数学建模的运筹学方法
数学建模十大经典算法( 数学建模必备资料)
建模十大经典算法1、蒙特卡罗算法。
该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时通过模拟可以来检验自己模型的正确性。
2、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法。
比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，通常使用Matlab作为工具。
3、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题。
建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算法来描述，通常使用Lindo、Lingo、MATLAB软件实现。
4、图论算法。
这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备。
5、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法。
这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中。
6、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法。
这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用。
7、网格算法和穷举法。
网格算法和穷举法都是暴力搜索最优点的算法，在很多竞赛题中有应用，当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用一些高级语言作为编程工具。
8、一些连续离散化方法。
很多问题都是实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认的是离散的数据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的。
9、数值分析算法。
如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用。
10、图象处理算法。
赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片的，这些图形如何展示以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用Matlab进行处理。
历年全国数学建模试题及解法赛题解法93A非线性交调的频率设计拟合、规划93B足球队排名图论、层次分析、整数规划94A逢山开路图论、插值、动态规划94B锁具装箱问题图论、组合数学95A飞行管理问题非线性规划、线性规划95B天车与冶炼炉的作业调度动态规划、排队论、图论96A最优捕鱼策略微分方程、优化96B节水洗衣机非线性规划97A零件的参数设计非线性规划97B截断切割的最优排列随机模拟、图论98A一类投资组合问题多目标优化、非线性规划98B灾情巡视的最佳路线图论、组合优化99A自动化车床管理随机优化、计算机模拟99B钻井布局0-1规划、图论00A DNA序列分类模式识别、Fisher判别、人工神经网络00B钢管订购和运输组合优化、运输问题01A血管三维重建曲线拟合、曲面重建01B 公交车调度问题多目标规划02A车灯线光源的优化非线性规划02B彩票问题单目标决策03A SARS的传播微分方程、差分方程03B 露天矿生产的车辆安排整数规划、运输问题04A奥运会临时超市网点设计统计分析、数据处理、优化04B电力市场的输电阻塞管理数据拟合、优化05A长江水质的评价和预测预测评价、数据处理05B DVD在线租赁随机规划、整数规划06A 出版资源配置06B 艾滋病疗法的评价及疗效的预测 07A 中国人口增长预测 07B 乘公交，看奥运 多目标规划 数据处理 图论 08A 数码相机定位 08B 高等教育学费标准探讨09A 制动器试验台的控制方法分析 09B 眼科病床的合理安排 动态规划 10A 10B赛题发展的特点：1.对选手的计算机能力提出了更高的要求：赛题的解决依赖计算机，题目的数据较多，手工计算不能完成，如03B ，某些问题需要使用计算机软件，01A 。
数学建模与运筹学
数学建模与运筹学数学建模与运筹学是运用数学的方法和技巧解决实际问题的一门学科。
它在现实生活中有着广泛的应用，不仅在工程领域中扮演着重要的角色，也在各个领域中发挥着巨大的作用。
通过对问题进行数学建模和优化，我们能够得到有效的结果和决策，帮助人们更好地应对挑战和实现目标。
1. 数学建模数学建模是将实际问题转化为数学问题的过程。
它是一种抽象思维和数学思维相结合的过程，能够将复杂的问题简化，提取出重要的因素和变量。
数学建模的核心是构建数学模型，根据模型的特点和要求进行问题的描述和求解。
数学建模广泛应用于科学研究、工程设计、经济管理等领域，为决策提供了科学的依据。
2. 运筹学运筹学是解决优化问题的一门学科，它通过数学建模和分析，寻求最优解。
运筹学包括线性规划、整数规划、动态规划、图论等方法，能够解决多种实际问题。
例如，在物流管理中，通过优化路径和资源分配，可以降低成本和提高效率；在生产计划中，通过优化生产调度和资源利用，可以提高产能和降低库存成本。
运筹学的应用可以帮助组织和企业做出更好的决策，实现资源的合理利用和效益的最大化。
3. 数学建模与运筹学的应用数学建模与运筹学广泛应用于各个领域，以下以几个典型的应用为例进行介绍。
（1）交通运输规划：通过数学建模和运筹学方法，可以优化城市道路网、航空航线和火车运行图，提高交通运输的效率和安全性。
（2）物流配送优化：数学建模和运筹学方法可以确定最优的配送路径和运输方式，降低成本、减少时间和资源的浪费。
（3）资源分配与计划：在能源领域，通过数学建模和运筹学方法，可以进行电网调度、电力优化和能源供应的规划，实现可持续发展和低碳经济。
（4）金融风险管理：数学建模和运筹学方法可以用于评估和管理金融市场的风险，帮助投资者和机构做出科学的决策。
4. 数学建模与运筹学在实践中的挑战数学建模与运筹学在实践中也面临一些挑战。
首先，实际问题往往具有复杂性和不确定性，需要进行合理的简化和假设。
运筹学大M法
运筹学大M法运筹学大M法是一种经典的运筹学方法，在数学建模中被广泛应用。
它的全称是Mixed Integer Linear Programming，即混合整数线性规划，主要解决的是有约束条件下的最优化问题。
运筹学大M法使用了约束条件、决策变量和目标函数三个要素，可以用数学形式进行表示和求解。
假设我们有一组决策变量x1,x2,...,xn，它们需要满足一些约束条件，同时要最大化或最小化目标函数f(x1,x2,...,xn)。
在大M法中，我们将相应的约束条件用等式或不等式进行表示：等式约束条件：a1*x1 + a2*x2 + ... + an*xn = b目标函数：max[f(x1,x2,...,xn)] 或 min[f(x1,x2,...,xn)]在这里，a1,a2,...,an，c1,c2,...,cn和b,d都是确定的常数。
同时，决策变量xi也可以是整数或者二进制变量。
为了求解这个最优化问题，我们需要首先将不等式约束式转化为等式形式。
在这个过程中，我们需要加入一些松弛变量（也叫做slack变量）来确保约束条件可以满足。
假设第i个不等式为：然后我们将这个不等式转化成等式形式：其中，s1是松弛变量。
类似地，我们可以将每个不等式约束条件都转化成等式形式。
在这个过程中，我们需要加入一些约束条件来限制决策变量xi的取值。
如果xi可以为任意实数，那么我们不需要这些额外的约束条件。
但是，如果xi是整数或者二进制变量，我们需要加入一些约束条件来限制它们的取值范围。
为了限制整数变量xi的取值范围，我们通常会引入两个新的变量：yi和zi。
yi表示xi是否等于下限值，zi表示xi是否等于上限值。
我们可以通过以下约束条件来实现这一点：xi >= li*yi其中，li是xi的下限，ui是xi的上限。
因此，如果yi=1，那么xi的取值就是li；如果zi=1，那么xi的取值就是ui。
如果既不是yi=1，也不是zi=1，那么xi就可以取任意整数值。
数学建模(层次分析法(AHP法))
判断矩阵元素a 判断矩阵元素 ij的标度方法
标度 1 3 5 7 9 2 ， 4 ， 6， 8 倒数 含义 表示两个因素相比， 表示两个因素相比，具有同样重要性 表示两个因素相比， 表示两个因素相比，一个因素比另一个因素稍微重要 表示两个因素相比， 表示两个因素相比，一个因素比另一个因素明显重要 表示两个因素相比， 表示两个因素相比，一个因素比另一个因素强烈重要 表示两个因素相比， 表示两个因素相比，一个因素比另一个因素极端重要 上述两相邻判断的中值
层次分析法在经济、科技、文化、军事、 环境乃至社会发展等方面的管理决策中都 有广泛的应用。 常用来解决诸如综合评价、选择决策方案、 估计和预测、投入量的分配等问题。
层次分析法建模
一 、问题的提出 日常生活中有许多决策问题。 日常生活中有许多决策问题。决策是指 在面临多种方案时需要依据一定的标准选择 某一种方案。 某一种方案。 例1 某人准备选购一台电冰箱 他对市场上的6 他对市场上的6种不同类型的电冰箱进行了解 选取一些中间指标进行考察。例如电冰 指标进行考察 后，选取一些中间指标进行考察。例如电冰 箱的容量、制冷级别、价格、型式、耗电量、 箱的容量、制冷级别、价格、型式、耗电量、 外界信誉、售后服务等 外界信誉、售后服务等。
目标层
O(选择旅游地 选择旅游地) 选择旅游地
准则层
C1 景色
C2 费用
C3 居住
C4 饮食
C5 旅途
要比较各准则C1,C2,… , Cn对目标O的重要性 要比较各准则 对目标 的重要性
Ci :Cj ⇒aij
选 择 C1 旅 C2 游 C 3 地
C4 C5 C1
层次分析法(AHP法 层次分析法(AHP法)
Analytic Hierarchy Process
数学建模：第五章 运筹与优化模型
max c j x j
n
s.t aij x j bi
j 1
n
j 1
i 1.2 m
xj 0
j 1.2 n
8
二、整数规划模型
n min f c j x j j 1 n aij x j bi j 1 x j 0
对于线性规划：
22
二、货机装运
问题 某架货机有三个货舱：前仓、中仓、后仓。三个 货舱所能装载的货物的最大重量和体积都有限制，如表 3所示。并且，为了保持飞机的平衡，三个货舱中实际 装载货物的重量必须与其最大容许重量成比例。
重量限制 （吨）
前仓 中仓 后仓 10 16 8 6800 8700 5300
体积限制 （米3）
5
解：设x ij 表示 Ai (i=1.2)煤厂提供给 B j （j=1.2.3)居民区的煤量； f表示总运输费 此问题归结为：
min f 10 x11 5 x12 6 x13
s.t
x11 x12 x13 60 x21 x22 x23 100 x11 x21 50
s.t gi ( X ) 0
hi ( X ) 0
(1)
(2)
(3)
i 1,2,, m .
j 1,2,, l .
X D
其中X ( x1 , x2 ,, xn )T , D R n为可行集
f(X)为目标函数，(2)、(3)为约束条件， (2)为不等式约束，(3)为等式约束； 若只有(1)称为无约束问题。
max f x1 x2 15 x1 12 x2 85 如 5 x1 11 x , x 0 1 2 x1 , x2 为整数
运筹学 运输问题例题数学建模
运筹学运输问题例题数学建模运筹学是一门研究如何在有限的资源和多种约束条件下，寻求最优或近似最优解的科学。
运输问题是运筹学中的一个重要分支，它主要研究如何把某种商品从若干个产地运至若干个销地，使总的运费或总的运输时间最小。
本文将介绍运输问题的数学建模方法，以及用表上作业法求解运输问题的步骤和技巧。
同时，本文还将给出几个典型的运输问题的例题，帮助读者理解和掌握运输问题的求解过程。
运输问题的数学建模运输问题可以用以下的数学模型来描述：设有m 个产地（或供应地），分别记为A 1,A 2,…,A m ，每个产地i 的产量（或供应量）为a i ；有n 个销地（或需求地），分别记为B 1,B 2,…,B n ，每个销地j 的需求量为b j ；从产地i 到销地j 的单位运费（或单位运输时间）为c ij ；用x ij 表示从产地i 到销地j 的运量，则运输问题可以归结为以下的线性规划问题：其中，目标函数表示总的运费或总的运输时间，约束条件表示每个产地的供应量必须等于其产量，每个销地的需求量必须等于其销量，以及每条运输路线的运量不能为负数。
在实际问题中，可能出现以下几种情况：产销平衡：即∑m i =1a i =∑n j =1b j ，也就是说总的供应量等于总的需求量。
这种情况下，上述数学模型可以直接应用。
产大于销：即∑m i =1a i >∑n j =1b j ，也就是说总的供应量大于总的需求量。
这种情况下，可以增加一个虚拟的销地，其需求量等于供需差额，且其与各个产地的单位运费为零。
这样就可以把问题转化为一个产销平衡的问题。
产小于销：即∑m i =1a i <∑n j =1b j ，也就是说总的供应量小于总的需求量。
这种情况下，可以增加一个虚拟的产地，其产量等于供需差额，且其与各个销地的单位运费为零。
这样也可以把问题转化为一个产销平衡的问题。
弹性需求：即某些销地对商品的需求量不是固定不变的，而是随着商品价格或其他因素而变化。
数学建模_运筹学模型(四)
产品生产规划某医院为病人配制营养餐要使用到两种食品A 和B ，每种食品A 含蛋白质50g ，钙400mg ， 热量1000单位，价值14元；食品B 含蛋白质60g ，钙200mg ，热量800单位，价值8元.若病人每天需从食物中获取蛋白质，钙及热量分别为55g ，800mg 和3000单位，问如何选购食品才能在满足营养要求条件下使花费最小？试组建线性规划模型并求解后回答：（1）问题的最优方案及最优值分别是甚麽？最优方案是否有选择余地？ （2）各种营养要求的满足情况怎样？若限制蛋白质摄入量不超过100单位，会出现甚麽问题？解：本题属于简单的线性规划模型的建立与求解问题，并要求作出一点模型分析工作.按要求，先来建立模型，根据题设，设购买两种食品分别为21,x x （kg ），则有总花费数额函数21814x x z +=，自然我们希望求出这样的21,x x 取值，使得函数z 取最小值.可以写为min 21814x x z +=. 又根据营养最低要求，应有蛋白质需求条件： ,55605021≥+x x 钙的需求条件： 40080020021≥+x x ， 热量的需求条件： ,3000800100021≥+x x 非负性条件： .0≥j x将上述条件合在一起，即可获得本问题的线性规划模型如下：m i n 21814x x z+= ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧..t s ,0,30008001000,800200400,556050212121≥≥+≥+≥+j x x x x x x x利用图解法易于得到其最优解为),310,31(*=X 即食品A 购买31（kg ），B 购买310（kg ），最低花费=*z 394元.由此可回答所提问题：（1）最优解与最优目标值如上所述，最优方案无选择余地，因为最优解点是在后两个约束条件直线的交点上，而不是在可行域的某条边界线段上.（2）钙和热量需求得到满足（最低量），蛋白质需求超最低标准3485个单位.以上结论是将最优解代入各个约束条件得到的.若限制蛋白质摄入量不超过100单位，则第一个约束条件应修改为,55605010021≥+≥x x在原来的求解图上加上条件,100605021≤+x x 则可见可行域不存在，故无解.2.某工厂生产两种产品A 、B 分两班生产，每周生产总时间为80小时，两种产品的预测销售量、生产率和赢利如下表（1）充分利用现有能力，避免设备闲置； （2）周加班时间限制在10小时以内；（3）两种产品周生产品量应满足预测销售，满足程度的权重之比等于它们单位利润之比；（4）尽量减少加班时间. 解： （1）建立模型设：①每班上班时间为8小时，在上班时间内只能生产一种产品； ②周末加班时间内生产哪种产品不限； ③生产A 产品用x 班，生产B 产品用y 班，周加班时生产A 产品用x 1小时，生产B 产品用y 1小时.则有⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥≤+=++≤+≤+=+且为整数0,,,101:2148:987084581011111111y x y x y x x x y y x x y y y x（2）求解现在求满足（1）中第2，3个方程可看出：8≤x ，5≥y ； 将（1）中的第1个方程代入第4个方程得：1179720128y x y -+= 现在就是在满足5≤y ，1011≤+y x 条件下，使上式两端的取值尽量接近.显然5=y ，01=x ，101=y因此 5=x制定方案为，生产A ，B 两种产品所占总时间各一半，周加班10小时全用于生产产品B .运输规划问题现要从两个仓库（发点）运送库存原棉来满足三个纺织厂（收点）的需要，数据如下表，试问在保证各纺织厂的需求都得到满足的条件下应采取哪个运输方案，才能使总运费达到最小？（运价（元/吨）如下表）解：题意即要确定从i 号仓库运到j 号工厂的原棉数量。
运筹学中求解数学模型的方法
运筹学中求解数学模型的方法
运筹学中求解数学模型的方法包括以下几种常用方法：
1. 线性规划：线性规划是一种在给定约束条件下求解线性目标函数最优解的方法。
常用的线性规划求解方法包括单纯形法、内点法等。
2. 整数规划：整数规划是线性规划的扩展，要求决策变量为整数。
常用的整数规划求解方法包括分枝定界法、割平面法等。
3. 动态规划：动态规划是求解具有重叠子问题的最优化问题的一种方法。
它将原问题分解为若干个子问题，并通过递推的方式求解子问题，最终得到原问题的最优解。
4. 随机模型求解方法：对于涉及随机变量的运筹学问题，可以使用概率论和数理统计的方法求解。
常用的方法包括随机模拟、蒙特卡洛方法等。
5. 启发式算法：启发式算法是通过模拟人类的启发式思维过程求解问题的一类算法。
常用的启发式算法包括遗传算法、模拟退火算法、禁忌搜索等。
这些算法能够在较短时间内找到较好的解，但不能保证找到最优解。
6. 网络流模型求解方法：网络流模型用于描述网络中物体、信息或流体的流动，常用于求解最小费用最大流、最短路径、最小割等问题。
求解网络流模型的方法
包括Ford-Fulkerson算法、最短路径算法、最小割算法等。
以上是运筹学中常用的求解数学模型的方法，根据具体问题的特点选择相应的方法进行求解。
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例1 混合配料问题
某糖果厂用原料A，B，C加工成三种不同牌号的糖果 甲、乙、丙。已知各种牌号糖果中A、B、C含量、原 料成本、各种原料的每月限制用量，三种牌号糖果的 单位加工费及售价，如表1-17所示。问该厂每月生产 这三种牌号糖果各多少kg，才能使其获利最大。试建 立这个问题的线性规划的数学模型。
原料月供应量限制
含量成分的限制
• 计算采用Matlab软件 [x,feval]=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub)
结果：
Matlab code
f=-[0.9 1.4 1.9 0.45 0.95 1.45 -0.05 0.45 0.95]'; A=[1 0 0 1 0 0 1 0 0; 0 1 0 0 1 0 0 1 0; 0 0 1 0 0 1 0 0 1; -0.4 0.6 0.6 0 0 0 0 0 0; -0.2 -0.2 0.8 0 0 0 0 0 0; 0 0 0 -0.7 0.3 0.3 0 0 0; 0 0 0 -0.5 -0.5 0.5 0 0 0; 0 0 0 0 0 0 -0.6 -0.6 0.4]; b=[2000 2500 1200 0 0 0 0 0]'; lb=zeros(9,1); [x,feval]=linprog(f,A,b,[],[],lb)
表 1-17
原料 A
甲 ≥60% ≤20% 0.50 3.40
乙 ≥30% ≤50% 0.40 2.85
丙
原料成本 （元/kg） 2.00
每月限制 用量(kg) 2000
B
C 加工费（元/kg） 售价（元/kg ） ≤60% 0.30 2.25
1.50
1.00
2500
1200
解 用i=1,2,3分别代表原料A，B，C，用j=1,2,3分别代表
B1
A1 A2 2 8
B2
9 3
B3
3 5
B4
4 7
年生产能力
400 600
A3
A4 年需求 量
7
4 350
6
5 400
1
2 300
2
5 150
200
200
工厂A3或A4开工后，每年的生产费用估计分别为1200万或1500 万元。现要决定应该建设工厂A3还是A4，才能使今后每年的总费 用最少。
• 解：这是一个物资运输问题，特点是事先不能确 定应该建A3还是A4中哪一个，因而不知道新厂投 产后的实际生产物资。为此，引入0-1变量：
计算结果
x11=0.5800e+003 x21= 0.2862e+003 x31= 0.1005e+003 x12=1.4200e+003 x22=2.2138e+003 x32= 1.0995e+003 x13=0.0000 x23=0.0000 x33= 0.0000
整数规划
( Integer Programming )
x11 x12 x13 2000 x21 x22 x23 2500 x31 x32 x33 1200 x11 0.6( x11 x21 x31 ) s.t. x31 0.2( x11 x21 x31 ) x 0.3( x x x ) 12 22 32 12 x32 0.5( x12 x22 x32 ) x33 0.6( x13 x23 x33 ) x ij 0(i 1, 2,3; j 1, 2,3)
• • • • • • • •
线性规划 整数规划 动态规划 层次分析法（决策论） 非线性规划 排队论 存贮论 对策论
Matlab软件 Optimization Toolbox
• • • • • linprog 求解线性规划 bintprog 求解0-1整数规划 fmincon 求解带约束的非线性规划 fminunc 求解无约束非线性规划 ga 采用遗传算法求能取值0或1的整数线性 规划。
计算软件： Maltab软件：求解0-1整数规划 Lingo软件：整数规划 bintprog
• 整数规划的典型例子
例2 工厂A1和A2生产某种物资。由于该种物资供不应求，故需要再 建一家工厂。相应的建厂方案有A3和A4两个。这种物资的需求地 有B1,B2,B3,B4四个。各工厂年生产能力、各地年需求量、各厂至各 需求地的单位物资运费cij，见下表：
主要内容：
整数规划的特点及应用
分支定界法
•整数规划（简称：IP）
要求一部分或全部决策变量取整数值的规划问 题称为整数规划。不考虑整数条件，由余下的目标 函数和约束条件构成的规划问题称为该整数规划问 题的松弛问题。若该松弛问题是一个线性规划，则 称该整数规划为整数线性规划。
整数线性规划数学模型的一般形式：
甲、乙、丙三种糖果，xij为生产第j种糖果耗用的第i种原 料的kg数量。该厂的获利为三种牌号糖果的售价减去相应 的加工费和原料成本，三种糖果的生产量分别为： x甲，x乙，x丙
maxz (3.40 0.50)(x11 x 21 x31 ) (2.85 0.40)(x12 x 22 x32 ) (2.25 0.30)(x13 x 23 x33 ) 2.0( x11 x12 x13 ) 1.50( x 21 x 22 x 23 ) 1.0( x31 x32 x33 ) 0.9 x11 1.4 x 21 1.9 x31 0.45x12 0.95x 22 1.45x32 0.05x13 0.45x 23 0.95x33
max Z (或 min Z )
c
j 1
n
j
xj
n a ij x j bi ( i 1.2 m ) j 1 x j 0 (j 1.2 n) 且 部 分 或 全 部 为 整 数
• 整数线性规划问题的种类： 纯整数线性规划：指全部决策变量都必须取整数值的整数 线性规划。 混合整数线性规划：决策变量中有一部分必须取整数值， 另一部分可以不取整数值的整数线性规划。