振动分析基础 第二章 (2.01-2.10)
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第二部分两自由度 系统的振动
k 0
(e)
k 3k 2 2m
得特征方程
第二部分 两自由度系统的振动
1 两自由度系统自由运动
( 2 ) 2m2 4 7mk 2 5k 2 0
(f )
固有频率为
1
k, m
2 1.5811
k m
(g)
将
代入式2(d) 1
，有
2k 12m X
0 0
(a)
设
x1(t) X1 sin(t )
(b)
x2 (t) X 2 sin(t )
第二部分 两自由度系统的振动
1 两自由度系统自由运动
代入振动微分方程组，得
(k1 k2 X1
k2) 2
（k2
m1 k3 )
X1
2
k2 X 2 m2 X
sin t
第二部分 两自由度系统的振动
2 两自由度简谐激励系统强迫振动
如下图所示，梁上有一固定转速的马达，运转时由于偏心而产生受迫振动，激振力
。马达的质量为m1、梁
的质量忽略不计，梁的刚度为k1。通过附加弹簧质量（m2,k2)系统可进行动力消振，试推导消振系统应满足的条件。
Q1 sin t
第二部分 两自由度系统的振动
1 两自由度系统自由运动 ●在一般情况下，两自由度系统的自由振动是两种不同频率的固有振动的叠加，其结果通常不再是简谐振动。
●在特殊的情况下，系统的自由振动会按某一个固有频率作固有振动，其结果是简谐振动。
初始条件的响应，由
x1 x2
C1 sin(1t C1r1 sin(1t
(4.1-11)
展开得
( 2 ) m1m2 4 (m1k22 m2k11) 2 k11k22 k122 0
振动2_精品文档
2）方便地比较振动步调（易于求位相差）
x A cos t
A cos t π
2
a A 2 cos t π
ωA
ω 2A
Aa x
由图看出：速度超前位移 π 加速度超前速度 2
加速度与位移 Δ π ，反相
3）方便计算
用熟悉的圆周运动代替三角函数的运算
例19.3 质量为m的质点和劲度系数为k的弹簧
再放手后开始向下运动,
l0
所以得到初始条件： x0= －0.1m ，v0= 0
由初始条件 得：
x0
l －kl
o
mg
F
x
A
x02
02 2
0.1m ;
arctan( 0 )π or 0 x0
mg x
并且t>0时 v> 0
再由t>0时， v> 0，得
arctan( v0 ) π x0
（3）x =Acos( t + φ)=0.1cos(9.9t + )m vdxAs i(ntπ)
该如物物理理量量的：运r 动称为E 振动H 。 Qi
虽然各种振动的具体物理机制可能不同，但是作 为振动这种运动的形式，它们却具有共同的特征。
振动的形式:
受迫振动
振动 自由振动
共振 阻尼自由振动
无阻尼自由振动
无阻尼自由非谐振动 无阻尼自由谐振动 (简谐振动）
最基本、最重要的振动形式是简谐振动 (S.H.V.) simple harmonic vibration
A1 A2
φ 1 φ2
oA
2
Δ φ2 φ 1
ππ 32
x
π
6
例19.6 质点的振动规律 用余弦函数描述，其速
振动分析基础
什么是振动速度？
振动速度是质量块在振荡过程中运 动快慢的程度。质量块在运动波形的上 部和下部极限位置时，其速度为0，这 是因为质量块在这两点处，在它改变运 动方向之前，必须停下来。质量块的振 动速度在平衡位置处达到最大值，在此 点处质量块已经加速到最大值，在此点 以后质量块开始减速运动。振动速度的 单位是用in/sec来表示，或用mm/s来表 示。
x = x(t)
振动的任一瞬时的数值。
• 峰值 (Peak value)
xp
振动离平衡位置的最大偏离。
• 平均绝对值 (Aver. absolute
xav
1 T
T 0
x dt
value) • 均值 (Mean value)
x 1
T
x dt
T0
又称平均值或直流分量。 • 有效值 (Root mean square
图10两个相差90度相位角振动
图11 两个相差180度相位角振动
的质量块系统
的质量块系统
振是以角度为单位，通常是利用频闪灯或光电头测量得到。 下图给出了振动相位与机器振动间的关系。
在左侧图中，机器上的轴承1和轴承2之间的振动相位差为0度（同相振动）， 而在右侧图中的机器，轴承1和轴承2之间的振动相位差为180度（反相振动）。
近它，这时质量块的振动响应就会被记录下来。
振动分析基础
什么是振动？怎样利用它来进行评价机器的状态？
振动分析基础
什么是振动频率？它与振动波形有什么关系？
考察上图可见，在记录纸上画出的振动轨迹是一条有一定幅值的、比较标 准的正弦曲线。由振动的周期（T）可以计算出振动的频率。如下图所示：频率 的单位是用CPS、CPM或用Hz表示（1Hz＝60 CPM）。
振动速度是质量块在振荡过程中运 动快慢的程度。质量块在运动波形的上 部和下部极限位置时，其速度为0，这 是因为质量块在这两点处，在它改变运 动方向之前，必须停下来。质量块的振 动速度在平衡位置处达到最大值，在此 点处质量块已经加速到最大值，在此点 以后质量块开始减速运动。振动速度的 单位是用in/sec来表示，或用mm/s来表 示。
x = x(t)
振动的任一瞬时的数值。
• 峰值 (Peak value)
xp
振动离平衡位置的最大偏离。
• 平均绝对值 (Aver. absolute
xav
1 T
T 0
x dt
value) • 均值 (Mean value)
x 1
T
x dt
T0
又称平均值或直流分量。 • 有效值 (Root mean square
图10两个相差90度相位角振动
图11 两个相差180度相位角振动
的质量块系统
的质量块系统
振是以角度为单位，通常是利用频闪灯或光电头测量得到。 下图给出了振动相位与机器振动间的关系。
在左侧图中，机器上的轴承1和轴承2之间的振动相位差为0度（同相振动）， 而在右侧图中的机器，轴承1和轴承2之间的振动相位差为180度（反相振动）。
近它，这时质量块的振动响应就会被记录下来。
振动分析基础
什么是振动？怎样利用它来进行评价机器的状态？
振动分析基础
什么是振动频率？它与振动波形有什么关系？
考察上图可见，在记录纸上画出的振动轨迹是一条有一定幅值的、比较标 准的正弦曲线。由振动的周期（T）可以计算出振动的频率。如下图所示：频率 的单位是用CPS、CPM或用Hz表示（1Hz＝60 CPM）。
振动分析基础 第二章 (2.01-2.10)
x( t) 2n x( t) n x( t) An e
2 2
it
(2.12)
根据微分方程理论，可假设系统的响应：
x(t) Beit
2 x( t) 2in x( t) n2 x( t) An2eit
整理上式，即可得出系统响应：
(2.13)
将响应(2.13)及其相关的时间导数代入方程(2.12)，有：
(2.1)
对 F (t ) 0 的情况，前面第一章已经进行了讨论。下面将研 究 F (t ) 0 时的情况，即运动微分方程(2.1)的特解情况。
首先来考虑最简单的情况，即系统承受谐波激励时的响应。 为此，可令外力 F (t ) 具有如下的形式：
F (t ) k f (t ) kAcost
H ( )
1 n 2i n
2
1
(2.15)
我们称该比例系数 H ( ) 为“复频 ( 率 ) 响应”。显然，复频 (率)响应建立了响应与激励之间在频率域内的一种关系。
复频(率)响应 H ( ) 为一复数，所以由复数代数，可知：
H ( ) H() ei
x( t) AH()sint A H() sint
(2.17)
所以，对于余弦形式的谐波激励，响应为上式的实部，即：
(2.18)
对于正弦形式的谐波激励，则响应为(2.17)式的虚部：
(2.19)
可见，谐波形式的激励，其响应也同样是谐波的。并且，响 应具有和激励相同的振动频率
F (t ) k f (t ) k Acost Re k Aeit
其中，符号 Re 表示取复矢量 e it 的实部。显然，上式表达 的是余弦形式的谐波激励。而当激励为正弦形式时，可写为：
优选第二章振动与波动理论基础
一、简谐振动
在一切振动中，最简单和最基本的振动称为简谐运 动。任何复杂的运动都可以看成是若干简谐运动的 合成。
例：弹簧振子
简谐振动的动力学公式
例：弹簧振子
O点：弹簧处于自由状态，m受力平衡。平衡位置
弹簧振子的运动
物体受到一个始终指向平衡位置的弹性力 f ，称为恢复力。 在物体经过平衡位置时，恢复力为零，但是物体由于惯性 而继续运动。
2-1 简 谐 振 动
什么是振动 从狭义上说，通常把具有时间周期性的运动称为 振动。从广义上说，任何一个物理量在某一数值 附近作周期性的往复变化，都称为振动。 该物理量称为“振动量”。
振动量可以是力学量（位移，角位移），也可以是 电磁学量（电量、电流、场强），也可以是其它物 理量。 从数学上来描述，振动量应该是随时间变化的周期 函数。
Asin( t 0)
振幅A ——振动量在振动过程中所能达到的最大值
Ψ 在 [–A, A] 之间变化，A 恒为正值
2 周期、频率、圆频率
周期T ：物体作一次完全振动所经历的时间
Asin( t 0 2 ) Asin[ (t T ) 0]
T 2
弹簧振子 T 2 m
k
Asin( t 0)
1 2
k m
k
m
3 相位 ( t +)
Acos(t )
在一个周期内，振动量的振动状态（、d /dt）与其相位是
一一对应的。振动状态的变化完全可以由相位的变化生动地 反映出来。因此，相位是标示和决定振动状态的重要特征量。
初相位 决定初始时刻振动物体的运动状态
2-2 振动的分类
1、按产生振动的原因分： 1）自由振动 2）强迫振动。
1）单向振动：仅用一个位移量或转角就可表示质点在某一个 方向的瞬时位置（一个自由度），如图2-4所示的竖向振动和扭 转振动。
《机械振动基础》第二章
−1
已知 A = ( aij ) n× n , Aij 为 aij的代数余子式 , 则
A11 A adjA = 12 ⋮ A1n
A21 A22 ⋮ A2 n
⋯ ⋯ ⋯
An1 An 2 ⋮ Ann
预备知识－线性代数与矩阵理论 预备知识－
【矩阵乘积的逆】 矩阵乘积的逆】
d 21 k2 (d11 − d 21 )
F2 = 0
k 2 + k3 d11 = k1k2 + k1k3 + k2 k3
k3d 21
m2
k2 (d11 − d 21 ) − k3d 21 = 0
k2 d 21 = k1k2 + k1k3 + k2 k3
2.2:建立系统运动微分方程的方法 2.2:建立系统运动微分方程的方法
ɺɺ ɺ ɺ ɺ mu1 = −k1u1 + k2 (u2 − u1 ) − c1u1 + c2 (u2 − u1 ) + f1 (t ) 1 ɺɺ ɺ ɺ ɺ m2u2 = −k2 (u2 − u1 ) − k3u2 − c2 (u2 − u1 ) − c3u2 + f2 (t )
方程之间存在耦合 方程之间存在耦合
ɺɺ Mu + Ku = f ɺɺ Ku = −Mu + f ɺɺ u = D(−Mu + f )
ɺɺ u = −DMu + Df
EI
A M 0 cos t
l
EI
l u2
m
u1
(1)利用Castigliano第二定理计算刚架端点的柔度系数得到柔 (1)利用Castigliano第二定理计算刚架端点的柔度系数得到柔 利用Castigliano第二定理 度矩阵D 度矩阵D Castigliano定理 定理： Castigliano 定理 ： 系统的势能对力的偏导数等于此力的作用点 沿力的方向的位移。 沿力的方向的位移。 (2)计算外力矩作用下刚架端部的动位移 (2)计算外力矩作用下刚架端部的动位移
已知 A = ( aij ) n× n , Aij 为 aij的代数余子式 , 则
A11 A adjA = 12 ⋮ A1n
A21 A22 ⋮ A2 n
⋯ ⋯ ⋯
An1 An 2 ⋮ Ann
预备知识－线性代数与矩阵理论 预备知识－
【矩阵乘积的逆】 矩阵乘积的逆】
d 21 k2 (d11 − d 21 )
F2 = 0
k 2 + k3 d11 = k1k2 + k1k3 + k2 k3
k3d 21
m2
k2 (d11 − d 21 ) − k3d 21 = 0
k2 d 21 = k1k2 + k1k3 + k2 k3
2.2:建立系统运动微分方程的方法 2.2:建立系统运动微分方程的方法
ɺɺ ɺ ɺ ɺ mu1 = −k1u1 + k2 (u2 − u1 ) − c1u1 + c2 (u2 − u1 ) + f1 (t ) 1 ɺɺ ɺ ɺ ɺ m2u2 = −k2 (u2 − u1 ) − k3u2 − c2 (u2 − u1 ) − c3u2 + f2 (t )
方程之间存在耦合 方程之间存在耦合
ɺɺ Mu + Ku = f ɺɺ Ku = −Mu + f ɺɺ u = D(−Mu + f )
ɺɺ u = −DMu + Df
EI
A M 0 cos t
l
EI
l u2
m
u1
(1)利用Castigliano第二定理计算刚架端点的柔度系数得到柔 (1)利用Castigliano第二定理计算刚架端点的柔度系数得到柔 利用Castigliano第二定理 度矩阵D 度矩阵D Castigliano定理 定理： Castigliano 定理 ： 系统的势能对力的偏导数等于此力的作用点 沿力的方向的位移。 沿力的方向的位移。 (2)计算外力矩作用下刚架端部的动位移 (2)计算外力矩作用下刚架端部的动位移
《振动分析基础》课件
车辆的振动分析
总结词
车辆的振动分析是研究车辆动态特性和提高乘坐舒适性的重要手段，主要关注车辆的平顺性和稳定性 。
详细描述
通过对车辆进行振动测试和分析，可以评估车辆在不同路况下的平顺性和稳定性，优化车辆悬挂系统 和轮胎设计，提高车辆的乘坐舒适性和行驶安全性。同时，还可以研究车辆的动态特性，为车辆的主 动和半主动控制提供依据。
05
振动分析案例研究
机械设备的振动分析
总结词
机械设备的振动分析是振动分析中应用最广泛的一类，通过对机械设备振动特 性的研究，可以预测和解决设备运行中的问题，提高设备稳定性和可靠性。
详细描述
机械设备的振动分析主要研究设备的振动特性、振动源、传递路径和振动对设 备性能的影响。通过测量和分析设备的振动数据，可以识别出设备的故障模式 、预测设备寿命，优化设备设计和改进设备维护策略。
振动分析的重要性
振动分析在工程领域中具有重要意义 ，如机械设备的故障诊断、结构安全 评估、噪声控制等。
VS
通过振动分析，可以深入了解物体的 动态特性，为优化设计、提高产品质 量和可靠性提供依据。
振动分析的应用领域
机械制造
振动分析用于检测机械设备的 工作状态，预防故障发生，提
高生产效率。
航空航天
振动分析用于评估飞行器的结 构安全性，优化设计，降低噪 音和振动对乘客的影响。
THANKS
感谢观看
混合控制技术
混合控制技术是指结合主动和被动控制技术的优点，以提高减振效果的 控制技术。
混合控制技术可以同时使用主动和被动元件，通过主动元件提供反向振 动来抵消原始振动，同时利用被动元件提供额外的阻尼和隔振效果。
混合控制技术可以综合主动和被动控制技术的优点，提高减振效果，但 需要设计合理的控制系统和元件参数，成本也相对较高。
振动分析基础知识
旋转机械振动分析基础汽轮机、发电机、燃气轮机、压缩机、风机、泵等都属于旋转机械，是电力、石化和冶金等行业的关键设备。
这些设备出现故障后，大多会带来严重的经济损失。
振动在设备故障中占了很大比重，是影响设备安全、稳定运行的重要因素。
振动又是设备的“体温计”，直接反映了设备健康状况，是设备安全评估的重要指标。
一台机组正常运行时，其振动值和振动变化值都应该比较小。
一旦机组振动值变大，或振动变得不稳定，都说明设备出现了一定程度的故障。
振动对机组安全、稳定运行的危害主要表现在：(1)振动过大将会导致轴承乌金疲劳损坏。
(2)过大振动将会造成通流部分磨损，严重时将会导致大轴弯曲。
统计数据表明，汽轮发电机组 60％以上的大轴弯曲事故就是由于摩擦引起的。
(3)振动过大还将使部件承受大幅交变应力，容易造成转子、联结螺栓、管道、地基等的损坏。
正因为振动对设备安全运行相当重要，人们对振动问题都很重视。
目前大型机组上普遍安装了振动监测系统，并将振动信号投了保护。
振动超标时，保护动作，机组自动停机，从而保证设备的绝对安全。
一、振动分析基本概念振动是一个动态量。
图所示是一种简单的振动形式－简谐振动，即振动量按余弦（或正弦）函数规律周期性地变化，幅值反映了振动大小；频率反映了振动量动态变化的快慢程度；相位反映了信号在t=0时刻的初始状态。
可见，为了完全描述一个振动信号，必须同时知道幅值、频率和相位这三个参数，人们称之为振动分析的三要素。
振动是一个动态变化量。
为了突出反映交变量的影响，振动监测时常取波形中正、负峰值的差值作为振动幅值，又称为峰峰值。
简谐振动是一种简单的振动形式，实际机组上发生的振动比简谐振动要复杂得多。
不管振动多么复杂，由信号分析理论可知，都可以将其分解为若干具有不同频率、幅值和相位的简谐分量的合成。
旋转机械振动分析离不开转速，为了方便和直观起见，常以 1x 表示及转动频率相等的频率，又称为工（基）频；以 0.5x、2x、3x 等表示及转动频率的 0.5 倍、2 倍和 3 倍等相等的频率，又称为半频、二倍频、三倍频。
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③ 非周期性的激励(任意激励)： 对于非周期的任意激励，将介绍脉冲响应和卷积积分。最 后，可由傅立叶变换和拉普拉斯变换来得到系统响应。
2.2 对谐波激励的响应
仍然考虑下图2－1所示的二阶线性阻尼系统：
x(t)
x(t)
k
F (t )
Fs (t)
m
m
F (t )
Fd (t)
c
图2－1. 二阶线性阻尼系统
第二章
单自由度线性系统的强迫振动
2.1 概 述
振动力学中，一个非常重要的课题就是研究系统对于外部激 励的响应。外部激励可以表现为初始位移、初始速度或二者兼有。 当只存在初始激励时，系统将自由的进行振动。这样的运动被称 为是“自由振动”。
此外，激励还存在着另外一种形式，即力在一段时间内持续 存在的，而由此而产生的振动被称为“强迫振动”。
x (t) C1sint C2 cost
(2.4)
其中， C1 、C2 为待定常数。将方程(2.4)代入运动微分方程
(2.3)，即可写出：
2 n
2
C1sint
C2cost
2
nC1cost
C2sint
An2cost
整理上式，并通过令方程两端的 sint 项和 cost 项前面的
系数相等，可得到两个代数方程：
可将稳态响应(解)(2.7)写成如下的简洁形式：
x(t) Xcost
(2.8)
其中：
X
A
1
2
n
2
2
n2
tan1 2 n
1 n2
分别为稳态响应的“振幅”和“相角(相位)”。
(2.9) (2.10)
2.3 复频率响应
本节，我们引入复矢量的概念，将上节中谐波激励的表达形 式进行推广。即用复矢量来表示谐波形式的外部激励。
n2 2C1 2 nC2 0
(2.5)
2 nC1 n2 2C2 An2
联立求解代数方程组(2.5)，得到系数 C1 、C2 为：
C1
An2 2 n
2 n
2
2
2
n2
1
2 n
n22 2
n
2
A
(2.6)
C2
An2
2 n
2
2 n
2
2
2
n
2
1
1 n2 n22 2
n
2
A
将系数 C1 和 C2 代入前面假设的响应解(2.4)中，即可得到
后面将会看到，引入复矢量的表示方法，将使得响应的推导 以及对振动问题的进一步深入研究都具有重要的意义。
为此，首先简单回顾“欧拉公式”：
eit cost isint
指数函数和三角函数在实数域中几乎没有什么联系，但在复 数域中却可以将它们相互转化，能够被一个非常简单的关系式联 系在一起，这就是上面的欧拉公式。
② 非齐次方程的解，称为“特解”。即由谐波激励所引
起的系统的强迫振动，它在长时间内不会消失。所以，
称之为“稳态解”或“稳态响应”。
因为这时的激励力为谐波形式，所以，需要求解的稳态响应
也必然是谐波形式。并且，应该具有相同的频率 。
再者， 运动方程(2.3)的左端包含有未知响应 x(t) 的奇次和
偶次的时间导数。所以，可假设解 x(t) 具有如下形式：
已经知道，该系统运动微分方程为：
m&x&(t) cx&(t) kx(t) F(t)
(2.1)
对 F(t) 0 的情况，前面第一章已经进行了讨论。下面将研 究 F(t) 0 时的情况，即运动微分方程(2.1)的特解情况。
首先来考虑最简单的情况，即系统承受谐波激励时的响应。
为此，可令外力 F(t) 具有如下的形式：
这一章，我们将开始对强迫振动进行讨论。
系统对于外部激励的响应，其求解方法在很大程度上取决于 激励的类型。本章，将按照从简单到复杂的顺序进行介绍：
① 谐波激励： 谐波激励具有着广泛的实际意义，并且是研究其它类型激 励的基础。所以对谐波激励将进行比较详尽的讨论；
② 周期性的激励： 周期性激励可应用标准的傅立叶级数将其看作是许多谐波 激励的迭加。从而可利用谐波激励的结果进行分析；
F(t) k f (t) kAcost
(2.2)
式中，称为“激励频率(或驱动频率)”，而 f (t) 和 A 将
具有位移的单位。
可以看到，这里方程(2.2)中，人为引进了函数 f (t) 的。后
面将看到，通过这样的表达方式，我们可以导出响应与激励的 “无量纲比”。而“无量纲比”的概念往往能把对特殊情况的分 析结果推广到其它不同的情形，从而推广分析结果的应用范围。
单自由度阻尼系统承受谐波激励的稳态响应：
x(t)
A
1 n22 2 n2
2 n
sin
t
1
n2
cost
(2.7)
x(t) Aຫໍສະໝຸດ 1 n22 2 n22 n
sin
t
1
n2
cost
(2.7)
这时，引入如下表达：
2 n
sin
1
n
2
2
2
n2
1 n2
cos
1 n222 n2
首先，将方程(2.2)表示的谐波激励代入系统的运动微分方
程(2.1)中，并用质量 m 除方程两端，则运动微分方程变为：
&x&(t
)
2
n
x&(t
)
2 n
x(t
)
An2
cost
(2.3)
显然，上式为非齐次线性微分方程。其解将包括两个部分：
① 运动微分方程所对应的齐次方程的解，称为“通解”
(即自由振动的解)。它将随着时间的延续而消逝，所 以这时的解也称为“瞬态解”或“瞬态响应”；
下面将欧拉公式在复平面上表达出来，如下图2－2：
Im
sint
e it
t
Re
cost
图2－2. 欧拉公式在复平面上的表达
复矢量 eit 可以看作是一个在复平面内，以角速度 逆时
针转动的单位复矢量。那么显然，该单位复矢量在实轴上的投影
就是它的实部 cost，而在虚轴上的投影就是它的虚部 sint 。
F(t) k f (t) k Asint Imk Aeit
符号 Im 表示了取复矢量 eit 的虚部。
所以，综合上面两式，可将正弦形式和余弦形式的谐波激励 统一的用复矢量表示为：
F(t) k f (t) k Aeit
(2.11)
由复矢量形式的激励所求得的响应，如果真实激励为余弦形 式，则取响应的实部。如果是正弦形式，则取响应的虚部。
现在，重新考虑单自由度阻尼系统的运动微分方程(2.1)，
并应用复矢量的形式来表示方程右端的谐波激励 F (t) ：
F(t) k f (t) k Acost Re k Aeit
其中，符号 Re 表示取复矢量 eit 的实部。显然，上式表达
的是余弦形式的谐波激励。而当激励为正弦形式时，可写为：
2.2 对谐波激励的响应
仍然考虑下图2－1所示的二阶线性阻尼系统：
x(t)
x(t)
k
F (t )
Fs (t)
m
m
F (t )
Fd (t)
c
图2－1. 二阶线性阻尼系统
第二章
单自由度线性系统的强迫振动
2.1 概 述
振动力学中，一个非常重要的课题就是研究系统对于外部激 励的响应。外部激励可以表现为初始位移、初始速度或二者兼有。 当只存在初始激励时，系统将自由的进行振动。这样的运动被称 为是“自由振动”。
此外，激励还存在着另外一种形式，即力在一段时间内持续 存在的，而由此而产生的振动被称为“强迫振动”。
x (t) C1sint C2 cost
(2.4)
其中， C1 、C2 为待定常数。将方程(2.4)代入运动微分方程
(2.3)，即可写出：
2 n
2
C1sint
C2cost
2
nC1cost
C2sint
An2cost
整理上式，并通过令方程两端的 sint 项和 cost 项前面的
系数相等，可得到两个代数方程：
可将稳态响应(解)(2.7)写成如下的简洁形式：
x(t) Xcost
(2.8)
其中：
X
A
1
2
n
2
2
n2
tan1 2 n
1 n2
分别为稳态响应的“振幅”和“相角(相位)”。
(2.9) (2.10)
2.3 复频率响应
本节，我们引入复矢量的概念，将上节中谐波激励的表达形 式进行推广。即用复矢量来表示谐波形式的外部激励。
n2 2C1 2 nC2 0
(2.5)
2 nC1 n2 2C2 An2
联立求解代数方程组(2.5)，得到系数 C1 、C2 为：
C1
An2 2 n
2 n
2
2
2
n2
1
2 n
n22 2
n
2
A
(2.6)
C2
An2
2 n
2
2 n
2
2
2
n
2
1
1 n2 n22 2
n
2
A
将系数 C1 和 C2 代入前面假设的响应解(2.4)中，即可得到
后面将会看到，引入复矢量的表示方法，将使得响应的推导 以及对振动问题的进一步深入研究都具有重要的意义。
为此，首先简单回顾“欧拉公式”：
eit cost isint
指数函数和三角函数在实数域中几乎没有什么联系，但在复 数域中却可以将它们相互转化，能够被一个非常简单的关系式联 系在一起，这就是上面的欧拉公式。
② 非齐次方程的解，称为“特解”。即由谐波激励所引
起的系统的强迫振动，它在长时间内不会消失。所以，
称之为“稳态解”或“稳态响应”。
因为这时的激励力为谐波形式，所以，需要求解的稳态响应
也必然是谐波形式。并且，应该具有相同的频率 。
再者， 运动方程(2.3)的左端包含有未知响应 x(t) 的奇次和
偶次的时间导数。所以，可假设解 x(t) 具有如下形式：
已经知道，该系统运动微分方程为：
m&x&(t) cx&(t) kx(t) F(t)
(2.1)
对 F(t) 0 的情况，前面第一章已经进行了讨论。下面将研 究 F(t) 0 时的情况，即运动微分方程(2.1)的特解情况。
首先来考虑最简单的情况，即系统承受谐波激励时的响应。
为此，可令外力 F(t) 具有如下的形式：
这一章，我们将开始对强迫振动进行讨论。
系统对于外部激励的响应，其求解方法在很大程度上取决于 激励的类型。本章，将按照从简单到复杂的顺序进行介绍：
① 谐波激励： 谐波激励具有着广泛的实际意义，并且是研究其它类型激 励的基础。所以对谐波激励将进行比较详尽的讨论；
② 周期性的激励： 周期性激励可应用标准的傅立叶级数将其看作是许多谐波 激励的迭加。从而可利用谐波激励的结果进行分析；
F(t) k f (t) kAcost
(2.2)
式中，称为“激励频率(或驱动频率)”，而 f (t) 和 A 将
具有位移的单位。
可以看到，这里方程(2.2)中，人为引进了函数 f (t) 的。后
面将看到，通过这样的表达方式，我们可以导出响应与激励的 “无量纲比”。而“无量纲比”的概念往往能把对特殊情况的分 析结果推广到其它不同的情形，从而推广分析结果的应用范围。
单自由度阻尼系统承受谐波激励的稳态响应：
x(t)
A
1 n22 2 n2
2 n
sin
t
1
n2
cost
(2.7)
x(t) Aຫໍສະໝຸດ 1 n22 2 n22 n
sin
t
1
n2
cost
(2.7)
这时，引入如下表达：
2 n
sin
1
n
2
2
2
n2
1 n2
cos
1 n222 n2
首先，将方程(2.2)表示的谐波激励代入系统的运动微分方
程(2.1)中，并用质量 m 除方程两端，则运动微分方程变为：
&x&(t
)
2
n
x&(t
)
2 n
x(t
)
An2
cost
(2.3)
显然，上式为非齐次线性微分方程。其解将包括两个部分：
① 运动微分方程所对应的齐次方程的解，称为“通解”
(即自由振动的解)。它将随着时间的延续而消逝，所 以这时的解也称为“瞬态解”或“瞬态响应”；
下面将欧拉公式在复平面上表达出来，如下图2－2：
Im
sint
e it
t
Re
cost
图2－2. 欧拉公式在复平面上的表达
复矢量 eit 可以看作是一个在复平面内，以角速度 逆时
针转动的单位复矢量。那么显然，该单位复矢量在实轴上的投影
就是它的实部 cost，而在虚轴上的投影就是它的虚部 sint 。
F(t) k f (t) k Asint Imk Aeit
符号 Im 表示了取复矢量 eit 的虚部。
所以，综合上面两式，可将正弦形式和余弦形式的谐波激励 统一的用复矢量表示为：
F(t) k f (t) k Aeit
(2.11)
由复矢量形式的激励所求得的响应，如果真实激励为余弦形 式，则取响应的实部。如果是正弦形式，则取响应的虚部。
现在，重新考虑单自由度阻尼系统的运动微分方程(2.1)，
并应用复矢量的形式来表示方程右端的谐波激励 F (t) ：
F(t) k f (t) k Acost Re k Aeit
其中，符号 Re 表示取复矢量 eit 的实部。显然，上式表达
的是余弦形式的谐波激励。而当激励为正弦形式时，可写为：