运筹学模型与数学建模竞赛

运筹学模型与数学建模竞赛一、引言一般来说，大学生数学建模竞赛所涉及到的运筹学模型包括数学规划（线性规划和非线性规划），网络优化（含网络计划技术），排队模型，动态规划等，请看下表注：从1999年起，全国大学生数学建模竞赛开始设置专供大专院校学生做的C ，D 题。

下面重点介绍运筹学模型的数学规划。

二、数学规划的一般形式))(m ax ()(m in x f or x f⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=≤==ub x lb m j x g li x h t s j i ,,2,1,0)(,,2,1,0)(..ΛΛ 线性规划： 整数规划： 非线性规划：三、数学规划问题举例1 下料问题现要用100×50厘米的板料裁剪出规格分别为40×40 厘米与50×20厘米的零件，前者需要25件，后者需要30件。

问如何裁剪，才能最省料解：先设计几个裁剪方案记 A---------40×40；B-----------50×20⎪⎩⎪⎨⎧=≥≥++≥+++=)3,2,1(03053252..min 32121321j x x x x x x t s x x x f j，整数ij x 运输模型为：⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧==≥⎪⎭⎪⎬⎫=+=+=+⎭⎬⎫≤++≤+++++++=运输量非负约束；需求量约束运出量受存量约束),,j ,i (x x x x x x x x x x x x x .t .s x x x x x x f min ij 321210251540305042232231322122111232221131211232221131211 一般地，对于有m 个发点和n 个收点的运输模型为方案1方案2方案3⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧==≥===≤=∑∑∑∑====),...2,1;,...2,1(0)...2,1(),...3,2,1(..min 1111n j m i x n j b x m i a x t s x c f ij mi j ij nj i ij m i nj ijij 其中a i 为i 号发点的运出量，b j 为j 号收点的需求量，c ij 为从i 号发点到j 号收点的单位运价。

特别当∑∑===mi nj ji ba 11时，存货必须全部运走，故上述约束条件中的∑=≤nj i ija x1可改为等式：),...2,1(1m i a xi nj ij==∑=3 选址问题某地区有m 座煤矿，i # 矿每年产量为a i 吨，现有火力发电厂一个，每年需用煤b 0吨，每年运行的固定费用（包括折旧费，但不包括煤的运费）为h 0元。

现规划新建一个发电厂，m 座煤矿每年开采的原煤将全部供给这两个电厂发电用。

现有n 个备选的厂址。

若在j #备选厂址建电厂，每年运行的固定费用为h j 元，每吨原煤从i # 矿运送到j #备选厂址的运费为c ij 元(i =1,2,…m , j =1,2…n )。

每吨原煤从i # 矿运送到原有电厂的运费为c i0 (i =1,2,…m )。

试问： [1] 应把新电厂厂址选在何处[2] m 座煤矿开采的原煤应如何分配给两个电厂才能使每年的总费用（电厂运行的固定费用与原煤运费之和）为最小模型的建立变量的设置为了解决问题[1]，我们使用0-1变量nj j y j Λ,2,10#1=⎩⎨⎧=否则备选厂址选中为了解决问题[2]，设从i #煤矿运到j #备选的厂址的运量为x ij 吨（i=1,2,…m ，j=0,1,2,…,n ）(2)目标函数的表达 总运费：ij m i noj ijx c∑∑==1（对不被选中的备选厂址运费x ij,将由约束条件限制为0）.固定费用 h 0+∑=nj j jy h1每年总费用 z =011h y h x cnj j j mi nj ij ij++∑∑∑===(3)约束条件的表达 （i ）煤矿产量约束m ,,i a xinj ijΛ210==∑=（ii ）旧电厂用煤量约束01b xmi i =∑=（iii ）新电厂用煤量约束 记 01b ab mi i-=∑=，当j #备选厂址被选中时∑==mi ij b x 1，当j #备选厂址没被选中时∑==mi ijx10，综合表达为n j y b x jmi ij ,...2,11==∑=（iv ）选址约束 由于只选一个厂址，所以11=∑=nj jy(v)非负及整数约束 nj y nj mi x j ij ΛΛΛ,2,110,2,1,0,2,10====≥或综合得数学规划模型：1010001111min ,1,...,,1,...,..10,1,...,;0,...,0,1;1,...,m n nij ij j j i j j nij i j mi i mij j i m i i nj j ijj z c x h y h x a i m x b x by j n s t b a b y x i m j n y j n =========++⎧==⎪⎪⎪=⎪⎪⎪==⎪⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=⎪⎪⎪≥==⎪⎪==⎪⎪⎪⎩∑∑∑∑∑∑∑∑4布点问题某市有6个区，每个区都可建消防站，为了节省开支，市政府希望设置的消防站最少，但必须保证在该市任何地区发生火警时，消防车能在15分钟内赶到现场。

假定各区的消防站要建的话,就建在区的中心，根据实地测量,各区之间消防车行使的最长时间如下表:(单位:分钟)请你为该市制定一个设置消防站的最节省的计划。

建模并求解。

解：本题实际上是要确定各个区是否要建立消防站，使其既满足要求，又最节省。

这自然可引入0-1变量，故设）（区建消防站时当不在第区建消防站时当在第621 0 1,,,j j ,j ,x j Λ=⎩⎨⎧=目标是∑==61j jxf 最少。

以下考虑约束条件。

若1区发生火警，按照“消防车要在15分钟内赶到现场”的要求，则l 区和2区至少应有一个消防站，即121≥+x x 。

同理得：1 1 1 1 165265454343621≥++≥++≥++≥+≥++x x x ,x x x ,x x x ,x x ,x x x从而得模型为：621101*********54543436212161⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧==≥++≥++≥++≥+≥++≥+=∑=),,,j (,,x x x x x x x x x x x x x x x x x .t .s x f min j j jΛ 再仔细观察知，若满足第一、三个约束条件，则必然满足第二、四个约束条件，故后者是多余的，可省略。

从而化简得：621101111652654432161⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==≥++≥++≥+≥+=∑=),,,j (,,x x x x x x x x x x x .t .s x f min j j jΛ 此模型当然可用软件求解，但由于比较简单,故可直接试算。

若要求只有一个1=j x ，则显然不可行；若要求只有两个1=j x ，则有唯一可行解0 1653142======x x x x ,x x ，故这就是最优解，即只需在2区和4区建立消防站。

附程序： c=[1 1 1 1 1 1]a=-[1 1 0 0 0 0;0 0 1 1 0 0;0 0 0 1 1 1;0 1 0 0 1 1] b=-[1 1 1 1] v=zeros(1,6) u=[1 1 1 1 1 1][x fval]=linprog(c,a,b,[],[],v,u) Optimization terminated. x =fval =5 配套问题设有n个车间要生产m种产品，第j车间每天生产第i种产品至多a ij件（即全天只安排生产产品i而不安排生产其他产品时的最大产量），假设这m种产品每种一件配成一套，问如何安排生产任务才能使生产出的成套产品最多（i=1,2,...,m；j=1,2,...,n）建模方法（一）设x ij——车间j安排用于生产产品i的数量，Z——每天生产的成套产品数目，原问题可以转化为以下数学模型：11max min nij i mj f z x ≤≤===∑..0(1,,;1,,)ij ijij f z s t x a x i m j n ⎧≥⎪≤⎨⎪≥ ==⎩L L 模型改进为： max f z =1(1,,)..0(1,,;1,,)nij j ij ij ij x z i m s t x a x i m j n =⎧≥ =⎪⎪⎪≤⎨⎪≥ ==⎪⎪⎩∑L L L 模型问题：没有将一天的生产时间约束考虑到！2、建模方法（二）设 x ij ——车间j 安排用于生产产品i 的时间（占全天的比例） Z ——每天生产的成套产品数目则a ij x ij ——车间j 每天生产产品i 的数目。

例如：车间2每天至多生产某产品6件，若安排1/3天时间去生产，则可产出2件），而xa ijnj ij∑=1——每天全厂产出产品i 的总量。

于是则有模型 max Z ( 11minniji mj z x≤≤==∑)(*) ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥==≥=≤=≥∑∑==整数02121 02112111Z )n ,...,,j ;m ,...,,i (x )n ,...,,j ()m ,...,,i (Z .t .s ij m i ij nj ij ij x x a其中常数1表示1天。

注：(1)此模型着重考虑安排生产的时间；(2)从实际情况考虑，安排生产的时间必须是每件产品耗用生产时间的整数倍才合适。

例如，每3分钟生产一件产品，安排5分钟，也只能生产1件，不能认为生产了件。

模型（*）没有考虑到这些因素，故是不合适的。

（2）建模方法（二）——改进（*） 显然，ija 1——车间j 生产每件产品i 的耗用时间（天）。

从以上分析应有 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=a x ij ij 1? (是非负整数)从而令 y ij =a ij x ij , y ij 是非负整数,表示车间j 每天生产产品i 的数目，将它代入（*）后得max Z(**) ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥==≥=≤⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=≥∑∑==整数整数02121021112111Z )n ,...,,j ;m ,...,,i ()n ,...,,j ()m ,...,,i (Z .t .s y y a y ij m i ij ijnj ij 这是一个整数线性规划模型。

注：此模型着重考虑安排生产产品的数目。

四、数学规划在数学建模中的应用举例钻井布局勘探部门在某地区找矿。

初步勘探时期已零散地在若干位置上钻井，取得了地质资料。

进入系统勘探时期后，要在一个区域内按纵横等距的网格点来布置井位，进行“撒网式”全面钻探。

由于钻一口井的费用很高，如果新设计的井位与原有井位重合（或相当接近），便可利用旧井的地质资料，不必打这口新井。