
【点睛】
此题考查导数的应用，考查函数与方程的综合应用，解题的关键是利用导数求出函数的单调区间，然后画出函数图象，结合图象求解，考查数学转化思想和数形结合的思想，属于中档题
13．
A． B． C． D．
9．已知 ，则 的值为（）
A． B． C． D．
10．四名同学各掷骰子五次，分别记录每次骰子出现的点数．根据四名同学的统计结果，可以判断出一定没有出现点数6的是（）．
A．平均数为3，中位数为2B．中位数为3，众数为2
C．平均数为2，方差为2.4D．中位数为3，方差为2.8
11．如图，已知三棱锥A-BCD的截面MNPQ平行于对棱AC，BD，且 ，其中m，n∈（0，+∞）.有下列命题：
设数列 的前 项和为 ，则 .
.
18．
（1）
（2）分布列答案见解析，数学期望：
【分析】
（1）根据表中的数据和公式直接求解即可，
（2）由题意可知， 的可能取值为0，1，2，3，然后求各自对应的概率，从而可求得分布列和期望
（1）
.
， .
.
.
（2）
由题意可知， 的可能取值为0，1，2，3.
，
，
的分布列为
0
由 消去 并化简得 ，
设 ， ，
，解得 .
.
由于 ，所以 是 垂直平分线与 轴的交点，
垂直平分线的方程为 ，
令 得 ，
由于 ，所以 .
也即 的纵坐标的取值范围是 .
故答案为：
16．
【分析】
根据三角形的面积公式列方程，结合基本不等式来求得正确答案.
四川省成都市2021届高三一诊考试试卷 理科数学 Word版含答案
成都市2022级高中毕业班第一次诊断性检测数学（理科）本试卷分选择题和非选择题两部分。
第1卷（选择题）1至2页，第Ⅱ卷（非选择题）2至4页，共4页，满分150分，考试时间120分钟。
第I卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．(1)设集合U=R，A={x|x2-x-2>0）．则(A)（-∞，-1) ⋃(2,+∞) (B)[-1,2](C)（-∞，-1] ⋃[2，+∞）(D)（-1，2）(2)命题“若a>b，则a+c>b+c"的否命题是(A)若a≤6，则a+c≤b+c(B)若a+c≤b+c，则a≤6(C)若a+c>b+c，则a>b(D)若a>b，则a+c≤b+c(3)执行如图所示的程序框图，假如输出的结果为0，那么输入的x为(A)19(B) -1或1 (C)l (D)一1(4)已知双曲线2222-1(0x ya ba b=＞＞）的左，右焦点分别为F1，F2，双曲线上一点P满足PF2⊥x轴，若|F1F2|=12，|PF2|=5，则该双曲线的离心率为(A) 1312(B)125(C)32(D)3(5)已知α为其次象限角，且sin2α=2425，则cosα-sinα的值为(A)75(B) 一75(C)15(D) 一15(6)（x+1)5(x-2）的开放式中x2的系数为(A) 25 (B)5 (C) - 15 (D) - 20(7)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某四棱锥的三视图，则该四棱锥的外接球的表面积为(A) 136π (B) 34π (C) 25π (D) 18π(8)将函数f(x)=sin2x+3cos2x图象上全部点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将图象上全部点向右平移6π个单位长度，得到函数g (x)的图象，则g(x)图象的一条对称轴方程是(A)x=一6π(B)x=6π(C)x=2425π(D)x= 3π(9)在直三棱柱ABC-A1BlC1中，平面口与棱AB，AC，A1C1，A1B1分别交于点E，F，G，H，且直线AA1∥平面d．有下列三个命题：①四边形EFGH是平行四边形；②平面α∥平面BCC1B1；③平面α上平面BCFE．其中正确的命题有(A)①②(B)②③(C)①③(D)①②③(10)已知A,B是圆O:x2+y2=4上的两个动点，若M是线段AB的中点，则的值为(A)3 (B) 23(C)2 (D) -3(11)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且f（-x-1）=f（x-1），当x∈[-1，0]时，f(x)= 一x3．则关于x的方程f(x ) =|cosπx|在[一52，12]上的全部实数解之和为(A) -7 (B) -6 (C) -3 (D) -1(12)已知曲线C1:y2 =tx (y>0，t>0)在点M(4t,2)处的切线与曲线C2:y=e x+l—1也相切，则tln24et的值为(A) 4e2 (B) 8e (C)2 (D)8第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．(13)若复数z=1aii+（其中a∈R，i为虚数单位）的虚部为-1，则a= ．(14)我国南北朝时代的数学家祖暅提出体积的计算原理（祖暅原理）：“幂势既同，则积不容异”．“势’’即是高，“幂”是面积．意思是：假如两等高的几何体在同高处截得两几何体的截面积恒等，那么这两个几何体的体积相等，类比祖暅原理，如图所示，在平面直角坐标系中，图1是一个外形不规章的封闭图形，图2是一个上底为l的梯形，且当实数t取[0，3]上的任意值时，直线y=t被图l和图2所截得的两线段长始终相等，则图l的面积为.(15)若实数x，y满足约束条件，则的最小值为(16)已知△ABC中，AC=2，BC=6，△ABC的面积为32，若线段BA的延长线上存在点D，使∠BDC=4π，则CD = .三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． (17)（本小题满分12分）已知数列{a n }满足a l = -2，a n+1 =2a n +4． (I)证明数列{a n +4)是等比数列； (Ⅱ)求数列{|a n |}的前n 项和S n ． (18)（本小题满分12分）某省2022年高中数学学业水平测试的原始成果采 用百分制，发布成果使用等级制．各等级划分标准为：85 分及以上，记为A 等；分数在[70，85）内，记为B 等；分数 在[60，70）内，记为C 等；60分以下，记为D 等．同时认 定A ，B ，C 为合格，D 为不合格，已知甲，乙两所学校同学 的原始成果均分布在[50，100]内，为了比较两校同学的 成果，分别抽取50名同学的原始成果作为样本进行统 计，依据[50,60), [60,70), [70,80), [80,90),[90 ,100]的分组作出甲校的样本频率分布直方图如图1所示，乙 校的样本中等级为C ，D 的全部数据的茎叶图如图2所示． (I)求图中x 的值，并依据样本数据比较甲乙两校的合 格率；(II)在选取的样本中，从甲，乙两校C 等级的同学中随 机抽取3名同学进行调研，用X 表示所抽取的3名同学中 甲校的同学人数，求随机变量X 的分布列和数学期望．(19)（本小题满分12分）如图1，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别是 AB ，BC 的中点，BD 与EF 交于点H ，G 为BD 中点，点R 在线段BH 上，且BRRH =λ(λ>0)．现将△AED ，△CFD ，△DEF 分别沿DE ，DF ，EF 折起，使点A ，C 重合于点B （该点记为P ），如图2所示． (I)若λ=2，求证：GR ⊥平面PEF ；(Ⅱ)是否存在正实数λ，使得直线FR 与平面DEF 所成角的正弦值为225？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．(20)（本小题满分12分）已知椭圆22:154x y E +=的右焦点为F ，设直线l ：x=5与x 轴的交点为E ，过点F 且斜率为k 的直线l 1与椭圆交于A ，B 两点，M 为线段EF 的中点．(I)若直线l 1的倾斜角为4π，求△ABM 的面积S 的值；(Ⅱ)过点B 作直线BN ⊥l 于点N ，证明：A ，M ，N 三点共线 (21)（本小题满分12分）已知函数f(x)=xln(x+1)+（12一a ）x+2一a ，a ∈R ． (I)当x>0时，求函数g(x)=f(x)+ln(x+1)+ 12x 的单调区间；(Ⅱ)当a ∈Z 时，若存在x ≥0，使不等式f(x)<0成立，求a 的最小值． 请考生在第(22)、(23)题中任选一题作答，假如多做，则按所做的第一题计分． (22)（本小题满分10分）选修4-4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，倾斜角为α(α≠2π）的直线l 的参数方程为1cos ,sin ,x t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数）．以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程是ρcosx θ - 4sin θ=0．(I)写出直线l 的一般方程和曲线C 的直角坐标方程；(Ⅱ)已知点P(1，0)．若点M 的极坐标为（1，2π），直线l 经过点M 且与曲线C 相交于A ，B 两点，设线段AB 的中点为Q ，求|PQ|的值．(23)（本小题满分10分）选修4-5:不等式选讲 已知函数f(x ）=x +1+ |3 -x|，x ≥-1． (I)求不等式f(x ）≤6的解集；(Ⅱ)若f(x ）的最小值为n ，正数a ，b 满足2nab =a+2b ，求2a+b 的最小值.。
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成都七中2021届高中毕业班一诊模拟测试数学（理科）参考答案及评分意见第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：（每小题5分，共60分）1.A2.C3.D4.C5.A6.C7.B8.C9.C 10.A 11.B 12.C第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：（每小题5分，共20分）13.35 14.20202021 15.23 16.三、解答题：（共70分）17. 解：（1）选①：sin sin sin A b c B C b a +=--，由正弦定理得a b c b c b a+=--， ()()()a b a b c b c ∴-=+-，即222a b c ab +-=，1cos 2C ∴=┄┄┄┄┄┄┄┄（4分） ()0,C π∈，3C π∴=┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄（5分）选②：由正弦定理得sin 0,cos 1sin C A C C A =≠=+， 12sin 1,sin =662C C ππ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄（3分） ()50,,,666C C ππππ⎛⎫∈∴-∈- ⎪⎝⎭，,663C C πππ∴-=∴=.┄┄┄┄┄┄┄┄┄（5分）选③：因为23S CA CB =⋅，所以sin cos ab C C =┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄（2分） ()tan 0,,3C C C ππ∴=∈∴=┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄（5分） （2）在BCD ∆中，由余弦定理知()222222cos602a b a b +-⨯⨯⨯=┄┄┄┄┄┄┄┄┄（7分）224242222a b ab a b ab ab ∴+-=≥⋅⋅-=，2ab ∴≤，当且仅当2a b =，┄┄┄┄┄┄┄（10分） 即2,1a b ==时取等号，此时ab 的最大值为2， ┄┄┄┄┄┄┄（11分）面积1sin 2S ab C ==. ┄┄┄┄┄┄┄（12分）19.解：（1）证明：连接AC ，底面ABCD 为菱形，60,ABC ABC ∠=∴∆为正三角形， E 是BC 的中点，AE BC ∴⊥，又//,AD BC AE AD ∴⊥，PA ⊥平面,ABCD AE ⊂平面,ABCD PA AE ∴⊥，,,PA AD A PA AD =⊂平面,PAD AE ∴⊥平面PAD ，AE ⊂平面,AEF ∴平面AEF ⊥平面PAD . ┄┄┄┄┄┄（5分）（2）由（1）知，,,AE AD AP 两两垂直，故以,,AE AD AP 所在直线分别为,,x y z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则()))()()())0,0,0,1,0,,0,2,0,0,0,2,0,1,1,A B CD P ME -，┄┄┄┄┄┄（7分） ()()()3,1,2,0,2,2,0,0,2PC PD AP ∴=-=-=. 设()3,,2PF PC λλλλ==-，则()3,,22AF AP PF λλ=+=-. ┄┄┄┄┄┄（8分） 设平面PCD 的法向量为()111,,m x y z =，则11111320220m PC x y z mPD y z ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩令1z =(111,1,3,x y m ===.┄┄┄┄┄┄（10分）设直线AF 与平面PCD 所成角为θ，则(sin cos ,7AF mAF m AF m θ⋅====≤⎡⋅⎢ 当12λ=时，sin θ取最大值7，此时F 为PC 的中点.┄┄┄┄┄┄（12分） 20. 解：（1）当1a =时，()22ln f x x x =-，()()()211,2,10f f x x k f x''==-==， ()f x ∴在()()1,1f 处的切线方程为1y =.┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄（3分）（2）法一：由题意()max 14f x ≤，()()22122ax f x ax x x-'=-=①当0a ≤时，()()0,f x f x '<在[]1,3上单调递减，()()max 114f x f a ∴==≤恒成立，0a ∴≤┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄（4分） ②当0a >时，()()0,f x x f x '>>∴在⎛ ⎝上单减，在⎫+∞⎪⎭上单增， （i）当1,1a ≤≥时，()f x 在[]1,3上单增，()()max 12ln 3143,49f x f a +=≤≤，舍去； （ii13,09a ≥<≤时，()f x 在[]1,3上单减，()()max 111,44f x f a =≤≤，109a ∴<≤ （iii）当113,19a <<<<时，()f x在⎡⎢⎣上单减，⎤⎥⎦上单增， ()()111114,,149434f a a f ⎧≤⎪⎪≤∴<≤⎨⎪≤⎪⎩， 综上，14a ≤┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄（7分） 法2：()212ln 4f x ax x =-≤恒成立，即212ln 4x a x+≤， ┄┄┄┄┄┄┄┄（4分） 令()()()3823132ln 4ln 42,,0,1x x g x g x g x x e x x +-''==><<. ()g x ∴在381,e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单增，38,3e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单减，()()12ln 31141,3494g g +==>，┄┄┄┄┄（6分） ()min 14a g x ∴≤= ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄（7分） （3）因为120x x +>，)()2121220x x x x +-+>，只需证明12x x +>，┄┄┄┄┄┄（8分） 由（2）可知120x x <<<，要证12x x +>，只需证明21x x >-，又因为21x x >->，且函数()f x在⎫+∞⎪⎭单调递增，所以只需证明()21f x f x ⎫>⎪⎭，又因为()()21f x f x =，即证()11f x f x ⎫>-⎪⎭ 令()()0g x f x f x x ⎫⎛=--<<⎪ ⎭⎝┄┄┄┄┄┄（9分）即()222ln 2ln 42ln 2ln g x ax x a x x x x ⎫⎫⎫=---+=--+-⎪⎪⎪⎭⎭⎭注意到0g = 因为()2221102g x x x x x '=-=≤=⎫--⎪⎭⎪⎪⎝⎭则()g x在⎛⎝单调递减，所以()0g x g >=在x ⎛∈ ⎝恒成立，┄┄┄（11分）所以12x x +>)()2121220x x x x +-+>┄┄┄┄┄┄（12分）21.解：（1）已知,,26a OA a OB BAF π==∠=，则4a B ⎛- ⎝⎭，代入椭圆C 的方程：2222311616a a a b +=，225,,2,a c a c b e b a ∴==∴==∴==┄┄┄┄┄┄┄（4分） （2）（i ）由（1）可得221,:15x b a C y ==∴+=，设直线()()()112233:2,,,,,,l x P x y Q x y N x y =+，112,,22x y OM OP M ⎛⎫=∴ ⎪⎝⎭,联立直线l 与椭圆C的方程：22255x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩得2810y +-=，0∆>恒成立，1212128y y y y +=-=-，))12121212522348x x y y y y ∴=++=+++=121215OP OQ y y k k x x ∴⋅==-┄┄┄┄┄┄┄（8分） （ii ）设点()33,N x y ，因为NMNQλ=，所以()01,NM NQ λλ=<< 又因为2OM OP =，所以点11,22x y M ⎛⎫⎪⎝⎭，则满足()11332323,,,22x y NM x y NQ x x y y ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭则()()1323132322x x x x y y y y λλ⎧-=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，()()123123221221x x x y y y λλλλ-=-⎧⎪∴⎨-=-⎪⎩，即()()123123221221x x x y y y λλλλ-⎧=⎪-⎪⎨-⎪=⎪-⎩,,P Q N 在椭圆上，22222211223355,55,55,x y x y x y ∴+=+=+=()()()()2212122222554141x x y y λλλλ--+⋅=--()()()2222221122121254545201x y x y x x y y λλλ∴+++-+=-由（i ）可知()221212350,1441,8x x y y λλλ+=∴+=-∴=， 38NM NQ ∴= ┄┄┄┄┄┄┄（12分）22.解：（1）将直线12,l l 的参数方程化为普通方程，得到()121:,:3l y k x l y x k==.┄┄（2分） 两式相乘消去k ，可得2213x y +=. ┄┄┄（4分）因为0k ≠，所以0y ≠.所以曲线1C 的普通方程为()22103x y y +=≠. ┄┄┄（5分）（2）直线2C 的直角坐标方程为60x y +-=. ┄┄┄（6分） 由（1）知，曲线1C 与直线2C 无公共点. 由于曲线1C的参数方程为sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数，,k k Z απ≠∈）， ┄┄┄（7分）所以曲线1C上的点),sin Qαα到直线2:60C x y +-=的距离d ==┄┄┄（9分） 所以当sin 13πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，即76πα=时，d取得最大值为 ┄┄┄（10分）23.解：（1）()()()272527252f x x x x x =-+-≥---= , ┄┄┄（3分）∴函数()f x 的最小值2m =. ┄┄┄（4分）（2）证明：法1：（综合法）222a b ab +≥，1,1ab ∴≤，当且仅当a b =时取等号，① ┄┄┄（6分）又1,,222a b ab ab a b a b +≤∴≤∴≤++，当且仅当a b =时取等号，②┄┄┄（8分） 由①②得12ab a b ≤+，2a b ab ∴+≥ ┄┄┄（10分） 法2：（分析法）0,0a b >>，∴要证2a b ab +≥，只需证()2224a b a b +≥，即证222224a b ab a b ++≥┄┄┄（6分） 222a b +=，∴只需证22224ab a b +≥，即证()2210ab ab --≤，即证()()2110ab ab +-≤┄┄┄（8分）2a b ab ∴+≥ ┄┄┄（10分）。