概率论与数理统计复习资料要点总结

《概率论与数理统计》复习资料

一、复习提纲

注：以下是考试的参考内容，不作为实际考试范围，仅作为复习参考之用。考试内容以教学大纲和实施计划为准；注明“了解”的内容一般不考。

1、能很好地掌握写样本空间与事件方法，会事件关系的运算，了解概率的古典定义

2、能较熟练地求解古典概率；了解概率的公理化定义

3、掌握概率的基本性质和应用这些性质进行概率计算；理解条件概率的概念；掌握加法公式与乘法公式

4、能准确地选择和运用全概率公式与贝叶斯公式解题；掌握事件独立性的概念及性质。

5、理解随机变量的概念，了解(0—1)分布、二项分布、泊松分布的分布律。

6、理解分布函数的概念及性质，理解连续型随机变量的概率密度及性质。

7、掌握指数分布(参数 )、均匀分布、正态分布，特别是正态分布概率计算

8、会求一维随机变量函数分布的一般方法，求一维随机变量的分布律或概率密度。

9、会求分布中的待定参数。

10、会求边缘分布函数、边缘分布律、条件分布律、边缘密度函数、

条件密度函数，会判别随机变量的独立性。

11、掌握连续型随机变量的条件概率密度的概念及计算。

12、理解二维随机变量的概念，理解二维随机变量的联合分布函数及其性质，理解二维离散型随机变量的联合分布律及其性质，理解二维连续型随机变量的联合概率密度及其性质，并会用它们计算有关事件的概率。

13、了解求二维随机变量函数的分布的一般方法。

14、会熟练地求随机变量及其函数的数学期望和方差。会熟练地默写出几种重要随机变量的数学期望及方差。

15、较熟练地求协方差与相关系数.

16、了解矩与协方差矩阵概念。会用独立正态随机变量线性组合性质解题。

17、了解大数定理结论，会用中心极限定理解题。

18、掌握总体、样本、简单随机样本、统计量及抽样分布概念，掌握样本均值与样本方差及样本矩概念，掌握 2分布(及性质)、t分布、F 分布及其分位点概念。

19、理解正态总体样本均值与样本方差的抽样分布定理；会用矩估计方法来估计未知参数。

20、掌握极大似然估计法，无偏性与有效性的判断方法。

21、会求单正态总体均值与方差的置信区间。会求双正态总体均值与方差的置信区间。

二、各章知识要点第一章随机事件与概率

1．事件的关系 φφ=Ω-??AB A B A AB B A B A 2．运算规则（1）BA AB A B B A =?=?

（2）)()( )()(BC A C AB C B A C B A =??=?? （3）))(()( )()()(C B C A C AB BC AC C B A ??=??=? （4）B A AB B A B A ?==?

3．概率)(A P 满足的三条公理及性质：（1）1)(0≤≤A P （2）1)(=ΩP

（3）对互不相容的事件n A A A ,,,21 ，有∑===n

k k n

k k A P A P 1

)()( （n 可以取

∞）

（4） 0)(=φP （5）)(1)(A P A P -=

（6）)()()(AB P A P B A P -=-，若B A ?，则)()()(A P B P A B P -=-，

)()(B P A P ≤

（7）)()()()(AB P B P A P B A P -+=?

（8）)()()()()()()()(ABC P BC P AC P AB P C P B P A P C B A P +---++=?? 4．古典概型：基本事件有限且等可能 5．几何概率 6．条件概率

（1）定义：若0)(>B P ，则)

()

()|(B P AB P B A P =

（2）乘法公式：)|()()(B A P B P AB P = 若n B B B ,,21为完备事件组，0)(>i B P ，则有（3）全概率公式： ∑==n

i i i B A P B P A P 1)|()()(

（4） B ayes 公式： ∑==

i i

k k k B A P B P B A P B P A B P 1

)

|()()

|()()|(

7．事件的独立性： B A ,独立)()()(B P A P AB P =? （注意独立性的应用）

第二章随机变量与概率分布 1．

离散随机变量：取有限或可列个值，i i p x X P ==)(满足（1）

0≥i p ，（2）∑i

i p =1

（3）对任意R D ?，∑∈=∈D

x i i

i p

D X P :)(

2．

连续随机变量：具有概率密度函数)(x f ，满足（1）

1)( ,0)(-=≥?

+∞∞

dx x f x f ；

（2）?=≤≤b

a dx x f

b X a P )()(；（3）对任意R a ∈，0)(==a X P 3．

几个常用随机变量

4．分布函数 )()(x X P x F ≤=，具有以下性质

（1）1)( ,0)(=+∞=-∞F F ；（2）单调非降；（3）右连续；（4）)()()(a F b F b X a P -=≤<，特别)(1)(a F a X P -=>；（5）对离散随机变量，∑≤=

x x i i

i p

x F :)(；

（6）对连续随机变量，?∞-=x

dt t f x F )()(为连续函数，且在)(x f 连续点上，)()('x f x F = 5．

正态分布的概率计算以)(x Φ记标准正态分布)1,0(N 的分布函

数，则有

（1）5.0)0(=Φ；（2）)(1)(x x Φ-=-Φ；（3）若),(~2σμN X ，则

)(

)(σ

-Φ=x x F ；

（4）以αu 记标准正态分布)1,0(N 的上侧α分位数，则

)(1)(αααu u X P Φ-==>

6．随机变量的函数 )(X g Y =

（1）离散时，求Y 的值，将相同的概率相加；

（2）X 连续，)(x g 在X 的取值范围内严格单调，且有一阶连续导数，则|))((|))(()('11y g y g f y f X Y --=，若不单调，先求分布函数，再求导。

第四章随机变量的数字特征 1．期望

(1) 离散时 ∑=i

i i p x X E )(，∑=i

i i p x g X g E )())(( ；

(2) 连续时?+∞∞-=dx x xf X E )()(，?+∞

∞-=dx x f x g X g E )()())((；

(3) 二维时∑=j

i ij j i p y x g Y X g E ,),()),((，dy dx y x f y x g Y X g E ??+∞∞-+∞

∞

-=),(),()),(( (4)C C E =)(；（5）)()(X CE CX E =；（6）)()()(Y E X E Y X E +=+；（7）Y X ,独立时，)()()(Y E X E XY E = 2．方差

（1）方差222)()())(()(EX X E X E X E X D -=-=，标准差)()(X D X =σ；（2）)()( ,0)(X D C X D C D =+=；（3）)()(2X D C CX D =；

（4）Y X ,独立时，)()()(Y D X D Y X D +=+ 3．协方差

（1）)()()())]())(([(),(Y E X E XY E Y E Y X E X E Y X Cov -=--=；（2）),(),( ),,(),(Y X abCov bY aX Cov X Y Cov Y X Cov ==；（3）),(),(),(2121Y X Cov Y X Cov Y X X Cov +=+；

（4）0),(=Y X Cov 时，称Y X ,不相关，独立?不相关，反之不成立，但正态时等价；

（5）),(2)()()(Y X Cov Y D X D Y X D ++=+ 4

．相

关系

数

)

()(),(Y X Y X Cov XY σσρ=

；有

||≤XY ρ，

1)( ,,1||=+=??=b aX Y P b a XY ρ

5．k 阶原点矩)(k k X E =ν，k 阶中心矩k k X E X E ))((-=μ 第五章大数定律与中心极限定理 1

．

Chebyshev

不

等式

)

(}|)({|ε

εX D X E X P ≤

≥- 或

)

(1}|)({|εεX D X E X P -

≥<-

2．大数定律 3．中心极限定理

（1）设随机变量n X X X ,,,21 独立同分布2)( ,)(σμ==i i X D X E ，则

) ,(~2

σμn n N X n

i i ∑=近似，或) ,(~121n N X n n i i σμ∑=近似或)0,1(~ 1

N n n X n

i i

近似

∑=-，

（2）设m 是n 次独立重复试验中A 发生的次数，p A P =)(，则对任意x ，有)(}{

lim x x npq

np m P n Φ=≤-∞

→或理解为若),(~p n B X ，则),(~npq np N X 近似

第六章样本及抽样分布 1．总体、样本

（1）简单随机样本：即独立同分布于总体的分布（注意样本分布的

求法）；（2）样本数字特征：

样本均值∑==n

i i X n X 11（μ=)(X E ，n

X D 2)(σ=）；

样本方差∑=--=n

i i X X n S 1

)(11（22)(σ=S E ）样本标准差∑=--=

i i X X n S 1

2)(11 样本k 阶原点矩∑==n i k i k X n 11ν，样本k 阶中心矩∑=-=n

i k i k X X n 1

)(1μ

2．统计量：样本的函数且不包含任何未知数

3．三个常用分布（注意它们的密度函数形状及分位点定义）（1）2χ分布 )(~2222212n X X X n χχ+++= ，其中n X X X ,,,21 独立同分布于标准正态分布)1,0(N ，若)(~ ),(~2212n Y n X χχ且独立，则

)(~212n n Y X ++χ；

（2）t 分布 )(~/n t n

Y X t =，其中)(~ ),1,0(~2n Y N X χ且独立；

（3）F 分布 ),(~//212

n n F n Y n X F =，其中)(~),(~2212n Y n X χχ且独立，有下面的性质

)

,(1),( ),,(~11221112n n F n n F n n F F αα=- 4．正态总体的抽样分布（1）)/,(~2

n N X σμ；（2）

)(~)(1

222

n X

i i

∑=-χμσ

；

（3）

)1(~)1(22

--n S n χσ且与X 独立；（4）)1(~/--=n t n

S X t μ；

（5）)2(~)()(21212121-++---=n n t n n n n S Y X t ωμμ，2

)1()1(212

222112-+-+-=

n n S n S n S ω （6）)

1,1(~//2122

222

121--=n n F S S F σσ

第七章参数估计 1．矩估计：

（1）根据参数个数求总体的矩；（2）令总体的矩等于样本的矩；（3）解方程求出矩估计 2．极大似然估计：

（1）写出极大似然函数；（2）求对数极大似然函数（3）求导数或偏导数；（4）令导数或偏导数为0，解出极大似然估计（如无解回到（1）直接求最大值，一般为min }{i x 或max }{i x ） 3．估计量的评选原则

(1)无偏性：若θθ=)?(E ，则为无偏； (2) 有效性：两个无偏估计中方差小的有效；

4．参数的区间估计（正态）

三、概率论部分必须要掌握的内容以及题型

1．概率的基本性质、条件概率、加法、乘法公式的应用；掌握事件独立性的概念及性质。

如对于事件A ，B ，A 或B ，已知P (A )，P (B )，P (AB )，P (A B )，

P (A |B )，P (B |A )以及换为A 或B 之中的几个，求另外几个。

例：事件A 与B 相互独立，且P (A )=0.5，P (B )=0.6，求：P (AB )，P (A －B )，P (A B )

例：若P (A )=0.4，P (B )=0.7，P (AB )=0.3，求： P (A －B )，P (A B )，

)|(B A P ，)|(B A P ，)|(B A P

课本上P19，例5；P26，第14，24题。

2．准确地选择和运用全概率公式与贝叶斯公式。

若已知导致事件A 发生(或者是能与事件A 同时发生)的几个互斥的事件B i ，i =1,2,…,n ,…的概率P (B i ) ，以及B i 发生的条件下事件A 发生的条件概率P (A |B i )，求事件A 发生的概率P (A )以及A 发生的条件下事件B i 发生的条件概率P (B i | A )。

例：玻璃杯成箱出售，每箱20只。假设各箱含0、1、2只残次品的概率相应为0.8、0.1和0.1，某顾客欲购买一箱玻璃杯，在购买时，售货员随意取一箱，而顾客随机地察看4只，若无残次品，则买下该箱玻璃杯，否则退回。试求：（1）顾客买下该箱的概率；（2）在顾客买下的该箱中，没有残次品的概率。课本上P26，第24题

3．一维、二维离散型随机变量的分布律，连续型随机变量的密度函数性质的运用。分布中待定参数的确定，分布律、密度函数与分布函数的关系，联合分布与边缘分布、条件分布的关系，求数学期望、方差、协方差、相关系数，求函数的分布律、密度函数及期望和方差。 (1)已知一维离散型随机变量X 的分布律P (X =x i )=p i ，i =1,2,…,n ,… 确定参数

求概率P (a

求期望E (X )，方差D (X )

求函数Y =g (X )的分布律及期望E [g (X )]

课本上P39，例1；P50，例1；P59，第33题；P114，第6、8题；例：随机变量X

确定参数k

求概率P (0

求期望E (X )，方差D (X )

求函数2)3(-=X Y 的分布律及期望2)3(-X E

(2)已知一维连续型随机变量X 的密度函数f (x ) 确定参数

求概率P (a

求期望E (X )，方差D (X )

求函数Y =g (X )的密度函数及期望E [g (X )]

P43，例1；P51，例2；P53，例5；P59，第36、37题；P114，第9题；

例：已知随机变量X 的概率密度为()??

?<<=其他

x kx x f ，确定参数k

求概率}31{<

求期望E (X )，方差D (X )

求函数X Y =的密度及期望)(X E

(3)已知二维离散型随机变量(X ，Y )的联合分布律P (X =x i ，Y =y j )=p ij ，i =1,2,…,m ,…；j =1,2,…,n ,… 确定参数

求概率P {(X ,Y )∈G }

求边缘分布律P (X =x i )=p i.，i =1,2,…,m ,…；P (Y =y j )=p .j ， j =1,2,…,n ,…

求条件分布律P (X =x i |Y =y j )，i =1,2,…,m ,…和P (Y =y j |X =x i )， j =1,2,…,n ,…

求期望E (X )，E (Y )，方差D (X )，D (Y )

求协方差 cov(X ,Y )，相关系数XY ρ，判断是否不相关求函数Z =g (X , Y )的分布律及期望E [g (X , Y )]

课本P65，例1；P88，第36题；P115，第14题；P116，第22题；例

求边缘分布律P (X =k ) k =0,1,2 和P (Y =k ) k =0,1,2,3

求条件分布律P (X =k |Y =2) k =0,1,2和P (Y =k |X =1) k =0,1,2,3 求期望E (X )，E (Y )，方差D (X )，D (Y )

求协方差 cov(X ,Y )，相关系数XY ρ，判断是否不相关求Z =X +Y ，W =max{X ，Y }，V =min{X ，Y }的分布律

(4)已知二维连续型随机变量X 的联合密度函数f (x , y ) 确定参数

求概率P {(X ,Y )∈G }

求边缘密度)(x f X ，)(y f Y ，判断Y X ,是否相互独立求条件密度)|(|y x f Y X ，)|(|x y f X Y

求期望E (X )，E (Y )，方差D (X )，D (Y )

求协方差 cov(X ,Y )，相关系数XY ρ，判断是否不相关求函数Z =g (X , Y )的密度函数及期望E [g (X , Y )]

课本上P63，例2；P66，例2，P72，例4；P84，第3题；P85，第7题；P87，第22题；P117，第31题；

例：已知二维随机变量(X ，Y )的概率密度为???<<=其它,

,),(22y x y cx y x f ，

确定常数c 的值；

求概率P (X

求边缘密度)(x f X ，)(y f Y ，判断Y X ,是否相互独立求条件密度)|(|y x f Y X ，)|(|x y f X Y

求期望E (X )，E (Y )，方差D (X )，D (Y )

求协方差 cov(X ,Y )，相关系数XY ρ，判断是否不相关

4．会用中心极限定理解题。

例1：每次射击中，命中目标的炮弹数的均值为2，方差为25.1，求在100次射击中有180到220发炮弹命中目标的概率．例2：设从大批发芽率为0.9的种子中随意抽取1000粒，试求这1000粒种子中至少有880粒发芽的概率。

5．熟记(0-1)分布、二项分布、泊松分布的分布律、期望和方差，指数分布(参数λ)、均匀分布、正态分布的密度函数、期望和方差。

课本上P49，例3；P58，第26题；P117，第36题

例设)2,1(~),6.0,10(~N Y N X ，且X 与Y 相互独立，则(3)D X Y -=

四、数理统计部分必须要掌握的内容以及题型 1．统计量的判断。

2．计算样本均值与样本方差及样本矩。

3．熟记正态总体样本均值与样本方差的抽样分布定理。 4．会求未知参数的矩估计、极大似然估计。课本上P151，例2；P154，例5；P173，第4题

例：设总体X 的概率密度为()()???<<+=其它

,01

0,1x x x f θθ，n X X ,,1 是来自总

体X 的一个样本，求未知参数θ的矩估计量与极大似然估计量.

5．掌握无偏性与有效性的判断方法。

例：设321,,X X X 是来自总体X 的一个样本，下列统计量是不是总体均值的无偏估计

3212

110351X X X ++；)(31321X X X ++；321X X X -+；)(2121X X +；

32112

4331X X X ++ 求出方差，比较哪个更有效。

6．会求正态总体均值与方差的置信区间。课本上P164，例1；P175，第16题

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