《几种常见的几何体》随堂练习

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青岛版九年级数学下册第7章空间图形的初步认识单元课时同步练习习题合集(含答案解析)

7.1 几种常见的几何体1.半圆面绕它的直径旋转一周形成.2.一个正方体有个面.3.“枪挑一条线,棍扫一大片”这个现象说明: .4.根据几何体的特征,填写它们的名称.(1) :上下两个底面是大小相同的圆,侧面是由长方形围成的.(2) :6个面都是长方形.(3) :6个面都是正方形.(4) :上下底面是形状大小相同的多边形,侧面是长方形.(5) :下底面是圆,上方有一个顶点,侧面是由扇形围成的.(6) :下底面是多边形,上方有一个顶点.5.在小学里,我们曾学过圆柱的体积计算公式:V=πR2h(R是圆柱底面半径,h为圆柱的高).现有一个长方形,长为2cm,宽为1cm,分别以它的两边所在的直线为轴旋转一周,得到的几何体的体积分别是多少?它们之间有何关系?6.18世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数(V)、面数(F)、棱数(E)之间存在的一个有趣的关系式,被称为欧拉公式.请你观察如图所示的几种简单多面体模型,解答下列问题:(1)根据上面多面体模型,完成表格中的空格:你发现顶点数(V)、面数(F)、棱数(E)之间存在的关系式是. (2)一个多面体的面数与顶点数相等,有12条棱,这个多面体是面体参考答案1.【解析】半圆面绕它的直径旋转360度形成球.答案：球2.【解析】正方体有6个面.答案：63.【解析】“枪挑一条线,棍扫一大片”这个现象说明:点动成线,线动成面.答案：点动成线,线动成面4.【解析】由几何体的特征可知,几何体的名称依次为:(1)圆柱.(2)长方体.(3)正方体.(4)棱柱.(5)圆锥.(6)棱锥.5.【解析】(1)当以长方形的宽所在的直线为轴旋转时,如图①,得到的圆柱的底面半径为2cm,高为1cm.所以其体积V1=π×22×1=4π(cm3).(2)当以长方形的长所在的直线为轴旋转时,如图②,得到的圆柱的底面半径为1cm,高为2cm,所以其体积V2=π×12×2=2π(cm3).因此,得到的两个几何体的体积之间的关系为V1=2V2.6.【解析】(1)四面体的棱数为6;正八面体的顶点数为6;关系式为:V+F-E=2.(2)由题意得:V=F,所以F+F-12=2,解得F=7.7.2.1 直棱柱的侧面展开图1.下列几何体中，直棱柱的是。

简单几何体综合练习题

北航附中高二简单几何体综合练习 2011-9-16班级________ 姓名_________1. 点1O 为圆锥的高中靠近顶点的一个三等分点，过1O 与地面平行的截面面积是底面面积的（）A ．13B ．23C ．14D ．192. 圆柱的轴截面是边长为5cm 的正方形ABCD ，则圆柱侧面上从A 到C 的最短距离是（）A ．10cmB cmC ．cmD ． cm3. 若圆锥的轴截面是一个面积为2的正三角形，那么其内接球的半径是（）A ．4π cmB ．6 cmC cmD cm4. 已知半径为5的球的两个平行截面的周长非别为6π和8π，则两个平行截面间的距离是（）A ．1B ．2C ．1或7D ．2或65. 棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -的8个顶点都在球O 的表面上，E 、F 分别是棱1AA 、1DD 的中点，则直线EF 被球O 截得的线段长为（）A ．B ．1C ．1+ D6. 顶点在同一个球面上的正四棱柱1111ABCD A B C D -中，AB=1，1AA =，则A 、C 两点间的球面距离为（）A ．4πB ．2π C ．4 D ．2 7. 下列命题中真命题的个数是（） ① 正方形的平行投影一定是菱形 ② 平行四边形的平行投影一定是平行四边形 ③ 三角形的平行投影一定是三角形A ．0B ．1C ．2D ．48. 如果图形所在的平面不平行于投射线，那么下列说法正确的是（）A ．矩形的平行投影一定是矩形 B. 梯形的平行投影一定是梯形C ．正方形的平行投影一定是矩形 D. 正方形的平行投影一定是菱形9. 利用斜二测画法得到的① 三角形的直观图是三角形； ② 平行四边形的直观图是平行四边形； ③ 正方形的直观图是正方形； ④ 菱形的直观图是菱形；以上结论正确的是（）A ．①②B ．①C ．③④D ．①②③④10. 如图所示是水平放置的三角形ABC 的直观图， '''//A B y 轴，则△ABC 是（） A ．等边三角形 B ．等腰三角形 C ．直角三角形 D ．等腰直角三角形 11. 将一个边长为a 的正方体，切成27个全等的小正方体，则其表面积增加了（）A ．26aB ．212aC ．218aD ．224a12. 圆台的上、下底面半径和高的比为1:4:4，母线长为10，则圆台的侧面积为（）A ．81πB ．100πC ．14πD ．169π13. 把底面半径为8cm 的圆锥，放倒在平面内，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点S滚动，当这个圆锥在平面内转回到原位置时，圆锥本身滚动了2.5周，则圆锥的母线长为_____________，表面积等于___________.14. 一个正方体内接于一个球，过球心作一截面，如图所示，则截面的可能图形是______________① ② ③ ④15. 已知一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的全面积和侧面积的比是_______________ .16. 一个直角梯形的上、下底面和高的比值为1:2，求它旋转后的圆台的上底面积、下底面面积和侧面积的比为______________.17. 两个球的表面积之差为48π，它们的大圆周长之和为12π，则这两个球的半径之差为_______________ .18. 一个圆锥的主视图和左视图均为正三角形，其面积为S ，则圆锥侧面积为___________19. 棱长为a 的正四面体的外接球的半径为________，内切球的半径为_______.20. 一个正三棱锥的底面边长为6，那么这个三棱锥的体积是____21. 三棱柱111ABC A B C -中，若E 、F 分别为AB 、AC 的中点，平面11EB C F 将三棱柱分成体积为12V V 、的两部分，那么12V V :=___________22. 一个圆柱和一个圆锥的轴截面分别是边长为a 的正方形和正三角形，则圆柱和圆锥的表面积之比是__________23. 已知圆锥的底面半径为r ，高为h ，正方体1111ABCD A B C D -内接于圆锥，求这个正方体的棱长.。

人教版七年级上第四章几何图形初步点、线、面、体同步练习题含答案

11．线动成面
【分析】利用雨刷可看成线，扇面是面，即可求出答案．
【详解】汽车的雨刷在挡风玻璃上画出一个扇面，这说明线动成面的数学原理．
故答案为：线动成面．
【点睛】本题考查了点，线，面、体，此题较简单，解题时要灵活应用点、线、面、体之间的关系．
12．②
【分析】易得此几何体为两个底面相同且相连的圆锥的组合体，主视图是从几何体正面看到的图形．
8．由4个面围成；面与面相交形成6条线，直线有5条，曲线有1条．
【分析】由题意直接根据立体图形的基本知识结合图形进行分析即可得出答案．
【详解】解：由图可知，该几何体由4个面围成；
面与面相交形成6条线，直线有5条，曲线有1条．
【点睛】本题考查认识立体图形的知识，比较简单，注意基本知识的掌握．
9．见解析．
12．将图所示的Rt△ABC绕AB旋转一周所得的几何体的主视图是图中的________（只填序号）．
参考答案：
1．C
【分析】观察截面形状可发现，长方体内部的圆自上而下由大圆逐渐变成小圆、点，符合圆锥截面的性质．
【详解】解：观察截面形状可知，这个长方体的内部构造是长方体中间有一圆锥状空洞，
故选：C．
【点睛】本题考查了截一个几何体，解答的关键是熟悉常见的几何体的截面，由截面的形状想象复杂几何体的组成．
【详解】解：Rt△ABC绕斜边AB旋转一周所得的几何体是两个底面相等相连的圆锥，圆锥的主视图是等腰三角形，所以该几何体的左视图是两个底边相等的等腰三角形相连，并且上面的等腰三角形较大，故为图②．
故答案为②．
【点睛】本题考查了空间想象能力及几何体的三视图；发挥空间想象能力，确定旋转一周所得的几何体形状是关键．
【分析】根据生活中常见的几何体的特征进行求解即可得到答案．

七年级数学上册综合训练几何体的展开与折叠随堂测试新人教版(2021年整理)

2017-2018学年七年级数学上册综合训练几何体的展开与折叠随堂测试（新版）新人教版
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几何体的展开与折叠（随堂测试)
1.如图是正方体的一个表面展开图,若将它折叠成原来的正方体，则与
边c 重合的是边，与边l 重合的是边, 与边a 重合的是边．
g
f
l
a
2.小明用如图所示的硬纸片折成了一个正方体盒子,里面装了一瓶墨
水，只凭观察，选出墨水在哪个盒子中（）
A．B．C．D．
3.7 个棱长为 1 的正方体组成如图所示的几何体．
(1）画出该几何体的三视图；
（2)该几何体的体积是立方单位,表面积是平方
单位．
i
j k
e
d
c
b
m
n
【参考答案】1
．b，g，f 2．B
3. （1)略；（2）7，28。

2019-2020学年度初中九年级下册数学第7章空间图形的初步认识7.1几种常见的几何体青岛版课后练习八十一

2019-2020学年度初中九年级下册数学第7章空间图形的初步认识7.1几种常见的几何体青岛版课后练习八十一第1题【单选题】用一个平面去截一个长方体，截面不可能是( )A、梯形B、五边形C、六边形D、圆【答案】：【解析】：第2题【单选题】指出图中几何体截面的形状( )A、B、C、D、【答案】：【解析】：第3题【单选题】右图可以折叠成的几何体是( )A、三棱柱B、四棱柱C、圆柱D、圆锥【答案】：【解析】：第4题【单选题】用一个平面去截一个几何体，得到的截面是四边形，这个几何体可能是( )A、圆锥B、球体C、圆柱D、以上都有可能【答案】：【解析】：第5题【单选题】如图，用一平面竖直地去截放在桌面上的圆柱，下列结论正确的有( )个.① 截面呈正方形② AD∥BC，AB∥CD③ AB⊥BC，AD⊥AB ④ AD=BC，AB=CDA、一B、二C、三D、四【答案】：【解析】：第6题【单选题】如图，一个正方体截去一个角后，剩下的几何体面的个数和棱的条数分别为( )A、6，11B、7，11C、7，12D、6，12【答案】：【解析】：第7题【单选题】如图，图1是一个底面为正方形的直棱柱；现将图1切割成图2的几何体，则图2的俯视图是( )A、B、C、D、【答案】：【解析】：第8题【单选题】下列说法不正确的是( )A、球的截面一定是圆B、组成长方体的各个面中不可能有正方形C、从三个不同的方向看正方体，得到的都是正方形D、圆锥的截面可能是圆【答案】：【解析】：第9题【单选题】如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的侧面积是【】A、18cm^2B、20cm^2C、（18+2）cm^2D、（18+4）cm^2【答案】：【解析】：第10题【单选题】若干个正方体形状的积木摆成如图所示的塔形，平放于桌面上，上面正方体的下底四个顶点是下面相邻正方体的上底各边中点，最下面的正方体棱长为1，如果塔形露在外面的面积超过7，则正方体的个数至少是( )A、2B、3C、4D、5【答案】：【解析】：第11题【填空题】用一个平面去截圆锥，截面______是三角形（填“可能”或“不可能”）．【答案】：【解析】：第12题【填空题】用一个平面截长方体、五棱柱、圆柱和圆锥，不能截出三角形的是______A、圆柱【答案】：【解析】：第13题【解答题】如图，截一个正方体，可以得到三角形，但要得到一个最大的等边三角形，你会切吗？你能说出你的切法吗？【答案】：【解析】：第14题【解答题】如图所示的正方体被竖直截取了一部分，求被截取的那一部分的体积．（棱柱的体积等于底面积乘高）【答案】：【解析】：第15题【解答题】如图，在平整的地面上，有若干个完全相同的棱长为10cm的小正方体堆成一个几何体．（1）这个几何体由个小正方体组成．（2）如果在这个几何体的表面喷上黄色的漆，则在所有的小正方体中，有? 个正方体只有一个面是黄色，有? 个正方体只有两个面是黄色，有? 个正方体只有三个面是黄色．（3）这个几何体喷漆的面积为? cm^2 ．? 【答案】：【解析】：。

简单几何体的表面积和体积随堂练习(含答案)

基础巩固强化1.纸制的正方体的六个面根据其实际方位分别标记为上、下、东、南、西、北，现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开，外面朝上展平，得到如图所示的平面图形，则标“△”的面的方位是( )A ．南B ．北C ．西D ．下[答案] A[解析] 将所给图形还原为正方体，如图所示，最上面为上，最右面为东，则前面为△，可知“△”的实际方位为南．2．一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积为32π3，那么这个三棱柱的体积是( )A ．963B ．483C ．243D ．16 3 [答案] B[解析] 已知正三棱柱的高为球的直径，底面正三角形的内切圆是球的大圆．设底面正三角形的边长为a ，球的半径为R ，则a ＝23R ，又43πR 3＝32π3，∴R ＝2，a ＝43，于是V ＝34a 2·2R ＝48 3.3．(2012·新课标全国，7)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为( )A ．6B ．9C ．12D ．18[答案] B[解析] 由三视图知，该几何体是一个三棱锥，由俯视图知三棱锥的底面是等腰三角形，底边长为6，底边上的高为3，面积S ＝12×6×3＝9，由正视图和侧视图可知棱锥的高为3，∴体积V ＝13×9×3＝9.4．(文)若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( )A ．2B ．1 C.23 D.13[答案] B[解析] 由几何体的三视图可知，该几何体是直三棱柱，其直观图如图所示，其体积为V ＝12×2×1×2＝1.(理)(2011·潍坊二检)如图是一个长方体截去一个角后所得多面体的三视图，则该多面体的体积为( )A.1423B.2843C.2803D.1403[答案] B [解析]截去一角在正视图中位于左侧上部，在侧视图中位于右侧上部，结合俯视图可知，截去的一角应位于几何体的上部左前方，可画出多面体的形状如图．这个多面体是由长方体截去一个正三棱锥而得到的，所以所求多面体的体积V ＝V 长方体－V 正三棱锥＝4×4×6－13×(12×2×2)×2＝2843.5．(文)一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．2π＋2 3B ．4π＋2 3C ．2π＋233 D ．4π＋233[答案] C[解析] 由几何体的三视图可知，该几何体是由一个底面直径和高都是2的圆柱和一个底面边长为2，侧棱长为2的正四棱锥叠放而成．故该几何体的体积为V ＝π×12×2＋13×(2)2×3＝2π＋233，故选C.[点评] 由三视图想象几何体的形状时，一要注意常见柱、锥、台的三视图结构特征，二要注意方位，三要注意细节．本题中正视图与侧视图都不变，若俯视图中把外部的圆改为正方形，则几何体就是上部为正四棱锥，下部为正四棱柱的组合体．(理)(2011·湖南文，4)设下图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )A ．9π＋42B ．36π＋18 C.92π＋12 D.92π＋18[答案] D[解析] 由三视图可知，该几何体是一个球体和一个长方体的组合体．其中，V 球＝43π·(32)3＝9π2，V 长方体＝2×3×3＝18.所以V 总＝92π＋18.6.(2012·山西高考联合模拟)一个几何体是由若干个相同的正方体组成的，其正视图和侧视图如图所示，则这个几何体最多可由这样的正方体组成的个数为( )A ．12个B ．13个C ．14个D ．18个[答案] B[解析] 由正视图知该几何体有三列，左右两排都存在2层的情形，中间一排，只有一层，由侧视图知，该几何体有三行，前后两排都存在2层的情形，中间一排只有一层，因此此几何体最多可由13个小正方体组成，你能求出最少可由多少个小正方体构成吗？7．圆台的上、下底半径分别为2和4，母线长为4，则截得此圆台的圆锥侧面展开图的中心角为________．[答案] π[解析] 如图，设PD ＝x ，则24＝x x ＋4，∴x ＝4，∴θ＝48×2π＝π.8．一个底面半径为1，高为6的圆柱被一个平面截下一部分，如图(1)所示，截下部分的母线最大长度为2，最小长度为1，则截下部分的体积是________．[答案] 3π2[解析] 根据对称性把它补成如图(2)所示的圆柱，这个圆柱的高是3，体积是所求几何体体积的2倍，故所求的几何体的体积是12×π×12×3＝3π2.故填3π2.9．圆柱内切球的表面积为4π，则圆柱的表面积为________． [答案] 6π[解析] 设球半径为R (R >0)，则圆柱的底面半径为R ，高为2R ，由条件知，4πR 2＝4π，∴R ＝1.∴圆柱的表面积S ＝2π·R 2＋2πR ·2R ＝6πR 2＝6π.10．已知P 在矩形ABCD 的边DC 上，AB ＝2，BC ＝1，F 在AB 上且DF ⊥AP ，垂足为E ，将△ADP 沿AP 折起，使点D 位于D ′位置，连接D ′B 、D ′C 得四棱锥D ′－ABCP .(1)求证：D ′F ⊥AP ；(2)若PD ＝1，且平面D ′AP ⊥平面ABCP ，求四棱锥D ′－ABCP 的体积．[解析] (1)∵AP ⊥D ′E ，AP ⊥EF ，D ′E ∩EF ＝E ， ∴AP ⊥平面D ′EF ，∴AP ⊥D ′F .(2)∵PD ＝1，∴四边形ADPF 是边长为1的正方形， ∴D ′E ＝DE ＝EF ＝22，∵平面D ′AP ⊥平面ABCP ，D ′E ⊥AP ，∴D ′E ⊥平面ABCP ， ∵S 梯形ABCP ＝12×(1＋2)×1＝32，∴V D ′－ABCP ＝13×D ′E ×S 梯形ABCP ＝24.能力拓展提升11.如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2.动点E ，F 在棱A 1B 1上，点Q 是棱CD 的中点，动点P 在棱AD 上．若EF ＝1，DP ＝x ，A 1E ＝y (x ，y 大于零)，则三棱锥P －EFQ 的体积( )A ．与x ，y 都有关B ．与x ，y 都无关C ．与x 有关，与y 无关D ．与y 有关，与x 无关[答案] C[解析] 设P 到平面EFQ 的距离为h ，则V P －EFQ ＝13×S △EFQ ·h ，由于Q 为CD 的中点，∴点Q 到直线EF 的距离为定值2，又EF ＝1，∴S △EFQ 为定值，而P 点到平面EFQ 的距离，即P 点到平面A 1B 1CD 的距离，显然与x 有关与y 无关，故选C.12．(2011·陕西文，5)某几何体的三视图如图所示，则它的体积为( )A ．8－2π3B ．8－π3C ．8－2πD.2π3[答案] A[解析] 由三视图知，原几何体为如图所示一正方体挖去一个与正方体等高底面是正方形的内切圆的圆锥，则其体积为V ＝23－13π×12×2＝8－2π3.故选A. 13．(2011·东北三校)一个几何体的三视图及部分数据如图所示，侧视图为等腰三角形，俯视图为正方形，则这个几何体的体积等于( )A.13B.23C.156D.6224[答案] A[解析] 由三视图知，这是一个四棱锥，其底面为正方形，一条侧棱垂直于底面其长度为2，底面正方形对角线长为1，∴边长为22，体积V ＝13×(22)2×2＝13.14．(文)一等边圆柱(轴截面是正方形的圆柱)的表面积为24π，一圆锥与此圆柱一个底面重合，顶点在另一个底面上，则此圆锥的表面积为________．[答案] 4(5＋1)π[解析] 设圆柱底半径为R ，则2πR 2＋2πR ·2R ＝24π，∴R ＝2， ∴圆锥的底半径为R ＝2，高为4，母线长l ＝22＋42＝25，∴圆锥的表面积S ＝πR 2＋πRl ＝4π＋45π＝4(5＋1)π.(理)圆锥的高为4，侧面积为15π，其内切球的表面积为________．[答案] 9π[解析]设圆锥底面半径为r (r >0)，则母线长l ＝16＋r 2，由πrl ＝15π得r ·16＋r 2＝15，解之得r ＝3，∴l ＝5.设内切球半径为R ，作出圆锥的轴截面如图，则BD ＝BO 1＝3，PD ＝5－3＝2，PO ＝4－R ，∵OD ⊥PB ，∴R 2＋4＝(4－R )2，∴R ＝32， ∴球的表面积S ＝4πR 2＝9π.15．(文)(2011·安徽省淮南市模拟)如图是以正方形ABCD为底面的正四棱柱被一平面所截得的几何体，四边形EFGH为截面，且AB＝BC＝2，AE＝1，BF＝DH＝2，CG＝3.(1)证明：截面四边形EFGH是菱形；(2)求几何体C－EFGH的体积．[解析](1)证明：因为平面ABFE∥平面CDHG，且平面EFGH分别交平面ABFE、平面CDHG于直线EF、GH，所以EF∥GH.同理，FG∥EH.因此，四边形EFGH为平行四边形．因为BD⊥AC，而AC为EG在底面ABCD上的射影，所以EG⊥BD.因为BF綊DH，所以FH∥BD.因此，FH⊥EG.所以四边形EFGH是菱形．(2)解：连接CE、CF、CH、CA，则V C－EFGH＝V－V C－ABFE－V C－ADHE，其中V是几何体的体积，∵AE＝1，BF＝DH＝2，CG＝3且几何体是以正方形ABCD为底面的正四棱柱的一部分，所以该几何体的体积为V＝(2)2×2＝4，V C－ABFE＝13×S四边形ABFE×BC＝13×12(AE＋BF)×AB×BC＝16×(1＋2)×2×2＝1.同理，得V C－ADHE＝1，所以，V C－EFGH＝V－V C－ABFE－V C－ADHE＝4－1－1＝2，即几何体C－EFGH的体积为2.(理)(2011·江西文)如图在△ABC中，∠B＝π2，AB＝BC＝2，P为AB边上一动点，PD∥BC交AC于点D，现将△PDA沿PD翻折至△PDA ′，使平面PDA ′⊥平面PBCD .(1)当棱锥A ′－PBCD 的体积最大时，求P A 的长；(2)若点P 为AB 的中点，E 为A ′C 的中点，求证：A ′B ⊥DE .[解析] (1)令P A ＝x (0<x <2)，则A ′P ＝PD ＝x ，BP ＝2－x ，因为A ′P ⊥PD 且平面A ′PD ⊥平面PBCD ，故A ′P ⊥平面PBCD .所以V A ′－PBCD ＝13Sh ＝16(2－x )(2＋x )x ＝16(4x－x 3)．令f (x )＝16(4x －x 3)，由f ′(x )＝16(4－3x 2)＝0，得x ＝23 3.当x ∈(0，233)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增；当x ∈(233，2)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减．所以，当x ＝233时，f (x )取得最大值，即当V A ′－PBCD 最大时，P A ＝233.(2)设F 为A ′B 的中点，连接PF ，FE ，则有EF 綊12BC ，PD 綊12BC ，∴EF 綊PD ，∴四边形EFPD 为平行四边形，∴DE ∥PF .又A ′P ＝PB ，所以PF ⊥A ′B ，故DE ⊥A ′B .16．(2012·新课标全国文，19)如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱垂直于底面，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝12AA 1，D 是棱AA 1的中点．(1)证明：平面BDC 1⊥平面BDC ；(2)平面BDC 1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比．[分析] (1)证两个平面垂直，可转化为在其中一个平面内找到一条直线与另一个平面垂直；(2)平面BDC1分棱柱成两部分，下面部分B－ADC1C为四棱锥，可直接求体积，上面部分可用间接法求得体积，从而确定两部分体积之比．[解析](1)由题设知BC⊥CC1，BC⊥AC，CC1∩AC＝C，所以BC⊥平面ACC1A1.又DC1⊂平面ACC1A1，所以DC1⊥BC.由题设知∠A1DC1＝∠ADC＝45°，所以∠CDC1＝90°，即DC1⊥DC.又DC∩BC＝C，所以DC1⊥平面BDC.又DC1⊂平面BDC1，故平面BDC1⊥平面BDC.(2)设棱锥B－DACC1的体积为V1，AC＝1.由题意得，V1＝13×1＋22×1×1＝12.又三棱柱ABC－A1B1C1的体积V＝1，所以(V－V1) V1＝1 1.故平面BDC1分此棱柱所得两部分体积的比为1 1.[点评]本题考查线面的位置关系及几何体体积的求法．求解几何体的体积时，若遇不规则的几何体时，经常采用割补法和间接法求其体积．1．用单位正方体搭几何体，使它的正视图和俯视图如图所示，则符合条件的几何体体积的最小值与最大值分别是()A．9,13 B．7,16C．10,15 D．10,16[答案] D[解析]由俯视图知底层有七个小正方体，结合正视图知，最左边一列，最多都是三层，最少只有一行是三层，故左边一列最多9个、最少5个；中间一列最多都是二层有6个，最少只有一行二层，共4个；右边一列只一层一行，故最多9＋6＋1＝16个，最少5＋4＋1＝10个．2．一个几何体的三视图如图，该几何体的表面积为()A．280 B．292C．360 D．372[答案] C[解析]由三视图知该几何体是两个长方体的组合体，上面的长方体的表面积为(6×8)×2＋(8×2)×2＋6×2＝140.下面的长方体的表面积为(10×8)×2＋(10×2)×2＋(8×2)×2－6×2＝220.故表面积为140＋220＝360.选C.3．如图，已知在多面体ABC－DEFG中，AB、AC、AD两两互相垂直，平面ABC∥平面DEFG，平面BEF∥平面ADGC，AB＝AD ＝DG＝2，AC＝EF＝1，则该多面体的体积为()A．2B．4C．6D．8[答案] B[解析] 补成长方体ABMC －DEFN 并连接CF ，易知三棱锥F －BCM 与三棱锥C －FGN 的体积相等，故几何体体积等于长方体的体积4.故选B.[点评] 1.也可以用平面BCE 将此几何体分割为两部分，设平面BCE 与DG 的交点为H ，则ABC －DEH 为一个直三棱柱，由条件易证EH 綊FG 綊BC ，平面BEF ∥平面CHG ，且△BEF △CHG ，∴几何体BEF －CHG 是一个斜三棱柱，这两个三棱柱的底面都是直角边长为2和1的直角三角形，高都是2，∴体积为4.2．如图(2)，几何体ABC －DEFG 也可看作棱长为2的正方体中，取棱AN 、EK 的中点C 、F ，作平面BCGF 将正方体切割成两部分，易证这两部分形状相同，体积相等，∴V ABC －DEFG ＝12×23＝4.4．在一个倒置的正三棱锥容器内放入一个钢球，钢球恰与棱锥的四个面都接触，过棱锥的一条侧棱和高作截面，正确的截面图形是( )[答案] B[解析]球与正三棱锥底面的切点为底面正三角形的中心，故在截面图中，此切点将截面三角形的这一条边(底面正三角形的高)分为1 2两部分，截面过三棱锥的高和一条侧棱，故截面图中球大圆与侧棱外离且圆心在三角形的高(即棱锥的高)上，这条高应是顶点与底面中心的连线段，故选B.5．四棱锥P－ABCD的底面为正方形，侧面P AD为等边三角形，且侧面P AD⊥底面ABCD，点M在底面正方形ABCD内(含边界)运动，且满足MP＝MC，则点M在正方形ABCD内的轨迹一定是()[答案] B[解析]由满足条件MP＝MC，可知点M应在线段PC的所有中垂线构成的平面α内，又点M在正方形ABCD内，所以点M的轨迹平面α与平面ABCD的交线，则必为直线，故D不正确．又BP不等于BC，故A不正确．由题意知PD＝DC，所以D点在M的轨迹上．设E、F分别为AB、AD的中点，连接PF、EF，则PF⊥EF.设AB＝2，则PF＝3，EF＝2，所以PE＝ 5.在Rt△CBE中，BC＝2，BE＝1，则CE＝5＝EP，所以AB边中点E也在点M的轨迹上，则点M的轨迹为线段DE.6．(2012·吉林省实验中学模拟)一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图与侧视图均为半径是 1 的圆，则这个几何体的体积是( )A.4π3B ．π C.2π3D.π3[答案] B[解析] 由三视图知，该几何体是半径为1的球去掉了半球的一半，故几何体是34个球，体积V ＝34×(43π·13)＝π.7．(2012·河南六市联考)如图，已知四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥DC，∠ABC＝45°，DC＝1，AB＝2，P A⊥平面ABCD，P A＝1.(1)求证：AB∥平面PCD；(2)求证：BC⊥平面P AC；(3)若M是PC的中点，求三棱锥M－ACD的体积．[解析](1)由已知底面ABCD是直角梯形，AB∥DC，又AB⊄平面PCD，CD⊂平面PCD，∴AB∥平面PCD.(2)在直角梯形ABCD中，过C作CE⊥AB于点E，则四边形ADCE 为矩形，∴AE＝DC＝1又AB＝2，∴BE＝1，在Rt△BEC中，∠ABC＝45°，∴CE＝BE＝1，CB＝2，∴AD＝CE＝1，则AC＝AD2＋CD2＝2，AC2＋BC2＝AB2，∴BC⊥AC.又P A⊥平面ABCD，∴P A⊥BC，又P A∩AC＝A，∴BC⊥平面P AC.(2)∵M是PC中点，∴M到平面ADC的距离是P到平面ADC距离的一半．∴V M－ACD＝13S△ACD·(12P A)＝13×(12×1×1)×12＝112.。

从易到难分析立体几何常见题型及练习

立体几何常见类型题题型一、空间几何体三视图与直观图 (1)由实物图画三视图1.如图甲所示，在正方体1111D C B A ABCD -中，E 、F 分别是1AA 、11D C 的中点，G 是正方形11B BCC 的中心，则四边形AGFE 在该正方体的各个面上的投影可能是图乙中的_______________。

(2)三视图还原实物图2..某空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( ). A.223π+ B. 423π+ C. 2323π+D. 2343π+ (3)斜二测画法有关的计算问题（S S 42'=） 3.等腰梯形ABCD ，上底1=CD ，腰2==BC AD ，下底,3=AB 以下底所在直线为x 轴，则由斜二侧画法画出的直观图''''D C B A 的面积是 ________ 题型二、空间几何体的表面积与侧面积 (1)空间几何体的表面积与体积4.已知某几何体的俯视图如图所示的矩形，正视图（或称主视图）是一个底边长为8，高为4的等腰三角形，侧视图（或称左视图）是一个底边长为6,高为4的等腰三角形。

（1）画出几何体的直观图（2）求该几何体的侧面积S 。

（3）求该几何体的体积V ；(2)空间几何体展开图及面积计算5.已知圆锥的侧面展开图是右图所示的扇形，半径为1，圆心角为ο120，则圆锥的表面积和体积分别是多少？(3)割补法和等体积法求体积6.如图，正方体''''D C B A ABCD -的棱长为2，E 是AB 的中点，求:(1)三棱锥EC A B '-的体积V . (2)求B 点到平面EC A '的距离。

类型三.证明线面平行1.在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是1AA 的中点，求证： 1//A C 平面BDE 。

2.正方体1111ABCD A B C D -，O 是底ABCD 对角线的交点. 求证： C1O ∥面11AB D ；考点：法1：利用平行四边形法2：利用面面平行的性质类型四.证明面面平行1. 正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中．(1)求证：平面A 1BD ∥平面B 1D 1C ； (2)若E 、F 分别是AA 1，CC 1的中点，求证：平面EB 1D 1∥平面FBD ．2.在正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 、G分别是AB 、AD 、11C D 的中点.求证：平面1D EF ∥平面BDG .A ED 1CB 1DCBAD 1ODBAC 1B 1A 1C A 1AB 1C 1 CD 1D G EF类型五.证明线面垂直1. 正方体''''ABCD A B C D -中，求证：（1）''AC B D DB ⊥平面；（2）''BD ACB ⊥平面. （考点：线面垂直的判定定理）2. ,在正方体1111ABCD A B C D -中，M 为1CC 的中点，AC 交BD 于点O ，求证：1AO ⊥平面MBD ．考点：线面垂直的判定，运用勾股定理寻求线线垂直3. 已知ABC ∆中90ACB ∠=o ,SA ⊥面ABC ,AD SC ⊥, 求证：AD ⊥面SBC ．4. 四面体ABCD 中，,,AC BD E F =分别为,AD BC 的中点，且22EF AC =，90BDC ∠=o ，求证：BD ⊥平面ACD5. 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是060DAB ∠= 且边长为a 的菱形，侧面PAD 是等边三角形，且平面PAD 垂直于底面ABCD ． G 为AD 的中点，求证：BG ⊥平面PAD ；（考点：利用面面垂直性质定理）类型六.证明面面垂直1. 如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是1AA 的中点. 求证：平面1A AC ⊥平面BDE . （考点：面面垂直的判定）ABD CA ’D ’B ’C ’SDCBA2.如图，过S 引三条长度相等但不共面的线段SA 、SB 、SC ，且∠ASB=∠ASC=60°，∠BSC=90°，求证：平面ABC ⊥平面BSC ．考点：面面垂直的判定（证二面角是直二面角）类型七.证明线线垂直1. 在正方体ABCD-A ’B ’C ’D ’中，M 为DD ’的中点，O 为AC 的中点，AB=2 证明：B ’O ⊥AC 考点：法1：线面垂直→线线垂直法2：勾股定理法3：等腰三角形三线合一。