排列组合复习课-解排列组合问题的常用技巧
1.2.3排列组合问题的常用方法
解:8人排前后两排,相当于8人坐8把椅子,可以把椅子排成一排.
2 A4 先在前4个位置排甲乙两个特殊元素有____种，
1 A4 再排后4个位置上的特殊元素有_____种，
A55 其余的5人在5个位置上任意排列有_____种，
1 A42 A4 A55 则共有____________种.
一般地，元素分成多排的排列问题， 可归结为一排考虑，再分段研究。
实际操作穷举策略
例.设有编号1,2,3,4,5的五个球和编号1,2 3,4,5的五个盒子,现将5个球投入这五 个盒子内,要求每个盒子放一个球，并且 恰好有两个球的编号与盒子的编号相同,. 有多少投法？
C5 解：从5个球中取出2个与盒子对号有_____种 利用实际 还剩下3球3盒序号不能对应， 操作法，如果剩下3,4,5号球, 3,4,5号盒 3号球装4号盒时，则4,5号球有只有1种 装法 3 4 5
解：因为10个名额没有差别，把它们排成一排。相邻名额之间形成９个空隙。 在９个空档中选7-1=６个位置插个隔板，可把名额分成７份，对 应地分给７个班级，每一种
C96 插板方法对应一种分法共有_____种分法。
将 n 个相同的元素分成 m 份（n、m为正整数），每份至少一个元素，可以用m-1 块隔板，插入 n 个元素排成一排的 n-1 个空隙中，所有分法数为
小集团排列问题中，先整体后局部， 再结合其它策略进行处理。
回目录
元素相同问题：隔板法
应用背景： 1、相同元素的名额分配问题 2、不定方程的正整数解问题
隔板法的使用特征：
相同的元素，分成若干部分，每部分至少一个。
元素相同问题(隔板法)
例：有10个运动员名额，分给7个班，每班至少一个, 有多少种分配方案？
高二数学《排列组合》复习课件
4、（徐州二模）从6人中选4人组成4×100m接 力赛，其中甲跑第一棒，乙不跑最后一棒，有多 少种选法？
分析：（一）直接法
（二）间接法
A A A 2 A A4
3 4 3 5 1 2
2 4
=48
5、（南通一模）一个三位数，其十位上的数字 既小于百位上的数字也小于个位上的数字（如 735，414等），那么这样的三位数有 285 个． 2 2 2 2
排列组合复习课
*
一、复习回顾： (一)、知识结构 排列 基 本 原 理 排列数公式 应 用 问 题
组合数公式
组合
组合数性质
(二)、重点难点 1. 两个基本原理
2. 排列、组合的意义
3. 排列数、组合数计算公式
4. 组合数的两个性质 5. 排列组合应用题
1. 两个基本原理
①分类记数原理（加法原理）：完成一件事，有 n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法， 在第2类办法中有m2种不同的方法……在第n类 办法中有mn种不同的方法,那么完成这件事共有 N= m1+ m2 +…..+ mn种不同的方法. ②分步记数原理（乘法原理）：完成一件事需要 n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2 步有m2种不同的方法， ……做第n步有mn种不 同的方法，那么完成这件事共有N= m1× m2 ×.…..× mn种不同的方法.
C C .
5. 排列组合应用题
（1） 正确判断是排列问题，还是组合 问题，还是排列与组合的综合问题。 （2） 解决比较复杂的排列组合问题时， 往往需要既分类又分步。正确分类，不 重不漏；正确分步，连续完整。 （3） 掌握基本方法，并能灵活选择使 用。
(三)、常用解题方法及适用题目类型
解排列组合问题的常用技巧归纳
步． 解答 含 有 约 束 条 件 的排 列 组 合 问 题 时 ， 应 按 元
◇畚 羞 鬻
式， 采 用 放缩 法证 明不等 式 ， 显得 简 洁 明 了． 个 易错 点 ：
蒿
素 的性质 分 类 ， 按 事 件 发 生 的连 续 过 程 分 步 ， 保 证 每
步独 立 ， 统一 分类 标 准 ， 分 步层 次清 晰 ， 不重 不漏 ． ｉ 例１ （ ２ ０ １ ４年 浙江 理 ）在 ８张 奖 券 中有 一 、 二、 种（ 用数
最大 ．
考 虑第 ２种 情 况时 ， 分别 考 虑 由第 １个 人 或第 ２个 人 获 得 奖券 ， 则会 得 出 ２ Ｃ ； 的错 误答 案 ， 原 因在 于 Ａ：已 经涵 盖 了所有 排序 情况 ， 此处属 于分 步 不清 ， 导 致
重复．
３ ）用二 项式 定 理证 明整 除 问题 ， 一般 将 被 除式变 为有关 除式 的二 项式 的形 式 再 展 开 ， 常采用“ 配凑法”
Ｔ ３ —１ ５ ×（ 一０ ． ０ ０ ２ ） 。 ＝０ ． ０ ０ ０ ０ ６ ＜０ ． ０ ０ １ ． 即第 ３项 以
后 的项 的绝对 值 都小 于 ０ ． ０ ０ １ ， 所 以从 第 ３项 起 ， 以后
的项 可 以忽 略不 计 ， 所 以
０ ． ９ ９ ８ ０ 一（ １ —０ ． ０ ０ ２ ） ≈ １ ＋６ ×（ 一０ ． ０ ０ ２ ） 一０ ． ９ ８ ８ ． ◇
５ 近 似 值 问题
。
例５ 求０ ． ９ ９ ８ 的近似 值 ， 使 误 差小 于 ０ ． ０ ０ １ ．
１ ５ ×（ 一 ． ｏ ｏ ２ ） ｚ ＋…＋（ 一０ ． ０ ０ ２ ） ８ ， 因 为
排列组合问题教案_排列组合解题技巧_排列组合问题经典例题_排列组合a和c的区别
排列组合的知识点（一）排列和排列数(1)排列：从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。
从排列的意义可知，如果两个排列相同，不仅这两个排列的元素必须完全相同，而且排列的顺序必须完全相同，这就告诉了我们如何判断两个排列是否相同的方法。
(2)排列数公式：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列当m＝n时，为全排列Pnn=n(n－1)(n－1)…3·2·1＝n！（二）组合和组合数(1)组合：从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从 n个不同元素中取出m 个元素的一个组合。
从组合的定义知，如果两个组合中的元素完全相同，不管元素的顺序如何，都是相同的组合；只有当两个组合中的元素不完全相同时，才是不同的组合。
(2)组合数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数这里要注意排列和组合的区别和联系，从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素，“按照一定的顺序排成一列”与“不管怎样的顺序并成一组”这是有本质区别的。
[反思] 排列与组合的共同点是从n个不同的元素中，任取m（m≤n）个元素，而不同点是排列是按照一定的顺序排成一列，组合是无论怎样的顺序并成一组，因此“有序”与“无序”是区别排列与组合的重要标志。
简单举例：1、2、3挑两个组成一个数字和1、2、3挑两个数字是完全不一样的！1、2、3挑两个组成一个数字那是排列；1、2、3挑两个数字那是组合。
例如我选1和2，排列里面12和21是两个数字！但是组合的话挑1和2就和挑2和1没有分别！！！《排列组合》教案教学目标：一.知识与技能目标：使学生通过观察，猜测，试验等活动，找出简单事物的排列规律，培养学生初步观察，分析，推理能力，以及有规律的全面思考问题。
二.过程与方法：引导学生使用数学方法解决实际生活中的问题，学会表达解决问题的大致过程。
三.情感态度目标：感受数学与生活的联系，激发学习数学，探索数学的浓厚兴趣，使学生在数学活动中养成与人合作的良好习惯。
解答排列组合的常用方法
N A55 . A22
（七）分排问题用“直接法”
把n个元素排成若干排的问题，若没有其 他的特殊要求，可采取统一排成一排的方法 来处理.
[例6] 7人坐两排座位，第一排坐3人，第二排 坐4人，则有多少种排法？
N A73 A44.
N A77.
（八）试验
题中附加条件增多，直接解决困难时， 用试验逐步寻找规律有时也是行之有效的方 法. [例7]将数字1、2、3、4填入标号为1、2、3、 4的四个方格内，每个方格填1个，则每个方 格的标号与所填的数字均不同的填法有多少种？
将各数字1、2、3、4分别填入编号为1、2、3、4的格子的方案分别记为： 2143、2341、2413；3142、3412、3421；4123、4312、4132.从而共9种.
各位数字值和为3的倍数.偶数就需要个位数字为
2、4、6.而被3整除就需要各位数字值和为3的倍数. 又 2+1+3+4+5=15，2+1+4+5+6=18.
满足题意的个数为N N1 N2 C21 A44 C31 A44 120.
以上介绍了排列组合应用题的几种常见求解 策略.这些策略不是彼此孤立的，而是相互依 存、相互为用的.有时解决某一问题时要综合 运用几种求解策略.
[例题1]用0、1、2、3、4、这五个数 字，组成没有重复数字的三位数，其中 偶数共有＿＿＿个.
分析：由于该三位数都是偶数，故末尾数字 必是偶数，又因为0不能排在首位，故0就是 其中的“特殊”元素，应先安排，按0排在 末尾和0不排在末尾分为两类：
①0排末尾时，有 A42个；②0不排在末尾时，有 A21 A31A31 个,由分类计数原理共有30个.
排列组合复习课 ppt课件
ppt课件
30
变式引申：
1、(x y)7的展开式中，系数绝对值最大的项是（ ）
A.第4项 B.第4、5项 C.第5项 D.第3、4项
2含、x若的项(x等3 于x12()n
展开式中的第6项的系数最大，则不 )
A.210 B.120 C.461 D.416
mnmncmn????10??ncmmmnnmaca??mnnmncc????11????????mnmnmnccc从n个丌同元素中取出m个元素按一定的顺序排成一列从n个丌同元素中取出m个元素把它并成一组所有排列的的个数所有组合的个数11mmnnana???先选后排只选丌排
排列组合、二项式定理 复习课
名称 定义
种数 符号 计算 公式 关系
性质
排列
从n个不同元素中取出m个元 素，按一定的顺序排成一列
组合
从n个不同元素中取出m个元 素，把它并成一组
所有排列的的个数
所有组合的个数
Anm
C
m n
Anm
Anm
n(n 1) (n m 1)
n! (n m)!
Ann n!
0! 1
C
m n
C
m n
n(n 1) (n m 1)
分析:由加法原理可知 C61 C62 C66 63
由乘法原理可知 2×2×2×2×2×2-1=63
ppt课件
4
基 础 练习
（1）5名同学报名参加4项活动（每人限报
4 1项），共有 5 种不同的报名方法
（2）5名同学争夺4项竞赛冠军，冠
5 军获得者共有 4 种可能
ppt课件
5
二、排列和组合的区别和联系：
排列组合复习课解排列组合问题的常用技巧课件
交通安排
在城市中选择最佳的交通 路径，涉及排列组合中的 排列问题。
彩票中奖
计算彩票中奖的概率，涉 及排列组合中的组合问题。
排列组合在计算机科学中的应用
算法设计
计算机程序设计中，算法 的复杂度分析涉及排列组 合中的计算。
数据结构
在数据结构中，对数据的 排列和组合涉及排列组合 中的相关知识。
加密算法
密码的生成和破解，涉及 排列组合中的排列和组合 问题。
2023
REPORTING
排列组合复习课：解 排列组合问题的常用 技巧
• 排列组合基本概念 • 排列组合问题的常用解题技巧 • 排列组合问题中的计数原理 • 排列组合问题中的实际应用 • 排列组合问题的模拟试题与解析
2023
PART 01
排列组合基本概念
REPORTING
排列的定义与计算公式
排列的定义
反面思考法
总结词
在解决排列组合问题时，有时候从正面思考比较困难，可以采用反面思考法来解决问题。
详细描述
反面思考法是一种常用的解题技巧，它主要用于解决从正面思考比较困难的问题。具体来说，反面思考法是通过 考虑问题的反面情况来解决问题。这种方法特别适用于涉及对立事件或不可能事件的问题，它可以简化计算过程 并提高准确性。
分步乘法计数原理
要点一
总结词
分步乘法计数原理是解决排列组合问题的基本方法之一， 其核心思想是将问题按照不同的步骤分为若干个小的步骤， 然后分别计算每个步骤的数量，最后将各个步骤的数量相 乘得到总数量。
要点二
详细描述
分步乘法计数原理的步骤是首先确定问题的不同步骤，然 后对每一步进行计数，最后将各个步骤的计数结果相乘。 这个原理在排列组合问题中广泛应用，例如在解决排列问 题、组合问题以及概率问题时非常有效。
排列(3)解排列问题的常用技巧资料
练习3
（1）0,1,2,3,4,5这六个数字可组成多少个无重
复数字的五位数？
A51 A54
（2）0，1，2，3，4，5可组成多少个无重复数
字的五位奇数？
A31 A41 A43
（四）顺序固定问题用“除法”
对于某几个元素顺序一定的排列问题，可先将 这几个元素与其它元素一同进行排列，然后用总的 排列数除以这几个元素的全排列数.
A77 2 A66 A55
（2）五人从左到右站成一排，其中甲不站排头， 乙不站第二个位置，那么不同的站法有（ ）
A.120
B.96
C.78
D.72
直接A44 A13A13A33 78种 间接A55 2A44 A33 78
（3）0,1,2,3,4,5这六个数字可组成多少个无重复数字 且个位数字不是4的五位数？
2020年7月26日星期日
解排列问题的常用技巧
解排列问题，首先必须认真审题，明确问 题是否是排列问题，其次是抓住问题的本质 特征，灵活运用基本原理和公式进行分析解 答，同时，还要注意讲究一些基本策略和方 法技巧，使一些看似复杂的问题迎刃而解。
下面就不同的题型介绍几种常用的解题 技巧。
（一）相邻问题——捆绑法 对于某几个元素要求相邻的排列问题，可先将相
C.40
D.60
分析：由于该三位数是偶数，所以末尾数字必须是偶数， 又因为0不能排首位，故0就是其中的“特殊”元素，应优 先安排。按0排在末尾和不排在末尾分为两类；
1) 0排在末尾时，有 A24 个；
2) 0不排在末尾时，先用偶数排个位，再排百位，最后排
十位有 A12A13A13 个；
由分类计数原理，共有偶数 30 个.
A65 2A54 A43 (个）
《高三排列组合复习》课件
应用
计算在n个不同元素中取出m个 元素进行组合的不同方式的数目
。
示例
在5个不同元素中取出3个元素进 行组合的不同方式的数目为 $C_{5}^{3} = frac{5 times 4
times 3}{1 times 2 times 3} = 10$。
排列组合的逆序数计算
逆序数的定义
排列与组合的差异
排列考虑顺序，组合不考虑顺 序；
排列数的计算需要考虑取出的 元素顺序，而组合数的计算则 不需要考虑取出的元素顺序；
在实际应用中，排列和组合各 有其适用场景，需要根据具体 问题选择使用。
02
排列组合基本公式的应用
排列数公式的应用
排列数公式
$A_{n}^{m} = n(n-1)(n-2)...(n-m+1)$
06
复习总结与展望
本章重点回顾
排列组合的基本概念
排列组合的解题思路
排列和组合的定义、排列数和组合数 的计算公式等。
如何根据问题类型选择合适的解题方 法，如分步乘法计数原理、分类加法 计数原理等。
排列组合的常见问题类型
如分组、分配、排列、组合等问题。
学习心得体会
通过本次复习，我更加深入地理解了 排列组合的基本概念和计算方法，对 于常见问题类型也有了更清晰的认识 。
定序问题
总结词
解决定序问题需要使用定序法，根据题意确定元素的顺序。
详细描述
在排列组合问题中，有时需要特别注意元素的顺序。例如，有5个不同的书和4 个不同的笔，要求书和笔的顺序为“书-笔-书-笔-书”，则只要使用分组法，将元素分成若干组进行排列。
详细描述
求函数 y = x^2 - 4x + 4 在区间 [0,4] 的最值点
排列组合问题解法总结
排列组合问题的常见解法一.元素相同问题隔板策略例1.有10个运动员名额，分给7个班，每班至少一个,有多少种分配方案解：因为10个名额没有差别，把它们排成一排．相邻名额之间形成９个空隙．在９个空档中选６个位置插个隔板，可把名额分成７份，对应地分给７个班级，每一种插板方法对应一种分法共有69C 种分法．注：这和投信问题是不同的，投信问题的关键是信不同，邮筒也不同，而这里的问题是邮筒不同，但信是相同的．即班级不同，但名额都是一样的． 练习题：个相同的球装5个盒中,每盒至少一个有多少装法 49C 2.100x y z w +++=求这个方程组的自然数解的组数 3103C 二.环排问题直排策略如果在圆周上m 个不同的位置编上不同的号码，那么从n 个不同的元素的中选取m 个不同的元素排在圆周上不同的位置，这种排列和直线排列是相同的；如果从n 个不同的元素的中选取m 个不同的元素排列在圆周上，位置没有编号，元素间的相对位置没有改变，不计顺逆方向，这种排列和直线排列是不同的，这就是环形排列的问题．一个m 个元素的环形排列，相当于一个有m 个顶点的多边形，沿相邻两个点的弧线剪断，再拉直就是形成一个直线排列，即一个m 个元素的环形排列对应着m 个直线排列，设从n 个元素中取出m 个元素组成的环形排列数为N 个，则对应的直线排列数为mN 个，又因为从n 个元素中取出m 个元素的排成一排的排列数为mnA 个，所以mn mN A=，所以m nA N m=．即从n 个元素中取出m 个元素组成的环形排列数为m nA N m =．n 个元素的环形排列数为!(1)!n n A n N n n n===-例2. 8人围桌而坐,共有多少种坐法解：围桌而坐与坐成一排的不同点在于，坐成圆形没有首尾之分，所以固定一人44A 并从此位置把圆形展成直线其余7人共有(81)!7!-=种排法，即7!7654321840=⨯⨯⨯⨯⨯⨯= 种七班练习题：6颗颜色不同的钻石，可穿成几种钻石圈 120 三.多排问题直排策略例人排成前后两排,每排4人,其中甲乙在前排,丙在后排,共有多少排法解:8人排前后两排,相当于8人坐8把椅子,可以把椅子排成一排.先排前４个位置，２个特殊元素有24A 种排法,再排后4个位置上的特殊元素丙有14A 种,其余的5人在5个位置上任意排列有55A 种,则共有215445A A A 种排法．（排好后，按前４个为前排，后４人为后排分成两排即可）练习题：有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是 346解：由于甲乙二人不能相邻，所以前排第1,4,8,11四个位置和后排第１，１２位置是排甲乙中的一个时，与它相邻的位置只能排除一个，而其它位置要排除３个，所以共有排列11116181417108238346C C C C +=+=四.排列组合混合问题先选后排策略例4.有5个不同的小球,装入4个不同的盒内,每盒至少装一个球,共有多少不同的装法.解:第一步从5个球中选出2个组成复合元共有25C 种方法.再把4个元素(包含一个复合元素)装入4个不同的盒内有44A 种方法，根据分步计数原理装球的方法共有2454C A练习题：一个班有6名战士,其中正副班长各1人现从中选4人完成四种不同的任务,每人完成一种任务,且正副班长有且只有1人参加,则不同的选法有 192 种五.小集团问题先整体后局部策略例5.用1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数其中恰有两个偶数在1,５在两个奇数之间,这样的五位数有多少个（注：两个偶数２，４在两个奇数１，５之间，这是题意，说这个结构不能被打破，故３只能排这个结构的外围，也就是说要把这个结构看成一个整体与３进行排列）．解：把１,５,２,４当作一个小集团与３排队共有22A 种排法，再排小集团内部共有2222A A 种排法，由分步计数原理共有222222A A A 种排法.练习题：１.计划展出10幅不同的画,其中1幅水彩画,４幅油画,５幅国画, 排成一行陈列,要求同一品种的必须连在一起，并且水彩画不在两端，那么共有陈列方式的种数为254254A A A 2. 5男生和５女生站成一排照像,男生相邻,女生也相邻的排法有255255A A A 种 六.正难则反总体淘汰策略例6.从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数字中取出三个数，使其和为不小于10的偶数,不同的取法有多少种解：这问题中如果直接求不小于10的偶数很困难,可用总体淘汰法．这十个数字中有5个偶数5个奇数,所取的三个数含有3个偶数的取法有35C ,只含有1个偶数的取法有1255C C ,和为偶数的取法共有123555C C C +．再淘汰和小于10的偶数共9种，符合条件的取法共有1235559C C C +-练习题：我们班里有43位同学,从中任抽5人,正、副班长、团支部书记至少有一人在内的 抽法有多少种七.平均分组问题除法策略例7. 6本不同的书平均分成3堆,每堆2本共有多少分法解: 分三步取书得222642C C C 种方法,但这里出现重复计数的现象,不妨记6本书为ABCDEF ，若第一步取AB,第二步取CD,第三步取EF该分法记为(AB,CD,EF),则222642C C C 中还有(AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB)(EF,CD,AB),(EF,AB,CD)共有33A 种取法 ,而这些分法仅是(AB,CD,EF)一种分法,故共有22264233C C C A 种分法．练习题：1 将13个球队分成3组,一组5个队,其它两组4个队, 有多少分法（544138422C C C A ） 名学生分成3组,其中一组4人, 另两组3人但正副班长不能分在同一组,有多少种不同的 分组方法 （1540）3.某校高二年级共有六个班级，现从外地转 入4名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排2名，则不同的安排方案种数为______（2224262290C C A A =） 八. 合理分类与分步策略例8.在一次演唱会上共10名演员,其中8人能能唱歌,5人会跳舞,现要演出一个2人唱歌2人伴舞的节目,有多少选派方法解：10演员中有5人只会唱歌，2人只会跳舞3人为全能演员．选上唱歌人员为标准进行研究 只会唱的5人中没有人选上唱歌人员共有2233C C 种,只会唱的5人中只有1人选上唱歌人员112534C C C 种,只会唱的5人中只有2人选上唱歌人员有2255C C 种，由分类计数原理共有 22112223353455C C C C C C C ++种．解含有约束条件的排列组合问题，可按元素的性质进行分类，按事件发生的连续过程分步，做到标准明确。
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4 3 A4 =288 处理其它位置。若有多个约束条件，往往是 由分步计数原理得 C C
3
考虑一个约束条件的同时还要兼顾其它条件
1 3
1 4
二.相邻元素捆绑策略（捆绑法） 例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相 邻, 共有多少种不同的排法. 解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成 一个复合元素，同时丙丁也看成一个 复合元素，再与其它元素进行排列， 同时对相邻元素内部进行自排。 要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用
解决排列组合综合性问题的一般过程如下:
1.认真审题弄清要做什么事 2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还 是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多 少步及多少类。 3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是 组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多 少个元素. ※解决排列组合综合性问题，往往类与步交 叉，因此必须掌握一些常用的解题策略， 以下来讲解这些常用策略
6
五.多排问题直排策略 例5.8人排成前后两排,每排4人,其中甲乙在 前排,丁在后排,共有多少排法 解:8人排前后两排,相当于8人坐8把椅子,可以 把椅子排成一排. 先在前4个位置排甲乙两 2 A4 个特殊元素有____种,再排后4个位置上的 1 特殊元素有_____种,其余的5人在5个位置 A4 2 1 5 5 A4 A4 A5 上任意排列有____种,则共有_________种. A5
练习题
一个班有6名战士,其中正副班长各1人 现从中选4人完成四种不同的任务,每人 完成一种任务,且正副班长有且只有1人 192 参加,则不同的选法有________ 种
七.小集团问题先整体局部策略 例7.用1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数 其中恰有两个偶数夹在1,５两个奇数之 间,这样的五位数有多少个？ 解：把１,５,２,４当作一个小集团与３排队 2 A2 共有____种排法，再排小集团内部共有 A22 A22 _______种排法，由分步计数原理共有 2 2 2 _______种排法. A2 A2 A2
抽法有多少种?
有些排列组合问题,正面直接考虑比较复杂, 而它的反面往往比较简捷,可以先求出它的 反面,再从整体中淘汰.
十.平均分组问题除法策略 例10. 6本不同的书平均分成3堆,每堆2本共有 多少分法？ 2 2 2 解: 分三步取书得 C 6C 4C 2 种方法,但这里出现 重复计数的现象,不妨记6本书为ABCDEF 若第一步取AB,第二步取CD,第三步取EF 2 2 2 该分法记为(AB,CD,EF),则 C 6C 4C 2 中还有 (AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB) 3 (EF,CD,AB),(EF,AB,CD)共有 A 3种取法 ,而 平均分成的组,不管它们的顺序如何,都是一 这些分法仅是(AB,CD,EF)一种分法,故共 3 2 2 2 种情况,所以分组后要一定要除以 A n (n为均 有 C 6C 4C 2 A 3 种分法。 n 分的组数)避免重复计数。
一般地,元素分成多排的排列问题, 前排 后排 可归结为一排考虑,再分段研究.
六.排列组合混合问题先选后排策略 例6.有5个不同的小球,装入4个不同的盒内, 每盒至少装一个球,共有多少不同的装 法. 解:第一步从5个球中选出2个组成复合元共 2 C5 有__种方法.再把5个元素(包含一个复合 4 元素)装入4个不同的盒内有_____种方法. A4 2 4 C5 A4 根据分步计数原理装球的方法共有_____ 解决排列组合混合问题,先选后排是最基本 的指导思想.此法与相邻元素捆绑策略相似 吗?
小集团排列问题中，先整体后局 3 1524 部，再结合其它策略进行处理。
小集团
关于计数的研究,首先是从一些简单、 具体的实例 出发，从中获得解决一般性问题的经验，得出解决一 般问题的思路的. 主要的计数思想:分类与分步、模型处理思想、优 限法思想、正难则反思想、先选后排思想等. 常见问题的类型:组合与排列问题、 至多与至少问 题、相邻与不相邻问题等. 解题有法，但无定法.
元素相离问题可先把没有位置要求的元素进 相 独 独 独 相 行排队再把不相邻元素插入中间和两端
四.重排问题求幂策略 例4.把6名实习生分配到7个车间实习,共有 多少种不同的分法 解:完成此事共分六步:把第一名实习生分配 到车间有7种分法. 把第二名实习生分配 到车间也有7种分法， 依此类推,由分步计 数原理共有7 种不同的排法 允许重复的排列问题的特点是以元素为研究 对象，元素不受位置的约束，可以逐一安排 各个元素的位置，一般地n不同的元素没有限 制地安排在m个位置上的排列数为 n 种 m
A n! n m C Cn A m !(n m )!
m n
C
m n 1
C
m 1 n
C
m n
强调：排列——次序性； 组合——无序性．
解决实际问题时首先要看是否与 顺序有关，从而确定是排列问题 还是组合问题，必要时要利用分 类和分步计数原理．
在处理问题时，一般可采用直接和间接 两种思维形式，从而寻求有效的解题途径．
练习题
某排共有10个座位，若4人就坐，每人左右 两边都有空位，那么不同的坐法有多少种？
十三.实际操作穷举策略
例13.设有编号1,2,3,4,5的五个球和编号1,2,3,4,5 的五个盒子,现将5个球投入这五盒子内,要求每个盒 子放一个球，并且恰好有两个球的编号与盒子的编号 类似列举法 相同,有多少投法? 解：从5个球中取出2个与盒子对号有_____种,还剩 C5 下3球3盒序号不能对应， 利用实际操作法，如果剩 下3,4,5号球和3,4,5号盒,3号球装4号盒时，则4,5 号球有只有1种装法. 同理3号球装5号盒时,4,5号球 2 有也只有1种装法,由分步计数原理有2 C 5种. 5 3 4
N=m1m2 mn
复习回顾
排列 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素,
按照一定的顺序排成一列,叫做从n个 不同元素中取出m个元素的一个排列.
排列数 从 n 个不同元素中取出 排列数公式
m An
m(m≤n) 个元素的 所有排列的个数， 叫做从 n个不同元素中取出 m个元素的排列数。
n(n 1)(n 2)(n m 1)
基 本 原 理 排列
组合
排列数公式
组合数公式
组合数性质
应 用 问 题
变式：
１.计划展出10幅不同的画,其中1幅水彩画,４ 小集团问题 幅油画,５幅国画, 排成一行陈列,要求同一 和捆绑法类 品种的必须连在一起，并且水彩画不在两 2 5 4 A2 A5 A4 似吗？ 端，那么共有陈列方式的种数为_______ 2. 5男生和５女生站成一排照像,男生相邻,女 2 5 5 A2 A5 A5 生也相邻的排法有_______种
一.特殊元素和特殊位置优先策略（优先法）
例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字 五位奇数. 解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安 排,以免不合要求的元素占了这两个位置 1 位置分析法和元素分析法是解决排列组合问 C3 先排末位共有___ 1 题最常用也是最基本的方法,若以元素分析为 C4 然后排首位共有___ 主,需先安排特殊元素,再处理其它元素.若以 3 最后排其它位置共有___C1 A4 A3 C1 位置分析为主,需先满足特殊位置的要求,再
2
3号盒
4号盒
5号盒
课堂小结：
排列、组合问题解题方法比较灵活，问 题思考的角度不同，就会得到不同的解法. 若选择的切入角度得当，则问题求解简 便，否则会变得复杂难解. 学习中既要注意比较不同解法的优劣， 更要注意体会如何对一个问题进行认识思 考，才能得到最优方法.
1．对有约束条件问题，注意如下类型最常见： ⑴特殊位置；⑵必须相邻；⑶不能相邻； 2．基本的解题方法： ⑴ 优先法； ⑵ 捆绑法； ⑶ 插空法；
1 将13个球队分成3组,一组5个队,其它两组4 个队, 有多少分法？C C C
5 4 4 13
A8 2 24 Nhomakorabea十一. 合理分类与分步策略 例11.在一次演唱会上共10名演员,其中7人能 能唱歌,4人会跳舞,现要演出一个2人 唱歌2人伴舞的节目,有多少选派方法? 解： 10演员中有6人只会唱歌，3人只会跳舞 以“全能型”是否被 1人为“全能型”。 选上为标准进行研究： 解含有约束条件的排列组合问题，可按元素 CC “全能型”没有被选上的选法共有____种, 的性质进行分类，按事件发生的连续过程分 “全能型”若被选上，则又可以分两类： 步，做到标准明确。分步层次清楚，不重不 C 2C 1 ①他唱歌的选法共有______种， 漏，分类标准一旦确定要贯穿于解题过程的 ②他跳舞的选法共有 C 6C 3 种, 2 1 始终。 由分类计数原理共有_________+C 6C 3 _种。 C C +C C
八.元素相同问题隔板策略 例8.有10个运动员名额，在分给7个班，每 班至少一个,有多少种分配方案？ 解：因为10个名额没有差别，把它们排成 一排。相邻名额之间形成９个空隙。 在９个空档中选６个位置插个隔板， 可把名额分成７份，对应地分给７个 班级，每一种插板方法对应一种分法 6 C9 共有___________种分法。 将n个相同的元素分成m份（n，m为正整数）, 每份至少一个元素,可以用m-1块隔板，插入n 个元素排成一排的n-1个空隙中，所有分法数 二 四 六 七 三 五 m 1 一 为 C n 1 班 班 班 班 班 班 班
练习题
１.将8个学生干部的培训指标分配给5个不同的 班级，每班至少分到1个名额，共有多少种不同 的分配方法？ ２ .从6个学校中选出30名学生参加数学竞 赛,每校至少有1人,这样有几种选法?
九.正难则反总体淘汰策略
这个就是著 例9.我们班里有62位同学,从中任抽5人,正、 名的“间接 副班长、团支部书记至少有一人在内的 法”！
甲乙 丙丁
捆绑法来解决问题.即将需要相邻的元素合并 5 2 2 由分步计数原理可得共有 A5 A2 A2 =480 为一个元素,再与其它元素一起作排列,同时 种不同的排法 要注意合并元素内部也必须排列.