规范快做解答题
9 规范答题示范(二) 高考解答题——解三角形
④求出sinB，得1分；
⑤利用面积公式及已知，求出ac得2分；
只运算结果错误扣1分；
⑥利用余弦定理求出b得3分；
只运算结果错误扣1分．
■核心素养
解三角形问题是高考的必考问题，解三角形与三角函数的结合是高考的常见题型；本题型重点考查灵活运用公式并通过“数学运算”解决问题的能力．
■解题引领
(1)要善于抓解题关键点，解题步骤中明显呈现得分点，如本题(1)中cosB与sin2 的关系的呈现．
(2)中利用余弦定理体a＋c与ac的关系等.
又S△ABC＝2，则ac＝ ，9分
由余弦定理及a＋c＝6得
b2＝a2＋c2－2accosB
＝(a＋c)2－2ac(1＋cosB)
＝36－2× × ＝4，
所以b＝2.12分
■评分细则
①将sin(A＋C)转化为sinB得2分；
②会利用降幂公式将2sin2 转化为1－cosB得2分；
③利用平方关系转化为关于cosB的方程，并求得正确结果得2分；
规范答题示范(二)高考解答题——解三角形
真题展示
解题思路
(12分)(2017·高考全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 ❶
(1)求cosB.
(2)若 ❷求b.
❶看到sin(A＋C)＝8sin2 ，想到A＋C＝π－B.
❷看到a＋c＝6，△ABC的面积为2，想到由cosB可求得sinB，为此可以利用三角形面积公式求出ac，再利用余弦定理，结合a＋c＝6，求b.
■标准答案(规范答题 分步得分)
(1)由题设及A＋B＋C＝π得
sinB＝8sin2 ，2分
故sinB＝4(1－cosB)，4分
上式两边平方，整理得
高三数学 解答题每日规范练
高三数学答题强化训练三角问题【题目1】 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且tan Btan A＋1＝2c a.(1)求B ；(2)若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫C ＋π6＝13，求sin A 的值.解 (1)由tan B tan A ＋1＝2c a 及正弦定理得sin B cos A cos B sin A ＋1＝2sin C sin A，所以sin B cos A ＋cos B sin A cos B sin A ＝2sin Csin A，即sin （A ＋B ）cos B sin A ＝2sin C sin A ，则sin C cos B sin A ＝2sin C sin A . 因为在△ABC 中，sin A ≠0，sin C ≠0， 所以cos B ＝12.因为B ∈(0，π)，所以B ＝π3.(2)因为0<C <2π3，所以π6<C ＋π6<5π6. 因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫C ＋π6＝13，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫C ＋π6＝223.所以sin A ＝sin(B ＋C )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫C ＋π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫C ＋π6＋π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫C ＋π6cos π6＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫C ＋π6sin π6＝26＋16.(立体几何问题【题目2】 如图，在三棱锥A －BCD 中，AB ⊥AD ，BC ⊥BD ，平面ABD ⊥平面BCD ，点E ，F (E 与A ，D 不重合)分别在棱AD ，BD 上，且EF ⊥AD .求证：(1)EF ∥平面ABC ； (2)AD ⊥AC .证明 (1)在平面ABD 内，AB ⊥AD ，EF ⊥AD ， 则AB ∥EF .∵AB ⊂平面ABC ，EF ⊄平面ABC ， ∴EF ∥平面ABC .(2)∵BC ⊥BD ，平面ABD ∩平面BCD ＝BD ，平面ABD ⊥平面BCD ，BC ⊂平面BCD ， ∴BC ⊥平面ABD .∵AD ⊂平面ABD ，∴BC ⊥AD .又AB ⊥AD ，BC ，AB ⊂平面ABC ，BC ∩AB ＝B ， ∴AD ⊥平面ABC ，又因为AC ⊂平面ABC ， ∴AD ⊥AC .解析几何问题【题目3】已知椭圆C 的中心为坐标原点O ，一个长轴端点为(0，2)，短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，直线l 与y 轴交于点P (0，m )，与椭圆C 交于相异两点A ，B ，且AP →＝2PB →. (1)求椭圆方程； (2)求m 的取值范围.解 (1)由题意知椭圆的焦点在y 轴上，设椭圆方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b ＞0)，由题意知a ＝2，b ＝c ，又a 2＝b 2＋c 2，则b ＝2，所以椭圆方程为y 24＋x 22＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意，直线l 的斜率存在，设其方程为y ＝kx ＋m ，与椭圆方程联立，即⎩⎨⎧y 2＋2x 2＝4，y ＝kx ＋m ，则(2＋k 2)x 2＋2mkx ＋m 2－4＝0，Δ＝(2mk )2－4(2＋k 2)(m 2－4)＞0，解上述一元二次方程后易得：⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－2mk2＋k2，x 1·x 2＝m 2－42＋k 2.又AP →＝2PB →，即有(－x 1，m －y 1)＝2(x 2，y 2－m ). ∴－x 1＝2x 2，∴⎩⎨⎧x 1＋x 2＝－x 2，x 1x 2＝－2x 22.∴m 2－42＋k 2＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫2mk 2＋k 22，整理得(9m 2－4)k 2＝8－2m 2， 又9m 2－4＝0时不成立， ∴k 2＝8－2m 29m 2－4＞0，得49＜m 2＜4，此时Δ＞0. ∴m 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－23∪⎝ ⎛⎭⎪⎫23，2.实际应用问题【题目4】 某农户准备建一个水平放置的直四棱柱形储水窖(如图)，其中直四棱柱的高AA 1＝10 m ，两底面ABCD ，A 1B 1C 1D 1是高为2 m ，面积为10 m 2的等腰梯形，且∠ADC ＝θ⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜θ＜π2.若储水窖顶盖每平方米的造价为100元，侧面每平方米的造价为400元，底部每平方米的造价为500元.(1)试将储水窖的造价y 表示为θ的函数；(2)该农户如何设计储水窖，才能使得储水窖的造价最低，最低造价是多少元(取3＝1.73)?解 (1)过点A 作AE ⊥DC ，垂足为点E ，则AE ＝2，DE ＝2tan θ，AD ＝2sin θ，令AB ＝x ，从而CD ＝x ＋4tan θ，故12×2×⎝⎛⎭⎪⎫x ＋x ＋4tan θ＝10， 解得x ＝5－2tan θ，CD ＝5＋2tan θ，所以y ＝(20＋2AD ×10)×400＋(10AB )×500＋(10CD )×100＝8 000＋8 000×2sin θ＋5 000×⎝ ⎛⎭⎪⎫5－2tan θ＋1 000⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋2tan θ＝38 000＋8 000⎝⎛⎭⎪⎫2sin θ－1tan θ⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜θ＜π2. (2)因为y ＝38 000＋8 000×2－cos θsin θ，所以y ′＝8 000sin 2θ－（2－cos θ）cos θsin 2θ＝8 000（1－2cos θ）sin 2θ.令y ′＝0，则θ＝π3， 当θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π3时，y ′＜0，此时函数y 单调递减；当θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2时，y ′＞0，此时函数y 单调递增.所以当θ＝π3时，y min ＝38 000＋8 0003＝51 840.所以当∠ADC ＝60°时，造价最低，最低造价为51 840元.数列问题【题目5】已知各项均为正数的数列{a n }的首项a 1＝1，S n 是数列{a n }的前n 项和，且满足：a n S n ＋1－a n ＋1S n ＋a n －a n ＋1＝λa n a n ＋1(λ≠0，n ∈N *). (1)若a 1，a 2，a 3成等比数列，求实数λ的值； (2)若λ＝12，求S n .解(1)令n ＝1，a 1S 2－a 2S 1＋a 1－a 2＝λa 1a 2， 解得a 2＝21＋λ.令n ＝2，a 2S 3－a 3S 2＋a 2－a 3＝λa 2a 3， 解得a 3＝2λ＋4（λ＋1）（2λ＋1）.由a 22＝a 1a 3得⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋λ2＝2λ＋4（λ＋1）（2λ＋1）， 因为λ≠0，所以λ＝1.(2)当λ＝12时，a n S n ＋1－a n ＋1S n ＋a n －a n ＋1＝12a n a n ＋1，所以S n ＋1a n ＋1－S n a n ＋1a n ＋1－1a n ＝12，即S n ＋1＋1a n ＋1－S n ＋1a n ＝12， 所以数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫S n ＋1a n 是以2为首项，12为公差的等差数列，所以S n ＋1a n ＝2＋(n －1)·12，即S n ＋1＝n ＋32a n ，①当n ≥2时，S n －1＋1＝n ＋22a n －1，②由①－②得a n ＝n ＋32a n －n ＋22a n －1， 即(n ＋1)a n ＝(n ＋2)a n －1，所以a nn ＋2＝a n －1n ＋1(n ≥2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n n ＋2是各项为13的常数列，所以a n ＝13(n ＋2).代入①得S n ＝n ＋32a n －1＝n 2＋5n 6.函数与导数问题【题目6】已知函数f (x )＝e x ，g (x )＝x －b ，b ∈R. (1)若函数f (x )的图象与函数g (x )的图象相切，求b 的值； (2)设T (x )＝f (x )＋ag (x )，a ∈R ，求函数T (x )的单调增区间；(3)设h (x )＝|g (x )|·f (x )，b ＜1.若存在x 1，x 2∈[0，1]，使|h (x 1)－h (x 2)|＞1成立，求b 的取值范围.解 (1)设切点为(t ，e t )，因为函数f (x )的图象与函数g (x )的图象相切， 所以e t ＝1，且e t ＝t －b ，解得b ＝－1. (2)T (x )＝e x ＋a (x －b )，T ′(x )＝e x ＋a . 当a ≥0时，T ′(x )＞0恒成立.当a ＜0时，由T ′(x )＞0得x ＞ln(－a ).所以，当a ≥0时，函数T (x )的单调增区间为(－∞，＋∞)； 当a ＜0时，函数T (x )的单调增区间为(ln(－a )，＋∞).(3)h (x )＝|g (x )|·f (x )＝⎩⎨⎧（x －b ）e x，x ≥b ，－（x －b ）e x，x ＜b .当x ＞b 时，h ′(x )＝(x －b ＋1)e x ＞0， 所以h (x )在(b ，＋∞)上为增函数；当x ＜b 时，h ′(x )＝－(x －b ＋1)e x ，因为b －1＜x ＜b 时，h ′(x )＝－(x －b ＋1)e x ＜0， 所以h (x )在(b －1，b )上是减函数；因为x ＜b －1时，h ′(x )＝－(x －b ＋1)e x ＞0， 所以h (x )在(－∞，b －1)上是增函数. ① 当b ≤0时，h (x )在(0，1)上为增函数， 所以h (x )max ＝h (1)＝(1－b )e ，h (x )min ＝h (0)＝－b . 由h (x )max －h (x )min ＞1得b ＜1，所以b ≤0； ②当0＜b ＜ee ＋1时，因为b ＜x ＜1时，h ′(x )＝(x －b ＋1)e x ＞0， 所以h (x )在(b ，1)上是增函数，因为0＜x ＜b 时，h ′(x )＝－(x －b ＋1)e x ＜0， 所以h (x )在(0，b )上是减函数，所以h (x )max ＝h (1)＝(1－b )e ，h (x )min ＝h (b )＝0. 由h (x )max －h (x )min ＞1得b ＜e －1e .因为0＜b ＜e e ＋1，所以0＜b ＜e －1e；② 当ee ＋1≤b ＜1时，同理可得h (x )在(0，b )上是减函数，在(b ，1)上是增函数，所以h (x )max ＝h (0)＝b ，h (x )min ＝h (b )＝0. 因为b ＜1，所以h (x )max －h (x )min ＞1不成立. 综上所述，b 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫－∞，e －1e . 解答题综合练【题目1】 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设向量m ＝(a ，c )，n ＝(cos C ，cos A ).(1)若m ∥n ，c ＝3a ，求角A ；(2)若m ·n ＝3b sin B ，cos A ＝45，求cos C 的值.解 (1)∵m ∥n ，∴a cos A ＝c cos C . 由正弦定理得sin A cos A ＝sin C cos C ， 化简得sin 2A ＝sin 2C . ∵A ，C ∈(0，π)，且c ＝3a ， ∴2A ＝2C (舍)或2A ＋2C ＝π， ∴A ＋C ＝π2，∴B ＝π2，在Rt △ABC 中，tan A ＝a c ＝33，A ＝π6. (2)∵m ·n ＝3b cos B ， ∴a cos C ＋c cos A ＝3b sin B .由正弦定理得sin A cos C ＋sin C cos A ＝3sin 2B ， 从而sin(A ＋C )＝3sin 2B . ∵A ＋B ＋C ＝π，∴sin(A ＋C )＝sin B ，且sin B ≠0，从而sin B ＝13，∵cos A ＝45>0，A ∈(0，π)，∴A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，sin A ＝35.∵sin A >sin B ，∴a >b ，从而A >B ，B 为锐角，cos B ＝223. ∴cos C ＝－cos(A ＋B ) ＝－cos A cos B ＋sin A sin B ＝－45×223＋35×13＝3－8215.【题目2】如图，△ABC 和△BCD 所在平面互相垂直，且AB ＝BC ＝BD ＝2，∠ABC＝∠DBC＝120°，E，F，G分别为AC，DC，AD的中点.(1)求证：EF⊥平面BCG；(2)求三棱锥D－BCG的体积.(1)证明由已知得△ABC≌△DBC，因此AC＝DC.又G为AD的中点，所以CG⊥AD.同理BG⊥AD，又BG∩CG＝G，因此AD⊥平面BCG.又EF∥AD，所以EF⊥平面BCG.(2)解在平面ABC内，作AO⊥BC，交CB的延长线于O，如图由平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD＝BC，AO⊂平面ABC，知AO⊥平面BDC.又G为AD中点，因此G到平面BDC的距离h是AO长度的一半.在△AOB中，AO＝AB·sin 60°＝3，所以V D－BCG＝V G－BCD＝13S△DBC·h＝13×12BD·BC·sin 120°·32＝12.【题目3】若两个椭圆的离心率相等，则称它们为“相似椭圆”.如图，在直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：x26＋y23＝1，A1，A2分别为椭圆C1的左、右顶点.椭圆C2以线段A1A2为短轴且与椭圆C1为“相似椭圆”.(1)求椭圆C2的方程；(2)设P为椭圆C2上异于A1，A2的任意一点，过P作PQ⊥x轴，垂足为Q，线段PQ交椭圆C1于点H.求证：H为△PA1A2的垂心.(垂心为三角形三条高的交点) (1)解由题意可知A1(－6，0)，A2(6，0)，椭圆C1的离心率e＝22.设椭圆C 2的方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，则b ＝ 6.因为b a ＝1－e 2＝22，所以a ＝2 3. 所以椭圆C 2的方程为y 212＋x 26＝1. (2)证明设P (x 0，y 0)，y 0≠0，则y 2012＋x 206＝1， 从而y 20＝12－2x 20.将x ＝x 0代入x 26＋y 23＝1得x 206＋y 23＝1，从而y 2＝3－x 202＝y 204， 即y ＝±y 02.因为P ，H 在x 轴的同侧， 所以取y ＝y 02，即H (x 0，y 02).所以kA 1P ·kA 2H ＝y 0x 0－6·12y 0x 0＋6＝y 202（x 20－6）＝12－2x 22（x 20－6）＝－1， 从而A 1P ⊥A 2H .又因为PH ⊥A 1A 2，所以H 为△PA 1A 2的垂心.【题目4】 图1是一段半圆柱形水渠的直观图，其横断面如图2所示，其中C 为半圆弧ACB ︵的中点，渠宽AB 为2米.(1)当渠中水深CD 为0.4米时，求水面的宽度；(2)若把这条水渠改挖(不准填土)成横断面为等腰梯形的水渠，且使渠的底面与地面平行，则当改挖后的水渠底宽为多少时，所挖出的土量最少？解 (1)以AB 所在的直线为x 轴，AB 的中垂线为y 轴，建立如图所示的直角坐标系xOy ，因为AB ＝2米，所以半圆的半径为1米， 则半圆的方程为x 2＋y 2＝1(－1≤x ≤1，y ≤0).因为水深CD ＝0.4米，所以OD ＝0.6米，在Rt △ODM 中，DM ＝OM 2－OD 2＝1－0.62＝0.8米.所以MN ＝2DM ＝1.6米，故沟中水面宽为1.6米.(2)为使挖掉的土最少，等腰梯形的两腰必须与半圆相切，设切点P (cos θ，sin θ)⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＜θ＜0是圆弧BC 上的一点，过点P 作半圆的切线得如图所示的直角梯形OCFE ，得切线EF 的方程为x cos θ＋y sin θ＝1. 令y ＝0，得E ⎝⎛⎭⎪⎫1cos θ，0，令y ＝－1，得F ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋sin θcos θ，－1. 设直角梯形OCFE 的面积为S .则S ＝（CF ＋OE ）·OC 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋sin θcos θ＋1cos θ×12＝2＋sin θ2cos θ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＜θ＜0. S ′＝cos θ·2cos θ－（2＋sin θ）（－2sin θ）4cos 2θ＝1＋2sin θ2cos 2θ，令S ′＝0，解得θ＝－π6.当－π2＜θ＜－π6时，S ′＜0，函数单调递减；当－π6＜θ＜0时，S ′＞0，函数单调递增.所以θ＝－π6时，面积S 取得最小值，最小值为32，此时CF ＝1＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6cos ⎝⎛⎭⎪⎫－π6＝33，即当渠底宽为233米时，所挖的土最少. 【题目5】已知无穷数列{a n }的各项均为正整数，S n 为数列{a n }的前n 项和. (1)若数列{a n }是等差数列，且对任意正整数n 都有S n 3＝(S n )3成立，求数列{a n }的通项公式；(2)对任意正整数n ，从集合{a 1，a 2，…，a n }中不重复地任取若干个数，这些数之间经过加减运算后所得数的绝对值为互不相同的正整数，且这些正整数与a 1，a 2，…，a n 一起恰好是1至S n 全体正整数组成的集合. (ⅰ)求a 1，a 2的值； (ⅱ)求数列{a n }的通项公式.解 (1)设无穷等差数列{a n }的公差为d ，因为S n 3＝(S n )3对任意正整数n 都成立，所以分别取n ＝1，n ＝2时，则有：⎩⎨⎧a 1＝a 31，8a 1＋28d ＝（2a 1＋d ）3.因为数列{a n }的各项均为正整数， 所以d ≥0.可得a 1＝1，d ＝0或d ＝2. 当a 1＝1，d ＝0时，a n ＝1，S n 3＝(S n )3成立； 当a 1＝1，d ＝2时，S n ＝n 2，所以S n 3＝(S n )3.因此，共有2个无穷等差数列满足条件，通项公式为a n ＝1或a n ＝2n －1. (2)(ⅰ)记A n ＝{1，2，…，S n }，显然a 1＝S 1＝1.对于S 2＝a 1＋a 2＝1＋a 2，有A 2＝{1，2，…，S n }＝{1，a 2，1＋a 2，|1－a 2|}＝{1，2，3，4}，故1＋a 2＝4，所以a 2＝3.(ⅱ)由题意可知，集合{a 1，a 2，…，a n }按上述规则，共产生S n 个正整数. 而集合{a 1，a 2，…，a n ，a n ＋1}按上述规则产生的S n ＋1个正整数中，除1，2，…，S n 这S n 个正整数外，还有a n －1，a n ＋1＋i ，|a n ＋1－i |(i ＝1，2，…，S n )，共2S n ＋1个数.所以，S n ＋1＝S n ＋(2S n ＋1)＝3S n ＋1. 又S n ＋1＋12＝3⎝⎛⎭⎪⎫S n＋12， 所以S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫S 1＋12·3n －1－12＝12·3n －12.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1 ＝12·3n －12－⎝ ⎛⎭⎪⎫12·3n －1－12＝3n －1.而a 1＝1也满足a n ＝3n －1.所以，数列{a n }的通项公式是a n ＝3n －1.【题目6】已知函数f (x )＝a ln x －1x(a 为常数).(1)若曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与直线x ＋2y －5＝0垂直，求a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间；(3)当x ≥1时，f (x ) ≤2x －3恒成立，求a 的取值范围. 解 (1)函数f (x )的定义域为{x |x ＞0}，f ′(x )＝ax ＋1x 2. 又曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与直线x ＋2y －5＝0垂直，所以f ′(1)＝a ＋1＝2，即a ＝1. (2)由f ′(x )＝ax ＋1x 2(x ＞0)，当a ≥0时， f ′(x )＞0恒成立，所以f (x )的单调增区间为(0，＋∞).当a ＜0时，由f ′(x )＞0， 得0＜x ＜－1a，所以f (x )的单调增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－1a ； 由f ′(x )＜0，得x ＞－1a，所以f (x )的单调减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，＋∞.(3)设g (x )＝a ln x －1x－2x ＋3，x ∈[1，＋∞)，则g ′(x )＝a x ＋1x 2－2＝－2x 2＋ax ＋1x 2.令h (x )＝－2x 2＋ax ＋1，考虑到h (0)＝1＞0， 当a ≤1时，h (x )＝－2x 2＋ax ＋1的对称轴x ＝a4＜1，h (x )在[1，＋∞)上是减函数，h (x ) ≤h (1)＝a －1≤0， 所以g ′(x ) ≤0，g (x )在[1，＋∞)上是减函数， 所以g (x ) ≤g (1)＝0， 即f (x ) ≤2x －3恒成立.当a ＞1时，令h (x )＝－2x 2＋ax ＋1＝0， 得x 1＝a ＋a 2＋84＞1，x 2＝a －a 2＋84＜0，当x ∈[1，x 1)时，h (x )＞0， 即g ′(x )＞0，g (x )在[1，x 1)上是增函数； 当x ∈(x 1，＋∞)时，h (x )＜0， 即g ′(x )＜0，g(x)在(x，＋∞)上是减函数.1所以0＝g(1)＜g(x1)，即f(x1)＞2x1－3，不满足题意. 综上，a的取值范围为(－∞，1].。
数学规范答题要求
数学规范答题要求一、规范审题在考场上建议“审题要慢，解答要快”，在审题时一定要仔细。
读题画线,标记，把条件弄清楚，同时要实现数学的三种语言的转化（文字语言、符号语言、图形语言）。
事实上，这也是一个理清思路的过程，要知道，找到准确的思路和正确的方法远比盲目下笔要重要的多！记住：在没有弄清题意之前的答题是徒劳的。
二、规范步骤会做的题当然要做对、做全、得满分，答题时注意步骤的“全”，要分步写出，不要一下子写出一个答案，万一答案错了，则步骤分也没有了。
不会做的或是难题该怎样得分呢？首先遇到难题不要放弃，岂不知“易题得满分难，难题得小分易”，一般的难题第一、二问都是能得分的，即使一点思路都没有，我们不妨罗列一些相关的重要步骤和公式，也许不觉中已找到了解题的思路。
再就是要学会“分步得分”，高考数学解答题评分的总原则是“分步给分”，即会多少知识给多少分，所以你可能前面某个地方卡住了，可以先跳过去，假定它是正确的，向后求解；或是前后两问无联系，只做其中某一问等等。
记住：答题中分步答题、退步答题、跳步答题技巧的灵活运用。
三、规范计算1、草稿纸的使用要得当不论是高考还是平时的考试中，草稿纸要使用得当，保持一个有序的思维，不要在一大张纸上胡乱画，东写一些，西写一些，而是要在平时就养成习惯，打草稿也要像解题一样，一道一道的挨着住下写，每一题的草稿都写在一块，而且要思路清晰，使得自己在检查时，一下子就能找到它们。
第一遍完成的题目，自己的把握也不一样，这就需要在草稿纸的题号前注上自己可识别的符号，以确定检查的侧重点。
总之，要做到有序而不乱，这是一个良好的习惯，也是考试的一种有效方法。
2、转移答案要细心。
很多同学在草稿纸上解答的很正确。
但是，当把答案转移到试卷上时却抄错了。
这样的错误更是不应该。
四、规范书写1。
语文高考答题规范和技巧
高考语文答题规范和技巧（一）社科类文本阅读1、首先在题目中“选出正确的”或“选出不正确的”下面划一横线，看清题目要求；2、运用“代入还原比较法”，即每一个选项一定要还原到文中的参照位置，仔细辨别，判断正误；3、找准答题区间，前瞻后顾，整体把握，多用排除法，快速答题，节约时间。
4、记清常见设误类型。
（二）文言文阅读1、一读，划出难字，疏通文意；2、二读，要充分利用第六题的有效信息，理解全文；3、三读，以题解题，从已知求未知；4、实词考查题可使用“代入法”，信息筛选题一般采用“排除法”。
5、翻译题直译为主，意译为辅，做到信、达、雅。
（三）古诗词鉴赏题1、首先要“五看”：看标题、看作者、看诗句、看注释、看题干，充分利用有效的诗歌信息。
2、要学会“五步鉴赏法”，掌握正确的鉴赏流程：找出意象——领会意境——理解形象——把握感情——鉴赏评价。
3、要弄清诗词类别，掌握一些常见修辞手法和表现手法；要掌握一些著名作家的典型的作品风格。
4、答题思路及要领：审清题意——明确观点——阐释具体。
（四）名篇名句默写要求：精准把握，一分不丢。
（五）现代文阅读1、要特别注意一点：一定要先选题，后答题，一定要涂黑选题方框；要记住三句话：一要全面审题；二要规范答题；三要完整表达。
2、掌握答题要领（1）、快速解读，把握主旨。
做题之前，必须读两遍文章。
第*遍速读，摄取各段大概意思，整体认知；第二遍精读，画出过渡句、中心句等关键句，弄清结构层次。
（2）、如何进行全面的解答。
强调三点：A、回答问题，不能用比喻、拟人等形象化的修辞语言；B、综合分析，不能只答抽象的要点，要有适当而具体的分析；C、对应题旨，分点答题，不能遗漏答题要点，评分办法一般是“要点给分”。
（３）、答题步骤：A、认真读懂题干，利用好题干中包含的信息揭示，快速确定答题范围B、查语境。
记清“字不离句，句不离段，段不离篇”，把命题所涉及到的内容放回到原文中找准相关的信息区。
C、看赋分，配答案。
中考数学解答题解题思路与书写规范要求
中考数学解答题解题思路与书写规范要求中考数学解答题共有八道大题，其中技能部分占五道题，另一道应用题，一道探究题或方法迁移性问题，一道综合题.从历年的考试情况来看，前五道技能性问题对于中上等学生得分率较高，学生能明白考察的知识与解题的思路.但失分的原因多数是因为书写的不规范（缺少主要步骤、排列性混乱等）所造成，这也是教师在复习教学时重思路方法忽视书写要求所产生的共性问题.从时间的运用上看，这五道技能性问题还存在不重视方法的选择上，走远路解答误时费劲应用题的失分主要还是找不出题目中的数量关系或解错方程不等式造成.探究性问题或方法迁移性问题失分的原因是不明确解题的思路，在方法规律的转化上不能很好的运用.综合性问题的失分原因主要是观察能力与操作能力不能很好的发挥，只重视计算与证明的重要性，忽视观察与操作环节，进而找不到突破口，造成思维上的短路. 第一解答题：(代数类——实数代数式运算与方程不等式求解) （1）分式的化简与求值：根据《课标》的要求，分式的运算分式的个数不得超过三个，所以中考试题多以三个或两个分式为主，主要考察分式的通分，整式的因式分解，分式的约分等。
通常的解题程序是：先把分子与分母能分解因式的进行因式分解，同时把小括号内的分式通分合并；再把除法转化为乘法运算，最后准确约分即可. 求值时改变了直接给出未知数的具体数字的模式，通常给出未知数的取值范围，首先要根据分式成立的意义确定什么数不能取，进而选择可行数代入求值. 例如：先化简),x 4x (x2x 4x 4x 22-¸-+-然后从5x 5<<－的范围内选取一个合适的整数作为x 值代入求值. 21)2)(2()2()2)2)(2()2()222+=-+×--=-+¸--=x x x x x x x x x x x x x （（解：原式 由题意可知：x ≠0且x ≠±2，故在5x 5<<－中取x=1时，时， 原式=.31211=+ 说明: ①学生在书写容易多写浪费时间，如第一步骤中只进行通分把第一分式照|5－1）5－3-5+9-5－1=1-3+5+9-51134942-ac b所以原方程的根为x 1=25,x 2=-1. 注意：容易漏掉的步骤有只计算b 2-4ac 的值忘记判断正负性. 例如2：解二元一次方程组îíì-=-=+②①22343x 2y x y . 解：①³2＋②³3得：13x=2,即x=132.把x=132代入②得：y=1316. 所以原方程组的解为：.1316132ïïîïíì==y x 例如3：求不等式组3(2)81522x x x x ì--ïí->ïî≤ ②①的整数解．的整数解． 解：解不等式①得：x ≥-1,解不等式②得：x<2. 把这两个解集表示在数轴上为：把这两个解集表示在数轴上为： 所以原不等式组的解集为：所以原不等式组的解集为： -1≤x ＜2. 故原不等式组的整数解为：-1，0，1. 注意：容易出错的步骤是解不等式不等号的方向问题，画数轴上不准确，还有就是解完不等式后对下一问忽略. 第二解答题（几何类——全等三角形证明与特殊四边形的判断与证明以及相关基本计算）：《课标》明确指出：几何题证明的难度不得超过证明定理的难度.因此，本题的几何问题多以直观判断图形的形状，题的几何问题多以直观判断图形的形状，判断图形间的关系，判断图形间的关系，判断图形间的关系，证明三角形全等和证明三角形全等和证明特殊四边形为主.近两年来，在此基础上加入了简单的图形计算内容.解决这类问题的基本程序是：类问题的基本程序是：先利用工具验证并直观判断图形的形状或关系，先利用工具验证并直观判断图形的形状或关系，先利用工具验证并直观判断图形的形状或关系，再寻找并再寻找并证明两个三角形全等进而得所证问题，计算时多利用三角形的有关性质即可. 例如1：如图，四边形ABCD 是平行四边形，△AB ’C 和△ABC 关于AC 所在的直线对称，AD 和B ’C 相交于点O ，连接BB ’．（1）请直接写出图中所有的等腰三角形（不｜ ｜ ｜ ｜-1 0 1 2 ● ○ OB'ABCD添加字母）；（2）求证：△AB ’O ≌△CDO ．解：（1）图中等腰三角形有：△ABB /,△CBB /,△OAC; （2）因为四边形ABCD 是平行四边形，所以有∠ABC=∠ADC,AB=CD. 又因为△AB ’C 和△ABC 关于AC 所在的直线对称，所在的直线对称，所以有∠ABC=∠AB /C,AB=AB /.即∠ADC =∠AB /C ，CD =AB/. 在△AB ’O 和△CDO 中，因为∠ADC =∠AB /C ，,∠AOB /=∠COD ， CD =AB /, 所以△AB ’O ≌△CDO ．例如2: 如图，在梯形ABCD 中，中，AD AD AD∥∥BC,BC,延长延长CB 到点E ，使BE=AD,BE=AD,连接连接DE 交AB 于点M.(1)(1)求证：求证：△AMD AMD≌△≌△≌△BME;(2)BME;(2)BME;(2)若若N 是CD 的中点，且MN=5,BE=2,MN=5,BE=2,求求BC 的长的长. .证明：（1）∵）∵AD AD AD∥∥BC,BC,∴∠∴∠ADM=∠E. 又∵∠AMD=∠EMB, BE=AD, ∴△∴△AMD AMD AMD≌△≌△≌△BME.BME.BME.(2)(2)由（由（由（11）可知：△）可知：△AMD AMD AMD≌△≌△≌△BME BME BME，，∴DM=ME,又N 是CD 的中点，∴MN 为△为△DEC DEC 的中位线的中位线. . 即MN=)(2121BC BE EC +=,代入MN=5,BE=2MN=5,BE=2，解得：，解得：，解得：BC=8. BC=8. 说明：说明：①如果图形借助特殊四边形时，要先从特殊四边形的性质入手得出需要的结论作为后续证明的条件；如果图形中含有折叠、为后续证明的条件；如果图形中含有折叠、旋转或平移时，旋转或平移时，旋转或平移时，要根据图形变换的全要根据图形变换的全等性得出需要的结论作为后续证明的条件；等性得出需要的结论作为后续证明的条件；选择条件除上述两方面外，选择条件除上述两方面外，选择条件除上述两方面外，也要关注也要关注图形中的隐藏条件如对顶角、公共角、公共边等图形中的隐藏条件如对顶角、公共角、公共边等. .②书写时，可用文字语言描述②书写时，可用文字语言描述((例1)1)，也可用符号语言描述（例，也可用符号语言描述（例2）；书写因果关系时，一定在因为的后边为题目中结出的已知条件一定在因为的后边为题目中结出的已知条件（或者说照抄题目中的相关条（或者说照抄题目中的相关条件），在所以的后边一定是根据某定理得出的结论，在所以的后边一定是根据某定理得出的结论. .③针对图形的计算问题，③针对图形的计算问题，首先要根据数学知识写出相关的结论首先要根据数学知识写出相关的结论首先要根据数学知识写出相关的结论（即用符号表示数（即用符号表示数量关系），再代入数值计算方可，再代入数值计算方可. . ④常见的书写问题有：④常见的书写问题有：利用角的关系时喜欢用三个大写字母表示，利用角的关系时喜欢用三个大写字母表示，利用角的关系时喜欢用三个大写字母表示，不会用数字表不会用数字表示费时不直观还容易抄写错误；示费时不直观还容易抄写错误；把基本推理在心中完成，把基本推理在心中完成，把基本推理在心中完成，进而把其得到的结论当进而把其得到的结论当条件直接应用；有关图形的计算时不讲明道理直接用数字运算等条件直接应用；有关图形的计算时不讲明道理直接用数字运算等. .D A M C B N E 第三解答题（统计概率类——统计图表完善，样本估计总体状况计算问题）：《课标》指出：经历收集、整理、描述和分析数据的活动；会制作扇形统计图，能用统计图直观、有效地描述数据；能计算中位数、众数、加权平均数，会计算简单数据的方差；会计算简单数据的方差；能画频数直方图，能画频数直方图，能利用频数直方图解释数据中蕴涵的信息；可以通过样本平均数，样本方差推断总体平均数和总体方差；能通过列表、画树状图等方法列出简单随机事件所有可能的结果，以及指定事件发生的所有可能结果，知道可以用频率来估计概率能结果，知道可以用频率来估计概率. .根据课标要求，近几年中考中这部分知识解答题的考察，主要包括统计图表完善或制作，计算相关统计量并用统计量分析数据状况，计算相关统计量并用统计量分析数据状况，利用统计和概率的思利用统计和概率的思想用样本估计总体，计算简单事件的概率等想用样本估计总体，计算简单事件的概率等. .解题的一般程序是：先从统计图表中获取相关信息，通过计算完善统计图表；再根据统计图表获取相关信息，表；再根据统计图表获取相关信息，通过计算得出样本的相关统计量或频率，通过计算得出样本的相关统计量或频率，通过计算得出样本的相关统计量或频率，运运用统计和概率的思想判断并计算总体的有关问题；最后利用排列的方法计算简单随机事件的概率随机事件的概率. .例如1: 5月31日是世界无烟日，某市卫生机构为了了解“导致吸烟人口比例高的主要原因”，随机抽样调查了该市部分18~65岁的市民，下图是根据调查结果绘制的统计图，根据图中信息解答下列问题：（1）这次接受随机抽样调查的市民总人数为 . （2）图1中的m 的值是的值是 . （3）求图2中认为“烟民戒烟毅力弱”所对应的圆心角度数. （4）若该市18~65岁的市民约为200万人，请你估算其中认为导致吸烟人中比正府对公共场所吸烟的监管力度不够人们对吸烟的容忍度大其它对吸烟危害健康认识不足烟烟民戒烟毅力弱420 m m 210 240 项目项目人数人数图1 A B C D E E 16% A 28% B 21% C 21% D 图2 例高的最主要原因是“对吸烟危害健康认识不足”的人数. 解：（1）从统计图中不能发现，A 类即有人数420人且占28%，E 类即有人数240人且占16%，故可从中任取一项得调查的总人数为：420÷28%=150028%=1500（人）（人）（人）. . 注：从运算的难度上看选“注：从运算的难度上看选“E E ”计算较为简便”计算较为简便..（2）由（）由（11）知抽查的总人数为1500人，从扇形图中知“人，从扇形图中知“B B ”类对象占总人数的21%21%，故有，故有m=1500m=1500³³21%=315(21%=315(人人).（3）由图1知“烟民戒烟毅力弱”的人数为210人，总人数为1500人，所以“D ”所对应圆心角的度数为：004.503601500210=´. （4）由扇形图可知：对“对吸烟危害健康认识不足”占调查的比例为21%，所以可以估计该市18~65岁的市民约为200万人中“对吸烟危害健康认识不足”的人数为：200万³21%=42万. 例如2：为更好地宣传“开车不喝酒，喝酒不开车”的驾车理念，某市一家报社设计了如右的调查问卷（单选）。
高考数学—14—高中数学解答题解题规范
高三数学春季班（教师版）数学解答题是高考数学试卷中的一类重要题型，通常是高考的把关题和压轴题，具有较好的区分层次和选拔功能．目前的高考解答题已经由单纯的知识综合型转化为知识、方法和能力的综合型解答题．要求考生具有一定的创新意识和创新能力等特点，解答题综合考查运算能力、逻辑思维能力、空间想象能力和分析问题、解决问题的能力．针对不少学生答题格式不规范，出现“会而不对，对而不全”的问题，必须要规范每种题型的答题方式，按照规范的解题程序和答题格式分步解答，实现答题步骤的最优化．解解答题的过程中，要以数学方法为载体，清晰梳理解题思路，完美展现解题程序，整个解答过程必要要有合理的逻辑性、缜密的严谨性，得到的答案也必须是可逆推的，解题并不需要做到每一步都计算出来，但对于解题格式的规范，是在高考中拿到高分的基础。
一、复数方程在复数集C 中的一元二次方程的求根公式和韦达定理仍适用，但根的判别式“∆”仅在实数集上有效，实系数一元二次方程在复数集中一定有根，若是虚根则一定成对出现，且不论是实根还是虚根，一定要注意判别式“∆”的的范围以及最后所求值的检验。
【例1】关于x 的方程()0113222=++--m x m x 的两根为α、β，且3=+βα，求实数m 的值。
【难度】★★【答案】因为关于x 的方程()0113222=++--m x m x 的两根为α、β，且3=+βα，所以()92=+βα，9222=++αββα，若．α、．β为实数．．．，则()()1181819222+-=+--=∆m m m m ，且0≥∆，由韦达定理得()213-=+m βα，212+=m αβ，将9222=++αββα化简成高中数学解答题解题规范知识梳理例题解析()9222=+-+αβαββα，即()()911419222=+++--m m m ，解得1-=m （另舍）．．．．；若α、β为虚数，则α、β为共轭复数，且0<∆，由3=+βα得23==βα，所以92==ααβ，解得17=m （另舍）．．．．，综上所述．．．．，实数m 的值是1-或17 【解析】复数方程的解答题本身难度不大，但很多学生拿不到全分，在求解的过程中，要么先是没有分类讨论，要么是在分类讨论中忘记了∆的判断和检验，而且需要注意的是，在所有分类讨论的解答题中，最后作答时一定要注意综合所有分类情况，题中打着重号的部分都是规范的格式所在。
高考物理解答题规范化要求
高考物理解答题规范化要求物理计算题可以综合地考查学生的知识和能力，在高考物理试题中，计算题在物理部分中的所占的比分很大(60%)，单题的分值也很高。
一些考生考后感觉良好但考分并不理想，一个很重要的原因便是解题不规范导致失分过多。
在高考的物理试卷上对论述计算题的解答有明确的要求：“解答应写出必要的文字说明、方程式和重要的演算步骤，只写出最后答案的不能得分，有数值计算的题，答案中必须明确写出数值和单位。
”具体地说，物理计算题的解答过程和书写表达的规范化要求，主要体现在以下几个方面。
一、文字说明要清楚 必要的文字说明是指以下几方面内容:①说明研究的对象①对字母、符号的说明。
题中物理量有给定符号的，必须严格按题给符号表示，无需另设符号；题中物理量没有给定符号的，应该按课本习惯写法(课本原始公式)形式来设定。
②对物理关系的说明和判断。
如在光滑水平面上的两个物体用弹簧相连，"在两物体速度相等时弹簧的弹性势能最大"，"在弹簧为原长时物体的速度有极大值。
"③说明研究对象、所处状态、所描述物理过程或物理情境要点，关健的条件作必要的分析判断。
题目中的隐含条件，临界条件等。
即说明某个方程是关于"谁"的，是关于"哪个状态或过程"的。
④说明所列方程的依据及名称，规定的正方向、零势点及所建立的坐标系. 这是展示考生思维逻辑严密性的重要步骤。
⑤选择物理规律的列式形式；按课本公式的“原始形式”书写。
⑥诠释结论：说明计算结果中负号的物理意义，说明矢量的方向。
⑦对于题目所求、所问的答复，说明结论或者结果。
文字说明防止两个倾向：①过于简略而显得不完整，缺乏逻辑性。
②罗嗦，分不清必要与必不要。
答题时表述的详略原则是物理方面要祥，数学方面要略.书写方面，字迹要清楚，能单独辨认.题解要分行写出，方程要单列一行，绝不能连续写下去，切忌将方程、答案淹没在文字之中.二、主干方程要突出（在高考评卷中，主干方程是得分的重点）主干方程是指物理规律、公式或数学的三角函数、几何关系式等(1) 主干方程式要有依据，一般表述为：依xx 物理规律得；由图几何关系得，根据……得等。
高考数学答题规范
高考数学答题规范数学考试以题多、计算复杂著称。
通常综合性的数学考试中，一张数学试卷会包含几十个知识点。
更要命的是，有些题目不止考察一个知识点，而是多个知识点融合在一起，解答的难度就大大增加了。
此外，时间一紧就不免会紧张，而紧张就容易计算错误，这也是历年数学丢分的主要原因之一。
今天就来谈谈几个节约数学考试时间的小技巧。
数学考试肯定会发草稿纸，通常都是一人两张，不够也可以再找监考老师要。
那么考试过程中一定要充分利用好草稿纸。
不要像鬼画符一样用草稿纸，尤其是东一块西一块地打草稿，这样不仅看起来一团乱麻，打完草稿自己回头也不知道在写什么。
想要充分利用草稿，可以将草稿按题目顺序打好，随着题目顺序横着或者竖着以此打过去，并且题与题的草稿留好空隙，不要挤在一块。
这样打出来的草稿就会清晰明了，过程和答案都一目了然。
这当然不是为好看，而是这样的草稿有利于后期的迅速检查以及遇到计算过程复杂时对前步骤的回溯，就可以避免算着算着不知道自己算到哪里的尴尬场景。
基本上每一个数学老师考前都会三令五申，叮嘱学生要检查。
可现实通常是学生连试卷都做不完，谈何从头检查一遍。
但是的确，每年在数学计算错误或者看错题这种小错误翻跟头的人也是比比皆是。
在这里，我们可以做到的是，一边做题一边检查。
请注意，这里的关键是，一定要大脑清醒。
当你做一道题时，无论是选择题填空题计算题，得出答案时不要立马填到答卷上去，用几分钟时间理一遍你的运算过程 (也就是草稿纸上) ，权当检查一遍。
运算过程中也是要步步谨慎，每一步都要仔细审过，按照运算逻辑一遍算一遍回溯检查。
当你做完一道题回头看一眼发现计算失误了，就会感到十分庆幸了。
一般一张数学卷子中难度都是随题数递增的。
往往选择题与填空题的倒数两题相对难度较高，大题的难度也是越往后越难。
当然，也不排除存在做简单题时脑袋一抽就想不起来了，实话说考场上这也很正常。
那么在遇到这种情况时千万不要死磕到底，不仅浪费时间而且会让心情越来越郁闷，考试状态越来越差。
规范答题(集合17篇)
规范答题(集合17篇）（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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数学解题规范
摘要：做好初中数学解答题解题规范，就要正视其中存在的问题，分析期中存在的原因，在此基础上，打好语言基础，加强板书引导，做好例题示范，强化习作体验，就会收到好的规范效果。
关键词：数学解题规范解题规范就是指在解答初中数学解答题时，要按一定的格式进行，做到表达清楚，层次分明，结论明确，论证充分。
在数学的解题过程中，解题过程不仅要求做到目的明确，同时还要说服有力，论证规范。
具体地说，规范就是对每一种类型的问题解答的格式，都要做到严密、严谨，滴水不漏，无懈可击。
从解题的严密性和完备性角度来说，一个清晰的初中数学的解题过程，就是一个学生思路清晰的明证。
笔者在初中数学教学中，对一些解答题的解题规范进行了一些探索和思考。
一、初中数学解答题解题规范中存在的问题一个合理的解题书写过程，应有理有据、环环相扣，即符合逻辑。
但是学生解题除字迹潦草和书写不整洁外，主要还存在忽视审题、解答书写不严密和题后无审查等问题。
1.做题时忽视审题不少学生走马观花地粗心读题，甚至做题时经常不读题，就根据自己的经验及老师讲过的去做题，相当然地去做题。
具体表现为，一是只会找出明确告诉的已知条件和目标，不思考文字语言、符号语言、图形语言的转换，更不会揭示隐含条件。
二是不去分析从条件到目标缺少什么，只能从条件顺推，不能思考从目标去分析，更缺少比比画画和写写算算的关联草图，找不出它们的内在联系。
三是没有考虑条件、目标之间的联系与哪个数学原理相匹配，造成解题过程混淆。
我们可以看下面一道题的解题过程：已知a、b、c 为△ABC 的三边，且满足a2c2-b2c2=a4-b4，试判断△ABC 的形状。
解：∵a2c2-b2c2=a4-b4∴c2=（a4-b4）/（a2-b2）∴c2=a2+b2∴△ABC 是直角三角形上述题目出现错误的原因为没有考虑a2-b2=0，就在等式的两边同除以了这个式子，最深层次的原因就是没有认真审题。
2.解答书写不严密数学解题讲究层次分明、条理清楚，而学生解答过程中往往存在阐述不清的问题。
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大二轮专题复习与测试·数学理科 第二部分 第三讲
概率统计
解答这类问题的重点为：事理关，即读懂题意，需要一定 的阅读理解能力；数理关，即构建相应的数学模型，构建之后
还需要扎实的基础知识和较强的计算能力．复习该考点时需要
4分
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大二轮专题复习与测试·数学理科 第二部分 第三讲
(2)设 C 表示事件“观众丙选中 3 号歌手”， C2 3 4 则 P(C)＝C3＝5， 5 5分
∵X 可能的取值为 0,1,2,3，且取这些值的概率分别为 1 2 2 4 P(X＝0)＝P( A B C )＝3×5×5＝75， 6 分 2 2 2 P(X＝1)＝P(A B C )＋P( A B C )＋P( A B C)＝ × × 3 5 5 1 3 2 1 2 3 20 4 ＋ × × ＋ × × ＝ ＝ ， 3 5 5 3 5 5 75 15 7分
工具
大二轮专题复习与测试·数学理科 第二部分 第三讲
2 3 2 2 P(X ＝ 2) ＝ P(AB C ) ＋ P(A B C) ＋ P( A BC) ＝ 3 × 5 × 5 ＋ 3 2 3 1 3 3 33 11 ×5×5＋3×5×5＝75＝25， 9分
2 3 3 18 6 P(X＝3)＝P(ABC)＝3×5×5＝75＝25，10 分 ∴X 的分布列为
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大二轮专题复习与测试·数学理科 第二部分 第三讲
→ 可取AB＝(0,0,2)为平面 ADD1A1 的一个法向量. 9 分 设 θ 为直线 AM 与平面 ADD1A1 所成的角，则 → → |AM· AB| → → sin θ＝|cos〈AM，AB〉|＝ → → |AM||AB| 2λ λ ＝ 2 ＝ . 2 2 2 λ ＋λ＋1 ＋λ ×2 3λ ＋2λ＋1 11 分
力和逻辑推理能力． (1)证明空间线面平行或垂直．由已知想性质，由求证想判 定，即用分析法与综合法寻找证题思路．在立体几何论证题的 证明过程中，利用题设条件的性质适当添加辅助线 ( 平面) ，是
常用的方法．
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(2)用空间向量法求角，关键是记住求角公式，若直线 AB 与平面 α 所成的角为 θ，平面 α 的法向量为 n，则 sin θ → |AB· n| ＝ .用空间向量法求二面角的平面角 θ 时，应先求出两 → |AB||n| m· n 个平面的法向量 m，n，进而得出 cos〈m，n〉＝|m|· |n|，再 根据图形和计算结果判断 θ 是锐角还是钝角，从而得出 θ 与 〈m，n〉是相等还是互补关系．
解析： 如图，以点 A 为原点，以 AD，AA1，AB 所在 直线为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系 A－xyz，依题 意得 A(0,0,0)， B(0,0,2)， C(1,0,1)， B1(0,2,2)， C1(1,2,1)， E(0,1,0)． → → (1)证明：易得B1C1＝(1,0，－1)，CE＝(－1,1，－1)，于 → → 是B1C1· CE＝0，所以 B1C1⊥CE.3 分
需要先将三角函数表达式化成形如 y＝Asin(ωx＋φ)＋B的形式，
然后用整体思想求解．
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(3)解三角形问题主要指求三角形的三边、三角等．它的实
质是将几何问题转化为代数问题，解题关键是正确分析边角关
系，依据题设条件合理地设计解题思路，利用三角形的内角和 定理、正弦定理、余弦定理、大边对大角、三角变换等进行三 角形中边角关系的互化．
3分
π 因为图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为 4， 2π π 又 ω＞0，所以2ω＝4×4. 5分 因此 ω＝1. 6分
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(2)由(1)知
π f(x)＝－sin2x－3.
3π 5π π 8π 当 π≤x≤ 时， ≤2x－ ≤ . 2 3 3 3
注意以下几点：
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(1)会对事件构成进行分析．弄清“频率”与“概率”的关 系；“等可能性”与“非等可能性”的区别；“有序取”与
“无序取”的区别；“有放回取”与“不放回取”的区别；
“互斥”与“独立”的意义．特别注意区分这样的语句：至少 ( 至多) 有一个发生；恰有一个发生；都发生；不都发生；都不 发生等． (2) 会用排列、组合的知识求概率，用互斥事件、独立事
(1)证明 B1C1⊥CE； (2)求二面角 B1－CE－C1 的正弦值； (3)设点 M 在线段 C1E 上，且直线 AM 与平面 ADD1A1 2 所成角的正弦值为 6 ，求线段 AM 的长．
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建议 包含的各种情况，是解决问题的关键．
(2)语言叙述的规范性，要注意解题的步骤清楚、正
确、完整，不要漏掉必要的说明及出现跳步严重的现
象.
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立体几何 对立体几何知识应掌握各个定理的种种用途，破解画图、
读图、识图、用图的层层关口，提升解题思维中的空间想象能
2x－π sin 的范围视为 3
f(x)的范围．
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解答此类问题时，常见的错误还有： (1)求函数的周期、单调区间时忽视参数ω的符号； 学习 建议 (2)解函数的对称性问题时，将对称轴与对称中心混 淆；
(3)在结果中忽视注明“k∈Z”． 建议在备考中对于三
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→ (2)B1C＝(1，－2，－1)． 设平面 B1CE 的法向量 m＝(x，y，z)， → m· B1C＝0， 则 → CE＝0， m·
x－2y－z＝0， 即 －x＋y－z＝0.
消去 x，得 y＋2z
＝0， 不妨令 z＝1，可得一个法向量为 m＝(－3，－2,1).5 分 由(1)知，B1C1⊥CE，又 CC1⊥B1C1，CE∩CC1＝C， 可得 B1C1⊥平面 CEC1， → 故B1C1＝(1,0，－1)为平面 CEC1 的一个法向量.6 分
第三讲 规范快做解答题
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高考是选拔性考试，在高考中要想取得优异的成绩， 做好解答题至关重要，这就要求考生在解答中努力做到前几 个解答题要快速解答，规范解答、准确解答，这是取得高分 的关键，而前几个解答题一般考查三角函数与平面向量、概 率与统计、立体几何、数列．这几道大题约占整套试卷分值 的 1 .从历年高考看这些题型的命制都呈现出显著的特点和解 3 题规律，从阅卷中发现考生“会而得不全分 ”的大有人在， 针对以上情况，我们总结出一套体现解数学解答题的方法指 引、思维过程、失分警示、学习建议．
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→ －4 －2 7 m· B1C1 → 于是 cos〈m，B1C1〉＝ ＝ ＝ 7 ， → 14× 2 |m||B1C1| 21 → 从而 sin〈m，B1C1〉＝ 7 . 21 所以二面角 B1－CE－C1 的正弦值为 7 .8 分 → → (3)AE＝(0,1,0)，EC1＝(1,1,1)． → → → → → 设EM＝λEC1＝(λ，λ，λ)，0≤λ≤1，有AM＝AE＋EM＝ (λ，λ＋1，λ)．
件、重复试验等概率计算公式求概率．
(3)求离散型随机变量的分布列时，要注意应用随机变量分 布列的性质进行检验．
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(2013·陕西卷)(12分)在一场娱乐晚会上，有5位民
间歌手(1至5号) 登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢
迎歌手．各位观众须彼此独立地在选票上选 3 名歌手，其中观 众甲是 1 号歌手的歌迷，他必选 1 号，不选 2 号，另在 3 至 5 号中 随机选 2 名．观众乙和丙对 5 位歌手的演唱没有偏爱，因此在 1 至5号中随机选3名歌手．
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(2013· 天 津 卷 )(12 分 ) 如 图 ， 四 棱 柱 ABCD －
A1B1C1D1 中，侧棱 A1A⊥底面 ABCD ， AB∥DC ， AB⊥AD ， AD
＝CD＝1，AA1＝AB＝2，E为棱AA1的中点．
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1 2 C2 2 C4 3 则 P(A)＝C2＝3，P(B)＝C3＝5. 3 5
2分
∵事件 A 与 B 相互独立， ∴观众甲选中 3 号歌手且观众乙未选中 3 号歌手的概率 2 2 4 为 P(A B ) ＝ P(A)· P( B ＝ P(A)· [1 － P(B)] ＝ × ＝ 3 5 15
3 C1 · C 4 2 4 或PA B ＝ 2 3＝ . C3· C5 15
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三角函数与平面向量
(1) 求解三角恒等变换问题的一般思路为“五遇六想”， 即：遇正切，想化弦；遇多元，想消元；遇差异，想联系；遇
高次，想降次；遇特角，想求值；想消元，引辅角．
(2)求解有关三角函数的图象与性质的题目时，首先要关注 定义域，既要注意一般函数的定义域，又要注意三角函数的定 义域．其次要关注三角函数的单调性，注意 ω的正负对单调性 的影响．再次要关注三角函数图象的对称性、周期性，求解时
X P
0
1 2 3
4 4 11 6 75 15 25 25
11分
4 20 33 18 ∴EX 的数学期望 EX＝0×75＋1×75＋2×75＋3×75＝ 28 . 15