基于稀疏信号结构信息的压缩检测算法_蒋国良

上是近似的，在一定SNR 下 计特性满足如下分布：
Pr ( H1 ) = Pr ( H 0 ) = 0.5 ， 检测成功率
为2000次检测实验的统计结果。同时
（12)
规定 ， 检测成功率高于 95% 时 ， 检测 才有意义[7]， 在实验结果中表现为标 准线这一条直线。 首先我们验证本文提出的判决 方法的有效性。我们对比不同信噪比 下本文提出方法与文献 [4] 采用的方 法的检测成功率，这里部分重构算法 我们分别采用文献 [4] 提出的匹配追 踪（MP)算法和改进的压缩采样匹配
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基于稀疏信号结构信息的压缩检测算法*
蒋国良 马永涛 赵宇 天津大学电子信息工程系（天津300072）
Sparse Signal Detection Method Using Compressive Sensing Based on Structural Information
摘要：压缩感知技术可以在不精确重构信号的情况下实现对稀疏信号的检 测。目前已有的压缩检测算法主要利用的是稀疏信号的幅值信息，通过比 较重构出的最大稀疏系数与门限的大小关系来完成检测任务。然而这种方 法在低信噪比时检测效果不理想，同时对检测门限的精确程度要求很高。 针对这种情况，本文提出一种基于稀疏信号结构信息的压缩检测算法，根 据部分重构得到的信息与原始信号的结构相似度来完成检测。实验结果表 明，本文算法在低信噪比下也可以获得较高的检测成功率，并且没有检 测门限的束缚。本文网络版地址：/article/203220. htm 关键词：压缩感知；稀疏信号；结构信息；信号检测 DOI: 10.3969/j.issn.1005-5517.2014.1.005 *基金项目：天津市科技支撑计划重点资助项目（09ZCKFGX29200）
其中， L 表示θ s 全部位置信息的
踪的重构算法性能更好。由于我们不 需要精确重构出原始信号，我们调整 压缩采样匹配追踪算法为部分重构算 法，具体算法如下： 令 ， 迭代次数设为T ，
优 化 问 题 是 一 个 难 求 解 的 N P- h a r d （ Nondeterministic Polynomial-time hard)问题，所以可以用 l1 约束[4,5]取代
Φ ∈ R M ×N ( M < N ) ，则信号x在该矩阵下
检测的任务就是通过处理采样值
y 来判断感兴趣的已知信号s 的有无。
假设信号 s 在变换域 内满足稀疏度为
（7)迭代次数t 加1，若 t < T ，则 回到步骤（2)，否则执行步骤（8)。 （8)输出部分重构信号 。
k ，即：
（5) 式中 ： Ψs 和θ s 分别表示变换基 。
多是以精确重构信号为目的。然而， 在许多信号处理应用中，信号获取的 最终目的并不是重构原始信号，而仅 仅是完成一个检测决定 [4-9]，像在许多 通信系统或者雷达系统中的信号检测 任务[10]。在许多情况下，由于压缩感 知的采样值已经保持了原始信号的结 构和相关信息，即使不精确重构信号 也可以通过处理压缩感知的采样值完 成信号的检测[6,8]。 在基于压缩感知的稀疏信号检 测具体算法方面，一种基于匹配追踪 （Matching Pursuit ，MP)的非相关检 测和估计算法 [5]已经被提出 。 该算法 通过比较利用部分重构算法得到的最 大稀疏系数和利用蒙特卡洛模拟 [5]获 得的最优门限之间的大小来完成检测 任务。本文提出一种基于稀疏信号结 构信息的检测方法，该方法可以分为 两部分，包括一种基于压缩采样匹配 追踪（Compressive Sampling Matching Pursuit，CoSaMP) [11]的部分重构算法
T 值应小于精确重构所需要的迭代次
数 。 设信号s 在变换域 Ψ 内的稀疏度 为k ，则算法具体步骤如下： （ 1) 初始化 ： 余量 r0 = y ， 估计
l0 约束：
（3) 值
， 。迭代次数t =1。 （2)识别：生成等价信号
*
基于稀疏信号结构信息的压缩检 测算法
假设信号s 是一个确定的已知的
u = V rt −1 ； 定位 m × k 个最大分量位
Pursuit，CoSaMP)的部分重构算法来 获得估计值 。 与基于匹配追踪的 重构算法相比，基于压缩采样匹配追
集合 ， L = {1,2, N } ; Loc 表示幅值 不等于 0 的位置的集合 ; 表示对应 于Loc 的幅值信息集合 。 同样 ， 对于 估计值 ，我们有： （7) 其中， L 表示 全部位置信息的 集合 ， L = {1,2, N } ; 不等于 0 的位置的集合 ; 于 的幅值信息集合。 对于目标信号s ， 对应稀疏系数 值越大，其可重构出来的概率越大， 反之，越小的稀疏系数越容易淹没于 噪声中，从而无法重构出来。因此， 我们引入可重构率的概念，具体定义 如下式： 表示幅值 表示对应
2 且 n ~ N (0, d I N ) 。 Φ 体现的是压缩
~ min Vq − y q = arg ~
q ∈Z
2
。 进行最优稀疏度 。
感知过程，数学上的表达是一个满足 RIP性质 M × N 矩阵，其中 M < N 。 估计
（5)修正：对 。 （6)更新采样：
压缩感知理论
压缩感知理论主要包括信号的稀 疏表示、编码测量和重构算法三个方 面 。 对于一个信号 x ∈ R N ， 假设其 稀疏度为 k (k < N ) ， 一个测量矩阵
[6,11]
本文中我们采用基于压缩采样匹配追 踪
[11]
。现在考虑由采样值y 重构原始信
（Compressive Sampling Matching
θ s 可以用下面的集合方式表示：
（6)
号x ， 首先应基于采样值y 获得x 在其 变换域 Ψ 上的稀疏表示θ ，然后在此 基础上结合相应的变换基获得原始信 号。这可以通过 l0 范数优化问题找到 具有稀疏结构的解： 式中， （2) ，由于式（2)的
置 Ω = sup(u m×k ) ， 考 虑 到 噪 声 的 存
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表示位置相似度门 限 。 若位置相似度大于所 设门限 ， 这时 ， 需要通过 幅值信息来判断目标信号 的有无。文献[4]通过比较 部分重构算法所得的最大 稀疏系数与所设门限的大 小关系来判断目标信号的 有无 。 在该算法中 ， 门限 图4 迭代次数对检测时间的影响 （8) （9) 其中， 表示不同位置的稀疏系 数对应的可重构率。对于通过部分重 构算法得到的 ，我们首先考虑它与 是通过模特卡洛模拟的方 法得到的 ， 然而 ， 实际中 门限的设置比较困难，门限对噪声比 较敏感，门限设置不恰当会严重影响 检测性能。在本文中，我们提出一种 新的方法来完成检测判决，该方法避 免了门限的设置，同时仿真结果表明 该方法具有很好的检测性能。具体方 法如下： 在位置信息满足一定相似度的基 础上，我们利用部分重构出的估计值 中具有最大可重构率的稀疏系数 的幅值信息，假设这一稀疏系数对应 （10) 当位置相似度 小于某一值 时，我们可以认为位置信息相似度太 低，目标信号不存在。本文中，我们 定义位置相似度门限为目标信号的最 大稀疏系数对应的可重构率与最小稀 疏系数对应的可重构率之和，即： （11) 我们可以得到： 的位置信息为 。 当假设H 1成立时，估计值 与对应的θ s 中的 中的 在数值大小 的统 ，对应的幅值信息为
获得估计值 后，我们就可以利 用提出的新的判定方法来完成检测任 务。具体的判定方法会在下面详细介 绍。
的线性投影为：
和相应的稀疏系数。根据部分重构的 思想我们可以通过采样值获得信号在 变换基 Ψs 上的稀疏系数估计值
y = Φx （1)
式中 ： Φ 满足约束等距性条件 （ Restricted Isometry Property ， RIP)
缩感知理论建立在 Candès ， Romberg 和Tao以及Donoho的工作上，他们提 出并证明一个在某一种基下可以稀疏 表示的信号可以通过一部分投影信息 重构出来。与传统的奈奎斯特采样定
图1 检测成功率随信噪比的变化曲线
图2 检测性能随测量点数的变化曲线
图3 迭代次数对检测性能的影响
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和一种新的检测判定方法。 本文内容安排如下。第二部分 介绍压缩感知基础理论。第三部分我 们提出并分析基于稀疏信号结构信息 的压缩检测方法。第四部分我们通过 仿真实验结果来验证提出方法的有效 性。最后，第五部分总结工作并为以 后的工作提出方向。
稀疏信号，我们考虑以下两种假设： （4) 式 中 ： s ∈ RN ， 且 稀 疏 度 为
在，为了最大可能地获得完整的原始 信号结构信息 ， m 值设为大于 1 的整 数。 (3)合并： Z = Ω ∪ sup(qt −1 ) 。 （4)估计：用最小二乘法求
k (k < N ) 。n 表示加性高斯白噪声 ，
图5 线性调频信号及加高斯白噪声后的信号
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仿真实验中，对 于图3所示的实验，我 们考虑了 SNR=-2dB 和 SNR=3dB的情况，测 量点数为 100 ； 对于图 4 所示的实验 ， 我们设置 SNR=10dB ， 测量点数 为 100 ， 检测时间定义 为 1000 次检测所用的时 间。从图3可以看出， 图6 所提算法与MP算法采样点数比较 追踪（CoSaMP)算法，判决方法也分 别采用文献 [4] 的门限判决方法和本 文提出的基于信号结构信息的判决方 法。令采样点数M=80，信噪比SNR的 变化范围为[-10,10]，步进为1。实验 结果如图1所示。 从图 1 可以看出 ， 本文提出的基 于结构信息的判决方法更具优势，同 时 ， 采用 CoSaMP 的部分重构算法比 采用 MP 的部分重构算法获得的结构 信息更可靠。下面我们研究测量点数 对检测性能的影响。在仿真实验中， 我们设迭代次数T=6，固定信噪比 SNR=-2dB，图2为仿真实验结果。 从图中可以看出，提出方法比 原有方法更有优势，即使采用原有的 部分重构算法，在判决部分采取本文 提出方法，检测性能也有所提升。另 外，从性能曲线的变化趋势，我们可 以看出检测性能随测量点数的增加变 得越来越好 ， 这是由于测量点数增 多，测量信号中包含的目标信号的结 构信息越丰富，部分重构得到的估计 信息更可靠。 然后，我们验证迭代次数对检测 成功率及检测时间的影响。实验结果 如图3和图4所示。 本文提出方法检测性能 很稳定 ， 迭代次数对检 测性能的影响很小 ， 这是由于采用 CoSaMP 的部分重构算法在迭代次数 很少的情况下就能获得足够的用于判 决的结构信息 ， 而采用 MP 的部分重 构算法需要迭代次数达到一定程度 时 ， 才能获得可靠的结构信息 。 另 外，从图4可以看出，采用CoSaMP部 分重构算法检测方法要比采用 MP 部 分重构算法的检测方法在时间上更有 优势，速度更快。综合图3和图4，我 们可以得出，本文提出方法在迭代次 数很小的情况下也能快速、可靠地检 测出目标信号的有无。 为了进一步验证算法的有效性， 下面针对应用于雷达系统中的线性调 频信号进行检测。在雷达系统中，线 性调频信号是一种非常重要的信号形 式，信号瞬时频带宽的特性虽然提高 了雷达系统的目标检测及识别能力， 却给信号采集及数据处理带来极大压 力 ， 如何使用较少的采集数据完成 检测是一个关键技术 [7]。 在这里 ， 我 们使用文献[12]中的四参量chirplet字 典来生成线性调频信号 。 设生成的 线性调频信号的信号长度为1024，相 对chirplet字典的稀疏系数满足正态分