解整数线性规划问题的并行直接搜索算法_于战科

n
∑ max cj yj j= 1
n
n
∑ ∑ s. t aij yj + bi +
ai j
[x
* j
] ≥ 0 i ∈
M
( 4)
j= 1
j= 1
yj ∈ { 0, 1} , j ∈ N 其中 [x*i ]表示小于或等于 x*i 的最大整数 ( i∈ N ) ,记
[x*LP ] = ( [x*1 ] , [x*2 ] ,… , [x*n ] ) T 如果问题 ( 2)有可行解 ,求出它的最优解 y* ,那么 y* + [x*LP ]就是一个很好的初始可行解 ; 如果问题 ( 2)
Abstract: A parel lel di rect search alg o rit hm f or solving i nt eg er linear prog rammi ng i s present ed in t his pa per. A g ood i nitia l feasible so luti on can be o btai ned, then l di recti ons are made by using GA. An o pti mal solutio n o r an approxi matio n soluti on can be obtained by one di mensi on sea rchi ng alo ng these di rectio ns. The algo ri thm can be easily appli ed t o so lv ing larg e scal e int eg er prog ramming pro bl em s. T he com puta tio n ex ampl e show s th e a lg o ri thm is ef fectiv e.
阶段则对某一重点区域进行局部搜索 ,能够有效改善算法的局部搜索能力 ,优化搜索性能。
2. 3 搜索步长的确定
在初始可行解 x = ( x 1 , x 2 ,… , xn ) T 处沿搜索方向 d= ( d1 , d2 ,… , dn ) T 搜索 ,由
gi ( x + λd ) ≥ 0 i = 1, 2,… , m
1 方法的描述
设整数线性规划问题的形式为
n
∑ max f ( x ) = cj xj j= 1
∑ s. t gi ( x ) =
aij 1)
x j ≥ 0,整数 , j ∈ N
收稿日期: 2003-03-01; 修回日期: 2003-03-31 作者简介: 于战科 ( 1980- ) ,男 , 硕士生 .
x + λd ≥ 0
( 6)
不难确定搜索的步长为:
λ= min
xj - dj
,
gi ( x ) - gi ( d )
dj < 0, gi ( d ) < 0, i ∈ M, j ∈ N
( 7)
2. 4 并行直接搜索
应用并行直接搜索算法求解整数线性规划问题 ( 1)的计算步骤: 步骤 1 求出问题 ( 1)的一个较好的初始可行解 x ,如果能判定为最优解 ,停 ,取 x* = x ; 否则转步骤 2; 步骤 2 用遗传算法求出搜索方向 d1 , d2 ,… , dl ; 步骤 3 根据式 ( 2)并行一维搜索 ,根据式 ( 3)确定最优解或近似最优解。
3 计算实例
本文用如下三个测试函数检验遗传算法的性能。 (C1 ) max Z= 3x 1+ x 2+ 3x3
s. t - x 1+ 2x 2+ x 3≤ 4 4x2 - 3x 3≤ 2 x 1 - 3x2+ 2x 3≤ 3
(C2 ) min x1+ x2+ x3+ x4+ x5+ x6+ x7 s. t x 1+ x 4+ x 5+ x 6+ x 7≥ 50 x 1+ x 2+ x 5+ x 6+ x 7≥ 50
其中 , gi ( x )是式 ( 1)中的约束函数。
( 3)适应度函数
遗传算法是依靠适应度来评优和引导搜索的。 为保证上升较快的方向有较大的适应度并使所有个体的
适应度为非负数 ,定义个体的适应度函数 F ( x )为:
m
∑ cTx +
fihi ( x )
cT x > 0
F(x) =
i= 1
( 5)
f ( x + λ* d* ) = max { f ( x + λk dk )|x + λk dk ∈ Ψ; k = 1, 2,… , l }
( 2)
取最优解或近似最优解为
x* = x + λ* d*
( 3)
显然 ,和直接搜索法 [ 4, 5]相比 ,由于式 ( 3)中的 x* 是经过并行搜索及取优得到的 ,能够较快地求出问题的
2. 2 并行直接搜索方向
遗传算法利用简单的编码技术和繁殖机制来表现复杂的现象 ,从而解决非常困难的问题 ,在最优化、机 器学习、人工智能和计算机应用等领域有广泛的应用 [6, 7 ]。 一般地 ,利用遗传算法生成 l 个搜索方向的步骤 为: ①随机生成 l 个 n 维向量 r1 , r2 ,… , rl (整数向量 ) ;②对 r1 , r2 ,… , rl 编码 ,生成初始种群 ; ③利用适应度函 数计算个体的适应度 ; ④选定遗传算子 ;⑤解码出 l 个搜索方向 d1 , d2 ,… , dl。
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军 事 通 信 技 术
2 00 3年
其中 , M= { 1, 2,… , m } , N= { 1, 2,… , n }。
设 x 是问题 ( 1)的初始可行解 ,Ψ是问题 ( 1)的可行域 ,如果能构造 l 个不同的搜索方向 d1, d2,… , dl ,并
行一维搜索:
0
其他
其中 ,hi ( x )为惩罚函数 ,m 为约束函数的个数 ,fi 为惩罚系数。 ( 4)遗传算子 设计遗传算子即要确定出选择运算、交叉运行、变异运算等遗传算子的具体操作方法。 选择运算可使用
比例选择算子 ,交叉运算可使用单点交叉或双点交叉算子 ,变异运算可使用非均匀变异算子。 非均匀变异可使得遗传算法在其初始运行阶段进行均匀随机搜索 ,维持群体的多样性 ; 而在其后期运行
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军 事 通 信 技 术
2 00 3年
x 1+ x 2+ x 3+ x 6+ x 7≥ 50 x 1+ x 2+ x 3+ x 4+ x 7≥ 50 x 1+ x 2+ x 3+ x 4+ x 5≥ 80 x 2+ x 3+ x 4+ x 5+ x 6≥ 90 x 3+ x 4+ x 5+ x 6+ x 7≥ 90 (C3 ) max 77x 1+ 6x 2+ 3x3+ 6x 4+ 33x 5+ 13x 6+ 110x7+ 21x 8+ 47x9 s. t 774x 1+ 76x2+ 22x 3+ 42x4+ 21x 5+ 760x6+ 818x 7+ 62x 8+ 785x9≤ 1000 67x 1+ 27x 2+ 794x 3+ 53x4+ 234x 5+ 32x6+ 792x 7+ 97x 8+ 435x9≤ 1200 算法 Mat lab编程予以实现。对每个测试函数 ,算法运行 50次 ,每个参数分量分配 3比特位编码 ,采用适 应度比例选择、单点交叉、非均匀变异策略 ,交叉概率为 0. 9,变异概率为 0. 01,惩罚系数均取 100。最大进化 代数限制为 2000次 ,认为在 2000次内达到指定精度即为成功进化。 对每个测试函数运行 50次 ,并在 Lindo 软件的计算结果作一比较 ,仿真结果见表 1。
A Parellel Direct Search Algorithm for Solving Integer Linear Programming
YU Zhan-ke1, N I Ming-f ang2 , C H EN J ian-wen3 ,
( 1. Postg raduate T ea m 3 ICE, P L AU S T, Na njing 210007, China; 2. Depa rtm ent o f Telecommunications. Enginee ring ICE, PL A U ST; 3. Gener al Staff M inist ry o f Communication, Beijing 100840, China )
摘 要: 文中提出一种求解整数线性规划问题并行直接搜索的算法。 算法能获取一 个较好的初始可行解 ,然
后用遗传算法构造 l 个搜索方向 ,沿着这些方向并行一维搜索 ,求 出问题的最优解或近似最优解。算法简单 ,容易操 作并能推广到求解大规模整数线性规划问题 。 计算实 例表明算法是有效的。
关键词: 整数线性规划 ; 线性规划 ; 并行搜索 ; 遗传 算法 中图分类号: O 221. 2 文献标识码: A 文章编号: 0032-1289( 2003) 03-0009-04
最优解或近似最优解。
2 方法的实施
下面给出并行直接搜索算法的细节描述 ,并作一些分析。
2. 1 初始可行解的选取
在整数线性规划问题 ( 1)中 ,放弃对变量 x 的整数性质的要求 ,所得到的线性规划问题称为问题 ( 1)的 松驰问题 ,设松驰的线性规划问题的最优解 x*LP= ( x*1 , x*2 ,… , x*n ) T ,在 x*LP附近可以选取一个好的初始可行 解 ,使其对应的目标函数值与最优值尽可能地接近 ,为此 ,考虑如下的关于 x*LP的 0- 1规划