有效数字与运算规则
有效数字及运算法则
有效数字及运算法则
一、有效数字的一般概念
定义：在测量结果的数字表示 中，由若干位可靠数字加一位 可疑数字，便组成了有效数字。
上述例子中的测量结果均为三 位有效数字
N
2 65
差（不确定度）决定有效数字，有：
N 0.96 0.03cm
运算规则：结果的有效数字与其底或被开
方数的有效数字位数相同。
如： 1002=100102
100=10.0
49 = 7.0 4.02=16 正确
49 = 7 4.02=16.0 错误
试确定N的有效数字。
解： （1）先计算N
N 3.21 6.5 0.957cm 21.8
（2）计算不确定度 N
N
A
2
B
2
C
2
0.01 2
0.2 2
0.004
2
2
N A B C 3.21 6.5 21.843 65
=
1.0102 100
= 1.0
10.02 lg100.0 35 27.3211 27.31 = 100 2.0000 35
0.01 = 2104 35 = 2104
试用有效数字计算结果： （1）123.98 - 40.456 + 7.8 = 171.0 （2） lg10.00 = 1.0000 （3）789.30 × 50 ÷ 0.100 = 3.9×103 （4）1.002 = 1.00
有效数字及其运算规则
有效数字及其运算规则有效数字是科学计数法和普通计数法中最为重要的概念之一，它们在各个领域的数学运算和实际应用中都起着至关重要的作用。
本文将介绍有效数字的概念、计算规则以及其在科学与工程领域中的实际应用。
1. 有效数字的概念有效数字是指测量或表达数据时所能表达的最可靠的数字。
它们通常由测量精度和测量仪器的精确度决定。
有效数字的数量表示了测量值的精度与可靠性。
2. 有效数字的计算规则有效数字的计算规则基于四则运算原理，即加法、减法、乘法和除法。
下面将介绍每种运算的规则：2.1 加法和减法运算规则在加法和减法运算中，有效数字的结果取决于被操作数中最不精确的数字。
具体规则如下：- 保留小数点后面最少的位数。
- 结果中小数点的位置与被操作数中小数点位置对齐。
2.2 乘法和除法运算规则在乘法和除法运算中，有效数字的结果取决于被操作数中最少的有效数字位数。
具体规则如下：- 保留最少有效数字的位数。
- 结果小数点的位置取决于被操作数中小数点的位置及有效数字的位数。
3. 有效数字的应用有效数字在科学和工程领域中有广泛的应用。
以下是几个常见领域的例子：3.1 物理学中的有效数字在物理学中，实验数据的精度对研究结果的可靠性至关重要。
通过使用有效数字，我们可以准确地表达测量结果的误差范围，并对实验数据进行分析和比较。
3.2 工程学中的有效数字在工程学中，有效数字对于设计和制造过程中的精确度至关重要。
例如，在计算结构材料的强度和稳定性时，使用有效数字可以有效地确定其可靠性和安全性。
3.3 金融学中的有效数字在金融学中，有效数字可以帮助我们计算和分析财务数据，如收入、支出、利润等。
使用有效数字可以更加准确地评估投资风险和决策效果。
4. 总结有效数字是数学和实际应用中至关重要的概念之一。
它们通过运算规则可以帮助我们准确地表达、计算和分析数据。
有效数字的应用涵盖了物理学、工程学、金融学等多个领域。
我们应该在各个领域中灵活运用有效数字的概念，并重视数据的精确性和可靠性。
有效数字与运算规则(2014.05.12)
有效数据定义、运算及其修约规则一、有效数据1.1有效数字定义有效数字是指实际能测量到的数值，在该数值中只有最后一位是可疑数字，其余的均为可靠数字。
1.2实际意义有效数字能反映出测量时的准确程度。
例如，用最小刻度为0.1cm的直尺量出某物体的长度为11.23cm，显然这个数值的前3位数是准确的，而最后一位数字就不是那么可靠，如测得物体的长度可能是11.24cm，亦可能是11.22cm，测量的结果有±0.01cm的误差。
我们把这个数值的前面3位可靠数字和最后一位可疑数字称为有效数字。
这个数值就是四位有效数字。
在确定有效数字位数时，特别需要指出的是数字“0”来表示实际测量结果时，它便是有效数字。
例如，分析天平称得的物体质量为7.1560g，滴定时滴定管读数为20.05mL，这两个数值中的“0”都是有效数字。
在0.006g中的“0”只起到定位作用，不是有效数字。
（1）容量器皿；滴定管；移液管；容量瓶；4位有效数字（2）分析天平（万分之一）取4位有效数字（3）标准溶液的浓度，用4位有效数字表示:0.1000 mol/L（4）pH 4.34 ,小数点后的数字位数为有效数字位数对数值，lg X =2.38；lg(2.4´102)1.3有效数字中＂0＂的意义＂0＂在有效数字中有两种意义：一种是作为数字定值，另一种是有效数字．例如在分析天平上称量物质，得到如下质量：以上数据中“0”所起的作用是不同的。
“0”是有效数字：10.0780，6位有效数字。
1.2056中，5位有效数字。
“0”作为数字定值：0.2044中，小数前面的“0”是定值用的，不是有效数字；0.0120中，“1”前面的两个“0”都是定值用的，而在末尾的“0”是有效数字，所以它有3位有效数字。
称量精确至0.0002g;15000m 和10000g很难肯定其中的0 是否是有效数字还是数字定值，写为1.5×104m，则表示有效数字是二位；如果把它写为1.50×104m则表示有效数字是三位。
有效数字及其运算规则
有效数字及其运算规则一、测量结果得有效数字1.有效数字得定义及其基本性质测量结果中所有可靠数字加上末位得可疑数字统称为测量结果得有效数字。
有效数字具有以下基本特性:(1)有效数字得位数与仪器精度(最小分度值)有关,也与被测量得大小有关。
对于同一被测量量,如果使用不同精度得仪器进行测量,则测得得有效数字得位数就是不同得。
例如用千分尺(最小分度值,)测量某物体得长度读数为。
其中前三位数字“”就是最小分度值得整数部分,就是可靠数字;末位“"就是在最小分度值内估读得数字,为可疑数字;它与千分尺得在同一数位上,所以该测量值有四位数字、如果改用最小分度值(游标精度)为得游标卡尺来测量,其读数为,测量值就只有三位有效数字。
游标卡尺没有估读数字,其末位数字“"为可疑数字,它与游标卡尺得也就是在同一数位上。
(2)有效数字得位数与小数点得位置无关,单位换算时有效数字得位数不应发生改变。
2、有效数字与不确定度得关系在我们规定不确定度得有效数字只取一位时,任何测量结果,其数值得最后一位应与不确定度所在得那一位对齐、如,测量值得末位“”刚好与不确定度得“"对齐。
由于有效数字得最后一位就是不确定度所在位,因此有效数字或有效位数在一定程度上反映了测量值得不确定度(或误差限值)。
测量值得有效数字位数越多,测量得相对不确定度越小;有效位数越少,相对不确定度就越大。
3.数值得科学表示法二、有效数字得运算规则１.数值得舍入修约原则测量值得数字得舍入,首先要确定需要保留得有效数字与位数,保留数字得位数确定以后,后面多余得数字就应予以舍入修约,其规则如下:(１)拟舍弃数字得最左一位数字小于5时,则舍去,即保留得各位数字不变。
(2)拟舍弃数字得最左一位数字大于5,或者就是５而其后跟有并非0得数字时,则进１,即保留得末位数字加１。
(3)拟舍弃数字得最左一位数字为5,而5得右边无数字或皆为0时,若所保留得末位数字为奇数则进1,为偶数或0则舍去,即“单进双不进”。
有效数字与运算法则
• 3600， 100
5位 4位 3位 2位
1位 位数含糊不确定
说明（1）0的不同作用：是有效数字，如1.0008中0；不是有效 数字，如0.0382中0，起定位作用； （2）位数不定的，可科学计数，3600，可写为3.6×103， 3.60×103，3.600×103，有效数字分别为2，3，4位。
如，将下列数字修约成4位有效数字： 0.52666 →0.5. 267
10.2452 → 10.25 10.2350 →10.24 10.2450 →10.24 10.245001 →10.25
有效数字运算规则
加减法: 结果的绝对误差应不小于各项中绝对误差 最大的数。(与末位数最大的数一致)
50.1 1.46 + 0.5812 52.1412 52.1
±0.1 ±0.01 ±0.001
50.1 1.5 + 0.6 52.2
先修约至安全数字，再运算，后修约至应有的有效数。
乘除法: 结果的相对误差应与各因数中相对误差最大的 数相适应 (即与有效数字位数最少的一致)
例1 0.0121 × 25.66 × 1.0578 ＝ 0.328432 (±0.8%) (±0.04%) (±0.01%) (±0.3%)
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注意（1）若数据进行乘除运算时, 第一位数字大于
或等于8, 其有效数字位数可多算一位。如9.46可 看做是四位有效数字。
（2）乘方或开方，结果有效数字位数不变。例如, 6.542=42.8
（3）对数计算：对数尾数的位数应与真数的有效 数字位数相同。
例如：[H ] 6.31011 mol/L
pH 10.20
a) 数字前0不计，数字后计入 : 0.02450
有效数值运算规则
有效数字及其运算规则一、有效数字(significant figure)概念：分析工作中实际上能测量到的数字。
包括：除最后一位为可疑数字，其余的数字都是准确的。
可理解为：在可疑数字的位数上有±1个单位的误差。
如：分析天平称量：1.21 23(g)（万分之一）滴定管读数：23.26(mL)二、有效数字的确定1. 记录测量数据时，只允许保留一位可疑数字。
2. 有效数字的位数反映了测量的相对误差，不能随意舍去或保留最后一位数字。
例：0.5780−⨯→0.5783. 若有一位数字大于或等于8，其有效数字位数应多算一位。
例1：9.37实际是三位有效数字，但已接近于10.00，故认为是四位有效数字。
例2：9.0⨯0.241÷2.84=0.764 （结果保留3位有效数字）4. 数据中的“0”作具体分析。
(1)数字中间的“0”，都是有效数值。
例：1.0005(2)数字后边的“0” ，都是有效数值。
例：5.0000(3)数字前面的“0” ，都不是有效数值，只起定位作用。
例：0.0052 5. 常数π,e等非测量所得数据以及、2，1/2等，5视为无限多位有效数字。
6. pH、pM、pK等对数值，有效数字位数仅取决于小数部分数字的位数。
如：pH=12.68,应为两位有效数值。
pH=12.68 即[H+]=2.1⨯10-13 两位不是四位7. 有效数字单位变化时，不能改变有效数字的位数。
20.00mL−−−→0.02000L例题看看下面各数的有效数字的位数:1.0008 43181 五位有效数字0.1000 10.98% 四位有效数字0.0382 1.98×10-10三位有效数字54 0.0040 二位有效数字0.05 2×105 一位有效数字3600 100 位数模糊pH=11.20对应于[H+]=6.3×10-12二位有效数字三、数字修约规则在计算一组准确度不同（即有效数字位数不同）的数据时，应按照确定了的有效数字将多余的数字舍弃。
有效数字及运算规则
有效数字及运算规则1.4.1 有效数字的基本概念任何测量结果都存在不确定度，测量值的位数不能任意的取舍，要由不确定度来决定，即测量值的末位数要与不确定度的末位数对齐。
如体积的测量值3cm 961.5=V ，其不确定度3cm 04.0=V U ，由不确定度的定义及V U 的数值可知，测量值在小数点后的百分位上已经出现误差，因此961.5=V 中的“6”已是有误差的欠准确数，其后面一位“1”已无保留的意义，所以测量结果应写为3cm 04.096.5±=V 。
另外，数据计算都有一定的近似性，计算时既不必超过原有测量准确度而取位过多，也不能降低原测量准确度，即计算的准确性和测量的准确性要相适应。
所以在数据记录、计算以及书写测量结果时，必须按有效数字及其运算法则来处理。
熟练地掌握这些知识，是普通物理实验的基本要求之一，也为将来科学处理数据打下基础。
测量值一般只保留一位欠准确数，其余均为准确数。
所谓有效数字是由所有准确数字和一位欠准确数字构成的，这些数字的总位数称为有效位数。
一个物理量的数值与数学上的数有着不同的含义。
例如，在数学意义上600.460.4=，但在物理测量中(如长度测量)，cm 600.4cm 60.4≠，因为cm 60.4中的前两位“4”和“6”是准确数，最后一位“0”是欠准确数，共有三位有效数字。
而cm 600.4则有四位有效数字。
实际上这两种写法表示了两种不同精度的测量结果，所以在记录实验测量数据时，有效数字的位数不能随意增减。
1.4.2 直接测量的读数原则直接测量读数应反映出有效数字，一般应估读到测量器具最小分度值的10/1。
但由于某些仪表的分度较窄、指针较粗或测量基准较不可靠等，可估读5/1或2/1分度。
对于数字式仪表，所显示的数字均为有效数字，无需估读，误差一般出现在最末一位。
例如：用毫米刻度的米尺测量长度，如图1-4-1(a )所示，cm 67.1=L 。
“6.1”是从米尺上读出的“准确”数，“7”是从米尺上估读的“欠准确”数，但是有效的，所以读出的是三位有效数字。
有效数字运算规则
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(２)分析天平（万分之一）称取样品，质量小数点后取 45 位有效数字。
(３)原则溶液旳浓度，用 4 位有效数字表达。
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四.有效数字规则在分析化学中旳应用
2．按有效数字旳运算规则正确地计算数据—报出合理旳 测试成果。 注意：算式中旳相对分子质量取 4 位有效数字。
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有效数字及其运算规则
二、有效数字修约原则： 在取舍有效数字位数时，应注意下列几点） （1）在分析化学计算中，经常会遇到某些分数、整数、倍 数等，这些数可视为足够有效。
（2）若某一数据第一位有效数字等于或不小于8，则有效 数字旳位数可多算一位。如：9.98，按4位算。
（3）在计算成果中，采用“四舍六入五成双” 原则进行修约。
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有效数字及其运算规则
三. 有效数字旳运算规则 2. 乘除运算
几种数据旳乘除运算中，所得成果旳有效数字旳位数 取决于有效数字位数至少旳那个数，即相对误差最大 旳那个数。
例：（ 0.0325 5.103 ）/ 139.8 = 0.00119
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有效数字及其运算规则
一般化学
有效数字及其运算规则
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有效数字及其运算规则
一.有效数字: 指实际上能测量到旳数字。 各位拟定数字+最终一位可疑数字
1．试验过程中常遇到两类数字：
（1）表达数目旳非测量值:如测定次数，倍数,系数,分数 （2）测量值或计算值。数据旳位数与测定旳精确度有关。 统计旳数字不但表达数量旳大小，还要正确地反应测量旳 精确程度。
（5）表达误差时，取一位有效数字已足够，最多取二位。
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（2） 第一位数字大于8时，多取一位，
如：8.48，可按4位算；
（3） 四舍六入五留双；
0.24335 = 0.2434；0.24345 = 0.2434
（4） 注意pH计算，[H+] = 5.0210 -3 ， pH = 2.299；
有效数字按小数点后的位数计算。
2013-12-17
3．改变单位，不改变有效数字的位数ห้องสมุดไป่ตู้
如： 24.01mL， 24.0110-3 L
4．注意点
（1）容量器皿；滴定管；移液管；容量瓶；4位有效数字 （2）分析天平（万分之一）取4位有效数字 0.1012 g （3）标准溶液的浓度，用4位有效数字表示： 0.1000 mol· -1 L （4）pH 4.34 ，小数点后的数字位数为有效数字位数 对数值：lg x = 2.38； lg(2.4102) = 2 + 0.38
0.0325 （±0.0001/0.0325） 100%=±0.3%
5.103
60.06 139.8
（±0.001 /5.103） 100%=±0.02%
（± 0.01 /60.06） 100%=±0.02% （±0.1 /139.8） 100% =±0.07%
混合运算时，加减和乘除分别按规则取有效数字位数。
数字修约时，只允许对原始数据进行一次修约，而 不能对该数据进行连续修约。 如将15.46修约到2位有效数字，必须将其一次修约 到15，而不能连续修约为15.46→15.5→16。
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内容选择：
2.1 定量分析中误差的基本概念 2.2 定量分析数据的评价和显著性检验
2.3 有效数字及其运算规则
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2.3.3 数字修约规则
“四舍五入”数字修约规则，出现正误差。
国家标准规定的“四舍六入五留双”数字修约规则。
【例2-7】 将下面数据修约为4位有效数字 1.36249→1.362 26.4863→26.49 2.00450→2.004 1.024501→1.025 1.0035→1.004 1.023501→1.024
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2.3.2 有效数字的运算规则
1. 加减运算
结果的位数取决于绝对误差最大的数据的位数
例： 0.0121 绝对误差：0.0001
25.64
1.057
0.01
0.001
26.7091
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2. 乘除运算
有效数字的位数取决于相对误差最大的数据的位数。
例：(0.0325 5.103 60.0)/ 139.8 = 0.071179184
第二章 定量分析中的误 差与数据评价
第三节 有效数字及其 运算规则
2.3.1 有效数字 2.3.2 有效数字的 运算规则 2.3.3 数字修约规 则
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2.3.1 有效数字
1．实验过程中常遇到的两类数字
（1）非测定值：如测定次数；倍数；系数；分数等。 （2）测量或计算值。数据的位数与测定准确度有关。 记录的数字不仅表示数量的大小，而且要正确地反 映测量的精确程度。 结果 绝对偏差 相对偏差 有效数字位数
2013-12-17
3. 对数和反对数运算
在对数与反对数运算中，对数的小数点后位数与真数 的有效数字位数相同（对数的整数部分不计入有效数字位 数)。如： ［Ｈ＋］＝5.6×10-13 mol· -1 Ｌ
pH=12.25
lgKa = -9.24
Ｋa＝5.8×10-10
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4. 注意点
0.51800
0.5180 0.518
±0.00001
±0.0001 ±0.001
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±0.002%
±0.02% ±0.2%
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2．数据中零的作用
数字零在数据中具有双重作用：
（1）作普通数字用，如 0.5180
4位有效数字 5.18010-1 （2）作定位用：如 0.0518 3位有效数字 5.1810-2
2.4 分析质量的保证与控制
2.5 标准曲线的回归分析
结束
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