专题11 随堂训练
高中数学专题 微专题11 切线放缩
由题意，f′(x)＝1x－(x＋1)ex＋a≤0 在[1，＋∞)上恒成立， 从而 a≤(x＋1)ex－1x， 设 g(x)＝(x＋1)ex－1x(x≥1)， 则 g′(x)＝(x＋2)ex＋x12>0， 所以g(x)在[1，＋∞)上单调递增，故g(x)min＝g(1)＝2e－1，
因为a≤g(x)恒成立，所以a≤2e－1，
方法一 (切线放缩，利用ex≥x＋1)
对任意的x>0，f(x)≤xe2x 恒成立，
xe2x－ln x＋1
等价于 a≤
x
在(0，＋∞)上恒成立.
因为xe2x－(ln x＋1)＝e2x＋ln x－(ln x＋1)≥(2x＋ln x＋1)－(ln x＋1)＝2x，
xe2x－ln
所以
x
x＋1≥2xx＝2.
所以h′(x)>0⇔－2<x<－1，h′(x)<0⇔x>－1， 从而h(x)在(－2，－1)上单调递增，在(－1，＋∞)上单调递减， 故h(x)max＝h(－1)＝0，所以h(x)≤0， 故ln(x＋2)≤x＋1，当且仅当x＝－1时等号成立， 综上所述，有ln(x＋2)≤x＋1≤ex，且两个等号不能同时成立， 所以ln(x＋2)<ex， 故ex－ln(x＋2)>0， 因为当m≤2时，f(x)＝ex－ln(x＋m)≥ex－ln(x＋2)，所以f(x)>0.
即e2x0 ＝x10，2＝－lnx0x0， 所以 m(x)≥m(x0)＝e2x0－ln xx00＋1＝x10－lnx0x0－x10＝2，则有 a≤2，
所以实数a的取值范围为(－∞，2].
考点二 利用切线放缩证明不等式
典例2 已知函数f(x)＝ex－ln(x＋m). (1)设x＝0是f(x)的极值点，求m的值，并讨论f(x)的单调性；
专题11 利用X模型证明三角形全等(解析版)
1专题11 利用x 模型证明三角形全等知识对接考点一、一线三直角的应用(1)图形中已经存在“一线三直角”,直接应用模型解题;(2)图形中存在“一线两直角”,补上“一直角”构造此模型;(3)图形中只有直线上的一个直角,补上“两直角”构造此模型;(4)图形中只有一个直角,过该直角顶点补上“一线”,再补上“两直角”,构造此模型;(5)对于平面直角坐标系,在x 轴或y 轴(也可以是平行于x 轴或y 轴的直线)上构造“一线三直角”是解决问题的关键.专项训练一、单选题1．（2021·四川）如图，在正方形ABCD 中，点O 为对角线AC 的中点，过点O 作射线OG 、ON 分别交AB 、BC 于点E 、F ，且∠EOF ＝90°，BO 、EF 交于点P ．则下列结论中： （1）图形中全等的三角形只有两对；（2）正方形ABCD 的面积等于四边形OEBF 面积的4倍；（3）BE +BFOA ；（4）AE 2+CF 2＝2OP •OB ．正确的结论有（ ）个．A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【分析】由正方形的性质和已知条件得出图形中全等的三角形有四对，得出（1）错误；由AOE BOF △≌△，得出四边形OEBF 的面积ABO =△的面积14=正方形ABCD 的面积，得出（2）正确；由BOE COF ≌，得出BE CF =，得出BE BF AB +==，得出（3）正确；由AOE BOF △≌△得出AE BF =，进而2222222AE CF BE BF EF OF +=+==，再证明OPF △∠OFB △，得出2•OF OP OB =，得出（4）正确．【详解】解：（1）不正确；图形中全等的三角形有四对：ABC ADC ≅△△，AOB COB ≅，AOE BOF ≅△△，BOE COF ≅△△；理由如下：四边形ABCD 是正方形，AB BC CD DA ∴===，90BAD ABC BCD D ∠=∠=∠=∠=︒，45BAO BCO ∠=∠=︒， 在ABC 和ADC 中，AB AD BC DC AC AC =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()ABC ADC SSS ∴≅；点O 为对角线AC 的中点，OA OC ∴=，在AOB 和COB △中，OA OC AB CB OB OB =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()AOB COB SSS ∴≅；AB CB =，OA OC =，90ABC ∠=︒，90AOB ∠=︒∴，45OBC ∠=︒，又90EOF ∠=︒，AOE BOF ∴∠=∠，在AOE △和BOF 中，45OAE OBF OA OBAOE BOF ∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ()AOE BOF ASA ∴≅；同理：BOE COF ≅△△；（2）正确．理由如下：AOE BOF ≅，∴四边形OEBF 的面积ABO =△的面积14=正方形ABCD 的面积； （3）正确．理由如下：BOE COF ∆≅∆，BE CF ∴=，BE BF CF BF BC AB ∴+=+==；（4）正确．AE2+CF2＝BE2+BF2＝EF2OF）2＝2OF2，在∠OPF与∠OFB中，∠OBF＝∠OFP＝45°，∠POF＝∠FOB，∠∠OPF∠∠OFB，OP：OF＝OF：OB，OF2＝OP•OB，AE2+CF2＝2OP•OB．正确结论的个数有3个；故选：C．【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，以及勾股定理和相似三角形的判定和性质等．解题的关键是正确寻找全等三角形、相似三角形解决问题，属于中考常考题型．2．（2021·广东佛山市·九年级）下列命题正确的是（）A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形B．对角线相等的平行四边形是正方形C．16的平方根是4D．有两条边对应相等的两个直角三角形全等【答案】C【分析】对各选项依次进行判断分析，由此即可求解．【详解】选项A，一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，例如等腰梯形，故本选项错误；选项B，对角线相等的平行四边形是矩形，不一定是正方形，故本选项错误；选项C，16的平方根是±4，故本选项正确；选项D，有两条边对应相等的两个直角三角形不一定全等，例如，一个直角三角形的一条直角边与另一个直角三角形的一条直角边对应相等，另一条直角边与斜边对应相等，这两个直角三角形不全等，故本选项错误．故选C．【点睛】本题考查了平行四边形、矩形、正方形的判定、平方根及全等三角形的判定等知识，熟悉相关性质是解题的关键．33．如图，点C ，F ，B ，E 在同一直线上，∠C ＝∠DFE ＝90°，添加下列条件，仍不能判定∠ACB 与∠DFE 全等的是（ ）A ．∠A ＝∠D ，AB ＝DEB ．AC ＝DF ，CF ＝BE C ．AB ＝DE ，BC ＝EFD ．∠A ＝∠D ，∠ABC ＝∠E【答案】D【分析】根据全等三角形的判定方法判断即可．【详解】 解：A 、∠∠A ＝∠D ，AB ＝DE ，∠C ＝∠DFE ＝90°，根据AAS 判定∠ACB 与∠DFE 全等，不符合题意；B 、∠CF ＝BE ，可得，BC ＝EF ，AC ＝DF ，BC ＝EF ，∠C ＝∠DFE ＝90°，根据SAS 判定∠ACB 与∠DFE 全等，不符合题意；C 、∠AB ＝DE ，BC ＝EF ，∠C ＝∠DFE ＝90°，根据HL 判断Rt∠ACB 与Rt∠DFE 全等，不符合题意；D 、∠∠A ＝∠D ，∠ABC ＝∠E ，∠C ＝∠DFE ＝90°，由AAA 不能判定∠ACB 与∠DFE 全等，符合题意；故选：D ．【点睛】此题主要考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ．注意：AAA 、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．4．如图，以点O 为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA OB 、于点C D 、．分别以C D 、两点为圆心，CD 长为半径画弧，两段弧交于点P ，作射线OP ，连接PC PD 、，则POC △与POD 全等，其全等的判定依据是（ ）A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA【答案】A【分析】由画法得OC＝OD，PC＝PD，加上公共边OP，则可根据“SSS”可判定∠OCP∠∠ODP．【详解】解：由画法得OC＝OD，PC＝PD，又∠OP＝OP，∠∠OCP∠∠ODP（SSS），故选：A．【点睛】本题考查了基本作图：作已知角的角平分线，全等三角形的判定定理，熟练掌握“SSS”判定两个三角形全等，是解题的关键．5．（2021·河南师大附中九年级模拟预测）如图，直线m经过点B且平行于AC，点P为直线m上的一动点，连接PC，P A，随着点P在直线m上移动，则下列说法中一定正确的是（）A．ABC与PCA全等B．ABC与PCA的周长相等C．ABC与PCA的面积相等D．四边形ACBP是平行四边形【答案】C【分析】由全等三角形和平行四边形的判定，以及同底等高三角形的面积相等，可以得出正确的选项．【详解】解：选项A，因为点A，B，C是定点，而点P是直线m上的动点，所以ABC与PCA不一定全等，故A错误；选项B，ABC的周长是定值，而PCA的周长随着点P位置的变化而变化，所以B错误；选项C，由于ABC与PCA都可以看作是以AC为底边的三角形，且直线m平行于AC，可由平行线间的距离处处相等知道ABC与PCA属于同底等高的三角形，故二者面积相等，所以选项C正确；选项D，由于P是动点，点A，B，C，是定点，所以BP不总是等于AC，而平行四边形的对边应该相等，所以选项D错误．故选：C．【点睛】5本题是考查全等三角形和平行四边形的判定，以及同底等高三角形的面积相等的，属于中等难度的题目．6．（2021·内蒙古包头市·九年级）已知下列命题：∠若a b >，则ac bc >；∠若a a =，则0a >；∠内错角相等；∠周长相等的所有等腰直角三角形全等，其中真命题的个数是（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】A【分析】根据不等式的性质，绝对值的意义，平行线的判定和性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质判断即可．【详解】解：∠若a b >，0c >，则ac bc >；故∠错误；∠若a a =，则0a ≥；故∠错误；∠两直线平行，内错角相等；故∠错误；∠周长相等的所有等腰直角三角形全等，故∠正确；故选：A【点睛】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．7．（2021·山东）下列命题中，是真命题的是（ ）A ．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形B ．两边及其中一边的对角分别相等的两个三角形全等C ．两条直线被三条直线所截，内错角相等D ．对角线互相垂直的平行四边形是菱形【答案】D【分析】根据平行四边形的判定、全等三角形的判定方法、平行线的性质、菱形的判定分别判断即可．【详解】解：A 、一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，故为假命题； B 、两边及其中一边的对角分别相等满足SSA ，则两个三角形不一定全等，故为假命题； C 、两条平行线被三条直线所截，内错角相等，故为假命题；D 、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故为真命题；故选：D ．【点睛】本题考查的是命题的真假判断，掌握三角形全等的判定方法，垂径定理，平行四边形的判定，7平行线的性质是解题的关键．8．将一个边长为4的正方形ABCD 分割成如图所示的9部分，其中ABE △，BCF △，CDG ，DAH 全等，AEH △，BEF ，CFG △，DGH 也全等，中间小正方形EFGH 的面积与ABE △面积相等，且ABE △是以AB 为底的等腰三角形，则AEH △的面积为（ ）A ．2B ．169C ．32 D【答案】C【详解】解：如图，连结EG 并向两端延长分别交AB 、CD 于点M 、N ，连结HF ，∠四边形EFGH 为正方形，∠EG FH =，∠ABE △是以AB 为底的等腰三角形，∠AE BE =，则点E 在AB 的垂直平分线上，∠ABE △∠CDG ，∠CDG 为等腰三角形，∠CG DG =，则点G 在CD 的垂直平分线上，∠四边形ABCD 为正方形，∠AB 的垂直平分线与CD 的垂直平分线重合，∠MN 即为AB 或CD 的垂直平分线，则,EM AB GN CD ，EM GN ，∠正方形ABCD 的边长为4，即4AB CD AD BC ，∠4MN =，设EM GN x ，则42EG FH x ，∠正方形EFGH 的面积与ABE △面积相等，即2114(42)22x x ，解得：121,4x x ==，∠4x =不符合题意，故舍去，∠1x =，则S 正方形EFGH 14122==⨯⨯=ABE S ， ∠ABE △，BCF △，CDG ，DAH 全等，∠2====ABE BCF CDG DAH S S S S ，∠正方形ABCD 的面积4416=⨯=，AEH △，BEF ，CFG △，DGH 也全等， ∠1(4=AEH S S 正方形ABCD − S 正方形EFGH 134)(16242)42-=⨯--⨯=ABE S ， 故选：C ．【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的性质和等腰三角形的性质，解题的关键是求得ABE △的面积．9．（2021·广东汕头市·）下列命题正确是( )A ．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形B ．有两条边对应相等的两个直角三角形全等C ．垂直于圆的半径的直线是切线D ．对角线相等的平行四边形是矩形【答案】D【分析】根据平行四边形的判定、三角形全等的判定定理、圆的切线的判定、矩形的判定逐项判断即可．【详解】A 、一组对边平行，另一组对边相等的四边形可能是等腰梯形，此项错误B 、有两条边对应相等的两个直角三角形不一定全等，此项错误C 、垂直于圆的半径，且与圆只有一个交点的直线是切线，此项错误D 、对角线相等的平行四边形是矩形，此项正确故选：D ．【点睛】本题考查了平行四边形的判定、三角形全等的判定定理、圆的切线的判定、矩形的判定，熟记各判定方法是解题关键．10．（2021·全国）下列命题中，其逆命题是真命题的是（ ）A ．对顶角相等B ．两直线平行，同位角相等C ．全等三角形的对应角相等D ．正方形的四个角相等9【答案】B【分析】先写成各选项的逆命题，再根据对顶角的定义、平行线的判定、三角形全等的判定、正方形的判定逐项判断即可得．【详解】A 、逆命题：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角相等的两个角不一定是对顶角，则此逆命题是假命题B 、逆命题：同位角相等，两直线平行由平行线的判定可知，此逆命题是真命题C 、逆命题：如果两个三角形的对应角相等，则这两个三角形是全等三角形由三角形全等的判定定理可知，此逆命题是假命题D 、逆命题：如果一个四边形的四个角都相等，则这个四边形是正方形如果一个四边形的四个角都相等，则这个四边形是矩形，不一定是正方形，则此逆命题是假命题故选：B ．【点睛】本题考查了命题的逆命题、对顶角的定义、平行线的判定、三角形全等的判定、正方形的判定，正确写出各命题的逆命题是解题关键．二、填空题11．（2021·北京海淀·人大附中九年级模拟预测）如图，正方形ABCD 是由四个全等的直角三角形围成的，若5CF =，13AB =，则EF 的长为___．【答案】【分析】由全等三角形的性质可得AE ＝BG ＝CF ＝DH ＝5，AH ＝BE ＝CG ＝DF ＝12，∠DAB ＝90°，∠DAH ＝∠ABE ，可得EG ＝GF ＝FH ＝HF ＝7，∠ABE ＋∠BAE ＝90°，可证四边形EGFH 是正方形，即可求EF 的长．【详解】解：∠正方形ABCD 是由四个全等的三角形围成的，∠AE ＝BG ＝CF ＝DH ＝5，AH ＝BE ＝CG ＝DF ＝12，∠DAB ＝90°，∠DAH ＝∠ABE∠EG ＝GF ＝FH ＝HF ＝7，∠ABE ＋∠BAE ＝90°，∠四边形EGFH 是菱形，且∠AEB ＝90°∠四边形EGFH 是正方形∠EF EG ＝故答案为：【点睛】本题考查了正方形的判定和性质，全等三角形的性质，证明四边形EGFH 是正方形是本题的关键．12．（2021·浙江湖州市·）我国古代数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的三角形，如图所示，已知90,3,10A BD CF ∠=︒==，则OE 的长度是_________．【答案】2【分析】设正方形ADOF 的边长为x ，在直角三角形ACB 中，利用勾股定理可建立关于x 的方程，解方程即可，进而全等三角形的性质得出OE 的长．【详解】解：设正方形ADOF 的边长为x ，由题意得：BE =BD =3，CE =CF =10，∠BC =BE +CE =BD +CF =13，在Rt ∠ABC 中，AC 2+AB 2=BC 2，即（10+x ）2+（x +3）2=132，整理得，x 2+13x 30-=0，解得：x =2，或x =-15（舍去），即正方形ADOF 的边长是2，11∠DO =FO =2， ∠∠BOD ∠∠BOE ， ∠2OE OD ==． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的性质、一元二次方程的解法、勾股定理等知识；熟练掌握正方形的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键．13．（2021·黑龙江九年级）如图，∠ABC=∠DEF ，AB=DE ，要证明∠ABC∠∠DEF ，需要添加一个条件为_______（只添加一个条件即可）；【答案】∠A=∠D （或BC=EF 或∠ACB=∠F ）． 【分析】若添加条件∠A=∠D ，可利用ASA 定理证明∠ABC∠∠DEF ．若添加条件BC=EF ，则利用SAS 定理证明∠ABC∠∠DEF ．若添加条件∠ACB=∠F ，则利用AAS 定理证明∠ABC∠∠DEF ． 【详解】解：可添加条件∠A=∠D ， 理由：∠在∠ABC 和∠DEF 中，A D AB DE B DEF ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝∠∠ABC∠∠DEF （ASA ）； 可添加条件BC=EF ，理由：∠在∠ABC 和∠DEF 中，AB DE B DEF BC EF ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝∠∠ABC∠∠DEF （SAS ）； 可添加条件∠ACB=∠F ， 理由：∠在∠ABC 和∠DEF 中，B DEF AB DE ⎪∠∠⎨⎪⎩＝，＝∠∠ABC∠∠DEF （AAS ）；故答案为∠A=∠D （或BC=EF 或∠ACB=∠F ）． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．14．（2021·江苏九年级）如图1，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．在此图形中连接四条线段得到如图2的图案，记阴影部分的面积为1S ，空白部分的面积为2S ，大正方形的边长为m ，小正方形的边长为n ，若12S S ，则nm的值为______．【分析】如图（见解析），设AB CD a ==，先根据直角三角形的面积公式、正方形的面积公式求出12,S S 的值，再根据12S S 建立等式，然后根据212S S m 建立等式求出a 的值，最后代入求解即可． 【详解】如图，由题意得：AC m =，BD n =，AB CD =，ABC 是直角三角形，且,m n 均为正数 则大正方形的面积为22AC m 小正方形的面积为22BD n 设(0)AB CD a a ==> 则222114422RtABDS S n AB BD n an n2214422ACDS SCD AB a 12S S13又212S S m ，即222S m224a m解得2m a =或2ma （不符题意，舍去） 将2ma =代入2222an n a 得：222m mn n 两边同除以22m 得：222()1n n m m 令0n x m则2221x x 解得x =3102x （不符题意，舍去）即n m【点睛】本题考查了一元二次方程与几何图形、勾股定理、三角形全等的性质等知识点，理解题意，正确求出12,S S 的值是解题关键．15．（2021·邹城市看庄中学九年级一模）如图，在ABC 中，点A 的坐标为()1,1-，点B 的坐标为()3,1，点C 的坐标为()2,3-，如果要使以A ，B ，D 为顶点的三角形与ABC 全等（点D 不与点C 重合），那么点D 的坐标是______．【答案】()2,1--或()4,3或()41-, 【分析】根据题意画出图形，根据A 、B 、C 的坐标和全等三角形的性质即可得出答案． 【详解】 解：如图所示：∠点A 的坐标为()1,1-，点B 的坐标为()3,1，点C 的坐标为()2,3-， ∠D 1的坐标是（-2，-1），D 2的坐标是（4，-1），D 3的坐标是（4，3）， 故答案为：()2,1--或()4,3或()41-,． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，解题的关键是正确画出图形，此题难度不大． 三、解答题16．（2021·黑龙江九年级）已知：在∠ABC 和∠DBE 中，AB ＝DB ，BC ＝BE ，其中∠ABD ＝∠CBE ．（1）如图1，求证：AC ＝DE ；（2）如图2，AB ＝BC ，AC 分别交DE ，BD 于点F ，G ，BC 交DE 于点H ，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中的四对全等三角形．【答案】（1）见解析；（2）∠ABC∠∠DBE；∠ABG∠∠EBH；∠DBH∠∠CBG；∠DFG∠∠CFH 【分析】（1）根据SAS证明∠ABC与∠DBE全等，利用全等三角形的性质解答即可．（2）根据全等三角形的判定解答即可．【详解】证明：（1）∠∠ABD=∠CBE，∠∠ABD+∠DBC=∠CBE+∠DBC，即∠ABC=∠DBE，在∠ABC与∠DBE中，AB DBABC DBE BC BE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠∠ABC∠∠DBE（SAS），∠AC=DE；（2）由（1）得∠ABC∠∠DBE，∠∠A=∠D，∠C=∠E，AB=DB，BC=BE，∠AB=BE，∠AB=BC，∠∠A=∠C，∠∠A=∠E，在∠ABG与∠EBH中，A EAB BEABD EBC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∠∠ABG∠∠EBH（ASA），∠BG=BH，在∠DBH与∠CBG中，BG BHDBH CBG DB CB=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∠∠DBH∠∠CBG（SAS），15∠∠D=∠C，∠DB=CB，BG=BH，∠DG=CF，在∠DFG与∠CFH中，DFG CFHD CDG CF∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠∠DFG∠∠CFH（AAS）．【点睛】此题考查了及全等三角形的判定与性质，灵活掌握全等三角形的判定定理正确推理论证是关键．17．（2021·福建厦门双十中学思明分校九年级二模）如图，点E为正方形ABCD边BC上一点，∠O是∠ABE的外接圆，与AD交于点F．（1）尺规作图，在CD上求作点G，使∠ABE～∠FDG；（保留作图痕迹）（2）在（1）的条件下∠证明：直线FG与∠O相切∠若AB＝4，DG＝1，求半径OA的长．【答案】（1）作∠DFG=∠BAE，图形见详解（2）∠证明见详解，【分析】（1）利用尺规作图作∠DFG=∠BAE，即可得到∠ABE～∠FDG；（2）∠连结OF，由半径OA=OF，可得∠OAF=∠OF A，根据四边形ABCD为正方形，可得∠BAF=90°，可得∠BAE+∠OF A=90°，由作法可得∠BAE=∠DFG可得∠DFG+∠OF A=90°，可求∠OFG=90°即可．∠连结EF，由AE为直径，可得∠AFE＝90°，可证四边形ABEF为矩形，可得AF=BE，设BE为x，由∠ABE～∠FDG，可列方程44-1xx=，解得=2x，在Rt∠ABE中，由勾股定理AE==【详解】解：（1）在AE上以点A为圆心，以任意长为半径画圆，交AE于H，交AB于K，再以点F为圆心，以同样长为半径画弧，交FD于I，再以点I为圆心，以KH为半径画弧，交前弧于L，过点L作射线FL交CD与G，则∠DFG=∠BAE，又∠四边形ABCD为正方形，∠∠ABE=∠FDG=90°，∠∠ABE～∠FDG；（2）∠连结OF，∠OA=OF，∠∠OAF=∠OF A，根据四边形ABCD为正方形，∠∠BAF=90°，∠∠BAE+∠EAF=90°，∠∠BAE+∠OF A=90°，由作法可得∠BAE=∠DFG，∠∠DFG+∠OF A=90°，∠∠OFG=180°-∠OF A-∠DFG=180°-（∠OF A+∠DFG）=90°，根据切线定义可得FG为∠O的切线．17∠AE为直径，∠∠AFE＝90°又∠∠ABE=∠BAF=90°∠∠ABE=∠BAF=∠AFE=90°，∠四边形ABEF为矩形，∠AF=BE设BE为x∠FD=AD-AF=AD-BE=4-x,∠∠ABE～∠FDG，∠AB BEFD DG=即44-1xx=解得=2x经检验=2x是方程的解，在Rt∠ABE中，由勾股定理AE=∠OA=12AE【点睛】本题考查尺规作图作一个角等于已知角构造相似三角形，圆的切线判定，掌握尺规作图作一个角等于已知角构造相似三角形方法，圆的切线判定由切点连半径证垂直是解题关键．18．（2021·陕西西安·交大附中分校九年级）如图，已知∠ABC是等腰三角形，顶角∠A＝108°．在BC边上求作一点D，使AD＝CD（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明）【答案】见解析19根据垂直平分线的作图步骤，首先以点A 为圆心大于线段AC 一半的长度画弧，再以点C 为圆心，以相同长度为半径画弧，两弧相交于两点，连接两点即可得出答案． 【详解】解：如图所示：点D 即为所求．【点睛】本题考查的是垂直平分线，熟练掌握垂直平分线的作图方法以及步骤是解决本题的关键． 19．（2021·福建九年级）如图，ABC 中，90BAC ∠=︒，AD ∠BC ，垂足为D ． 求作：∠ABC 的平分线，分别交AD ，AC 于P ，Q 两点，并证明APQ 是等腰三角形． (要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)【答案】见解析 【分析】以B 为圆心，任意长度为半径作弧，交,AB BD 于两点，分别以这两点为圆心，分别在∠ABC 的内部作弧交于一点，过B 与角的内部的这点作射线，交AD ，AC 于点P ，Q ，射线BQ 即为所求；先根据垂直的定义得出90CDA BAC ∠=∠=o ，故90C DAC ∠+∠=o 再根据余角的定义得出90BAP DAC ∠+∠=o ，根据角平分线的性质得出CBQ ABP ∠=∠，进而可得APQ AQP ∠=∠，即可证明． 【详解】如图所示，射线BQ 就是所求作的；证明：∠90BAC ∠=︒，AD ∠BC ， ∠90CDA BAC ∠=∠=o ∠90C DAC ∠+∠=o ，90∠+∠=oBAP DAC∠C BAP∠=∠，∠BQ平分∠ABC，∠CBQ ABP∠=∠，∠APQ ABP BAP∠=∠+∠，∠=∠+∠AQP C CBQ∠=∠，∠APQ AQP=，∠AP AQ∠APQ是等腰三角形．【点睛】本题考查了基本作图，作角平分线，三角形外角性质，等腰三角形的判定，熟练掌握基本以上知识是解题的关键．20．（2021·浙江九年级）如图，在4×4方格纸中，∠ABC的三个顶点都在格点上请按要求完成作图，仅用无刻度直尺．画出一个与∠ABC全等的且有公共边的格点三角形，并给出证明．【答案】见解析【分析】作点A关于BC的对称点D，连接CD，BD，即可．【详解】如图所示，21理由如下：∠点D 与点A 关于直线BC 对称， ∠AC =DC ，AB =DB ， 又∠BC =BC ， ∠ABC DBC △≌△． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定定理，掌握“SSS ”证明全等三角形，是解题的关键． 21．（2021·河北石家庄·九年级）如图，在边长为6的正方形ABCD 中，点M 为对角线BD 上任意一点（可与B ，D 重合），连接AM ，将线段AM 绕点A 逆时针旋转90︒得到线段AN ，连接MN ，DN ，设BM x =．（1）求证：ABM ADN ≅； （2）当x MN 的长；（3）嘉淇同学在完成（1）后有个想法：“ABM 与MND 也会存在全等的情况”，请判断嘉淇的想法是否正确，若正确，请直接写出ABM 与MND 全等时x 的值；若不正确，请说明理由．【答案】（1）见解析；（2）MN =（3）正确；x = 【分析】（1）由旋转可知∠MAN =90°，然后得到BAM DAN ∠=∠，进而用SAS 证明ABM ADN ≅； （2）根据正方形的性质得到45ADB ∠=︒，由（1）中ABM ADN ≅可得到ABM ADN ∠=∠，然后得到∠MDN =90°，则∠MDN 为直角三角形，然后利用勾股定理计算MN 的长度即可； （3）由（2）可知∠MDN 为直角三角形，∠MDN =90°，所以要使得ABM 与MND 存在全等的情况，即AM ∠BD 时，此时结合（1）和（2）易证得ABM ∠NMD △，此时BM =12BD ． 【详解】（1）证明：∠90BAD MAN ∠=∠=︒， ∠BAM DAN ∠=∠， 在ABM 和AND △中， AB AD BAM DAN AM AN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∠ABM ADN ≅．（2）∠BD 是正方形ABCD 的对角线，且6AB =，∠BD =45ADB ∠=︒，∠MD BD BM =-== 由ABM AND ≅△△得：ND BM ==45ADN ABM ∠=∠=︒，∠454590MDN ADB ADN ∠=∠+∠=︒+︒=︒， ∠在Rt MDN 中，MN ==（3）正确； ∠ABM ADN ≅， ∠BM =ND ，由（2）可得∠MDN =90°， 当AM ∠BD 时，∠四边形ABCD 是正方形， ∠BM =AM =DM ， ∠BM =DM = ND =AM ，在ABM 和NMD △中BM ND AMB NDM AM MD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∠ABM ∠NMD △（SAS ） ∠BM =12BDx =故嘉淇的想法正确，此时x =23【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，结合勾股定理和正方形的性质，得到对应的边角数量关系是解题的关键．22．（2021·青岛市崂山区第三中学九年级）在四边形ABCD 中，,B C D E ∠=∠=∠是AB 边上一点，6,8.EB cm BC cm ==点P 从B 出发以2/cm 秒的速度沿线段BC CD 、运动，同时点Q从C 出发，沿线段CD 、射线DA 运动，当P 运动到D ，两点都停止运动．设运动时间为t （秒）：（1）当Q 与P 的速度相同，且1t =时，求证：EBP PCQ ∆≅∆（2）当Q 与P 的速度不同，且P Q 、分别在()BC CD CD EB >、上运动时（如图1），若EBP ∆与PCQ ∆全等，求此时Q 的速度和t 值；（3）当P 运动到CD 上，Q 运动到射线DA 上（如图2），若Q 的速度为2.5/cm 秒，是否存在恰当的边CD 的长，使在运动过程中某一时刻刚好BCP ∆与PDQ ∆全等，若存在，请求出此时t 的值和边CD 的长；若不存在，请说明理由．【答案】（1）见解析；（2）Q 的速度为3，t 的值为2；（3）CD 的长为321633或时，163t =两三角形全等 【分析】（1）根据SAS 即可证明∠EBP∠∠PCQ ．（2）正确寻找全等三角形的对应边，根据路程，速度，时间的关系即可解决问题． （3）分两种情形分别构建方程组即可解决问题． 【详解】（1）由题意：BP=CQ=1×2=2（cm ）， ∠BC=8cm ，BE=6cm ， ∠PC=8-2=6（cm ），EPB PCQ ∆∆在和中,EB PC =,B C ∠=∠,BP CQ =,EBP PCQ ∴∆∆≌（2）设Q 的速度为/xcm s ，则2,,82BP t CQ xt PC t ===-， 分两种情况：∠当EBP PCQ ∆∆≌时，,BE PC BP CQ ==，即8262t t xt -=⎧⎨=⎩，解得，12t x =⎧⎨=⎩（舍去）∠ 当EBP QCP ∆∆≌时，,BE CQ BP CP ==，即6282xt t t =⎧⎨=-⎩，解得，23t x =⎧⎨=⎩Q 的速度为3，t 的值为2.（3）设CD xcm =，则28,28, 2.5PC t PD x t DQ t x =-=-+=-，分两种情况：∠当BCP PDQ ∆∆≌时，,BC PD PC DQ ==， 即28828 2.5x t t t x -+=⎧⎨-=-⎩，解得，163323t x ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∠BCP QDP ∆∆≌当时，,.BC DQ PC PD == 即 2.582828t x x t t -=⎧⎨-+=-⎩，解得163163t x ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩故：当CD的长为321633或时，163t 两三角形全等．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，路程，速度，时间之间的关系等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题．23．（2021·河南九年级二模）（问题提出）如图∠，已知∠ABC是等边三角形，点E在线段AB上，点D在直线BC上，且ED=EC，将∠BCE绕点C顺时针旋转60°至∠ACF连接EF试证明：AB=DB+AF（类比探究）（1）如图∠，如果点E在线段AB的延长线上，其他条件不变，线段AB，DB，AF之间又有怎样的数量关系？请说明理由（2）如果点E在线段BA的延长线上，其他条件不变，请在图∠的基础上将图形补充完整，并写出AB，DB，AF之间的数量关系，不必说明理由．【答案】证明见解析；（1）AB=BD﹣AF；（2）AF=AB+BD．【分析】（1）根据旋转的性质得出∠EDB与FEA全等的条件BE=AF，再结合已知条件和旋转的性质推出∠D=∠AEF，∠EBD=∠EAF=120°，得出∠EDB∠FEA，所以BD=AF，等量代换即可得出结论．（2）先画出图形证明∠∠DEB∠∠EFA，方法类似于（1）；（3）画出图形根据图形直接写出结论即可．【详解】（1）证明：DE=CE=CF，∠BCE由旋转60°得∠ACF，∠∠ECF=60°，BE=AF，CE=CF，∠∠CEF是等边三角形，∠EF=CE，∠DE=EF，∠CAF=∠BAC=60°，∠∠EAF=∠BAC+∠CAF=120°，∠∠DBE=120°，∠∠EAF=∠DBE，25又∠A，E，C，F四点共圆，∠∠AEF=∠ACF，又∠ED=DC，∠∠D=∠BCE，∠BCE=∠ACF，∠∠D=∠AEF，∠∠EDB∠FEA，∠BD=AF，AB=AE+BF，∠AB=BD+AF．类比探究（1）DE=CE=CF，∠BCE由旋转60°得∠ACF，∠∠ECF=60°，BE=AF，CE=CF，∠∠CEF是等边三角形，∠EF=CE，∠DE=EF，∠EFC=∠BAC=60°，∠EFC=∠FGC+∠FCG，∠BAC=∠FGC+∠FEA，∠∠FCG=∠FEA，又∠FCG=∠EAD∠D=∠EAD，∠∠D=∠FEA，由旋转知∠CBE=∠CAF=120°，∠∠DBE=∠FAE=60°∠∠DEB∠∠EFA，∠BD=AE，EB=AF，∠BD=FA+AB．即AB=BD-AF．（2）AF=BD+AB（或AB=AF-BD）如图∠，27，ED=EC=CF ，∠∠BCE 绕点C 顺时针旋转60°至∠ACF ， ∠∠ECF=60°，BE=AF ，EC=CF ，BC=AC ， ∠∠CEF 是等边三角形， ∠EF=EC ， 又∠ED=EC ， ∠ED=EF ，∠AB=AC ，BC=AC ， ∠∠ABC 是等边三角形， ∠∠ABC=60°， 又∠∠CBE=∠CAF ， ∠∠CAF=60°，∠∠EAF=180°-∠CAF -∠BAC =180°-60°-60° =60°∠∠DBE=∠EAF ； ∠ED=EC ， ∠∠ECD=∠EDC ，∠∠BDE=∠ECD+∠DEC=∠EDC+∠DEC ， 又∠∠EDC=∠EBC+∠BED ，∠∠BDE=∠EBC+∠BED+∠DEC=60°+∠BEC ， ∠∠AEF=∠CEF+∠BEC=60°+∠BEC ， ∠∠BDE=∠AEF ， 在∠EDB 和∠FEA 中， DBE EAF BDE AEF ED EF ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ ∠∠EDB∠∠FEA （AAS ）， ∠BD=AE ，EB=AF ，∠BE=AB+AE，∠AF=AB+BD，即AB，DB，AF之间的数量关系是：AF=AB+BD．考点：旋转变化，等边三角形，三角形全等。
专题11 多面手问题(原卷版)
专题11 多面手问题【方法技巧与总结】解含有约束条件的排列组合问题，即多面手问题，可元素的性质进行分类，接事件发生的连续过程分步，做到标准明确．分步层次清楚，不重不漏，分类标准一旦确定，要贯穿于解题过程的始终．【典型例题】例1．（2023·全国·高三专题练习）我校去年11月份，高二年级有10人参加了赴日本交流访问团，其中3人只会唱歌，2人只会跳舞，其余5人既能唱歌又能跳舞．现要从中选6人上台表演，3人唱歌，3人跳舞，有（）种不同的选法．A．675B．575C．512D．545例2．（2023·全国·高三专题练习）某国际旅行社现有11名对外翻译人员，其中有5人只会英语，4人只会法语，2人既会英语又会法语，现从这11人中选出4人当英语翻译，4人当法语翻译，则共有（）种不同的选法A．225B．185C．145D．110例3．（2023·全国·高三专题练习）“赛龙舟”是端午节的习俗之一，也是端午节最重要的节日民俗活动之一，在我国南方普遍存在端午节临近，某单位龙舟队欲参加今年端午节龙舟赛，参加训练的8名队员中有3人只会划左桨，3人只会划右桨，2人既会划左桨又会划右桨．现要选派划左桨的3人、划右桨的3人共6人去参加比赛，则不同的选派方法共有（）A．26种B．30种C．37种D．42种例4．（2023·全国·高三专题练习）某龙舟队有9名队员，其中3人只会划左舷，4人只会划右舷，2人既会划左舷又会划右舷．现要选派划左舷的3人、右舷的3人共6人去参加比赛，则不同的选派方法共有（）A．56种B．68种C．74种D．92种例5．（2023春·湖北十堰·高二统考期末）某龙舟队有8名队员，其中3人只会划左桨，3人只会划右桨，2人既会划左桨又会划右桨.现要选派划左桨的3人、划右桨的3人共6人去参加比赛，则不同的选派方法共有（）A．26种B．30种C．37种D．42种例6．（2023春·安徽六安·高二六安一中阶段练习）在11名工人中,有5人只当钳工, 4人只当车工,另外2人既会钳工又会车工，现从11人中选出4人当钳工, 4人当车工,则共有（）种不同的选法.A．120B．125C．180D．185例7．（2023春·宁夏·高二宁夏长庆高级中学校考期中）某公园有P，Q，R三只小船，P船最多可乘3人，Q船最多可乘2人，R船只能乘1人，现有3个大人和2个小孩打算同时分乘若干只小船，规定有小孩的船必须有大人，共有不同的乘船方法为A．36种B．33种C．27种D．21种例8．（2023·全国·高三专题练习）有6 名学生，其中有3 名会唱歌，2 名会跳舞，1名既会唱歌又会跳舞，现从中选出2 名会唱歌的，1名会跳舞的，去参加文艺演出，求所有不同的选法种数为A．18B．15C．16D．25例9．（2023秋·河南南阳·高二校考阶段练习）我校去年11月份，高二年级有9人参加了赴日本交流访问团，其中3人只会唱歌，2人只会跳舞，其余4人既能唱歌又能跳舞．现要从中选6人上台表演，3人唱歌，3人跳舞，有______种不同的选法例10．（2023春·上海长宁·高二上海市延安中学校考期末）“赛龙舟”是端午节的习俗之一，也是端午节最重要的节日民俗活动之一，某单位龙舟队欲参加端午节龙舟赛，参加训练的8名队员中有3人只会划左桨，3人只会划右桨，2人既会划左桨又会划右桨.现要选派3人划左桨、3人划右桨共6人去参加比赛，则不同的选派方法共有__________种.例11．（2023秋·辽宁朝阳·高三校考期中）现有7名志愿者，其中只会俄语的有3人，既会俄语又会英语的有4人.从中选出4人担任“一带一路”峰会开幕式翻译工作，2人担任英语翻译，2人担任俄语翻译，共有_______种不同的选法．例12．（2023·上海·高三专题练习）6名男生4名女生共10人，要从这10个人中选出3人共同去完成某项任务，要求这3人中至少要有1个女生，则不同的选法有_________种.例13．（2023秋·海南·高二海南华侨中学校考期末）6名学生，其中3人只会唱歌，2人只会跳舞，剩下1人既会唱歌又会跳舞，选出2人唱歌2人跳舞，共有______种不同的选法.（请用数学作答）例14．（2023春·四川广安·高二四川省武胜烈面中学校校考期中）6名工人，其中2人只会电工，3人只会木工，还有1人既会电工又会木工，选出电工2人木工2人，共有______种不同的选法．例15．（2023春·上海浦东新·高二上海市进才中学校考期中）在一次演唱会上共10名演员，其中8人能唱歌，5人会跳舞，现要演出一个2人唱歌2人伴舞的节目，有___________种选派方法（填数字）.例16．（2023春·山西·高二临汾第一中学校校考期中）某公园现有甲、乙、丙三只小船，甲船可乘3人，乙船可乘2人，丙船可乘1人，今有三个成人和2个儿童分乘这些船只(每船必须坐人)，为安全起见，儿童必须由成人陪同方可乘船，则分乘这些船只的方法有______种（用数字作答）.例17．（2023·高二课时练习）有12名划船运动员，其中3人只会划左舷，4人只会划右舷，其他5人既会划左舷又会划右舷，现要从这12名运动员中选出6人平均分在左、右舷参加划船比赛，有多少种不同的选法？例18．（2023·二年级单元测试）某公园有P,Q,R三只小艇,P艇最多可乘3人,Q艇最多可乘2人,R艇只能乘1人,现在3个大人和2个小孩打算同时分乘若干只小艇,规定有小孩的艇必须有大人,共有多少种不同的乘艇方法?例19．（2023春·上海闵行·高二闵行中学校考期中）在一次演唱会上共10 名演员（每名演员都会唱歌或跳舞），其中7人能唱歌，6人会跳舞.（1）问既能唱歌又会跳舞的有几人？（2）现要选出一个2人唱歌2人伴舞的节目，有多少种选派方法？例20．（2023·全国·高三专题练习）有11名翻译人员，其中5名是英语翻译人员，4名是日语翻译人员，另2人英、日语均精通．现从中选出8人组成两个翻译小组，其中4人翻译英语，另4人翻译日语，则有多少种不同的选派方式？例21．（2023春·山东烟台·高二烟台二中校考阶段练习）有11名外语翻译人员，其中5名英语翻译员，4名日语翻译员，另两名英，日语都精通，从中找出8人，使他们可以组成两个翻译小组，其中4人翻译英文，另4人翻译日文，这两个小组能同时工作，问这样的8人名单共可开出几张？。
【课时练15-20含答案】统编教材部编人教版小学语四年级上册随堂课堂练习题
11 蟋蟀的住宅第一课时一、给加点字正确的读音上面画上“”。
毫．（háo hǒo）米慎．（zhēn shèn）重挖掘．（jué jüé）倾．（qīnɡ qínɡ）斜抛．（pāo páo）出优良．（lánɡ liánɡ）搜．（suō sōu）索布置．（zhí zhì）二、看拼音，写词语。
zhù zhái lín shí xuǎn zé dì zhǐ yōu liánɡ（）（）（）（）（）dònɡ xué kè tīnɡ wò shì zhuān mén qián zi（）（）（）（）（）三、用“”选择括号里正确的词语。
别的昆虫大多在临时的（躲避隐蔽）所藏身。
它们的（躲避隐蔽）所得来不费工夫，弃去毫不（可惜珍惜）。
蟋蟀和它们不同，不肯随遇而安。
它常常（慎重谨慎）地选择住址，一定要排水优良，并且有（暖和温和）的阳光。
它不利用现成的洞穴，它的（舒服舒适）的住宅是自己一点一点挖掘的，从大厅一直到卧室。
四、按要求回答问题。
1.当四周很安静的时候，蟋蟀就在这平台上叫。
（改为拟人句）2.这座住宅真可以算是伟大的工程了。
（改为反问句）3.蟋蟀和它们不同，不肯随遇而安．．．．。
（用加点的词语说一句话）11 蟋蟀的住宅第一课时答案一、háo shèn jué qīnɡ pāo liánɡ sōu zhì二、住宅临时选择地址优良洞穴客厅卧室专门钳子三、隐蔽可惜慎重温和舒服四、1.当四周很安静的时候，蟋蟀就在这平台上弹琴。
2.难道这座住宅不可以算是伟大的工程了吗？3.她的适应能力很强，无论走到哪里都能很快的随遇而安。
11 蟋蟀的住宅第二课时一、读拼音，写字词。
部编数学七年级下册专题11平面直角坐标系中利用点的坐标变化规律探究问题(解析版)含答案
专题11 平面直角坐标系中利用点的坐标变化规律探究问题（解析版）第一部分典例精析类型一点的运动规律探究（1）沿坐标轴运动的点的坐标规律探究1．（2022•丛台区开学）如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（3，1），（3，0），（3，﹣1）…，根据这个规律探索可得，第10个点的坐标为 ，第55个点的坐标为 ．思路引领：从图中可以看出横坐标为1的有一个点，横坐标为2的有2个点，横坐标为3的有3个点，…依此类推横坐标为n的有n个点．题目要求写出第10个点和第55个点的坐标，我们可以通过加法计算算出第10个点和第50个点分别位于第几列第几行，然后对应得出坐标规律，将行列数代入规律式．解：在横坐标上，第一列有一个点，第二列有2个点…第n列有n个点，并且奇数列点数对称而偶数列点数y轴上方比下方多一个，∵1+2+3+4＝10，1+2+3+…+10＝55，∴第10个点在第4列自下而上第4行，所以奇数列的坐标为（n，n−12）（n，n−12−1）…（n，1−n2）；偶数列的坐标为（n，n2）（n，n2−1）…（n，1−n2），由加法推算可得到第55个点位于第10列自下而上第10行．代入上式得第10个点的坐标为（4，2），第55个点的坐标为（10，5），故答案为：（4，2），（10，5）．总结提升：本题是对点的变化规律的考查，观察得到横坐标相等的点的个数与横坐标相同是解题的关键，还要注意横坐标为奇数和偶数时的排列顺序不同．2．（2022•麻城市校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆O1，O2，O3，…组成一条平滑的曲线，点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒π2个单位长度，则第2022秒时，点P的坐标是 ．思路引领：计算P点运动过程中走一个半圆所用的时间，根据规律即可求得第2022秒P点位置．解：由题意可知，点P运动一个半圆所用的时间为：π÷π2=2（秒），∵2022＝1011×2，∴2022秒时，P在第1011个半圆的最末尾处，∴点P的坐标为（2022，0）．故答案为：（2022，0）．总结提升：本题主要考查的是坐标系中的规律探究问题，找出运动规律的同时也要考虑坐标系位置是解题的关键．3．（2021春•洛龙区期中）在平面直角坐标系中，一只蚂蚁从原点O出发，按“向上→向右→向下→向右”的方向依次不断移动，每次移动1个单位长度，其移动路线如图所示，第一次移动到点A1，第二次移动到点A2，…，第n次移动到点A n，则点A2021的坐标是（ ）A．（1010，0）B．（1010，1）C．（1009，0）D．（1009，1）思路引领：观察图形可知，A4，A8，…都在x轴上，求出OA4，OA8，…OA4n的长度，然后写出坐标即可；根据以上规律写出点A4n的坐标即可求出点A2020的坐标，则A2021点的坐标即可求出．解：由图可知，A4，A8，…都在x轴上，蚂蚁每次移动1个单位，∴OA4＝2，OA8＝4，…OA4n＝2n，∴点A4n的坐标为（2n，0），∴点A2020的坐标为（1010，0），∴A2021（1010，1），故选：B．总结提升：本题主要考查了点的变化规律，仔细观察图形，确定出点A 4n 都在x 轴上是解题的关键．（2）绕定点呈“回”字形运动的点的坐标变化规律4．如图是一回形图，其回形通道的宽和OB 的长均为1， 回形线与射线OA 交于A 1，A 2，A 3，…．若从O点到A 1点的回形线为第1圈（长为7），从A 1点到A 2点的回形线为第2圈，…，依此类推．则第10圈的长为 ．思路引领：如图，以点O 为原心，建立平面直角坐标系，则A 1，A 2，A 3，…的坐标分别为（－1，0），（－2，0），（－3，0），…，A 10的坐标为（－10，0），然后大致描出第10圈的形状，很轻松求出第10圈的长．解：观察图形发现：第一圈的长是2（1+2）+1=7；第二圈的长是2（3+4）+1=15；第三圈的长是2（5+6）+1=23；则第n 圈的长是2（2n-1+2n ）+1=8n-1．当n=10时，原式=80-1=79．故答案为79．题眼直击：坐标表示图形，规律探究．总结提升：依次计算第一圈长，第二圈长，……，探究这几个数的一般规律性，然后应用规律求出第10圈．5．（2022•金凤区校级二模）如图，在平面直角坐标系中，从点P 1（﹣1，0），P 2（﹣1，﹣1），P 3（1，﹣1），P 4（1，1），P 5（﹣2，1），P 6（﹣2，﹣2），…依次扩展下去，则P 2022的坐标为 ．思路引领：根据题意可得到规律，P4n（n，n），P4n+1（﹣n﹣1，n），P4n+2（﹣n﹣1，﹣n﹣1），P4n+3（n+1，﹣n﹣1），再根据规律求解即可．解：根据题意可得到规律，P1（﹣1，0），P2（﹣1，﹣1），P3（1，﹣1），P4（1，1），P5（﹣2，1），P6（﹣2，﹣2），P7（2，﹣2），P8（2，2），P12（3，3），P16（4，4），...，P4n（n，n），P4n+1（﹣n﹣1，n），P4n+2（﹣n﹣1，﹣n﹣1），P4n+3（n+1，﹣n﹣1），∵2022＝4×505+2，∴P2022（﹣506，﹣506），故答案为：（﹣506，﹣506）．总结提升：本题主要考查规律型：点的坐标，读懂题意，找出点的坐标规律是解答此题的关键．类型二图形变换的点的坐标规律探究6．（2018春•兴城市期末）如图，在平面直角坐标系中，第一次将三角形OAB变换成三角形OA1B1，第二次将三角形OA1B1换成三角形OA2B2，第三次将三角形OA2B2换成三角形OA3B3，……，若A（﹣3，1），A1（﹣3，2），A2（﹣3，4），A3（﹣3，8），点B（0，2），B1（0，4），B2（0，6），B3（0，8），按这样的规律，将三角形OAB进行2018次变换，得到三角形OA2018B2018，则A2018的坐标是 ．思路引领：探究规律后利用规律即可解决问题；解：∵A 1（﹣3，2），A 2 （﹣3，4），A 3（﹣3，8）；∴A 点横坐标为﹣3，纵坐标依次为：2，22，23，…得出：A n （﹣3，2n ），∴n ＝2018时，A 2018（﹣3，22018），故答案为（﹣3，22018）总结提升：此题主要考查了规律型：点的坐标，根据题意得出A ，B 点横纵坐标变化规律是解题关键．7．12．如图，在直角坐标系中，第一次将三角形OAB 变换成三角形OA 1B 1第二次将OA 1B 1变换成三角形OA 2B 2，第三次将三角形OA 2B 2变换成三角形OA 3B 3，已知A(1，3)，A 1(2，3)，A 2(4，3)，A 3(8，3)，B(2，0)，B 1(4，0)，B 2(8，0)，B 3(16，0)．(1)求三角形OAB 的面积；(2)写出三角形OA 4B 4的各个顶点的坐标；(3)按此图形变化规律，你能写出三角形OA n B n 的面积与三角形OAB 的面积的大小关系吗？解：(1)S 三角形OAB ＝12×2×3＝3；(2)根据图示知O 的坐标是(0，0)；已知A(1，3)，A 1(2，3)，A 2(4，3)，A 3(8，3)，对于A 1，A 2…A n 坐标找规律比较从而发现A n 的横坐标为2n ，而纵坐标都是3；同理B 1，B 2…B n 也一样找规律，规律为B n 的横坐标为2n ＋1，纵坐标为0．由上规律可知：A 4的坐标是(16，3)，B 4的坐标是(32，0)；综上所述，O(0，0)，A 4(16，3)，B 4(32，0)；(3)根据规律，后一个三角形的底边是前一个三角形底边的2倍，高相等都是4，所以OB n ＝2n ＋1，S 三角形OA n B n ＝12×2n ＋1×3＝3×2n ＝2n S 三角形OAB ，即S 三角形A n B n ＝2n S 三角形OAB 。
七年级数学竞赛培优(含解析)专题11 设元的技巧
11 设元的技巧阅读与思考应用数学知识和方法解决实际问题是学习数学的重要目的之一．应用题联系实际，反映现实生活中的数量关系，通过解应用题可以培养运用数学知识去分析和解决问题的能力．列方程解应用题，一般有审题、设元、布列方程、解方程、作答等几个步骤．恰当地设元是列方程解应用题的关键步骤之一，常见的设元技巧有：1．直接设元题目要求什么量，就设什么量为未知数，或有几个要求的量，而设其中的某一个量为未知数． 2．间接设元即所没的不是所求的，适当地选择与题目要求的未知数有关的某个量为未知数，则易找出符合题意的数量关系，从而列出方程．3．辅助设元有些应用题中隐含一些未知的常量，这些量对于求解无直接联系，但如果不指明这些量的存在，则难求其解，因而需把这些未知的常量设为参数，作为桥梁帮助思考，这就是辅助设元． 4．整体设元有些应用题未知量太多而已知关系又少，如果在未知数的某一部分存在一个整体关系，可设这一部分为一个未知数，这样就减少了设元的个数，这就是整体设元．例题与求解【例1】某编辑用0~9这10个数字给一本书的各页标上页码，若共写了636个数字，则该书有____页.解题思路：依题意可知该书页码的数字组成有三种：一个数字、两个数字、三个数字.一共有636个数字，可设直接未知数，列方程求解．找出能够表示应用题全部含义的一个相等关系是列方程解应用题又一关键．寻找相等关系常用方法有：①从关键词中寻找相等关系；②利用基本公式寻找相等关系；③利用不变量寻找相等关系；④对一种“量”，从不同的角度进行表述（即计算两次），形成一种相等关系．行程问题、工程问题、劳力分配问题、浓度问题、数字问题等是列方程解应用题的基本类型，此外，还有趣味问题（如年龄、时钟等）、经济问题（如银行存款、销售利润等），尽管形式多变，但是解题实质未变，需要我们用数学观点，理清数量关系，恰当设未知数，准确列方程．【例2】某服装厂生产某种定型冬装，9月份销售冬装的利润（每件冬装的利润＝出厂价一成本）是出厂价的25%，10月份将每件冬装的出厂价调低10%（每件冬装的成本不变），销售件数比9月份增加80%，那么该厂10月份销售这种冬装的利润总额比9月份的利润总额增长()。
专题11 碰撞问题的处理方法
专题11碰撞问题的处理方法【命题思想】碰撞作为涉及动量守恒和能量守恒的一个经典模型，因碰撞过程瞬间完成，碰撞过程非常复杂，但碰撞前和碰撞后的物体运动情况可以预测，属于高中物理的主干知识，往往在高考试题中占有份量较大。
【问题特征】涉及两个物体或多个物体间的碰撞；碰撞与电磁场的综合问题。
求解碰撞前后系统内物体的速度及系统的能量。
【处理方法】1．两小球的弹性碰撞问题：分析两小球碰撞的全过程：接触、压缩、形变最大、恢复和分离；注意两球的相对位置、速度和能量，运用动量守恒定律和机械能守恒定律求解。
2．“子弹击木块”模型类问题：子弹击穿木块时，两者速度不相等；子弹未击穿木块时，两者速度相等。
这两种情况的临界情况是：当子弹从木块一端到达另一端，相对木块运动的位移等于木块长度时，两者速度相等。
此时系统的动量守恒，机械能不守恒。
可应用动能定理分别对子弹、木块列式，也可应用功能关系对系统列式：滑动摩擦力对系统做的功（W =-fd，d为子弹击入木块的深度），等于系统动能的变化（ΔE k = E k末－E k初）。
3．一般的碰撞问题：不论碰撞发生在水平面或竖直面或斜面上、有无摩擦、是否与第三者相连、有无电磁场，均可大胆应用动量守恒定律，碰撞发生时系统内力远大于外力。
【考题展示】1．(04年天津)如图所示，光滑水平面上有大小相同的A、B两球在同一直线上运动。
两球质量关系为m B＝2m A，规定向右为正方向，A、B两球的动量均为6kgm/s，运动中两球发生碰撞，碰撞后A球的动量增量为-4kgm/sA．左方是A球，碰撞后A、B两球速度大小之比为2︰5B．左方是A球，碰撞后A、B两球速度大小之比为1︰10C．右方是A球，碰撞后A、B两球速度大小之比为2︰5D．右方是A球，碰撞后A、B两球速度大小之比为1︰102．（07年全国Ⅱ）用放射源钋的α射线轰击铍时，能发射出一种穿透力极强的中性射线，这就是所谓铍“辐射”。
1932年，查德威克用铍“辐射”分别照射（轰击）氢和氮（它们可视为处于静止状态）。
专题11口语交际-2022-2023学年五年级语文上册期末复习知识点精讲精练(部编版)
11口语交际口语交际的特点：“口语”是说话时使用的语言；“交际”是人与人之间的往来接触。
口语交际是听话、说话能力在实际交往中的应用，听话、说话是口语交际的重要组成部分，在口语交际训练中只要让学生多种感观都参与到活动中来，才能切实提高口语表达能力。
口语交际具有口语化、大众化、互动性、综合性、生动性、多样性、临场性、随机性等特点。
在口语交际中需要注意的问题：一是能认真听别人讲话，努力了解讲话的主要内容；二是听故事、看音像作品，能复述大意和精彩情节；三是能较完整地讲述小故事，能简要讲述自己感兴趣的见闻；四是与别人交谈，态度自然大方，有礼貌；五是有表达的自信心，积极参加讨论，对感兴趣的话题发表自己的意见。
口语交际的类型：介绍类：自我介绍、介绍朋友、介绍家乡、介绍一处名胜古迹、介绍一种动物或植物等。
独白类：说故事、说愿望、说奇思妙想、说读后感观后感、说经验谈教训、说目击情况等。
交往类：道歉、祝贺、待客、转述、劝阻、赞美、批评、安慰、解释、采访、购物、问路、打电话、导游等。
表演类：当众演讲、致欢迎词、主持节目等。
讨论类：对不对、好不好、行不行、怎么办、小小建议、小小讨论、小小辩论。
考题类型：选择题、书写题；单一型对话题和复合型对话题；对话情景（听话、说话）题。
口语交际答题技巧：言之有“礼”，即根据特定的情境采用文明得体的用语；言之有“物”，即有具体内容，不讲空话、套话或含糊不清的话；言之有“序”，即按一定的顺序说，注意事物内在的联系及因果关系，力求意明句畅；言之有“节”，即话要简洁明了，不拖泥带水。
读通情境，抓住中心，就是能根据具体的情境进行表达。
领会意图，设身处地，语言的表达要“如出己口”，与人物性格、年龄等特征相符合。
注意礼貌，语言简明、连贯、得体。
选择题1．下列表述不正确的一项是（）A．缩写故事可以用摘录、删减、概括、改写等多种方法。
B．班级公约应该根据个人的实际情况来制定。
C．当同学在发表意见时，我们应该尊重别人的观点，并对别人的发言给予积极回应。
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专题十一说明文阅读随堂训练第1讲筛选信息、说明对象、说明顺序[2018·长沙模拟]说明文阅读。
(共8分)抑郁,不要藏在笑容背后①一到秋末初冬,抑郁症进入高发季节。
不少名人也摆脱不了抑郁的纠缠。
比如很多人喜爱的影帝——罗宾·威廉姆斯,演了无数次人生导师,却依然开导不了自己。
有些时候,患有抑郁症的人们并不是像大多数人所想象的那样看起来就很悲观、萎靡不振、对所有事物都缺乏兴趣,他们只是以“乐观”的这层面具来掩盖自己,这种现象在最近的心理学学术讨论中,被称为“微笑抑郁”。
②对那些微笑着的抑郁症患者来说,“微笑”的意义已经在根本上发生了变化。
当我们用微笑来隐藏低落的情绪时,它是一种防御机制:不再是一种表达自己内心喜悦的自然流露,而是逐渐变成了对内心悲伤的掩饰和证明。
微笑型抑郁症危害更大③微笑型抑郁症患者的共同点是不愿意倾诉、不愿意放弃“尊严”,从而进入恶性循环。
他们表面若无其事,面带微笑,甚至给人以开朗、热情的假象,内心深处却常感到压抑与忧愁。
很多时候,他们的笑不是发自内心深处,而是出于“工作需要”“面子需要”“礼节需要”“尊严和责任的需要”等。
④“微笑型抑郁症比普通的抑郁症危害更大。
”北京回龙观医院院长杨甫德在接受《科技日报》采访时表示,患者出于面子、责任的需要以微笑示人,心理却积压下负面情绪。
当承受的压力大到再也无法承受时,他们的反应也是巨大的,可能会从一个极度自信的人变成一个非常自卑的人,甚至会怀疑自己各方面的能力。
尤其是那些看来乐呵呵什么都不在乎的人,其实只是把压力潜伏起来,人们往往忽略其情绪的发泄。
⑤除了微笑型抑郁症外,隐匿性抑郁症还包括嗜睡型抑郁、激越型抑郁、疑病型抑郁。
嗜睡型抑郁表现为嗜睡,开始时睡两三天症状消失,但随着时间的推移症状越来越明显,睡眠时间越来越长。
这种嗜睡其实是潜意识里对现实的逃避。
激越型抑郁的显著特征是容易动怒,其本质仍然是情绪低落,同时反映了患者对现实的不满以及力求摆脱的心态。
疑病型抑郁患者常诉肌肉痛、头痛、背痛、胃痛、心慌、神经衰弱、小便频密和睡不好等,经过各种检查却没有大的器质性病变。
这类患者在不自觉地设法以肉身的痛苦来代替精神的痛苦,希望借此博取同情与关注。
抑郁症多发生在白领阶层⑥北京大学第六医院范肖东博士表示,近年来,中国民众心理疾病呈高发态势,我们已经步入“全民焦虑时代”。
一项调查显示,我国职业人群中抑郁和焦虑状况已较为严重,超过50%的人存在不同程度的抑郁症状。
文献显示也印证了专家的说法,在我国, “微笑型抑郁”多发生在白领阶层,他们很多是机关工作人员、企业管理层或技术人员,男性要比女性多。
有些人错误地认为患抑郁症没面子,出现抑郁的早期症状时会很抵触,认为只是情绪不好而已。
当出现躯体症状,如疼痛、头晕、颈肩痛、失眠、乏力等,又往往被误诊。
⑦很多白领都有失眠的毛病,大部分人认为这是饮食不规律、劳累所致,不会想到与抑郁联系起来。
其实,睡眠障碍是抑郁症患者的主要症状,有统计显示,77.24%的抑郁症患者伴有失眠。
但他们很多人却被诊断为神经衰弱、神经官能症、植物神经紊乱等。
抑郁患者要学会示弱⑧范肖东表示,抑郁症患者,首先,要有恰当的自我评价,既不要妄自菲薄,也不能盲目自大,这样才能做出恰当的自我评价。
其次,要培养良好的社会适应能力,与周围的环境和人和谐相处,千万不要过于敏感、偏激甚至愤世嫉俗。
只有这样,才能主动减少自己面临不良环境、承受打击的概率。
另外,要增强自己的心理承受能力,包括逆境、顺境、得意、失意。
有兴趣的还可以看一些心理学方面的书籍,提高对心理健康的认识,这样不但可以在出现问题时开导自己,还可以帮助别人。
⑨如果你感觉到你的症状已经到了相当严重的程度,可以寻求专业机构和心理治疗师的帮助,来缓解内心的痛苦。
范肖东提醒大家,平时不要积压不良情绪,学会示弱,学会向信赖的人倾诉,同时坚持运动。
运动中的人体会释放一种“快乐因子”内啡肽,它是人体的自然抗抑郁药物,能让人感到愉悦。
但内啡肽只能在人体保存2~3 天,因此一定要长期坚持锻炼,让笑容和快乐发自内心。
(选文有删改)1.下列说法与原文意思不相同的一项是()(2分)A.“微笑抑郁”患者以“乐观”的表象来掩饰自己,成天乐呵呵的看似什么都不在乎,内心深处却常感到压抑与忧愁。
B.抑郁症患者容易表现出疼痛、头晕、颈肩痛、失眠、乏力等症状,往往被误诊。
C.我国民众超过50%的人存在不同程度的抑郁症状,其中77.24%的抑郁症患者伴有失眠。
D.抑郁症患者应培养良好的社会适应能力和心理承受能力。
2.下列说法有误的一项是()(2分)A.本文的说明对象是“抑郁,不要藏在笑容背后”。
B.文章按照微笑型抑郁症的危害、抑郁症多发人群以及抑郁症患者应怎样调理和治疗的顺序进行说明。
C.第⑦段的画线句子中“很多”和“大部分”不能删去,删去后语句表达不符合实情,这体现了说明文语言的准确性。
D.第⑤段运用了分类别的方法来说明抑郁症的危害大。
3.根据上文有关知识并结合下面的链接材料,请你分析崔永元父母和憨豆先生这样做的原因。
(4分)链接材料央视名嘴崔永元也曾患有抑郁症。
当时,崔永元父母经常和他一起回忆小时候的快乐时光,谈论他取得过的辉煌成绩,让他渐渐找回失去的自信。
美国的憨豆先生也患有抑郁症,他对夫人说,他要找回自我。
于是他进入了美国亚利桑那州的一家心理放松治疗中心。
______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________第2讲说明方法、品味语言、延伸运用说明文阅读。
(共8分)游戏的功用①人生真正的活动是从游戏开始的。
有学者认为,个体的成长过程其实就是在重复人类的演化过程。
游戏是生物遗传的结果,是一种复演祖先进化的过程。
②游戏是孩子的天性。
孩子在玩的过程中,能体验到愉悦。
这种愉悦情绪,能激发和调动他们大脑神经的高度活动能力。
心理学家认为,游戏是孩子对于未来生活的预演,是学习未来生活技能的必要途径,是他们今后生活、工作的必修课。
游戏有助于提高他们的探索力、观察力和创造力。
③美国密歇根大学的研究人员将491名小孩分成几个组,对他们进行了一种名为“托伦斯测试”的创造性和想象力检测。
这种测试的基本原理是借助一系列根据图形进行的拓展绘画来判断创造力程度高低。
孩子们被要求以某个特定图形为基础进行自由创作,然后给自己的作品命名并描述出故事背景。
测试结果显示,有游戏经验的孩子的思维更发散也更灵活,比不玩游戏的孩子能发挥出更高的创造力。
④部分孩子因为玩游戏影响了学习。
一些教育专家认为,其根本原因并不在于游戏本身,而是这些孩子的现实生活出了问题。
来自国外的一些研究表明,适量地玩计算机游戏对孩子并没有什么不好的影响;反之,对培养孩子各方面的能力还有一定的积极作用。
来自美国的另一项研究表明,喜欢玩计算机游戏的孩子更“聪明、有活力和易于成功”。
⑤年轻人往往喜欢一些高难度游戏,以获得新异的刺激和求真的乐趣。
在玩精彩的游戏时,也即在克服障碍时,年轻人主动让自己朝着情感的积极一端前进。
他们紧张地投入其中,而这恰恰是产生各类积极情绪和体验的正确心态和身体状况,这是因为人在能力极限下进行工作时所达到的投入状态,是没有什么能够比得上的,这种态度就是游戏设计师和心理学家所谓的“心流”。
一旦进入了心流状态,人们就想长久地停留在那里,不管是放弃还是获胜,两种结果都无法让你心满意足。
如果游戏的目标真正具有吸引力、反馈又足以激励人心,年轻人会在相当长的时间满怀热情,不断挑战游戏设置的重重障碍。
在游戏中,他们积极乐观地做着一件自己擅长并享受的事情,这给他们带来自我满足和自我肯定。
⑥当今,本应是年轻人喜爱的一些游戏也成为银发老人的“宠儿”。
他们不仅可以为老人晚年的生活增添乐趣,还可以训练他们的反应能力和思考能力。
同时游戏还有减轻老人精神压力的功用,可以使老人有一个健康的心态。
通过调查,研究人员发现“边玩电子游戏边活动身体的参试者的大脑功能变得活跃,同等运动量下,他们的收获也更多。
定期通过游戏机来进行体育锻炼,可能．．有助于预防老年痴呆症”。
(根据有关材料改写)1.下列对文章内容的概括与分析中,正确的一项是()(2分)A.孩子之所以喜欢游戏,是因为游戏是孩子对于未来生活的预演,是学习未来生活技能的必要途径。
B.借助一系列根据图形进行的拓展绘画来判断创造力程度高低,是“托伦斯测试”的基本原理。
C.要想让孩子聪明、有活力,就应鼓励孩子多玩游戏,因为游戏对培养孩子各方面的能力有积极作用。
D.年轻人喜欢玩一些高难度游戏,并在克服重重障碍中,获得刺激和乐趣,这就是在重复人类的演化过程。
2.下列选项中,不正确的一项是()(2分)A.游戏有助于提高孩子的探索力、想象力、观察力和创造力。
B.游戏可以增添老年人的生活乐趣,还具有训练他们的反应能力、思考能力和减轻他们精神压力的功用。
C.“心流”是人在能力极限下进行工作时所达到的投入状态。
D.第⑥段中加点词“可能”表示不确定,说明玩游戏有助于预防老年痴呆症只是一种推测。
3.小明是一名初三的学生,成绩优异但爱玩游戏,他的妈妈担心玩游戏会影响其学习,请你利用这篇文章的知识对他妈妈进行劝说。
(4分)__________________________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________________________参考答案随堂训练第1讲筛选信息、说明对象、说明顺序1.C[解析] 从第⑥段来看,超过50%的人存在不同程度的抑郁症状的应是职业人群。
2.A[解析] 说明对象应为“抑郁症”。
3.抑郁症患者对自己要有恰当的自我评价,不能妄自菲薄,应多与人交流、倾诉。
崔永元父母之所以与他一起回忆儿时的快乐时光和曾经的辉煌成绩,就是要让他找回自信,重拾快乐。