有效数字及其运算规则
有效数字及运算法则
（2）计算不确定度 N
N
0.01 0.2 0.004 A B C N A B C 3.21 6.5 21.843
2 2 2 2 2 2
3.21 6.5 = 21 – 3.21 – 6.5
–
–
–
20.865
N AB / C
其中：
A 3.21 0.01cm , B 6.5 0.2cm , C 21.843 0.004 cm
试确定N的有效数字。
解：
（1）先计算N
3.21 6.5 N 0.957 cm 21.8
读数的一般规则： 读至仪器误差所在的位置
（1）用米尺测长度
（2）用0.1级量程为100mA电流表测电流
对于0.1级表：
△仪= 100mA×0.1% = 0.1mA
指针在82mA与83mA之间：读为82.* mA 指针正好在82mA上：读为82.0mA
对于1.0级表 △仪=100mA×1.0%=1mA
50.00 2.0 = 100 1.00 2 1.010 = 100 = 1.0
2 10.0 lg100.0 27.3211 27.31
35
=
100 2.0000 35 0.01
2104 35 = =
4 210
试用有效数字计算结果：
（1）123.98 - 40.456 + 7.8 = 171.0 （2） lg10.00 = 1.0000
2 65
2 N 0.957 0.03cm 65
（3）根据误差（不确定度）决定有效数字，有：
N 0.96 0.03cm
王元杭：有效数字及其运算规则
例：测定某物质的含量为0.5180g，即0.5180±0.0001g相对误 差
Er 1 100% 0.02% 5180
二、数字的修约规则 “四舍六入五成双，五后有数就进一，五 后没数要留双”规则： 1、当测量值中修约的那个数字等于或小于4 时，该数字舍去；等于或大于6时，进位；等 于5时(5后面无数据或是0时)，如进位后末位 数为偶数则进位，舍去后末位数位偶数则舍 去。5后面有数时，进一位。 2、修约数字时，只允许对原测量值一次修约 到所需要的位数，不能分次修约。
第三部分：课堂练习 按数字的修约规则（保留三位）4.135修约 为 ，4.125修约为 ，4.105修约 为 ，4.1251修约为 ，4.1349修约 为 。 第四部分：课堂小结 掌握有效数字及其运算规则 作业：P20：6（1）、（2）
三、有效数字的运算法则
1.加减法：当几个数据相加减时，它们和或差的 有效数字位数，应以小数点后位数最少的数据为 依据，因小数点后位数最少的数据的绝对误差最 大。例： 0.0121+25.64+1.05782=？ 绝对误差 ±0.0001 ±0.01 ±0.00001 在加合的结果中总的绝对误差值取决于25.64。 0.01+25.64+1.06=26.71
§2.2 有效数字及 其运算规则
王元杭
一、有效数字（significant figure）的概念
指在分析工作中实际能测到的数字， 它包括所有的准确数字和最后一位可 疑数字。在有效数字中, 只有最后一位 数是不确定的，可疑的。有效数字位 数由仪器准确度决定，它直接影响测 定的相对误差。
举
例
有效数字及其运算规则
有效数字及其运算规则有效数字是科学计数法和普通计数法中最为重要的概念之一，它们在各个领域的数学运算和实际应用中都起着至关重要的作用。
本文将介绍有效数字的概念、计算规则以及其在科学与工程领域中的实际应用。
1. 有效数字的概念有效数字是指测量或表达数据时所能表达的最可靠的数字。
它们通常由测量精度和测量仪器的精确度决定。
有效数字的数量表示了测量值的精度与可靠性。
2. 有效数字的计算规则有效数字的计算规则基于四则运算原理，即加法、减法、乘法和除法。
下面将介绍每种运算的规则：2.1 加法和减法运算规则在加法和减法运算中，有效数字的结果取决于被操作数中最不精确的数字。
具体规则如下：- 保留小数点后面最少的位数。
- 结果中小数点的位置与被操作数中小数点位置对齐。
2.2 乘法和除法运算规则在乘法和除法运算中，有效数字的结果取决于被操作数中最少的有效数字位数。
具体规则如下：- 保留最少有效数字的位数。
- 结果小数点的位置取决于被操作数中小数点的位置及有效数字的位数。
3. 有效数字的应用有效数字在科学和工程领域中有广泛的应用。
以下是几个常见领域的例子：3.1 物理学中的有效数字在物理学中，实验数据的精度对研究结果的可靠性至关重要。
通过使用有效数字，我们可以准确地表达测量结果的误差范围，并对实验数据进行分析和比较。
3.2 工程学中的有效数字在工程学中，有效数字对于设计和制造过程中的精确度至关重要。
例如，在计算结构材料的强度和稳定性时，使用有效数字可以有效地确定其可靠性和安全性。
3.3 金融学中的有效数字在金融学中，有效数字可以帮助我们计算和分析财务数据，如收入、支出、利润等。
使用有效数字可以更加准确地评估投资风险和决策效果。
4. 总结有效数字是数学和实际应用中至关重要的概念之一。
它们通过运算规则可以帮助我们准确地表达、计算和分析数据。
有效数字的应用涵盖了物理学、工程学、金融学等多个领域。
我们应该在各个领域中灵活运用有效数字的概念，并重视数据的精确性和可靠性。
有效数字及其运算规则
的必要。
在上面两例中，我们按数值的大小对齐后相加或相减，并以其中可疑位数最靠前的为基准，先进行取舍，取齐诸数的可疑位数，然后加、减，则运算简便，结果相同。
2.有效数字的乘除
点后面是可疑数字，允许有所不同。
从以上两例中可得如下结论：诸量相乘或相除，以有效数字最少的数为标准，将有效数字多的其它数字，删至与文相同，然后进行运算。最后结果中的有效数字位数与运算前诸量中有效数字位数最少的一个相同。
2.确定测量结果有效数字的基本方法
(1)仪器的正确测读
仪器正确测读的原则是：读出有效数字中可靠数部分是由被测量的大小与所用仪器的最小分度来决定。可疑数字由介于两个最小分度之间的数值进行估读，估读取数一位(这一位是有误差的)。
例如，用分度值为1mm的米尺测量一物体的长度，物体的一端正好与米尺零刻度线对齐，另一端如图1-1。
4.数值表示方幂来表示其数量级。前面的数字是测得的有效数字，并只保留一位数在小数点的前面。如×105m×10-3kg等。
二、有效数字的运算规则
在有效数字的运算过程中，为了不致因运算而引进误差或损失有效数字，影响测量结果的精确度，并尽可能地简化运算过程，因此，规定有效数字运算规则如下(例中加横线的数字代表可疑数字)：
有效数字及其运算规则
§ 有效数字及其运算规则
一、有效数字的一般概念
1.有效数字
任何一个物理量，其测量结果必然存在误差。因此，表示一个物理量测量结果的数字取值是有限的。
我们把测量结果中可靠的几位数字，加上可疑的一位数字，统称为测量结果的有效数字。例如，的有效数字是三位，是可靠数字，尾位“8”是可疑数字。这一位数字虽然是可疑的，但它在一定程度上反映了客观实际，因此它也是有效的。
有效数字及其运算规则
§2—3有效数字及其运算规则1. 有效数字的一般概念1) 有效数字的概念 实验中测量的结果都是有误差的，那么测量值如何表达才算合理呢？如用最小分度值为1mm 的尺子测得某物体的长度L ＝12.46cm ，可否写成12.460cm 或12.4600cm 呢？回答当然是否定的，因为用该米尺测量时毫米以下的一位数字6已经是估计的（即有误差存在），再往下估读已无实际意义。
在大学物理实验中，12.460和12.4600这两个数值与12.46有着不同的含义，即表示它们的误差是不相同的。
在实验测量和近似计算中得到的数据，其末位是有误差的，我们称这种数为有效数字。
所以，有效数字是由若干位准确数字和一位欠准确数字构成的。
上面的举例L=12.46cm ，就是有四位有效数字。
若我们用最小分度为0.02mm 的游标卡尺去测量该物体，得L ＝12.460cm ；用最小分度为0.0lmm 的螺旋测微器测量该物体，读数为12.4602cm ，则它们分别是五位和六位的有效数字。
由此可见，同一物体，用不同精度的仪器去测量，有效数字的位数是不同的，精度越高，有效位数越多。
当我们用m 或km 作单位时，物理量L ＝12.46cm 表示为L ＝0.1246m 或L ＝0.0001246km ，它们是几位有效数字呢？因为单位换算并没有改变它原来测量的精度，因此仍是四位有效数字，这里的“0”是确定小数点位置的，不是有效数字，也就是说，在非零数字前的“0”不是有效数字。
当“0”不是确定小数点位置，即在非零数字后面时，与其它的字码是有同等地位的，都是有效数字。
例如，1.005cm ，是四位有效数字；1.00m 是三位有效数字。
这里的“0”就不能随便的增或减。
2) 数值的科学表达方式当一个数值很大，但有效数字又不多的情况下，如何来正确表达呢? 这时可以用尾数乘以10的多少次幂的形式表示，即所谓的科学记数法。
例如某号钢的弹性模量为，它有三位有效数字，显然写成197,000,000,000是不妥当的。
有效数字及其运算规则
题目有效数字及其运算规则编码:页码：1/3修订审核批准修订日期审核日期批准日期颁发部门质量管理部颁发数量份生效日期分发单位生产部、质量管理部一、目的：建立有效数字及其运算规程，规范药品生产时记录数据的运算规范、准确。
二、范围：适用于所有相关数据的计算。
三、责任者：生产部、质量管理部。
四、内容1．有效数字1.1定义有效数字就是实际能测到的数字。
有效数字的位数和分析过程所用的分析方法、测量方法、测量仪器的准确度有关。
我们可以把有效数字这样表示。
有效数字＝所有的可靠的数字+ 一位可疑数字1.2有效数字位数从一个数的左边第一个非0数字起，到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字。
例：A.0.0109，前面两个0不是有效数字，后面的109均为有效数字（注意，中间的0也算）。
B.3.109*10^5（3.109乘以10的5次方）中，3 1 0 9均为有效数字，后面的10的5次方不是有效数字。
C.5200000000，全部都是有效数字。
D.0.0230，前面的两个0不是有效数字，后面的230均为有效数字（后面的0也算）。
E.1.20 有3个有效数字。
F.1100.120 有7位有效数字。
G.2.998*104（2.998乘以10的4次方）中，保留3个有效数字为3.00*104。
H.对数的有效数字为小数点后的全部数字，如lg x=1.23有效数字为2.3，lg a=2.045有效数字为0、4.5，pH=2.35有效数字为3.5。
1.3“0”的双重意义1.3.1作为定位的标志。
例：滴定管读数为20.30毫升。
两个0都是测量出的值，算做普通数字，都是有效数字，这个数据有效数字位数是四位。
1.3.2作为普通数字使用例：改用“升”为单位，数据表示为0.02030升，前两个0是起定位作用的，不是有效数字，此数据是四位有效数字。
2.有效数字的运算规则2.1数字修约规则题目有效数字及其运算规则页码：2/3颁发部门质量管理部编码：测量值的数字的舍入，首先要确定需要保留的有效数字和位数，保留数字的位数确定以后，后面多余的数字就应予以舍入修约，其规则为“四舍六入五成双”，具体规则如下：2.1.1当保留n位有效数字，若第n+1位数字小于5时，则舍去，即保留的各位数字不变。
有效数字及其运算规则
第六节有效数字及其运算规则一、有效数字的含义及位数为了得到准确的分析结果，不仅要准确地测量，而且还要正确地记录和运算，即记录的数字不仅表示数量的大小，而且要正确的反映测量的精确程度。
如某物重0.5180g 、其中0.518 是准确的，“0 ”位可疑，即其有上下一个单位的误差，也就是说此物重的绝对误差为二．有效数字的运算规则：1 ．和或差的有效数字：几个数相加减时，和或差的有效数字的保留，应以小数点后位数最少的数据为根据，即决定于绝对误差最大的那个数据。
例如：0.0121+25.64+1.05782 ＝26.70992应依25.64 为依据，即：原式＝26.71小数点后位数的多少反映了测量绝对误差的大小，如小数后有1 位，它的绝对误差为±0.1 ，而小数点有 2 位时，绝对误差为±0.01 。
可见，小数点具有相同位数的数字，其绝对误差的大小也相同。
而且，绝对误差的大小仅与小数部分有关，而与有效数字位数无关。
所以，在加减运算中，原始数据的绝对误差，决定了计算结果的绝对误差大小，计算结果的绝对误差必然受到绝对误差最大的那个原始数据的制约而与之处在同一水平上。
2 ．乘除法几个数相乘、除时，其积或商的有效数字应与参加运算的数字中，有效数字位数最少的那个数字相同。
即：所得结果的位数取决于相对误差最大的那个数字。
商应与0.0325 在同一水平上，即取3 位。
又如：3.001×2.1= 6.3有效数字的位数的多少反映了测量相对误差的大小。
如 2 位有效数字1.0 和9.9 它们的都是±0.1 ，相对误差分别为±10% 和±1%, 即：两位有效数字的相对误差总在±1% ～10%叁位有效数字的相对误差总在±0.1 ～1%肆位有效数字的相对误差总在±0.01 ～±0.1% 之间。
可见，相同有效数字位数的数字，其相对误差E r，处在同一水平上：而且E r的大小，仅与有效数字位数有关，而与小数点位数无关。
有效数字及运算规则
有效数字及运算规则1.4.1 有效数字的基本概念任何测量结果都存在不确定度，测量值的位数不能任意的取舍，要由不确定度来决定，即测量值的末位数要与不确定度的末位数对齐。
如体积的测量值3cm 961.5=V ，其不确定度3cm 04.0=V U ，由不确定度的定义及V U 的数值可知，测量值在小数点后的百分位上已经出现误差，因此961.5=V 中的“6”已是有误差的欠准确数，其后面一位“1”已无保留的意义，所以测量结果应写为3cm 04.096.5±=V 。
另外，数据计算都有一定的近似性，计算时既不必超过原有测量准确度而取位过多，也不能降低原测量准确度，即计算的准确性和测量的准确性要相适应。
所以在数据记录、计算以及书写测量结果时，必须按有效数字及其运算法则来处理。
熟练地掌握这些知识，是普通物理实验的基本要求之一，也为将来科学处理数据打下基础。
测量值一般只保留一位欠准确数，其余均为准确数。
所谓有效数字是由所有准确数字和一位欠准确数字构成的，这些数字的总位数称为有效位数。
一个物理量的数值与数学上的数有着不同的含义。
例如，在数学意义上600.460.4=，但在物理测量中(如长度测量)，cm 600.4cm 60.4≠，因为cm 60.4中的前两位“4”和“6”是准确数，最后一位“0”是欠准确数，共有三位有效数字。
而cm 600.4则有四位有效数字。
实际上这两种写法表示了两种不同精度的测量结果，所以在记录实验测量数据时，有效数字的位数不能随意增减。
1.4.2 直接测量的读数原则直接测量读数应反映出有效数字，一般应估读到测量器具最小分度值的10/1。
但由于某些仪表的分度较窄、指针较粗或测量基准较不可靠等，可估读5/1或2/1分度。
对于数字式仪表，所显示的数字均为有效数字，无需估读，误差一般出现在最末一位。
例如：用毫米刻度的米尺测量长度，如图1-4-1(a )所示，cm 67.1=L 。
“6.1”是从米尺上读出的“准确”数，“7”是从米尺上估读的“欠准确”数，但是有效的，所以读出的是三位有效数字。
有效数字及其运算规则
1. 有效数字及其运算规则1. 1 有效数字1. 定义有效数字就是实际能测到的数字。
有效数字的位数和分析过程所用的分析方法、测量方法、测量仪器的准确度有关。
我们可以把有效数字这样表示。
有效数字＝所有的可靠的数字+ 一位可疑数字表示含义：如果有一个结果表示有效数字的位数不同，说明用的称量仪器的准确度不同。
例：7.5克用的是粗天平7.52克用的是扭力天平7.5187克用的是分析天平2. “0”的双重意义作为普通数字使用或作为定位的标志。
例：滴定管读数为20.30毫升。
两个0都是测量出的值，算做普通数字，都是有效数字，这个数据有效数字位数是四位。
改用“升”为单位，数据表示为0.02030升，前两个0是起定位作用的，不是有效数字，此数据是四位有效数字。
3. 规定(1)．倍数、分数关系无限多位有效数字(2). pH、pM、lgc、lgK等对数值，有效数字由尾数决定。
例： pM＝5.00 （二位）[M]=1.0×10-5 ；PH＝10.34（二位）；pH＝0.03（二位）注意：首位数字是8，9时，有效数字可多计一位, 如9.83―四位。
1. 2 数字修约规则（“四舍六入五成双”规则）规定：当尾数≤4时则舍，尾数≥6时则入；尾数等于5而后面的数都为0时，5前面为偶数则舍，5前面为奇数则入；尾数等于5而后面还有不为0的任何数字，无论5前面是奇或是偶都入。
例：将下列数字修约为4位有效数字。
修约前修约后0.526647--------0.52660.36266112------0.362710.23500--------10.24250.65000-------250.618.085002--------18.093517．46--------3517注意：修约数字时只允许一次修约，不能分次修约。
如：13.4748－13.471. 3 计算规则1. 加减法先按小数点后位数最少的数据保留其它各数的位数，再进行加减计算，计算结果也使小数点后保留相同的位数。
有效数字及其运算规则
§1、４有效数字及其运算规则一、有效数字得一般概念１、有效数字任何一个物理量,其测量结果必然存在误差。
因此，表示一个物理量测量结果得数字取值就是有限得。
我们把测量结果中可靠得几位数字,加上可疑得一位数字,统称为测量结果得有效数字。
例如,2、78得有效数字就是三位,２、7就是可靠数字,尾位“8”就是可疑数字。
这一位数字虽然就是可疑得,但它在一定程度上反映了客观实际,因此它也就是有效得。
2、确定测量结果有效数字得基本方法(１)仪器得正确测读仪器正确测读得原则就是：读出有效数字中可靠数部分就是由被测量得大小与所用仪器得最小分度来决定。
可疑数字由介于两个最小分度之间得数值进行估读，估读取数一位(这一位就是有误差得）。
例如,用分度值为1ｍm得米尺测量一物体得长度，物体得一端正好与米尺零刻度线对齐，另一端如图１-1。
此时物体长度得测量值应记为L=83.87cm。
其中,83、8就是可靠数,尾数“7”就是可疑数,有效数字为四位。
（2)对于标明误差得仪器,应根据仪器得误差来确定测量值中可疑数所以用该电压表测量时，其电压值只需读到小数点后第一位。
如某测量值为1２、3Ｖ,若读出:1２、32Ｖ,则尾数“2”无意义,因为它前面一位“3”本身就就是可疑数字。
(3)测量结果得有效数字由误差确定。
不论就是直接测量还就是间接测量,其结果得误差一般只取一位。
测量结果有效数字得最后一位与误差所在得一位对齐。
如L=(83、87±0、02）cm就是正确得，而L=(83、868±0、02)cm与L＝(83、9±0、0２)ｃm都就是错误得。
3、关于“0”得问题有效数字得位数与十进制得单位变换无关。
末位“0”与数字中间得“0”均属于有效数字。
如2３、 20ｃm；１0、2V等，其中出现得“0”都就是有效数字。
小数点前面出现得“0”与它之后紧接着得“0”都不就是有效数字。
如0.２5cｍ或0．04５ｋg中得“0”都不就是有效数字,这两个数值都只有两位有效数字。
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为估计值，不够准确，故称为可疑值。
A
3
2. 有关有效数字的讨论
（1）正确记录实验数据
用分析天平与用托盘天平称取试样的不同。
（2）实验记录的数字不仅表示数量的大小，而且
要正确地反映测量的精确程度。
（3）一般有效数字的最后一位数字有±1个单位的
误差。
结果
绝对偏差
相对偏差 有效数字位数
0.51800
±0.00001
±0.002%
5
0.5180
±0.0001
±0.02%
4
0.518
±0.001
±0.2%
A
3
4
（4）数据中零的作用
数字零在数据中具有双重作用： a. 作普通数字用，
如 0.5180； 5.180 10－1 4位有效数字 b. 作定位用，
读出的，是准确的。最后一位不一致，因是估计出来
的。人眼的分辨能力不同，故估读数有小的差别。该
数称为估计数据，也叫可疑数字。但它并不是臆造出
来的，读数时应加以保留。
A
2
1. 实验过程中遇到的两类数字
（1）非测量值 如测定次数；倍数；系数；分数；常数(π)
有效数字位数可看作无限多位。 （2）测量值或计算值 实际测量得到的数字和按照一定计量关系计算
0.0325 5.103 60.06 139.8
±0.0001 / 0.0325 100% = ±0.3% ±0.001 / 5.103 100% = ±0.02% ±0.01 / 60.06 100% = ±0.02% ±0.1 / 139.8 100% = ±0.07%
先修约再运算？先运算再修约？ 结果数值有时不
A
8
2.4.3 运算规则
1.加减法运算
结果的位数取决于绝对误差最大的数据的位数
例： 0. 0121
绝对误差： 0.0001
25. 64
0.01
1. 057
0.001
26.7091
A
9
2. 乘除法运算
有效数 60.0)/ 139.8 =0.071179184=0.0712
一样。将参与运算的各数的有效数字位数修约到比该
数应有的有效数字位数多一位(多取的数字称为安全数
字)，再进行运算。
A
10
如 0.0518；5.18 10－2 3位有效数字
A
5
（5）注意点
a. 容量器皿: 滴定管,移液管,容量瓶；4位有效数字
b. 分析天平（万分之一）取4位有效数字 c. 标准溶液的浓度，用4位有效数字表示:
0.1000 mol/L d. pH = 4.34，小数点后的数字位数为有效数字位
数；对数值，lgX = 2.38；lg(2.4 102)
§2.4 有效数字及其运算规则
2.4.1 有效数字
数据位数反映测量的精确程度的数字称为 有效数字。
（分析工作中实际上能测量到的数字）
A
1
例如：读取滴定管上的体积，
甲得到23.43mL； 乙得到23.42mL（；估可计疑值值） 丙得到23.44mL，
误差：E=±0.01mL
以上读数中前三位是一致的，因它是由具体刻度
数据修约规则可参阅GB8170-87。
A
7
3.示例与讨论
（1）示例：保留四位有效数字，修约： 14.2442 → 14.24 26.4863 → 26.49 15.0250 → 15.02 15.0150 → 15.02 15.0251 → 15.03
（2）一次修约到位，不能连续多次的修约 如 2.3457修约到两位，应为2.3， 如连续修约则为 2.3457 → 2.346 → 2.35 → 2.4 不对。
（6）运算数字中首位数字≥8，有效数字可
多记一位。
A
6
2.4.2 修约规则
1. 为什么要进行修约？
数字位数能正确表达实验的准确度，舍去多余的数字。
2. 修约规则：“四舍六入五留双”
（1）当多余尾数≤4时舍去尾数，≥6时进位。 （2）尾数正好是5时分两种情况：
a. 若5后数字不为0，一律进位，0.1067534 b. 5后无数或为0，采用5前是奇数则将5进位，5前是偶 数则把5舍弃，简称“奇进偶舍”。0.43715; 0.43725