哈尔滨工业大学 概率论答案 习 题 三
概率论与数理统计第三章习题及答案
概率论与数理统计习题 第三章 多维随机变量及其分布习题3-1 盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球，在其中任取4只球.以X 表示取到黑球的只数，以Y 表示取到红球的只数，求X 和Y 的联合分布律.（X ，Y ）的可能取值为(i , j )，i =0，1，2，3， j =0，12，i + j ≥2，联合分布律为 P {X=0, Y=2 }=351472222=C C C P {X=1, Y=1 }=35647221213=C C C C P {X=1, Y=2 }=35647122213=C C C C P {X=2, Y=0 }=353472223=C C C P {X=2, Y=1 }=351247121223=C C C C P {X=2, Y=2 }=353472223=C C C P {X=3, Y=0 }=352471233=C C C P {X=3, Y=1 }=352471233=C C C P {X=3, Y=2 }=0习题3-2 设随机变量),(Y X 的概率密度为⎩⎨⎧<<<<--=其它,0,42,20),6(),(y x y x k y x f（1） 确定常数k ； （2） 求{}3,1<<Y X P （3） 求{}5.1<X P ； （4） 求{}4≤+Y X P . 分析：利用P {(X , Y)∈G}=⎰⎰⎰⎰⋂=oD G Gdy dx y x f dy dx y x f ),(),(再化为累次积分，其中⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧<<<<=42,20),(y x y x D o解：（1）∵⎰⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞---==2012)6(),(1dydx y x k dy dx y x f ，∴81=k （2）83)6(81)3,1(321⎰⎰=--=<<dy y x dxY X P （3）3227)6(81),5.1()5.1(425.10=--=∞<≤=≤⎰⎰dy y x dx Y X P X P （4）32)6(81)4(4020=--=≤+⎰⎰-dy y x dxY X P x习题3-3 将一枚硬币掷3次，以X 表示前2次出现H 的次数，以Y 表示3次中出现H 的次数，求Y X ,的联合分布律以及),(Y X 的边缘分布律。
哈尔滨工业大学概率论答案习题六(精)
n n m∑ Xi （1）Y1 = i =1 m∑ X i2 ； 2 i n+m （2） Y2 = i =1 n+m n n i = n +1 ∑X n ∑ X i2 i = n +1 解∑X i =1 i ~ N (0, nσ 2 ，1 nσ n ∑X i =1 i ~ N (0,1, n+m i = n +1 X i ~ N (0, σ 2 ，所以n X i2 1 ~ χ 2 (1 ，2 2 σ σ 1 nσ 1 σ2 n ∑X 2 i ~ χ 2 ( m ，m∑ Xi （1）Y1 = i =1 n+m ∑X i =1 2 i i = 2 i n+m i = n +1 ~ t (m; /m n n i = n +1 ∑X ∑X 1 n 2 ∑X /n σ 2 i =1 i n =1 （2）Y2 = n + m = ~ F (n, m. 1 n +m 2 2 n ∑ Xi ∑ Xi / m σ 2 i = n+1 i = n +1 m∑ X i2 13 ．设 X 1 ,⋯ , X n , X n +1 是来自总体N ( µ , σ 2 的样本，X = 1 n ∑ Xi ，n i =1 S *2 = 1 n X −X ( X i − X 2 ，试求统计量T = n +1 * ∑ n i =1 S n −1 的分布。
n +1 解于是X n+1 − X ~ N (0, n +1 2 nS *2 σ ，2 ~ χ 2 (n − 1 n σ X n+1 − X ~ N (0,1 n +1 σ n X n+1 − X X − X n −1 n + 1/ nσ ~ t (n − 1 . T = n +1 * = S n +1 nS *2 /(n − 1 σ2 14．设样本 X 1 ,⋯ , X n 和 Y1 ,⋯ , Yn 分别来自相互独立的总体N ( µ1 , σ 12 和1 2 N ( µ 2 , σ ，已知σ 1 = σ 2 ,α 和β 是两个实数，求随机变量 2 2 ·87·α ( X − µ1 + β (Y − µ 2 2 (n1 − 1 S12 + (n2 − 1 S 2 α2 β 2 ( + n1 + n2 − 2 n1 n2 的分布解所以α ( X − µ1 ~ N (0, 2 α 2σ 12 β 2σ 2 ，β (Y − µ 2 ~ N (0, ，又σ 1 = σ 2n1 n2 α ( X − µ + β (Y − µ 2 ~ N (0, ( α ( X − µ + β (Y − µ 2 α2 β2 + σ n1 n2 而所以α2 β 2 2 + σ n1 n2 ~ N (0,1 2 (n1 − 1 S12 + (n2 − 1 S 2 ~ χ 2 (n1 + n2 − 2 2 σ α ( X − µ1 + β (Y − µ 2 2 ⎛α2 β 2 ⎞ (n1 − 1 S12 + (n2 − 1 S 2 + ⎜⎟ n1 + n2 − 2 ⎝ n1 η2 ⎠ [α ( X − µ1 + B(Y − µ 2 ] / = ~ t (n1 + n2 − 2 . 2 (n1 − 1 S12 + (n2 − 1 S 2 /(n1 + n2 − 2 σ2 15．从正态总体 N (3.4, 6 2 中抽取容量为 n 的样本，如果要求样本均值位于区间（1.4, 5.4）内的概率不小于 0.95，问样本容量 n 至少应多大？解α2 β 2 + σ n1 n2 0.95 ≤ P(1.4 < = 2Φ ( 1 n 5.4 − 3.4 1.4 − 3.4X i < 5.4 = Φ ( n − Φ( n ∑ n i =1 6 6 n −1 3 即Φ( n n ≥ 0.975 ，查正态分表得≥ 1.96 即n ≥ 34.57 . 3 3 故样本容量至少应为 35。
哈工大概率论与数理统计期末试卷及标准答案B卷(2006)
一.判断题(5210⨯=分分)1. ()1P A =,则A 为必然事件. ( )2. 设X Y 与不相关,则X Y 与相互独立. ( )3. 参数的无偏估计是唯一的. ( )4. A B 与独立,则A B 与互相互独立. ( )5. 假设检验中,取伪表示事件{拒绝01H H 真} ( ) 二.选择题(5315⨯=分分)6. 设,,A B C 为三个事件,则”这,,A B C 中至多发生一个”的事件为( )()()()()A A B C B AB AC BC C A BC ABC ABCD ABC ABCU U U U U U U7. 设X Y 与相互独立,()4,()2,D X D Y == 则(32)D X Y -=( ) ()8()16()28()44A B C D8. 设(0,1),21X N Y X =-:,则Y : ( ) ()(0,1)()(1,2)()(1,8)()(1,9)A N B N C N D N ---9. 设总体212(3,3),,,,n X N X X X :L 为X 的样本,则下列结果正确的是( )33()(0,1)()(0,1)392()(0,1)((0,1)3X X A N B N X X C N D N n ---::::10. 设2(),()E X D X μσ==,则由切比雪夫不等式可知{2}P X μσ-≥≤ ( )1113()()()()2484A B C D三.填空题(5315⨯=分分)11. 设X 的概率密度为31,0(),30,0xe xf x x -⎧>⎪=⎨⎪≤⎩则()D X =_____________.12. 设事件A B 与相互独立,()0.4,()0.6,P A P A B ==U 则()P B A =_____________. 13. 设()X πλ:,且{3}{4},P X P X ===则λ=____________. 14.设(,)X Y 的概率密度为:6,00(,),0,x x y f x y ≤≤≤⎧=⎨⎩其他则(1)P X Y +≤=__________.15. 设(),X t n :则2X -:______________. 四.计算题(共60分)16. 设()4,12X U :,求关于t 的方程290t Xt -+=有解的概率.(6分)17. 设二维随机变量(,)X Y 的联合分布律如下:问α,β取何值时, ,X Y 相互独立?(6分)18. 设X 的概率密度为2,01()0,x x f x <<⎧=⎨⎩其他,Y 表示对X 四次独立重复观察事件 12X ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭出现的次数.求{}1P Y =.(8分)19. 设X 的概率密度为,02(),240,ax x f x bx c x <<⎧⎪=+≤<⎨⎪⎩其他,已知(){}32,13,4E X P X =<<=,,.a b c 求(8分)20. 袋中有6只全新的乒乓球,每次比赛取出2只用完之后放回,已知第三次取得的2只球都是新球,求第二次取到的只有1只新球的概率. (8分)21. 某保险公司经多年的资料统计表明索赔户中被盗赔户占20%,在随意抽查的10000家索赔户中被盗的索赔户设为随机变量X ,试用中心极限定理估计被盗索赔户在1920户到2080户之间的概率. ()()()()2.50.994,20.977,0.6250.732ΦΦΦ===(8分)22.设总体X 具有分布律其中(01)θθ<<为未知参数.已知取得样本值1231,2,1x x x ===,试求θ的最大似然估计值. (8分)23.有一批枪弹,出厂时,其初速2(950,10)v N :,经过较长时间储存,取9发进行测试得x =945 米/秒.问这批枪弹得初速度是否有显著变化()0.1α=?()0.050.11.645, 1.28u u ==(8分)一.判断题(5210⨯=分分)× × × √ × 二.选择题(5315⨯=分分)B D D D B三.填空题(5315⨯=分分)11、9 12、2313、4 14、6. 15、(,1)F n 四.计算题(共60分)16. 解:因为1,412()80,x f x ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其他,(2分)所以{}{}{}122613036066.84P P X P X X dx ∆≥=-≥=≤-≥==⎰或(4分) 17. 解:因为,X Y 相互独立,所以13=13α+⨯23,29=29β+⨯23(4分)所以α=16,β=19.(2分)18. 解:因为12011224P X xdx ⎧⎫≥==⎨⎬⎩⎭⎰,(3分)所以1(4,),4Y b :(3分){}131413271.4464P Y C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(2分) 19. 解: 22()0.7,()0.7,()0.5,()0.5,E X E X E Y E Y ====Q (2分)()0.21,()0.25D X D Y ∴== (2分)()0.2,(,)()()()0.15E XY COV X Y E XY E X E Y =∴=-=-Q (2分)所以XY ρ∴=== (2分)20. 解:设i A ,i 表示第二次取到只新球0,1,2i =;A 表示第三次取到2只新球.()()()21122244012222666186,,151515C C C C P A P A P A C C C ======()()()222342012222666631|,|,|151515C C C P A A P A A P A A C C C ======.(2分)()16836136151515151515225P A =⨯+⨯+⨯=.(3分) ()18321515|.363225P A A ⨯==(3分) 21. 解: 因为(10000,0.2)X b :,所以()()2000,1600E X D X ==(4分) 所以{}()200019202080222210.954.40X P X P Φ-⎧⎫≤≤=-≤≤=-=⎨⎬⎩⎭(4分)22. 解: ()2252(1)2(1)L θθθθθθθ=⋅-⋅=-,()ln ln 25ln ln(1)L θθθ=++-(4分)()ln 5101d L d θθθθ=-=-,所以5.6θ=)(4分)23. 解: 提出假设0010:,:H H μμμμ=≠拒绝域为2αμμ≥,2αμ≥(4分)又因为00.05945,950,10,9, 1.645x n μσμ=====,所以21.5,x u u αμ==-≤,所以拒绝0H ,枪弹的初速度无显著变化. (4分)。
最新概率论与数理统计第三章习题及答案
概率论与数理统计习题 第三章 多维随机变量及其分布习题3-1 盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球，在其中任取4只球.以X 表示取到黑球的只数，以Y 表示取到红球的只数，求X 和Y 的联合分布律.（X ，Y ）的可能取值为(i , j )，i =0，1，2，3， j =0，12，i + j ≥2，联合分布律为 P {X=0, Y=2 }=351472222=C C C P {X=1, Y=1 }=35647221213=C C C C P {X=1, Y=2 }=35647122213=C C C C P {X=2, Y=0 }=353472223=C C C P {X=2, Y=1 }=351247121223=C C C C P {X=2, Y=2 }=353472223=C C C P {X=3, Y=0 }=352471233=C C C P {X=3, Y=1 }=352471233=C C C P {X=3, Y=2 }=0习题3-2 设随机变量),(Y X 的概率密度为⎩⎨⎧<<<<--=其它,0,42,20),6(),(y x y x k y x f（1） 确定常数k ； （2） 求{}3,1<<Y X P （3） 求{}5.1<X P ； （4） 求{}4≤+Y X P . 分析：利用P {(X , Y)∈G}=⎰⎰⎰⎰⋂=oD G Gdy dx y x f dy dx y x f ),(),(再化为累次积分，其中⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧<<<<=42,20),(y x y x D o解：（1）∵⎰⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞---==2012)6(),(1dydx y x k dy dx y x f ，∴81=k （2）83)6(81)3,1(321⎰⎰=--=<<dy y x dxY X P （3）3227)6(81),5.1()5.1(425.10=--=∞<≤=≤⎰⎰dy y x dx Y X P X P （4）32)6(81)4(4020=--=≤+⎰⎰-dy y x dxY X P x习题3-3 将一枚硬币掷3次，以X 表示前2次出现H 的次数，以Y 表示3次中出现H 的次数，求Y X ,的联合分布律以及),(Y X 的边缘分布律。
概率论与数理统计第三章课后习题及参考答案
概率论与数理统计第三章课后习题及参考答案1．设二维随机变量),(Y X 只能取下列数组中的值：)0,0(，)1,1(-，31,1(-及)0,2(，且取这几组值的概率依次为61，31，121和125，求二维随机变量),(Y X 的联合分布律．解：由二维离散型随机变量分布律的定义知，),(Y X 的联合分布律为2．某高校学生会有8名委员，其中来自理科的2名，来自工科和文科的各3名．现从8名委员中随机地指定3名担任学生会主席．设X ，Y 分别为主席来自理科、工科的人数，求：(1)),(Y X 的联合分布律；(2)X 和Y 的边缘分布律．解：(1)由题意，X 的可能取值为0，1，2，Y 的可能取值为0，1，2，3，则561)0,0(3833====C C Y X P ，569)1,0(381323====C C C Y X P ，569)2,0(382313====C C C Y X P ，561)3,0(3833====C C Y X P ，283)0,1(382312====C C C Y X P ，289)1,1(38131312====C C C C Y X P ，283)2,1(382312====C C C Y X P ，0)3,1(===Y X P ，563)0,2(381322====C C C Y X P ，563)1,2(381322====C C C Y X P ，0)2,2(===Y X P ，0)3,2(===Y X P ．),(Y X 的联合分布律为：(2)X 的边缘分布律为X 012P1452815283Y 的边缘分布律为Y 0123P285281528155613．设随机变量),(Y X 的概率密度为⎩⎨⎧<<<<--=其他．,0,42,20),6(),(y x y x k y x f 求：(1)常数k ；(2))3,1(<<Y X P ；(3))5.1(<Y P ；(4))4(≤+Y X P ．解：方法1：(1)⎰⎰⎰⎰--==+∞∞-+∞∞-422d d )6(d d ),(1yx y x k y x y x f ⎰--=42202d |)216(y yx x x k k y y k 8d )210(42=-=⎰，∴81=k ．(2)⎰⎰∞-∞-=<<31d d ),()3,1(y x y x f Y X P ⎰⎰--=32102d d )216(yx yx x x ⎰--=32102d |)216(81y yx x x 83|)21211(81322=-=y y ．(3)),5.1()5.1(+∞<<=<Y X P X P ⎰⎰+∞∞-∞---=5.1d d )6(81yx y x ⎰⎰--=425.10d d )6(81y x y x y yx x x d )216(81422⎰--=3227|)43863(81422=-=y y ．(4)⎰⎰≤+=≤+4d d ),()4(y x y x y x f Y X P ⎰⎰---=2042d )6(d 81x y y x x ⎰+-⋅=202d )812(2181x x x 32|)31412(1612032=+-=x x x ．方法2：(1)同方法1．(2)20<<x ，42<<y 时，⎰⎰∞-∞-=yxv u v u f y x F d d ),(),(⎰⎰--=y xv u v u 20d d )6(81⎰--=y xv uv u u 202d |)216(81⎰--=y v xv x x 22d )216(81y xv v x xv 222|)21216(81--=)1021216(81222x xy y x xy +---=，其他，0),,(=y x F ，∴⎪⎩⎪⎨⎧<<<<+---=其他．,0,42,20),1021216(81),(222y x x x xy y x xy y x F 83)3,1()3,1(==<<F Y X P ．(3))42,5.1(),5.1()5.1(<<<=+∞<<=<Y X P Y X P X P )2,5.1()4,5.1(<<-<<=Y X P Y X P 3227)2,5.1()4,5.1(=-=F F ．(4)同方法1．4．设随机变量),(Y X 的概率密度为⎩⎨⎧>>=--其他．,0,0,0,e ),(2y x A y x f y x 求：(1)常数A ；(2)),(Y X 的联合分布函数．解：(1)⎰⎰⎰⎰+∞+∞--+∞∞-+∞∞-==02d d e d d ),(1yx A y x y x f y x ⎰⎰+∞+∞--=002d e d e y x A y x2|)e 21(|)e (020A A y x =-⋅-=∞+-∞+-，∴2=A ．(2)0>x ，0>y 时，⎰⎰∞-∞-=y xv u v u f y x F d d ),(),(⎰⎰--=yxv u vu 02d d e 2yv x u 020|)e 21(|)e (2---⋅-=)e 1)(e 1(2y x ----=，其他，0),(=y x F ，∴⎩⎨⎧>>--=--其他．,0,0,0),e 1)(e 1(),(2y x y x F y x ．5．设随机变量),(Y X 的概率密度为⎩⎨⎧≤≤≤≤=其他．,0,10,10,),(y x Axy y x f 求：(1)常数A ；(2)),(Y X 的联合分布函数．解：(1)2121d d d d ),(11010⋅⋅===⎰⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞-A y y x x A y x y x f ，∴4=A ．(2)10≤≤x ，10≤≤y 时，⎰⎰∞-∞-=y xv u v u f y x F d d ),(),(⎰⎰=yxv u uv 0d d 4220202||y x v u yx =⋅=，10≤≤x ，1>y 时，⎰⎰∞-∞-=yx v u v u f y x F d d ),(),(⎰⎰=100d d 4xv u uv 210202||x v u x =⋅=，10≤≤y ，1>x 时，⎰⎰∞-∞-=yx v u v u f y x F d d ),(),(⎰⎰=100d d 4yu v uv 202102||y v u y =⋅=，1>x ，1>y 时，⎰⎰∞-∞-=yx v u v u f y x F d d ),(),(⎰⎰=101d d 4v u uv 1||102102=⋅=v u，其他，0),(=y x F ，∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>>≤≤>>≤≤≤≤≤≤=其他．,0,1,1,1,10,1,,1,10,,10,10,),(2222y x y x y y x x y x y x y x F ．6．把一枚均匀硬币掷3次，设X 为3次抛掷中正面出现的次数，Y 表示3次抛掷中正面出现次数与反面出现次数之差的绝对值，求：(1)),(Y X 的联合分布律；(2)X 和Y 的边缘分布律．解：由题意知，X 的可能取值为0，1，2，3；Y 的可能取值为1，3．易知0)1,0(===Y X P ，81)3,0(===Y X P ，83)1,1(===Y X P ，0)3,1(===Y X P 83)1,2(===Y X P ，0)3,2(===Y X P ，0)1,3(===Y X P ，81)3,3(===Y X P 故),(Y X 得联合分布律和边缘分布律为：7．在汽车厂，一辆汽车有两道工序是由机器人完成的：一是紧固3只螺栓；二是焊接2处焊点，以X 表示由机器人紧固的螺栓紧固得不牢的数目，以Y 表示由机器人焊接的不良焊点的数目，且),(Y X 具有联合分布律如下表：求：(1)在1=Y 的条件下，X 的条件分布律；(2)在2=X 的条件下，Y 的条件分布律．解：(1)因为)3,3()1,2()1,1()1,0()1(==+==+==+====Y X P Y X P Y X P Y X P Y P 08.0002.0008.001.006.0=+++=，所以43)1()1,0()1|0(=======Y P Y X P Y X P ，81)1()1,1()1|1(=======Y P Y X P Y X P ，101)1()1,2()1|2(=======Y P Y X P Y X P ，401)1()1,3()1|3(=======Y P Y X P Y X P ，故在1=Y 的条件下，X 的条件分布律为X 0123P4381101401(2)因为)2,2()1,2()0,2()2(==+==+====Y X P Y X P Y X P X P 032.0004.0008.002.0=++=，所以85)2()0,2()2,0(=======X P Y X P X Y P ，4)2()1,2()2,1(=======X P Y X P X Y P ，81)2()2,2()2,2(=======X P Y X P X Y P ，故在2=X 的条件下，Y 的分布律为：Y 012P8541818．设二维随机变量),(Y X 的概率密度函数为⎩⎨⎧>>=+-其他．,0,0,0,e ),()2(y x c y x f y x 求：(1)常数c ；(2)X 的边缘概率密度函数；(3))2(<+Y X P ；(4)条件概率密度函数)|(|y x f Y X ，)|(|x y f X Y ．解：(1)⎰⎰⎰⎰+∞+∞+-+∞∞-+∞∞-==0)2(d d e d d ),(1yx c y x y x f y x⎰⎰+∞+∞--=002d e d ey x c y x2|)e (|)e 21(002c c y x =-⋅-=∞+-∞+-，∴2=c ．(2)0>x 时，⎰+∞∞-=y y x f x f X d ),()(⎰+∞+-=0)2(d e 2y y x x y x 202e 2|)e (e 2-+∞--=-=，0≤x 时，0)(=x f X ，∴⎩⎨⎧≤>=-．0,0,0,e 2)(2x x x f x X ，同理⎩⎨⎧≤>=-．0,0,0,e )(y y y f y Y ．(3)⎰⎰<+=<+2d d ),()2(y x y x y x f Y X P ⎰⎰---=2202d d e 2xy x yx 422202e e 21d e d e 2-----+-==⎰⎰xy x y x ．(4)由条件概率密度公式，得，当0>y 时，有⎩⎨⎧>=⎪⎩⎪⎨⎧>==----其他．其他．,0,0,e 2,0,0,e e 2)(),()|(22|x x y f y x f y x f xy y x Y Y X ，0≤y 时，0)|(|=y x f Y X ，所以⎩⎨⎧>>=-其他．,0,0,0,e 2)|(2|y x y x f x Y X ；同理，当0>x 时，有⎩⎨⎧>=⎪⎩⎪⎨⎧>==----其他．其他．,0,0,e ,0,0,2e e 2)(),()|(22|y y x f y x f x y f yx y x X X Y 0≤x 时，0)|(|=x y f X Y ，所以⎩⎨⎧>>=-其他．,0,0,0,e )|(|y x x y f y X Y ．9．设二维随机变量),(Y X 的概率密度函数为⎩⎨⎧<<<<=其他．,0,0,10,3),(x y x x y x f求：(1)关于X 、Y 的边缘概率密度函数；(2)条件概率密度函数)|(|y x f Y X ，)|(|x y f X Y ．解：(1)10<<x 时，⎰+∞∞-=y y x f x f X d ),()(203d 3x y x x==⎰，其他，0)(=x f X ，∴⎩⎨⎧<<=其他．,0,10,3)(2x x x f X ，密度函数的非零区域为}1,10|),{(}0,10|),{(<<<<=<<<<x y y y x x y x y x ，∴10<<y 时，⎰+∞∞-=x y x f y f Y d ),()()1(23d 321y x x y-==⎰，其他，0)(=y f Y ，∴⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其他．,0,10),1(23)(2y y y f Y ．(2)当10<<y 时，有⎪⎩⎪⎨⎧<<-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<-==其他．其他．,0,1,12,0,1,)1(233)(),()|(22|x y y x x y y xy f y x f y x f Y Y X ，其他，0)|(|=y x f Y X ，故⎪⎩⎪⎨⎧<<<<-=其他．,0,10,1,12)|(2|y x y y xy x f Y X ．当10<<x 时，有⎪⎩⎪⎨⎧<<=⎪⎩⎪⎨⎧<<==其他．其他．,0,0,1,0,0,33)(),()|(2|x y x x y x x x f y x f x y f X X Y ，其他，0)|(|=x y f X Y ，故⎪⎩⎪⎨⎧<<<<=其他．,0,10,0,1)|(|x x y x x y f X Y ．10．设条件密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<<<=其他．,0,10,3)|(32|y x yx y x f Y X Y 的概率密度函数为⎩⎨⎧<<=其他．,0,10,5)(4y y y f Y 求21(>X P ．解：⎩⎨⎧<<<==其他．,0,10,15)|()(),(2|y x y x y x f y f y x f Y X Y ，则6447d )(215d d 15d d ),(21(121421211221=-===>⎰⎰⎰⎰⎰>x x x x y y x y x y x f X P xx ．11．设二维随机变量),(Y X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<<<+=其他．,0,20,10,3),(2y x xyx y x f 求：(1)),(Y X 的边缘概率密度；(2)X 与Y 是否独立；(3))),((D Y X P ∈，其中D 为曲线22x y =与x y 2=所围区域．解：(1)10<<x 时，x x y xy x y y x f x f X 322d )3(d ),()(222+=+==⎰⎰+∞∞-，其他，0)(=x f X ，∴⎪⎩⎪⎨⎧<<+=其他．,0,10,322)(2x x x x f X ，20<<y 时，⎰+∞∞-=x y x f y f Y d ),()(316)d 3(12+=+=⎰y x xy x ，其他，0)(=y f Y ，∴⎪⎩⎪⎨⎧<<+=其他．,0,20,316)(y y y f Y ．(2)),()()(y x f y f x f Y X ≠，∴X 与Y 不独立．(3)}22,10|),{(2x y x x y x D ≤≤<<=，∴⎰⎰+=∈102222d d )3()),((x xx y xy x D Y X P 457d )32238(10543=--=⎰x x x x ．12．设二维随机变量),(Y X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧>>+=-其他．,0,0,0,e )1(),(2y x y x y x f x试讨论X ，Y 的独立性．解：当0>x 时，xx x X x yx y y x y y x f x f -∞+-∞+-∞+∞-=+-=+==⎰⎰e |11e d )1(e d ),()(002，当0≤x 时，0)(=x f X ，故⎩⎨⎧≤>=-．0,0,0,e )(x x x x f x X ，同理，可得⎪⎩⎪⎨⎧≤>+=．0,0,0,)1(1)(2y y y y f Y ，因为)()(),(y f x f y x f Y X =，所以X 与Y 相互独立．13．设随机变量),(Y X 在区域}|),{(a y x y x g ≤+=上服从均匀分布，求X 与Y 的边缘概率密度，并判断X 与Y 是否相互独立．解：由题可知),(Y X 的联合概率密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤+=其他．,0,,21),(2a y x a y x f ，当0<<-x a 时，有)(1d 21d ),()(2)(2x a ay a y y x f x f xa x a X +===⎰⎰++-+∞∞-，当a x <≤0时，有)(1d 21d ),()(2)(2x a a y a y y x f x f x a x a X -===⎰⎰---+∞∞-，当a x ≥时，0d ),()(==⎰+∞∞-y y x f x f X ，故⎪⎩⎪⎨⎧≥<-=．a x a x x a a x f X ,0,),(1)(2，同理，由轮换对称性，可得⎪⎩⎪⎨⎧≥<-=．a y a y y a a y f Y ,0,),(1)(2，显然)()(),(y f x f y x f Y X ≠，所以X 与Y 不相互独立．14．设X 和Y 时两个相互独立的随机变量，X 在)1,0(上服从均匀分布，Y 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-．0,0,0,e 21)(2y y y f yY (1)求X 和Y 的联合概率密度；(2)设含有a 的二次方程为022=++Y aX a ，试求a 有实根的概率．解：(1)由题可知X 的概率密度函数为⎩⎨⎧<<=其他．,0,10,1)(x x f X ，因为X 与Y 相互独立，所以),(Y X 的联合概率密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧><<==-其他．,0,0,10,e 21)()(),(2y x y f x f y x f yY X ，(2)题设方程有实根等价于}|),{(2X Y Y X ≤，记为D ，即}|),{(2X Y Y X D ≤=，设=A {a 有实根}，则⎰⎰=∈=Dy x y x f D Y X P A P d d ),()),(()(⎰⎰⎰---==1021002d )e 1(d d e 2122xx y x x y⎰--=102d e12x x ⎰--=12e 21212x x ππππ23413.01)]0()1([21-=Φ-Φ-=．15．设i X ～)4.0,1(b ，4,3,2,1=i ，且1X ，2X ，3X ，4X 相互独立，求行列式4321X X X X X =的分布律．解：由i X ～)4.0,1(b ，4,3,2,1=i ，且1X ，2X ，3X ，4X 相互独立，易知41X X ～)84.0,16.0(b ，32X X ～)84.0,16.0(b ．因为1X ，2X ，3X ，4X 相互独立，所以41X X 与32X X 也相互独立，又32414321X X X X X X X X X -==，则X 的所有可能取值为1-，0，1，有)1()0()1,0()1(32413241======-=X X P X X P X X X X P X P 1344.016.084.0=⨯=，)1,1()0,0()0(32413241==+====X X X X P X X X X P X P )1()1()0()0(32413241==+===X X P X X P X X P X X P 7312.016.016.084.084.0=⨯+⨯=，)0()1()0,1()1(32413241=======X X P X X P X X X X P X P 1344.084.016.0=⨯=，故X 的分布律为X 1-01P1344.07312.01344.016．设二维随机变量),(Y X 的概率密度为⎩⎨⎧>>=+-其他．,0,0,0,e 2),()2(y x y x f y x 求Y X Z 2+=的分布函数及概率密度函数．解：0≤z 时，若0≤x ，则0),(=y x f ；若0>x ，则0<-=x z y ，也有0),(=y x f ，即0≤z 时，0),(=y x f ，此时，0d d ),()2()()(2==≤+=≤=⎰⎰≤+zy x Z y x y x f z Y X P z Z P z F ．0>z 时，若0≤x ，则0),(=y x f ；只有当z x ≤<0且02>-=xz y 时，0),(≠y x f ，此时，⎰⎰≤+=≤+=≤=zy x Z yx y x f z Y X P z Z P z F 2d d ),()2()()(⎰⎰-+-=zx z y x y x 020)2(d e 2d z z z ----=e e 1．综上⎩⎨⎧≤>--=--．0,0,0,e e 1)(z z z z F z z Z ，所以⎩⎨⎧≤<='=-．0,0,0,e )()(z z z z F z f z Z Z ．17．设X ，Y 是相互独立的随机变量，其概率密度分别为⎩⎨⎧≤≤=其他．,0,10,1)(x x f X ，⎩⎨⎧≤>=-．0,0,0,e )(y y y f y Y 求Y X Z +=的概率密度．解：0<z 时，若0<x ，则0)(=x f X ；若0≥x ，则0<-=x z y ，0)(=-x z f Y ，即0<z 时，0)()(=-x z f x f Y X ，此时，0d )()()(=-=⎰+∞∞-x x z f x f z f Y X Z ．10≤≤z 时，若0<x ，则0)(=x f X ；只有当z x ≤≤0且0>-=x z y 时0)()(≠-x z f x f Y X ，此时，z zx z Y X Z x x x z f x f z f ---+∞∞--==-=⎰⎰e 1d e d )()()(0)(．1>z 时，若0<x ，0)(=x f X ；若1>x ，0)(=x f X ；若10≤≤x ，则0>-=x z y ，此时，0)()(≠-x z f x f Y X ，z x z Y X Z x x x z f x f z f ---+∞∞--==-=⎰⎰e )1e (d e d )()()(1)(．综上，⎪⎩⎪⎨⎧<>-≤≤-=--．0,0,1,e )1e (,10,e 1)(z z z z f z z Z ．18．设随机变量),(Y X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧>>+=+-其他．,0,0,0,e)(21),()(y x y x y x f y x (1)X 和Y 是否相互独立？(2)求Y X Z +=的概率密度．解：(1)),()()(y x f y f x f Y X ≠，∴X 与Y 不独立．(2)0≤z 时，若0≤x ，则0)(=x f X ；若0>x ，则0<-=x z y ，0),(=y x f ，此时，0d ),()(=-=⎰+∞∞-x x z x f z f Z ．0≥z 时，若0≤x ，则0)(=x f X ；只有当z x <<0且0>-=x z y 时0),(≠y x f ，此时，⎰+∞∞--=x x z x f z f Z d ),()(⎰+-+=zy x x y x 0)(d e )(21⎰-=z z x z 0d e 21z z -=e 212，所以⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-．0,0,0,e 21)(2z z z z f zZ ．19．设X 和Y 时相互独立的随机变量，它们都服从正态分布),0(2σN ．证明：随机变量22Y X Z +=具有概率密度函数⎪⎩⎪⎨⎧<≥=-．0,0,0,e )(2222z z z z f z Z σσ．解：因为X 与Y 相互独立，均服从正态分布),0(2σN ，所以其联合密度函数为2222)(2e 121),(σσπy x y xf +-⋅=，(+∞<<∞-y x ,)当0≥z 时，有⎰⎰≤+=≤+=≤=zy x Z yx y x f z Y X P z Z P z F 22d d ),()()()(22⎰⎰≤++-⋅=zy x y x y x 22222d e 1212)(2σσπ⎰⎰-⋅=πσθσπ2022d ed 12122zr r r ⎰-=zr r r 022d e122σσ，此时，2222e)(σσz Z z z f -=；当0<z 时，=≤+}{22z Y X ∅，所以0)()()(22=≤+=≤=z Y X P z Z P z F Z ，此时，0)(=z f Z ，综上，⎪⎩⎪⎨⎧<≥=-．0,0,0,e )(2222z z z z f z Z σσ．20．设),(Y X 在矩形区域}10,10|),{(≤≤≤≤=y x Y X G 上服从均匀分布，求},min{Y X Z =的概率密度．解：由题可知),(Y X 的联合概率密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤=其他．,0,20,10,21),(y x y x f ，易证，X ～]1,0[U ，Y ～]2,0[U ，且X 与Y 相互独立，⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=．1,1,10,,0,0)(x x x x x F X ，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤<=．2,1,20,2,0,0)(y y yy y F Y ，可得)](1)][(1[1)(z F z F z F Y X Z ---=)()()()(z F z F z F z F Y X Y X -+=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤-<=．1,1,10,223,0,02z z z z z ，求导，得⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其他．,0,10,23)(z z z f Z ．21．设随机变量),(Y X 的概率密度为⎩⎨⎧+∞<<<<=+-其他．,0,0,10,e ),()(y x b y x f y x (1)试确定常数b ；(2)求边缘概率密度)(x f X 及)(y f Y ；(3)求函数},max{Y X U =的分布函数．解：(1)⎰⎰⎰⎰+∞+-+∞∞-+∞∞-==01)(d d e d d ),(1yx b y x y x f y x ⎰⎰+∞--=10d e d e y x b y x)e 1(|)e(|)e (10102-+∞---=-⋅=b b y x ，∴1e11--=b ．(2)10<<x 时，1)(1e1e d e e 11d ),()(--∞++--∞+∞--=-==⎰⎰x y x X y y y x f x f ，其他，0)(=x f X ，∴⎪⎩⎪⎨⎧<<-=--其他．,0,10,e 1e )(1x x f xX ，0>y 时，⎰+∞∞-=x y x f y f Y d ),()(yy x x -+--=-=⎰e d e e 1110)(1，0≤y 时，0)(=y f Y ，∴⎩⎨⎧≤>=-．0,0,0,e )(y y y f y Y ．(3)0≤x 时，0)(=x F X ，10<<x 时，101e1e 1d e 1e d )()(----∞---=-==⎰⎰xxt xX X t t t f x F ，1≥x 时，1)(=x F X ，∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<<--≤=--．1,1,10,e 1e1,0,0)(1x x x x F x X ；0≤y 时，0)(=y F Y ，0>y 时，y yv y Y Y v v v f y F --∞--===⎰⎰e 1d e d )()(0，∴⎩⎨⎧≤>-=-．0,0,0,e 1)(y y y F y Y ，故有)()()(y F x F u F Y X U =⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-<≤--<=---．1,e 1,10,e 1e1,0,01u u u uu ．。
哈工大概率论与数理统计期末考题及答案(2008)
2
2
1 X Y ，设 Z ， （1）求 EZ 和 DZ （2）求 XZ 2 3 2
、
草
纸
（草纸内不得答题）
第 3 页 （共 5 页）
试 题：
1 , x 六、 （14 分） ．设总体 X 的分布函数为： F ( x; , ) x 0, x
其中未知参数 0, 1 ，设 X 1 , , X n 为来自总体 X 的简单随机样本. （1）当 1 时，求未知参数 的矩估计和极大似然估计； （2）当 2 时，求未知参数 的极大似然估计。 、
草
纸
（草纸内不得答题）
第 4 页 （共 5 页）
试 题：
七（6 分）设 X , Y 服从 G x, y | 1 x 3,1 y 3 上均匀分布，
1 3．设随机变量 X 的密度函数为 f ( x) e | x| ，则对随机变量 | X | 与 X ，下列结论成立的是 2 （A）相互独立； （B）分布相同； （C）不相关； （D）同期望. 【 】 1 1 4．设随机变量 X 服从参数为 的指数分布， Y ~ U (0,6) ，且 XY ，根据 3 3 切比晓夫不等式有： P (4 X Y 4) 1 5 1 2 （A） . （B） . （C） . （D） . 【 】 8 8 4 9 2 2 2 5．设 X1 , X2 ,, Xn 是总体 X ~ N ( , ) 的样本， EX , DX , X 是样本均值， S 是样本方差，
哈工大
2008
年 秋 季学期
概率论与数理统计
题号 分数 一 二 三 四 五 六 七
试
八
Байду номын сангаас
哈工大-概率论与数理统计大作业(论文)
————————————————————————————————概率论与数理统计大作业xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx2012年12月8日概率论与数理统计一点小结1.简介：概率论（probability theory）：研究随机现象数量规律的数学分支。
随机现象是相对于决定性现象而言的。
在一定条件下必然发生某一结果的现象称为决定性现象。
例如在标准大气压下，纯水加热到100℃时水必然会沸腾等。
随机现象则是指在基本条件不变的情况下，一系列试验或观察会得到不同结果的现象。
每一次试验或观察前，不能肯定会出现哪种结果，呈现出偶然性。
例如，掷一硬币，可能出现正面或反面，在同一工艺条件下生产出的灯泡，其寿命长短参差不齐等等。
随机现象的实现和对它的观察称为随机试验。
随机试验的每一可能结果称为一个基本事件，一个或一组基本事件统称随机事件，或简称事件。
事件的概率则是衡量该事件发生的可能性的量度。
虽然在一次随机试验中某个事件的发生是带有偶然性的，但那些可在相同条件下大量重复的随机试验却往往呈现出明显的数量规律。
例如，连续多次掷一均匀的硬币，出现正面的频率随着投掷次数的增加逐渐趋向于1/2。
又如，多次测量一物体的长度，其测量结果的平均值随着测量次数的增加，逐渐稳定于一常数，并且诸测量值大都落在此常数的附近，其分布状况呈现中间多，两头少及某程度的对称性。
大数定律及中心极限定理就是描述和论证这些规律的。
在实际生活中，人们往往还需要研究某一特定随机现象的演变情况随机过程。
例如，微小粒子在液体中受周围分子的随机碰撞而形成不规则的运动（即布朗运动），这就是随机过程。
随机过程的统计特性、计算与随机过程有关的某些事件的概率，特别是研究与随机过程样本轨道(即过程的一次实现)有关的问题，是现代概率论的主要课题。
数理统计：数理统计是数学系各专业的一门重要课程。
随着研究随机现象规律性的科学—概率论的发展，应用概率论的结果更深入地分析研究统计资料，通过对某些现象的频率的观察来发现该现象的内在规律性，并作出一定精确程度的判断和预测；将这些研究的某些结果加以归纳整理，逐步形成一定的数学概型，这些组成了数理统计的内容。
哈工大数学考研试题及答案
哈工大数学考研试题及答案试题：一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列函数中，哪一个不是周期函数？A. y = sin(x)B. y = cos(x)C. y = e^xD. y = tan(x)2. 函数 f(x) = x^2 在区间(0, +∞) 上是：A. 增函数B. 减函数C. 先减后增D. 不是单调函数3. 微积分基本定理表明：A. 定积分可以转化为不定积分求解B. 不定积分是定积分的基础C. 定积分的值是不定积分的原函数在积分区间的差值D. 所有以上说法4. 以下哪个选项是欧拉公式e^(iπ) + 1 = 0 的一个直接后果？A. e^(iπ/2) = iB. e^(iπ) = -1C. e^0 = 1D. ln(-1) = πi5. 矩阵 A = [a, b; c, d] 的特征值是：A. a + dB. a - dC. ad - bcD. (a + d)^26. 以下哪个序列是发散的？A. 1, 1/2, 1/3, ...B. 1, 2, 4, 8, ...C. -1, 1, -1, 1, ...D. 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ...7. 方程 x^2 - 5x + 6 = 0 的根是：A. 2, 3B. -2, 3C. 2, -3D. -2, -38. 以下哪个级数是收敛的？A. 1 + 1/2 + 1/3 + ...B. 1 - 1/2 + 1/2 - 1/3 + ...C. 1 + (1/2)^2 + (1/3)^2 + ...D. 1 + 2^2 + 3^2 + ...9. 以下哪个选项是拉格朗日中值定理的一个应用？A. 证明罗尔定理B. 证明泰勒公式C. 证明积分中值定理D. 所有以上10. 以下哪个命题是正确的？A. 任何有界数列都有一个收敛的子数列B. 任何收敛数列都是有界的C. 任何收敛数列的极限都是唯一的D. 所有以上二、填空题（每题4分，共20分）11. 极限 lim (x->0) [sin(x)/x] 的值是 _______。
哈工大--最全版本--概率论模拟试题
概率论与数理统计模拟试题（一）一、填空题（每小题3分，共5小题，满分15分）1．设事件,,A B C 两两独立，且ABC φ=，1()()()2P A P B P C ==<， 9()16P A B C =，则()P A = . 2．设两个相互独立的事件A 和B 都不发生的概率为19，A 发生B 不发生的概率与B 发生A 不发生的概率相等. 则()P A = .3．设随机变量~(1,1)X -，则X Y e =的概率密度为()Y f y = .4．设随机变量[]~0,6X U ，1~12,4Y B ⎛⎫⎪⎝⎭，且X 与Y 相互独立，则根据切比雪夫不等式有：(33)P X Y X -<<+≥__________.5．总体22~(,),0.04X N μσσ=抽取容量为16的样本，测得均值1.416，若μ的置信区间是(1.4160.098,1.4160.098)-+，则置信度_________. 二、选择题（每小题3分，共5小题，满分15分）（每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，把所选项的字母填在题后 的括号内）1．设,,A B C 是三个独立的随机事件且0()1P C <<. 则在下列给定的四对事件中不相互独立的是（ ） （A ）AB 与C ； （B ）BC 与C ； （C ）A B -与C ； （D ）AB 与C .2．设随机变量X 的概率密度为21()(1)f x x π=+，则2Y X =的概率密度为（ ） （A ）21(14)y π+； （B ）21(4)y π+； （C ）22(4)y π+； （D ）22(1)y π+.3．如下四个函数中不是随机变量分布函数的是（ ）（A ）21,0()1,02x F x x x ≥⎧⎪=⎨<⎪+⎩ （B ）0,0(),011,1x F x x x x <⎧⎪=≤<⎨⎪≥⎩（C ）()(),x F x f t dt -∞=⎰其中()1f t dt ∞-∞=⎰（D ）0,0()1,0xx F x e x -≤⎧=⎨->⎩4．随机变量7~(1,1),X U Y X -=，则（ ）（A ）X 与Y 不相关，不独立 （B ）X 与Y 相关，不独立 （C ）X 与Y 不相关，独立 （D ）X 与Y 相关，独立 5．设1,,n X X 是总体X 的样本，2,EX DX μσ==，X 是样本均值，2S 是样本方差，则（ ）（A ）21(,)XN nμσ; （B ）2S 与X 独立;（C ）2S 是2σ的无偏估计; （D ）222(1)(1)n S n χσ--. 三、（10分）某炮台上有三门炮，假定第一门炮的命中率为0.4，第二门炮的命中率为0.3，第三门炮的命中率为0.5，今三门炮向同一目标各射一发炮弹. 结果有两弹中靶，求第一门炮中靶的概率？四、（10分）某种商品一周的需求量是一个随机变量，其概率密度为,0()0,0t te t f t t -⎧>=⎨≤⎩设各周的需求量是相互独立的，试求两周需求量的概率密度.五、（10分）设随机变量X 的密度函数1,203(),10,x f x A x B ⎧-<<⎪⎪=<<⎨⎪⎪⎩其他，分布函数()F x 在2x =处的值5(2)6F =，求（1）,A B . （2）若||Y X =，求,X Y 联合分布函数(,)F x y 在(2,3)处的值.六、（14分）总体X密度函数2232,(1,) ()(1)0,xf x xθθθ⎧∈⎪=-⎨⎪⎩其他抽取简单随机样本1,,nX X，求θ的矩估计和最大似然估计.七、（6分）证明若2~()X n χ，则,2EX n DX n ==.概率论与数理统计模拟试题（二）一、填空题（每小题3分，共5小题，满分15分） 1．已知11()()(),()0,()()416P A P B P C P AB P AC P BC ======，则,,A B C 都不发生概率为 .2．随机变量2~(),12X P EX λ=，则(1)P X ≥= .3．随机变量X 的密度函数为1,0121(),1340,x f x x ⎧<<⎪⎪⎪=<<⎨⎪⎪⎪⎩其他，则12Y X =-的密度函数()Y f y =__________.4．设随机变量X 的概率密度为1,10,()1,01,0,x x f x x x +-≤<⎧⎪=-<≤⎨⎪⎩其它.则方差DX = . 5．已知一批零件的长度(,1)XN μ，从中随机地抽取16个零件，得样本均值40x =，则μ的置信度0.95的置信区间为__________.二、选择题（每小题3分，共5小题，满分15分）（每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，把所选项的字母填在题后 的括号内）1．设,,A B C 三个事件两两独立，则,,A B C 相互独立的充分必要条件是（ ） （A ）A 与BC 独立； （B ）AB 与A C 独立；（C ）AB 与AC 独立； （D ）AB 与AC 独立.2．下列四个函数中，能成为随机变量密度函数的是 （A ）||()x f x e-= （B ）21()(1)f x x π=+（C）22,0()00xx f x x -⎧≥=<⎩， （D ）1,||1()0,||1x f x x ≤⎧=⎨>⎩3．随机变量,X Y 独立同分布，11~(,),(1)22X N P X Y μ+≤=，则μ= .（A ）1- （B ）0 （C ）12（D ）14．将一枚硬币重复掷n 次，以X 和Y 分别表示正、反面向上的次数，则X 和Y 的相关系数等于（ ）（A ）1; （B ）1-; （C ）0; （D ）21. 5．设12,,,n X X X 是来自具有2()n χ分布的总体的样本，X 为样本均值，则EX和DX 的值为（ ）（A ）EX n =，2DX =； （B ）,2EX n DX n ==; （C ）1,2EX DX ==； （D ）1,EX DX n n==. 三、（10分）设一批晶体管的次品率为0.01，今从这批晶体管中抽取4个，求其中恰有1 个次品和恰有2个次品的概率？四、（10分）(,)X Y 的密度2,0(,)(0)0,x e y xf x y λλλ-⎧<<=>⎨⎩其他求Z X Y =+的概率密度函数()Z f z .五、（10分）随机变量01015~,~,131384444X Y EXY ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭求（1）(1)P X Y +≤； （2）max(,)E X Y .六、（6分）在射击比赛中，每人射击三次(每次一发)，约定全部不中得0分，只中一弹得5分，中二弹得10分，中三弹得20分。
哈尔滨工业大学概率论答案习题三(精)
1150.99977(1(1(1!
k K N K N P X N P X N P X K e
k ∞
∞
−=+=+≤≤=−>=−==−∑∑即
5
1
50.00023!K K N e k ∞
−=+≤∑查泊松分布表知115N +=,故月初要库存14件以上,才能保证当月不脱销的概率在0.99977以上。
8.已知离散型随机变量X的分布列为:(10.2,(20.3P X P X ====,
解
从a b +个球中任取r个球共有r
a b C +种取法,r个球中有k个黑球的取
法有k
r k
b a
C C −,所以X的分布列为
(k r k
b a r
a b
C C P X k C −+==,max(0,,max(0,1,,min(,k r a r a b r =−−+⋯,此乃因为,如果r a <,则r个球中可以全是白球,没有黑球,即0k =;如果r a >则r个球中至少有r a −个黑球,此时k应从r a −开始。
8!!!k k k k q P X e e e k k ∞∞−−−=====−=∑∑(24
114(100.00284.
!
k k P X e k ∞
−=>==∑7.某商店每月销售某种商品的数量服从参数为5的泊松分布,问在月初至少库存多少此种商品,才能保证当月不脱销的概率为0.99977以上。
解
设X为该商品的销售量,N为库存量,由题意
2
X B n ,X的分布列为
1(2n
k n P X k C ⎛⎞
==⎜⎟
⎝⎠
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max(0,
r − a) +1,⋯, min(b,r)，
此乃因为，如果 r < a ，则 r 个球中可以全是白球，没有黑球，即 k = 0 ；
如果 r > a 则 r 个球中至少有 r − a 个黑球，此时 k 应从 r − a 开始。
3．一实习生用一台机器接连生产了三个同种零件，第 i 个零件是不合格品
2 3 4 2 3 4 2 3 4 24
123 6
P( X
=
3)
=
P( A1
A2 A3
)
=
2
⋅
3
⋅ 4
=
24
.
即 X 的分布列为
·19·
X0 1 2 3
P 1 6 11 6 . 24 24 24 24
4．一汽车沿一街道行驶，需通过三个设有红绿信号灯的路口，每个信号灯
为红或绿与其他信号灯为红或绿相互独立，且每一信号灯红绿两种信号显示的概
x −∞
f
(u)du
=
⎧1 ⎪⎪ 2 ⎨ ⎪
0
x eu du,
−∞
1 exdx +
⎪⎩ −∞ 2
x 1 e−udu, 02
x ≤ 0, x > 0,
=
⎧ ⎪⎪
1 2
e
x
,
⎨
⎪1− 1
e−
x
,
⎪⎩ 2
x ≤ 0, x > 0.
12．设随机变量 X 的概率密度为
⎧ x , 0 ≤ x < 1,
f (x) = ⎪⎨2 − x, 1 ≤ x < 2,
习题三
1．掷一枚非均质的硬币，出现正面的概率为 p (0 < p < 1) ，若以 X 表示直
至掷到正、反面都出现时为止所需投掷次数，求 X 的分布列。 解 ( X = k ) 表示事件：前 k −1次出现正面，第 k 次出现反面，或前 k −1次
出现反面，第 k 次出现正面，所以 P( X = k) = pk−1(1− p) + (1− p)k−1 p, k = 2,3,⋯.
K =N +1
K=N+1 k !
即
∑∞ 5K e−5 ≤ 0.00023
K =N +1 k !
查泊松分布表知 N +1 = 15 ，故月初要库存 14 件以上，才能保证当月不脱销的
概率在 0.99977 以上。
8．已知离散型随机变量 X 的分布列为： P( X = 1) = 0.2, P( X = 2) = 0.3 ，
f (x) = ⎨ ⎩
0
,
其他.
求：（1）常数 C ；（2）使 P( X > a) = P( X < a) 成立的 a .
∫ ∫ 解 （1）1 =
+∞
f (x)dx = c
π sin xdx = −c cos x π = 2c ， c = 1 ；
−∞
0
0
2
∫ （2） P( X > a) = π 1 sin xdx = − 1 cos x π = 1 + 1 cos a ，
率均为 1 ，以 X 表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数，求 X 的概率 2
分布。 解
P( X = 0) = P (第一个路口即为红灯) = 1 , 2
P( X = 1) = P (第一个路口为绿灯，第二个路口为红灯) = 1 ⋅ 1 = 1 ， 22 4
依此类推，得 X 的分布列为 X 0123
2．袋中有 b 个黑球 a 个白球，从袋中任意取出 r 个球，求 r 个球中黑球个
数 X 的分布列。
解
从
a
+
b
个球中任取
r
个球共有
Cr a+b
种取法，
r
个球中有
k
个黑球的取
法有 CbkCar−k ，所以 X 的分布列为
P( X
= k) =
Cbk Car −k Cr
a+b
， k = max(0,
r − a),
P( X = 3) = 0.5 ，试写出 X 的分布函数。
解 X 的分布列为 X1 2 3
P 0.2 0.3 0.5
所以 X 的分布函数为
⎧ 0 , x < 1,
F
(
x)
=
⎪⎪0.2, ⎨⎪0.5,
1 ≤ x < 2, 2 ≤ x < 3,
⎪⎩ 1 , x ≥ 3.
9．设随机变量 X 的概率密度为
⎧c sin x, 0 < x < π ,
事件 (T > t) 表示两次故障的间隔时间超过 t ，也就是说在时间 t 内没有发生
故障，故 N (t) = 0 ，于是
FT (t) = 1− P(T
> t) = 1− P( N(t) = 0) = 1− (λt)0 e−λt 0!
= 1− e−λt ,
t >0，
可见， T 的分布函数为
⎧1− e−λt ,
= P( A1 A2 A3 ) + P( A1 A2 A3 ) + P( A1 A2 A3 ) = 1⋅1⋅1 +1⋅2⋅1 + 1⋅1⋅3 = 6 ，
2 3 4 2 3 4 2 3 4 24
P( X = 2) = P( A1 A2 A3 + A1 A2 A3 + A1 A2 A3 )
= P( A1 A2 A3 ) + P( A1 A2 A3 ) + P( A1 A2 A3 ) = 1 ⋅ 2 ⋅ 1 + 1 ⋅ 1 ⋅ 3 ⋅ + 1 ⋅ 2 ⋅ 3 = 11 ，
15．设随机变量 X ~ U[1, 6] ，求方程 x2 + Xx +1 = 0 有实根的概率.
解 设 A = ‘方 X |≥ 2 ，因 X ~ U[1, 6]，所以
A 发生 ⇔ X > 2,
所以
6−2 4 P( A) = P( X > 2) = = = 0.8 .
个电了管被烧坏的概率；（2）在使用的最初 150 小时内烧坏的电子管数 Y 的分布
列；（3） Y 的分布函数。 解 Y 为在使用的最初 150 小时内烧坏的电子管数， Y ~ B(3, p) ，其中
∫ p = P( X ≤ 150) = 150 100 dx = 1 ，
x 100 2
3
（1）所求概率为
a2
2
a 22
∫ P( X < a) = a 1 sin xdx = − 1 cos x a = 1 − 1 cos a,
02
2
0 22
可见 cos a = 0 ，
∴ a=π 。 2
10．设随机变量 X 的分布函数为 F (x) = A + B arctan x ， −∞ < x + ∞ ，
求：（1）系数 A 与 B ；（2） P(−1 < X ≤ 1) ；（3） X 的概率密度。
（3） Y 的分布函数为
·23·
⎧ 0 , x < 0,
⎪ ⎪
8
,
0≤ x<1
⎪ 27
F
(x)
=
⎪⎪ ⎨ ⎪
20 27
,
1 ≤ x < 2,
⎪ ⎪ ⎪
26 27
,
2 ≤ x < 3,
⎪⎩ 1 , x ≥ 3.
14．设随机变量 X 的概率密度为
⎧2x, 0 < x < 1,
f
(x)
=
⎨ ⎩
0
,
其他.
⎪ ⎩
0
,
其他.
求 X 的分布函数. 解 f (x) 的图形为
X 的分布函数为
x
∫ F (x) = f (u)du −∞
·22·
f(x) (1，1)
⎧0 ,
x < 0,
⎪x
=
⎪⎪∫
⎨
0
udu,
0 ≤ x < 1,
∫ ∫ ⎪
1
xdx +
x
(2 − u)du, 1 ≤ x < 2,
⎪0
1
⎪⎩1 ,
x ≥ 2.
P(Y
≥
2)
=
P(Y
=
2) +
P(Y
=
3)
=
C32
⎛ ⎜⎝
1 ⎞2 3 ⎟⎠
⋅
2 3
+
⎛ ⎜⎝
1 3
3
⎞ ⎟⎠
=7； 27
（2） Y
的分布列为
P(Y
=
k)
=
C3k
⎛
1
k
⎞
⎜⎝ 3 ⎟⎠
⎛ ⎜⎝
2 3
3−k
⎞ ⎟⎠
，
k
=
0,1, 2,3,
即
Y0 1 2 3
8 12 6 1 . P
27 27 27 27
6−1 5 16．设随机变量 X ~ U[2,5] ，现对 X 进行 3 次独立观测，试求至少有两次
观测值大于 3 的概率.
解 设 Y 为三次观测中，观测值大于 3 的观测次数，则 Y ~ B(3, p) ，其中
p = P( X > 3) = 5 − 3 = 2 ， 5−2 3
所求概率为
P(Y
≥
2)
FT (t) = ⎨ ⎩
0
,
t > 0, t ≤ 0.
即 T 服从参数为 λ 的指数分布。
（2）所求概率为
P(T
> 16 | T