《角平分线(1)》精品课件

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第一章 三角形的证明
4 角平分线
（第1课时）
学习目标
1.会用尺规作角平分线. 2.能够证明角平分线的性质定理、判定定理. 3.能够运用角平分线的性质定理、判定定理
解决几何问题.
新知探究
思考：要在S区建一个集贸市场.
（1）使它到公路，铁路距离相等，如何设计？
（2）它到公路，铁路距离相等且离公路、铁路的
∵DE ＝ DF, AD是∠EDF的角平分线，
∴AD垂直平分EF(三线合一）.
随堂练习
1.如图，AD平分∠BAC，点P在AD上，若PE⊥AB，
PF⊥AC，则PE___=____PF.
2.如图，PD⊥AB，PE⊥AC，且PD=PE，连接AP，
则∠BAP__=___∠CAP.
3.如图，∠BAC=60°，AP平分∠BAC，PD⊥AB， PE⊥AC，若AD= 3，则PE=__1__.
证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，
∴∠PDO=∠ PEO=90°. 在Rt△ODP和Rt△OEP中，
OP=OP，PD=PE，
A
C
DP
1
B
2
E
∴Rt△ODP ≌ Rt△OEP(HL)．
O
∴∠1=∠2(全等三角形对应角相等) .
∴点P在∠AOB的角平分线上．
这样，我们又可以得到一个结论：
判定定理： 在一个角的内部,且到角的两边距离相等 的点,在这个角的平分线上.
DA
1 O2
PC
E B
练一练
判断
1. ∵ 如图，AD平分∠BAC（已知），
∴
BD = CD
，(
在角的平分线上的点到这 个角的两边的距离相等.
)
×
B
A
D
C
2. ∵ AD平分∠BAC, DC⊥AC，DB⊥AB （已知），
∴
DB
= DC
.（
在角的平分线上的点到这个 角的两边的距离相等
）
√
不必再证全等
B
交叉处400米，应建在何处？
O
（比例尺 1：20 000）
公路
铁路
S
活 动 1 什么是角平分线？怎样画角平分线？
不利用工具，请你将一张用纸片做的角分成两个 相等的角. 你有什么办法？
A O
（对折）
C
再打开纸片，看看折痕与
这个角有何关系？
B
如何用尺规作角的平分线？
作法：
1.以O为圆心，适当长为半 径作弧，交OA于M，交OB 于N．
例4 已知:如图,在△ABC中,AD是它的角平线,DE⊥AB,
DF⊥AC,垂足分别是E,F.
求: AD与EF关系.
A
解:∵AD平分∠CAB ，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴ DE ＝ DF(角平分线的性质)，
E
F
∠DAE=∠DAF.
∵∠DEB=∠CFD=90°，
B
D
C
∴ ∠ADE=∠ADF,即AD是∠EDF的角平分线.
A D
C
➢ 反过来，到一个角的两边的距离相等的点是否 一定在这个角的平分线上呢？ （前提条件）
已知：如图,PD⊥OA，PE⊥OB，
点D，E为垂足，PD＝PE．
求证：点P在∠AOB的平分线上．
A
C
DP
B
E
O
已知：在∠AOB内部有一点P，且PD⊥OA，PE⊥OB，D， E为垂足且PD=PE，求证：点P在∠AOB的角平分线上．
4.已知：在等腰Rt△ABC中，AC ＝ BC，∠C＝90°，
A
Ｍ Ｃ
2.分别以M，N为圆心．
大于
1 2
MN的长为半径弧．
BＮ
Ｏ
两弧在∠AOB的内部交于C．
3.作射线OC． 则射线OC即为所求．
活 动 2 探究角平分线的性质
(1)实验：将∠AOB对折，再折出一个直角三角形 （使第一条折痕为斜边），然后展开，观察两次 折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论？
(2)猜想:角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
求证：PD=PE．
A
证明：∵OC是∠AOB的平分线，
D
PD⊥OA，PE⊥OB，
1
O
∴ ∠1=∠2，∠PDO=∠PEO=90°.
2
PC
又∵OP=OP， ∴△PDO≌△PEO(AAS)．
E B
∴PD=PE(全等三角形的对应边相等).
定理：角平分线上的点到这个角的两边距离相等.
∵OC是∠AOB的平分线,P是OC上任 意一点，PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别 是D,E(已知)， ∴PD=PE(角平分线上的点到这个角 的两边距离相等).
F
在Ｒt△BDE和Rt△CDF中,
DE=DF （已证），
B
D
C
BD=CD（已知），
∴ Rt△BDE≌Rt△CDF (HL).
∴ BE=CF （全等三角形对应边相等）.
例3 已知:如图,在△ABC中，BD=CD,DE⊥AB, DF⊥AC,
垂足分别是E,F.且BE=CF.
求证: AD是∠BAC的角平分线.
O
（比例尺 1：20 000）
公路
铁路
S
典型例题
例1 如图，在△ABC中，∠BAC=60°，点D在BC上， AD=10，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F， 且DE=DF，求DE的长.
证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC ，DE ＝DF，
A
∴AD平分∠BAC.
又∵∠BAC=60°， ∴∠BAD=30.
E F
在Rt△ADE中， ∵∠AED=90°，AD=10，
B
D
C
∴DE= ½ AD= ½ ×10=5 .
例2 已知:如图,在△ABC中,AD是它的角平分线,且BD=CD,
DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E,F.
求证: BE=CF.
A
证明：∵AD平分∠CAB，
DE⊥AB，DF⊥AC，
∴ DE ＝ DF(角平分线的性质). E
A
证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴ ∠DEB=∠CFD=90°.
在Ｒt△BDE和Rt△CDF中,
E
F
BE=CF （已证），
BD=CD（已知），
B
∴ Rt△BDE≌Rt△CDF (HL).
D
C
∴DE ＝ DF(全等三角形对应边相等).
又∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴ 点D在∠A的角平分线上，即AD是它的角平分线.
同学甲、乙谁的画法是正确的?
C
C
按照做一做的顺序画∠AOB的折痕OC ,过点P的垂线 段PE，PF ，并度量所画PE，PF是否等长？
议一议：由折一折和画一画你可得到什么猜想？
角平分线上的点到角的两边的 距离相等．
已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，
PE⊥OB，垂足分别为D，E．
∵PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D， E(已知), 且PD=PE, ∴点P在∠AOB的平分线上(在一个角的 内部,且到角的两边距离相等的点在这 个角的平分线上).
A
Cபைடு நூலகம்
DP
B
E
O
思考：要在S区建一个集贸市场.
（1）使它到公路，铁路距离相等，如何设计？
（2）它到公路，铁路距离相等且离公路、铁路的
交叉处400米，应建在何处？