有效数字及运算法则
有效数字
电阻值只记录到“ 10”。
6、若测值恰为整数，必须补零，直补到可
疑位。
6
三.有效数字的运算规则
(1)记录测量数据时,一般只保留一位可疑数字. 如滴定管读数32.47ml.
(2) 在运算中舍去多余数字时采用四舍五入法.等 于5时,如前一位为奇数,则增加1;如前是偶数则 舍去.
(3)加减运算时,计算结果有效数字的末位的位置 应与各项中绝对误差最大的那项相同. 即保留 各小数点后的数字位数应与最小者相同. 13.75 +0.0084 +1.642应为13.75+0.01+1.64
四舍、六入、五凑偶
16
估计值只有一位，所以也叫欠准数位或 可疑数位。
3
有效数字的特点
（1）位数与单位变换或小数点位置无关 。 35.76cm = 0.3576m = （2）00.00的0地35位76km
0.0003576 3.005 3.000 都是四位
（3）特大或特小数用科学计数法
3.576 101
3.576 102
h 6.627 10 34 j s
4
二、有效数字的读取
进行直接测量时，由于仪器多种多样， 正确读取有效数字的方法大致归纳如下：
1、一般读数应读到最小分度以下再估一 位。例如，1/2，1/5，1/4，1/10等。
2、有时读数的估计位，就取在最小分度
位。例如，仪器的最小分度值为0.5，则
21 30 0 333
20 9673
20 967
可见，约简不影响计算结果。在加减法运 算中，各量可约简到其中位数最高者的下一 位，其结果的欠准数位与参与运算各量中位 数最高者对齐。
11
乘、除法
有效数字及运算法则
50.1 1.46 + 0.5812 52.1412 52.1
±0.1 ±0.01 ±0.001
50.1 1.5 + 0.6 52.2
先修约至安全数字，再运算，后修约至应有的有效数。
乘除法: 结果的相对误差应与各因数中相对误差最大 相对误差最大的数相适应 乘除法 结果的相对误差应与各因数中相对误差最大的数相适应 (即与有效数字位数最少的一致 即与有效数字位数最少的一致) 即与有效数字位数最少的一致
a) 数字前 不计，数字后计入 : 0.02450 数字前0不计， 不计 b) 数字后的 含义不清楚时，最好用指数形式表 数字后的0含义不清楚时，最好用指数形式 用指数形式表 含义不清楚时 示: 1000 ( 1.0×103，1.00×103 ，1.000 ×103 ) × × a) 自然数可看成具有无限多位数(如倍数关系、分 自然数可看成具有无限多位数 如倍数关系 可看成具有无限多位数 如倍数关系、 数关系)；常数亦可看成具有无限多位数 亦可看成具有无限多位数， 数关系 ；常数亦可看成具有无限多位数，如
异常值的取舍－Q检验法 异常值的取舍－ 检验法
• Q检验法
1、数据从小到大排列：x1，x2，…，xn-1，xn 2、求出最大值与最小值之差（极差） xn－ x1 3、算出异常值数据与邻近数据之差（邻差）： xn－ xn-1或x2 －x1 4、计算统计量Q计：（邻差除以极差）
xn − xn−1 x2 − x1 Q = 或 计= Q 计 xn − x1 xn − x1
π ,e
有效数字位数的确定
• • • • • • 1.0008，43.181 ， 0.1000，10.98% ， 0.0382，1.98×10-10 ， × 54， 0.0040 ， 0.05， 2×10-5 ， × 3600， 100 ， 5位 位 4位 位 3位 位 2位 位 1位 位 位数含糊不确定
第三节有效数字及其运算规则
准确数字
可疑数字 绝对误差 相对误差
0.19% 实际数据范围 51.8 0.1
3. 在0 ～ 9中，只有“ 0 ”既是有效数 字，又是无效数字(双重意义)
例： 0.06050 四位有效数字
定位 有效位数
例：3600
3600 → 3.6×103
有效数字位数不确定
两位
3600 → 3.60×103
3.某试样经分析测得含锰的质量分数（％） 为：41.24，41.27，41.23，41.23，求分 析结果的平均偏差，标准偏差和变异系 数。
4.下列数据包含几位有效数字，若有效数 字位数大于两位的请修约为两位 （1）0.0251 （2）0.2180 （3）1.8×10-5 （4）pK＝2.55 （5）6910 （6）20.37
(× )
5 0.1
1.45
+ 0.5812
52.1
5 2. 1312
(√ )
1．加减法：以小数点后位数最少的数为准 （即以 绝对误差最大的数为准）
例： 10.5 + 0.145 + 1.325 5 = ？
Ea ±0.1 修约后 10.5 ±0.001 + 0.1 ±0.0001 + 1.3 =11.9 11.9 保留三位有效数字
51.8
这两个数是一样的吗?
51.80
第三节 有效数字及其运算规则
一、有效数字 二、有效数字的修约规则 三、有效数字的运算法则
一、有效数字：实际可以测量得到的数字 1. 有效数字由其前面的所有准确数字和 最后一位可疑数字构成
例 ： 滴 定 读 数 20.30mL ， 四 位 有 效 数 字 , 其 中 “20.3”是准确数字,最后一位“0”是可疑的,
王元杭：有效数字及其运算规则
例：测定某物质的含量为0.5180g，即0.5180±0.0001g相对误 差
Er 1 100% 0.02% 5180
二、数字的修约规则 “四舍六入五成双，五后有数就进一，五 后没数要留双”规则： 1、当测量值中修约的那个数字等于或小于4 时，该数字舍去；等于或大于6时，进位；等 于5时(5后面无数据或是0时)，如进位后末位 数为偶数则进位，舍去后末位数位偶数则舍 去。5后面有数时，进一位。 2、修约数字时，只允许对原测量值一次修约 到所需要的位数，不能分次修约。
第三部分：课堂练习 按数字的修约规则（保留三位）4.135修约 为 ，4.125修约为 ，4.105修约 为 ，4.1251修约为 ，4.1349修约 为 。 第四部分：课堂小结 掌握有效数字及其运算规则 作业：P20：6（1）、（2）
三、有效数字的运算法则
1.加减法：当几个数据相加减时，它们和或差的 有效数字位数，应以小数点后位数最少的数据为 依据，因小数点后位数最少的数据的绝对误差最 大。例： 0.0121+25.64+1.05782=？ 绝对误差 ±0.0001 ±0.01 ±0.00001 在加合的结果中总的绝对误差值取决于25.64。 0.01+25.64+1.06=26.71
§2.2 有效数字及 其运算规则
王元杭
一、有效数字（significant figure）的概念
指在分析工作中实际能测到的数字， 它包括所有的准确数字和最后一位可 疑数字。在有效数字中, 只有最后一位 数是不确定的，可疑的。有效数字位 数由仪器准确度决定，它直接影响测 定的相对误差。
举
例
有效数字及运算法则
试用有效数字计算结果： （1）123.98 - 40.456 + 7.8 = 171.0 （2） lg10.00 = 1.0000 （3）789.30 × 50 ÷ 0.100 = 3.9×103 （4）1.002 = 1.00
（5） 1.00 1.00
— 电流：80mA; 80.0mA; 80.00mA; — 电压：80V; 80.0V; 80.00V
注意：进行单位换算时， 有效数字的位数不变。
2.数值的科学记数法
数据过大或过小时，可以 用科学表达式。
某电阻值为20000（欧姆），保留三位有 效数字时写成 2.00104
又 如 数 据 为 0.0000325m ， 使 用 科 学 记 数 法写成3.2510-5m
3.有效数字与仪器的关系
有效数字及运算法则
一、有效数字的一般概念
定义：在测量结果的数字表示 中，由若干位可靠数字加一位 可疑数字，便组成了有效数字。
上述例子中的测量结果均为三 位有效数字
二、有效数字位数的确定
1.关于“0”的有效问题 ①.当“0”在数字中间或末尾时有 效 如：12.04cm 、20.50m 2 、1.000A
等中的0均有效。
注意：不能在数字的末尾随便加“0”或减 “0”
数学上：2.85 2.850 2.8500 物理上：2.85 2.850 2.8500
②.小数点前面的“0”和紧接小 数点后面的“0”不算作有效数 字如：0.0123dm、0.123cm、0.00123m
均是3位有效数字。
5.相对误差的表达
E N 100% N
0.05 E1 1.20 100% 4.2%
有效数字修约和运算法则
•有效数字修约与运算法则• 1.有效数字的大体概念：•（1）有效数字是指在查验工作中所能取得有实际意义的数值,其最后一名数字欠准是允许的,这种由靠得住数字和最后一名不肯定数字组成的数值,即为有效数字。
•（2）有效数字的定位(数位),是指肯定欠准数字的位置,那个位置肯定后,其后面的数字均为无效数字。
•例如，一支25ml的滴定管，其最小刻度为,若是滴定管的体积介符于到之间,则需估量一名数字,读出,那个7就是个欠准的数字,那个位置肯定后,它有效位数就是4个,即便其后面还有数字也只是无效数字。
•（3）在没有小数位且以若干个零结尾的数值中，有效位数系指从非零数字最左一名向右数取得的位数减去无效零(即仅为定位用的零)的个数。
•例如：35000，如有两个无效零，则为三位有效位数，应写作350×102或×104;如有三个无效零，则为两位有效位数，应写作35×103或×104。
•（4）在其他10进位数中,有效数字系指从非零数字最左一名向右数而取得的位数,例如：、、和均为两位有效位数；为三位有效位数;为四位有效位数;为五位有效位数。
•（5）非持续型数值：（如个数、分数、倍数）是没有欠准数字的，2其有效位数可视为无穷多位。
例如，H2SO4中的2和4是个数。
常数л和系数等。
数值的有效位数可视为无穷多位。
每1ml××滴定液（L）中的为名义浓度,规格项下的或“1ml:25mg”中的“”、“1”、“25”均为标示量,其有效位数,也为无穷多位。
即在计算中，其有效位数应按照其他数值的最少有效位数而定。
•（6）pH值等对数值,其有效位数是由其小数点后的位数决定的,其整数部份只表明其真数的乘方次数。
•如：pH= ([H+]=×10-12mol/L),其有效数字只有两位。
•（7）有效数字的首位数字为8或9时，其有效位数能够多计一名，例如:85%与115%，都能够看成是三位有效数字；%与%都能够看成是四位有效数字。
有效数字与运算法则
• 3600， 100
5位 4位 3位 2位
1位 位数含糊不确定
说明（1）0的不同作用：是有效数字，如1.0008中0；不是有效 数字，如0.0382中0，起定位作用； （2）位数不定的，可科学计数，3600，可写为3.6×103， 3.60×103，3.600×103，有效数字分别为2，3，4位。
如，将下列数字修约成4位有效数字： 0.52666 →0.5. 267
10.2452 → 10.25 10.2350 →10.24 10.2450 →10.24 10.245001 →10.25
有效数字运算规则
加减法: 结果的绝对误差应不小于各项中绝对误差 最大的数。(与末位数最大的数一致)
50.1 1.46 + 0.5812 52.1412 52.1
±0.1 ±0.01 ±0.001
50.1 1.5 + 0.6 52.2
先修约至安全数字，再运算，后修约至应有的有效数。
乘除法: 结果的相对误差应与各因数中相对误差最大的 数相适应 (即与有效数字位数最少的一致)
例1 0.0121 × 25.66 × 1.0578 ＝ 0.328432 (±0.8%) (±0.04%) (±0.01%) (±0.3%)
谢谢观看！ 2020
注意（1）若数据进行乘除运算时, 第一位数字大于
或等于8, 其有效数字位数可多算一位。如9.46可 看做是四位有效数字。
（2）乘方或开方，结果有效数字位数不变。例如, 6.542=42.8
（3）对数计算：对数尾数的位数应与真数的有效 数字位数相同。
例如：[H ] 6.31011 mol/L
pH 10.20
a) 数字前0不计，数字后计入 : 0.02450
有效数字的运算法则
有效数字的运算法则
有效数字运算规则是：加减法：先按小数点后位数最少的数据，保留其它各数的位数，再进行加减计算，计算结果也使小数点后保留相同的位数。
乘除法：先按有效数字最少的数据保留其它各数，再进行乘除运算，计算结果仍保留相同有效数字。
乘方和开方：对数据进行乘方或开方时，所得结果的有效数字位数保留应与原数据相同。
1、加减法：先按小数点后位数最少的数据，保留其它各数的位数，再进行加减计算，计算结果也使小数点后保留相同的位数。
2、乘除法：先按有效数字最少的数据保留其它各数，再进行乘除运算，计算结果仍保留相同有效数字。
3、乘方和开方：对数据进行乘方或开方时，所得结果的有效数字位数保留应与原数据相同。
4、对数计算：所取对数的小数点后的位数（不包括整数部分）应与原数据的有效数字的位数相等。
5、在计算中常遇到分数、倍数等，可视为多位有效数字。
— 1 —
6、在乘除运算过程中，首位数为"8"或"9"的数据，有效数字位数可多取1位。
7、在混合计算中，有效数字的保留以最后一步计算的规则执行。
8、表示分析方法的精密度和准确度时，大多数取1～2位有效数字。
— 2 —。
有效数字及运算规则
有效数字及运算规则1.4.1 有效数字的基本概念任何测量结果都存在不确定度，测量值的位数不能任意的取舍，要由不确定度来决定，即测量值的末位数要与不确定度的末位数对齐。
如体积的测量值3cm 961.5=V ，其不确定度3cm 04.0=V U ，由不确定度的定义及V U 的数值可知，测量值在小数点后的百分位上已经出现误差，因此961.5=V 中的“6”已是有误差的欠准确数，其后面一位“1”已无保留的意义，所以测量结果应写为3cm 04.096.5±=V 。
另外，数据计算都有一定的近似性，计算时既不必超过原有测量准确度而取位过多，也不能降低原测量准确度，即计算的准确性和测量的准确性要相适应。
所以在数据记录、计算以及书写测量结果时，必须按有效数字及其运算法则来处理。
熟练地掌握这些知识，是普通物理实验的基本要求之一，也为将来科学处理数据打下基础。
测量值一般只保留一位欠准确数，其余均为准确数。
所谓有效数字是由所有准确数字和一位欠准确数字构成的，这些数字的总位数称为有效位数。
一个物理量的数值与数学上的数有着不同的含义。
例如，在数学意义上600.460.4=，但在物理测量中(如长度测量)，cm 600.4cm 60.4≠，因为cm 60.4中的前两位“4”和“6”是准确数，最后一位“0”是欠准确数，共有三位有效数字。
而cm 600.4则有四位有效数字。
实际上这两种写法表示了两种不同精度的测量结果，所以在记录实验测量数据时，有效数字的位数不能随意增减。
1.4.2 直接测量的读数原则直接测量读数应反映出有效数字，一般应估读到测量器具最小分度值的10/1。
但由于某些仪表的分度较窄、指针较粗或测量基准较不可靠等，可估读5/1或2/1分度。
对于数字式仪表，所显示的数字均为有效数字，无需估读，误差一般出现在最末一位。
例如：用毫米刻度的米尺测量长度，如图1-4-1(a )所示，cm 67.1=L 。
“6.1”是从米尺上读出的“准确”数，“7”是从米尺上估读的“欠准确”数，但是有效的，所以读出的是三位有效数字。
第二章第二节有效数字及运算法则
前面的“ 只起定位作用 只起定位作用——故无效 “1”前面的“0”只起定位作用 前面的 故无效 0.1080g中，夹在数字中间的“0”和数字后面的 中 夹在数字中间的“ 和数字后面的 “0”，都是有数值意义的 ，都是有数值意义的——故有效 故有效
这样的数字， （2）像3600这样的数字，有效数字位数比较含 ） 这样的数字 应根据实际的有效数字位数，分别写成： 位 糊，应根据实际的有效数字位数，分别写成：2位 有效数字、 位有效数字和 位有效数字分别为： 位有效数字和4位有效数字分别为 有效数字、3位有效数字和 位有效数字分别为：
H + = 6.3 × 10 −12 mol/L
6
注意： 注意： 改变单位， 改变单位，不改变有效数字的位数 如： 24.01mL
3 24.01× 24.01×10－ L
台秤(称至 台秤 称至0.1g):12.8g(3位), 0.5g(1位), 1.0g(2位) 称至 位 位 位 分析天平(称至 分析天平 称至0.1mg):12.8218g(6位), 称至 位 0.5024g(4位), 0.0500g(3位) 位 位 ★滴定管(量至 量至0.01mL):26.32mL(4位), 3.97mL(3位) 滴定管 量至 位 位 量至0.01mL): 25.00mL(4位); ★移液管(量至 移液管 量至 位 吸量管(量至 吸量管 量至0.01mL): 5.00mL（3位） 量至 （ 位 ★容量瓶:100.0mL(4位),250.0mL (4位)，50.00mL（4位） 容量瓶 位 位， （ 位 量筒(量至 量至1mL或0.1mL):26mL(2位), 4.0mL(2位) ☆ 量筒 量至 或 位 位 标准溶液的浓度， 标准溶液的浓度，用4位有效数字表示: 0.1000 mol/L 位有效数字表示:
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★移液管:25.00mL(4);
☆ 量筒(量至1mL或0.1mL):26mL(2), 4.0mL(2)
a) 数字前0不计，数字后计入 : 0.02450
b) 数字后的0含义不清楚时，最好用指数形式表 示: 1000 ( 1.0×103，1.00×103 ，1.000 ×103 ) a) 自然数可看成具有无限多位数(如倍数关系、分
如，将下列数字修约成4位有效数字： 0.52666 10.2452 10.2350 10.2450 10.245001
→0.5267
→ 10.25 →10.24 →10.24 →10.25
.
有效数字运算规则
加减法: 结果的绝对误差应不小于各项中绝对误差 最大的数。(与末位数最大的数一致) 50.1 1.46 + 0.5812 52.1412 52.1 ±0.1 ±0.01 ±0.001 50.1 1.5 + 0.6 52.2
有效数字及运算法则
有效数字(significant figure)
1定义：是在分析工作中实际测量到的数字, 除最后一位是可疑的外,其余的数字都是确 定的。它一方面反映了数量的大小,同时也 反映了测量的精密程度。
2构成:全部准确数字+最后一位估计的可疑数 字
如滴定管读数23.45mL，23.4是准确的，而 第四位5可能是4也可能是6，虽然是可疑的， 但又是有效的。
,e
数关系)；常数亦可看成具有无限多位数，如
有效数字位数的确定
• • • • 1.0008，43.181 0.1000，10.98% 0.0382，1.98×10- 10 54， 0.0040 5位 4位 3位 2位 1位 位数含糊不确定
• 0.05， 2×10-5 • 3600， 100
说明（1）0的不同作用：是有效数字，如1.0008中0；不是有效 数字，如0.0382中0，起定位作用； （2）位数不定的，可科学计数，3600，可写为3.6×103， 3.60×103，3.600×103，有效数字分别为2，3，4位。
先修约至安全数字，再运算，后修约至应有的有效数。
乘除法: 结果的相对误差应与各因数中相对误差最大的 数相适应 (即与有效数字位数最少的一致) 例1 0.0121 × 25.66 × 1.0578 (±0.8%) ＝ 0.328432 (±0.3%)
(±0.04%) (±0.01%)
注意（1）若数据进行乘除运算时, 第一位数字大于
有效数字: 包括全部可靠数字及一位 不确定数字在内
m ☆ 台秤(称至0.1g):12.8g(3), 0.5g(1), 1.0g(2)
★分析天平(称至0.1mg):12.8218g(6), 0.5024g(4), 0.0500g(3) V ★滴定管(量至0.01mL):26.32mL(4), 3.97mL(3) ★容量瓶:100.0mL(4),250.0mL (4)
有效数字运算中的修约规则
四舍六入五成双
例如, 要修约为四位有效数字时: 尾数≤4时舍, 0.52664 ------- 0.5266 尾数≥6时入, 0.36266 ------- 0.3627 尾数＝5时, 若后面数为0（或无）, 舍5成双: 10.2350----10.24， 250.650----250.6 若5后面还有不是0的任何数:皆入 18.0850001----18.09
或等于8, 其有效数字位数可多算一位。如9.46可 看做是四位有效数字。 =42.8 （3）对数计算：对数尾数的位数应与真数的有效 数字位数相同。 [ H ] 6.3 10 mol/L 例如：
11
pH 10 .20