概率论与数理统计读书笔记
概率论与数理统计 学习心得范文（3篇）
概率论与数理统计学习心得范文概率论与数理统计是一门理论基础课程，是大学数学系的重要组成部分。
通过学习概率论与数理统计，我收获了很多知识和经验。
首先，概率论与数理统计是一门关于随机事件和随机变量的学科。
在这门课中，我学习了诸如概率空间、样本空间、随机事件、概率、随机变量、概率分布等概念和理论。
通过学习这些基本概念，我对随机事件和随机变量有了更深入的理解。
我学会了如何用数学的方法描述和分析随机事件和随机变量的规律，掌握了概率论的基本原理和方法。
其次，概率论与数理统计还提供了一种全新的思维方式。
在学习过程中，我发现概率论与数理统计的方法论和思想方式与其他学科不同。
概率论与数理统计注重的是对随机现象的量化和分析，更加注重统计规律的描述和推断。
通过学习这门课程，我逐渐培养了用统计数据和模型进行科学推断的能力，提高了对事物变化的认识和把握，增强了分析问题和解决问题的能力。
再次，概率论与数理统计还提供了一种工具，用于解决实际问题。
概率论与数理统计是一门应用广泛的学科，在许多实际问题中都能找到应用。
通过学习概率论与数理统计，我了解了统计学的基本方法和思想，学会了如何通过样本数据对总体进行推断和估计。
这对我日后从事科学研究或实际工作将起到重要的指导和帮助作用。
最后，概率论与数理统计的学习也为我提供了一个重要的学术平台。
概率论与数理统计是一门基础课程，是后续学习和研究其他学科的先行课程。
通过学习概率论与数理统计，我开阔了眼界，扩大了知识面，为日后继续学习和探索打下了坚实的基础。
总之，概率论与数理统计是一门重要的学科，对于培养学生的定量思维能力和科学推理能力具有重要意义。
通过学习这门课程，我收获了丰富的知识和经验，提高了对随机现象的认识和把握，并培养了用统计数据和模型进行科学推断的能力。
这门课程不仅为我提供了学术支持和工具，还为我提供了一个重要的学术平台，为未来的发展打下了坚实的基础。
我相信，在日后的学习和工作中，概率论与数理统计的知识和方法将继续发挥重要的作用。
2024年哈工大概率论与数理统计学习心得(2篇)
2024年哈工大概率论与数理统计学习心得学完《概率论与数理统计》这门课程，了解掌握了一些相关的基础知识与方法，并对该学科有了更加深刻的认识，实在是获益匪浅。
本文围绕概率论发展、对本课程学习的一些想法、个人感悟与收获等方面对本课程学习过程中的一些心得体会进行了简单的总结。
一、概率论与数理统计发展简史概率是与人们的日常生产生活联系十分紧密的一门学科。
因此自人类文明发端以来，概率这个概念就已被人们有意无意地渗透到了日常生活中。
人们常说估计如何如何，这里的“估计”包含着概率的含义，只不过在大多数人那里“概率”没有形成独立的知识体系，人们只是根据生活经验对他进行简单地应用而已。
随着技术革____带来的科技的飞速发展，概率论才逐渐形成一套完备的知识体系。
数理统计是在概率论的基础上发展起来的，因此发展时间也稍微晚些。
顾名思义，概率论是一门研究事情发生的可能性大小的学问。
对概率论的研究始于意大利的文艺复兴的____中人们要求找到掷骰子决定胜负的规则。
随着18、____世纪科学的进步，游戏起源的概率论被应用到这些领域中，这也极大推动了概率论本身的发展。
后来，瑞士数学家伯努利建立了概率论中第一个极限定理，即伯努利大数定律，阐明了事件的频率稳定于它的概率。
这标志着概率论成为了数学的一个分支。
随后法国数学家棣莫弗和拉普拉斯又导出了中心极限定理的原始形式。
之后，拉普拉斯在系统总结前人工作的基础上写出了《分析的概率理论》，明确给出了概率的古典定义，并在概率论中引入了更有力的分析工具，将概率论推向一个新的发展阶段。
____世纪末，俄国数学家切比雪夫、马尔可夫、李亚普诺夫等人用分析方法建立了大数定律及中心极限定理的一般形式，科学地解释了____实际中遇到的许多随机变量近似服从正态分布。
____世纪初在物理学的刺激下，人们开始研究随机过程。
这方面柯尔莫哥洛夫、马尔可夫、辛钦、莱维及费勒等人作了杰出的贡献。
数理统计是伴随着概率论的发展而发展起来的一个数学分支，其发展大致可分为古典时期、近代时期和现代时期三个阶段。
概率论与数理统计第二章笔记
概率论与数理统计第二章笔记一、引言概率论与数理统计是数学中的一个重要分支，它研究的是随机现象的规律性和统计规律性。
在第二章中，我们将深入探讨随机变量及其分布，以及随机变量的数字特征。
二、随机变量及其分布1. 随机变量的定义及分类在概率论与数理统计中，随机变量是描述随机现象数值特征的变量。
根据随机变量可取的值的性质，可以分为离散随机变量和连续随机变量。
离散随机变量只取有限个或无限可数个值，而连续随机变量则可以取在一定范围内的任意一个值。
2. 随机变量的分布及特征随机变量的分布是描述其取值的概率规律。
对于离散随机变量，常见的分布包括二项分布、泊松分布等；对于连续随机变量，则有均匀分布、正态分布等。
通过对随机变量的分布进行分析，可以推导出其数字特征，如均值、方差等。
三、随机变量数字特征1. 随机变量数字特征的意义随机变量的数字特征是对其分布的定量描述，包括均值、方差、标准差等。
这些数字特征可以帮助我们更直观地理解随机变量的分布规律，从而作出合理的推断和决策。
2. 随机变量数字特征的计算对于离散随机变量，其均值、方差的计算可通过对其分布进行加权平均；对于连续随机变量，则需要进行积分计算。
这些计算方法在实际问题中起着重要作用，例如在风险评估、市场预测等方面的应用。
四、总结和回顾概率论与数理统计第二章主要介绍了随机变量及其分布，以及随机变量的数字特征。
通过对离散和连续随机变量的分类和分布进行深入讨论，我们对随机现象的规律性有了更清晰的认识。
通过数字特征的计算，我们可以更准确地描述和解释随机现象的规律，为实际问题的分析和决策提供了有力工具。
个人观点和理解在学习概率论与数理统计第二章的过程中，我深刻认识到随机变量和其分布对于随机现象的定量分析至关重要。
通过对数字特征的计算，我们可以更准确地描述和解释随机现象的规律，这对于我在日常生活和工作中的决策和分析将有着实质性的帮助。
结论概率论与数理统计第二章所介绍的内容为我们提供了深入了解随机现象规律性的基础，并且为日后的学习和实践奠定了坚实的基础。
《概率论与数理统计》读书感想
《概率论与数理统计》读书感想班级：学号：姓名：本学期我们开设了《概率论与数理统计》这门课程。
在正式学习这门课程之前，我对于它的了解仅限于高中时期所学习的简单的概率与统计相关的定义、概型以及运算。
在学习了这门课程之后，我对于将数学知识运用到实践中有了更加深刻的认识。
本门课程总共八章。
在第一章中，我在复习到的高中时期基础知识的基础上更加深入的学习了随机事件与概率相关知识，其中我感觉比较重要的就是条件概率与乘法公式、全概率公式和被贝努力公式以及事件的独立性和N重贝努利概型。
在第二章中，我理解了随即变量及其概率分布的概念、连续型随机变量及其概率密度的概念，了解了泊松定理的结论和应用条件并学会了用泊松分布近似的表示二项分布，还学会了均匀分布、指数分布、正太分布及其应用。
在第三章中，我们学习了二维随机变量及其分布，其中二位二维离散随机变量和二维连续型随机变量以及二维随机变量函数的分布是我感觉比较陌生的。
学起来也比较吃力。
第四章是随机变量的数字特征，其中数学期望、方差都是高中学过的，学起来比较简单，而协方差、相关系数和矩则是比较新的知识了。
第五章是大数定律和中心极限定理，都是新内容，这期间，我掌握了切比雪夫不等式的条件和结论、切比雪夫大数定律、贝努利大数定律以及辛钦大数定律成立的条件和结论，并能运用切比雪夫不等式进行简单的概率估计，另外还学习了独立同分布的中心极限定理以及棣莫弗—拉普拉斯定理的条件与结论。
第六章中，主要学习了数理统计的基本概念：总体、个体、简单随机样本、统计量的概念、样本均值、样本方差和样本矩。
第七章是参数估计的相关知识，重点是点估计、估计量以及估计值得相关概念还有矩估计法和极大似然估计法，另外，我还掌握了两个正态总体的均值差和方差比的置信区间。
在最后的第八章，我们主要学习了假设检验，我掌握了假设检验的基本概念，学会了对单正态总体参数的假设检验和对双正态总体均值方差的假设检验。
通过对本门课程的学习，我对概率论和数理统计有了更加深刻的了解，我相信这将对我以后的学习大有裨益。
《概率论与数理统计》学习笔记
《概率论与数理统计》（19）电子科技大学应用数学学院，徐全智吕恕主编。
2004版第6章数理统计的基本概念概率论与数理统计是两个紧密联系的姊妹学科，概率论是数理统计学的理论基础，而数理统计学则是概率论的重要应用.数理统计学是使用概率论和数学的方法，研究如何用有效的方式收集带有随机误差的数据，并在设定的模型下，对收集的数据进行分析，提取数据中的有用信息，形成统计结论，为决策提供依据. 这就不难理解，数理统计应用的广泛性，几乎渗透到人类活动的一切领域! 如：农业、生物和医学领域的“生物统计”，教育心理学领域的“教育统计”，管理领域的“计量经济”，金融领域的“保险统计”等等，这些统计方法的共同基础都是数理统计.数理统计学的内容十分丰富，概括起来可以分为两大类：其一是研究如何用有效的方式去收集随机数据，即抽样理论和试验设计；其二是研究如何有效地使用随机数据对所关心的问题做出合理的、尽可能精确和可靠的结论，即统计推断.本书主要介绍统计推断的基本内容和基本方法. 在这一章中先给出数理统计中一些必要的基本概念，然后给出正态总体抽样分布的一些重要结论.6.1总体、样本与统计量一、总体在数理统计中，我们将研究对象的全体称为总体或母体，而把组成总体的每个基本元素称为个体.二、样本样本是按一定的规定从总体中抽出的一部分个体" 这里的“按一定的规定”，是指为保证总体中的每一个个体有同等的被抽出的机会而采取的一些措施" 取得样本的过程，称为抽样.三、统计量6.2抽样分布统计量是我们对总体的分布规律或数字特征进行推断的基础. 由于统计量是随机变量，所以在使用统计量进行统计推断时必须要知道它的分布. 统计量的分布称为抽样分布.一、三个重要分布二、抽样分布定理6.3应用一、顺序统计量及其应用二、极值的分布及其应用。
概率论与数理统计学习心得标准（3篇）
概率论与数理统计学习心得标准概率论与数理统计是一门非常重要且广泛应用于各个学科领域的数学课程。
在学习过程中，我深刻体会到了概率论与数理统计的理论知识对于实际问题的解决以及决策的帮助是非常大的。
下面我将结合自己的学习经验，总结出概率论与数理统计学习的心得体会。
首先，概率论与数理统计的学习需要具备坚实的数学基础。
概率论与数理统计的内容涉及到概率、随机变量、概率分布、数理统计、估计与检验等多个方面的知识，这些内容的掌握需要对数学有一定的基础和思维能力。
在学习概率论与数理统计之前，我提前巩固了概率论、高等数学和线性代数等相关的数学知识，确保自己可以更好地理解和应用概率论与数理统计的知识。
其次，概率论与数理统计的学习需要注重理论与实践的结合。
概率论与数理统计的学习不仅仅是掌握理论知识，更需要通过实际问题的分析与解决来加深对概率论与数理统计的理解。
在学习过程中，我注重将理论知识与实际问题相结合，通过做习题和实际案例分析来巩固和应用所学知识。
通过实践，我深刻体会到了概率论与数理统计的实际应用价值，也提高了自己的问题分析和解决能力。
第三，概率论与数理统计的学习需要注重逻辑思维的训练。
在概率论与数理统计的学习过程中，逻辑思维是非常重要的。
概率论与数理统计的知识体系较为复杂，需要运用逻辑思维进行推理和证明。
在学习过程中，我注重培养自己的逻辑思维能力，通过大量的例题和练习题来提高自己的逻辑思维能力和解题能力。
同时，我也注重与同学之间的讨论和交流，通过互相分享想法和思路，进一步提高自己的逻辑思维和解题能力。
第四，概率论与数理统计的学习需要注重实践应用能力的培养。
概率论与数理统计的知识是为了解决实际问题而存在的，只有将所学的知识应用到实际中才能发挥其真正的价值。
在学习过程中，我注重通过实际案例的分析和解决来培养自己的实践应用能力。
我参与了一些数理统计建模和数据分析的项目，在实践中学习和应用概率论与数理统计的方法和技巧，进一步提高自己的实践应用能力。
《概率论与数理统计》笔记
《概率论与数理统计》笔记
概率论与数理统计是一门关注数学中模型与统计学之间关系的学科，它广泛应用于多
学科，如金融、制造业、社会研究、生物学等。
该学科通过训练统计学家，使他们能够正
确地估算、模拟、识别实际问题。
概率论的基本思维是发现或认识事件可能发生的概率。
它的概念源自古典概率论，尤
其是科学家蒙特马克的研究，利用统计抽样了解不完全知识的情况。
概率论用来描述不同
事件之间相互作用的关系和支配这些事件的规律。
概率论不仅涉及单个事件的概率，也包
括有关许多独立事件及其相关概率的多事件概率论。
数理统计主要用来收集、组织、分析数据，推断一般情况下的规律和趋势，其中使用
了广泛的数理方法。
它可以帮助人们做出有意义的结论，从而帮助他们把控不确定性的环境。
数理统计从双重意义上来看，既是一门理论学科，又是一门实践性学科，它融合了数学、统计学和计算机的优势，把这些优势应用于许多实际问题，如质量控制、流行病模型、社会研究等。
概率论与数理统计并不是一门独立的学科，它们是两个相互渗透和紧密相关的学科。
概率论提供了统计学家用来描述系统未来行为的模型，而数理统计则可以用来理解和控制
数据的变化和潜力。
这两门学科的知识和技术能够实现精确测量、预测和决策，进而实现
有效的事实分析。
概率论与数理统计笔记
第一章 概率论的基本概念随机试验：1.可以在相同的条件下重复进行2.每次试验的可能结果不止一个，并且能事先明确试验的所有可能结果3.进行一次试验之前不能确定哪个结果会出现样本空间：随机试验E 的所有可能结果组成的集合称为E 的样本空间，记为S 随机事件：试验E 的样本空间S 的子集，简称事件基本事件：由一个样本点（E 的每个结果）组成的单点集 频率：事件A 发生次数和试验次数的比值n A /n ，记作f n (A)概率：对事件A 赋予实数，P(A) 非负性，规范性，可列可加性性质i P(∅)=0.性质ii(有限可加性) 若A1,A2,…,An 是两两互不相容的事件，则有P(A 1⋃A 2⋃…⋃A n )=P (A 1)+P (A 2)+⋯+P(A n ).性质iii 设A,B 是两个事件，若A ⊂B,则有P(B-A)=P(B)-P(A);P(B)≥P(A). 性质iv 对于任一事件A,P(A)≤1.性质v(逆事件的概率) 对于任一事件A,有P(A )=1-P(A).性质vi(加法公式) 对于任意两事件 A,B 有P(A ⋃B)=P(A)+P(B)-P(AB). 古典概型：样本空间只包含有限个元素，每个基本事件可能性相同A 的对立事件A̅及其概率：也称逆事件 两个互不相容事件的和事件的概率：两事件不能同时发生，概率的有限可加性 概率的加法定理：P(A ⋃B )=P(A)+P(B)-P(AB)条件概率：在事件A 发生的条件下事件B 发生的P(B|A)=P(AB)P(A).概率的乘法公式：P(ABC)=P(C|AB)P(B|A)P(A) 全概率公式：P (A )=∑P (A |B i )n i=1P(B i ) B i 是试验E 的S 的划分，A 为E 的事件 贝叶斯公式：P (B i |A )=P(A|B i )P(B i )∑P(A|B j )P(B j )nj=1,i=1,2,…,n.事件的独立性：P(AB)=P(A)P(B)，互相独立与互不相容不能同时成立设n 个事件，如果对于其中任意2个，任意3个，…，任意n 个事件的积事件的概率都等于各事件概率之积，则称n 个事件相互独立实际推断原理：概率很小的事件在一次实验中实际上几乎是不发生的第二章 随机变量及其分布随机变量：设E 的样本空间S={e}，X=X(e)是定义在样本空间S 上的单值函数，称随机变量分布函数：X 是随机变量，x 是任意实数，F (x )=P {X ≤x },−∞<x <∞称为X 的分布函数任意实数x 1,x 2(x 1<x 2),有 P {x 1<X ≤x 2}=P {X ≤x 2}−P {X ≤x 1}=F (x 2)−F(x 1) 基本性质：不减函数，0≤F(x)≤1且F(-∞)=0,F(∞)=1离散型随机变量：全部可能取到的值是有限个或可列无限多个其分布律： P {X =x k }=p k ,k =1,2,… 连续性随机变量:F (x )=∫f(t)dt x−∞ 非负可积函数f (x )概率密度：f(x)性质：f (x )≥0;∫f (x )dx ∞−∞=1伯努利试验：试验E 只有两个可能结果：A 及A（0−1）分布： P {X =k }=p k (1−p)1−k ,k =0,1 (0<p <1) 记为X ～b(1,p) n 重伯努利试验：将伯努利试验E 独立重复地进行n 次，以C i 为A 或A ，i=1,2,…,n.独立：P (C 1C 2…C n )=P (C 1)P (C 2)…P(C n )二项分布：P {X =k }=(n k )p k (1−p)n−k ,k =0,1,2,…,n. 记为X ～b(n,p) 泊松分布：P {X =k }=λk e −λk!,k =0,1,2,…,λ是常数，记为X ～π(λ)指数分布：f (x )={1θe −xθ,x >00,otherwise,记为X ～η(θ)均匀分布：f (x )={1b−a ,a <x <b,0,otherwise.,记为X ～U(a,b)正态分布：f (x )=√2πσ−(x−μ)22σ2,-∞<x<∞，其中μ,σ（σ>0）是常数，记作X ～N （μ，σ2）标准正态分布：X ～N(0,1)，概率密度为φ(x)，分布函数为Φ(x) 引理：若X ～N(μ，σ2)，则Z =X−μσ~N(0,1)随机变量函数的分布：Y=g(X)，分布函数法（先求分布函数，再对分布函数求导）第三章 多维随机变量及其分布二维随机变量（X ，Y ）：设X=X(e),Y=Y(e)是定义在样本空间S 上的随机变量构成的向量 （X ，Y ）的分布函数：联合分布函数：F (x,y )=P {(X ≤x )∩(Y ≤y )}≝P{X ≤x,Y ≤y}边缘分布函数：F X (x )=P {X ≤x }=P {X ≤x,Y <∞}=F(x,∞),F Y (y )=F(∞,y) 离散型随机变量（X ，Y ）的分布律：P{X =x i ,Y =y j }=p ij ,i,j =1,2,… 联合分布律 连续型随机变量（X ，Y ）的概率密度：f(x,y) 联合概率密度1. f (x,y )≥02. ∫∫f(x,y)dxdy ∞−∞=F (∞,∞)=1∞−∞3. 设G 是xOy 平面上的区域，点(X,Y)落在G 内的概率为∬f(x,y)dxdyG . 4. 若f(x,y)在点(x,y)连续，则有∂2yF(x,y)∂x ∂y=f(x,y)离散型随机变量（X ，Y ）的边缘分布律：P {X =x i }=∑p ij ∞i=0,i =1,2,…, Y 一样 连续型随机变量（X ，Y ）的边缘概率密度：f X (x )=∫f(x,y)dy ∞−∞,Y 一样 条件分布函数：F X|Y (x |y )=P {X ≤x |Y =y }=∫f(x,y)f X (x)dy y −∞ 在Y=y 条件下X 的条件分布函数条件分布律：P {X =x i |Y =y i }=P{X=x i ,Y=y i }P{Y=y i }=p ij p .j,i =1,2,… 在Y=y j 条件下X 的条件分布律条件概率密度：f X|Y (x |y )=f(x,y)f Y (y)在Y=y 的条件下X 的条件概率密度两个随机变量X ，Y 的独立性：F (x,y )=F X (x)F Y (y)对二维正态随机变量变量(X,Y)，X 和Y 相互独立的充要条件是参数ρ=0 Z=X+Y 、Z=Y/X 、Z=XY 的概率密度：Z=X+Y:f X+Y (z )={∫f X (z −y)f Y (y)dy∞−∞∫f X (x)f Y (z −x)dx∞−∞ Z=Y/X:f Y X(z )=∫|x|f(x,xz)dx ∞−∞=∫|x|f X (x)f Y (xz)dx ∞−∞Z=XY:f XY (z )=∫1|x|f(x,z x)dx ∞−∞=∫1|x|f X (x)f Y (zx)dx ∞−∞M=max{X ，Y}，N=min{X ，Y}的概率密度：分布函数：F max (z)=P{M≤z}=P{X≤z,Y≤z}=P{X≤z}P{Y≤z}=F X (z)F Y (z).F min (z)=P{N≤z}=1-P(N>z)=1-P{X>z,Y>z}=1-P{X>z}∙P{Y>z}=1-[1-F X (z)][1-F Y (z)].第四章 随机变量的数字特征数学期望：E (X )=∑x k p k ∞k=1E (X )=∫xf(x)∞−∞dx (积分绝对收敛)随机变量函数的数学期望：Y=g(X)(g 是连续函数)E(Y)=E[g(X)]=∑g(x k )∞k=1p k E(Y)=E[g(X)]=∫g(x)f(x)dx ∞−∞E(Z)=E[g(X,Y)]=∑∑g(x i ,y j )p ij ∞i=1∞j=1E(Z)=E[g(X,Y)]=∫∫g(x,y)f(x,y)∞−∞dxdy ∞−∞数学期望的性质：1.设C 是常数，则有E(C)=C.2.设X 是一个随机变量，C 是常数，则有E(CX)=CE(X).3.设X,Y 是两个随机变量，则有E(X+Y)=E(X)+E(Y).(可推广到任意有限个随机变量之和)4.设X,Y 是相互独立的随机变量，则有E(XY)=E(X)+E(Y).(可推广到任意有限个相互独立随机变量之积)方差：D(X)=Var(X)=E{[X-E(X)]2}. 标准差：σ(x)=√D(X)方差的性质：1.设C 是常数，则D(C)=0.2.设X 是随机变量，C 是常数，则有D(CX)=C 2D(X),D(X+C)=D(X).3.设X,Y 是两个随机变量，则有D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2E{(X-E(X))(Y-E(X))}. 若X,Y 相互独立，则有D(X+Y)=D(X)+D(Y).4.D(X)=0的充要条件是X 以概率1取常数E(X)，即P{X=E(X)}=1. 标准化的随机变量：X ∗=X−μσ.(数学期望为0，方差为1)协方差：Cov(X,Y)=E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}. 相关系数：ρXY =√D(X)D(Y)相关系数的性质：1.|ρXY |≤1.2.|ρXY |=1的充要条件是，存在常数a,b 使P{Y=a+bX}=1. X ，Y 不相关：当ρXY =0时.切比雪夫不等式：设随机变量X 具有E(X)=μ,方差D(X)=σ2，则对任意正数ε，不等式 P{|X −μ|≥ε}≤σ2ε2成立几种重要分布的数学期望和方差：(推导)矩：k 阶原点矩：E(X k ),k=1,2,…k 阶中心矩：E([X-E(X)]k ),k=2,3,… k+l 阶混合矩：E(X k Y l ),k,l=1,2,…k+l 阶混合中心矩：E([X-E(X)]k [Y-E(Y)]l ),k,l=1,2,…协方差矩阵：C =(c ij )=(Cov(X i ,Y j ))=E{[X i -E(X i )][X j -E(X j )]},i,j=1,2,…,n.第五章 大数定律及中心极限定理依概率收敛：设Y 1,Y 2,…,Y n ,…是一个随机变量序列，a 是一个常数.若对于任意正数ε，有lim n→∞P {|Y n −a |<ε}=1,则称序列Y 1,Y 2,…,Y n ,…依概率收敛于a,记为Y n P→a.伯努利大数定理：P(A)=P,频率nA n(n 次重复独立试验),对∀ε>0,lim n→∞P {|n A n−P|<ε}=1.辛钦大数定理：已知R.V . X 1,X 2,…,X n ,…相互独立且E(X i )=μ.(i=1,2,…)则∀ε>0,lim n→∞P {|1n ∑X k −μn k=1|<ε}=1.独立同分布的中心极限定理：设R.V .序列：X 1,X 2,…,X n ,…相互独立，并且E(X k )=μ, D(X k )=σ2,k=1,2,…则k n k=1√nσ2̃N(0,1) 标准正态分布(高斯分布)近似计算 李雅普诺夫中心极限定理：棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理：设R.V. ηn ~B(n,p)，则对任意x 有{η−np √np (1−p )≤x}≈Φ(x) 二项分布(n→∞)→ 正态分布第六章 样本及抽样分布总体：试验的全部可能的观察值.简单随机样本：设X 是具有分布函数F 的随机变量，若X 1,X 2,…,X n 是具有同一分布函数F 的、相互独立的随机变量，则称X 1,X 2,…,X n 为从分布函数F 得到的容量为n 的简单随机样本,简称样本.统计量：不含未知参数的样本的函数g(X 1,X 2,…,X n ).样本平均值：X̅=1n∑X i ni=1 样本方差：S 2=1n −1∑(X i −X ̅)2n i=1=1n −1(∑X i 2ni=1−nX̅2) 样本k 阶原点矩：A k =1n∑X i k ni=1,k =1,2,…样本k 阶中心矩：B k =1n∑(X i −X̅)k ni=1,k =1,2,… χ2分布:χ2=X 12+X 22+⋯+X n 2,服从自由度为n 的χ2分布，记为χ2～χ2(n).χ2(n)分布的概率密度为f (y )={12n 2Γ(n 2)yn 2−1e −y 2,y >0 0, otℎerwiseGamma 函数：Γ(x )=∫e −t t x−1dt +∞0,(x >0)t 分布:设X ～N(0,1)，Y ～χ2(n),且X,Y 相互独立随机变量t=√n,服从自由度为n 的t 分布.记为t ～t(n).t(n)分布的概率密度函数为h (t )=Γ(n +12)√πnΓ(n 2)(1+t 2n )−n+12F 分布:设U ～χ2(n 1),V ～χ2(n 2)，且U,V 相互独立随机变量F=Un 1V n 2,服从自由度为(n 1,n 2)的F 分布，记为F ～F(n 1,n 2). 密度函数为ψ(y).密度函数图形轮廓：χ2分布,F 分布类似，t 分布对称上α分位点：χα2(n),t α(n),F α(n 1,n 2) F 1-α(n 1,n 2)=1Fα(n 1,n 2)：F 分布上分位点的重要性质，用来求表中未列出的常用上α分位点.关于样本均值、样本方差的重要结果1.设X 1,X 2,…,X n 是来自总体X(不管服从什么分布，只要它的均值和方差存在)的样本，且有E(X)=μ,D(X)=σ2n .2.设总体X～N(μ,σ2),X1,X2,…,X n是来自X的样本，则有);1)X̅~N(μ,σ2n~χ2(n−1);2)(n−1)S2σ23)X̅与S2相互独立;~t(n−1);4）X̅−μS√n3.对于两个正态总体X～N(μ1,σ12),Y～N(μ2，σ22),有定理四的重要结果.第七章 参数估计矩估计量：θ̂i =θi(A 1,A 2,…,A k ),i=1,2,…,k 作为θi 的估计量，A i 是样本矩. 最大似然估计量：θ̂(X 1,X 2,…,X n ),使L(x 1,x 2,…x n ;θ̂)=max θ∈ΘL(x 1,x 2,…,x n ;θ) 估计量的评选标准：无偏性:若估计量θ̂=θ̂(X 1,X 2,…,X n )的数学期望E(θ̂)存在，且对于任意θ∈~Θ有E(θ̂)=θ. 有效性：θ̂1=θ̂1(X 1,X 2,…,X n )与 θ̂2=θ̂2(X 1,X 2,…,X n )都是θ的无偏估计量，若对于任意θ∈Θ，有D(θ̂1)≤D(θ̂2)且至少对于某一个θ∈Θ上式中的不等号成立. 相合性：设θ̂(X 1,X 2,…,X n )为参数θ的估计量，若对与任意θ∈Θ，当n →∞时θ̂(X 1,X 2,…,X n )依概率收敛于θ.参数θ的置信水平为1-α的置信区间：θ的两个矩估计量θ=θ(X 1,X 2,…,X n )θ=θ(X 1,X 2,…,X n )给定的值α(0<α<1)有 P{θ<θ<θ}=1-α. 称(θ,θ)为置信水平为(1-α)的置信区间.枢轴量：一个样本和参数的函数W(X 1,X 2,…,X n ;θ),W 的分布不依赖于θ及其它未知参数. 参数θ的单侧置信上限和单侧置信下限P{θ>θ}≥1-α,即(θ,+∞)为θ的单侧置信区间，θ为单侧置信下限. P{θ<θ}≥1-α,即(θ,+∞)为θ的单侧置信区间，θ为单侧置信上限. 单个正态总体均值置信区间：若σ2已知,找U=X−μσ√n~N(0,1),得到μ的一个置信水平为1-α的置信区间为(X √nz α2)若σ2未知,E(S 2)=σ2,将σ换成S=√S 2找T=X−μS √n~t(n −1),得到μ的一个置信水平为1-α的置信区间为(X ±√nt α2(n −1))单个正态总体方差置信区间：σ2的无偏估计为S 2，(n −1)S 2σ2~χ2(n −1) P{χ1−α22(n −1)<(n −1)S 2σ2<χα22(n −1)}=1−α P {(n −1)S 2χα22(n −1)<σ2<(n −1)S 2χ1−α22(n −1)}=1−α 得到σ2的一个置信水平为1-α的置信区间为((n −1)S 2χα22(n −1),(n −1)S 2χ1−α22(n −1)) 单侧置信上限与单侧置信下限σ2已知，关于μ的单侧置信区间选U=X−μσ√n~N(0,1)单侧置信上限为μ=X √n α单侧置信下限为μ=X√nασ2未知，选T=X−μS√n~t(n−1)单侧置信上限为μ=X√nα(n−1)单侧置信下限为μ=X√nα(n−1)关于σ2，选(n−1)S 2σ2~χ2(n−1)单侧置信上限为σ2=(n−1)S 2χ1−α2(n−1)单侧置信下限为σ2=(n−1)S 2χα2(n−1)两个正态总体均值差、方差比的置信区间、单侧置信上限与单侧置信下限第八章 假设检验原假设：H 0:μ=μ0备择假设:H 1:μ≠μ0(原假设被拒绝后可供选择的假设) 检验统计量：Z =X−μ0σ√n单边检验：(右边检验)H 0:μ=μ0,H 1:μ>μ0(左边检验)H 0:μ=μ0,H 1:μ<μ0 双边检验：形如H 0:μ=μ0, H 1:μ≠μ0的检验显著性水平:关于x 与μ0有无差异的判断是在显著性水平α之下作出的. 拒绝域：区域C 中取某个值时拒绝原假设，如|z|>z α2.显著性检验：只对犯第I 类错误的概率加以控制，而不考虑犯第II 类错误的概率的检验. 一个正态总体的参数的检验:μ的检验σ2已知：利用统计量Z=X−μ0σ√n~N(0,1)确定拒绝域|Z|≥z α2σ2未知：|t|=|X−μ0S √n|～t(n-1)σ2的检验：χ2分布χ2=(n−1)S 2σ02~χ2(n −1)k 1=χ1−α22(n −1),k 2=χα22(n −1) 拒绝域为(n−1)S 2σ02≤k 1 或(n−1)S 2σ02≥k 2。
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目录第一章概率论的基本概念 (1)1 随机试验 (1)2.样本空间、随机事件 (1)3.频率和概率 (2)4．等可能概型（古典概型） (3)5.条件概率 (4)6.独立性 (5)第二章随机变量及其分布 (5)1. 随机变量 (5)2. 离散型随机变量及其分布律 (6)3.随机变量的分布函数 (7)4.连续型随机变量及其概率密度 (8)5.随机变量的函数分布 (9)第三章多维随机变量及其分布 (9)1.二维随机变量 (9)2.边缘分布 (11)3.条件分布 (11)4.相互独立的随机变量 (13)5.两个随机变量函数的分布 (13)第四章随机变量的数字特征 (14)1. 数学期望 (14)2. 方差 (16)3. 协方差及相关系数 (17)4.矩、协方差矩阵 (18)第五章大数定律和中心极限定理 (19)1. 大数定律 (19)2.中心极限定理 (20)第六章样本及抽样分布......................................... 错误!未定义书签。
第七章参数估计 .................................................... 错误!未定义书签。
第八章假设检验 .................................................... 错误!未定义书签。
第九章回归分析 .................................................... 错误!未定义书签。
参考文献 .................................................................. 错误!未定义书签。
第一章 概率论的基本概念1 随机试验1.对随机现象的观察、记录、试验统称为随机试验.2.随机试验E 的所有结果构成的集合称为E 的样本空间，记为{}S e =， 称S 中的元素e 为基本事件或样本点.3.可以在相同的条件下进行相同的实验；每次实验的可能结果不止一个，并且能事先明确试验的所有可能结果；进行一次试验之前不能确定哪一个结果会实现.2.样本空间、随机事件1.对于随机试验，尽管在每次试验之前不能预知试验结果，但试验的所有可能结果组成的集合是已知的.我们将随机试验E 的所有可能结果组成的集合称为E 的样本空间，记为S 样本空间的元素，即E 的每个结果称为样本点.2.一般我们称S 的子集A 为E 的随机事件A ，当且仅当A 所包含的一个样本点发生称事件A 发生.如果将S 亦视作事件，则每次试验S 总是发生，故又称S 为必然事件。
为方便起见，记φ为不可能事件，φ不包含任何样本点.3.若A B ⊂，则称事件B 包含事件A ，这指的是事件A 发生必导致事件的发生。
若A B ⊂且B A ⊂，即A B =，则称事件A 与事件B 相等.4.和事件{}A B x x A x A A B =∈∈或：与至少有一发生.5.当AB φ=时，称事件A 与B 不相容的，或互斥的.这指事件A 与事件B 不能同时发生.基本事件是两两互不相容的.,{,{,,A A S A A SA A AB AA AB ===∅=∅的逆事件记为若则称互逆，互斥.6.,A B A B A B AB 当且仅当同时发生时，事件发生.也记作. ,A B A B A B AB 当且仅当同时发生时，事件发生,也记作.7. 事件 A 的对立事件：设 A 表示事件 “A 出现”, 则“事件 A 不出现”称为事件 A 的对立事件或逆事件.事件间的运算规律：,,, A B C 设为事件则有,A B B A AB BA ==（１）交换律：()(),A B C A B C =（２）结合律：()()AB C A BC = ()()()A B C A C B C ACBC ==（３）分配律： ,de Morgan A B A B A B A B ==（４）律： 3.频率和概率1.记()A n n f A n= ()A n A f A A n --其中n 发生的次数（频数）；n 总试验次数.称为在这次试验中发生的频率.频率反映了事件A 发生的频繁程度. 2.频率的性质：10()12()1n n kkf A f S ≤≤=。
。
()n f A3.当重复试验次数n 逐渐增大时，频率 呈现出稳定性，逐渐稳定于某个常数.这种“频率稳定性”即通常所说的统计规律性.我们让试验重复大量次数，计算频率以它来表征事件A 发生可能性的大小是合适的.随n 的增大渐趋稳定，记稳定值为p . 的稳定值p 定义为A 的概率，记为()P A p =.4.概率定义：设E 是随机试验，S 是它的样本空间.对于E 的每一个事件A 赋予一个实数，记为()P A ，称为事件A 的概率.满足下列条件:(1) 非负性：对于每一个事件A ,有()0;P A ≥(2) 规范性：对于必然事件S ,有()1;P S =(3) 可列可加性：设12,,A A 是两两相互不相容的事件，即对于i j ≠，i j A A φ=，,1,2i j =，则有()()()1212P A A P A P A =++ ；5.概率定义推得的重要性质.（1）()0P φ=（2）有限可加性 若123A A A A n 是两两互不相容的事件 则有()()1212A A A ()()n n P P A P A P A =++（3）对于任一事件()P A ≤1（4）对于任一事件A 有 ()()1P A P A =-(5) ()()()()P A B P A P B P AB =+-4．等可能概型（古典概型）1.当试验的样本空间只含有有限个元素，并且试验中每个基本事件发()n f A ()n f A ()n f A ()n f A生的可能性相同，具有这样特点的试验是大量存在的，则称这种试验为等可能概型.它在概率论发展初期曾是主要的研究对象，所以也称为等可能概型.2. (){}()1A j k i j k A P P e n ====∑包含的基本事件数S 中基本事件的总数即是等可能概型中事件A 的概率的计算公式.5.条件概率1. 条件概率定义：设,A B 是两个事件,且()0P A >，称()()()P AB P B A P A = 为在A 事件发生条件下B 事件发生的条件概率.2.符合条件概率的三个条件，即：（1）非负性 对于每一事件B , 有 ()A 0P B ≥（2）规范性 对于必然事件S ，有 ()A 1P S =（3）可列可加性 设12B B 是两两互不相容的事件，则有()11i i i i P B A P B A ∞∞==⎛⎫= ⎪⎝⎭∑ 3. 乘法定理：设()A 0P >，则有 ()()()AB P P B A P A =推广: 一般设 12n A A A 为n 个事件，2n ≥，且()1210n P A A A ->有 121211122211()()()()()n n n n n P A A A P A A A A P A A A A P A A P A ---=⨯. 4.全概率公式：设试验E 的样本空间为S ，A 为E 的事件,12,,....,n B B B 为S 的一个划分，且()0(1,2,...,)i P B i n >=，则()()()()()()()1122n n P A P A B P B P A B P B P A B P B =+++5.贝叶斯公式：设试验E 的样本空间为S，A 为E 的事件,12,,....,n B B B 为S 的一个划分，且()0(1,2,...,)i P B i n >=，则()()()()()1i i i n j jj P A B P B P B A P A B P B ==∑6.独立性1.定义：设,A B 是两事件，如果满足等式()()()P AB P A P B =，则称事件,A B 相互独立，简称,A B 独立.若()0,()0P A P B >>,则,A B 相互独立与,A B 互不相容不能同时成立.2. 定理一：设,A B 是两事件，且()A P >0，若,A B 相互独立，则()P B A =()P B .反之亦然.3.定理二：若事件A 与B 相互独立则A 与B ，A 与B ，A 与B 也相互独立.4.推广定义：设,,A B C 是三个事件，如果满足等式()()()P AB P A P B =,()()()P BC P B P C =，()()()P AC P A P C =,()()()()P ABC P A P B P C =则称事件,,A B C 相互独立.5.第二章 随机变量及其分布1. 随机变量1.定义：设随机试验的样本空间{}{},S e X X e ==是定义在样本空()()()()()()()()()()(),,,,1A B A B A B A B P AB P A P B P AB P A AB P A P AB P A P B P A P B ⇔⇔⇔=⋅=-=-=-=⎡⎤⎣⎦相互独立相互独立相互独立相互独立当时间S 上的实值单值函数，称{}X X e =为随机变量.常见的两类随机变量{离散型连续型.2.本书中一般以大写字母如,,,,...X Y Z W 表示随机变量，而以小写字母,,,,...x y z w 表示实数.2. 离散型随机变量及其分布律1.定义：有些随机变量，它全部可能取到的不相同的值是有限个或可列无限多个，这种随机变量称为离散型随机变量.2.定义：取值可数的随机变量为离散量.X 一般地，设离散型随机变量所有可能取的值为(1,2,)kx k =⋅⋅⋅⋅ x 取各个可能值的概率论，即事件的概率为{},1,2,k k P X x p k ===⋅⋅⋅称为离散型随机变量X 的分布律。
k p 满足如下两个条件：（1）0k p ≥ （2）11k k p ∞==∑3.（0－1）分布设随机变量X 只可能取0与1两个值,它的分布律是，则称 X 服从（0－1）分布或两点分布.（0－1）分布的分布律也可写成4.设试验只有两个可能结果：A 及A , 则称E为伯努利试验．设)1,10(1,0,}{1=+<<===-q p p k q p k X P k k()(01)P A p p =<<，此时()1P A p =-,将E 独立重复地进行n 次，则称这一串重复的独立试验为n 重伯努利试验.k k n k n C p q -刚好是二项式()n p q +的展开式中出现k P 的那一项，故称随机变量X 服从参数,n p 的二项分布，记为~(,)X B n p .特别，当1n =时二项分布化为{}1,0,1k k P X k p q k -===，这就是（0-1）分布.5.泊松分布设随机变量X 所有可能取值为0,1,2…..而取各个值的概率为0λ>其中是常数， . 3.随机变量的分布函数1. 分布函数的定义设X 是一个连续随机变量，称()()()F x p X x x =≤-∞<<+∞为 X 的分布函数.X 是随机变量, x 是自变量.由定义，对任意实数 12x x <，随机点落在区间(]12,x x 的概率为：{}{}{}122121()()P x X x P X x P X x F x F x <<=≤-≤=-.2. 分布函数性质1212(1)0()1,(,)(2)()(),()()F x x F x F x x x ≤≤∈-∞∞≤<单调不减性 000(3)()lim ()0,()lim ()1(4)lim (),()x x x x F F x F F x F x x +→-∞→∞→-∞==∞===-∞<<∞即任一分布函数处处右连续.{}012k k n k n P X k C p q k n-===，，，，，{}！k k X P k λλ-==e ，，，， 210=k X λ则称服从参数为的泊松分布，~()X P λ记为3.公式4.连续型随机变量及其概率密度1.如果对于随机变量X 的分布函数()F x ，存在非负函数()f x ，使对任意实数x 有()()xF x f t dt -∞=⎰，则称X 为连续型随机变量，其中函数()f x 称为X 的概率密度函数简称概率密度。