哈工大2015年概率统计试题及答案

2015年哈工大概率统计试题一、填空题（每小题3分，共5小题，满分15分）1．设()()0.7P A P B +=，且,A B 只发生一个的概率为0.5，则,A B 都发生的概率为 ________________ ．2．设随机变量X 的概率密度为⎩⎨⎧<≥=0,00e )(-x x x f x X ，，则随机变量XY e =的概率密度为()Y f y =______________ _ _ ．3．设随机变量, X Y 的相关系数为0.5，220,2EX EY EX EY ====，则2()E X Y += ． 4．生产一个零件所需时间2(,)XN μσ，观察25个零件的生产时间得 5.5x =秒，样本标准差 1.73s =秒，则μ的置信度为0.95的置信区间为________________ __． 5．设随机变量, X Y 相互独立，且均服从区间[]0,3上的均匀分布，则{max(,)1}P X Y ≤=______ ．注：可选用的部分数值：0.050.0250.025(24) 1.7109, (24) 2.0639, (25) 2.0595,t t t ===.95.0645.1975.096.1=Φ=Φ）（，）（二、选择题（每小题3分，共5小题，满分15分）1．设()01,P B <<(|)(|)1P A B P A B +=，则（A ）,A B 互不相容 . （B ）,A B 互为对立事件.（C ）,A B 相互独立 . （D ）,A B 不独立. 【 】 2．下列函数可作为随机变量的分布函数的是（A ）()21,1F x x x =-∞<<+∞+． （B ）, 0() 1 0, 0xx F x x x ⎧≥⎪=+⎨⎪<⎩． （C ）∞<<-∞=x x F x,e )(-． （D ）∞<<-∞+=x x x F ,arctan 2143)(π． 【 】 3．设12, , , n X X X 为来自总体2(1,2)N 的一个样本， 其中X 为样本均值，则下列结论中正确的是（A ）()()22111~4n i i X n χ=-∑． （B ）()2111~(,1)4n i i X F n =-∑．（C()~0,1X N ． （D~()X t n ． 【 】 4．设随机变量~[0, 6]X U ，1~(12, )4Y B ，且,X Y 相互独立，则根据切比雪夫不等式有(33)P X Y X -<<+≥__________．（A ）41． （B ）53． （C ） 43 ． （D ）125． 【 】 5．设12, ,, n X X X 是来自总体2(, )N μσ的简单随机样本，X 与2S分别为其样本均值和样本方差，则下列结论正确的是 （A ）2212~(,)X X N μσ-． （B ）()22~(1,1)n X F n S μ--．（C ）()222~1S n χσ-． （D ~(1)X t n -． 【 】三、（9分）某人外出可以乘坐飞机，火车，轮船，汽车四种交通工具，其概率依次为5.0,30.0,15.0,05.0，而乘坐这几种交通工具能如期到达的概率依次为90.0,60.0,70.0,80.0，求： （1）该人如期到达的概率；（2）已知该人误期到达，求他是乘坐火车的概率。

四、（9分）设二维随机向量(,)X Y 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≥≥=+-其它，）（,00,0e 61),(32y x y x f yx ，求：（1）(,)X Y 的边缘概率密度，并问,X Y 是否相互独立？ 为什么？ （2）Z X Y =+的概率密度.)(),(y f x f Y X五、（9分）设随机向量),(Y X 服从区域{}20,20),(≤≤≤≤=y x y x G 上二维均匀分布， Y X U -=，求（1）U 的概率密度)(u f U ；（2）U 的期望EU 和方差DU .六、（9分）设总体X 的概率密度为1, 1(;)10,x f x θθθ⎧≤≤⎪=-⎨⎪⎩其他其中θ为未知参数，12, ,, n X X X 为来自总体X 的简单随机样本。

求：（1）θ的矩估计量1θ∧和最大似然估计量2θ∧;（2）讨论12,θθ∧∧无偏性。

七、(4分)设某商店每月销售某种商品的数量服从参数为6的泊松分布，问在月初要库存多少此种商品才能保证当月不脱销的概率为0.99117？ (泊松分布表见下图表)!kk me k λλ∞-=∑2015年哈工大概率统计试题及答案一、填空题：（15分）1.0.12. 20,1()1,1Y y f y y y ≤⎧⎪=⎨>⎪⎩3.64.(4.786, 6.214). 5．19二、选择题：（15分） 1C 2B 3A 4D 5B三、解：（1）设1234,,,A A A A 分别表示乘坐飞机，火车，轮船，汽车四种交通工具，B表示如期到达事件。

利用全概率公式：775.09.05.06.03.07.015.080.005.0)()()(41=⨯+⨯+⨯+⨯==∑=i i i A B P A P B P5分 （2） 利用Bayes 公式：2.0225.0045.0775.01)7.01(15.0)()()()(222==--⨯==B P A B P A P B A P4分四、解：（1）（1）当0x ≥时，232011()62x y xX f x e dy e --+∞-==⎰，所以 21, 0()20, xX e x f x -⎧≥⎪=⎨⎪⎩其他当0y ≥时23311()63x y y Y f y e dx e---+∞==⎰，所以31, 0()3 0, yY e y f y -⎧≥⎪=⎨⎪⎩其他由于(,)()()X Y f x y f x f y =，故X 与Y 相互独立. 4分 （2）由于X 与Y 相互独立，故可利用卷积公式32011,0()()()230 0z x xz Z X Y e e dx z f z f x f z x dx z ---+∞-∞⎧≥⎪=-=⎨⎪<⎩⎰⎰32 00 0z z e e z z --⎧⎪-≥=⎨⎪<⎩ 5分五、 解：（1）令U 之f d ⋅()U FR u ∈∀，()()()u Y X P u U P U F ≤-=≤=当0≤U 时()0=U F 2≥U 时()1u =F()pdf Y X ,为：()⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=其它,02,0,41,y x y x f 时当20<<u()()()[]22441u u Y X P u F --=≤-= ()()()⎪⎩⎪⎨⎧<<-='=∴其它,020,221u u u F u f 5 分（2）32)8314(21]31[21)2(21203220=⨯-=-=-⨯=⎰u u du u u EU 2分 4/3128)1641832(21]4132[21)2(2120432022==⨯-⨯=-=-⨯=⎰u u du u u EU36/11)3/2(4/3)(222=-=-=EU EU DU 2分六、解：（1）1）矩估计：2110111122x x EX dx θθθ+==⋅=--⎰令1112ni i X Xn θ=+==∑,所以θ的矩估计为：121-=∧X θ 3分 2)极大似然估计：()()121(1)()1,11(,,,;)(;)0,1,110,ni n n i i n n x L x x x f x x x θθθθθθ=⎧≤≤⎪-==⎨⎪⎩⎧≤≤≤≤⎪-=⎨⎪⎩∏，利用极大似然估计的定义可得：所以θ的极大似然估计为),,m in(12n X X =∧θ3分 （2）因为θθθ=-+⨯=-=-=∧121212)12(1X E X E E 所以∧1θ是θ的无偏估计。

令总体X 的分布函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<<--≤=1,11,1,0)(z z z z z F Xθθθθ 而),,m in(12n X X =∧θ)1(X =的分布函数为)()1(z F X 则有：因为n X X ,,1 相互独立且与总体X 同分布所以1,)11(1,110,0))(1(1)()1(<<---⎪⎩⎪⎨⎧≥-≤=--=z z z z z F z F n n X X θθθ 1,)11(1,110,0)()1(<<--⎪⎩⎪⎨⎧≥-≤=z z z z z F n X θθ 则其概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<--=-其他,,01,)1()1(1)(1)1(z z n z f n nX θθdz z n dz z n dz z n z dz z n z E n n n nn n n n )1()1(1)1()1(1)1()1(1)11()1()1(111111112-⨯---⨯-=--⨯⨯-+=--⨯⨯=⎰⎰⎰⎰---∧θθθθθθθθθθθθθθθθθθθ≠+++=+-++=-⨯+-=-⨯-⨯+-=-⨯--⨯+--⨯--⨯+-=++111111)1(11)1()1(111)1()1(11)1()1(1111111n n n n n n n n n n n z n n z n n n n n nn n 所以∧2θ不是无偏估计，但为渐进无偏估计。

3分七.解：令月初可储存此种商品为m 件。

由题设可得()0.99117P X m ≤= 于是有：1()0.99117P X m ->= 即(1)0.00883P X m ≥+= 于是查表可得131=+m所以12m =即月初可储存此种商品12件即可。

4分。