有效数字与运算规则(2014.05.12)
有效数字的计算法则
有效数字的计算法则
有效数字是指在最后一个数字后面的数字都是不确定的数字。
有效数字的计算法则是指在进行数学计算时，应当根据有效数字的规则进行计算以保证结果的准确性。
以下是一些有效数字的计算法则： 1. 加减法：在进行加减法运算时，结果的有效数字应当与被加数或被减数中有效数字最少的那个数相同。
2. 乘法：在进行乘法运算时，结果的有效数字应当与被乘数和乘数中有效数字的总和相同。
3. 除法：在进行除法运算时，结果的有效数字应当与被除数中有效数字的总数相同。
4. 幂运算：在进行幂运算时，结果的有效数字应当与底数中有效数字的总数相同。
5. 对数运算：在进行对数运算时，结果的有效数字应当与真数中有效数字的总数相同。
在进行数学计算时，应当注意有效数字的规则，以保证计算结果的准确性。
同时，应当注意四舍五入的规则，以便得到正确的有效数字。
- 1 -。
有效数字及运算规则
有效数字及运算规则有效数字的基本概念任何测量结果都存在不确定度，测量值的位数不能任意的取舍，要由不确定度来决定，即测量值的末位数要与不确定度的末位数对齐。
如体积的测量值3cm 961.5=V ，其不确定度3cm 04.0=V U ，由不确定度的定义及V U 的数值可知，测量值在小数点后的百分位上已经出现误差，因此961.5=V 中的“6”已是有误差的欠准确数，其后面一位“1”已无保留的意义，所以测量结果应写为3cm 04.096.5±=V 。
另外，数据计算都有一定的近似性，计算时既不必超过原有测量准确度而取位过多，也不能降低原测量准确度，即计算的准确性和测量的准确性要相适应。
所以在数据记录、计算以及书写测量结果时，必须按有效数字及其运算法则来处理。
熟练地掌握这些知识，是普通物理实验的基本要求之一，也为将来科学处理数据打下基础。
测量值一般只保留一位欠准确数，其余均为准确数。
所谓有效数字是由所有准确数字和一位欠准确数字构成的，这些数字的总位数称为有效位数。
一个物理量的数值与数学上的数有着不同的含义。
例如，在数学意义上600.460.4=，但在物理测量中(如长度测量)，cm 600.4cm 60.4≠，因为cm 60.4中的前两位“4”和“6”是准确数，最后一位“0”是欠准确数，共有三位有效数字。
而cm 600.4则有四位有效数字。
实际上这两种写法表示了两种不同精度的测量结果，所以在记录实验测量数据时，有效数字的位数不能随意增减。
直接测量的读数原则直接测量读数应反映出有效数字，一般应估读到测量器具最小分度值的10/1。
但由于某些仪表的分度较窄、指针较粗或测量基准较不可靠等，可估读5/1或2/1分度。
对于数字式仪表，所显示的数字均为有效数字，无需估读，误差一般出现在最末一位。
例如：用毫米刻度的米尺测量长度，如图1-4-1(a )所示，cm 67.1=L 。
“6.1”是从米尺上读出的“准确”数，“7”是从米尺上估读的“欠准确”数，但是有效的，所以读出的是三位有效数字。
有效数字及其运算法则
有效数字及其运算法则物理实验中经常要记录很多测量数据，这些数据应当是能反映出被测量实际大小的全部数字，即有效数字。
但是在实验观测、读数、运算与最后得出的结果中。
哪些是能反映被测量实际大小的数字应予以保留，哪些不应当保留，这就与有效数字及其运算法则有关。
前面已经指出，测量不可能得到被测量的真实值，只能是近似值。
实验数据的记录反映了近似值的大小,并且在某种程度上表明了误差。
因此，有效数字是对测量结果的一种准确表示，它应当是有意义的数码，而不允许无意义的数字存在。
如果把测量结果写成54.2817±0.05（cm）是错误的，由不确定度0.05（cm）可以得知，数据的第二位小数0.08 已不可靠，把它后面的数字也写出来没有多大意义，正确的写法应当是：54.28±0.05（cm）。
测量结果的正确表示，对初学者来说是一个难点，必须加以重视，多次强调，才能逐步形成正确表示测量结果的良好习惯。
一、有效数字的概念任何一个物理量，其测量的结果既然都或多或少的有误差，那么一个物理量的数值就不应当无止境的写下去，写多了没有实际意义，写少了有不能比较真实的表达物理量。
因此，一个物理量的数值和数学上的某一个数就有着不同的意义，这就引入了一个有效数字的概念。
若用最小分度值为1mm的米尺测量物体的长度，读数值为5.63cm。
其中5和6这两个数字是从米尺的刻度上准确读出的，可以认为是准确的，叫做可靠数字。
末尾数字3是在米尺最小分度值的下一位上估计出来的，是不准确的，叫做欠准数。
虽然是欠准可疑，但不是无中生有，而是有根有据有意义的，显然有一位欠准数字，就使测量值更接近真实值，更能反映客观实际。
因此，测量值应当保留到这一位是合理的，即使估计数是0，也不能舍去。
测量结果应当而且也只能保留一位欠准数字，故测量数据的有效数字定义为几位可靠数字加上一位欠准数字称为有效数字，有效数字数字的个数叫做有效数字的位数，如上述的5.63cm称为三位有效数字。
有效数字运算规则
有效数字运算规则引言在数学和科学领域中，有效数字是指表达一个数值时所使用的数字中有效的、能够体现数值精确度的数字。
有效数字运算是指对有效数字进行基本的数学运算，如加法、减法、乘法和除法等。
本文将介绍有效数字运算的规则和注意事项。
加法和减法运算在进行有效数字的加法和减法运算时，需要遵循以下规则：1.首先，将参与运算的有效数字进行对齐，使小数点对齐。
2.其次，根据小数点对齐后的数值进行相应的进位和补零操作。
3.最后，根据对齐后的数值进行原则上的加法或减法运算，并保留有效数字最少的那个数值的有效数字位数。
举例说明：2.345 + 1.2 =3.545 ≈ 3.5 （保留有效数字位数最少的数值的有效数字位数）13.79 - 3.2 = 10.59 ≈ 10.6 （保留有效数字位数最少的数值的有效数字位数）乘法和除法运算在进行有效数字的乘法和除法运算时，需要遵循以下规则：1.首先，将参与运算的有效数字进行计算，不需要进行对齐操作。
2.其次，进行精确的乘法或除法运算。
3.最后，根据原则上运算结果的有效数字位数，确定最终结果的有效数字位数。
举例说明：2.3 × 4.56 = 10.488 ≈ 10.5 （保留原则上运算结果的有效数字位数）9.8 ÷ 3.2 = 3.0625 ≈ 3.1 （保留原则上运算结果的有效数字位数）注意事项在有效数字运算中，还需注意以下事项：1.加法和减法运算时，结果的有效数字位数不能超过参与运算的有效数字位数。
如果运算结果的有效数字位数超过参与运算的有效数字位数，则需要进行适当的四舍五入操作。
2.乘法和除法运算时，结果的有效数字位数应根据原则上运算结果的有效数字位数确定。
如果原则上运算结果的有效数字位数超过了参与运算的有效数字位数，则需要进行适当的四舍五入操作或截取有效数字位数。
结论有效数字运算是数学和科学领域中常见的运算方式，正确运用有效数字运算的规则可以保证计算结果的准确性和可靠性。
有效数字及其运算规则
例：3600 → 3.6×103 两位 → 3.60×103 三 位
3．单位变换不影响有效数字位数
例：10.00[mL]→0.001000[L] 均为四位
续前
4．pH，pM，pK，lgC，lgK等对数值，其有效数字的 位数取决于小数部分（尾数）数字的位数，整数部 分只代表该数的方次 例：pH = 11.20 → [H+]= 6.3×10-12[mol/L] 两 位
第三节 有效数字及其运算规则
一、有效数字 二、有效数字的修约规则 三、有效数字的运算法则
一、有效数字：实际可以测得的数字
1. 有效数字位数包括所有准确数字和一位欠准数字
例：滴定读数20.30mL，最多可以读准三位
第四位欠准（估计读数）±1%
2. 在0~9中，只有0既是有效数字，又是无效数字
例： 0.06050
2．乘除法：以有效数字位数最少的数为准（即以 相对误差最大的数为准）
例：0.0121 × 25.64 × 1.05782 = 0？.328 δ ±0.0001 ±0.01 ±0.00001 RE ±0.8% ±0.4% ±0.009% 保留三位有效数字
6.5
2.5
3．当对标准偏差修约时，修约后会使标准偏差结果 变差，从而提高可信度 例：s = 0.134 → 修约至0.14，可信度↑
三、有效数字的运算法则
1．加减法：以小数点后位数最少的数为准（即以 绝对误差最大的数为准）
例： 50.1 + 1.45 + 0.5812 = ？52.1 δ ±0.1 ±0.01 ±0.0001 保留三位有效数字
5．结果首位为8和9时，有效数字可以多计一位 例：90.0% ，可示为四位有效数字 例：99.87% →99.9% 进位
有效数字及运算法则
1.关于“0”的有效问题 关于“ 的有效问题
②.小数点前面的“0”和紧接小 小数点前面的“ 和紧接小 数点后面的“ 不算作有效数 数点后面的“0”不算作有效数 如 、 、 字：0.0123dm、0.123cm、0.00123m
均是3位有效数字。 均是 位有效数字。 位有效数字
注意：进行单位换算时， 注意：进行单位换算时， 有效数字的位数不变。 有效数字的位数不变。
N = 58.3 ± 0.1cm
2
四、间接测量量有效数字的确定 ——有效数字的运算法则 ——有效数字的运算法则
1.加减法 1.加减法 运算规则： 运算规则：
加减法运算后的有效数字， 加减法运算后的有效数字，取到参与运算各 最靠前出现可疑数的那一位。 数中 最靠前出现可疑数的那一位。
例
19.68 - 5.848 = 13.83 – 19.68 – 5.848
–
––20.8655N = AB / C
其中： 其中：
A = 3.21 ± 0.01cm , B = 6.5 ± 0.2cm , C = 21.843 ± 0.004cm
试确定N的有效数字。 试确定 的有效数字。 的有效数字
解：
（1）先计算 ）先计算N
σ A
2
3.21 × 6.5 N= = 0.975cm 21.8
如： 1002=100×102 ×
√ 49 = 7.0 √ 49 = 7
√
100=10.0
2=16 4.0 2=16.0 4.0
正确 错误
四、间接测量量有效数字的确定 ——有效数字的运算法则 ——有效数字的运算法则
1.加减法 1.加减法 2.乘除法 2.乘除法 3.乘方与开方 3.乘方与开方 4.函数运算 4.函数运算
有效数字及运算法则
试用有效数字计算结果： （1）123.98 - 40.456 + 7.8 = 171.0 （2） lg10.00 = 1.0000 （3）789.30 × 50 ÷ 0.100 = 3.9×103 （4）1.002 = 1.00
（5） 1.00 1.00
— 电流：80mA; 80.0mA; 80.00mA; — 电压：80V; 80.0V; 80.00V
注意：进行单位换算时， 有效数字的位数不变。
2.数值的科学记数法
数据过大或过小时，可以 用科学表达式。
某电阻值为20000（欧姆），保留三位有 效数字时写成 2.00104
又 如 数 据 为 0.0000325m ， 使 用 科 学 记 数 法写成3.2510-5m
3.有效数字与仪器的关系
有效数字及运算法则
一、有效数字的一般概念
定义：在测量结果的数字表示 中，由若干位可靠数字加一位 可疑数字，便组成了有效数字。
上述例子中的测量结果均为三 位有效数字
二、有效数字位数的确定
1.关于“0”的有效问题 ①.当“0”在数字中间或末尾时有 效 如：12.04cm 、20.50m 2 、1.000A
等中的0均有效。
注意：不能在数字的末尾随便加“0”或减 “0”
数学上：2.85 2.850 2.8500 物理上：2.85 2.850 2.8500
②.小数点前面的“0”和紧接小 数点后面的“0”不算作有效数 字如：0.0123dm、0.123cm、0.00123m
均是3位有效数字。
5.相对误差的表达
E N 100% N
0.05 E1 1.20 100% 4.2%
有效数字及运算法则
注意：进行单位换算时，
有效数字的位数不变。
可修改
4
2.数值的科学记数法
数据过大或过小时，可以 用科学表达式。
某电阻值为20000（欧姆），保留三位有 效数字时写成 2.00104
又 如 数 据 为 0.0000325m ， 使 用 科 学 记 数 法写成3.2510-5m
可修改
5
3.有效数字与仪器的关系
指针在82mA与83mA之间：读为82.* mA
指针正好在82mA上：读为82.0mA
可修改
12
对于1.0级表 △仪=100mA×1.0%=1mA
指针在82mA与84mA之间： 可读为82mA、83mA或84mA
指针正好在82mA上：读为82mA
可修改
13
例1
62 .
–5
+
1.
23–4
=
63
.
7–
b 20.02 0.01cm
可修改
7
5.相对误差的表达
E N 100% N
0.05 E1 1.20 100% 4.2%
2位有效数
0.008 E2 10.100 100% 0.08%
1位有效数
可修改
8
三、直接测量有效数字的确定 ——如何读数
读数的一般规则： 读至仪器误差所在的位置
（1）用米尺测长度
1.0102 100
= 1.0
可修改
24
10.02 lg100.0 35 27.3211 27.31
= 100 2.0000 35 0.01
= 2104 35
= 2104
可修改
25
试用有效数字计算结果：
（1）123.98 - 40.456 + 7.8 = 171.0
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有效数据定义、运算及其修约规则
一、有效数据
1.1有效数字定义
有效数字是指实际能测量到的数值，在该数值中只有最后一位是可疑数字，其余的均为可靠数字。
1.2实际意义
有效数字能反映出测量时的准确程度。
例如，用最小刻度为0.1cm的直尺量出某物体的长度为11.23cm，显然这个数值的前3位数是准确的，而最后一位数字就不是那么可靠，如测得物体的长度可能是11.24cm，亦可能是11.22cm，测量的结果有±0.01cm的误差。
我们把这个数值的前面3位可靠数字和最后一位可疑数字称为有效数字。
这个数值就是四位有效数字。
在确定有效数字位数时，特别需要指出的是数字“0”来表示实际测量结果时，它便是有效数字。
例如，分析天平称得的物体质量为7.1560g，滴定时滴定管读数为20.05mL，这两个数值中的“0”都是有效数字。
在0.006g中的“0”只起到定位作用，不是有效数字。
（1）容量器皿；滴定管；移液管；容量瓶；4位有效数字
（2）分析天平（万分之一）取4位有效数字
（3）标准溶液的浓度，用4位有效数字表示:
0.1000 mol/L
（4）pH 4.34 ,小数点后的数字位数为有效数字位数
对数值，lg X =2.38；lg(2.4´102)
1.3有效数字中＂0＂的意义
＂0＂在有效数字中有两种意义：一种是作为数字定值，另一种是有效数字．例如在分析天平上称量物质，得到如下质量：
以上数据中“0”所起的作用是不同的。
“0”是有效数字：10.0780，6位有效数字。
1.2056中，5位有效数字。
“0”作为数字定值：0.2044中，小数前面的“0”是定值用的，不是有效数字；
0.0120中，“1”前面的两个“0”都是定值用的，而在末尾的“0”是有效数字，所以它有3位有效数字。
称量精确至0.0002g;
15000m 和10000g很难肯定其中的0 是否是有效数字还是数字定值，写为1.5×104m，则表示有效数字是二位；如果把它写为1.50×104m则表示有效数字是三位。
综上所述，数字中间的“0”和末尾的“0”都是有效数字，而数字前面所有的“0”只起定值作用。
以“0”结尾的正整数，有效数字的位数不确定。
二、数字修约规则
我国科学技术委员会正式颁布的《数字修约规则》，通常称为“四舍六进五成双”法则。
四舍六进五考虑，即当尾数≤4时舍往，尾数为6时进位。
当尾数4舍为5时，则应是末位数是奇数还是偶数，5前为偶数应将5舍往，5前为奇数应将5进位。
大（于）5进，小（于）5舍，是5看奇偶，奇进偶不进。
这一法则的具体运用如下：
a. 将22.125和22.155处理成4位有效数字，则分别为22.12和22.16。
b. 若被舍弃的第一位数字大于5，则其前一位数字加1，例如18.2645处理成3为有效数字时，其被舍往后的第一位数字为6，大于5，则有效数字应为18.3。
c. 若被舍其的第一位数字即是5，而其后数字全部为零时，则是被保存末位数字为奇数或偶数（零视为偶），而定进或舍，末位数是奇数时进1，末位数为偶数时还进1，例如18.350、18.250、18.050处理成3位有效数字时，分别为18.4、18.2、18.0。
d. 若被舍弃的第一位数字为5，而其后的数字并非全部为零时，则进1，例如18.2501，只取3位有效数字时，成为18.3。
e. 若被舍弃的数字包括几位数字时，不得对该数字进行连续修约，而应根据以上各条作一次处理。
如35.454546 ，只取4位有效数字时，应为35.45,二不得按下法连续修约为35.46：
35.454546→35.45455→35.4546→35.455→35.46
三、有效数字运算规则
在分析计算中，有效数字的保存更为重要，下面仅就加减法和乘除法的运算规则加以讨论。
3.1 加减法
在加减法运算中，保存有效数字的以小数点后位数最少的为准，即以绝对误差最大的为准，例如：
0.0121+25.64+1.05782=?
正确计算不正确计算
0.01 0.0121 绝对误差0.0001
25.64 25.64 0.01
+ 1.06 + 1.05782 0.00001
——————————————
26.71 26.70992
上例相加3个数字中，25.64中的“4”已是可疑数字，因此最后结果有效数字的保存应以此数为准，即保存有效数字的位数到小数点后面第二位。
3.2 乘除法
乘除运算中，保存有效数字的位数以位数最少的数为准，即以相对误差最大的为准。
例如：
0.0121×25.64×1.05782=
以上3个数的乘积应为：
不正确计算：0.0121×25.64×1.05782=0.3281823……
正确计算：0.0121×25.6×1.06=0.328
在这个计算中3个数的相对误差分别为：
E%=(±0.0001)/0.0121×100=±8
E%=(±0.01)/25.64×100=±0.04
E%=（±0.00001）/1.05782×100=±0.0009
有效数字的位数取决于相对误差最大的数据的位数。
±0.1 /139.8 ´100% =±0.07% 例：(0.0325 ´5.103 ´60.0)/ 139.8 = 0.0712（0.071179184）
0.0325 ±0.0001/0.0325 ´100%=±0.3%
5.103 ±0.001 /5.103 ´100%=±0.02%
60.06 ±0.01 /60.06 ´100%=±0.02%
139.8 ±0.1 /139.8 ´100% =±0.07%
(0.0325 ´5.10 ´60.0)/ 140=0.0710 ±0.0002 /0.0710´100% =±0.28%
显然第一个数的相对误差最大（有效数字为3位），应以它为准，将其他数字根占有效数字修约原则，保存3位有效数字，然后相乘即可。
3.3自然数
在分析化学中，有时会碰到一些倍数和分数的关系，化学计量关系中的分数和倍数，这些数不是测量所得，它们的有效数字位数可视为无限多位；如：
H3PO4的相对分子量/3=98.00/3=32.67
水的相对分子量=2×1.008+16.00=18.02
在这里分母“3”和“2×1.008”中的“2”由于它们是非丈量所得到的数，是自然数，其有效数字位数可视为无穷的。
关于pH、pK和lgK等对数值，其有效数字的位数仅取决于小数部分的位数，因为整数部分只与该真数中的10的方次有关。
例如，pH=13.15为两位有效数字，整数部分13不是有效数字。
若将其表示成[H+]=7.1×10-14，就可以看出13的作用仅是确定了[H+]在10-14数量级上，其数学意义与确定小数点位置的“0”相同。
在滴定分析中，实验数据的记录只应保留一位可疑数字，结果的计算和数据处理均应按有效数字的计算规则进行。
在常见的常量分析中，一般是保存四位有效数字。
但在水质分析中，有时只要求保存2位或3位有效数字，应视具体要求而定。