哈工大概率论与数理统计课后习题答案 一
概率论与数理统计课后习题答案1-8章-习题解答
第一章 思 考 题1．事件的和或者差的运算的等式两端能“移项”吗？为什么？2．医生在检查完病人的时候摇摇头“你的病很重，在十个得这种病的人中只有一个能救活. ”当病人被这个消息吓得够呛时，医生继续说“但你是幸运的.因为你找到了我，我已经看过九个病人了，他们都死于此病，所以你不会死” ，医生的说法对吗？为什么？３．圆周率 1415926.3=π是一个无限不循环小数, 我国数学家祖冲之第一次把它计算到小数点后七位, 这个记录保持了1000多年! 以后有人不断把它算得更精确. 1873年, 英国学者沈克士公布了一个π的数值, 它的数目在小数点后一共有707位之多! 但几十年后, 曼彻斯特的费林生对它产生了怀疑. 他统计了π的608位小数, 得到了下表:675844625664686762609876543210出现次数数字你能说出他产生怀疑的理由吗?答：因为π是一个无限不循环小数，所以，理论上每个数字出现的次数应近似相等，或它们出现的频率应都接近于0.1，但7出现的频率过小.这就是费林产生怀疑的理由.4．你能用概率证明“三个臭皮匠胜过一个诸葛亮”吗？５．两事件A 、B 相互独立与A 、B 互不相容这两个概念有何关系？对立事件与互不相容事件又有何区别和联系？６．条件概率是否是概率？为什么？习 题1．写出下列试验下的样本空间： （1）将一枚硬币抛掷两次答：样本空间由如下4个样本点组成{(,)(,)(,)(,)}Ω=正正，正反，反正，反反 （2）将两枚骰子抛掷一次答：样本空间由如下36个样本点组成{(,),1,2,3,4,5,6}i j i j Ω==（3）调查城市居民（以户为单位）烟、酒的年支出答：结果可以用（x ，y ）表示，x ，y 分别是烟、酒年支出的元数.这时，样本空间由坐标平面第一象限内一切点构成 .{(,)0,0}x y x y Ω=≥≥2．甲，乙，丙三人各射一次靶，记-A “甲中靶” -B “乙中靶” -C “丙中靶” 则可用上述三个事件的运算来分别表示下列各事件： (1) “甲未中靶”： ;A (2) “甲中靶而乙未中靶”： ;B A (3) “三人中只有丙未中靶”： ;C AB(4) “三人中恰好有一人中靶”： ;C B A C B A C B A (5)“ 三人中至少有一人中靶”： ;C B A(6)“三人中至少有一人未中靶”： ;C B A 或;ABC (7)“三人中恰有两人中靶”： ;BC A C B A C AB(8)“三人中至少两人中靶”： ;BC AC AB (9)“三人均未中靶”： ;C B A (10)“三人中至多一人中靶”： ;C B A C B A C B A C B A(11)“三人中至多两人中靶”： ;ABC 或;C B A 3 .设,A B 是两随机事件，化简事件 (1)()()AB A B (2) ()()A B A B解:(1)()()AB A B AB AB B B ==,(2) ()()AB AB ()A BA B B A A B B ==Ω=.4．某城市的电话号码由5个数字组成，每个数字可能是从0-9这十个数字中的任一个，求电话号码由五个不同数字组成的概率.解：51050.302410P P ==.5．n 张奖券中含有m 张有奖的，k 个人购买，每人一张，求其中至少有一人中奖的概率。
概率论与数理统计课后习题答案
第一章 事件与概率1．写出下列随机试验的样本空间。
（1）记录一个班级一次概率统计考试的平均分数（设以百分制记分）。
（2）同时掷三颗骰子，记录三颗骰子点数之和。
（3）生产产品直到有10件正品为止，记录生产产品的总件数。
（4）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的记上“正品”，不合格的记上“次品”，如连续查出2个次品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。
（5）在单位正方形内任意取一点，记录它的坐标。
（6）实测某种型号灯泡的寿命。
解（1）},100,,1,0{n i n i ==Ω其中n 为班级人数。
（2）}18,,4,3{ =Ω。
（3）},11,10{ =Ω。
（4）=Ω{00，100，0100，0101，0110，1100，1010，1011，0111，1101，0111，1111}，其中0表示次品，1表示正品。
（5）=Ω{(x,y)| 0<x<1,0<y<1}。
（6）=Ω{ t | t ≥ 0}。
2．设A ，B ，C 为三事件，用A ，B ，C 的运算关系表示下列各事件，。
（1）A 发生，B 与C 不发生。
（2）A 与B 都发生，而C 不发生。
（3）A ，B ，C 中至少有一个发生。
（4）A ，B ，C 都发生。
（5）A ，B ，C 都不发生。
（6）A ，B ，C 中不多于一个发生。
（7）A ，B ，C 至少有一个不发生。
（8）A ，B ，C 中至少有两个发生。
解 （1）C B A ，（2）C AB ，（3）C B A ++，（4）ABC ，（5）C B A ，（6）C B C A B A ++或C B A C B A C B A C B A +++，（7）C B A ++，（8）BC AC AB ++或ABC BC A C B A C AB ⋃⋃⋃3．指出下列命题中哪些成立，哪些不成立，并作图说明。
（1）B B A B A =（2）AB B A =（3）AB B A B =⊂则若,（4）若A B B A ⊂⊂则,（5）C B A C B A = （6）若Φ=AB 且A C ⊂，则Φ=BC解 : (1) 成立，因为B A B B B A B B A ==))((。
概率论与数理统计及其应用课后习题答案
第一章 随机事件及其概率1、解：（1）{}67,5,4,3,2=S（2）{} ,4,3,2=S（3）{} ,,,TTH TH H S =（4）{}6,5,4,3,2,1,,T T T T T T HT HH S =2、设A , B 是两个事件，已知81)(,21)(,41)(===AB P B P A P ，求)(B A P ，)(B A P ，)(AB P ，)])([(AB B A P 解：81)(,21)(,41)(===AB P B P A P ∴)()()()(AB P B P A P B A P -+= 85812141=-+=)()()(AB P B P B A P -=838121=-=87811)(1)(=-=-=AB P AB P )])([(AB B A P )]()[(AB B A P -=)()(AB P B A P -= )(B A AB ⊂ 218185=-= 3、解：用A 表示事件“取到的三位数不包含数字1” 25189********)(191918=⨯⨯==C C C A P 4、在仅由0，1，2，3，4，5组成且每个数字至多出现一次的全体三位数字中，任取一个三位数，（1）该数是奇数的概率；（2）求该数大于330的概率。
解：用A 表示事件“取到的三位数是奇数”，用B 表示事件“取到的三位数大于330” (1) 455443)(2515141413⨯⨯⨯⨯==A C C C C A P =0.48 2） 455421452)(251514122512⨯⨯⨯⨯+⨯⨯=+=A C C C A C B P =0.48 5、袋中有5只白球，4只红球，3只黑球，在其中任取4只，求下列事件的概率（1）4只中恰有2只白球，1只红球，1只黑球；（2）4只中至少有2只红球；（3）4只中没有白球解：用A 表示事件“4只中恰有2只白球，1只红球，1只黑球”（1）412131425)(C C C C A P ==495120=338 （2）用B 表示事件“4只中至少有2只红球”16567)(4124418342824=++=C C C C C C B P 或4124838141)(C C C C B P +-==16567495201= （3）用C 表示事件“4只中没有白球”99749535)(41247===C C C P 6、解：用A 表示事件“某一特定的销售点得到k 张提货单” nkn k n M M C A P --=)1()( 7、解：用A 表示事件“3只球至少有1只配对”，B 表示事件“没有配对”（1）3212313)(=⨯⨯+=A P 或321231121)(=⨯⨯⨯⨯-=A P （2）31123112)(=⨯⨯⨯⨯=B P 8、（1）设1.0)(,3.0)(,5.0)(===AB P B P A P ，求(),(),(),(),P A B P B A P A B P A A B(),()P AB A B P A AB ；（2）袋中有6只白球，5只红球每次在袋中任取一只球，若取到白球，放回，并放入1只白球，若取到红球不放回也不再放回另外的球，连续取球四次，求第一、二次取到白球且第三、四次取到红球的概率。
概率论与数理统计课后习题参考答案
习题11、（1）同时掷两枚骰子，记录点数之和 {2,3,,12}S =；（2）生产产品知道得到5件正品，记录生产产品的总件数 {5,6,}S =； （3）单位圆任取一点，记录它的坐标 22{(,)1,,}S x y x y x R y R =+<∈∈；（4）将单位长线段分3段，观察各段长度{(,,)1,0,0,0}S x y z x y z x y z =++=>>>。
2、（1）A 与B 都发生，C 不发生：ABC ；（2）ABC 至少一个发生：A B C ；（3）ABC 不多于一个发生：ABAC BC 。
3、对事件ABC ，已知P(A)=P(B)=P(C)=1/4，P(AB)=P(BC)=0，P(AC)=1/8，求ABC 至少发生一个的概率？解：依题可知，()0P ABC =，则所求的概率为()()()()()()()()P A B C P A P B P C P AB P AC P BC P ABC ++=++---+1153000488=⨯---+= 4、将10本书任意地放在书架上，其中有一套4卷成套的书，求概率？解：设事件A 表示“成套的书放在一起”，B 表示“成套的书按卷次顺序排好放在一起”，由概率的古典定义可得所求的概率为 （1）成套的书放在一起：7!4!1()10!30P A ⋅==（2）成套的书案卷次顺序排好放在一起：7!11()10!720P B ⋅==5、从5双不同的鞋子中任取4只，问这4只鞋子不能配成一双的概率是多少？解：设事件A 表示“取出的4只鞋子不能配成一双”，由概率的古典定义可得所求的概率为 44541028()21C P A C ⋅== 6、在电话号码簿中任取一个电话号码，求后面4个数全不相同的概率？解：设事件A 表示“电话号码的后面4个数全不相同”，由概率的古典定义可得所求的概率为4104()0.50410A P A ==7、已知P(非A)=0、3，P(B)=0、4，P(A 非B)=1/2，求P(B|AU 非B)？ 解：依题可知，()1()0.7P A P A =-=，()1()0.6P B P B =-=，而()0.55()()0.77P AB P B A P A ===则2()1()7P B A P B A =-=，()()()0.2P AB P A P B A ==，故所求的概率为 ()()()()()P BAB P ABBB P B A B P AB P AB ⎡⎤⎣⎦== ()0.20.25()()()0.70.60.5P AB P A P B P AB ===+-+-8、设AB 是随机事件，P(A)=0、7，P(A-B)=0、3，求P （非(AB)）？解：由()()()P A B P A P AB -=-，得()()()0.70.30.4P AB P A P A B =--=-=故 ()1()0.6P AB P AB =-=9、半圆内均匀的投掷一随机点Q ，试求事件A={Q于π/4}的概率？解：事件A 所对应的区域D 如下图所示，由概率的几何定义得所求的概率为()()()m D P A m S ==10、10解：设事件A 表示“这对夫妇正好坐在一起”，(91)!22()(101)!9P A -⋅==-11、已知10只晶体管中有2只是次品，在其中任取两只，每次随机取一只作不放回抽取 解：设事件A 表示“两只都是正品”， B 表示“两只都是次品”， C 表示“一只是正品，一只是次品”， D 表示“第二次取出的是次品”， 由概率的古典定义可得所求的概率为（1）两只都是正品2821028()45A P A A == （2）两只都是次品222101()45A P B A ==（3）一直是正品，一只是次品11128221016()45C C C P C A ⋅⋅== （4）第二次取出的是次品11292101()5C C PD A ⋅== 12、某学生接连参加同一课程的两次考试，第一次及格的概率为p ，如果他第一次及格，则x第二次及格的概率也为p ，如果第一次不及格，第二次及格概率为p/2。
概率论与数理统计课后题参考答案
第一章 基本概念1、试对下列随机试验各写出一个样本空间： （1）掷一颗骰子；（2）一个口袋中有5个外形相同的球，编号分别为1、2、3、4、5，从中同时取出3个球； （3）10只产品中有3只是次品，每次从中任取一只（取出后不放回），直到将3只次品全部取出，记录抽取的次数；（4）对某工厂生产的产品进行检查，合格的盖上“正品”，不合格的盖上“次品”，如果查出2件次品就停止检查，或者查满4件也就停止检查，记录检查结果。
解：（1）}6,5,4,3,2,1{＝Ω（2）)}5,4,3(),5,4,2(),5,3,2(),4,3,2(),5,4,1(),5,3,1(),4,3,1(),5,2,1(),4,2,1(),3,2,1{(＝Ω5个球中选3各球进行组合，有1035＝C 种。
（3）}109876543{，，，，，，，＝Ω最少抽取的次数是每次取出的都是次品；最多抽取的次数是把10只产品全部取出，总能抽出3个是次品。
（4）用数字1代表正品，数字0代表次品；样本空间包括查出2件是次品和查满4件产品这两种情况。
)}1,1,1,0(),1,1,1,1(),1,0,1,1(),1,1,0,1(),0,1,1,1(),0,0,1,1(),0,1,0,1(),0,1,1,0(),0,0,1(),0,1,0(),0,0{(＝Ω2、工厂对一批产品作出厂前的最后检查，用抽样检查方法，约定，从这批产品中任意取出4件产品来做检查，若4件产品全合格就允许这批产品正常出厂；若有1件次品就再作进一步检查；若有2件次品则将这批产品降级后出厂；若有2件以上次品就不允许出厂。
试写出这一试验的样本空间，并将“正常出厂”、“再作检查”、“降级出厂”、“不予出厂”这4个事件用样本空间的子集表示。
解：用数字1代表正品，数字0代表次品设＝“正常出厂”； ＝“再作检查”； ＝“降级出厂”；D ＝“不予出厂”)}1,1,1,1{(＝A)}0,1,1,1(),1,0,1,1(),1,1,0,1(),1,1,1,0{(=B)}0,0,1,1(),0,1,0,1(),1,0,0,1(),1,1,0,0(),1,0,1,0(),0,1,1,0{(=C )}0,0,0,0(),0,0,0,1(),0,0,1,0(),0,1,0,0(),1,0,0,0{(=D)}0,0,0,0(),0,0,0,1(),0,0,1,0(),0,1,0,0(),1,0,0,0(),0,0,1,1(),0,1,0,1(),1,0,0,1(),1,1,0,0(),1,0,1,0(),0,1,1,0(),0,1,1,1(),1,0,1,1(),1,1,0,1(),1,1,1,0(),1,1,1,1{(=⋃⋃⋃=ΩDC B A3、设A 、B 、C 是三个事件，试用A 、B 、C 的运算关系表示下列事件： （1）A 与B 都发生，但C 不发生；（2）A 发生，但B 与C 可能发生也可能不发生； （3）这三个事件都发生； （4）这三个事件都不发生； （5）这三个事件中至少有一个发生； （6）这三个事件中最多有一个发生； （7）这三个事件中至少有两个发生； （8）这三个事件中最多有两个发生； （9）这三个事件中恰有一个发生； （10）这三个事件中恰有两个发生。
概率论与数理统计习题解答全稿(1-7)
习题一1．设C B A ,,为随机试验的三个随机事件，试将下列事件用C B A ,,表示出来．（1）仅仅A 发生；（2）所有三个事件都发生；（3）A 与B 均发生，C 不发生；（4）至少有一个事件发生；（5）至少有两个事件发生；（6）恰有一个事件发生；（7）恰有两个事件发生；（8）没有一个事件发生；（9）不多于两个事件发生．解：（1）C B A ；（2）ABC ；（3）C AB ；(4)C B A ；(5)AC BC AB ；(6)C B A C B A C B A ；（7）C AB C B A BC A ；（8）C B A ；（9）ABC ．2．写出下列随机试验的样本空间（1）同时掷三颗骰子，记录三颗骰子的点数之和；（2）将一枚硬币抛三次，观察出现正反面的各种可能结果；（3）对一目标进行射击，且到击中5次为止，记录射击的次数；（4）将一单位长的线段分为三段，观察各段的长度；（5）从分别标有号码1，2， ，10的10个球中任意取两球，记录球的号码．解：（1）{3，4，5， ，18}；（2）{}TTT THT TTH THH HTT HTH HHT HHH ,,,,,,,;(3) {5,6,7, }；(4) }{1,0,0,0:),,(=++>>>z y x z y x z y x ;(5)}{n m n m n m ≠≤≤≤≤,101,101:),(．3．将12个球随机地放入20个盒子，试求每个盒子中的球不多于1个的概率．解：设)(A P 表式所求的概率，则：12122020!12.)(C A P =≈0.01473． 4．将10本书任意地放在书架上，其中有一套4卷成套的书，求下列事件的概率：（1）成套的书放在一起；（2）成套的书按卷次顺序排好放在一起．解： （1）设)(A P 表示所求的概率，则：)(A P =301!10!4!7=⋅． （2）设)(B P 表示所求的概率，则：)(B P =7201!10!7=． ５．一辆公共汽车出发前载有５名乘客，每一位乘客独立的在七个站中的任一个站离开，试求下列事件的概率：（1）第七站恰好有两位乘客离去；（2）没有两位及两位以上乘客在同一站离去． 解：5名乘客在七个站中的任意一个站离开的结果总数57=n ．（1）第七站恰好有两位乘客离去，其方法数3256⋅=C m ，故设)(A P 为所求概率，则：1285.076)(5325=⋅=C A P ． （2）设=B {没有两位及两位以上乘客在同一站离去}，则：1499.07!5)(557=⋅=C B P ． 6．有一个随机数发生器，每一次等可能的产生9,,2,1,0 十个数字，由这些数字随机编成的n 位数码（各数字允许重复），从全部n 位数码中任意选取一个，其最大数字不超过k （9≤k ）的概率．解：设)(A P 表式所求的概率，则由全部n 位数码的总数为n10，得：n nk A P 10)1()(+=． ７．一元件盒中有50个元件，期中25件一等品，15件二等品，10件次品，从中任取10件，求：（1）恰有两件一等品，两件二等品的概率；（2）恰有两件一等品的概率；（3）没有次品的概率．解：（1）设)(A P 为所求概率，则：41050610215225104397.6)(-⨯=⋅⋅=C C C C A P ． （2）设)(B P 为所求概率，则：03158.0)(1050825225=⋅=C C C B P ． （3）设)(C P 为所求概率，则：0825.0)(10501040==C C C P ． ８．有10个人分别佩戴者标号从1号到10号的纪念章，任意选出3人，记下其纪念章的号码，试求：（1）最小的号码为5的概率；（2）最大的号码为5的概率．解：从10人中任意选3人纪念章号码的总数为310C n =，（1）最小号码为5，则余下2个在6—10中选，即25C m =，设)(A P 为所求概率，则： 083.0)(31025==C C A P ． （2）同理设)(B P 为所求概率，则：05.0)(31024==C C A P ． 9．设事件B A ,及B A 的概率分别为q p ,和r ，试求：)(),(),(),(B A P B A P B A P AB P ． 解：r q p B A P B P A P AB P -+=-+=)()()()( ；p r A P A B P A B P B A P -=-=-=)()()()( （单调性）； q r B P B A P B A P B A P -=-=-=)()()()( （单调性）；r B A P B A P B A P -=-==1)(1)()( ．10．一批产品共100件，其中5件不合格．若抽检的5件产品中有产品不合格，则认为整批产品不合格，试问该批产品被拒绝接收的概率是多少？解：（法一）设i A ={抽检的5件产品中第i 件不合格}，i =1,2,3,4,5则所求概率为：∑===5151)()(i i i i A P A P )()()()()(54321A P A P A P A P A P ++++= 2304.0510055510019545510029535510039525510049515≈++++=C C C C C C C C C C C C C C ． （法二） 2304.01)(1)(5100595051≈-=-==C C A P A P i i ． 11．设A 和B 是试验E 的两个事件，且21)(,31)(==B P A P ，在下述各种情况下计算概率)(A B P ：（1）B A ⊂；（2）A 和B 互不相容；（3）81)(=AB P ． 解：（1）613121)()()()(=-=-=-=A P B P A B P A B P ．（2）21)()(==B P A B P ． （3）838121)()()()(=-=-=-=AB P B P A B P A B P ． 12．现有两种报警系统A 与B ，每种系统单独使用时，系统A 有效的概率为0.92，系统有效的概率为0.93 ．装置在一起后，至少有一个系统有效的概率则为0.988，试求装置后：（1）两个系统均有效的概率；（2）两个系统中仅有一个有效的概率．解：（1）所求概率为)(AB P ，得：)()()()(B A P B P A P AB P -+=862.0988.093.092.0=-+=；（2）所求概率为)(B A B A P ，得：)(B A B A P )()(B A P B A P +=)()()()(AB P B P AB P A P -+-=126.0862.0293.092.0=⨯-+=．13．10把钥匙上有3把能打开门，今任取2把，求能打开门的概率．解：（法一）从10把钥匙中任取2把的试验结果总数45210==C n ，能打开门意味着取到的二两把钥匙至少有一把能打开门，其取法数24171323=+=C C C m ，故设)(A P 为所求概率，则：158)(210231713=+=C C C C A P ．（法二）记A 为“能打开门”，则=A “两把钥匙皆开不了门”，于是158452111)(1)(21027=-=-=-=C C A P A P ． 14．一个盒子中有24个灯泡，其中有4个次品，若甲从盒中随机取走10个，乙取走余下的14个，求4个次品灯泡被一人全部取走的概率．解：设=A {次品灯泡全部被甲取走}，=B {次品灯泡全部被乙取走}，则B A ,互不相容，所求概率为：)()()(B P A P B A P += 1140.0424414424410=+=C C C C ． 15．设将5个球随意地放入3个盒子中，求每个盒子内至少有一个球的概率．解：5个球随意地放入3个盒子中事件总数53=n ，3个盒子中一个或两个盒子中有球数为332533153p C p C m ++=，设所求概率为)(A P ，则：8150331)(533253315=++-=p C p C A P ． 16．已知1A 和2A 同时发生，则A 必发生，证明：1)()()(21-+≥A P A P A P ． 证明：由已知，A A A ⊂21，再由单调性，)()(21A P A A P ≤，则)()()()()(212121A A P A P A P A A P A P -+=≥,1)(021≤≤A A P ．1)()()()()()()(21212121-+≥-+=≥∴A P A P A A P A P A P A A P A P ．17．掷一枚均匀硬币直到出现三次正面才停止，问正好在第六次停止的情况下，第五次也是正面的概率是多少？解：设=A {第五次出现正面}，=B {第六次停止}，则：52)21()21()()()|(256146===C C B P AB P B A P ． 18．证明：0)()|(>>A P B A P ，则)()|(B P A B P >． 证明：)()|()()()()|(B P B A P AB P A P AB P A B P =>=，即证． 19．设事件B A ,互不相容，且0)(>B P ，试证：)(1)()|(B P A P B A P -=． 证明：)(1)()()()|(B P A P B P B A P B A P -=互不相容． 20．将两颗均匀骰子同时掷一次，已知两个骰子的点数之和是奇数，求两个骰子的点数之和小于8的概率．解：此事件的样本空间由36个样本点组成，设=A {两个骰子的点数之和小于8}，=B {两个骰子的点数之和是奇数}，则3618)(=B P ，3612)(=AB P ，于是： 322131)()()|(===B P AB P B A P ． 21．设10件产品中有4件是次品，从中任取两件，试求在所取得的产品中发现有一件是次品后，另一件也是次品的概率．解：设=A {所取得两件中至少有一件是次品}，=B {所取得两件产品都是次品}，B AB A B =∴⊂, ．而321)(1)(21026=-=-=C C A P A P ，152)(21024==C C B P ，所求概率为：5132152)()()()()|(====A P B P A P AB P A B P ． 22． 10件产品有6件是正品，4件次品，对它们逐一进行检查，问下列事件的概率是多少？（1）最先两次抽到的都是正品；（2）第一、三次抽到正品，第二、四次抽到次品；（3）在第五次检查时发现最后一个次品．解：设i A ={第i 次抽到的是正品}，i =1,2,3,4,5,6．则 (1)3195106)|()()(12121=⋅=⋅=A A P A P A A P ; (2) )(4321A A A A P )|()|()|()(3214213121A A A A P A A A P A A P A P =141738594106=⋅⋅⋅=； (3) 设=B {第五次检查时发现最后一个次品}，则2104)(151********=*=C C C C C B P ． 23．某人忘记电话号码的最后一个数字，他仅记得最末一位数字是偶数．现在他试着拨最后一个号码，求他拨号不超过三次而接通电话的概率．解：设=A {接通电话}，=i B {拨号i 次}，i =1，2，3．i B 构成样本空间的一个划分，由全概率公式：)|()()|()()|()()(332211B A P B P B A P B P B A P B P A P ++=532110321522121=⨯+⨯+⨯=． 24．某型号的显像管主要由三个厂家供货，甲、乙、丙三个厂家的产品分别占总产品和的25%、50%、25%，甲、乙、丙三个厂的产品在规定时间内能正常工作的概率分别是0.1、0.2、0.4，求一个随机选取的显像管能在规定时间内正常工作的概率．解：设A ={能在规定时间内正常工作}，i B ={选取第i 个厂家的产品}，i =1，2，3．则由全概率公式：)|()()|()()|()()(332211B A P B P B A P B P B A P B P A P ++=225.04.025.02.05.01.025.0=⨯+⨯+⨯=．25．两批同类产品各自有12件和10件，在每一批产品中有一件次品，无意中将第一批的一件产品混入第二批，现从第二批中取出一件，求第二批中取出次品的概率．解：设=B {第二批中取出次品}，=A {第一批的次品混入第二批}，A A ,构成样本空间的一个有限划分，由全概率公式：0985.01111211112121)|()()|()()(=⨯+⨯=+=A B P A P A B P A P B P ． 26．在一个盒子中装有15个乒乓球，其中有9个新球，在第一次比赛时任意取出三个球，比赛后仍放回原盒中，第二次比赛时，同样任意的取出三个球，求第二次取出三个新球的概率．解：设B={第二次取出3个新球}．可以看出，直接确定B 的概率)(B P 是困难的，原因是，第一次比赛之后，12个乒乓球中的新、旧球的分布情况不清楚，而一旦新旧球的分布情况明确了，那么相应的概率也容易求得．为此，设i A ={第一次取到的3个球中有i 个新球}， i =0，1，2，3．容易判断3210,,,A A A A 构成一个划分．由于3,2,1,0,)(315369==-i C C C A P i i i ，又3,2,1,0,)|(31539==-i C C A B P i i ． 由全概率公式，得：)|()()(30i i i A B P A P B P ∑==∑=--=3023*******)(i i i i C C C C 0893.02070251680756075601680≈+++=． 27．仓库中存有从甲厂购进的产品30箱，从乙厂购进的同类产品25箱，甲厂的每箱装12个，废品率为0.04，乙厂的每箱装10个，废品率0.05，求：(1)任取一箱，从此箱中任取一个为废品的概率；(2)将所有产品开箱后混放，任取一个为废品的概率．解：(1)设=B {取出的是废品}，=A {从甲厂取出}，A A ,构成一个划分，则)|()()|()()(A B P A P A B P A P B P +=0441.005.010251230102504.0102512301230=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=(2) 0441.010********.0102504.01230=⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯ 28．已知一批产品中96%是合格品，用某种检验方法辨认出合格品为合格品的概率是0.98，而误认废品是合格品的概率是0.05，求检查合格的一件产品确系合格的概率．解： 设A ={检查合格产品}，B ={确系合格}．由已知，05.0)|(,98.0)|(,96.0)(===B A P B A P B P ， 由贝叶斯公式：)()|()()|(A P B A P B P A B P =)|()()|()()|()(B A P B P B A P B P B A P B P += 9979.005.004.098.096.098.096.0≈⨯+⨯⨯=． 29．已知5%的男人和0.25%的女人是色盲者，现随机挑选一人，此人恰为色盲者，问此人 是男人的概率为多少（假设男人女人各占总人数的一半）．解：设=A {色盲者}，=B {男人}， B B ,构成样本空间的一个划分，且05.0)|(=B A P ， 0025.0)|(=B A P ，由贝叶斯公式：)()|()()|(A P B A P B P A B P = )|()()|()()|()(B A P B P B A P B P B A P B P +=9524.00025.02105.02105.021=⨯+⨯⨯=． 30．设某种病菌在人口中的带菌率为0.03，由于检验手段不完善，带菌者呈阳性反应的概 率为0.99，而不带菌者呈阳性反应的概率为0.05，若某人检查结果是呈阳性反应，他是带菌者的概率是多少？解：设=A {结果呈阳性}，=B {是带菌者}，则B B ,构成样本空间的一个划分，且 99.0)|(=B A P ，05.0)|(=B A P ，由贝叶斯公式：)()|()()|(A P B A P B P A B P =)|()()|()()|()(B A P B P B A P B P B A P B P += 3798.005.097.099.003.099.003.0=⨯+⨯⨯=． 31．证明：如果)|()|(B A P B A P =，则事件A 和B 相互独立． 证明：由已知和条件概率公式，有)()()()(B P B A P B P AB P =，即)()()()(AB P B P B A P B P =， 即)())(1()()(AB P B P AB A P B P -=-，又A AB ⊂，上式得：)()](1[)]()()[(AB P B P AB P A P B P -=-，有)()()(B P A P AB P =，即A 和B 相互独立．32．设一个n 位二进制数是由n 各“0”或“1”数字组成，每一位出现错误数字的概率是p ，各位数字出现错误与否是独立的，问组成一个不正确的这类二进制数的概率是多少？ 解：每一位出现正确数字的概率是p -1，由已知，各位数字出现正确与否也是独立的，于是所求概率nP A P )1(1)(--=．33.设事件C B A ,,相互独立，且21)(,31)(,41)(===C P B P A P ，试求： （1）三个事件都不发生的概率；（2）三个事件中至少有一个事件发生的概率；（3）三个事件中恰有一个事件发生的概率；（4）至多有两个事件发生的概率.解：（1）41)211)(311)(411()()()()(=---==C P B P A P C B A P ； （2）43411)(1)(=-=-=C B A P C B A P ； （3）)(C B A C B A C B A P )()()(C B A P C B A P C B A P ++=2411213243213143213241=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=； （4）)()()(1)(1C P B P A P ABC P -=-24232131411=⋅⋅-=． 34．甲袋中有3只白球，7只红球，15只黑球；乙袋中有10只白球，6只红球，9只黑球．从两袋中各取一球，试求两球颜色相同的概率．解：设C B A ,,表示两球同为白色、红色和黑色，C B A ,,互不相容，则所求概率为：)()()()(C P B P A P C B A P ++= 3312.025925152562572510253=⨯+⨯+⨯=． 35．两部机床独立的工作，每部机床不需要工人照管的概率分别为0.9和0.85，试求：(1)两部均不需照管的概率； (2)恰有一部需要照管的概率；(3)两部同时需要照管的概率．解：设=A {甲机床不需要工人照管}，=B {乙机床不需要工人照管}，则9.0)(=A P ，85.0)(=B P ，(1)765.085.09.0)()()(=⨯==B P A P AB P (2))()()()()()()(B P A P B P A P B A P B A P B A B A P +=+=22.085.01.015.09.0=⨯+⨯= (3) 015.015.01.0)()()(=⨯==B P A P B A P ．36．求下列系统（图1.6）能正常工作的概率，其框图的字母代表组件，字母相同，下标不同的均为同一类组件，知识装配在不同的位置，A 类组件正常工作的概率为a γ，B 类组件正常工作的概率为b γ，C 类为c γ．解：(1)所求概率为)]()()()[()()()]([BC P C P B P A P C B P A P C B A P -+==c b a c a b a γγγγγγγ-+=．(2)所求概率为)()()()()(5421635241635241A A A A P A A P A A P A A P A A A A A A P -++= )()()(65432165326431A A A A A A P A A A A P A A A A P +--，又654321,,,,,A A A A A A 相互独立，则)33(33)(422642635241a a a a a a A A A A A A P γγγγγγ+-=+-= ．(3)所求概率为 )()()()]())([(22112211n n n n B A P B A P B A P B A B A B A P =)]()()([)]()()()][()()([22221111n n n n B A P B P A P B A P B P A P B A P B P A P -+-+-+= n b a b a )(γγγγ-+=．习题二1、一批晶体管中有9个合格品和3个不合格品，从中任取一个安装在电子设备上，如果取出不合格品不再放回，求在取得合格品以前已取出的不合格品数的概率．解：设在取得合格品以前已取出的不合格品数为随机变量X ，则X 的所有可能取值为：0，1，2，3。
概率论与数理统计课后习题答案
习 题 一1．写出下列随机试验的样本空间及下列事件中的样本点：（1）掷一颗骰子，记录出现的点数. A =‘出现奇数点’；（2）将一颗骰子掷两次，记录出现点数.A =‘两次点数之和为10’，B =‘第一次的点数，比第二次的点数大2’；（3）一个口袋中有5只外形完全相同的球，编号分别为1,2,3,4,5；从中同时取出3只球，观察其结果，A =‘球的最小号码为1’；（4）将,a b 两个球，随机地放入到甲、乙、丙三个盒子中去，观察放球情况，A =‘甲盒中至少有一球’；（5）记录在一段时间内，通过某桥的汽车流量，A =‘通过汽车不足5台’，B =‘通过的汽车不少于3台’。
解 （1）123456{,,,,,}S e e e e e e =其中i e =‘出现i 点’1,2,,6i =，135{,,}A e e e =。
（2）{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)S =(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}；{(4,6),(5,5),(6,4)}A =； {(3,1),(4,2),(5,3),(6,4)}B =。
（3）{(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5),(1,3,4),(1,4,5),(1,2,4),(1,2,5)S = （4）{(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),S ab ab ab a b a b b a =---------(,,),(,,,),(,,)}b a a b b a ---，其中‘-’表示空盒；{(,,),(,,),(,,),(,,),(,,)}A ab a b a b b a b a=------。
（5）{0,1,2,},{0,1,2,3,4},{3,4,}S A B ===。
2．设,,A B C 是随机试验E 的三个事件，试用,,A B C 表示下列事件：（1）仅A 发生；（2）,,A B C 中至少有两个发生； （3）,,A B C 中不多于两个发生； （4）,,A B C 中恰有两个发生； （5）,,A B C 中至多有一个发生。
概率论与数理统计
概率论与数理统计 习题参考答案（仅供参考） 第一章
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4．设 P(A)＝0.7，P(A－B)＝0.3，试求P(AB)
解 由于 AB = A – AB, P(A)=0.7 所以 P(AB) = P(AAB) = P(A)P(AB) = 0.3,
所以 P(AB)=0.4, 故 P(AB) = 10.4 = 0.6.
（4） 取到三颗棋子颜色相同的概率.
解
(1) 设 A={取到的都是白子} 则
P( A) C83 14 0.255. C132 55
(2) 设 B={取到两颗白子, 一颗黑子}
P(B)
C82C41 C132
0.509 .
(3) 设 C={取三颗子中至少的一颗黑子}
P( C) 1 P (A ) 0 . 7. 4 5
P( A2
|B
) P( Ai )P B( P(B )
A| i
) 0 . 1 5 0 .39 0
0.1268
0.8624
P( A3
|B
) P( Ai )P B( P(B )
A| i
) 0 . 0 5 0 .31 0 0 . 0 0 0 1 0.8624
由于 P( A1|B) 远大于 P( A3|B), P( A2|B), 因此可以认为这批货物的损坏率为 0.2.
2. 设 A、B、C 为三个事件，用 A、B、C 的运算关系表示下列事件： （1）A 发生，B 和 C 不发生； （2）A 与 B 都发生，而 C 不发生； （3）A、B、C 都发生； （4）A、B、C 都不发生； （5）A、B、C 不都发生； （6）A、B、C 至少有一个发生； （7）A、B、C 不多于一个发生； （8）A、B、C 至少有两个发生. 解 所求的事件表示如下
概率论与数理统计课后习题答案
.习 题 一1．写出下列随机试验的样本空间及下列事件中的样本点： （1）掷一颗骰子，记录出现的点数. A =‘出现奇数点’； （2）将一颗骰子掷两次，记录出现点数. A =‘两次点数之和为10’，B =‘第一次的点数，比第二次的点数大2’； （3）一个口袋中有5只外形完全相同的球，编号分别为1,2,3,4,5；从中同时取出3只球，观察其结果，A =‘球的最小号码为1’；（4）将,a b 两个球，随机地放入到甲、乙、丙三个盒子中去，观察放球情况，A =‘甲盒中至少有一球’；（5）记录在一段时间内，通过某桥的汽车流量，A =‘通过汽车不足5台’，B =‘通过的汽车不少于3台’。
解 （1）123456{,,,,,}S e e e e e e =其中i e =‘出现i 点’1,2,,6i =L ，135{,,}A e e e =。
（2）{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)S = (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6) (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6) (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6)(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6) (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}； {(4,6),(5,5),(6,4)}A =； {(3,1),(4,2),(5,3),(6,4)}B =。
（3）{(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5),(1,3,4),(1,4,5),(1,2,4),(1,2,5)S =(2,3,5),(2,4,5),(1,3,5)}{(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5)}A =（4）{(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),S ab ab ab a b a b b a =---------(,,),(,,,),(,,)}b a a b b a ---，其中‘-’表示空盒；{(,,),(,,),(,,),(,,),(,,)}A ab a b a b b a b a =------。
哈工大概率论与数理统计课后习题答案 一
习题一1．写出下列随机试验的样本空间及下列事件中的样本点：（1）掷一颗骰子，记录出现的点数‘出现奇数点’；（2）将一颗骰子掷两次，记录出现点数‘两次点数之和为10’，‘第一次的点数，比第二次的点数大2’；（3）一个口袋中有5只外形完全相同的球，编号分别为1,2,3,4,5；从中同时取出3只球，观察其结果，‘球的最小号码为1’；（4）将a,b两个球，随机地放入到甲、乙、丙三个盒子中去，观察放球情况，‘甲盒中至少有一球’；（5）记录在一段时间（1）其中‘出现i点’，。
（2）(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6)(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6)(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6)(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6)(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}；；。
（3）(2,3,5),(2,4,5),(1,3,5)}（4），其中‘’表示空盒；。
（5）。
2．设A,B,C是随机试验E的三个事件，试用A,B,C表示下列事件：（1）仅A发生；（2）A,B,C中至少有两个发生；·1·（3）A,B,C中不多于两个发生；（4）A,B,C中恰有两个发生；（5）A,B,C中至多有一个发生。
解（1）（2）或；（3）或；（4）；（5）或；3．一个工人生产了三件产品，以表示第i件产品是正品，试用Ai 表示下列事件：（1）没有一件产品是次品；（2）至少有一件产品是次品；（3）恰有一件产品是次品；（4）至少有两件产品不是次品。
解（1）A（2）（3）；1A2A3；；（4）。
4．在电话号码中任取一个电话号码，求后面四个数字全不相同的概率。
解设‘任取一电话号码后四个数字全不相同’，则5．一批晶体管共40只，其中3只是坏的，今从中任取5只，求（1）5只全是好的的概率；（2）5只中有两只坏的的概率。
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习 题 一1．写出下列随机试验的样本空间及下列事件中的样本点：（1）掷一颗骰子，记录出现的点数. A =‘出现奇数点’；（2）将一颗骰子掷两次，记录出现点数. A =‘两次点数之和为10’，B =‘第一次的点数，比第二次的点数大2’；（3）一个口袋中有5只外形完全相同的球，编号分别为1,2,3,4,5；从中同时取出3只球，观察其结果，A =‘球的最小号码为1’；（4）将,a b 两个球，随机地放入到甲、乙、丙三个盒子中去，观察放球情况，A =‘甲盒中至少有一球’； （5）记录在一段时间内，通过某桥的汽车流量，A =‘通过汽车不足5台’，B =‘通过的汽车不少于3台’。
解 （1）123456{,,,,,}S e e e e e e =其中i e =‘出现i 点’1,2,,6i =L ， 135{,,}A e e e =。
（2）{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)S =(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6)(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6)(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6)(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6)(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}；{(4,6),(5,5),(6,4)}A =；{(3,1),(4,2),(5,3),(6,4)}B =。
（3）{(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5),(1,3,4),(1,4,5),(1,2,4),(1,2,5)S = (2,3,5),(2,4,5),(1,3,5)}{(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5)}A =（4）{(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),S ab ab ab a b a b b a =--------- (,,),(,,,),(,,)}b a a b b a ---，其中‘-’表示空盒； {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,)}A ab a b a b b a b a =------。
（5）{0,1,2,},{0,1,2,3,4},{3,4,}S A B ===L L 。
2．设,,A B C 是随机试验E 的三个事件，试用,,A B C 表示下列事件：（1）仅A 发生；（2）,,A B C 中至少有两个发生；（3）,,A B C 中不多于两个发生；（4）,,A B C 中恰有两个发生；（5）,,A B C 中至多有一个发生。
解 （1）ABC（2）AB AC BC U U 或ABC ABC ABC ABC U U U ；（3）A B C U U 或ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC U U U U U U ；（4）ABC ABC ABC U U ；（5）AB AC BC U U 或ABC ABC ABC ABC U U U ；3．一个工人生产了三件产品，以(1,2,3)i A i =表示第i 件产品是正品，试用i A 表示下列事件：（1）没有一件产品是次品；（2）至少有一件产品是次品；（3）恰有一件产品是次品；（4）至少有两件产品不是次品。
解 （1）123A A A ；（2）123A A A U U ；（3）123123123A A A A A A A A A U U ；（4）121323A A A A A A U U 。
4．在电话号码中任取一个电话号码，求后面四个数字全不相同的概率。
解 设A =‘任取一电话号码后四个数字全不相同’，则4104126()0.50410250P P A === 5．一批晶体管共40只，其中3只是坏的，今从中任取5只，求（1）5只全是好的的概率；（2）5只中有两只坏的的概率。
解 （1）设A =‘5只全是好的’，则537540()0.662C P A C =B ； （2）设B =‘5只中有两只坏的’，则23337540()0.0354C C P B C =B . 6．袋中有编号为1到10的10个球，今从袋中任取3个球，求（1）3个球的最小号码为5的概率；（2）3个球的最大号码为5的概率.解 （1）设A =‘最小号码为5’，则253101()12C P A C ==；（2）设B =‘最大号码为5’，则243101()20C P B C ==. 7．（1）教室里有r 个学生，求他们的生日都不相同的概率；（2）房间里有四个人，求至少两个人的生日在同一个月的概率.解 （1）设A =‘他们的生日都不相同’，则365()365r r P P A =； （2）设B =‘至少有两个人的生日在同一个月’，则212223214121141241212441()1296C C P C C C P C P B +++==； 或412441()1()11296P P B P B =-=-=. 8．设一个人的生日在星期几是等可能的，求6个人的生日都集中在一个星期中的某两天，但不是都在同一天的概率.解 设A =‘生日集中在一星期中的某两天，但不在同一天’，则2676(22)()0.011077C P A -==. 9．将,,,,,,C C E E I N S 等7个字母随机地排成一行，那么恰好排成英文单词SCIENCE 的概率是多少解1 设A =‘恰好排成SCIENCE ’将7个字母排成一列的一种排法看作基本事件，所有的排法：字母C 在7个位置中占两个位置，共有27C 种占法，字母E 在余下的5个位置中占两个位置，共有25C 种占法，字母,,I N C 剩下的3个位置上全排列的方法共3！种，故基本事件总数为22753!1260C C ⋅⋅=，而A 中的基本事件只有一个，故227511()3!1260P A C C ==⋅⋅； 解2 七个字母中有两个E ，两个C ，把七个字母排成一排，称为不尽相异元素的全排列。
一般地，设有n 个元素，其中第一种元素有1n 个，第二种元素有2n 个…，第k 种元素有k n 个12()k n n n n +++=L ，将这n 个元素排成一排称为不尽相异元素的全排列。
不同的排列总数为12!!!!k n n n n L ， 对于本题有141()7!7!12602!2!P A ===. 10．从0,1,2,,9L 等10个数字中，任意选出不同的三个数字，试求下列事件的概率：1A =‘三个数字中不含0和5’，2A =‘三个数字中不含0或5’，3A =‘三个数字中含0但不含5’.解 3813107()15C P A C ==. 333998233310101014()15C C C P A C C C =+-=， 或182231014()1()115C P A P A C =-=-=， 2833107()30C P A C ==. 11．将n 双大小各不相同的鞋子随机地分成n 堆，每堆两只，求事件A =‘每堆各成一双’的概率.解 n 双鞋子随机地分成n 堆属分组问题，不同的分法共(2)!(2)!2!2!2!(2!)n n n =L ‘每堆各成一双’共有!n 种情况，故 2!()(2)!n n P A n ⋅= 12．设事件A 与B 互不相容，()0.4,()0.3P A P B ==，求()P AB 与()P A B U解 ()1()1()()0.3P AB P A B P A P B =-=--=U因为,A B 不相容，所以A B ⊃，于是()()0.6P A B P A ==U13．若()()P AB P AB =且()P A P =，求()P B .解 ()1()1()()()P AB P A B P A P B P AB =-=--+U由()()P AB P AB =得()1()1P B P A p =-=-14．设事件,A B 及A B U 的概率分别为,,p q r ，求()P AB 及()P A B U 解 ()()()()P AB P A P B P A B p q r =+-=+-U()()()()()1()()()P A B P A P B P AB P A P B P A P AB =+-=+--+U 11q p q r p r =-++-=+-.15．设()()0.7P A P B +=，且,A B 仅发生一个的概率为，求,A B 都发生的概率。
解1 由题意有0.5()()()P AB AB P AB P AB =+=+()()()()P A P AB P B P AB =-+-0.72()P AB =-，所以()0.1P AB =.解2 ,A B 仅发生一个可表示为A B AB -U ，故0.5()()()()2(),P A B P AB P A P B P AB =-=+-U所以()0.1P AB =.16．设()0.7,()0.3,()0.2P A P A B P B A =-=-=，求()P AB 与()P AB . 解 0.3()()()0.7()P A B P A P AB P AB =-=-=-，所以()0.4P AB =，故()0.6P AB =；0.2()()()0.4P B P AB P B =-=-.所以()0.6P B =()1()1()()()0.1P AB P A B P A P B P AB =-=--+=U17．设AB C ⊂，试证明()()()1P A P B P C +-≤[证] 因为AB C ⊂，所以()()()()()()()1P C P AB P A P B P A B P A P B ≥=+-≥+-U故()()()1P A P B P C +-≤. 证毕.18．对任意三事件,,A B C ，试证()()()()P AB P AC P BC P A +-≤.[证] ()()()()()()P AB P AC P BC P AB P AC P ABC +-≤+-()P AB AC =U {()}()P A B C P A =≤U . 证毕.19．设,,A B C 是三个事件，且1()()(),()()04P A P B P C P AB P BC =====，1()8P AC =，求,,A B C 至少有一个发生的概率。
解 ()()()()()()()()P A B C P A P B P C P AB P AC P BC P ABC =++---+U U 因为 0()()0P ABC P AB ≤≤=，所以()0P ABC =，于是315()488P A B C =-=U U 20．随机地向半圆0y <<（a 为正常数）内掷一点，点落在园内任何区域的概率与区域的面积成正比，求原点与该点的连线与x 轴的夹角小于/4π的概率.解：半圆域如图设A =‘原点与该点连线与x 轴夹角小于/4π’由几何概率的定义2221142()12a a A P A a ππ+==的面积半园的面积112π=+ 21．把长为a 的棒任意折成三段，求它们可以构成三角形的概率.解1 设A =‘三段可构成三角形’，又三段的长分别为,,x y a x y --，则0,0,0x a y a x y a <<<<<+<，不等式构成平面域S .A 发生2a x y a <+< 不等式确定S 的子域A ，所以1()4A P A ==的面积S 的面积解2 设三段长分别为,,x y z ，则0,0,0x a y a z a <<<<<<且S . A 发生x y z ⇔+>x z y +>y z x +> 不等式确定S 的子域A ，所以1()4A P A ==的面积S 的面积. 22．随机地取两个正数和，这两个数中的每一个都不超过1，试求x 与y 之和不超过1，积不小于的概率.S .A =‘1,0.09x y xy +≤≥’则A 发生的 充要条件为01,10.09x y xy ≤+≤≥≥不 等式确定了S 的子域A ，故0.90.10.9()(1)A P A x dx x==--⎰的面积S 的面积 0.40.18ln30.2=-=23．（蒲丰投针问题）在平面上画出等距离(0)a a >的一些平行线，向平面上随机地投掷一根长()l l a <的针，求针与任一平行线相交的概率.解 设A =‘针与某平行线相交’，针落在平面上的情况不外乎图中的几种， 设x 为针的中点到最近的一条平行线的距离。