振动力学第二章课件
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第2章振动与波
振动学是研究声学的基础
6
第2章振动与波
与振动相关的概念
振荡 振荡是一种物理量在观测时间内，不断地 经过最大值和最小值而变化的过程。
振动 振动是指物理量是一个机械系统的运动参 量时的振荡。主要是指机械运动。
7
第2章振动与波
与振动相关的概念
弹簧振子
k
弹性力 f 与拉伸长度 x 的关系为 f kx
振子在获得这种外部来的能量后就开始振 动，将其转化为振动能。
cm
1 k
为力顺，它反映弹簧的柔顺程度
根据牛顿第二运动定律
所以
f= ma
d2x m dt 2 kx
质点自由振动方程
d2x dt 2
02
x
0
其中
02
k m
21
第2章振动与波
d2x dt 2
02
x
0
二阶齐次方程
22
第2章振动与波
声学基础
0T 2
第二章 振动与波
2π秒钟的振动次数
0 2 f
自由振动的一般规律
f0
1
2
1 mCm
数k越小，固有频率 越低。
25
第2章振动与波
思考
若需要降低动圈扬声器的固有频率，应采 取什么措施？
①增加系统的质量，即增加音圈与纸盆的 质量
②减小系统的弹性系数，即使纸盆边缘的 折环部分更为柔顺。
26
第2章振动与波
声学基础
第二章 振动与波
例：扬声器力学振动系统在低频时可视为集中参数系统，
3
第2章振动与波
声音是一种波动现象。当声源（机械振 动源）振动时，振动体对周围相邻媒质产 生扰动，而被扰动的媒质又会对它的外围 相邻媒质产生扰动，这种扰动的不断传递 就是声音产生与传播的基本机理。
6
第2章振动与波
与振动相关的概念
振荡 振荡是一种物理量在观测时间内，不断地 经过最大值和最小值而变化的过程。
振动 振动是指物理量是一个机械系统的运动参 量时的振荡。主要是指机械运动。
7
第2章振动与波
与振动相关的概念
弹簧振子
k
弹性力 f 与拉伸长度 x 的关系为 f kx
振子在获得这种外部来的能量后就开始振 动，将其转化为振动能。
cm
1 k
为力顺，它反映弹簧的柔顺程度
根据牛顿第二运动定律
所以
f= ma
d2x m dt 2 kx
质点自由振动方程
d2x dt 2
02
x
0
其中
02
k m
21
第2章振动与波
d2x dt 2
02
x
0
二阶齐次方程
22
第2章振动与波
声学基础
0T 2
第二章 振动与波
2π秒钟的振动次数
0 2 f
自由振动的一般规律
f0
1
2
1 mCm
数k越小，固有频率 越低。
25
第2章振动与波
思考
若需要降低动圈扬声器的固有频率，应采 取什么措施？
①增加系统的质量，即增加音圈与纸盆的 质量
②减小系统的弹性系数，即使纸盆边缘的 折环部分更为柔顺。
26
第2章振动与波
声学基础
第二章 振动与波
例：扬声器力学振动系统在低频时可视为集中参数系统，
3
第2章振动与波
声音是一种波动现象。当声源（机械振 动源）振动时，振动体对周围相邻媒质产 生扰动，而被扰动的媒质又会对它的外围 相邻媒质产生扰动，这种扰动的不断传递 就是声音产生与传播的基本机理。
西南交通大学振动力学_第 2 章(II) 单自由度系统的强迫振动
F0 0 (sin t sin t ) 0 2 k (1 )
(2 48)
可见：1）强迫振动即使在初位移和初速度均为零，在
激振力作用下仍存在着瞬态响应，即上式等号右端括号
中的第二项，在有阻尼的情况下，此项数值将逐渐趋向 于零。 2 ）当系统的固有频率比较低时，瞬态振动振幅 就可能比较大，而且在较长时间内不易衰减下去。 3 ）因此实验中测定强迫振动振幅时，应该在经 过一段时间稳定以后再测量，否则可能测到的是两部分
《振动力学》
自由振动
B
F0 / k
(1 2 ) 2 (2 ) 2
0 x 0 2 x 0 2 ) x 18 ' ' x0 arctan 0 x0 x A (
单自由度系统的振动 d) 激振力频率0等于或接近于自由振动频率情形 引入ω –ω0 =2ε 考虑式（2-48），当 ε 很小时，则 F sin t x 0 cos t (2 50) 2 m 式（2-50）中ε很小，sinεt变化缓慢，周期2π/ε很大。式（2-50） 可看成周期为 2π/、可变振幅等于 ( F0 / 2 m )sin t 的振动。这种现 象称为拍，按图2-32中规律变化。拍的周期为π/ ε。
F0 sin 0t x(t ) A sin(t ) k 1 2 (2 47)
0 ,代入初始条件得 设t=0时，x 0, x
F0 0 A , 0 k (1 2 )
图 2-31
《振动力学》
16
单自由度系统的振动
代入（2-47）得
x(t )
当阻尼大时，带宽就宽，过共振时振幅变化平缓，振幅较小；反之， 阻尼小时，带宽就窄，过共振时振幅变化较陡，振幅就大。所以品质因子 反映了系统阻尼强弱性质和共振峰的陡峭程度。在机械系统中，为了过共 振时比较平稳，希望 Q值小些。式（2-45）提供了由试验估算系统阻尼比 的方法。 半功率点q1和q2 处的相位角由式（2-40） 估算如下： 21 2 (1 ) tan 1 1 2 2 1 1 1 (1 )
振动力学 第二章 两自由度系统.
显然，方程组 (3.2) 中的两个方程相互关联的。因为第x 2 (t ) ，第二式中包含了 x 1 (t ) 和 x 1 (t ) 。 我们这里把由联立的方程所表示的系统运动称为是“耦合” 耦合项分别为 、 c2 x 2 (t )
k2、 x2 (t ) c2、 x1 (t ) k2 。 x1 (t )
而常数 u1 和 u2 表示位移的幅值。
x2(t) u2 f (t)
(3.8)
其中， f (t ) 表示两个位移 x1(t) 和 x2 (t) 对时间的依赖部分，
将假设的同步解(3.8)式代入运动微分方程组(3.7)，得：
m1u1 f (t ) k11u1 k12u2 f (t ) 0 m2u2 f (t ) k12u1 k 22u2 f (t ) 0
k1 1 m1 u1 k1 2u 2 0 k1 2u1 k 2 2 m 2 u 2 0
将 2 代入上式，写出：
k m u k u 0 k u k m u 0
11 2 1 1 12 2 12 1 22 2 2 2
而如果方程(3.9)有解，则需有：
(3.9)
f (t) k11u1 k12u2 k12u1 k 22u2 f (t) m1u1 m2u2
(3.10)
f (t) k11u1 k12u2 k12u1 k 22u2 f (t) m1u1 m2u2
因为上式右端各量均为实常数，所以 只要由方程(3.10)所确定的两个方程：
则解(3.16)成为：
2
(3.17)
it f (t) Ae A2e it 1
(3.18)
江苏专用_新教材高中物理第二章机械振动2简谐运动的描述课件新人教版选择性必修第一册
解析：1 s 时质点位于正向最大位移处，3 s 时质点处于负向最大位移处， 位移方向相反，故 A 错误；一个周期内质点做简谐运动经过的路程是 4A＝8 cm,10 s 为 2.5 个周期，则质点经过的路程为 20 cm，故 B 正确；由题图知 位移与时间的关系为 x＝Asin(ωt＋φ0)＝0.02sinπ2tm，当 t＝5 s 时，其相位 ωt ＋φ0＝π2×5＝52π，故 C 错误；在 1.5 s 和 4.5 s 两时刻，质点位移相同，x ＝Asin 135°＝ 22A＝ 2 cm，故 D 错误。 答案：B
提示：(1)时间 t＝T，路程 s＝4A，位移 x＝0。 (2)时间 t＝21T，路程 s＝2A，位移 x＝2A。 (3)两个过程的各量都相同：时间 t＝14T，路程 s＝A，位移 x＝A。 (4)D→C→D 过程：时间 t＝14T，路程 s＜A，位移 x＝0。 D→O→E 过程：时间 t＝14T，路程 s＞A，位移 x＝0。
D．B 的相位始终超前 A 的相位π3
解析：振幅是标量，A、B 的振幅分别是 3 m、5 m，A 错；A、B 的圆频率 ω＝ 100 rad/s，周期 T＝2ωπ＝120π0 s＝6.28×10－2 s，B 错，C 对；Δφ＝φA0－φB0 ＝π2－π6＝π3为定值，A 的相位超前，B 的相位π3，D 错。 答案：C
( √)
2．物体 A 做简谐运动的振动位移 xA＝3sin100t＋π2m，物体 B 做简谐运动的振
动位移 xB＝5sin100t＋π6m。比较 A、B 的运动 A．振幅是矢量，A 的振幅是 6 m，B 的振幅是 10 m
()
B．周期是标量，A、B 周期相等，为 100 s
C．A 振动的圆频率 ωA 等于 B 振动的圆频率 ωB
2.2无阻尼的自由振动和振型 振动力学课件
相角 作不同振幅（振幅不唯一）的简谐运动。
2 M A K A 0 （广义本征值问题）
A 有非零解的充要条件是 K 2 M 0
（系数行列式等于零）
k11 2m11 即 k21 2m21
...
kn1 2mn1
k12 2m12 k22 2m22
...
kn2 2mn2
... k1n 2m1n
利用 Kronecker 符号：
φ(i)T Mφ( j) ij mpi
φ(i
)T
Kφ( j)
ij k pi
ij
1 0
i j i j
第i 阶固有频率：
i
k pi m pi
φ(i)T Kφ( j) i2φ(i)T Mφ( j)
(i 1n)
五、正则模态（简正模态）φN(i)
定义：全部主质量皆为1的主模态 mpi φN(i)T MφN(i) 1
M ,K
12((11))
(2) 1
(2) 2
... ...
... ...
1(
( 2
n) n)
... ... ... ... ...
n(1)1
(2) n1
...
...
(n) n1
1 1 ... ... 1
系统的模态矩阵或模态是各本（特）征值（固有频率） 所对应的本征向量（固有振型）组成的。
结论：系统的固有频率和模态完全由系统的物理参数
M确, 定K ，是系统的固有特性。
例题2-1：
汽车振动简化模型如图，已知汽车质量为m，对质心转
动惯量为J，刚度系数分别为
点的距离
OC a
，k1, 长k2 度尺寸
，重l1,心l2 到O
2 M A K A 0 （广义本征值问题）
A 有非零解的充要条件是 K 2 M 0
（系数行列式等于零）
k11 2m11 即 k21 2m21
...
kn1 2mn1
k12 2m12 k22 2m22
...
kn2 2mn2
... k1n 2m1n
利用 Kronecker 符号：
φ(i)T Mφ( j) ij mpi
φ(i
)T
Kφ( j)
ij k pi
ij
1 0
i j i j
第i 阶固有频率：
i
k pi m pi
φ(i)T Kφ( j) i2φ(i)T Mφ( j)
(i 1n)
五、正则模态（简正模态）φN(i)
定义：全部主质量皆为1的主模态 mpi φN(i)T MφN(i) 1
M ,K
12((11))
(2) 1
(2) 2
... ...
... ...
1(
( 2
n) n)
... ... ... ... ...
n(1)1
(2) n1
...
...
(n) n1
1 1 ... ... 1
系统的模态矩阵或模态是各本（特）征值（固有频率） 所对应的本征向量（固有振型）组成的。
结论：系统的固有频率和模态完全由系统的物理参数
M确, 定K ，是系统的固有特性。
例题2-1：
汽车振动简化模型如图，已知汽车质量为m，对质心转
动惯量为J，刚度系数分别为
点的距离
OC a
，k1, 长k2 度尺寸
，重l1,心l2 到O
振动力学与结构动力学第二章21PPT课件
k2
12 EI h3
,
k 28 .284 rad / s, m
f 1 4 10 6 4 .502 Hz
2 5000
-
5
求图示系统的固有频率 （a）弹簧串联情况； （b）弹簧并联情况。
(a)串联情况
k1 yst1 k2 yst 2 mg ,
y st
yst1
yst 2
mg k1
mg k2
arctg(y0/ y0)
-
1
其通解为 y(t) c 1cot sc 2sitn 令 y0 Asinv
由初始条件 y(0)y0
y0/Acovs
y(0) y0
y(t)A si n t (v)
可得 c1 y0 c2 y0 /
y(t)y0cots y0si nt
其中
A
y02
y02
2
tan
y0
y0
mg ( k1 k2 ), k1k 2
k mg k1k2 , yst k1 k2
k1k 2
m(k1 k2 )
思考题：串联后系统频率与单 个弹簧系统相比有何变化？
-
6
(b) 并联情况
y st 1 y st 2 y st ,
k 1 y st 1 k 2 y st 2 mg ,
y st
mg k1
, k2
k k1 k2,
k1 k2 m
思考题：并联后系统频率与 单个弹簧系统相比有何变化？
-
7
例：简支梁AB，重量不计。在梁的中点位置放一重为W 的物体M时，其静挠度为yst。现将物体M从高度h处自由
释放，落到梁的中点处，求该系统振动的规律。
当物体落到梁上后，梁、物体系统作简谐振动，只要定 出简谐振动的三个参数：圆频率、振幅和初相角即可。
第二章 1 《简谐运动》课件ppt
规定正方向,则某时刻振子偏离平衡位置的位移可用该时刻振子所在位置
的坐标来表示。
(2)简谐运动的速度
①物理含义:速度是描述振子在平衡位置附近振动快慢的物理量。在所建立的
坐标轴上,速度的正、负号表示振子运动方向与坐标轴的正方向相同或相反。
②特点:振子在平衡位置速度最大,在两最大位移处速度为零。
(3)加速度
一薄板连接，薄板的质量不计，板上放一重物．用手将重物往
下压，然后突然将手撤去，则重物被弹离之前的运动情况是
加速度先________后________．
【答案】减小
增大
【解析】竖直方向的弹簧振子的振动也是简谐运动，但它的平衡位
置在重力与弹力平衡的位置，此位置加速度为零．因此从平衡位置将弹
簧压缩以后放手，它的加速度是先减小，到达平衡位置以后再增大．
[典例剖析]
例题2(2021新疆实验中学高二期末)如图所示为一质点的简谐运动图像。
由图可知,下列说法正确的是(
)
A.质点的运动轨迹为正弦曲线
B.t=0时,质点正通过平衡位置向正方向运动
C.t=0.25 s时,质点的速度方向与位移的正方向相反
D.质点运动过程中,两端点间的距离为0.1 m
解析 质点做简谐振动时,运动轨迹是一条直线,离开平衡位置的位移与时
物体的位移和加速度的方向是一定的,而速度的方向却有两种可能。
[典例剖析]
例题1(多选)弹簧上端固定在O点,下端连接一小球,组成一个振动系统,如
图所示,用手向下拉一小段距离后释放小球,小球便上下振动起来,关于小
球的平衡位置,下列说法正确的是(
A.在小球运动的最低点
)
B.在弹簧处于原长时的位置
C.在小球速度最大时的位置 D.在小球原来静止时的位置
的坐标来表示。
(2)简谐运动的速度
①物理含义:速度是描述振子在平衡位置附近振动快慢的物理量。在所建立的
坐标轴上,速度的正、负号表示振子运动方向与坐标轴的正方向相同或相反。
②特点:振子在平衡位置速度最大,在两最大位移处速度为零。
(3)加速度
一薄板连接，薄板的质量不计，板上放一重物．用手将重物往
下压，然后突然将手撤去，则重物被弹离之前的运动情况是
加速度先________后________．
【答案】减小
增大
【解析】竖直方向的弹簧振子的振动也是简谐运动，但它的平衡位
置在重力与弹力平衡的位置，此位置加速度为零．因此从平衡位置将弹
簧压缩以后放手，它的加速度是先减小，到达平衡位置以后再增大．
[典例剖析]
例题2(2021新疆实验中学高二期末)如图所示为一质点的简谐运动图像。
由图可知,下列说法正确的是(
)
A.质点的运动轨迹为正弦曲线
B.t=0时,质点正通过平衡位置向正方向运动
C.t=0.25 s时,质点的速度方向与位移的正方向相反
D.质点运动过程中,两端点间的距离为0.1 m
解析 质点做简谐振动时,运动轨迹是一条直线,离开平衡位置的位移与时
物体的位移和加速度的方向是一定的,而速度的方向却有两种可能。
[典例剖析]
例题1(多选)弹簧上端固定在O点,下端连接一小球,组成一个振动系统,如
图所示,用手向下拉一小段距离后释放小球,小球便上下振动起来,关于小
球的平衡位置,下列说法正确的是(
A.在小球运动的最低点
)
B.在弹簧处于原长时的位置
C.在小球速度最大时的位置 D.在小球原来静止时的位置
梁的弯曲振动-振动力学课件
(x) 由边界条件确定。
常见的约束状况与边界条件
1. 固定端条件（位移边界） 挠度和转角等于零
y(x,t) 0 y '(x,t) 0
(x) 0
'(x) 0 x 0，l
2. 简支端（铰支）（位移、力混界）
挠度和弯矩等于零
y(x,t) 0 M (x,t) 0
(x) 0
EIy"(x) 0
伯努利－欧拉梁（Bernoulli-Euler Beam）
y x,t 距原点 x处的截面在 t 时刻的横向位移
微段受力分析
FS , M 截面上的剪力和弯矩
l
(
x)
2 t
y
2
微段的惯性力
f x,t 微段所受的外力
l
(
x)
2 t
y
2
动力平衡关系由达朗贝尔原理得
l (x)
2 y t 2
dx
Fs
解：固定端：(0) 0 '(0) 0
自由端： 弯矩为零，剪力与质量惯性力平衡
EI "(l) 0 EIl m02 l
利用相同的方法，得频率方程：
cos lchl 1 l sin lcoshl cos l sinh l
其中： m0 为集中质量与梁质量之比
m m Sl 为梁质量
说明：
以上分析中没有考虑剪切变形和截面转动惯量的影响， 因此以上有关梁的分析只适用于细长梁（梁的长度大于梁 高度5倍以上） 若梁为非细长梁，必须考虑剪切变形和截面转动惯量的影响
Fs
Fs x
dx
f
( x, t )dx
l
(
x)
2 t
y
2
Fs x
f (x,t)
常见的约束状况与边界条件
1. 固定端条件（位移边界） 挠度和转角等于零
y(x,t) 0 y '(x,t) 0
(x) 0
'(x) 0 x 0，l
2. 简支端（铰支）（位移、力混界）
挠度和弯矩等于零
y(x,t) 0 M (x,t) 0
(x) 0
EIy"(x) 0
伯努利－欧拉梁（Bernoulli-Euler Beam）
y x,t 距原点 x处的截面在 t 时刻的横向位移
微段受力分析
FS , M 截面上的剪力和弯矩
l
(
x)
2 t
y
2
微段的惯性力
f x,t 微段所受的外力
l
(
x)
2 t
y
2
动力平衡关系由达朗贝尔原理得
l (x)
2 y t 2
dx
Fs
解：固定端：(0) 0 '(0) 0
自由端： 弯矩为零，剪力与质量惯性力平衡
EI "(l) 0 EIl m02 l
利用相同的方法，得频率方程：
cos lchl 1 l sin lcoshl cos l sinh l
其中： m0 为集中质量与梁质量之比
m m Sl 为梁质量
说明：
以上分析中没有考虑剪切变形和截面转动惯量的影响， 因此以上有关梁的分析只适用于细长梁（梁的长度大于梁 高度5倍以上） 若梁为非细长梁，必须考虑剪切变形和截面转动惯量的影响
Fs
Fs x
dx
f
( x, t )dx
l
(
x)
2 t
y
2
Fs x
f (x,t)
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I 0 kn
其中 I 0 —— 圆盘对中心轴的转动惯量
k n —— 圆轴的抗扭弹簧常数
固有频率 则
pn kn I0
2 n
kn
I0
0 sin pnt
图2-4 扭振系统
p 0
0 cos pnt
pn
扭振系统的振动微分方程与单自由度弹簧质量振动系统的微 分方程的形式完全相同，它们的振动特性也完全相同。因此 归为单自由度弹簧质量振动系统进行讨论。
k k1 k2
5
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第二章 单自由度系统的振动
2、 串联弹簧
( st )1 ( st ) 2 st
F1 F2 mg
k1
F1 k1 ( st )1 F2 k2 ( st ) 2
( st )1 mg mg ( st ) 2
k1 k2
x0 x x0 cos pnt sin pnt 或x A sin( p t ) n pn
An p x arctg( n 0 ) x0 2 x0 x 2 pn
2 0
3
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第二章 单自由度系统的振动
二、 周期、频率和圆频率（只与系统本身有关）
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第二章 单自由度系统的振动
1 T I B 2 2 1 2 2 V kb 2
d (V T ) 0 dt
1 1 2 I B 2k b2 0 2 2
k b2 0 IB
pn
kb 2 IB
习题2-1 2-3 2-5 2-6
§2-4 有阻尼系统的衰减振动 干摩擦:与压力成正比 （库仑阻尼） 外阻尼
粘性阻尼: R cu cx (c为粘性阻尼系数）
流体动力阻尼: R bx 2
阻尼
内阻尼 材料非弹性阻尼 迟滞圈的面积表示单位体积在 一个振动循环中所逸散的能量 结构的非弹性阻尼:比材料阻尼大许多但 一并合入材料阻尼讨论
pn cos( pnt )
1 1 2 2 Tmax I Bmax I B 2 pn 2 2 取平衡位置为系统的势能零点，则
其中
14
k
B
C
D
P
l
b
图2-5 船舶振动记录仪示意图
1 2 2 V k st b st Pl 2
4
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第二章 单自由度系统的振动
1 、并联弹簧
( st )1 ( st )2 st
F1 F2 mg
F1 k1 ( st )1 k1 st
k1
k2
l
F1 F2
m
m
F2 k 2 ( st ) 2 k2 st
st
mg
m
mg k st
1
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第二章 单自由度系统的振动
§2-1 无阻尼系统的自由振动
弹簧－质量系统 一 、自由振动方程 A 取静平衡位置为坐标原点，方向如图2-1 l k mg k ( sk x) mx B mg k sk st . o kx 0 mx F x 取静平衡位置为坐标原点时，重力和 静变形不出现在振动方程中。 mg 常取静平衡位置为坐标原点，不考虑 x 重力和静变形的影响。 图2-1 单自由度振动系统 令
Pl k st b
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第二章 单自由度系统的振动
1 2 2 V kb 2
Vmax 1 2 2 kb 2
常取静平衡位置为坐 标原点，不考虑重力 和静变形的影响
1 1 2 2 2 2 I B pn kb 2 2
pn kb 2 IB
15
11
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第二章 单自由度系统的振动
设 me 为广义质量， k n 为广义弹簧常数，q 为广义坐标，则 单自由度系统的自由振动微分方程的典型形式为
2 q pn q 0
pn
并联弹簧
kn m
kn kn1 kn 2
串联弹簧
kn1kn 2 kn kn1 kn 2
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第二章 单自由度系统的振动
例2-1 一个质量为m的物体从h的高出落下，与抗弯刚度为EJ， 长为l的简支梁做塑性碰撞，不计梁的质量，求该系统自由振动 的频率、振幅和最大挠度。
解：质量为m的物体放于简支梁的 中点时，梁中点处的静挠度为
mgl 3 st 48EJ
h x
F
t A st 1 1 st
mgl 3 48 EJ 96 EJh 1 1 mgl 3
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例2-2质量为m的物块悬挂如图2-3，设 AB杆质量不计，两弹簧的弹簧常数为k1 和 k2 ，求物块的自由振动频率。 解:
第二章 单自由度系统的振动
目的及基本要求 目的在于介绍单自由度系统的自由振动 阻尼振动和受迫振 动以及响应谱和用能量法计算固有频率。要求学生通过单自由 振动了解振动的一些基本特征，并能求解基本振动问题，为研 究复杂振动系统奠定一定基础。 重点及难点
重点介绍自由振动和简谐振动激励作用下的受迫振动。难点是 周期激励和任意激励下的受迫振动 学时分配 共8学时（自由振动、能量法2学时；衰减、受迫3学时；应用、 周期1学时；任意激励、响应谱2学时）
例2-4 计算考虑弹簧质量时弹簧质量系统的固有频率。
解：弹簧各点位移 (s, t )的边界条件为
(0, t ) 0
设 (s, t ) x(t ) f (s)
则f (s)应满足
f (0) 0
(l , t ) x(t )
0sl
f (l ) 1
s ds
l
m
x s 设 f ( s) ,则 图2-6 单自由度振动系统 l l 1 1 me 0 f 2 ( s ) ds l m (mˊ 为弹簧质 3 3
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§2-2 计算固有频率的能量法
在保守力场中（机械能守恒的力场）
T V 常数
取静平衡位置为势能的零点，则任意一位置时
1 mx 2 2 1 V kx 2 2 T
Vmax Tmax
13
d (V T ) 0 dt
金属橡胶减振器 钢丝绳减振器
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以平衡位置为坐标原点，向下
mx cx kx 0
2 2nx pn x 0 x
m
k c
o
x
其中 pn
k ———固有频率 m
图2-8 有阻尼系统的衰减振动
c n ———衰减系数 2m
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§2-3 瑞利法
利用动能计算将分布质量等效为集中质量，加在原来的惯性 元件的集中质量上,作为单自由度系统处理，从而得到更精确的固 有频率的近似值，这种方法称为Rayleigh法 s s处的位移 ( s, t ), 则 ds l (0, t ) 0 0 s l ( s, t ) x (t ) f ( s ) (l , t ) x (t ) m f(s)---形状函数或振型，是质量m有单位 位移时弹簧各点相应的位移. f 必须满足 边界条件 f (0) 0 f (l ) 1
量)
pn
19
k m me
k m m 3
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只要将弹簧质量的三分之一作为集中质量加到原质量上就 可以考虑弹簧质量的影响。
1 （m m，误差为0.5%; m m, 误差为0.75%; m 2m,误差为2 %) 2
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mg
o
x
该系统自由振动的频率为
f 1 2 g
图2-2 简支梁系统
st
1 2
48 EJ ml 3
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以撞击时刻为初始时刻，则
x0 st
2 2 0
x0 2 gh
x0 mgl 3 96 EJh 2 A x st 2h st 1 pn 48EJ mgl 3
第二章 单自由度系统的振动
例2-5 如图所示为一均质等直简支梁，中央处有一集中质量m, 计算考虑梁质量时系统的固有频率和梁的等效质量。
解：设
其中
y( x, t ) yc (t ) f ( x)
yc (t ) 梁中点的挠度 f ( x) 梁振动的形状函数
A
m C
yc
B
x
l
dx
2 l 2
图2-7 简支梁振动系统
设
x x f ( x) 3 4 l l
3
l 0 x 2
边界条件 f (0) 0 f ( l ) 1 2
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设
x x f ( x) 3 4 l l
l
3
l
Tmax
其中
1 2 1 l 2 1 2 2 mxmax f ( s)dsxmax (m me ) pn A2 2 2 0 2
me f 2 (s)ds