哈工大概率论答案-习题四
哈工大概率论与数理统计模拟试题(四)
概率论与数理统计模拟试题（四）一、填空题（每小题3分，共5小题，满分15分）1．若事件,A B 满足(|)(|)P B A P B A =，则(|)P B A =__________.2．在区间)1,0(中随机地取两个数，则“两数之和小于5/6” 的概率为__________.3．设随机变量,X Y 相互独立，且都服从区间[0,1]的均匀分布，则1{}2P X Y +≤= .4．随机变量,X Y 独立同分布，2EX =. (5)0.7P XY <=， (3)0.3P XY ≤=，用切比晓夫不等式估计DXY .5．设由来自总体2~(,0.9)X N μ容量为9的样本的样本均值5x =，则未知参数μ的置信度为0.95的置信区间是 .二、选择题（每小题3分，共5小题，满分15分）（每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，把所选项的字母填在题后的括号内）1．随机事件A 、C 满足(|)(|)1P A A C P C A C +++=，则下列正确的是（A ）A 、C 不相容 （B ）A 、C 独立（C ）AC ，A C +独立 （D ）(|)(|)1P A C P C A +=2．设随机变量X 服从指数分布，则随机变量min(,2)Y X =的分布函数（ ）（A ）是连续函数； （B ）至少有两个间断点；（C ）是阶梯函数； （D ）恰好有一个间断点.3．对于任意两个随机变量X 和Y ，若其方差存在，则与X 和Y 不相关（即0XY ρ=）等价的是（ ）（A ）X 与Y 独立; （B ）EXY EXEY =;（C ）X 与Y 不独立; （D ）DXY DX DY =⋅.4．设随机变量X 的方差为25，则根据切比雪夫不等式，有{}||10P X EX -<（ ）（A ）0.25≤； （B ）0.75≤； （C ）0.75≥； （D ）0.25≥.5．总体~()X P λ，抽取简单随机样本1,,n X X . 设2,X S 为样本均值，样本方差. 若2(32)aX a S +-为λ的无偏估计，则a = .（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4三、（10分）袋中有8个正品，2个次品，任取3个，取后不放回，若第3次取到的是次品，求前2次取到的是正品的概率.四、（10分）设随机变量X 与Y 独立，2~(,)X N μσ，Y 服从[,]ππ-的均匀分布，试求Z X Y =+的概率密度五、（10分）设随机变量(,)X Y 具有概率密度1(),0,2,(,)80,x y x y f x y ⎧+≤≤⎪=⎨⎪⎩其它求,,Cov(,),,()XY EX EY X Y D X Y ρ+.六、（14分）已知总体X 在区间12[,]θθ的服从均匀分布，1,,n x x 是取自X 的一个样本，求12,θθ的矩估计和极大似然估计.七、（6分）产品的次品率为. 每天抽查4次，每次随机取3只，若发现3只中次品数多于1个，则要进行调整，记X为每天调整次数，求EX.。
概率论第4章习题参考解答
概率论第4章习题参考解答 1. 若每次射击中靶的概率为0.7, 求射击10炮, 命中3炮的概率, 至少命中3炮的概率, 最可能命中几炮. 解: 设ξ为射击10炮命中的炮数, 则ξ~B (10,0.7), 命中3炮的概率为 =⨯⨯==733103.07.0}3{C P ξ0.0090至少命中3炮的概率, 为1减去命中不到3炮的概率, 为=⨯⨯-=<-=≥∑=-2010103.07.01}3{1}3{i i i i C P P ξξ0.9984因np +p =10×0.7+0.7=7.7不是整数, 因此最可能命中[7.7]=7炮. 2. 在一定条件下生产某种产品的废品率为0.01, 求生产10件产品中废品数不超过2个的概率. 解: 设ξ为10件产品中的废品数, 则ξ~B (10,0.01), 则废品数不超过2个的概率为=⨯⨯=≤∑=-20101099.001.0}2{i i i iC P ξ0.99993. 某车间有20部同型号机床, 每部机床开动的概率为0.8, 若假定各机床是否开动彼此独立, 每部机床开动时所消耗的电能为15个单位, 求这个车间消耗电能不少于270个单位的概率. 解: 设每时刻机床开动的数目为ξ, 则ξ~B (20,0.8), 假设这个车间消耗的电能为η个单位, 则η=15ξ, 因此2061.02.08.0}18{}15270{}27015{}270{20182020=⨯⨯==≥=≥=≥=≥∑=-i i i iC P P P P ξξξη4. 从一批废品率为0.1的产品中, 重复抽取20个进行检查, 求这20个产品中废品率不大于0.15的概率. 解: 设这20个产品中的废品数为ξ, 则ξ~B (20,0.1), 假设这20个产品中的废品率为η, 则η=ξ/20. 因此∑=-⨯⨯=≤=≤=≤320209.01.0}3{}15.020{}15.0{i i i iC P P P ξξη=0.8675. 生产某种产品的废品率为0.1, 抽取20件产品, 初步检查已发现有2件废品, 问这20件中, 废品不少于3件的概率. 解: 设ξ为这20件产品中的废品数, 则ξ~B (20,0.1), 又通过检查已经知道ξ定不少于2件的条件, 则要求的是条件概率}2{}23{}2|3{≥≥⋂≥=≥≥ξξξξξP P P因事件}3{}2{≥⊃≥ξξ, 因此2}23{≥=≥⋂≥ξξξ因此5312.06083.02852.019.01.0209.019.01.01}{1}2{1}{}2{1}{}2{}{}{}{}2{}3{}2|3{192018222010202202202202203=-=⨯⨯--⨯⨯-==-=-===-===-=====≥≥=≥≥∑∑∑∑∑∑======C i P P i P P i P P i P i P i P P P P i i i i i i ξξξξξξξξξξξξξ6. 抛掷4颗骰子, ξ为出现1点的骰子数目, 求ξ的概率分布, 分布函数, 以及出现1点的骰子数目的最可能值. 解: 因掷一次骰子出现一点的概率为1/6, 则ξ~B (4,1/6), 因此有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛<==⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯==∑≤--4140656100)(),4,3,2,1,0(6561}{4444x x C x x F k C k P x k kk k kk kξ或者算出具体的值如下所示： ξ 0 1 2 3 4 P0.48230.38580.11570.01540.0008⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤<≤<≤<=41439992.0329838.0218681.0104823.000)(x x x x x x x F从分布表可以看出最可能值为0, 或者np +p =(4/6)+1/6=5/6小于1且不为整数, 因此最可能值为[5/6]=0. 7. 事件A 在每次试验中出现的概率为0.3, 进行19次独立试验, 求(1)出现次数的平均值和标准差; (2)最可能出现的次数. 解: 设19次试验中事件A 出现次数为ξ, 则ξ~B (19,0.3), 因此 (1)ξ的数学期望为E ξ=np =19×0.3=5.7 方差为Dξ=np (1-p )=19×0.3×0.7=3.99标准差为997.199.3===ξσξD(2)因np +p =5.7+0.3=6为整数, 因此最可能值为5和6. 8. 已知随机变量ξ服从二项分布, E ξ=12, D ξ=8, 求p 和n . 解: 由E ξ=np =12 (1) 和D ξ=np (1-p )=8 (2) 由(1)得n =12/p , 代入到(2)得 12(1-p )=8, 解出p =(12-8)/12=1/3=0.3333 代回到(1)式得n =12/p =12×3=36 9. 某柜台上有4个售货员, 并预备了两个台秤, 若每个售货员在一小时内平均有15分钟时间使用台秤, 求一天10小时内, 平均有多少时间台秤不够用. 解: 每个时刻构成一n =4的贝努里试验, 且p =15/60=0.25, 因此, 设ξ为每个时刻要用秤的售货员数, 则ξ~B (4, 0.25), 当ξ>2时, 台秤不够用. 因此每时刻台秤不够用的概率为=+⨯⨯=>433425.075.025.0)2(C P ξ0.0508因此10个小时内平均有0.0508×10=0.508个小时台秤不够用. 10. 已知试验的成功率为p , 进行4重贝努里试验, 计算在没有全部失败的情况下, 试验成功不止一次的概率. 解: 设ξ为4次试验中的成功数, 则ξ~B (4,p ), 事件"没有全部失败"即事件{ξ>0}, 而事件"试验成功不止一次"即事件{ξ>1}, 因此要求的是条件概率P {ξ>1|ξ>0}, 又因事件{ξ>1}被事件{ξ>0}包含, 因此这两个事件的交仍然是{ξ>1}, 因此434141}0{1}1{}0{1}0{}1{}0|1{q pq q P P P P P P ---===-=-=-=>>=>>ξξξξξξξ其中q =1-p 11. ξ服从参数为2,p 的二项分布, 已知P (ξ≥1)=5/9, 那么成功率为p 的4重贝努里试验中至少有一次成功的概率是多少?解: 因ξ~B (2,p ), 则必有9/5)1(1)0(1)1(2=--==-=≥p P P ξξ, 解得3/13/213/219/49/51)1(2=-==-=-=-p p p 则假设η为成功率为1/3的4重贝努里试验的成功次数, η~B (4,1/3), 则802.081161321)1(1)0(1)1(44=-=⎪⎭⎫⎝⎛-=--==-=≥p P P ηη12. 一批产品20个中有5个废品, 任意抽取4个, 求废品数不多于2个的概率解: 设ξ为抽取4个中的废品数, 则ξ服从超几何分布, 且有==≤∑=-204204155}2{i i i C C C P ξ0.968 13. 如果产品是大批的, 从中抽取的数目不大时, 则废品数的分布可以近似用二项分布公式计算. 试将下例用两个公式计算, 并比较其结果. 产品的废品率为0.1, 从1000个产品中任意抽取3个, 求废品数为1的概率. 解: 设任抽3个中的废品数为ξ, 则ξ服从超几何分布, 废品数为0.1×1000=100 ===3100029001100}1{C C C P ξ0.2435 而如果用二项分布近似计算, n =3, p =0.1, ξ~B (3,0.1)=⨯⨯≈=2139.01.0}1{C P ξ0.2430近似误差为0.0005, 是非常准确的.14. 从一副朴克牌(52张)中发出5张, 求其中黑桃张数的概率分布. 解: 设ξ为发出的5张中黑桃的张数, 则ξ服从超几何分布, 则)5,4,3,2,1,0(}{5525135213===--i C C C i P i i ξ则按上式计算出概率分布如下表所示: ξ 0 1 2 3 4 5 P0.22150.41140.27430.08150.01070.000515. 从大批发芽率为0.8的种子中, 任取10粒, 求发芽粒数不小于8粒的概率. 解: 设ξ为10粒种子中发芽的粒数, 则ξ服从超几何分布, 但可以用二项分布近似, 其中p =0.8, n =10, 则∑=-⨯⨯=≥10810102.08.0}8{i i i iC P ξ=0.677816. 一批产品的废品率为0.001, 用普哇松分布公式求800件产品中废品为2件的概率, 以及不超过2件的概率. 解: 设ξ为800件产品中的废品数, 则ξ服从超几何分布, 可以用二项分布近似, 则ξ~B (800, 0.001), 而因为试验次数很大废品率则很小, 可以用普阿松分布近似, 参数为 λ=np =800×0.001=0.89526.0!8.0}2{1438.028.0}2{28.08.02=≈≤=≈=∑=--i i e i P e P ξξ 17. 某种产品表面上的疵点数服从普哇松分布, 平均一件上有0.8个疵点, 若规定疵点数不超过1个为一等品, 价值10元, 疵点数大于1不多于4为二等品, 价值8元, 4个以上为废品, 求产品为废品的概率以及产品的平均价值. 解: 设ξ为产品表面上的疵点数, 则ξ服从普哇松分布, λ=0.8, 设η为产品的价值, 是ξ的函数. 则产品为废品的概率为0014.0!8.01}4{1}4{408.0=-=≤-=>∑=-i i e i P P ξξ==≤==∑=-18.0!8.0}1{}10{i i e i P P ξη0.8088==≤<==∑=-428.0!8.0}41{}8{i i e i P P ξη0.1898则产品的平均价值为 Eη = 10×P {η=10}+8×P {η=8}=10×0.8088+8×0.1898=9.6064(元) 18. 一个合订本共100页, 平均每页上有两个印刷错误, 假定每页上印刷错误的数目服从普哇松分布, 计算该合订本中各页的印刷错误都不超过4个的概率. 解: 设ξ为每页上的印刷错误数目, 则ξ服从普哇松分布, λ=2, 则1页印刷错误都不超过4个的概率为 ==≤∑=-402!2}4{i i e i P ξ0.9473而100页上的印刷错误都不超过4个的概率为[]=≤100}4{ξP 0.00445419. 某型号电子管的“寿命”ξ服从指数分布, 如果它的平均寿命E ξ=1000小时, 写出ξ的概率密度, 并计算P (1000<ξ≤1200). 解: 因Eξ=1000=1/λ, 其概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-0010001)(1000x x ex xϕ0667.0)12001000(2.111000120010001000=-=-=≤<----e e ee P ξ20. ξ~N (0,1), Φ0(x )是它的分布函数, φ0(x )是它的概率密度, Φ0(0), φ0(0), P (ξ=0)各是什么值? 解: 因有 20221)(x ex -=πϕ, ⎰∞--=Φxt dt ex 20221)(π, 因此φ0(x )为偶函数, 由对称性可知Φ0(0)=0.5, 并有πϕ21)0(0=,因ξ为连续型随机变量, 取任何值的概率都为0, 即P (ξ=0)=0.21. 求出19题中的电子管在使用500小时没坏的条件下, 还可以继续使用100小时而不坏的概率?解: 要求的概率为P (ξ>600|ξ>500), 因此905.0}500{}600{}500|600{1.010005001000600===>>=>>---e e eP P P ξξξξ22. 若ξ服从具有n 个自由度的χ2-分布, 证明ξ的概率密度为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<≥⎪⎭⎫ ⎝⎛Γ=---022)(21212x x e n x x x nn ϕ称此分为为具有n 个自由度的χ-分布 证: 设ξη=, 则因ξ的概率密度函数为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤>⎪⎭⎫ ⎝⎛Γ=--0221)(2122x x e x n x xn nξϕη的分布函数为)0()()()()()(22>=≤=≤=≤=x x F x P x P x P x F ξηξξη对两边求导得)0(22222)(2)(2121222222>⎪⎭⎫ ⎝⎛Γ=⎪⎭⎫ ⎝⎛Γ==-----x en x en x xx x x x n n x n n ξηϕϕ23. ξ~N (0,1), 求P {ξ≥0}, P {|ξ|<3}, P {0<ξ≤5}, P {ξ>3}, P {-1<ξ<3} 解: 根据ξ的对称性质及查表得: P {ξ≥0}=1-Φ0(0)=0.5 P {|ξ|<3}=2Φ0(3)-1=2×0.99865-1=0.9973 P {0<ξ≤5}=Φ0(5)-0.5=0.5P {ξ>3}=1-Φ0(3)=1-0.99865=0.00135P {-1<ξ<3}=Φ0(3)-Φ0(-1)=Φ0(3)+Φ0(1)-1=0.99865+0.8413-1=0.83995 24. ξ~N (μ,σ2), 为什么说事件"|ξ-μ|<2σ"在一次试验中几乎必然出现?解: 因为)1,0(~N σμξ- 19545.0197725.021)2(2}2{}2|{|0≈=-⨯=-Φ=<-=<-σμξσμξP P因此在一次试验中几乎必然出现.25. ξ~N (10,22), 求P (10<ξ<13), P (ξ>13), P (|ξ-10|<2). 解: 因为)1,0(~210N -ξ6826.018413.021)1(2}1210{}2|10{|0.0668193319.01)5.1(1}5.1210{}13{43319.05.093319.0)0()5.1(}5.12100{}1310{0000=-⨯=-Φ=<-=<-=-=Φ-=>-=>=-=Φ-Φ=<-<=<<ξξξξξξP P P P P P26. 若上题中已知P {|ξ-10|<c }=0.95, P {ξ<d }=0.0668, 分别求c 和d .解: 因为)1,0(~210N -ξ, 则有95.01)2(2}2210{}|10{|0=-Φ=<-=<-cc P c P ξξ 解得975.0295.01)2(0=+=Φc, 查表得,96.12=c得c =3.92 再由5.00668.0)210(}210210{}{0<=-Φ=-<-=<d d P d P ξξ知,0210<-d 因此0668.0)210(1)210(00=-Φ-=-Φdd 即9332.00668.01)210(0=-=-Φd, 查表得5.1210=-d, 解得7310=-=d 27. 若ξ~N (μ,σ2), 对于P {μ-kσ<ξ<μ+kσ}=0.90, 或0.95, 或0.99, 分别查表找出相应的k值.解: 先求P {μ-kσ<ξ<μ+kσ}=0.90对应的k 值. 因)1,0(~N σμξ-, 因此 90.01)(2}{}{0=-Φ=<-=+<<-k k P k k P σμξσμξσμ 即95.0290.01)(0=+=Φk , 查表得k =1.64 同理, 由975.0295.01)(0=+=Φk , 查表得k =1.96 由995.0299.01)(0=+=Φk , 查表得k =2.57 28. 某批产品长度按N (50, 0.252)分布, 求产品长度在49.5cm 和50.5cm 之间的概率, 长度小于49.2cm 的概率.解: 设ξ为产品长度, 则ξ~N (50, 0.252), 且有)1,0(~25.050N -ξ, 则9545.0197725.021)2(2}225.050{}225.0502{}5.505.49{0=-⨯=-Φ=<-=<-<-=<<ξξξP P P0006871.09993129.01)2.3(1)2.3(}25.0502.4925.050{}2.49{00=-=Φ-=-Φ=-<-=<ξξP P29. ξi ~N (0,1)(i =1,2,3), 并且ξ1,ξ2,ξ3相互独立, ∑==3131i i ξξ,∑=-=312)(i i ξξη, 求),cov(,),,cov(1ηξηξξE解: 此题要用到, 两个独立的服从正态分布的随机变量相加后得到的随机变量仍然服从正态分布. 因此, 因为3131,031=⎪⎭⎫ ⎝⎛==∑=i i D D E ξξξ, 则)31,0(~N ξ313131)()cov(2131111==⎪⎭⎫ ⎝⎛==∑=ξξξξξξξE E E i i32313121)cov(2)2()(22222=+⨯-=+-=+-=-ξξξξξξξξξξE E E E i i i i i因此2323)()(312312=⨯=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∑∑==i i i i E E E ξξξξη ξξ-i 也服从正态分布, 且有03131)]([),cov(2=-=-=-=-ξξξξξξξξξE E E i i i即ξ与ξξ-i 不相关, 而因为它们服从正态分布, 因此也就是ξ与ξξ-i 相互独立,则ξ与2)(ξξ-i 也相互独立, 则ξ与η中的加和中的每一项相互独立, 当然也与η相互独立, 因此有0),cov(=ηξ, 因为相互独立的随机变量一定不相关.30. (ξ,η)有联合概率密度22)(21,2122ηξζπ+=+-y x e , 求ζ的概率密度.解: 由联合概率密度看出, ξ与η相互独立服从标准正态分布, 则有 ξ2与η2也相互独立且服从自由度为1的χ2-分布, 即ξ2~χ2(1), η2~χ2(1), 因此ζ=ξ2+η2~χ2(2), 即它的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<>=-00212x x exζϕ即ζ服从λ=1/2的指数分布.。
概率论与数理统计》课后习题答案第四章
习题4.11．设10个零件中有3个不合格． 现任取一个使用，若取到不合格品，则丢弃重新抽取一个，试求取到合格品之前取出的不合格品数X 的数学期望．解 可得X 的概率分布为0123~77711030120120X ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦于是X 的数学期望为7771()012310301201204531208E X =⨯+⨯+⨯+⨯==2．.某人有n 把外形相似的钥匙，其中只有1把能打开房门，但他不知道是哪一把，只好逐把试开．求此人直至将门打开所需的试开次数X 的数学期望．解 可得X 的概率分布为12~111n X nn n ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦于是X 的数学期望为111()121(1)122E X n n n nn n n n =⨯+⨯++⨯++==3．设5次重复独立试验中每次试验的成功率为0.9，若记失败次数为X ，求X 的数学期望。
解 由题意~(5,0.1)X B ，则X 的数学期望为 ()50.10.E X =⨯= 4．设某地每年因交通事故死亡的人数服从泊松分布．据统计，在一年中因交通事故死亡一人的概率是死亡两人的概率的21，求该地每年因交通事故死亡的平均人数。
解 设该地每年因交通事故死亡的人数为X ，由题意X 服从泊松分布() (0)P λλ>.因1{1}{2}2P X P X === 即121 41!22!ee λλλλλ--=⇒= 于是X 的数学期望为()4E X λ== 所以地每年因交通事故死亡的平均人数为4人。
5．设随机变量X 在区间(1,7)上服从均匀分布，求2{()}P X E X <. 解 因X 在区间(1,7)上服从均匀分布，故X 的数学期望为17()42E X +== 于是22{()}{4}1 {22}6P X E X P X P X <=<=<-<<=6．设连续型随机变量X 的概率密度为01() (,0)0 b ax x p x a b ⎧<<=>⎨⎩其它又知()0.75E X =,求,a b 的值解 由密度函数的性质可得()1p x dx +∞-∞=⎰即1111b aax dx b =⇒=+⎰又由()0.75E X =，可得1()0.75b xp x dx x ax dx +∞-∞=⋅=⎰⎰即0.752ab =+ 求解110.752ab a b ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩可得 3,2a b ==.7．设随机变量X 的概率密度为0<1()2 120 x x p x x x <⎧⎪=-≤<⎨⎪⎩其它求数学期望()E X解1201331221()() (2) ()133E X xp x dxx xdx x x dx x x x +∞-∞==⋅+⋅-=+-=⎰⎰⎰8.设随机变量X 的概率分布为X -2 -1 0 1 P 0.2 0.3 0.1 0.4 求 (1)(21)E X -；（2）2()E X .解 (1) (21)2()1E X E X -=- 其中()20.210.3010.40.3E X =-⨯-⨯++⨯=-则(21)2()12(0.3)1 1.6E X E X -=-=⨯--=-(2）22222()0.2(2)0.3(1)0.100.41 1.5E X =⨯-+⨯-+⨯+⨯=9．假设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2，机器发生故障时全天停止工作。
哈工大图论习题[精彩]
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第一章习题1．画出具有4个顶点的所有无向图(同构的只算一个)。
2．画出具有3个顶点的所有有向图(同构的只算一个)。
3．画出具有4个、6个、8个顶点的三次图。
4．某次宴会上，许多人互相握手。
证明：握过奇数次手的人数为偶数(注意，0是偶数)。
5．证明：哥尼斯堡七桥问题无解。
6．设u与v是图G的两个不同顶点。
若u与v间有两条不同的通道(迹)，则G中是否有回路？7．证明：一个连通的(p，q)图中q ≥p-1。
8．设G是一个(p，q)图，δ(G)≥[p/2]，试证G是连通的。
9．证明：在一个连通图中，两条最长的路有一个公共的顶点。
10．在一个有n个人的宴会上，每个人至少有m个朋友(2≤m≤n)。
试证：有不少于m+1个人，使得他们按某种方法坐在一张圆桌旁，每人的左、右均是他的朋友。
11．一个图G是连通的，当且仅当将V划分成两个非空子集V1和V2时，G总有一条联结V1的一个顶点与V2的一个顶点的边。
12．设G是图。
证明：若δ(G)≥ 2，则G包含长至少是δ(G)+1的回路。
13．设G是一个(p，q)图，证明：(a)q≥p，则G中有回路；(b)若q≥p+4，则G包含两个边不重的回路。
14．证明：若图G不是连通图，则G c 是连通图。
15．设G是个(p，q)图，试证：(a)δ(G)·δ(G C)≤[(p-1)/2]([(p+1)/2]+1)，若p≡0，1，2(mod 4)(b) δ(G)·δ(G C)≤[(p-3)/2]·[(p+1)/2]，若p≡3(mod 4)16．证明：每一个自补图有4n或4n+1个顶点。
17．构造一个有2n个顶点而没有三角形的三次图，其中n≥3。
18.给出一个10个顶点的非哈密顿图的例子，使得每一对不邻接的顶点u和v，均有degu+degv≥919．试求Kp中不同的哈密顿回路的个数。
20．试证：图四中的图不是哈密顿图。
21．完全偶图Km，n为哈密顿图的充分必要条件是什么？22．菱形12面体的表面上有无哈密顿回路？23．设G是一个p(p≥3)个顶点的图。
概率论与数理统计 第四章 随机变量的数字特征 练习题与答案详解
概率论与数理统计 第四章 随机变量的数字特征练习题与答案详解（答案在最后）1.假定每个人生日在各个月份的机会是相同的，求三个人中生日在第一季度的人数的平均．2.100个产品中有5个次品，任取10个，求次品个数的数学期望与方差．3.设随机变量X 的概率密度为)(,e 21)(∞<<-∞=-x x p x试求数学期望EX 及方差DX .4.已知随机变量X 的分布函数为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤<≤=，，，，，，4140400)(x x x x x F 试求X 的数学期望EX 方差DX .5.对圆的直径作近似测量，设其值均匀地分布在[]b a ,内，求圆面积的数学期望．6.设随机变量X 概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=其它，，，，020cos )(πx x x f X试求随机变量DY X Y 的方差2=.7.设随机变量ξ只取非负整数值，其概率为{}0)1(1>+==+a a a k P k k，ξ是常数， 试求ξE 及ξD .8.设独立试验序列中，首次成功所需要的次数ξ服从的分布列为：其中q =9.若事件A 在第i 次试验中出现的概率为，i p 设μ是事件A 在起初n 次独立试验中的出现次数，试求μE 及μD .10.随机变量n ξξξ,,,21 独立，并服从同一分布，数学期望为,μ方差为2σ，求这些随机变量的算术平均值∑==ni i n 11ξξ的数学期望与方差．11.设μ是事件A 在n 次独立试验中的出现次数，在每次试验中,)(p A P =再设随机变量η视μ取偶数或奇数而取数值0及1，试求ηE 及ηD .12.设随机变数ξ之概率分布如下：求: (1) ； ]]1[2[2+ξE (2) ])[(2ξξE E -.13.随机变量，)(~x f X⎪⎩⎪⎨⎧<<-≤≤=其它，，，，，，021210)(x x x x x f试计算n EX n (为正整数)．14.随机变量aX Y p n B X e ),,(~=，求随机变量Y 的期望和方差. 15.某种产品每件表面上的疵点数服从泊松分布，平均每件上有8.0个疵点．规定疵点数不超过1个为一等品，价值10元，疵点数大于1不多于4为二等品，价值为8元，4个以上者为废品，求：)1( 产品的废品率；)2( 产品的平均价值．16.一个靶面由五个同心圆组成，半径分别为25,20,15,10,5厘米，假定射击时弹着点的位置为Z Y Z ，),(为弹着点到靶心的距离，且),(Y Z 服从二维正态分布，其密度为200222001),(y x ey x f +-=π，现规定弹着点落入最小的圆域为5分，落入其他各圆域（从小到大）的得分依次为4分，3分，2分，1分，求：)1( 一次射击的平均得分；)2( 弹着点到靶心的平均距离．17.若ξ的密度函数是偶函数，且∞<2ξE ，试证ξ与ξ不相关，但它们不相互独立．18.若ξ与η都是只能取两个值的随机变量，试证如果它们不相关，则独立．答案详解1．每个生日在第一季度的概率是41=p ．设X 表示三个人中生日在第一季度的人数，则X 服从二项分布，，⎪⎭⎫⎝⎛B 413从而X 的平均为43413)(=⨯=X E2．5.0=EX ，11045=DX3．x -e 21为偶函数，⋅x x-e 21为奇函数，所以，由积分性质知0d e 21=⋅=-∞∞-⎰x x EX x（奇函数在对称区间上的积分值为零）=DX x x P X E x X d )()]([2⎰∞∞--=⨯=-∞∞-⎰x x xd e 212x x x d e 02-∞⎰)(d )(202x x x x --∞-=-=⎰ x x x d e 200⎰∞-+∞2d e 20==⎰∞-x x x 4．342==DX EX ，5．设圆的直径为随机变量X ，圆的面积为随机变量，Y 则24)(X X f Y π==，随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=其它，，，，01)(b x a ab x p X ， 于是)(12112 d 14d )()())(()(2232b ab a a b x ab x ab x x x p x f X f E Y E b aX ++=⋅-⋅=-⋅===⎰⎰∞∞-πππ6．2220π-=DY7．⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=+⋅=∑∑∞=∞=+101)1(11)1(k k k k k a a k a a a k E ξ， 令，且，则10)1(<<=+p p a a ，211)1()1()(p p p p p p p kp k k kk -='-='=∑∑∞=∞= 故a aa a aaE =+-+⋅+=2)11(111ξ．采用同样的方法并利用a E =ξ得⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=∑∞=k k a a k a E )1(11122ξ[]k k p k k a ∑∞=+-+=11)1(11 ∑∑∞=∞=-+++=11)1(1111k k k k p k k a kp a ，2322122)1(21)1(1)(1a a p a p a p p a p a p a p a k k +=-⋅++="⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++=''++=∑∞=故)1()2()(2222a a a a a D +=-+=E -E =ξξξ 8．21pqD pE ==ξξ，9．设,21n μμμμ+++= 其中⎩⎨⎧=出现次试验若第出现次试验若第A i A i i ,0,1μ，则∑∑===E =ni i ni i p E 11μμ，由试验独立得诸i μ相互独立，从而知=μD )1(11i ni i ni i p p D -=∑∑==μ10．nD E 2,σξμξ== 11．事件A 出现奇数次的概率记为b ，出现偶数次的概率记为a ，则．，++=++=---3331122200n n n n n n n n q p C pq C b q p C q p C a 利用，，n n p q b a q p b a )(1)(-=-=+=+可解得事件A 出现奇数次的概率为 n n p p q b )21(2121])(1[21--=--=，顺便得到，事件A 出现偶数次的概率为n p a )21(2121-+=．η服从两点分布，由此得，{}{}===出现奇数次事件A P P 1ηn p )21(2121--， {}{}===出现偶数次事件A P P 0ηn p )21(2121-+， 所以，=ηE n p )21(2121--，=ηD ][)21(2121[n p --])21(2121n p -+n p 2)21(4141--=．12．(1) 117； (2) 46513．x x f x EX n n d )(⎰∞∞-=x x x x x x n n d )2(d 2110-⋅+⋅=⎰⎰12)212(012212+-+⋅++=+++n x n x n x n n n)21122212(2122+++-+-+++=++n n n n n n n )2)(1(222++-=+n n n 14．n a n a n a p q p q DY p q EY 22)e ()e ()e (+-+=+=， 15．(1) 0.0014； (2) 9.616．(1) 007.3； (2) π2517．设)(x f 是ξ的密度函数，则)()(x f x f =-，由)(x xf 是奇函数可得，0=ξE 从而0=ξξE E ．又由于)(x f x x 是奇函数及,2∞<ξE 得ξξξξE E x x f x x E ===⎰∞∞-0d )(，故ξ与ξ不相关．由于ξ的密度函数是偶函数，故可选0>c 使得当{}10<<P <c ξ时，也有{}10<<P <c ξ，从而可得 {}{}{}{}c c P c P c P c P <<=<≠<<ξξξξξ,，其中等式成立是由于{}{}c c <⊂<ξξ，由此得不独立与ξξ．18．设⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2,2,1, , 1q p d c p b a q ：，：ηξ．作两个随机变量 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=**2211,0, ,0, q p d c d q p b a b ：，：ηηξξ， 由ξ与η不相关即ηξξηE E E ⋅=得)(bd d b E E +--=**ξηξηηξbd dE bE E E +--=ξηηξ**=--=ηξηξE E d E b E ))((，而，，，}{)(}{)(} {))((d c P d c b a P b a E E d c b a P d c b a E -=-⋅-=-=-=-=--=********ηξηξηξηξ由上两式值相等，再由0))((≠--d c b a 得，，}{}{}{d c P b a P d c b a P -=-==-=-=****ηξηξ 即}{}{}{c P a P c a P =⋅====ηξηξ，． 同理可证}{}{}{d P a P d a P =⋅====ηξηξ，， }{}{}{c P b P c b P =⋅====ηξηξ，， }{}{}{d P b P d b P =⋅====ηξηξ，，从而ξ与η独立．。
概率论第四章 习题答案
1 ⎛2⎞ 1 DX = EX − ( EX ) = − ⎜ ⎟ = . 2 ⎝ 3 ⎠ 18 1 2 DZ = 4 DX = 4 × = . 18 9
【解毕】
9．在一次拍卖中，两人竞买一幅名画，拍卖以暗标的形式进行，并以最高价成交．设两人 的出价相互独立且均服从（1，2）上的均匀分布，求这幅画的期望成交价． 解：设两人的出价分别为随机变量 X , Y ，则这幅画的期望成交价为 Z = max { X , Y } 由题意知， X 与Y 独立，且 X ∼ U (1, 2); Y ∼ U (1, 2) 先求 Z 的分布函数 当 1 < z < 2 时， F ( z ) = P ( Z £ z ) = P (max { X , Y } £ z ) = P ( X £ z ,Y £ z )
= P( X £ z ) P (Y £ z ) = ( z -1)2
当 z £ 1 时， F ( z ) = 0 ；当 z ³ 2 时， F ( z ) = 1 于是 Z 的密度函数为 f ( z ) = ï í
ì2( z -1),1 < z < 2 ï ï 0, 其它 ï î 5 3
EZ = ò
+¥
3 X .求： （ 1）常数 a, b, c; （2） Ee . 4
【解】 （1）由概率密度的性质知，有
+∞ 2 4
1=
又因为
−∞
∫
f ( x )dx = ∫ axdx + ∫ ( cx + b )dx = 2a + 6c + 2b.
0 2
+∞
2
4
2 = EX =
−∞
∫ xf ( x )dx = ∫ xiaxdx + ∫ x ( cx + b )dx
概率论与数理统计(第三版)课后答案习题4
--WORD 格式--可编辑--专业资料-------学习资料分享----lea di ng ca dr es ' aw ar en e s s o f ri g h t i n pl a c e , st u d y t h e p a rt y C o n s ti t ut io n a n d p ar ty r u l e s , s e ri e s o f s p e e c h e s c a n m a k e pr op er eff ect . Pa rty ca dr e s t o "t w o " le a d b y e x a m p l e , t o le ad by ex a m pl e w e mu st cha nge our min d, rec ogn i zing that "tw o" is imp orta nt. Firs t, l e a r n t h e C o m m u n i st P a rt y C o n st i t u t i o n P ar ty ru le s, le ar ni n g le ar ni n g se ri es im po rta nt sp e ec h by Ge n er al S e cr et ar y c a n e n h a n c e t h e o r y . W it h t h e "t h i r d re v ol ut io n " t h e ri s e o f r a pi d c h a n g e s i n o ur lif e ar e fe eli ng , th e C o m m un ist s s h o u l d ad he re to th e th eo ry of c o nf id e n c e w i l l c o n t i n u e t o le ar n fr o m t he voi ce s of the tim es, t h e ti m e s, in t u r n , w i l l h a v e n e w r e q u i r e m e n t s f o r l e a di n g p a rt y c a d r e s. "T w o " is t h e m o s t ba sic m ea ni ng of m e m be r s al l m a s t e ri n g t h e c o r e t h e o r y a n d t h e m o st a d v a n c e d w e a p o n s t h e o r y , c o m pl e m en t th e sp irit of ca l ciu m. S ec on dly , t he Co m mu ni s t P a rt y C o n s ti t u ti o n P a rt y r u l es , le ar ni n g l ea rn i n g s e r ies im po rta nt sp ee ch by Ge ne ral S ec ret ar y be abl e to fir m ly b ui ld t h e i d e o lm u lt i p l e v a l u e s, th e "t w o " is to he l p cu lti va te i nd e p e n d e n t ju d g m e nt in nu mer ous mis cell ane ous mul tipl e c o n c e p t s , so tha t t he ma jori ty co ns en su s of par ty me mb ers , the im po rta n t m a gi c w e a p o n o f t h e p a rt y w it h t h e r e s o n a n c e f r e q u e n c y . F i n a ll y, th e C o n st it ut i on of the Co m mu nis t Par t y , p a r t y r u l e s , l e a r n i n g l e a r nin g seri es imp ort ant spe e ch ca n sta nd cr ow ds, Ge n e r al S e c r et a r y p o s i t i on. N o w, s o m e gr a s s -r o o t s w o r k i n t h e "t h e o l d w a y d i d n't w or k, h ar d w a y c a n n ot , th e n e w a p p r o a c h w o ul d not" phenom enon, sometim es due to a mass of party member s a nd ca dr es no t un de rst a ndi ng, does not meet. In fact, the mass "convi nci ng " an d "i de nti ty "B e hi n d ar e li k el y to b e p a rt y m e m b e r s a n d l e a d i ng ca dr e s th e m se lv e s ig n or in g be lie fs he l d, r e s ul ti n g in la c k o f p e r s u a s i o n a n d s e n s e o f i d e n t i t y . "T wo " is in fa ct gu ar an te e d p a r t y c a dr es w or k, an im p o r t a n t pre req uisi te for con vin cin g t h e m a s s e s . B ac o n sa id it w ell : "p r a c ti c a l m e n c a n h a ndl e indi vid ual mat ter s, but l ooki ng at the whol e oper ation glob ally,b u t o n ly m a nc a nd o t o k n o w le d g e . "Givi ng up" two "effec tive, must first raise aware n e s s of l e a d i ng c a d r e s of part y me mbe rs, as part y me mbe r s l e a r n r e a l r e spo nsib ility" to kno w "to" mus i c "," g o o d "ch a n g e s, in p ar al le l w it h t h e g r o u n d, d o not for get to als o an sw er the a n t e n n a , d r a w ca tc he s on m et eo ro l o g y , w hi c h s it b e t w e e n h e a v e n a nd Ea rt h wh i ch me l ds tog et he r th e dr ea m s of pr a c t i c i n g C o m m u ni st. M e m b e r s c a d r e s s h o ul d i n "t w o le ar n a d o " in th e b a s e d p o s t d o co ntr ibu tio n i n all me mb ers i n t h e c a rr i e d o u t "l e a r n C o n s t i t u t i o n P a r t y r ul e s, a n d le ar n seri e s spe ech , do qua lifie d me m b er s" le ar ni n g e d u c a ti o n , t h i s i s f o ll o w ing pa rty of ma ss lin e e d u c a ti o n p r a c ti c e a c ti v it i e s an d "t hr ee st ric t t hr e e re al " to pi c e d u c a t i o n z h i h o u , d e e p e n i n g p a rt y e d u c a ti o n o f a n d on ce im po rt an t pr a c ti c e , i s p r o m o t e d "t h r e e s tr i ctt h r e e r e al " t o pi c e d u c a t i on fr o m "k ey mi no rit y" to a ll m e m b e r s e x p a n d , a nd fr o m co nc en tr at ed e du ca tio n to re gu lar e du cat ion ext en ds of im po rta nt ini tia tiv es . Va st n u mb e r s o f pa rty m e m be rs an d ca dr e s in th ec o ur s e o f t w o , s h o u ld be第四章 随机变量的数字特征1. 甲、乙两台自动车床，生产同一种零件，生产1000 件产品所出的次品数分别用，表示，经过一段时间的考察，知， 的分布律如下：0 1 230 1 2 p0.70.10.10.1p0.50.30.2试比较两台车床的优劣。
概率论第四章习题解答(全)
(0.9)10 (0.9)9 3486 0.3874 0.7361
则需要调整设备的概率
P{Y 1} 1 P{Y } 1 0.7361 0.2639
（3）求一天中调整设备的次数 X 的分布律 由于 X 取值为 0，1，2，3，4。 p 0.2369 ，则 X B (4, 0.2369) 于是
个随机变量，其概率密度为
1 x, 0 x 1500, 15002 1 f ( x) ( x 3000),1500 x 3000, 2 1500 0, 其它
求 E( X ) 解 按连续型随机变量的数学期望的定义有
0 1500
E ( X ) xf ( x)dx xf ( x)dx
X p
2
3
4
9
1 8
5 8
1 8
1 8
所以
1 5 1 1 15 E( X ) 2 3 4 9 。 8 8 8 8 4
（2）因为 Y 的取值为 2,3，4，9 当 Y 2 时，包含的字母为“O”，“N”，故
P{Y 2}
1 C2 1 ； 30 15
当 Y 3 时，包含的 3 个字母的单词共有 5 个，故
P (Ck ) P ( Ak | A1 A2 Ak 1 ) P ( Ak 1 | A1 A2 Ak 2 ) P ( A2 | A1 ) P ( A1 )
而
P{ X 1} P ( A1 )
1 2
1 1 P{ X 2} P ( A1 A2 ) P ( A2 | A1 ) P ( A1 ) 3 2 1 2 1 1 1 P ( A2 | A1 A2 ) P ( A2 | A1 ) P ( A1 ) ， 4 3 2 4 3 一般地，若当 X k 时，盒中共有 k 1 只球，其中只有一只白球，故 P ( X k ) P ( A1 A2 Ak 1 Ak ) P ( Ak | A1 A2 Ak 1 ) P ( Ak 1 | A1 A2 Ak 2 ) P ( A2 | A1 ) P ( A1 ) 1 k 1 k 2 1 2 1 1 1 k 1 k k 1 4 3 2 k k
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习 题 四1．一个袋子中装有四个球，它们上面分别标有数字1,2,2,3，今从袋中任取一球后不放回，再从袋中任取一球，以,X Y 分别表示第一次，第二次取出的球上的标号，求(,)X Y 的分布列.解 (,)X Y 的分布列为其中 (1,1)(1)(1|1)P X Y P X P Y X =======(1,2)(1)(2|P X Y P X P Y X ======121436=⨯= 余者类推。
2．将一枚硬币连掷三次，以X 表示在三次中出现正面的次数，以Y 表示三次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值，试写出(,)X Y 的分布列及边缘分布列。
解 一枚硬币连掷三次相当于三重贝努里试验，故1~(3,).2X B 331()(),0,1,2,32k P X k C k ===，于是(,)X Y 的分布列和边缘分布为其中 (0,1)(0)(1|0)P X Y P X P Y X =======，13313(1,1)(1)(1|1)()128P X Y P X P Y X C =======⨯=，余者类推。
3．设(,)X Y 的概率密度为1(6),02,24,(,)80,.x y x y f x y ⎧--<<<<⎪=⎨⎪⎩其它又（1）{(,)|1,3}D x y x y =<<；（2）{(,)|3}D x y x y =+<。
求{(,)}P X Y D ∈ 解 （1）13021{(,)}(6)8P x y D x y dxdxy ∈=--⎰⎰1194368228-⎡⎤=--=⎢⎥⎣⎦； 2）13021{(,)}(6)8x P X Y D x y dxdy -∈=--⎰⎰ 11200113(1)[(3)4]82x x dx x dx ⎧⎫=-----⎨⎬⎩⎭⎰⎰524=.4．设(,)X Y 的概率密度为222(,(,)0,.C R x y R f x y ⎧+≤⎪=⎨⎪⎩其他求（1）系数C ；（2）(,)X Y 落在圆222()x y r r R +≤<内的概率.解 （1）22223201(R x y R CR dxdy C R C r drd ππθ+≤==-⎰⎰⎰⎰333233R R C R C πππ⎡⎤=-=⎢⎥⎣⎦，∴ 33C R π=.（2）设222{(,)|}D x y x y r =+≤，所求概率为 22233{(,)}(x y r P X Y D R dxdy R π+≤∈=⎰⎰322323232133r r r Rr R R R πππ⎡⎤⎡⎤=-=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦. 5．已知随机变量X 和Y 的联合概率密度为 4,01,01(,)0,.xy x y f x y ≤≤≤≤⎧=⎨⎩其它求X 和Y 的联合分布函数.解1 设(,)X Y 的分布函数为(,)F x y ，则(,)(,)x y F x y f u v dudv -∞+∞=⎰⎰001001000,00,4,01,01,4,01,1,4,1,01,1,1, 1.x y x y x y uvdudv x y uydudy x y xvdxdv x y x y ⎧<<⎪⎪≤≤≤≤⎪⎪⎪=≤≤>⎨⎪⎪>≤≤⎪⎪>>⎪⎩⎰⎰⎰⎰⎰⎰或22220,00,,01,01,,01,1,,1,01,1,1, 1.x y x y x y x x y y x y x y ⎧<<⎪≤≤≤≤⎪⎪=≤≤>⎨⎪>≤≤⎪⎪>>⎩或解2 由联合密度可见，,X Y 独立，边缘密度分别为 2,01,()0,;X x x f x ≤≤⎧=⎨⎩其他 2,01,()0,.Y y y f y ≤≤⎧=⎨⎩其它边缘分布函数分别为(),()X Y F x F y ，则20,0,()(),01,1, 1.x X X x F x f u du x x x -∞<⎧⎪==≤≤⎨⎪>⎩⎰20,0,()(),01,1, 1.y Y X y F y f v dv y y y -∞<⎧⎪==≤≤⎨⎪>⎩⎰设(,)X Y 的分布函数为(,)F x y ，则22220,00,,01,01(,)()(),01,1,,1,01,1,1, 1.X Y x y x y x y F x y F x F y x x y y x y x y ⎧<<⎪≤≤≤≤⎪⎪=⋅=≤≤>⎨⎪>≤≤⎪⎪>>⎩或6．设二维随机变量(,)X Y 在区域:0D x <<求边缘概率密度。
解(,)X Y 的概率密度为1,(,),(,)0,.x y D f x y ∈⎧⎨⎩其他关于X 和Y 的密度为 0,01()(,),01,x X x x x f x f x y dy dy x +∞-∞-⎧≤≥⎪==⎨<<⎪⎩⎰⎰或 2,01,0,.x x <<⎧=⎨⎩其他110,1,,10,()(,),01,0, 1.yY y y d x y f y f x y d x d x y y +∞--∞≤-⎧⎪⎪-<≤⎪==⎨⎪<<⎪⎪≥⎩⎰⎰⎰1,10,1,01,0,.y y y y +-<≤⎧⎪=-<<⎨⎪⎩其他 1||,||1,0,.y y -<⎧=⎨⎩其他7．设(,)X Y 的概率密度为,0,(,)0,.y e x y f x y -⎧<<⎪=⎨⎪⎩其他求边缘密度和概率(1)P X Y +≤解 0,0,0,0,()(,),0.,0;X xy xx x f x f x y d y e x e dy x +∞+∞---∞≤⎧≤⎧⎪===⎨⎨>>⎩⎪⎩⎰⎰0,0,0,0,()(,),0.,0;y Y y yy y f y f x y d x y e y e d x y +∞---∞⎧≤⎧≤⎪⎪===⎨⎨>>⎪⎪⎩⎩⎰⎰111122001(1)(,)()x y x x x x y P X Y f x y dxdy e dy dx e e e dx ----+≤⎛⎫+≤===- ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰ 11212ee --=-+.8．一电子仪器由两个部件组成，以X 和Y 分别表示两个部件的寿命（单位：千小时）已知,X Y 的联合分布函数为：0.50.50.5()1,0,0(,)0,.x y x y e e e x y F x y ---+⎧--+≥≥⎪=⎨⎪⎩其他（1）问,X Y 是否独立？为什么？（2）求两个部件的寿命都超过100小时的概率. 解 （1）先求边缘分布函数：0.51,0,()lim (,)0,0.x X y e x F x F x y x -→+∞⎧-≥==⎨<⎩0.51,0,()lim (,)0,0.y Y x e y F y F x y y -→+∞⎧-≥==⎨<⎩因为(,)()()X Y F x y F x F y =⋅，所以,X Y 独立.（2）(0.1,0.1)(0.1)(0.1)[1(0.1)][1(0.1)]P X Y P X P Y P X P Y ≥≥=≥≥=-≤-≤ 0.050.050.1e e e ---=⋅=. 9．设(,)X Y 的概率密度为(),0,0,(,)0,.x y ex Y f x y -+⎧≥≥⎪=⎨⎪⎩其他间,X Y 是否独立？解 边缘密度为00,0,0,0,()(,),0.,0;X x x y x x f x f x y dy e x e e dy x +∞+∞----∞<⎧<⎧⎪===⎨⎨≥>⎩⎪⎩⎰⎰ 0,0,(),0.Y y y f y e y -<⎧=⎨>⎩因为 (,)()()X Y f x y f x f y =⋅，所以,X Y 独立. 10．设(,)X Y 的概率密度为8,01,(,)0,.xy x y f x y ≤<<⎧=⎨⎩其他问,X Y 是否独立. 解 边缘密度210,01,4(1),01,()(,)0,8,0 1.X x x x x x x f x f x y dy xydy x +∞-∞⎧<>⎧-≤≤⎪⎪===⎨⎨≤≤⎪⎩⎪⎩⎰⎰或其他;304,01,8,01,()(,)0,0,y Y y y xydx y f y f x y dx +∞-∞⎧⎧≤≤≤≤⎪⎪===⎨⎨⎪⎩⎪⎩⎰⎰其他;其他;因为(,)()()X Y f x y f x f y ≠⋅，所以,X Y 不独立。
11．设(,)X Y 的概率密度为1,||1,||1,(,)40,.xyx Y f x y +⎧<<⎪=⎨⎪⎩其他试证明X 与Y 不独立，但2X 与2Y 是相互独立的。
证 先求,X Y 的联合分布函数(,)F x y111111110,11,1,||1,||1,41(,),||1,1,41,1,||1,41,1,1;x yx y x y uv dudv x y uvF x y dudv x y uvdudv x y x y ------⎧≤-≤-⎪+⎪<<⎪⎪+⎪=<>⎨⎪+⎪><⎪⎪≥≥⎪⎩⎰⎰⎰⎰⎰⎰或220,1111(1)(1)(1)(1),||1,4161(1),1,||121(1),||1,1,21,1, 1.x y x y x y x y x y x x y x y ⎧≤-≤-⎪⎪+++++<⎪⎪⎪=+>≤⎨⎪⎪+≤>⎪⎪>>⎪⎩或关于X 的边缘分布函数为0,1,1()lim (,)(1),11,21,1.X y x F x F x y x x x →+∞⎧<-⎪⎪==+-≤≤⎨⎪⎪>⎩关于Y 的边缘分布函数为0,1,1()(1),11,21, 1.Y y F y y y y <-⎧⎪⎪=+-≤≤⎨⎪>⎪⎩因为(,)()()X Y F X Y F x F y ≠⋅，所以,X Y 不独立.再证2X 与2Y 独立：设22,X Y 的联合分布函数为1(,)F z t ，则0,0221(,)(,){z t F z t P X z Y t P x Y >>=≤≤====<≤<≤((F F F F =--+0,00,01,01,,1,01,01,1,1,1, 1.z t z t z t z t z t ⎧≤≤<<<<=≥<<<<≥⎪≥≥⎪⎩或关于22()X Y 的边缘分布函数分别为210,0,()lim (,)01,1, 1.X t z F z F z t z z →+∞⎧≤==<<≥⎪⎩20,0,()01,1, 1.Y t F t t t ⎧≤=<<≥⎪⎩因为221(,)()()X Y F z t F z F t =⋅，所以2X 与2Y 独立.证2 利用随机向量的变换（参见王梓坤《概率基础及其应用》83页） 设 22,Z X T Y ==.函数2z x =的反函数为212x x t y ===的反函数为12y y =111111,,x x z t J y y z t∂∂∂∂===∂∂∂∂22111221,J J J J ===；于是22(,)X Y 的概率密度函数为 22111(,)(,)||ijiji j f z t f x y J===∑∑1[1111]01,01,40,.z t ⎧<<<<⎪=⎨⎪⎩其他01,01,0,z t <<<<=⎩其它.关于2X 的边缘密度为2101,()(,)0,.X z f z f z t dt +∞-∞<<==⎩⎰其它 关于2Y的边缘密度为201,()0,.Y t f t <<=⎩其他因为221(,)()()X Y f z t f z f t =⋅，所以22,X Y 独立.12．设随机变量X 与Y 相互独立，下表列出了二维随机变量(,)X Y 的联合分布律及关于X 和关于Y 的边缘分布律中的部分数值，试将其余值填入表中空白处.解 设(,)1,2,1,2,3.i j ij P X x Y y p i j =====由联合分布和边缘分布的关系知 11124p = 由独立性 11111311()68p p p =⨯++，即 131114248p =++，故13112p =， 11111248124p ⋅=++=，234p ⋅=222213()84p p =+⨯， 所以 2238p =，212p ⋅=31111623p ⋅=--= 231113124p =-=所以(,)X Y 的分布为13．已知随机变量1X 和2X 的概率分布为1101~111424X -⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦， 201~1122X ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦而且 12(0)1P X X ==（1）求1X 和2X 的联合分布； （2）问1X 和2X 是否独立？为什么？解 （1）12(0)1P X X ==知1212(1,1)(1,1)0P X X P X X =-=====，再由联合分布和边缘分布的关系知12(,)X X 的分布为（2）因1212111(1,0)(1)(0)442P X X P X P X =-==≠⨯==-=，所以,X Y 不独立.14．设随机变量,X Y 相互独立，且都服从(,)b b -上的均匀分布，求方程20t tX Y ++=有实根的概率.解 设A =‘方程有实根’，则A 发生240X Y ⇔-≥即224()(4)(,)x yP A P X Y f x y dxdy ≥=≥=⎰⎰2242211()444x bb bb b x dxdy b dx b b ---==+⎰⎰⎰ 32211[2]46242b b b b =+=+， 4b ≤.2221(4)1()4x P X Y b dx b -≥=--⎰33222111[4(88)]412b b b =-+1=-15．已知随机变量X 和Y 的联合分布为(,)(0,0)(0,1)(1,0)(1,1)(2,0)(2,1)(,)0.100.150.250.200.150.15x y P X x Y y ==试求：（1）X 的概率分布；（2）X Y +的概率分布 解 （1）X 的分布为0120.250.450.30XP（2）X Y +的分布为01230.100.40.350.15X YP+16．设X 与Y 为独立同分布的离散型随机变量，其概率分布列为()P X n =1()()2n P Y n ===，1,2,n = ，求X Y +的分布列. 解 设Z X Y =+，Z 的分布为11()()()()k i P Z k P X Y k P X i P Y k i -===+====-∑1111()()22k i k ii --==∑1(1)()2,3,2k k k =-=17．设,X Y 是相互独立的随机变量，它们都服从参数为,n p 的二项分布，证明Z X Y =+服从参数为2,n p 的二项分布. 证 0()()()()ki P Z k P X Y k P X i P Y k i===+====-∑0(1)(1)kii n i k i k in k i n n i Cp p C p p ----+==-⋅-∑2220(1)(1)kkn kik i k k n kn n n i p p C CC p p ---==-=-∑ 0,1,,2k n = 故Z X Y =+服从参数为2,n p 的二项分布. 注：此处用到一个组合公式：kik i k mn m n i C CC -+==∑此公式的正确性可直观地说明如下：从m n +个不同的元素中取k 个共有km n C +种不同的取法。