第2节 有效数字及运算规则
2020分析化学课件第二节-有效数字和运算
3．改变单位，不改变有效数字的位数
如： 24.01mL
24.0110－3 L
4．注意点
（1）容量器皿；滴定管；移液管；容量瓶；4位有效数字
（2）分析天平（万分之一）取4位有效数字
（3）标准溶液的浓度，用4位有效数字表示: 0.1000 mol/L
（4）pH 4.34,小数点后的数字位数为有效数字位数
0.01 0.001
26.7091
与小数点后位数最少的数一致
2020/11/3
2. 乘除运算
有效数字的位数取决于相对误差最大的数据的位
数。
例：(0.0325 5.103 60.06)/ 139.8 = 0.071179184
0.0325
±0.0001/0.0325 100%=±0.3%
5.103
有效数字按小数点后的位数计算。
2020/11/3
小结：运算规则
加减法: 结果的绝对误差应不小于各项中绝对误差最大 的数。 (与小数点后位数最少的数一致) 0.112+12.1+0.3214=12.5
乘除法: 结果的相对误差应与各因数中相对误差最大的 数相适应 (与有效数字位数最少的一致) 0.0121×25.66×1.0578＝0.328432
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二、有效数字运算中的修约规则
四舍六入五成双
尾数≤4时舍; 尾数≥6时入
尾数＝5时, 若后面数为0, 舍5成双;若5后面还有 不是0的任何数皆入
例 下列值修约为四位有效数字
0.324 74 0.324 75 0.324 76
0.324 7 0.324 8 0.324 8
0.324 85
0.324 8
王元杭：有效数字及其运算规则
例：测定某物质的含量为0.5180g，即0.5180±0.0001g相对误 差
Er 1 100% 0.02% 5180
二、数字的修约规则 “四舍六入五成双，五后有数就进一，五 后没数要留双”规则： 1、当测量值中修约的那个数字等于或小于4 时，该数字舍去；等于或大于6时，进位；等 于5时(5后面无数据或是0时)，如进位后末位 数为偶数则进位，舍去后末位数位偶数则舍 去。5后面有数时，进一位。 2、修约数字时，只允许对原测量值一次修约 到所需要的位数，不能分次修约。
第三部分：课堂练习 按数字的修约规则（保留三位）4.135修约 为 ，4.125修约为 ，4.105修约 为 ，4.1251修约为 ，4.1349修约 为 。 第四部分：课堂小结 掌握有效数字及其运算规则 作业：P20：6（1）、（2）
三、有效数字的运算法则
1.加减法：当几个数据相加减时，它们和或差的 有效数字位数，应以小数点后位数最少的数据为 依据，因小数点后位数最少的数据的绝对误差最 大。例： 0.0121+25.64+1.05782=？ 绝对误差 ±0.0001 ±0.01 ±0.00001 在加合的结果中总的绝对误差值取决于25.64。 0.01+25.64+1.06=26.71
§2.2 有效数字及 其运算规则
王元杭
一、有效数字（significant figure）的概念
指在分析工作中实际能测到的数字， 它包括所有的准确数字和最后一位可 疑数字。在有效数字中, 只有最后一位 数是不确定的，可疑的。有效数字位 数由仪器准确度决定，它直接影响测 定的相对误差。
举
例
分析化学 第2节 有效数字与运算规则
2019/1/3
保留三位有效数字
3. 注意点 （1） 分数；比例系数；实验次数等不记位数 （2）容量器皿；滴定管；移液管；容量瓶；4
位有效数字
（3）分析天平（万分之一）取4位有效数字
（4）标准溶液的浓度，用4位有效数字表示:
0.1000 mol/L
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某人用差示光度分析法分析药物含量，称取 此药物试样0.0520g，最后计算此药物的质量 分数为96.24%。问该结果是否合理？为什么 ？ 答：该结果不合理。因为试样质量只有三位 有效数字，而结果却报出四位有效数字，结 果不可能有那样高的精度。最后计算此药物 的质量分数应改为96.2%。
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43181 10.98% 1.98×10-10
2×105 100
二数字修约规则
1 四舍六入五后有数（不为0）就进一 五后没数（不为0）看前方— 奇进偶舍 2 只允许对原测量值一次修约至所需位数， 不能分次修约。 3 修约标准偏差时应使准确度变得更差些
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数字修约规则和实例
第二章 误差和分析数据 处理
第二节 有效数字及其 运算法则
一、有效数字 二、数字的修约规则 三、有效数字运算规则
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一、有效数字(significant figure)
(一)有效数字：－－实际上能测到的数字
23.43、23.42、23.44mL 记录测量值时规定只允许数的 末位欠准
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三、有效数字的运算法则
1．加减法：以小数点后位数最少的数为准（即以 绝对误差最大的数为准） 例： 50.1 + 1.45 + 0.5812 = ？ 52.1 δ ±0.1 ±0.01 ±0.0001
有效数字及其运算规则
的必要。
在上面两例中，我们按数值的大小对齐后相加或相减，并以其中可疑位数最靠前的为基准，先进行取舍，取齐诸数的可疑位数，然后加、减，则运算简便，结果相同。
2.有效数字的乘除
点后面是可疑数字，允许有所不同。
从以上两例中可得如下结论：诸量相乘或相除，以有效数字最少的数为标准，将有效数字多的其它数字，删至与文相同，然后进行运算。最后结果中的有效数字位数与运算前诸量中有效数字位数最少的一个相同。
2.确定测量结果有效数字的基本方法
(1)仪器的正确测读
仪器正确测读的原则是：读出有效数字中可靠数部分是由被测量的大小与所用仪器的最小分度来决定。可疑数字由介于两个最小分度之间的数值进行估读，估读取数一位(这一位是有误差的)。
例如，用分度值为1mm的米尺测量一物体的长度，物体的一端正好与米尺零刻度线对齐，另一端如图1-1。
4.数值表示方幂来表示其数量级。前面的数字是测得的有效数字，并只保留一位数在小数点的前面。如×105m×10-3kg等。
二、有效数字的运算规则
在有效数字的运算过程中，为了不致因运算而引进误差或损失有效数字，影响测量结果的精确度，并尽可能地简化运算过程，因此，规定有效数字运算规则如下(例中加横线的数字代表可疑数字)：
有效数字及其运算规则
§ 有效数字及其运算规则
一、有效数字的一般概念
1.有效数字
任何一个物理量，其测量结果必然存在误差。因此，表示一个物理量测量结果的数字取值是有限的。
我们把测量结果中可靠的几位数字，加上可疑的一位数字，统称为测量结果的有效数字。例如，的有效数字是三位，是可靠数字，尾位“8”是可疑数字。这一位数字虽然是可疑的，但它在一定程度上反映了客观实际，因此它也是有效的。
分析化学：第二章_误差和分析数据处理二
化学分析
第二章 误差和分析数据处理
4
• 对于很小的数字，可用指数形式表示。例如，离 解常数Ka=0.000018，可写成Ka=1.8×10-5；很大的 数字也可采用这种表示方法。例如2500L，若为 三位有效数字，可写成2.50×103L。
• 例如，0.0121×25.64×1.0578=0.328，其中，有 效数字位数最少的0.0121相对误差最大，故计 算结果应修约为三位有效数字。
化学分析
第二章 误差和分析数据处理
11
• 3. 百分数表示 • 高含量组分（>10%），保留四位有效数字； • 中含量组分（1～10%），保留三位有效数字； • 低含量组分（<1%），保留两位有效数字。 • 4. 其他运算 • 乘方或开方，结果的有效数字位数不变，
化学分析
第二章 误差和分析数据处理
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3.正态分布曲线规律：
• (1) x=μ时，y值最大，体现了测量值的集中趋 势。说明误差为零的测量值出现的概率最大。 大多数测量值集中在算术平均值的附近。
• (2) 曲线以x=μ这一直线为其对称轴，说明绝对 值相等的正、负误差出现的概率相等。
• (3) 当x趋于-∞或+∞时，曲线以x轴为渐近线。 即小误差出现概率大，大误差出现概率小。
化学分析
第二章 误差和分析数据处理
5
• 对pH、pM、lgc、lgK等对数值，其有效数字的
位数仅取决于小数部分数字的位数，整数部分 只说明其真数的方次。如pH=11.02，即[H＋]＝ 9.6×10-12mol/L，其有效数字为两位而非四位。
有效数字及其运算规则
有效数字及其运算规则一、测量结果得有效数字1.有效数字得定义及其基本性质测量结果中所有可靠数字加上末位得可疑数字统称为测量结果得有效数字。
有效数字具有以下基本特性:(1)有效数字得位数与仪器精度(最小分度值)有关,也与被测量得大小有关。
对于同一被测量量,如果使用不同精度得仪器进行测量,则测得得有效数字得位数就是不同得。
例如用千分尺(最小分度值,)测量某物体得长度读数为。
其中前三位数字“”就是最小分度值得整数部分,就是可靠数字;末位“"就是在最小分度值内估读得数字,为可疑数字;它与千分尺得在同一数位上,所以该测量值有四位数字、如果改用最小分度值(游标精度)为得游标卡尺来测量,其读数为,测量值就只有三位有效数字。
游标卡尺没有估读数字,其末位数字“"为可疑数字,它与游标卡尺得也就是在同一数位上。
(2)有效数字得位数与小数点得位置无关,单位换算时有效数字得位数不应发生改变。
2、有效数字与不确定度得关系在我们规定不确定度得有效数字只取一位时,任何测量结果,其数值得最后一位应与不确定度所在得那一位对齐、如,测量值得末位“”刚好与不确定度得“"对齐。
由于有效数字得最后一位就是不确定度所在位,因此有效数字或有效位数在一定程度上反映了测量值得不确定度(或误差限值)。
测量值得有效数字位数越多,测量得相对不确定度越小;有效位数越少,相对不确定度就越大。
3.数值得科学表示法二、有效数字得运算规则１.数值得舍入修约原则测量值得数字得舍入,首先要确定需要保留得有效数字与位数,保留数字得位数确定以后,后面多余得数字就应予以舍入修约,其规则如下:(１)拟舍弃数字得最左一位数字小于5时,则舍去,即保留得各位数字不变。
(2)拟舍弃数字得最左一位数字大于5,或者就是５而其后跟有并非0得数字时,则进１,即保留得末位数字加１。
(3)拟舍弃数字得最左一位数字为5,而5得右边无数字或皆为0时,若所保留得末位数字为奇数则进1,为偶数或0则舍去,即“单进双不进”。
有效数字及其运算规则
有效数字及其运算规则一、测量结果的有效数字1．有效数字的定义及其基本性质测量结果中所有可靠数字加上末位的可疑数字统称为测量结果的有效数字。
有效数字具有以下基本特性：有效数字具有以下基本特性：（1）有效数字的位数与仪器精度（最小分度值）有关，也与被测量的大小有关。
）有效数字的位数与仪器精度（最小分度值）有关，也与被测量的大小有关。
对于同一被测量量，如果使用不同精度的仪器进行测量，则测得的有效数字的位数是不同的。
例如用千分尺（最小分度值00.011m m ，0.004m mD =仪）测量某物体的长度读数为84.8334m m 。
其中前三位数字“483”是最小分度值的整数部分，是可靠数字；末位“4”是在最小分度值内估读的数字，为可疑数字；它与千分尺的D 仪在同一数位上，所以该测量值有四位数字。
如果改用最小分度值（游标精度）为00.022m m 的游标卡尺来测量，其读数为84.844m m ，测量值就只有三位有效数字。
游标卡尺没有估读数字，其末位数字“4”为可疑数字，它与游标卡尺的0.02m m D 仪＝也是在同一数位上。
也是在同一数位上。
（2）有效数字的位数与小数点的位置无关，单位换算时有效数字的位数不应发生改变。
2．有效数字与不确定度的关系在我们规定不确定度的有效数字只取一位时，任何测量结果，其数值的最后一位应与不确定度所在的那一位对齐。
如39(8.922700.0005)/g c m r =±，测量值的末位“7”刚好与不确定度00.0005的“5”对齐。
”对齐。
由于有效数字的最后一位是不确定度所在位，因此有效数字或有效位数在一定程度上反映了测量值的不确定度（或误差限值）。
测量值的有效数字位数越多，测量的相对不确定度越小；有效位数越少，相对不确定度就越大。
越小；有效位数越少，相对不确定度就越大。
3．数值的科学表示法二、有效数字的运算规则1．数值的舍入修约原则测量值的数字的舍入，首先要确定需要保留的有效数字和位数，保留数字的位数确定以222()()()A B C D +D +D 2222()()0.300.088A C D +D +2222()()0.0402483.751.2R T RTD D æöæöæöæ+´=+´ç÷ç÷ç÷çèøèøèøè2。
有效数字及其运算规则
(8) 若数据进行乘除运算时 第一位数 若数据进行乘除运算时, 字大于或等于8, 字大于或等于 其有效数字位数可 多算一位。 多算一位。 可看做是四位有效数字. 如9.46可看做是四位有效数字 可看做是四位有效数字
有效数字及计算规则
一. 有效数字 有效数字: 有效数字 是在分析工作中实际测量到 的数字,除最后一位是可疑的外 除最后一位是可疑的外,其余的数 的数字,除最后一位是可疑的外,其余的数 字都是确定的。 字都是确定的。它一方面反映了数量的 大小,同时也反映了测量的精密程度 同时也反映了测量的精密程度。 大小 同时也反映了测量的精密程度。
例如, 用分析天平称NaCl1.2007g,可能 例如 用分析天平称 可能 的误差;用台秤称 有±0.0001g的误差 用台秤称 的误差 用台秤称1.20g,可能 可能 有±0.01g的误差。 的误差。 的误差 注意: 数字0可以是测量得到的有效数 注意 数字 可以是测量得到的有效数 但当0只用来定位时 字,但当 只用来定位时 就不能是有效 但当 只用来定位时,就不能是有效 数字,并且有效数字的位数与小数点的 数字 并且有效数字的位数与小数点的 位置无关。 位置无关。 例如： 五位） 例如： 1.2007g (五位） 0.0012007g（五 五位 （ 位）
8.369→8.4 7.3500→7.4
7.4500→7.4 7.4501 7.5 →
7.549→7.5
三. 有效数字的计算规则 (1) 加减法；以 小数点后位数最少的为准 加减法； 小数点后位数最少的为准 先修约后加减， 先修约后加减，结果位数也按点后位数 最少的算。 最少的算。 例如, 例如 0.0121+12.56+7.8432 可先修约后计算,即 可先修约后计算 即 0.01+12.56+7.84=20.41
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第二章
定量分析中的误差与数据评价
第二节
有效数字及其
运算规则一、有效数字
二有效数字的修约规则三、有效数字运算规则
2010-9-8
2010-9-8一、有效数字
1．实际上能测量到的数字;末位数欠准(±1)。
如：分析天平
1.0912 g 1.0911 -1.0913 g 移液管：23.00ml 2
2.99 -2
3.01 ml
量筒: 20 ml 19 -21 ml
有效数字不仅表示数量的大小，而且要正确地反映测量的精确程度。
结果（ml) 绝对误差(ml) 相对误差(%) 有效数字位数23.00 0.01 0.04
423.0 0.1
0.4323
1
42
2010-9-8
2．数据中零的作用
数字零在数据中具有双重作用：
（1）位于其他数字之后，是有效数字，如0.5180
4位有效数字 5.180×10－1
（2）位于其他数字之前，作定位用：如0.0518
3位有效数字 5.18×10－2
2010-9-8
3．注意点
（１）实验记录数据：只保留一位欠准数字
☆容量器皿；滴定管；移液管；容量瓶；有效数字记录至小数点后2位
☆分析天平（万分之一）有效数字记录至小数点后4位☆标准溶液的浓度，用4位有效数字表示: 0.1000 mol/L
（2）pH值,对数小数点后的数字位数为有效数字位数
如：pH=11.02 [H +] = 9.6 ×10-12
(3)改变单位，不改变有效数字的位数
如：24.01mL 24.01 ×10－3L
2010-9-8
二、运算规则
1. 加减运算
结果的位数取决于绝对误差最大（小数点后位数最少）的数据的位数为准
例：0.0121 绝对误差：0.0001
+ 25.64 0.01
+1.057 0.001
=26.71
2010-9-8
2. 乘除运算时
有效数字的位数取决于相对误差最大（有效数字位数最少）的数据的位数为准。
例：(0.0325 × 5.103 ×60.06)/ 139.8 = 0.0713
0.03250.0001/0.0325 ×100%=0.3%
5.103 0.001 /5.103 ×100%=0.02% 60.06 0.01 /60.06 ×100%=0.02%
139.8 0.1 /139.8 ×100% =0.07%
2010-9-8
3. 注意点
（1）分数；比例系数；实验次数等不记位数
（2）第一位数字大于8时，多取一位，如：8.48，按4位算
（3）四舍六入五留双
（4）注意pH计算,[H +]=5.02×10－3pH=2.299
有效数字按小数点后的位数计算
2010-9-8
三、修约规则
1、四舍六入五成双（或尾留双）
•被修约数为5时, ①5后有数（非0）进位，②5后无数，前为奇数就进位; 前为偶数则舍去。
•例将下列测量值按数字修约规则，修约为三位数。
• 4.1349 →4.13；4.135 →为4.14；4.1251 →4.13；
4.1250 →4.12；4.105 →4.10（0以偶数计）；
2、不允许分次修约
•例:4.1349修约为三位数。
不能先修约成4.135，再修约为4.14；只能一次修约成4.13。
2010-9-8
三、修约规则
3、计算过程中可多保留一位有效数字。
如：5.3527 + 2.3 + 0.055 + 3.35
→5.35 + 2.3 + 0.06 + 3.35 = 11.06= 11.1
4.、对标准偏差的修约(保留1-2位)
保留结果应使准确度降低。
如：S=0.213 保留一位: 0.3
保留二位: 0.22
2010-9-8小结
掌握内容：
1. 准确度和精密度的定义和表示方法，以及两者
之间的关系；
2. 系统误差和偶然误差的特点、减免以及提高准
确度的方法。
3. 有效数字及其运算规则。
作业：思考题P
34
1、3
习题P
341 、P
35
3。