数学建模-运筹学模
第二章——运筹学建模方法
1第二章、运筹学建模方法综述2定义问题和收集数据 数学建模模型求解 检验模型 准备应用模型 实施3运筹学研究小组首先要做的是研究相关系统，并使被研究的问题得到明确的说明。
包括确定合适的目标、实际的限制条件、研究领域和组织的其他领域间的相互关系、可选择的行动路线、制定决策的时间限制等。
2.1定义问题和收集数据4针对美国企业的大量调查发现，管理层趋向于采取满意利润目标和其他目标相结合的方式代替长期收益最大化。
典型地，其他目标包括维持稳定收益、增加市场份额、实现产品多样化、维持稳定价格、提高员工士气、维持企业的家族控制以及提高企业声望。
另外，存在包含与盈利动机不相吻合的社会责任的其他考虑。
2.1定义问题和收集数据5商业企业一般涉及以下五个方面所用者（股东等），追求盈利员工，期望合理工资水平上的稳定雇佣 客户，期望以合理的价格获得可靠的产品 供应商，期望声誉以及产品的合理出售价格政府以及国家，期望公正的税收和考虑国家利益6例：在为旧金山警察局所开展的运筹学研究中，建立了一个优化调度和配置巡警的计算机系统。
这个新系统每年为警察局节约1100万美元，同时增加了300万美元的交通管理收入，并且将反映时间减少了20%。
在评估该项研究的合适目标时，确定了三个基本目标：(1). 维持高水平的居民安全(2). 维持高水平的警员士气(3). 最小化运作成本7收集数据通常，研究小组会花费大量的时间收集问题的数据。
大部分数据既用于获得对问题的充分理解，又为下一阶段研究建立的数学模型提供所需的输入。
82.2 数学建模商业问题的数学模型，是描述问题实质的方程和相关数学表达式的系统。
n 个相关的可量化的决策，称为决策变量(decision variables)(x 1, x 2, …x n )绩效（如收益）的合理度量被表示成这些决策变量的数学函数（例如，P =3x 1+2x 2+…+5x n ），这个函数称为目标函数(objective function)9 任何对决策变量值的约束也能够被数学表示，通常是通过等式或不等式（例如：x 1+3x 1x 2+2x 2≤10），这些用于限制的数学表达式称为约束(constraints)。
数学建模与运筹学
数学建模与运筹学数学建模与运筹学是运用数学的方法和技巧解决实际问题的一门学科。
它在现实生活中有着广泛的应用，不仅在工程领域中扮演着重要的角色，也在各个领域中发挥着巨大的作用。
通过对问题进行数学建模和优化，我们能够得到有效的结果和决策，帮助人们更好地应对挑战和实现目标。
1. 数学建模数学建模是将实际问题转化为数学问题的过程。
它是一种抽象思维和数学思维相结合的过程，能够将复杂的问题简化，提取出重要的因素和变量。
数学建模的核心是构建数学模型，根据模型的特点和要求进行问题的描述和求解。
数学建模广泛应用于科学研究、工程设计、经济管理等领域，为决策提供了科学的依据。
2. 运筹学运筹学是解决优化问题的一门学科，它通过数学建模和分析，寻求最优解。
运筹学包括线性规划、整数规划、动态规划、图论等方法，能够解决多种实际问题。
例如，在物流管理中，通过优化路径和资源分配，可以降低成本和提高效率；在生产计划中，通过优化生产调度和资源利用，可以提高产能和降低库存成本。
运筹学的应用可以帮助组织和企业做出更好的决策，实现资源的合理利用和效益的最大化。
3. 数学建模与运筹学的应用数学建模与运筹学广泛应用于各个领域，以下以几个典型的应用为例进行介绍。
（1）交通运输规划：通过数学建模和运筹学方法，可以优化城市道路网、航空航线和火车运行图，提高交通运输的效率和安全性。
（2）物流配送优化：数学建模和运筹学方法可以确定最优的配送路径和运输方式，降低成本、减少时间和资源的浪费。
（3）资源分配与计划：在能源领域，通过数学建模和运筹学方法，可以进行电网调度、电力优化和能源供应的规划，实现可持续发展和低碳经济。
（4）金融风险管理：数学建模和运筹学方法可以用于评估和管理金融市场的风险，帮助投资者和机构做出科学的决策。
4. 数学建模与运筹学在实践中的挑战数学建模与运筹学在实践中也面临一些挑战。
首先，实际问题往往具有复杂性和不确定性，需要进行合理的简化和假设。
运筹学数学建模的结果分析怎么写
运筹学数学建模的结果分析怎么写
1、示例：综上所述，由运筹学数学建模模型求解可知，在满足模型条件的假设（4）的条件下，当所给阳性的先验概率大于0.3066时，在不分组的条件下每个人一次一次的检验可以使总次数最少；当所给先验概率大于等于0.2929，先验概率小于0.3066时，进行一次检验比分两次组和不分组均可使总次数最少；当先验概率小于0.2929且大于0时，分两次组总次数比分一次组总次数要少。
2、运筹学数学建模结果分析包括：结果表示；结果分析、检验；模型检验及模型修正；灵敏度分析，稳定性分析。
3、最终运筹学数学建模数值结果的正确性或合理性是第一位的。
4、对运筹学数学建模的数值结果或模拟结果进行必要的检验。
结果不正确、不合理、或误差大时，分析原因，对算法、计算方法、或模型进行修正、改进。
5、题目中要求回答的问题，运筹学数学建模的数值结果，结论，须一一列出；
6、列运筹学数学建模的数据问题：考虑是否需要列出多组数据，或额外数据，对数据进行比较、分析，为各种方案的提出提供依据；
7、运筹学数学建模的结果表示：要集中，一目了然，直观，便于比
较分析。
《运筹学建模》课件
ห้องสมุดไป่ตู้ 致谢
感谢您的耐心学习，希望这门课程能为您的工作和学习带来帮助。
《运筹学建模》PPT课件
在本课程中，我们将探讨运筹学建模的基础知识和实际应用，介绍常用的数 学建模方法并通过案例分析和实践操作，帮助您掌握运筹学建模的基本方法。
课程介绍
课程目标和重要性
了解运筹学建模的基础知识，掌握数学建模方 法，应用于实际问题中。
课程内容概述
学习运筹学基础知识，数学建模方法以及案例 分析和实践操作。
模型，规划模型和分类模型。
3
优化模型
掌握最优化方法，了解规划和线性 规划等优化模型。
案例分析与实践
通过案例分析掌握运筹学建模的基本方法
通过典型案例，让学生了解运筹学建模的基本方法。
联系实际问题进行实践操作
通过实际问题，让学生实践运筹学建模的技巧。
课程总结与展望
总结课程的学习内容和收获
回顾主要的课程内容和知识点，总结学习内容 和收获。
展望运筹学建模在未来的发展
讨论运筹学建模在未来的应用和发展，探讨新 的研究方向和趋势。
QA
什么是运筹学建 模？
运筹学建模是运用数学建 立数学模型对复杂问题进 行求解的过程。
运筹学模型有哪 些类型？
运筹学模型主要有优化模 型、规划模型和分类模型 等。
如何学好运筹学 建模？
通过理论学习和实际操作 相结合，不断实践和提高 建模技能。
运筹学基础知识
1 运筹学的定义和背景
掌握运筹学的定义和起源，了解当前运筹学的研究热点和趋势。
2 运筹学在实际生活与工作中的应用
通过典型案例，介绍运筹学在各个领域的实际应用。
数学建模方法
1
建模的步骤和方法论
数学建模 运筹学模型(一)
运筹学模型（一）本章重点：线性规划基础模型、目标规划模型、运输模型及其应用、图论模型、最小树问题、最短路问题复习要求：1.进一步理解基本建模过程，掌握类比法、图示法以及问题分析、合理假设的内涵.2.进一步理解数学模型的作用与特点.本章复习重点是线性规划基础模型、运输问题模型和目标规划模型.具体说来，要求大家会建立简单的线性规划模型，把实际问题转化为线性规划模型的方法要掌握，当然比较简单.运输问题模型主要要求善于将非线性规划模型转化为运输规化模型，这种转化后求解相当简单.你至少把一个很实际的问题转化为用表格形式写出的模型，至于求解是另外一回事，一般不要求.目标模型一般是比较简单的线性规模模型在提出新的要求之后转化为目标规划模型.另外，关于图论模型的问题涉及到最短路问题，具体说来用双标号法来求解一个最短路模型.这之前恐怕要善于将一个实际问题转化为图论模型.还有一个最小数的问题，该如何把一个网络中的最小数找到.另外在个别场合可能会涉及一笔划问题.1.营养配餐问题的数学模型或更简洁地表为其中的常数C j 表示第j 种食品的市场价格，a ij 表示第j 种食品含第i 种营养的数量，b i 表示人或动物对第i 种营养的最低需求量.2.合理配料问题的数学模型有m 种资源B 1，B 2，…，B m ，可用于生产n 种代号为A 1，A 2，…，A n 的产品.单位产品A j 需用资源B i 的数量为a ij ，获利为C j 单位，第i 种资源可供给总量为b i 个单位.问如何安排生产，使总利润达到最大？设生产第j 种产品x j 个单位（j =1，2，…，n ），则有或更简单地写为3.运输问题模型运输问题也是一种线性规划问题，只是决策变量设置为双下标变量.假如问题具有m 个产地和n 个销地，第i 个产地用A i 表示，其产量为a i （i =1，2，…，m ），第j 个销地用B j 表示，其销量为b j （j =1，2，…，n ），从A i 运往B j 的运价为c ij ， 而∑∑===m i n j ji b a11表示产销平衡.那么产销平衡运输问题的一般模型可以写成为4.目标规划模型某工厂生产代号为Ⅰ、Ⅱ的两种产品，这两种产品都要经甲、乙两个车间加工，并经检验与销售两部门处理.已知甲、乙两车间每月可用生产工时分别为120小时和150小时，每小时费用分别为80元和20元，其它数据如下表表4-1工厂领导希望给出一个可行性生产方案，使生产销售及检验等方面都能达标.问题分析与模型假设经与工厂总经理交谈，确定下列几条：p 1： 检验和销售费每月不超过4600元；p 2： 每月售出产品I 不少于50件；p 3： 两车间的生产工时充分利用（重要性权系数按两车间每小时费用比确定）；p 4：甲车间加班不超过20小时；p 5：每月售出产品Ⅱ不少于80件；p 6：两车间加班总时数要有控制（对权系数分配参照第三优先级）.模型建立设x 1，x 2分别为产品Ⅰ和Ⅱ的月产量，先建立一般约束条件组，依题设4600305021≤+x x 检验销售费用802≥x 120221≤+x x 设d 1表检验销售费偏差，则希望+1d 达最小，有,11+d p 相应的目标约束为+--++1121305d d x x = 4600； 2d 表产品I 售量偏差，则希望-2d 达最小，有,22-d p 相应的目标约束 以d 3、d 4表两车间生产工时偏差，则由于充分利用，故希望--43,d d 达最小，考虑到费用比例为80：20=4：1，有)4(433--+d d p .相应的目标约束应为12023321=-+++-d d x x 和+--++44213d d x x =150，以d 5表甲车间加班偏差，则有,54+d p 相应目标约束为 20553=-++-+d d d ，以d 6表产品Ⅱ售量偏差，则希望-6d 达最小，有相应约束为80662=-++-d d x .最后优先级p 6可利用+++43d d 表示，考虑到权系数，有),4(436+++d d p 其目标约束由于利用超生产工时，已在工时限制中体现，于是得到该问题的目标规划模型为5.最小树问题一个图中若有几个顶点及其边的交替序列形成闭回路，我们就说这个图有圈；若图中所有连顶点间都有边相接，就称该图是连通的；若两个顶点间有不止一条边连接，则称该图具有多重边. 一个图被称为是树．意味着该图是连通的无圈的简单图.在具有相同顶点的树中，总赋权数最小的树称为最小树.最小树的求法有两种，一种称为“避圈法”，一种是“破圈法”，两法各具优缺点，它们具有共同的特征——去掉图中的圈并且每次都是去掉圈中边权较大的边.6.最短路问题的数学模型最短路问题一般描述如下：在一个图（或者说网络）中，给定一个始点v s 和一个终点v t ，求v s 到v t 的一条路，使路长最短（即路的各边权数之和最小）.狄克斯屈（）双标号法该法亦称双标号法，适用于所有权数均为非负（即一切0≥ij w w ij 表示顶点v i 与v j 的边的权数）的网络，能够求出网络的任一点v s 到其它各点的最短路，为目前求这类网络最短路的最好算法.该法在施行中，对每一个点v j 都要赋予一个标号，并分为固定标号P （v j ）和临时标号T （v j ）两种，其含义如下： P （v j ）——从始点v s 到v j 的最短路长；T （v j ）——从始点v s 到v j 的最短路长上界.一个点v j 的标号只能是上述两种标号之一.若为T 标号，则需视情况修改，而一旦成为P 标号，就固定不变了.售出量两车间总工时开始先给始点v s 标上P 标号0，然后检查点v s ，对其一切关联边（v s ， v j ）的终点v j ，给出v j 的T 标号w ij ；再在网络的已有T 标号中选取最小者，把它改为P 标号.以后每次都检查刚得到P 标号那点，按一定规则修改其一切关联边终点的T 标号，再在网络的所有T 标号中选取最小者并把它改为P 标号.这样，每次都把一个T 标号点改为P 标号点，因为网络中总共有n 个结点，故最多只需n -1次就能把终点v t 改为P 标号.这意味着已求得了v s 到v t 的最短路.狄克斯屈标号法的计算步骤如下：1°令S ={v s }为固定标号点集，}{\s v V S =为临时标号点集，再令0)(=i v P ，S v t ∈；2°检查点v i ，对其一切关联边（v i ， v j ）的终点S v j∈，计算并令 3°从一切S v j ∈中选取并令选取相应的弧（v i ， v r ）.再令4°若∅=S ，则停止，)(j v P 即v s 到v j 的最短路长，特别)(t v P 即v s 到v t 的最短路长，而已选出的弧即给出v s 到各点的最短路；否则令i rv v ⇒，返2°. 注意：若只要求v s 到某一点v t 的最短路，而没要求v s 到其他各点的最短路，则上述步骤4°可改为4°若r = t 则结束，)(r v P 即为所求最短路长；否则令i r v v ⇒，返2°.。
数学建模：第五章 运筹与优化模型
max c j x j
n
s.t aij x j bi
j 1
n
j 1
i 1.2 m
xj 0
j 1.2 n
8
二、整数规划模型
n min f c j x j j 1 n aij x j bi j 1 x j 0
对于线性规划：
22
二、货机装运
问题 某架货机有三个货舱：前仓、中仓、后仓。三个 货舱所能装载的货物的最大重量和体积都有限制，如表 3所示。并且，为了保持飞机的平衡，三个货舱中实际 装载货物的重量必须与其最大容许重量成比例。
重量限制 （吨）
前仓 中仓 后仓 10 16 8 6800 8700 5300
体积限制 （米3）
5
解：设x ij 表示 Ai (i=1.2)煤厂提供给 B j （j=1.2.3)居民区的煤量； f表示总运输费 此问题归结为：
min f 10 x11 5 x12 6 x13
s.t
x11 x12 x13 60 x21 x22 x23 100 x11 x21 50
s.t gi ( X ) 0
hi ( X ) 0
(1)
(2)
(3)
i 1,2,, m .
j 1,2,, l .
X D
其中X ( x1 , x2 ,, xn )T , D R n为可行集
f(X)为目标函数，(2)、(3)为约束条件， (2)为不等式约束，(3)为等式约束； 若只有(1)称为无约束问题。
max f x1 x2 15 x1 12 x2 85 如 5 x1 11 x , x 0 1 2 x1 , x2 为整数
运筹学 运输问题例题数学建模
运筹学运输问题例题数学建模运筹学是一门研究如何在有限的资源和多种约束条件下，寻求最优或近似最优解的科学。
运输问题是运筹学中的一个重要分支，它主要研究如何把某种商品从若干个产地运至若干个销地，使总的运费或总的运输时间最小。
本文将介绍运输问题的数学建模方法，以及用表上作业法求解运输问题的步骤和技巧。
同时，本文还将给出几个典型的运输问题的例题，帮助读者理解和掌握运输问题的求解过程。
运输问题的数学建模运输问题可以用以下的数学模型来描述：设有m 个产地（或供应地），分别记为A 1,A 2,…,A m ，每个产地i 的产量（或供应量）为a i ；有n 个销地（或需求地），分别记为B 1,B 2,…,B n ，每个销地j 的需求量为b j ；从产地i 到销地j 的单位运费（或单位运输时间）为c ij ；用x ij 表示从产地i 到销地j 的运量，则运输问题可以归结为以下的线性规划问题：其中，目标函数表示总的运费或总的运输时间，约束条件表示每个产地的供应量必须等于其产量，每个销地的需求量必须等于其销量，以及每条运输路线的运量不能为负数。
在实际问题中，可能出现以下几种情况：产销平衡：即∑m i =1a i =∑n j =1b j ，也就是说总的供应量等于总的需求量。
这种情况下，上述数学模型可以直接应用。
产大于销：即∑m i =1a i >∑n j =1b j ，也就是说总的供应量大于总的需求量。
这种情况下，可以增加一个虚拟的销地，其需求量等于供需差额，且其与各个产地的单位运费为零。
这样就可以把问题转化为一个产销平衡的问题。
产小于销：即∑m i =1a i <∑n j =1b j ，也就是说总的供应量小于总的需求量。
这种情况下，可以增加一个虚拟的产地，其产量等于供需差额，且其与各个销地的单位运费为零。
这样也可以把问题转化为一个产销平衡的问题。
弹性需求：即某些销地对商品的需求量不是固定不变的，而是随着商品价格或其他因素而变化。
数学建模运筹模型
X={1,2,4}
w1=0
w2=2
2
6
1
2
3
1
10
w4=1
5
9
3
4
7
5
6
5
2
3
4
6
7
4
w6=3
8 8
min {c16,c23,c25,c47}=min {0+3,2+6,2+5,1+2}=min {3,8,7,3}=3
X={1,2,4,6}, w6=3
X={1,2,4,6}
w1=0
例 有一份说明书，需要译成英、日、德、俄四种文字，现有甲
乙丙丁四个人，他们将说明书译成不同文字所需要的时间如
下表所示，问应指派哪个人完成哪项工作，耗用的总时间最
少？
英语 日语 德语 俄语
甲
2
15 13
4
乙
10
4
14 15
丙
9
14 16 13
丁
7
8
11
9
指派问题
一般地，有n项任务、n个完成人，第i人完成第j项任务的代
运输问题
闭回路：
ai
3
113
1
9
2
8
4
3
1
7
4
10
5
9
6
3
bj
3
6
5
6
20
运输问题
迭代及新基本可行解的检验数计算：
-2
4
-2
5
ai
3
11
3
10
5
7
[0]
[2]
5
2
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数学建模-运筹学模型(一)
运筹学模型（一）
本章重点：
线性规划基础模型、目标规划模型、运输模型及其应用、图论模型、最小树问题、最短路问题 复习要求：
1.进一步理解基本建模过程，掌握类比法、图示法以及问题分析、合理假设的内涵.
2.进一步理解数学模型的作用与特点.
本章复习重点是线性规划基础模型、运输问题模型和目标规划模型.具体说来，要求大家会建立简单的线性规划模型，把实际问题转化为线性规划模型的方法要掌握，当然比较简单.运输问题模型主要要求善于将非线性规划模型转化为运输规化模型，这种转化后求解相当简单.你至少把一个很实际的问题转化为用表格形式写出的模型，至于求解是另外一回事，一般不要求.目标模型一般是比较简单的线性规模模型在提出新的要求之后转化为目标规划模型.另外，关于图论模型的问题涉及到最短路问题，具体说来用双标号法来求解一个最短路模型.这之前恐怕要善于将一个实际问题转化为图论模型.还有一个最小数的问题，该如何把一个网络中的最小数找到.另外在个别场合可能会涉及一笔划问题. 1.营养配餐问题的数学模型
n n x C x C x C Z 211m in
)
,,2,1(0,
,,22112222212111212111n j x b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a t s j m
n mn m m n n n n
或更简洁地表为
n
j j
j
x C
Z 1
min
),,2,1,,2,1(01
n j m i x b x a t s j n
j i j ij 其中的常数C j 表示第j 种食品的市场价格，a ij 表示第j 种食品含第i 种营养的数量，b i 表示人或动物对第i 种营养的最低需求量. 2.合理配料问题的数学模型
有m 种资源B 1，B 2，…，B m ，可用于生产n 种代号为A 1，A 2，…，A n 的产品.单位产品A j 需用资源B i 的数量为a ij ，获利为C j 单位，第i 种资源可供给总量为b i 个单位.问如何安排生产，使总利润达到最大？ 设生产第j 种产品x j 个单位（j =1，2，…，n ），则有
n n x C x C x C Z 2211m ax
)
,,2,1(0,
,,2211222212111212111n j x b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a t s j m
n mn m m l n n n n
或更简单地写为
n
j j
j
x C
z 1
max
n j m i x b x a t s j
n
j i j ij ,,2,1,,2,101
3.运输问题模型
运输问题也是一种线性规划问题，只是决策变量设置为双下标变量.假如问题具有m 个产地和n 个销地，第i 个产地用A i 表示，其产量为a i （i =1，2，…，m ），第j 个销地用B j 表示，其销量为b j （j =1，2，…，
n ），从A i 运往B j 的运价为c ij ， 而
m
i n
j j
i
b
a
1
1
表示产销平衡.那么产销平衡运输问题的一般模型可以
写成为
m i n
j ij
ij x c Z 11
min
n j m i x b x a x t s ij m
i j ij n
j i ij ,,2,1,,2,1011
4.目标规划模型
某工厂生产代号为Ⅰ、Ⅱ的两种产品，这两种产品都要经甲、乙两个车间加工，并经检验与销售两部门处理.已知甲、乙两车间每月可用生产工时分别为120小时和150小时，每小时费用分别为80元和20元，其它数据如下表 表4-1 项目 数据 产品 甲车间加工
（时/件） 乙车间加工
（时/件） 检验销售
（元/件） 利 润
（元/件） Ⅰ 2 1 50 100 Ⅱ
1
3
30
75
工厂领导希望给出一个可行性生产方案，使生产销售及检验等方面都能达标. 问题分析与模型假设
经与工厂总经理交谈，确定下列几条： p 1： 检验和销售费每月不超过4600元； p 2： 每月售出产品I 不少于50件；
p 3： 两车间的生产工时充分利用（重要性权系数按两车间每小时费用比确定）； p 4：甲车间加班不超过20小时； p 5：每月售出产品Ⅱ不少于80件；
p 6：两车间加班总时数要有控制（对权系数分配参照第三优先级）. 模型建立
设x 1，x 2分别为产品Ⅰ和Ⅱ的月产量，先建立一般约束条件组，依题设 4600305021 x x 检验销售费用
501
x 802 x
120221 x x
150321 x x
设d 1表检验销售费偏差，则希望
1d 达最小，有,11 d p 相应的目标约束为
1121305d d x x = 4600；
2d 表产品I 售量偏差，则希望 2d 达最小，有,22
d p 相应的目标约束
,50221
d d x
以d 3、d 4表两车间生产工时偏差，则由于充分利用，故希望
43,d d 达最小，考虑到费用比例为80：
20=4：1，有)4(433
d d p .相应的目标约束应为
120
23321 d d x x 和
4421
3d d x x =150，
以d 5表甲车间加班偏差，则有,54 d p 相应目标约束为
20553 d d d ，
以d 6表产品Ⅱ售量偏差，则希望
6d 达最小，有相应约束为
80662 d d x .
最后优先级p 6可利用
43
d d 表示，考虑到权系数，有),4(436
d d p 其目标约束由于利用超
售出两车间
生产工时，已在工时限制中体现，于是得到该问题的目标规划模型为
65544332211)4(min d p d p d d p d p d p z )4(436
d d p
)
6,,2,1(0,,0,80
20150312025046003050216625534
42133212211121 l d d x x d d x d d d d d x x d d x x d d x d d x x t s l l
5.最小树问题
一个图中若有几个顶点及其边的交替序列形成闭回路，我们就说这个图有圈；若图中所有连顶点间都有边相接，就称该图是连通的；若两个顶点间有不止一条边连接，则称该图具有多重边. 一个图被称为是树．意味着该图是连通的无圈的简单图. 在具有相同顶点的树中，总赋权数最小的树称为最小树.
最小树的求法有两种，一种称为“避圈法”，一种是“破圈法”，两法各具优缺点，它们具有共同的特征——去掉图中的圈并且每次都是去掉圈中边权较大的边. 6.最短路问题的数学模型
最短路问题一般描述如下：在一个图（或者说网络）中，给定一个始点v s 和一个终点v t ，求v s 到v t 的一条路，使路长最短（即路的各边权数之和最小）. 狄克斯屈（E.D.Dijkstra ）双标号法
该法亦称双标号法，适用于所有权数均为非负（即一切0 ij
w w ij 表示顶点v i 与v j 的边的权数）的
网络，能够求出网络的任一点v s 到其它各点的最短路，为目前求这类网络最短路的最好算法.
该法在施行中，对每一个点v j 都要赋予一个标号，并分为固定标号P （v j ）和临时标号T （v j ）两种，其含义如下：
P （v j ）——从始点v s 到v j 的最短路长； T （v j ）——从始点v s 到v j 的最短路长上界.
一个点v j 的标号只能是上述两种标号之一.若为T 标号，则需视情况修改，而一旦成为P 标号，就固定不变了.
开始先给始点v s 标上P 标号0，然后检查点v s ，对其一切关联边（v s ， v j ）的终点v j ，给出v j 的T 标号w ij ；再在网络的已有T 标号中选取最小者，把它改为P 标号.以后每次都检查刚得到P 标号那点，按一定规则修改其一切关联边终点的T 标号，再在网络的所有T 标号中选取最小者并把它改为P 标号.这样，每次都把一个T 标号点改为P 标号点，因为网络中总共有n 个结点，故最多只需n -1次就能把终点v t 改为
P 标号.这意味着已求得了v s 到v t 的最短路.
狄克斯屈标号法的计算步骤如下： 1°令S ={v s }为固定标号点集，}{\s v V S
为临时标号点集，再令0)( i v P ，S
v t ；
2°检查点v i ，对其一切关联边（v i ， v j ）的终点S
v j ，计算并令
)(})(),(min{j ij i j v T w v P v T
3°从一切S
v j 中选取并令
)()()}(min{r r j v T v T v T
选取相应的弧（v i ， v r ）.再令
S
v S S v S r r }{\,}{
4°若 S
，则停止，)(j v P 即v s 到v j 的最短路长，特别)(t v P 即v s 到v t 的最短路长，而已选
出的弧即给出v s 到各点的最短路；否则令i r
v v ，返2°.
注意：若只要求v s 到某一点v t 的最短路，而没要求v s 到其他各点的最短路，则上述步骤4°可改为 4°若r = t 则结束，)(r v P 即为所求最短路长；否则令i r v v ，返2°.。