离散型随机变量的方差(教(学)案)
7.3.2离散型随机变量的方差(教学课件)-高二数学同步备课系列(人教A版2019选择性必修第三册)
∴D( X ) 4 0.09 1 0.24 0 0.32 1 0.28 4 0.07 1.16.
D(Y ) 4 0.07 1 0.22 0 0.38 1 0.30 4 0.03 0.92. ∵D(Y ) D( X )，
∴随机变量Y的取值相对更集中，即乙同学的射击成绩相对更稳定.
2
∴ D( X ) 6 xi2 pi (E( X ))2 (12 22 32 42 52 62 ) 1 ( 7 )2
i 1
62
91 1 ( 7 )2 35 . 6 2 12
例5： 抛掷一枚质地均匀的骰子，求掷出的点数X的方差.
解法1：随机变量X的分布列为 P( X k) 1 ,k 1,2,3,4,5,6. 6
∴ E( X ) 1 (1 2 3 4 5 6) 7 .
6
2
D( X ) [(1 7 )2 (2 7 )2 (3 7)2 (4 7)2 (5 7)2 (6 7)2] 1
i 1
i 1
n
n
证明：D( X ) ( xi E( X ))2 pi ( xi2 2E( X )xi (E( x))2 ) pi
i 1
i 1
n
n
n
xi2 pi 2E( X ) xi pi (E( x))2 pi
i 1
i 1
i 1
n
xi2 pi 2E( X ) E( X ) (E( x))2 1 i 1
人教A版2019必修第三册
第七章 随机变量及其分布
7.3.2离散型随机变量的方差
学习目标
1.通过具体实例，理解取有限值的离散型随机变量的方 差与标准差的概念. 2.能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实 际问题. 3.掌握方差的性质以及两点分布的方差的求法.
高二数学选修2-3离散型随机变量的方差导学案
2.32离散型随机变量的方差学习目标1、理解各种分布的方差2、会应用均值（期望）和方差来解决实际问题自主学习：课本1.一般地,设一个离散型随机变量X 所有可能取的值是n x x x x ⋅⋅⋅321,,这些值对应的概率是n p p p p ⋅⋅⋅,,,321则________________________________________________________叫做这个离散型随机变量X 的方差;______________________________叫作离散型随机变量X 的标准差2. 离散型随机变量的方差刻画了这个离散型随机变量的_____________________________.3. 离散型随机变量X 分布列为二点分布时, ()___________D X =.4.离散型随机变量X 服从参数为n ，p 的二项分布时，()___________D X =.5. 离散型随机变量X 服从参数为,N M ，n 的超几何分布时, ()___________D X = 自学检测1.已知X ～(),B n p ，()8,() 1.6E X D X ==，则,n p 的值分别是（ ）A ．100和0.08B ．20和0.4C ．10和0.2D ．10和0.82.设掷1颗骰子的点数为X ,则( )A. 2() 3.5,() 3.5E X D X ==B. 35() 3.5,()12E X D X == C. () 3.5,() 3.5E X D X == D. 35() 3.5,()16E X D X ==3.一牧场的10头牛,因误食疯牛病病毒污染的饲料被感染，已知疯牛病发病的概率是0.02,若发病的牛数为X 头,则()D X 等于( )A. 0.2B. 0.196C.0.8D.0.8124. 已知随机变量X 的分布列为则X 的标准差()X σ= A. 3.56 B. C. 3.2 D. 5.王非从家乘车到学校,途中有3个交通岗,设在个交通岗遇红灯的事件是相互独立的,并且概率都是25,则王非上学路上遇红灯的数学期望是___________,方差是_______________. 6.已知随机变量X 的分布列为且() 1.1E X =,设,则()____________D X =7.甲、乙两名工人加工同一种零件，两人每天加工的零件数相等，所得次品数分别为21,ξξ，它们的分布列如下：试对这两名工人的技术水平进行比较。
人教课标版高中数学选修2-3：《离散型随机变量的均值与方差(第2课时)》教案-新版
2.3 离散型随机变量的均值与方差（第2课时）一、教学目标 1．核心素养通过对离散型随机变量的方差的学习，更进一步提高了学生的数学建模能力和数学运算能力． 2．学习目标（1）通过实例，理解取得有限值的离散型随机变量的方差的概念 （2）能计算简单离散型随机变量的方差 （3）并能够解决一些实际问题. 3．学习重点离散型随机变量的方差的概念、公式及其应用. 4．学习难点灵活利用公式求方差.． 二、教学设计 （一）课前设计 1．预习任务 任务1阅读教材P64－P67，思考：方差、标准差的定义是什么？它们各自反应了什么？ 任务2若随机变量X 服从两点分布，则方差为多少？若服从二项分布呢？ 任务3根据方差的计算过程，可得到它的什么性质？ 2．预习自测（1）已知随机变量x 的分布列则()X D =__________.（2）若随机变量⎪⎭⎫⎝⎛3210~，B X ，则方差DX=________.（二）课堂设计 1．知识回顾(1)均值或数学期望: 一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为则称 n n p x p x p x E +++=...2211ξ为ξ的均值或数学期望，简称期望．(2)均值或数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平. (3)均值或期望的一个性质:若b aX Y +=，其中b a ,是常数(X 是随机变量)，则Y 也是随机变量， 且有b aEX b aX E +=+)(①当0=a 时，b b E =)(，即常数的数学期望就是这个常数本身；②当1=a 时，b EX b X E +=+)(，即随机变量X 与常数之和的期望等于X 的期；③当0=b 时，aEX aX E =）（，即常数与随机变量乘积的期望等于这个常数与随机变量期望的乘积.(4)①若X 服从两点分布，则p X E =)(； ②若ξ～),,(p n B 则np X E =)(. 2．问题探究问题探究一 随机变量方差的定义要从两名同学中挑选出一名同学代表班级参加射击比赛，根据以往的成绩记录，第一名同学击中目标靶的环数的分布列为如果每班只能一人参加年级比赛，你觉得应该让甲乙谁代表班级参赛? 通过计算分析： E （X 1）=5， E （X 2）=5，所以从均值比较不出两名同学的水平高低．数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平，表示随机变量在随机试验中取值的平均值．但有时两个随机变量只用这一个特征量是无法区别它们的，还需要对随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度进行刻画．但显然两名同学的水平是不同的，要进一步去分析成绩的稳定性． 我们可以定义离散型随机变量的方差．(给出定义)方差：对于离散型随机变量X ，如果它所有可能取的值是n x x x ,....,,21，且取这些值的概率分别是n p p p ,....,,21，那么，n n p X E x p X E x p X E x X D ⋅-++⋅-+⋅-=2222121))((...))(())(()(称为随机变量X 的方差，式中的)(X E 是随机变量X 的均值．标准差：)(X D 的算术平方根)(X D 叫做随机变量X 的标准差，记作)(X σ．随机变量X 的方差、标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度；数值越大，说明随机变量取值波动越大，越不稳定；请分别计算探究中两名同学各自的射击成绩的方差.(进一步探究认识用随机变量方差来反映取值的稳定情况)第一名同学5.1)(,8)(==X D X E 第二名同学82.0)(,8)(==X D X E结论：第一名同学的射击成绩稳定性较差，第二名同学的射击成绩稳定性较好，稳定于8环左右.对“探究”的再思考(1)如果其他班级参赛选手的射击成绩都在9环左右，本班应该派哪一名选手参赛？ (2)如果其他班级参赛选手的射击成绩都在8环左右，本班应该派哪一名选手参赛？ 问题探究二 常见随机变量方差及随机变量方差的性质 ①若X 服从两点分布，则)1()(p p X D -= 若),(~p n B X ，则)1()(p np X D -=．②方差的性质：)()(2X D a b aX D =+；22))(()()(X E X E X D -=. 3.运用新知例1有一批数量很大的商品的次品率为1%，从中任意地连续取出200件商品，设其中次品数为X ，求)(X E ，)(X D .【知识点：期望、方差】解：因为商品数量相当大，抽200件商品可以看作200次独立重复试验，所以X ～B(200,1%)．因为np X E =)(，)1()(p np X D -=，这里n ＝200，p ＝1%.所以)(X E =200×1%＝2，)(X D ＝200×1%×99%＝1.98. 例2已知随机变量X 的分布列为若E (X )＝23. (1)求D (X )的值；(2)若Y ＝3X －2【知识点：离散型随机变量期望、方差及方差的性质】 解:由12＋13＋p ＝1，得p ＝16.又E (X )＝0×12＋1×13＋16x ＝23， ∴x ＝2.(1)D (X )＝(0－23)2×12＋(1－23)2×13＋(2－23)2×16＝1527＝59. (2)∵Y ＝3X －2，∴D (Y )＝D (3X －2)＝9D (X )．==练习1 设X ～B (n ，p )，且E (X )＝12，D (X )＝4，则n 与p 的值分别为( ) A ．18，13 B ．12，23C ．18，23D ．12，13 【知识点：离散型随机变量方差及方差的性质】答案：由X ～B (n ，p )，则4)(,12)(====npq X D np X E ，所以32,18==p n . 练习2 设p 为非负实数，随机变量X 的概率分布为：求E (X )与D (X )的最大值． 解:根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧0≤p <1，0≤12－p <1，解得0≤p ≤12.因为E (X )＝－1×(12－p )＋0×p ＋1×12＝p ， 所以当p ＝12时，E (X )取得最大值，为12.因为D (X )＝(－1－p )2(12－p )＋(0－p )2p ＋(1－p )2×12＝－p 2－p ＋1＝－(p ＋12)2＋54，故当p ＝0时，D (X )取得最大值为1.【知识点：离散型随机变量期望、方差及二次函数的性质】 4．课堂总结 重点难点突破（1）求离散型随机变量均值与方差的方法步骤： ①理解X 的意义，写出X 可能取的全部值； ②求X 取每个值的概率； ③写出X 的分布列； ④由方差的定义求)(X D ．（2）方差的性质：（1）)()(2X D a b aX D =+；22))(()()(X E X E X D -=. （2）若X 服从两点分布，则()=(1)D X p p -； （3）若ξ～),,(p n B 则(1)D np p ξ=-；（4）方差DX 表示，DX 越大，表示，说明X 的取值越分散；DX 越小，表示，说明X 的取值越集中稳定.（5）方差公式的几种形式：22122))(()())(())(()(X E X E p X E x X E X E X D i ni i -=⋅-=-=∑=.方差的意义数学期望反映了随机变量取值的平均水平，但有时只知道数学期望还不能解决问题，还需要知道随机变量的取值在均值周围变化的情况，即方差．①随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量稳定于均值的程度，它们从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要的理论依据，一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定．②随机变量ξ的方差、标准差也是随机变量ξ的特征数，它们都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度；③标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛. 5．随堂检测1.若随机变量X 满足P （x ＝c ）＝1，其中c 为常数，则()X E =________，()X D _______.2.已知随机变量X 的分布列为则()X E 与()X D 的值为( )(A) 0.6和0.7 (B)1.7和0.3 (C) 0.3和0.7 (D)1.7和0.213.已知()5.0100~，B X 则()X E =___,()X D =____. ()12-X E =____,()12-X D =____.4.有一批数量很大的商品，其中次品占1％，现从中任意地连续取出200件商品，设其次品数为X ，则()X E =_____, ()X D =_______.5.已知甲、乙两名射手在同一条件下射击，所得环数x 1、x 2的分布列如下：试比较两名射手的射击水平.如果其他对手的射击成绩都在8环左右，应派哪一名选手参赛？如果其他对手的射击成绩都在9环左右，应派哪一名选手参赛？（三）课后作业 基础型 自主突破1．已知随机变量ξ满足P (ξ＝1)＝0.3，P (ξ＝2)＝0.7，则E (ξ)和D (ξ)的值分别为( )A ．0.6和0.7B ．1.7和0.09C ．0.3和0.7D ．1.7和0.21 2．已知X 的分布列为则D (X )等于( )A ．0.7B ．0.61C ．－0.3D ．0 3．D (ξ－D (ξ))的值为( )A ．无法求B ．0C ．D (ξ) D ．2D (ξ) 能力型 师生共研4．甲、乙两台自动车床生产同种标准产品1 000件，ξ表示甲机床生产1 000件产品中的次品数，η表示乙机床生产1 000件产品中的次品数，经过一段时间的考察，ξ，η的分布列分别是：据此判定()A．甲比乙质量好B．乙比甲质量好C．甲与乙的质量相同D．无法判定5．若ξ是离散型随机变量，P(ξ＝X1)＝23，P(ξ＝X2)＝13，且X1<X2，又已知E(ξ)＝43，D(ξ)＝29，则X1＋X2的值为()A.53 B.73C．3 D.1136．设ξ～B(n，p)，则有()A．E(2ξ－1)＝2np B．D(2ξ＋1)＝4np(1－p)＋1 C．E(2ξ＋1)＝4np＋1D．D(2ξ－1)＝4np(1－p)7．若随机变量X1～B(n,0.2)，X2～B(6，p)，X3～B(n，p)，且E(X1)＝2，D(X2)＝32，则σ(X3)的值是()A．0.5 B. 1.5 C. 2.5 D．3.5自助餐1.已知离散型随机变量X的分布列如下表．E(X)＝0，D(X)＝1，则a＝________，b＝________.2.变量ξ的分布列如下：其中a，b，c成等差数列．若E(ξ)＝13，则D(ξ)的值是________．3．抛掷一枚质地均匀的骰子，用X表示掷出偶数点的次数．(1)若抛掷一次，求E(X)和D(X)；(2)若抛掷10次，求E(X)和D(X)．4．有三张形状、大小、质地完全一致的卡片，在每张卡片上写上0,1,2，现从中任意抽取一张，将其上数字记作x，然后放回，再抽取一张，其上数字记作y，令ξ＝x·y.求：(1)ξ所取各值的分布列；(2)随机变量ξ的数学期望与方差．（四）参考答案预习自测 1.1.2 2.920 随堂检测 1.c ,0 2. D3.50, 25, 99, 1004. 2，1.985. 解：92.0106.092.081=⨯+⨯+⨯=ξE ，94.0102.094.082=⨯+⨯+⨯=ξE∴甲、乙两射手的射击平均水平相同.又8.0,4.021==ξξD D∴甲射击水平更稳定.如果对手在8环左右,派甲；如果对手在9环左右,派乙. 课后作业 基础型 1.D 2.B 3.C 能力型 4.A 5.C 6.D 7.C 自助餐 1.512, 14 2.593.解:(1)X 服从两点分布，∴E (X )＝p ＝12.D (X )＝p (1－p )＝12×(1－12)＝14. (2)由题意知，X ～B (10，12)． ∴E (X )＝np ＝10×12＝5， D (X )＝npq ＝10×12×(1－12)＝52.4.解:(1)随机变量ξ的可能取值有0,1,2,4，“ξ＝0”是指两次取的卡片上至少有一次为0，其概率为 P (ξ＝0)＝1－23×23＝59；“ξ＝1”是指两次取的卡片上都标着1，其概率为 P (ξ＝1)＝13×13＝19；“ξ＝2”是指两次取的卡片上一个标着1，另一个标着2，其概率为P (ξ＝2)＝2×13×13＝29； “ξ＝4”是指两次取的卡片上都标着2，其概率为P (ξ＝4)＝13×13＝19. 则ξ的分布列为(2)E (ξ)＝0×59＋1×19＋2×29＋4×19＝1，D (ξ)＝(0－1)2×59＋(1－1)2×19＋(2－1)2×29＋(4－1)2×19＝169.。
2017-2018学年高中数学 第二章 概率 5 第二课时 离散型随机变量的方差教学案 北师大版选修
第二课时 离散型随机变量的方差[对应学生用书P33][例1]若EX ＝23，求DX 的值．[思路点拨] 解答本题可先根据∑i ＝1nP i ＝1求出p 的值，然后借助EX ＝23求出x 的取值，最后代入相应的公式求方差．[精解详析] 由12＋13＋p ＝1，得p ＝16.又EX ＝0×12＋1×13＋16x ＝23，∴x ＝2.∴DX ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0－232×12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－232×13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2－232×16＝59. [一点通] 求离散型随机变量的方差的方法： (1)根据题目条件先求分布列．(2)由分布列求出均值，再由方差公式求方差，若分布列中的概率值是待定常数时，应先由分布列的性质求出待定常数再求方差．1．(浙江高考)随机变量ξ的取值为0,1,2.若P (ξ＝0)＝15，E (ξ)＝1，则D (ξ)＝________.解析：由题意设P (ξ＝1)＝p ，ξ的分布列如下由E (ξ)＝1，可得p ＝35，所以D (ξ)＝12×15＋02×35＋12×15＝25.答案：252．已知随机变量X 的分布列为试求DX 和D (2X －解：EX ＝0×0.2＋1×0.2＋2×0.3＋3×0.2＋4×0.1 ＝1.8.所以DX ＝(0－1.8)2×0.2＋(1－1.8)2×0.2＋(2－1.8)2×0.3＋(3－1.8)2×0.2＋(4－1.8)2×0.1＝1.56.2X －1的分布列为所以E (2X －1)＝所以D (2X －1)＝(－1－2.6)2×0.2＋(1－2.6)2×0.2＋(3－2.6)2×0.3＋(5－2.6)2×0.2＋(7－2.6)2×0.1＝6.24.[例2] 4个黄球，规定每次从袋中任意摸出一球，若摸出的是黄球则不再放回，直到摸出红球为止，求摸球次数X 的均值和方差．[思路点拨]确定X的取值→计算概率 →列出分布列 →求EX ，DX[精解详析] X 可能取值为1,2,3,4,5.P (X ＝1)＝15， P (X ＝2)＝45×14＝15， P (X ＝3)＝45×34×13＝15， P (X ＝4)＝45×34×23×12＝15， P (X ＝5)＝45×34×23×12×1＝15.∴X 的分布列为由定义知，EX ＝0.2×(1＋2＋3＋4＋5)＝3.DX ＝0.2×(22＋12＋02＋12＋22)＝2.[一点通] (1)求离散型随机变量X 的均值和方差的基本步骤： ①理解X 的意义，写出X 可能取的全部值； ②求X 取每个值时的概率； ③写X 的分布列； ④求EX ，DX .(2)若随机变量X 服从二项分布，即X ～B (n ，p )， 则EX ＝np ，DX ＝np (1－p )．3．一批产品中次品率为13，现在连续抽查4次，用X 表示次品数，则DX 等于( )A.43 B.83 C.89D.19解析：∵X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，13， ∴DX ＝np (1－p )＝4×13×23＝89.答案：C4．袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n 号的有n 个(n ＝1,2,3,4)．现从袋中任取一球，X 表示所取球的标号．求X 的分布列，均值和方差．解：由题意，得X 的所有可能取值为0,1,2,3,4，所以P (X ＝0)＝1020＝12，P (X ＝1)＝120，P (X ＝2)＝220＝110，P (X ＝3)＝320，P (X ＝4)＝420＝15.故X 的分布列为所以EX ＝0×12＋1×120＋2×110＋3×320＋4×15＝1.5.DX ＝(0－1.5)2×12＋(1－1.5)2×120＋(2－1.5)2×110＋(3－1.5)2×320＋(4－1.5)2×15＝2.75.[例3] 所得次品数分别为X ，Y ，X 和Y 的分布列如下表．试对这两名工人的技术水平进行比较．[思路点拨] 解本题的关键是，一要比较两名工人在加工零件数相等的条件下出次品数的平均值，即数学期望，二要看出次品数的波动情况，即方差值的大小．根据数学期望与方差值判断两名工人的技术水平情况．[精解详析] 工人甲生产出次品数X 的数学期望和方差分别为EX ＝0×610＋1×110＋2×310＝0.7，DX ＝(0－0.7)2×610＋(1－0.7)2×110＋(2－0.7)2×310＝分)工人乙生产出次品数Y 的数学期望和方差分别为EY ＝0×510＋1×510＋2×210＝0.7，DY ＝(0－0.7)2×510＋(1－0.7)2×310＋(2－0.7)2×210＝分)由EX ＝EY 知，两人出次品的平均数相同，技术水平相当，但DX ＞DY ，可见乙的技术比较稳定．分)[一点通] 均值仅体现了随机变量取值的平均大小，如果两个随机变量的均值相等，还要看随机变量的方差，方差大说明随机变量取值较分散，方差小，说明取值比较集中．因此，在利用均值和方差的意义去分析解决问题时，两者都要分析．5．甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量X 和Y ，且X ，Y 的分布列为求：(1)a ，b 的值；(2)计算X ，Y 的数学期望与方差，并以此分析甲、乙的技术状况． 解：(1)由离散型随机变量的分布列的性质可知a ＋0.1＋0.6＝1，∴a ＝0.3.同理0.3＋b ＋0.3＝1，b ＝0.4.(2)EX ＝1×0.3＋2×0.1＋3×0.6＝2.3，EY ＝1×0.3＋2×0.4＋3×0.3＝2，DX ＝(1－2.3)2×0.3＋(2－2.3)2×0.1＋(3－2.3)2×0.6＝0.81，DY ＝(1－2)2×0.3＋(2－2)2×0.4＋(3－2)2×0.3＝0.6.由于EX >EY ，说明在一次射击中，甲的平均得分比乙高，但DX >DY ，说明甲得分的稳定性不如乙，因此甲、乙两人技术水平都不够全面，各有优势和劣势．6．最近，李师傅一家三口就如何将手中的10万块钱投资理财，提出了三种方案： 第一种方案：李师傅的儿子认为：根据股市收益大的特点，应该将10万块钱全部用来买股票．据分析预测：投资股市一年可能获利40%，也可能亏损20%(只有这两种可能)，且获利与亏损的概率均为12.第二种方案：李师傅认为：现在股市风险大，基金风险较小，应将10万块钱全部用来买基金．据分析预测：投资基金一年后可能获利20%，也可能损失10%，还可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为35，15，15.第三种方案：李师傅妻子认为：投入股市、基金均有风险，应该将10万块钱全部存入银行一年，现在存款年利率为4%，存款利息税率为5%.针对以上三种投资方案，请你为李师傅家选择一种合理的理财方法，并说明理由． 解：若按方案一执行，设收益为X 万元，则其分布列为EX ＝4×12＋(－2)×12＝1(万元)．若按方案二执行，设收益为Y 万元，则其分布列为EY ＝2×35＋0×15＋(－1)×5＝1(万元)．若按方案三执行，收益z ＝10×4%×(1－5%)＝0.38(万元)， ∴EX ＝EY >z .又DX ＝(4－1)2×12＋(－2－1)2×12＝9.DY ＝(2－1)2×35＋(0－1)2×15＋(－1－1)2×15＝85. 由上知DX >DY ，说明虽然方案一、二收益相等，但方案二更稳妥． ∴建议李师傅家选择方案二投资较为合理．1．随机变量的方差反映了随机变量的取值偏离于均值的平均程度．方差越小，则随机变量的取值越集中在其均值周围；反之，方差越大，则随机变量的取值就越分散．2．随机变量的方差与样本方差的区别：样本方差是随着样本的不同而变化的，因此，它是一个变量，而随机变量的方差是一个常量．[对应课时跟踪训练十四1．从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是25，设X 为途中遇到红灯的次数，则随机变量X 的方差为( )A.65 B.1825 C.625D.18125解析：由X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，25，∴DX ＝3×25×35＝1825. 答案：B2．已知随机变量X 的分布列为：P (X ＝k )＝13(k ＝1,2,3)，则D (3X ＋5)＝( )A ．6B ．9C ．3D ．4解析：EX ＝(1＋2＋3)×13＝2，∵Y ＝3X ＋5可能取值为8,11,14，其概率均为13，∴EY ＝8×13＋11×13＋14×13＝11.∴DY ＝D (3X ＋5)＝(8－11)2×13＋(11－11)2×13＋(11－14)2×13＝6.答案：A3．抛掷一枚硬币，规定正面向上得1分，反面向上得－1分，则得分X 的均值与方差分别为( )A ．EX ＝0，DX ＝1B ．EX ＝12，DX ＝12C ．EX ＝0，DX ＝12D ．EX ＝12，DX ＝1解析：EX ＝1×0.5＋(－1)×0.5＝0，DX ＝(1－0)2×0.5＋(－1－0)2×0.5＝1.答案：A4．若随机变量X 的分布列为P (X ＝0)＝a ，P (X ＝1)＝b .若EX ＝13，则DX 等于( )A.13B.23C.19D.29解析：由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝1，b ＝13，∴a ＝23，b ＝13.DX ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－132×23＋⎝⎛⎭⎪⎫1－132×13＝29. 答案：D5．从1,2,3,4,5这5个数字中任取不同的两个，则这两个数乘积的数学期望是________． 解析：从1,2,3,4,5中任取不同的两个数，其乘积X 的值为2,3,4,5,6,8,10,12,15,20，取每个值的概率都是110，∴EX ＝110×(2＋3＋4＋5＋6＋8＋10＋12＋15＋20)＝8.5.答案：8.56．变量X 的分布列如下：其中a ，b ，c 成等差数列，若EX ＝3，则DX 的值为________．解析：由a ，b ，c 成等差数列可知2b ＝a ＋c . 又∵a ＋b ＋c ＝3b ＝1，∴b ＝13，a ＋c ＝23.又∵EX ＝－a ＋c ＝13，∴a ＝16，c ＝12.∴DX ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－132×16＋⎝ ⎛⎭⎪⎫0－132×13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－132×12 ＝59. 答案：597．(全国新课标改编)某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．(1)若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y (单位：元)关于当天需求量n (单位：枝，n ∈N )的函数解析式；(2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位：枝)，整理得下表：以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率．若花店一天购进16枝玫瑰花，X 表示当天的利润(单位：元)，求X 的分布列、数学期望及方差．解：(1)当日需求量n ≥16时，利润y ＝80. 当日需求量n ＜16时，利润y ＝10n －80. 所以y 关于n 的函数解析式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧10n －80，n ＜16，80，n ≥16(n ∈N )．(2)X 可能的取值为60,70,80，并且P (X ＝60)＝0.1，P (X ＝70)＝0.2，P (X ＝80)＝0.7.X 的分布列为X 的数学期望为EX ＝60×0.1＋70×0.2＋80×0.7＝76. X 的方差为DX ＝(60－76)2×0.1＋(70－76)2×0.2＋(80－76)2×0.7＝44.8．(浙江高考)设袋子中装有a 个红球，b 个黄球，c 个蓝球，且规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个蓝球得3分．(1)当a ＝3，b ＝2，c ＝1时，从该袋子中任取(有放回，且每球取到的机会均等)2个球，记随机变量ξ为取出此2球所得分数之和，求ξ的分布列；(2)从该袋子中任取(每球取到的机会均等)1个球，记随机变量η为取出此球所得分数．若E η＝53，D η＝59，求a ∶b ∶c .解：(1)由题意得ξ＝2,3,4,5,6. 故P (ξ＝2)＝3×36×6＝14，P (ξ＝3)＝2×3×26×6＝13， P (ξ＝4)＝2×3×1＋2×26×6＝518，P (ξ＝5)＝2×2×16×6＝19， P (ξ＝6)＝1×16×6＝136. 所以ξ的分布列为(2)由题意知η11所以E η＝a a ＋b ＋c ＋a ＋b ＋c ＋a ＋b ＋c ＝3， D η＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－532·a a ＋b ＋c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2－532·b a ＋b ＋c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3－532·c a ＋b ＋c ＝59. 化简得⎩⎪⎨⎪⎧ 2a －b －4c ＝0，a ＋4b －11c ＝0，解得a ＝3c ，b ＝2c ， 故a ∶b ∶c ＝3∶2∶1.。
高三数学 教案02离散型随机变量的期望与方差
【同步教育信息】 一.教学内容：离散型随机变量的期望与方差二. 重点、难点：1. 期望：E x p x p x p n n ξ=++++1122……，它反映了离散型随机变量的平均水平，在实际中根据期望可对两个同类的随机变量作取舍。
2. 方差：D x E P x E p x E p n n ξξξξ=-+-++-+()()()1212222……，它反映了随机变量的稳定与波动，集中与离散的程度。
当两个随机变量的期望相同或相近时，可通过方差作取舍。
【典型例题】[例1] 随机变量ξηηξ，，其，为常数，求证：=+a b a b ()（）；（）1622E aE D a D ηξηξ=+=（）……………111122112212E E a b ax b p ax b p ax b p a x p x p x p b p p p aE B aE bn n n n n ηξξξ=+=+++++++=++++++++=+⋅=+()()()()()()ξξηξηηξηηηηD a p E x p E x a p E x a p E x a p b aE b aE b ax p b aE b ax p E b ax P E b ax D n n n n n n n n 221212221212212121])()[(])()[()]()()[()]()[(])[(])[(2=+⋅-++⋅-=+⋅-++⋅-=+⋅+-+-+++⋅+-+=+⋅-+++⋅-+=……………………）（小结：熟练掌握ξξ与的关系，和运算关系，，a b x ax b k k ++的概率是相同的。
[例2] ξ为离散型随机变量，求证：D E E ξξξ=-()()22证明：D x E p x E p n n ξξξ=-⋅++-⋅+()()1212……=-⋅+⋅++-+⋅+=⋅+⋅+++-++++⋅+++[()][()][]()()()x x E E p x x E E p x p x p x p E x p x p E p p n n n n n n n n 121212212122221121222ξξξξξξ……………………=-⋅+⋅=-E E E E E E ()()()()ξξξξξξ222221小结：在计算方差时常用例2的方法，使运算量减少。
高中数学《离散型随机变量的方差》导学案
§2．3．2离散型随机变量的方差（导学案）一、学习目标：1：了解离散型随机变量的方差、标准差的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出方差或标准差。
2：了解方差公式“D (aξ+b )=a 2Dξ”，以及“若ξ～Β(n ，p )，则Dξ=np (1—p )”，并会应用上述公式计算有关随机变量的方差 。
3：承前启后，感悟数学与生活的和谐之美 ,体现数学的文化功能与人文价值。
教学重点：离散型随机变量的方差、标准差教学难点：比较两个随机变量的期望与方差的大小，从而解决实际问题 二、学习过程： 复习引入：1. 期望的一个性质: b aE b a E +=+ξξ)(2.若ξB （n,p ），则E ξ=np导入新课： 1. 方差:对于离散型随机变量ξ，如果它所有可能取的值是1x ，2x ，…，n x ，…，且取这些值的概率分别是1p ，2p ，…，n p ，…，那么,ξD ＝121)(p E x ⋅-ξ＋222)(p E x ⋅-ξ＋…＋n n p E x ⋅-2)(ξ＋…称为随机变量ξ的均方差，简称为方差，式中的ξE 是随机变量ξ的期望．2. 标准差:ξD 的算术平方根ξD 叫做随机变量ξ的标准差，记作σξ．3.方差的性质：（1）ξξD a b a D 2)(=+； （2）22)(ξξξE E D -=；（3）若ξ～B (n ，p )，则=ξD np (1-p )三、讲解范例：例1．随机抛掷一枚质地均匀的骰子,求向上一面的点数的均值、方差和标准差.例2．有甲乙两个单位都愿意聘用你，而你能获得如下信息：根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位？ 解：例4．47177127111=⨯+⋅⋅⋅+⨯+⨯=ξE ； 471)47(71)42(71)41(2221=⨯-+⋅⋅⋅+⨯-+⨯-=ξD ；211==ξσξD4713.4718.3717.32=⨯+⋅⋅⋅+⨯+⨯=ξE ；2ξD =0.04, 2.022==ξσξD .三、总结反思 ：⑴求离散型随机变量ξ的方差、标准差的步骤：⑵对于两个随机变量1ξ和2ξ，在1ξE 和2ξE 相等或很接近时，比较1ξD 和2ξD ，可以确定哪个随机变量的性质更适合生产生活实际，适合人们的需要四、随堂检测： 一、选择题1.已知随机变量X 的分布列是则E(X)和D(X)分别等于( ) A.1和0 B.1和1.8 C.2和2D.2和0.82.(2015·安徽高考)若样本数据x 1，x 2，…，x 10的标准差为8，则数据2x 1-1，2x 2-1，…，2x 10-1的标准差为( ) A.8B.15C.16D.32【解题指南】应用标准差、方差公式和性质计算标准差.3.(2015·菏泽高二检测)已知随机变量X+η=8，若X ～B(10，0.6)，则E(η)，D(η)分别是( )A.6和2.4B.2和2.4C.2和5.6D.6和5.64.已知随机变量ξ的分布列如表，则随机变量ξ的方差D(ξ)的最大值为( )ξ0 1 2P y 0.4 xA.0.72B.0.6C.0.24D.0.48【解题指南】根据三个变量对应的概率之和是1，写出y与x之间的关系，写出变量的期望和变量平方的期望，写出方差的表示式，表示式是一个关于x的二次函数，根据二次函数求最值可得答案.【解析】5.抛掷一枚硬币，规定正面向上得1分，反面向上得-1分，则得分X的均值与方差分别为( )A.E(X)=0，D(X)=1B.E(X)=，D(X)=C.E(X)=0，D(X)=D.E(X)=，D(X)=1【解题指南】要计算随机变量的均值和方差，应先列出其分布列.抛掷一枚硬币，规定正面向上得1分，反面向上得-1分，得X的分布列，再求均值和方差.二、填空题6.已知随机变量X的分布列为：X 1 2 3P 0.4 0.5 x则X的方差为________.7.某射手击中目标的概率为p，则他射击n次，击中目标次数ξ的方差为________.【解析】8.某次考试中，第一大题由12个选择题组成，每题选对得5分，不选或选错得0分.小王选对每题的概率为0.8，则其第一大题得分的方差为________.【补偿训练】从装有除颜色外完全相同的3个白球和m个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回地摸取5次，设摸取的白球数为X，已知E(X)=3，则D(X)=________.【解析】三、解答题(每小题10分，共20分)9.抛掷一枚质地均匀的骰子，用X表示掷出偶数点的次数.(1)若抛掷一次，求E(X)和D(X).(2)若抛掷10次，求E(X)和D(X).10.甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量ξ与η，且ξ，η的分布列为(1)求a，b的值.(2)计算ξ，η的均值与方差，并以此分析甲、乙的技术状况.【解题指南】利用概率和是1求得a，b；再利用公式求得均值和方差，并做出分析.。
高中数学_离散型随机变量的方差教学设计学情分析教材分析课后反思
2.3.2离散型随机变量的方差教学目标：知识与技能：掌握离散型随机变量的方差、标准差的意义；会根据离散型随机变量的分布列求出方差或标准差；掌握特殊分布的方差公式，会利用公式计算.过程与方法：通过两名同学射中目标靶环数情况引入本节内容，之后与样本方差比较，给出相应公式。
然后学会用公式计算有关随机变量的方差 。
情感、态度与价值观：感悟数学与生活的和谐之美 ,体现数学的文化功能与人文价值。
教学重点：离散型随机变量的方差、标准差. 教学难点：离散型随机变量方差的实际应用。
教学过程： 一、复习回顾：1、数学期望:离散型随机变量X 的概率分布为则称11221()ni i n n i ii E X x p x p x p x p x p ==+++++=∑L L 的均值或数学期望，简称期望．数学期望的意义：它反映了离散型随机变量取值的平均水平2、期望的一个性质: ()()E aX b aE X b +=+3、两个特殊分布的均值 若X 服从两点分布，则E(X) =p若X :B （n,p ）（二项分布），则E(X)=np.二、师生互动，新课讲解：问题：要从两名同学中挑选出一名，代表班级参加射击比赛.根据以往的成绩记录， 第一名同学击中目标靶的环数X 1的分布列为第二名同学击中目标靶的环数X 2的分布列为应派哪位同学参赛？通过计算得到的期望值相等12()8,()8.E X E X ==因此只通过均值并不能决定派哪名同学参赛，还有没有其他的指标来判断两名同学的射击情况？学生易联想到方差，在必修三中学过样本的方差，它反映的是样本数据的稳定性。
通过对样本方差的回顾2222121n S x x x x x x n ---⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦L 211.n i i i x x p n -=⎛⎫=- ⎪⎝⎭∑引出本节方差的定义. 三、方差的定义1.设离散型随机变量X 的概率分布为则：2(())i xE X -描述职x i ( i=1,2,3，……)相对于均值E(X)的偏离程度，()()()()()()2221122()n n D X x E x p x E x p x E x p =-+-++-L ()()21.ni i i x E X p ==-∑为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X 与其均值E （X ）的平均偏离程度，我们称D （X ）为随机变量X ()X σ）为随机变量X 的标准差。
离散型随机变量的方差教学设计——高中数学选修2-3第二章第5节第3课时
［ 程 与方 法 目标 ］ 过 １ 历 概 念 的 建 构 这 一 过 程 ， 学 生 进 一 步 体 会 从 特 殊 ． 经 让 能力 ． 即发 现 、 出 、 究 及 解 决 问 题 的 能 力 ； 己 动 手 的 能 提 探 自 力 ： 立 参 与 社 会 活 动 的能 力 。 在 研 究 学 习 过 程 中 ， 生 的 独 学 积 极 性 能 够 得 到 充 分 调 动 ， 助 于增 强 满 足 感 与 自信 心 ， 有 提 高 创 新 能 力 ， 实 现 中感 受 研 究 数 学 的 趣 味 ， 分 享 中领 略 在 在 成功 的喜悦 。 四 、 养 学 生 的创 新 意 识 。 理 论 结 合 实 际开 展 探 究 式 培 将
际 问 题． ຫໍສະໝຸດ 方 差 是 概 率 论 和数 理 统 计 的重 要 概 念 之 一 ， 反 映 随 机 是 变 量 取 值 分 布 的特 征数 ． 习 方 差 将 为 今 后 学 习 概 率 统计 知 学 识 做 铺 垫 ． 时 ， 在 市 场 预 测 ， 济 统 计 ， 险 与 决 策 等 领 同 它 经 风
面 的实 际 问题 ， 中贯 彻 渗 透 现 代 教 育 理念 ， 倡 学 生 自主 创 从 提 新 ， 展 研 究 型 课 题 ， 力 培 养 与 提 高学 生 的创 新 意 识 、 践 开 着 实 技 能 与 研 究 能 力 。 充分 发扬 学 生 的个 性 ， 挥 每 个 人 的特 长 ， 发 指 导 学 生 学 会 简 单 的研 究性 学 习 。数 学 教 师 要 提 倡 学 生 勇 敢 地 提 出问 题 ． 合 教 材 的 内容 不 断 反 思 自己 的 学 习 成 果 ； 倡 结 提 学 生 积 极 开 展 问题 谈 论 与 辨 析 ， 化 自 己的 问 题 意识 ， 立 质 强 树 疑 意 识 ： 导学 生 自觉 地 探索 ， 进 问题 的解 决 。 倡 促 新课程改革 着力强调教 学活动要培养学 生的创新精 神 ， 提 高 学 生 的 实 践 能 力 ， 补 传 统 教 学 观 念 的 不 足 ， 服理 论 严 弥 克 重 脱 离 实 际 的 教 育 弊 端 。 研 究 性 学 习 的 一个 很 重要 的方 面是 要 指导 学 生 把 所 学 的 数 学 知 识 应 用 到 实 际 中 ， 现 问 题 、 决 发 解 问题 ． 到 理论 与实 践 的 高 度 统一 。 做 提倡 并 鼓 励 学 生 探 究 生 活 中 的数 学 问题 ， 爱上 数 学 研 究 性 学 习 ， 体会 到 学 习 无 穷无 尽 的 乐趣 ． 高 参 与 热情 ， 而 做 到 学 以 致 用 。 数 学 知识 在 实 际 生 提 从 活 中 的应 用 是 很 广 泛 的 ， 仅 能够 帮助 解 决 数 学 问题 ， 能 够 不 更 帮 助 实 际 的生 产 、 活 ， 助 于 问 题 的 发 现 、 出与 及 时 解 决 。 生 有 提 例 如 ， 用 数 列 的相 关 知 识 可 以帮 助 购 房 、 车 分 期 付 款 等 问 运 购
《2.5.2 离散型随机变量的方差与标准差》教案
《2.5.2 离散型随机变量的方差与标准差》教案教学目标:(1)理解随机变量的方差和标准差的含义;(2)会求随机变量的方差和标准差,并能解决一些实际问题.教学重难点:理解方差和标准差公式所表示的意义,并能解决一些实际问题.教学过程:一.问题情境甲､乙两个工人生产同一种产品,在相同的条件下,他们生产100件产品所出的不合格品数分别用12,X X 表示,12,X X 的概率分布如下.如何比较甲､乙两个工人的技术?我们知道,当样本平均值相差不大时,可以利用样本方差考察样本数据与样本平均值的偏离程度.能否用一个类似于样本方差的量来刻画随机变量的波动程度呢?三.建构数学1. 一般地,若离散型随机变量X 的概率分布如表所示:则()(())i x E X -=描述了i 相对于均值的偏离程度,故2221122()()...()n n x p x p x p μμμ-+-++-,(其中120,1,2,...,,...1i n p i n p p p ≥=+++=)刻画了随机变量X 与其均值μ的平均偏离程度,我们将其称为离散型随机变量X 的方差,记为()V X 或2σ.2.方差公式也可用公式221()nii i V X xp μ==-∑计算.3.随机变量X 的方差也称为X 的概率分布的方差,X 的方差()V X 的算术平方根称为X 的标准差,即σ=思考:随机变量的方差和样本方差有何区别和联系? 四.数学运用 1.例题:例1.若随机变量X 的分布如表所示:求方差()V X .解因为所以22()(0)(1)(1)(1)V X p p p p p p =--+-=-,=例2.求第2.5.1节例1中超几何分布(5,10,30)H 的方差和标准差. 解:第2.5.1节例1中超几何分布如表所示:数学期望53μ=,由公式221()i i i V X x p μ==-∑有22584807585503800700425()01491625()2375123751237512375123751237513V X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯- 2047500.9579213759=≈故标准差0.9787σ≈.例3.求第2.5.1节例2中的二项分布(10,0.05)B 的方差和标准差. 解::0.05p =,则该分布如表所示:由第2.5.1节例2知()0.5E X μ==,由221()i i i V X x p μ==-∑得2200102119210100210101000.050.9510.050.95...100.050.950.5C C C σ=⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯-0.7250.250.475≈-=故标准差0.6892σ≈.说明:一般地,由定义可求出超几何分布和二项分布的方差的计算公式:当~(,,)X H n M N 时,2()()()(1)nM N M N n V X N N --=-,当~(,)X B n p 时,()(1)V X np p =-. 例4.有甲､乙两名学生,经统计,他们字解答同一份数学试卷时,各自的成绩在80分､90分､100分的概率分布大致如下表所示试分析两名学生的答题成绩水平.解:由题设所给分布列数据,求得两人的均值如下:X E ⨯⨯⨯甲（）=800.2+900.6+1000.2=90,X E ⨯⨯⨯乙（）=800.4+900.2+1000.4=90方差如下:222()(8090)0.2(9090)0.6(10090)0.240V X =-⨯+-⨯+-⨯=甲 222()(8090)0.4(9090)0.2(10090)0.480V X =-⨯+-⨯+-⨯=乙由上面数据可知()(),()()E X E X V X V X =<乙乙甲甲,这表明,甲､乙两人所得分数的平均分相等,但两人得分的稳定程度不同,甲同学成绩较稳定,乙同学成绩波动大.五.回顾小结:1.离散型随机变量的方差和标准差的概念和意义;2.离散型随机变量的方差和标准差的计算方法;3.超几何分布和二项分布的方差和标准差的计算方法.。
732 离散型随机变量的方差(学案)23学年高二数学(人教A版2019选择性必修第三册)
0.8a b 10 ， 0.16 a 2 4 ， a 5 ， b 6 ，故选 C.
3.B 解析：由题意得 D (5 ) 25 D ( ) 20 ，所以 D( )
2
6
3
2
1
1
1
E ( X ) 0 2 a 2 ， a 3 .
6
2
3
1
1
1
2
D( X ) (0 2)2 (2 2)2 (3 2) 2 1 .故 D2X 3 2 D X 4 .
6
2
3
例 2 0.16 解析：依题意知:X 服从两点分布,所以 D(X)=(0-0.8)2×0.2+(1-0.8)2×0.8=0.16.
C. a 5 ， b 6
D. a 6 ， b 5
D
(5
)
20
D
(
)
(
3.设 是随机变量，且
，则
)
A.0.4
B.0.8
C.4
D.20
4.有甲、乙两种水稻,测得每种水稻各 10 株的分蘖数据,计算出样本均值 E(X 甲)=E(X 乙),方差分
别为 D(X 甲)=11,D(X 乙)=3.4.由此可以估计(
7.3 离散型随机变量的数字特征
7.3.2 离散型随机变量的方差
【学习目标】
课程标准
素养要求
理解离散型随机 1.理解离散型随机变量的方差及标准差的概念.(数学抽象)
变量的方差.
2.掌握方差的性质,会利用公式求离散型随机变量的方差.(数学运算)
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2 .3 . 2离散型随机变量的方差教学目标：知识与技能：了解离散型随机变量的方差、标准差的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出方差或标准差。
过程与方法：了解方差公式“ D(a令b)=a2D E”，以及“若E〜B(n , p),则DE=np (1 —p)”，并会应用上述公式计算有关随机变量的方差。
情感、态度与价值观：承前启后，感悟数学与生活的和谐之美，体现数学的文化功能与人文价值。
教学重点：离散型随机变量的方差、标准差■教学难点：比较两个随机变量的期望与方差的大小，从而解决实际问题*教具准备：多媒体、实物投影仪。
教学设想：了解方差公式“ D(a $b)=a2D E”，以及“若〜B(n, p)，则DE= np (1 —p)”，并会应用上述公式计算有关随机变量的方差。
授课类型：新授课•课时安排3课时•教具：多媒体、实物投影仪•内容分析：数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平，表示了随机变量在随机实验中取值的平均值，所以又常称为随机变量的平均数、均值.今天，我们将对随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度进行研究.其实在初中我们也对一组数据的波动情况作过研究，即研究过一组数据的方差回顾一组数据的方差的概念：设在一组数据X!，x2，…，x n中，各数据与它们的平4 均值X得差的平方分别是(人X)2，(X2 X)2，…，(x n X)2，那么S2[ (X! X)2n2 2+ (X2 X) +•••+ (X n X)]叫做这组数据的方差 +教学过程：一、复习引入：1. 随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量+随机变量常用希腊字母E、n等表示+2. 离散型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量•3 .连续型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量•4. 离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系：离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以------------------ 列出6.分布列的两个性质：⑴P i > 0，i = 1，2，…；⑵P1+P2+…=1 .5. 分布列：6.分布列的两个性质：⑴P i > 0，i = 1，2，…；⑵P1+P2+…=1 .7.n k n kk 18.几何分布： g (k , p )= q p ，其中 k = 0,1,2,…，q 1 p .9.数学期望：则称E Xi® X 2P 2…X n P n … 为E 的数学期望，简称期望.10.数学期望是离散型随机变量的一个 特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平•均数、均值•13.若 E ： B ( n,p ), 二、讲解新课：1•方差：对于离散型随机变量 &如果它所有可能取的值是X 1 ,且取这些值的概率分别是P 1 , P 2，…，P n ，…，那么，D = (X 1E )2 P 1 + (X 2 E )2 P 2 + …+ (x n E )2 P n +…称为随机变量E 的均方差，简称为方差，式中的E 是随机变量E 的期望.2•标准差：D 的算术平方根...D —叫做随机变量E 的标准差，记作2 2 23. 方差的性质：(1) D(a b) a D ； (2) D E (E )； (3)若 E 〜B (n , p )，则 D np (1-p )-4. 其它：⑴随机变量E 的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的； ⑵随机变量E 的方差、标准差也是随机变量E 的特征数，它们都反映了随机变量取值的11 平均数、均值:在有限取值离散型随机变量 E 的概率分布中，令 P 1 P 2P n ,则有P 1P 2 P n1 E (X 1 X 2nX n )1，所以nE 的数学期望又称为平12.期望的一个性质 :E(a b) aE b稳定与波动、集中与离散的程度；⑶标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛 三、讲解范例：例1 •随机抛掷一枚质地均匀的骰子 ，求向上一面的点数的均值、方差和标准差从而3.5；21 2 1 2 1 2 (1旳 6(26(36(4 旳(5 3.5)2 1(6 3.5)2 1 2.926 6例2根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位？解：根据月工资的分布列，利用计算器可算得EX 1 = 1200 X 0.4 + 1 400 X 0.3 + 1600 X 0.2 + 1800 X 0.1 =1400 ,2 2DX 1 = (1200-1400) X 0. 4 + (1400-1400 ) X 0.3 + (1600 -1400 ) 2X 0.2+(1800-1400)2X 0. 1=40 000 ;EX 2 = 1 000 X 0.4 +1 400 X 0.3 + 1 800 X 0.2 + 2200 X 0.1 = 1400 , 2 2 DX 2 = (1000-1400) X 0. 4+(1 400-1400) X 0.3 + (1800-1400) X 0.2 +(2200-1400 )2X 0」=160000 .因为EX 1 =EX 2, DX 1<DX 2，所以两家单位的工资均值相等，但甲单位不同职位的工资 相对集中，乙单位不同职位的工资相对分散.这样，如果你希望不同职位的工资差距小一些，就选择甲单位；如果你希望不同职位的工资差距大一些，就选择乙单位.例3 .设随机变量E 的分布列为EXDX1离散型随机变量 2的概率分布为23 . 7 3 . 8 3. 94 4 . 1 4 . 2 4 . 3P11 1 1 1 1 1 77 77 77 7求这两个随机变量期望、均方差与标准差 •解:11 1j 7 27 - 4 ;7 7D 21 (1 4) 1 7 (2 214)弓21(7 4)2 7 4 ;1 D 1 2E 23.7 13.8丄4.3 -4 ；777D 2=0.04,2D 2 0.2.点评：本题中的 !和2都以相等的概率取各个不同的值，但1的取值较为分散， 2的取值较为集中.E 1 E 2 4，D 1 4，D 2 0.04，方差比较清楚地指出了 2比i 取值更集中.1 =2 ,2=0.02，可以看出这两个随机变量取值与其期望值的偏差+例5 .甲、乙两射手在同一条件下进行射击，分布列如下：射手甲击中环数8 , 9 , 10的概率分别为 0.2,0.6,0.2;射手乙击中环数 8 , 9 , 10的概率分别为0.4,0.2,0.24 •用击中 环数的期望与方差比较两名射手的射击水平•解：E 18 0.2 9 0.6 10 0.292 2 2D 1 (8 9) 0.2 (9 9)0.6 + (10-9 ) 2 0.20.4 ；解：(略) E 宁，D n 2-1 12由上可知，E i E 2, D i D 2 •所以，在射击之前，可以预测甲、乙两名射手所得的平均环数很接近，均在9环左右，但甲所得环数较集中，以9环居多，而乙得环数较分散，得8、10环地次数多些.点评：本题中，1和2所有可能取的值是一致的，只是概率的分布情况不同.E 1 E 2 =9 ,这时就通过D 1 =0.4和D 2 =0.8来比较1和2的离散程度，即两名 射手成绩的稳定情况+例6 . A 、B 两台机床同时加工零件，每生产一批数量较大的产品时，出次品的概率如 下表所示：A 机床B 机床解： E 8=0 X 0.7+1 X 0.2+2 X 0.06+3 X 0.04=0.44,E 8=0 X 0.8+1 X 0.06+2 X 0.04+3 X 0.10=0.44. 它们的期望相同，再比较它们的方差+D 8= (0-0.44 )2 X 0.7+ (1-0.44 ) 2 X 0.2+ (2-0.44 ) 2X 0.06+ 2(3-0.44 ) X 0.04=0.6064,D 8= (0-0.44 )2 X 0.8+ (1-0.44 ) 2X 0.06+(2-0.44 ) 2X 0.04+ ( 3-0.44 ) 2 X 0.10=0.9264.••• D 8< D 8 故A 机床加工较稳定、质量较好 四、课堂练习：1 .已知 ~ B n, p , E 8,D 1.6，则n, p 的值分别是（）A . 100和0.08 ；B .20和0.4 ；C . 10和0.2 ； D . 10和0.8 ■答案：1.D -2. 一盒中装有零件 12 个，其中有 9个正品，3个次品，从中任取一个，如果每次取出 次品就不再放回去， 再取一个零件，直到取得正品为止. 求在取得正品之前已取出次品数的 期望.分析：涉及次品率；抽样是否放回的问题•本例采用不放回抽样， 每次抽样后次品率将会发生变化，即各次抽样是不独立的•如果抽样采用放回抽样，则各次抽样的次品率不变， 各次抽样是否抽出次品是完全独立的事件.同理有E9,D 20.8.解：设取得正品之前已取出的次品数为E,显然E 所有可能取的值为 0, 1 , 2, 3 当E=0时，即第一次取得正品，试验停止，则 9 3P (E =0 )=—12 4当E=1时，即第一次取出次品，第二次取得正品，试验停止，则当E=2时，即第一、二次取出次品，第三次取得正品，试验停止，则3 2 9 9P (E =2 )=12 11 10 220当E=3 时, 即第一、二 二、三次取出次品，第四次取得正品，试验停止，则P (E =3 )_ 3 2 1 9 1=12 11 10 9 2203 9 9 13所以， E E=0 1 2 - 3 -4 44 220 220 103.有 批数量很大的商品的次品率为1%，从中任意地连续取出 200 件商品，设其中次品数为E,求E E,D 着分析：涉及产品数量很大， 而且抽查次数又相对较少的产品抽查问题. 由于产品数量很大，因而抽样时抽出次品与否对后面的抽样的次品率影响很小， 所以可以认为各次抽查的结果是彼此独立的•解答本题，关键是理解清楚：抽200件商品可以看作200次独立重复试验，即E ： B (200 , 1% )，从而可用公式：E 手np , D 手n pq(这里q=1-p)直接进行计算+解：因为商品数量相当大，抽 200件商品可以看作 200次独立重复试验，所以E : B (200 ,1% )因为 E 审np ,D E =npq ，这里 n=200 ,p=1% , q=99%，所以，E E =200 x 1%=2,D E =200 x 1%x 99%=1.984.设事件A 发生的概率为p ，证明事件A 在一次试验中发生次数E 的方差不超过 1/4 ■ 分析：这是一道纯数学问题.要求学生熟悉随机变量的期望与方差的计算方法， 关键还是掌握随机变量的分布列.求出方差D E=P(1-P)后，我们知道 DE 是关于P(P > 0)的二次函数，这里可用配方法，也可用重要不等式证明结论+证明：因为E 所有可能取的值为 0,1且P (E =0 ) =1-p,P( E =1)=p,所以，E E =0 x (p)+1 x p=p .则 DE = ( 0-p ) 2 x (1-p)+(1-p) 2 x p=p(1 -p)其中A 、分别表示A 、B 两种钢筋的抗拉强度•在使用时要求钢筋的抗拉强度不低于120，试比较A 、B 两种钢筋哪一种质量较好+分析： 两个随机变量E A 和E &都以相同的概率 0 • 1 , 0 . 2 , 0 . 4 , 0 . 1 , 0 . 2取5 个不同的数值.E A 取较为集中的数值110 , 120 , 125 , 130 , 135 ;E 取较为分散的数值 100 , 115 , 125 , 130 , 145 .直观上看，猜想 A 种钢筋质量较好.但猜想不一定正确， 需要通过计算来证明我们猜想的正确性•解：先比较E A 与E 的期望值，因为E E =110 x 0.1 + 120 x 0.2+125 x 0.4+130 x 0.1+135 x 0.2=125, E $=100 X 0.1 + 115 X 0.2+125 X 0.4 十 130 X 0.1 + 145 X 0.2=125.P(E)=—12 9 11 944 2p (1 p) 124所以，它们的期望相同•再比较它们的方差•因为D $=(110-125) 2X 0.1+(120-125) 2X 0.2+(130-125) 2X 0.1+(135-125) 2X0.2=50 ,D $=(100-125) 2X 0.1+(110-125) 2X 0.2+(130-125) 2X 0.1+(145-125) 2X0.2=165.所以，D $ < D $.因此，A种钢筋质量较好.6. 在有奖摸彩中，一期(发行10000张彩票为一期)有200个奖品是5元的，20个奖品是25元的，5个奖品是100元的.在不考虑获利的前提下，一张彩票的合理价格是多少元？分析：这是同学们身边常遇到的现实问题，比如福利彩票、足球彩票、奥运彩票等等.一般来说，出台各种彩票，政府要从中收取一部分资金用于公共福利事业，同时也要考虑工作人员的工资等问题. 本题的“不考虑获利”的意思是指：所收资金全部用于奖品方面的费用解：设一张彩票中奖额为随机变量显然$所有可能取的值为0, 5 , 25 , 100 •依题意，可得$的分布列为391 1 1 1E 0 5 25 100 0.2400 50 500 2000答：一张彩票的合理价格是0 • 2元.五、小结：⑴求离散型随机变量$的方差、标准差的步骤：①理解$的意义，写出$可能取的全部值；②求$取各个值的概率，写出分布列；③根据分布列，由期望的定义求出E $④根据方差、标准差的定义求出 D 、.若$〜B(n , p),则不必写出分布列，直接用公式计算即可.⑵对于两个随机变量1和2，在E 1和E 2相等或很接近时，比较D 1和D 2，可以确定哪个随机变量的性质更适合生产生活实际，适合人们的需要六、课后作业：P69练习1,2,3 P69 A 组4 B组1,21.设〜B(n、p)且E =12 D =4，求n、p解：由二次分布的期望与方差性质可知 E =np D = np (1 —p )np 12 np(1 p)n 18 / •- 24 p32.已知随机变量1 1服从二项分布即~B(6、一)求b (2 ; 6 ,-)3 3解：p( =2)=c 62(^)2(-)43 33.已知甲、乙两名射手在一次射击中的得分为两个相互独立的随机变量 的分布列如下：（注得分越大，水平越高）解：由 0.1+0.6+a+1 a=0.30.3+0.3+b=1 a=0.4 ••• E =2.3 , E =2.0 D =0.81, D =0.6 .七、 板书设计（略）+ 八、 教学反思：⑴求离散型随机变量E 的方差、标准差的步骤： ① 理解E 的意义，写出E 可能取的全部值；② 求E 取各个值的概率，写出分布列； ③ 根据分布列，由期望的定义求出 E &④ 根据方差、标准差的定义求出 D 、.若E 〜B （n , p ）,则不必写出分布列，直接用公式计算即可.⑵对于两个随机变量訝口 2，在E 1和E 2相等或很接近时，比较D 1和D 2，可以确定哪个随机变量的性质更适合生产生活实际，适合人们的需要和，已知和。