四川省成都市2021届零诊(高二下期末)理科数学模拟试题(解析卷)

四川省成都市2021届零诊（高二下期末）理科数学模拟试题简介-- 2020.6.30鉴于成都市今年高二下期（零诊）摸底考试范围和比例作了部分调整，除了2020届（去年）的零诊外，之前的摸底试题参考意义不大。

2021届成都市零诊考试范围和分布比例：数学理：人教A版必修1、2、3、4、5; 选修2-1，选修2-2，选修4-4。

数学文：人教A版必修1、2、3、4、5; 选修1-1, 选修1-2，选修4-4。

其中高一内容约占15%(重点考查函数等)，高二上期内容约占35%，高二下期内容约占50%。

本套卷按新课标（全国卷）的试题类型编写。

（12道选择，4道填空，6道解答题）试卷根据成都市最新的考试范围和分布比例编写，希望能给广大师生朋友在备考零诊提供一点微薄之力。

如有不足之处，望大家多多指正！四川省成都市2021届零诊（高二下期末）理科数学模拟试题第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的．1．已知}3|{≤∈=*x N x A ，2{|-40}B x x x x =≤，则（ ）【答案】A【解析】由题意得：，，所以.【方法总结】集合中的元素有关问题的求解策略：(1)确定集合的元素是什么，即集合是数集、点集还是其他类型的集合．(2)看这些元素满足什么限制条件．(3)根据限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数，要注意检验集合是否满足元素的互异性．2．已知复数满足为虚数单位) ，则在复平面内复数对应的点的坐标为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】由题意,得.则,其在复数平面内对应的点的坐标为.故选：B. 3．随着我国经济实力的不断提升，居民收入也在不断增加．某家庭2019年全年的收入与2015年全年的收入相比增加了一倍，实现翻番．同时该家庭的消费结构随之也发生了变化，现统计了该家庭这两年不同品类的消费额占全年总收入的比例，得到了如下折线图： 则下列结论中正确的是( )A ．该家庭2019年食品的消费额是2015年食品的消费额的一半B ．该家庭2019年教育医疗的消费额与2015年教育医疗的消费额相当C ．该家庭2019年休闲旅游的消费额是2015年休闲旅游的消费额的五倍D ．该家庭2019年生活用品的消费额是2015年生活用品的消费额的两倍=⋂B A }3,2,1.{A }2,1.{B (]3,0.C (]4,3.D {1,2,3}}3|{=≤∈=*x N x A []2{|-40}1,4B x x x =≤==⋂B A }3,2,1{z (3425z i i i ⋅-=+z 21,5⎛⎫ ⎪⎝⎭2,15⎛⎫ ⎪⎝⎭21,5⎛⎫-- ⎪⎝⎭2,15⎛⎫-- ⎪⎝⎭525z i ⋅=+25z i =+2,15⎛⎫⎪⎝⎭4．解析：选C.设该家庭2015年全年收入为a ，则2019年全年收入为2a .对于A ，2019年食品消费额为0.2×2a ＝0.4a ，2015年食品消费额为0.4a ，故两者相等，A 不正确．对于B ，2019年教育医疗消费额为0.2×2a ＝0.4a ，2015年教育医疗消费额为0.2a ，故B 不正确．对于C ，2019年休闲旅游消费额为0.25×2a ＝0.5a ，2015年休闲旅游消费额为0.1a ，故C 正确．对于D ，2019年生活用品的消费额为0.3×2a ＝0.6a ，2015年生活用品的消费额为0.15a ，故D 不正确．故选C.4．某三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球的表面积为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A的等腰直角三角形,高为2..故外接球表面积.故选：A 5.下列函数中，与函数的奇偶性、单调性均相同的是( ) . A．B ．C ．D ．【答案】D解析 由已知，，则，所以为上的奇函数.8π6π4π3224482S R πππ⎛=== ⎝⎭()11122x x f x -+=-e xy =(ln y x =2y x =tan y x =()111=22x x f x -+-x ∈R ()()111111=2222x x x x f x f x ----++--=-=-()f x R设，.易判断为上的增函数，也为上的增函数，所以为上的增函数.A 选项中的不是奇函数，排除A ；B 选项中令，则，所以为奇函数.设为增函数，而也为增函数，由复合函数的单调性知为增函数，所以B 选项中的函数的奇偶性、单调性与的奇偶性、单调性相同；C 选项中不是奇函数，排除C ；D 选项中在上不是单调函数.排除D.故选B.5．我国南宋时期的数学家秦九韶在他的著作《数书九章》中提出了计算多项式的值的秦九韶算法，即将改写成如下形式：，首先计算最内层一次多项式的值，然后由内向外逐层计算一次多项式的值.这种算法至今仍是比较先进的算法.将秦九韶算法用程序框图表示如下图，则在空白的执行框内应填入（ ）.A. B. C. D.()112x f x -=()2112x f x +=-()1f x R ()2f x R ()()()12f x f x f x =+R e x y =()(ln f x x =()(ln f x x -=-+ln==(()ln x f x -=-()f x ()u x x =()u x ln y u =(ln y x =+()111=22x x f x -+-2y x =tan y x =R ()11nn n n f x a x a x--=++10a x a ++()f x ()()()()1210nn n f x a x ax a x a x a --=+++++i v vx a =+()i v v x a =+i v a x v =+()i v a x v =+解析 秦九韶算法的过程是.这个过程用循环结构来实现,则在空白的执行框内应填入.故选A.7．平面直角坐标系中，若角的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆O 交于点，且，，则的值为（ ） ABCD【答案】A【解析】因为，，所以，若，，所以不符合， 所以， 所以.()011,2,,nk k n k v a v v x a k n --=⎧⎪⎨=+=⎪⎩i v vx a =+xOy α00(,)P x y (,0)2απ∈-3cos()65πα+=0x (,0)2απ∈-3cos()65πα+=(,)636πππα+∈-(0,)66ππα+∈3cos()65πα+>>(,0)63ππα+∈-4sin()65πα+=-0341cos cos ()66552x ππαα⎡⎤==+-=-⨯=⎢⎥⎣⎦8． 已知，给出下列四个命题：； ；； ； 其中真命题的是（ ）.A. B. C. D. 【答案】D解析 画出的可行域如图所示.对于命题,在点处, ,则是假命题; 对于命题,在点处, 取最大值为,,故是真命题; 对于命题,点到的斜率最小值在点处取到为,,故是假命题; 对于命题,在点处,,故是真命题.故选D.9.唐代诗人李顾的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河。

”诗中隐含着一个有趣的数学问题一“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的()20,20360x y D x y x y x y ⎧⎫+-⎧⎪⎪⎪=-+⎨⎨⎬⎪⎪⎪-+⎩⎩⎭()1:,,0P x y D x y ∀∈+()2,,210P x y D x y ∀∈-+：()31:,,41y P x y D x +∃∈--()224,,2P x y D x y ∃∈+：12,P P 23,P P 34,P P 24,P P D 1P ()2,0A -202<0x y +=-+=-1P 2P ()0,2C 21x y -+1-1<0-2P 3P (),x y ()1,1-()0,2C 21301+=--3>4--3P 4P ()0,2C 22024>2+=4P 221x y +≤()3,0A 4x y +=最短总路程为（ ）D.【答案】A【解析】分析：求出关于的对称点，根据题意，为最短距离，求出即可. 解：设点关于直线的对称点，设军营所在区域为的圆心为， 根据题意，为最短距离，先求出的坐标，的中点为，直线的斜率为1，故直线为， 由，联立得故，，所以故，故选：A.10.已知双曲线的左、右焦点分别为，圆与双曲线在第一象限内的交点为，若. 则该双曲线的离心率为（） A. 2B. 3C.D.【答案】D解：根据题意可画出以下图像，过点作垂线并交于点， 因为，在双曲线上，所以根据双曲线性质可知，，即， 因为圆的半径为，是圆的半径，所以，因为，所以，三角形是直角三角形， 因为，所以，，即点纵坐标为， 将点纵坐标带入圆的方程中可得，解得， 13A 4x y +=A 'A C 'A 4x y +=(),A a b 'C 1A C '-A 'AA '3,22a b +⎛⎫⎪⎝⎭AA 'AA '3y x =-34223a bb a +⎧+=⎪⎨⎪=-⎩4a =1b =A C '=11A C '-=22221(0,0)x y a b a b-=>>12,F F 222x y b +=M 123MF MF =M 12F F 12F F H 123MF MF =M 122MF MF a -=2232MF MF a -=2MF a =222x y b +=b OM 222x y b +=OM b =22222,,,OM b MF a OF c a b c ===+=290OMF ∠=︒2OMF 2MH OF ⊥22,ab OF MH OM MF MH c ⨯=⨯=M ab cM 22222a b x b c +=22,,b b ab x M c c c ⎛⎫= ⎪⎝⎭将点坐标带入双曲线中可得，化简得，，，，选D.11．已知过抛物线()220y px p =>的焦点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，且3AF FB =，抛物线的准线l 与x 轴交于C ，1AA l ⊥于点1A ，且四边形1AA CF的面积为，过()1,0K -的直线'l 交抛物线于M ，N两点，且(]()1,2KM KN λλ=∈，点G 为线段MN 的垂直平分线与x 轴的交点， 则点G 的横坐标0x 的取值范围为（） A ．133,4⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．92,4⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．93,2⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．11,72⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】A【解析】过B 作1BB l ⊥于1B ，设直线AB 与l 交点为D ，由抛物线的性质可知1AA AF =，1BB BF =，CF p =， 设BD m =，BF n =，则1113BB BD BF AD AA AF ===，即143m m n =+，∴2m n =． 又1BB BD CF DF =，∴23n m p m n ==+，∴23pn =，∴2DF m n p =+=，∴130ADA ∠=︒， M 422221b a a c c-=4422b a a c -=()222422c aa a c --=223c a=ce a==又132AA n p ==，CF p =，∴1A D =，CD =，∴1A C =， ∴直角梯形1AA CF 的面积为()122p p +=，解得2p =，∴24y x =， 设()11,M x y ，()22,N x y ，∵KM KN λ=，∴12y y λ=， 设直线:1l x my '=-代入到24y x =中得2440y my +=-，∴124y y m +=，124y y =，∴()21212242x x m y y m =+-=-+，由以上式子可得()221142m λλλλ+==++，由12λ<≤可得12y λλ=++递增，即有2944,2m ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，即291,8m ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦， 又MN 中点()221,2m m -，∴直线MN 的垂直平分线的方程为()2221y m m x m -=--+，令0y =，可得2013213,4x m ⎛⎤=+∈ ⎥⎝⎦，故选A ．12．已知函数有两个零点，函数，则方程的实根个数至多为 A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【答案】C【命题意图】主要考查函数的零点，函数与导数等基础知识；考查运算求解能力，推理论证能力，抽象与概括能力和创新意识；考查数形结合思想，分类与整合思想，函数与方程思想．【解析】选C ．令，则即，此方程有两根．对于函数，时，，， 所以在单调递减，在单调递增，所以有极小值． 当时，，，在单调递增， 且时，；时，．作出的大致图象可知，有1个实根；至多有3个实根，所以方程的实根至多有4个．()f x 1212(01)x x x x <<<，2()ln()g x x x =-[()]0f g x =()t g x =()[]0f g x =()0f t =1212,(01)t t t t <<<()2ln()g x x x =-0x >()2ln g x x x =-()221x g x x x-'=-=()g x (0,2)(2,)+∞()g x (2)22ln 2(0,1)g =-∈0x <()2ln()g x x x =--()210g x x'=->()g x (,0)-∞x →-∞y →-∞0x →+y →∞()g x ()10g x t =<()2(0,1)g x t =∈()[]0f g x =第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡上． 13．记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若5a 2＝S 5+5，则数列{a n }的公差为 ﹣1 ． 【答案】﹣1解析：利用等差数列的通项公式及求和公式即可得出． 设等差数列{a n }的公差为d ．∵5a 2＝S 5+5，∴5（a 1+d ）＝5a 1+10d +5，则数列{a n }的公差d ＝﹣1．故答案为：﹣1． 本题考查了等差数列的通项公式及求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14．在极坐标系中，圆1C 的极坐标方程为24(cos sin )p p θθ=+，以极点O 为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系xOy ．已知曲线2C 的参数方程为22||x t y t =+⎧⎨=⎩（t 为参数），曲线2C 与圆1C 交于,A B 两点，则圆1C 夹在,A B 两点间的劣弧AB 的长为 ．解析：圆1C 的直角坐标方程为22(2)(2)8x y -+-=； 圆1C 夹在,A B 两点间的劣弧AB的长为124π⨯⨯．15.如图所示，在平面直角坐标系中，将直线与直线及轴所围成的图形绕轴旋转一周得到一个圆锥，圆锥的体积 据此类比：将曲线与直线及轴所围成的图形绕轴旋转一周得到一个旋转体，该旋转体的体积.xOy 2xy =1x =x x 210πd 2x V x ⎛⎫= ⎪⎝⎭⎰圆锥310ππ.1212x ==2(0)y x x =≥2y =y y ______V =【答案】2π 解析：因为曲线是绕轴旋转，故需将其方程变形为， 可求旋转体体积.16若以曲线上任意一点为切点作切线，曲线上总存在异于点的点，使得以点为切点作切线满足，则称曲线具有“可平行性”.已知下列曲线：①；②；③；④. 其中具有“可平行性”的曲线是 ．（写出所有正确的编号） 【答案】②③解析①有两个相等实根，因此曲线不具有“可平行性”；②，总有两个不同的实根与之对应，因此曲线是具有“可平行性”的曲线；③，则至少有两个不同的实根与之对应，因此曲线是具有“可平行性”的曲线； ④，当时，只有一个实根，因此曲线不具有“可平行性”. 综上，②③是具有“可平行性”的曲线.评注 本题将“可平行性”这一抽象的概念转化为曲线对应函数的导函数是否存在2个不同的零点的问题，使解答变得易于操作.三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.（12分）设函数()32f x x ax bx c =+++.（1）求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；()20y xx =y x y =()2222002ππd πd 2π02V y y y y y ====⎰⎰()y f x =(),M x y l M (),N x y ''N l 'l l '∥()y f x =3y x x =-1y x x=+sin y x =()22ln y x x =-+()231,1y'=x f x '-=-3y x x =-211y'x =-()f x a '=()(),1a ∈-∞1y x x=+cos y'x =cos x a =[]()1,1a ∈-sin y x =124y'=x+x-()224f x '=-22x =()22ln x x -+第13题图y =x=1y x xOyy =2y =O（2）设4a b ==，若函数()f x 有三个不同零点，求c 的取值范围；解析 （1）由()32f x x ax bx c =+++，得()232f x x ax b '=++.因为()0f c =，()0f b '=，所以曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为y bx c =+.（2）当4a b ==时，()3244f x x x x c =+++，所以()2384f x x x '=++.令()0f x '=，得23840x x ++=，解得2x =-或23x =-. ()f x '与()f x 在区间(),-∞+∞上的变化情况如下表所示.所以当0c >且32027c -<时，存在()14,2x ∈--，222,3x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，32,03x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，使得()()()1230f x f x f x ===. 由()f x 的单调性，当且仅当320,27c ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，函数()3244f x x x x c =+++有三个不同零点. 19.（12分）如图所示，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，侧棱1AA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，AD AB ⊥，//AB CD ，1224AB AD AA ===.（1）证明：1A D ⊥平面11ABC D ；（2）若四棱锥111A ABC D -的体积为103，求四棱柱1111ABCD A B C D -的侧面积.【解析】（1）因为侧棱1AA ⊥平面ABCD ，所以1AA AD ⊥，1AA AB ⊥， 又AB AD ⊥，1AA AD A =，所以AB ⊥平面11ADD A ，而1A D ⊂平面11ADD A ，所以1AB A D ⊥；又1AA AD ⊥，1AA AD =，所以四边形11ADD A 为正方形，所以11A D AD ⊥， 又1ABAD A =，所以1A D ⊥平面11ABC D .（2）记1A D 与1AD 的交点为O ，所以1A O ⊥平面11ABC D ， 又1224AB AD AA ===，所以12AO =，122AD = 设11CD C D x ==，则1111111128103233A ABC D V ABCD x AD AO -++⋅⋅⋅===，解得1x =，即1CD =， 所以22(41)213BC =-+=所以四棱柱1111ABCD A B C D -的侧面积为(12413)214213S =+++⨯=+.18．（12分）某企业新研发了一种产品，产品的成本由原料成本及非原料成本组成．每件产品的非原料成本y （元）与生产该产品的数量（千件）有关，经统计得到如下数据：x 12345678y112 61 44.5 35 30.5 28 2524系，现考虑用反比例函数模型和指数函数模型分别对两个变量的关系进行拟合，已求得：用指数函数模型拟合的回归方程为，与的相关系数；, , ,,,, （其中）；（1）用反比例函数模型求关于的回归方程；（2）用相关系数判断上述两个模型哪一个拟合效果更好（精确到0．01），并用其估计产量为10千件时每件产品的非原料成本．x b y a x=+dxy ce =0.296.54x y e -=ln y x 10.94r =-81=183.4i i i u y =∑=0.34u 2=0.115u 821=1.53ii u=∑81360ii y==∑82122385.5i i y==∑1,1,2,3,,8i iu i x ==y x,参考公式：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，，相关系数．19．【解析】（1）令，则可转化为， ··············································1分 因为，所以， ···················4分则，所以， ···················································5分 所以关于的回归方程为； ·········································································6分 （2）与的相关系数为： ， ···································9分 因为，所以用反比例函数模型拟合效果更好， ························································ 10分 把代入回归方程：，（元）， ······································ 11分 所以当产量为10千件时，每件产品的非原料成本估计为21元．············································ 12分 20．（12分）已知点()10F -，，直线4l x P =-：，为平面内的动点，过点P 作直线l 的垂线，垂足为点M ，且11022PF PM PF PM ⎛⎫⎛⎫-⋅+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）过点1F 作直线1l （与x 轴不重合）交C 轨迹于A ，B 两点，求三角形面积OAB 的取值范围.（O 为坐标原点） 【解析】（1）设动点()P x y ，，则()4H y -， 由11022PF PM PF PM ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭2214PF PM ∴=，即2214PF PM = ，()2221144x y x ∴++=+ ，化简得22143x y +=61.420.135e -=()11,u υ()22,u υ(),n n u υˆu υαβ=+1221ni i i nii u nu unuυυβ==-=-∑∑u αυβ=-ni iu nu r υυ-=∑1u x =by a x=+y a bu =+360458y ==8221818183.480.3445611001.5380.1150.6ˆ18i i iii u y uyb uu ==--⨯⨯====-⨯-∑∑45ˆˆ1000.3411ay bu =-=-⨯=11100ˆy u =+y x 10011ˆyx=+y 1x28822221181888i ii i i i i u y uyr u u y y ===-=⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑610.9961.4==≈12r r <10x =10011ˆyx =+100112110y =+=（2）由(1)知轨迹C 的方程为22143x y +=，当直线1l 斜率不存在时31,2A ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，31,2B ⎛⎫- ⎪⎝⎭1322DAB S AB OF ∆∴=⋅= 当直线1l 斜率存在时，设直线l 方程为1x my =- ()0m ≠，设()11,A x y ()22,B x y由221143x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2234690m y my +--=.则21441440m ∆=+>，122634m y y m +=+，122934y y m -=+， 11212OABS OF y y ∆=⋅-112=⨯==令21(1)m t t +=>，则OAB S ∆===令()196f t t t =++，则()21'9f t t =-，当1t >时，()'0f t >， ()196f t t t ∴=++在()1,+∞上单调递增，()()116f t f∴>=，32OAB S ∆∴<=综上所述，三角形OAB 面积的取值范围是30,2⎛⎤⎥⎝⎦21．（12分）已知2()(ln )2x f x x x ae =-+．（1）证明()f x 在1x =处的切线恒过定点；（2）若()f x 有两个极值点，求实数a 的取值范围．解析：（1）∵2(ln )()x x x axe f x x+-'=，所以()12f ae '=-又因为()12f ae =-，所以()f x 在1x =处的切线方程()()()221y ae ae x --=-- 即()2y ae x =-，所以()f x 在1x =处的切线恒过定点()0,0．（2）∵l ()()n 2x x x xe x x f a +-='，其中0x >，设()2(ln )xg x x x axe =+-，则(1)(2)()x x axe g x x+-'=，当0a ≤时，()0g x '>，则()g x 在(0,)+∞单调递增，()g x 在(0,)+∞上至多有一个零点，即()f x '在(0,)+∞上至多有一个零点，∴()f x 至多只有一个极值点，不合题意，舍去．当0a >时，设()2x h x axe =-，()(1)xh x a x e '=-+，∴()0h x '<，∴()h x 在(0,)+∞上单调递减，∵()020h =>，22()220ah e a =-<，∴02(0,)a∃∈，使得()00h x =，即002x ax e =2，当()00,x x ∈时，()0h x >，此时()0g x '>，∴()g x 在()00,x 单调递增， 当0(),x x ∈+∞时，()0h x <，此时()0g x '<，∴()g x 在0(),x +∞单调递减， ∴()g x 在(0,)+∞有极大值()0g x ，即()0max 000[()]2ln x g x x x ax e =+-()()00002ln 22ln 1x x x x =+-=+-若00ln 10x x +-≤，则()0g x ≤，∴()0f x '≤，()f x 在(0,)+∞单调递减，不合题意， 若00ln 10x x +->，设()ln p x x x =+，1()10p x x'=+>，∴()p x 在(0,)+∞单调递增， 又()11p =，∴01x >，∵()(1)0x x xe x e '=+>，∴xy xe =在(0,)+∞单调递增，∴002x x e e a =>，即20a e<<，此时()00g x >，()00f x '> ∵1111112()2(1)20e ea e ae e e e eg -=-+-=-+-<，()g x 在()00,x 单调递增，()00g x >101(,)x x e∃∈，使得()10g x =，当()10,x x ∈时，()0g x <，∴()0f x '<，()f x 在()10,x 上单调递减，当()10,x x x ∈时，()0g x >，∴()0f x '>，()f x 在()10,x x 上单调递增，∴()f x 在1x x =取得极小值． 又∵11ln x e x x x ≥+>-≥，1xe x x ≥+>∴444444442ln 42ln 0a a ag e e e a a a a a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=-+-<⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦∵()g x 在0(),x +∞单调递减，()00g x >， 又∵02(0,)x a ∈，∴04x a >，∴204(,)x x a∃∈，使得()20g x =， 当()02,x x x ∈时，()0g x >，∴()0f x '>，()f x 在()02,x x 上单调递增， 当()2,x x ∈+∞时，()0g x <，∴()0f x '<，()f x 在2(),x +∞上单调递减，∴()f x 在2x x =处取得极大值．综上所述，若()f x 有两个极值点，则实数a 的取值范围为2(0,)e．（注：利用当x →+∞时，()0g x <，当0x →时，()0g x <，证明存在两个极值点，得1分） 22．.（10分）如图，有一种赛车跑道类似“梨形”曲线，由圆弧BC ,AD 和线段AB ，CD 四部分组成，在极坐标系Ox 中，A （2，3π），B （1，23π），C （1，43π），D （2，3π-），弧BC ,AD 所在圆的圆心分别是（0，0），（2，0），曲线是弧BC ，曲线M 2是弧AD ．（1）分别写出M 1，M 2的极坐标方程：（2）点E ，F 位于曲线M 2上，且3EOF π∠=，求△EOF 面积的取值范围．解析（1）由题意可知：M 1的极坐标方程为24133ππρθ⎛⎫=≤≤⎪⎝⎭． 记圆弧AD 所在圆的圆心（2，0）易得极点O 在圆弧AD 上． 设P （ρ，θ）为M 2上任意一点，则在△OO 1P 中，可得ρ＝4cosθ（33ππθ-≤≤）．所以：M 1，M 2的极坐标方程为24133ππρθ⎛⎫=≤≤⎪⎝⎭和ρ＝4cosθ（33ππθ-≤≤）． （2）设点E （ρ1，α），点F （2,3πρα-），（03πα≤≤），所以ρ1＝4cosα，24cos 3πρα⎛⎫=-⎪⎝⎭．所以121sin cos cos sin sin 223336EOF S ππππρρααααα∆⎛⎫⎛⎫==+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由于03πα≤≤，所以1sin 2126πα⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭．故EOF S ∆⎡∈⎣．。