有效数字运算规则
有效数字的运算规则
化验分析中，试样的组分含量，由一系列测得的原始数据经一定计算公式的算求得的。
在数的运算中，一般地说，两数相加或相减，应该使它们有相同的确度；两数相乘或相除，应使它们有相同的准确度，即每一个数都保留同样位的有效数字，计算结果也是如此-
似运算中应注意以下几点。
(l)几个数相加或相减时，它们的和或差的有效数字保留的位数应以小数点位数最少的那个数字为依据。
如：O．0312十23. 34十2.50381，以23. 34为依据，将其他数字按数字修约到小数点后第二位，然后相加(2)在做乘除运算的时候，有效数字的位数取决于相对误【电镀设备厂】差最大的碘／<数字位数最小的那个数。
如：(0. 0234十4. 303 X 71. 07)/127. 5=0. 0561259
计算结果应取O．056 1，即与O．0234（有效数字位数最少的数的位数相同）。
在运算过程中，每步运算的结果可比有效数字位数最少的那个数多保留一位。
例如：O．0234 X 4.303 = O．1006702，这时可取O．1007，继续运算（比多一位有效数字）。
在使用电子计算器时，有人错误地认为取值位数越多据越精确，其实这会人为地制造假象而有害无益。
当然，也不可少取位数而丢了能够获得的准确度。
有效数字及运算法则
有效数字及运算法则
一、有效数字的一般概念
定义：在测量结果的数字表示 中，由若干位可靠数字加一位 可疑数字，便组成了有效数字。
上述例子中的测量结果均为三 位有效数字
N
2 65
差（不确定度）决定有效数字，有：
N 0.96 0.03cm
运算规则：结果的有效数字与其底或被开
方数的有效数字位数相同。
如： 1002=100102
100=10.0
49 = 7.0 4.02=16 正确
49 = 7 4.02=16.0 错误
试确定N的有效数字。
解： （1）先计算N
N 3.21 6.5 0.957cm 21.8
（2）计算不确定度 N
N
A
2
B
2
C
2
0.01 2
0.2 2
0.004
2
2
N A B C 3.21 6.5 21.843 65
=
1.0102 100
= 1.0
10.02 lg100.0 35 27.3211 27.31 = 100 2.0000 35
0.01 = 2104 35 = 2104
试用有效数字计算结果： （1）123.98 - 40.456 + 7.8 = 171.0 （2） lg10.00 = 1.0000 （3）789.30 × 50 ÷ 0.100 = 3.9×103 （4）1.002 = 1.00
有效数字及运算法则
（2）计算不确定度 N
N
0.01 0.2 0.004 A B C N A B C 3.21 6.5 21.843
2 2 2 2 2 2
3.21 6.5 = 21 – 3.21 – 6.5
–
–
–
20.865
N AB / C
其中：
A 3.21 0.01cm , B 6.5 0.2cm , C 21.843 0.004 cm
试确定N的有效数字。
解：
（1）先计算N
3.21 6.5 N 0.957 cm 21.8
读数的一般规则： 读至仪器误差所在的位置
（1）用米尺测长度
（2）用0.1级量程为100mA电流表测电流
对于0.1级表：
△仪= 100mA×0.1% = 0.1mA
指针在82mA与83mA之间：读为82.* mA 指针正好在82mA上：读为82.0mA
对于1.0级表 △仪=100mA×1.0%=1mA
50.00 2.0 = 100 1.00 2 1.010 = 100 = 1.0
2 10.0 lg100.0 27.3211 27.31
35
=
100 2.0000 35 0.01
2104 35 = =
4 210
试用有效数字计算结果：
（1）123.98 - 40.456 + 7.8 = 171.0 （2） lg10.00 = 1.0000
2 65
2 N 0.957 0.03cm 65
（3）根据误差（不确定度）决定有效数字，有：
N 0.96 0.03cm
加减乘除有效数字运算规则
加减乘除有效数字运算规则有效数字是指测量结果中最可靠的数字，也就是测量结果中所含的数字中，最后一个数字后面的所有数字都是不确定的。
例如，测量结果为1.2345，那么有效数字为1.23或1.234或1.2345，取决于测量时的精度。
二、加减乘除有效数字运算规则1、加减法：在加减法中，结果的小数点位数以参与运算的数中小数点位数最少的数为准，并且结果保留相同的小数位数。
例如：1.2345+2.12=3.3545，保留小数点后两位，结果为3.35。
2、乘法：在乘法中，结果的有效数字个数以参与运算的数中有效数字个数最少的数为准，并且结果保留相同的有效数字个数。
例如：1.2×3.456=4.15，保留有效数字为2个，结果为4.2。
3、除法：在除法中，结果的有效数字个数以被除数中有效数字个数最少的数为准，并且结果保留相同的有效数字个数。
例如：10.5÷2.31=4.55，保留有效数字为3个，结果为4.55。
三、注意事项1、当参与运算的数中包含有“0”时，应特别注意。
如果“0”是有效数字中的一位，则要保留。
如果“0”不是有效数字中的一位，则可以省略。
例如：0.002+0.001=0.003，保留小数点后三位，结果为0.003。
2、当使用科学计数法表示数字时，应先将科学计数法转换成普通形式，再进行运算。
例如：1.23×10^(-4)与0.00345×10^3的乘法运算，应先将两个数转换成普通形式，再进行运算。
3、在实际问题中，应根据精度要求决定结果的保留位数，不要盲目地套用加减乘除有效数字运算规则。
四、总结加减乘除有效数字运算规则是数学中的基本规则之一，掌握这些规则对于正确进行数字运算具有重要的意义。
在运用这些规则时，应特别注意被运算数中的有效数字个数和小数点位数，避免出现错误结果。
有效数字的运算规则
有效数字的运算规则 2005-6-11 19:20:59 来源：生命经纬1）加法和减法在计算几个数字相加或相减时，所得和或差的有效数字的位数，应以小数点后位数最少的数为准。
如将3.0113、41.25及0.357相加，见下式（可疑数以“？”标出）；可见，小数点后位数最小的数41.25中的5已是可疑，相加后使得44.6183中的1也可疑，所以，再多保留几位已无意义，也不符合有效数字只保留一位可疑数字的原则，这样相加后，结果应是44.62。
以上为了看清加减后应保留的位数，而采用了先运算后取舍的方法，一般情况下可先取舍后运算，即2）乘法与除法在计算几个数相乘或相除时，其积或商的有效数字位数应以有效数字位数最少的为准。
如1.211与12相乘：显然，由于12中的2是可疑的，使得积14.532中的4也可疑，所以保留两位即可，结果就是14。
同加减法一样，也可先取舍后运算，即：3）对数进行对数运算时，对数值的有效数字只由尾数部分的位数决定，首数部分为10的幂数，不是有效数字。
如2345为4位有效数字，其对数lg2345=3.3701，尾数部分仍保留4位，首数“3”不是有效数字。
不能记成lg2345=3.370，这只有3位有效数字，就与原数2345的有效数字位数不一致了。
在化学中对数运算很多，如pH值的计算。
若c（H+）=4.9×10-11mol·L-1，这是两位有效数字，所以pH=-lgc（H+）/cφ=10.31，有效数字仍只有两位。
反过来，由pH=10.31计算c（H+）时，也只能记作｛c（H+）｝=4.9×10-11，而不能记成4.898×10-11。
4）首位数大于7的数有效数字的确定对于第一位的数值大于7的数，则有效数字的总位数可多算一位。
例如8.78，虽然只有3位数字，但第一位的数大于7，所以运算时可看作4位。
有效数字及运算法则
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
当读数正好为24㎜时读数为24.0㎜ 当读数正好为24㎜时读数为24.0㎜ 24 24.0
三、直接测量有效数字的确定 ——如何读数 ——如何读数
读数的一般规则： 读数的一般规则： 读至仪器误差所在的位置
（1）用米尺测长度 （2）用0.1级量程为100mA电流表测电流 0.1级量程为100mA电流表测电流 级量程为100mA
2 2 2
≈
2 65
2 σ N = × 0.957 = 0.03cm 65
（3）根据误差（不确定度）决定有效数字，有： ）根据误差（不确定度）决定有效数字，
N = 0.96 ± 0.03cm
结果的有效数字与其底或被开 运算规则： 运算规则： 方数的有效数字位数相同。 方数的有效数字位数相同。
如： 1002=100×102 ×
(3)用分度值为0.01㎜的螺旋测微计测物体长度： (3)用分度值为0.01㎜的螺旋测微计测物体长度： 用分度值为0.01 0.50㎜ 0.5㎜ 0.500㎜ 0.324㎜ 0.50㎜；0.5㎜；0.500㎜；0.324㎜。
找出下列正确的数据记录： 找出下列正确的数据记录：
— — — — — —
(1)用分度值为0.05㎜的游标卡尺测物体长度： (1)用分度值为0.05㎜的游标卡尺测物体长度： 用分度值为0.05 32.50㎜ 32.48㎜ 43.25㎜ 32.5㎜ 32.500㎜ 32.50㎜；32.48㎜；43.25㎜；32.5㎜；32.500㎜。 (2)用分度值为0.02㎜的游标卡尺测物体长度： (2)用分度值为0.02㎜的游标卡尺测物体长度： 用分度值为0.02 45.22㎜ 52.78㎜ 64.05㎜ 84㎜ 73.464㎜ 45.22㎜；52.78㎜；64.05㎜；84㎜；73.464㎜。
有效数字的运算法则
有效数字的运算法则
有效数字运算规则是：加减法：先按小数点后位数最少的数据，保留其它各数的位数，再进行加减计算，计算结果也使小数点后保留相同的位数。
乘除法：先按有效数字最少的数据保留其它各数，再进行乘除运算，计算结果仍保留相同有效数字。
乘方和开方：对数据进行乘方或开方时，所得结果的有效数字位数保留应与原数据相同。
1、加减法：先按小数点后位数最少的数据，保留其它各数的位数，再进行加减计算，计算结果也使小数点后保留相同的位数。
2、乘除法：先按有效数字最少的数据保留其它各数，再进行乘除运算，计算结果仍保留相同有效数字。
3、乘方和开方：对数据进行乘方或开方时，所得结果的有效数字位数保留应与原数据相同。
4、对数计算：所取对数的小数点后的位数（不包括整数部分）应与原数据的有效数字的位数相等。
5、在计算中常遇到分数、倍数等，可视为多位有效数字。
— 1 —
6、在乘除运算过程中，首位数为"8"或"9"的数据，有效数字位数可多取1位。
7、在混合计算中，有效数字的保留以最后一步计算的规则执行。
8、表示分析方法的精密度和准确度时，大多数取1～2位有效数字。
— 2 —。
有效数字运算规则
加减法则 乘除法则
一、加减法则
加减法：当几个数据相加减时，它们和或差的有效数字位数，应 以小数点后位数最少的数据为依据，因小数点后位数最少的数据 的绝对误差最大。例：
0.0121+25.64+1.05782=？
绝对误差 ±0.0001 ±0.01 ±0.00001 在加合的结果中总的绝对误差值取决于25.64。
0.01+25.64+1.06=26.71
二、乘除法则
乘除法：当几个数据相乘除时，它们积或商的有效数字位数，应 以有效数字位数最少的数据为依据，因有效数字位数最少的数据 的相对误差最大。
例： 0.0121 × 25.64 × 1.05782=？ 相对误差 ±0.8% ±0.4% ±0.009%
结果的相对误差取决于 0.0121，因它的相对误差最大，所以， 0.0121×25.6×1.06=0.328 用计算器运算时，正确保留最后结果的有效数字。
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有效数字及其运算规则
三. 有效数字的运算规则 1. 加减运算 先按小数点后位数最少的数据保留其它各数的位数，再 进行加减计算，计算结果也使小数点后保留相同的位数。 例：计算 50.1 + 1.45 + 0.5812 =? 修约为： 50.1 + 1.4 + 0.6 = 52.1 先修约，结果相同而计算简捷。
20:21:33有效数字修约原则：
在取舍有效数字位数时，应注意以下几点）
（1）在分析化学计算中，经常会遇到一些分数、整数、倍
数等，这些数可视为足够有效。
（2）若某一数据第一位有效数字等于或大于8，则有效数
字的位数可多算一位。如：9.98，按4位算。
（3）在计算结果中，采用“四舍六入五成双” 原则进行修约。
5
20:21:33
有效数字及其运算规则
二、有效数字修约原则： 在取舍有效数字位数时，应注意以下几点） （4）有关化学平衡计算中的浓度，一般保留二位或三位
有效数字。pH值的小数部分才为有效数字，一般保留一 位或 二位有效数字。 例如,[H+]=5.210 -3 mol·-1 ，则pH = 2.28 L
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四.有效数字规则在分析化学中的应用 1．正确地记录测试数据（25mL,25.00mL) —反映出测量仪器精度 注意： (１)容量分析量器：滴定管(量出式)、移液管(量出式)、 容量瓶，体积取 4 位有效数字。 (２)分析天平（万分之一）称取样品，质量小数点后取 45 位有效数字。 (３)标准溶液的浓度，用 4 位有效数字表示。
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2
有效数字及其运算规则
一.有效数字 2．数字零在数据中具有双重作用： （1）若作为普通数，是有效数字 如 0.3180 4位有效数字 3.18010 -1 （2）若只起定位作用，不是有效数字。 如 0.0318 3位有效数字 3.1810 -2 3．改变单位不改变有效数字的位数： 19.02 mL → 19.0210-3 L
三. 有效数字的运算规则 2. 乘除运算
先按有效数字最少的数据保留其它各数，再进行乘除 运算，计算结果仍保留相同有效数字。
例：计算 0.0121×25.64×1.05782 =?
修约为： 0.0121×25.6×1.06 =?
计算后结果为：0.3283456，结果仍保留为三位有效数 字。
普通化学
有效数字及其运算规则
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有效数字及其运算规则
一.有效数字: 指实际上能测量到的数字。 各位确定数字+最后一位可疑数字 1．实验过程中常遇到两类数字： （1）表示数目的非测量值:如测定次数，倍数,系数,分数 （2）测量值或计算值。数据的位数与测定的准确度有关。 记录的数字不仅表示数量的大小，还要正确地反映测量的 精确程度。
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“四舍六入五成双” 1、 当尾数≤4时将其舍去；尾数≥6时就进一位； 2、等于5则看其前一位,加1后为奇数则舍,为偶数则入. 2.596 取三位有效数字 = 2.60 2.594 取三位有效数字 = 2.59 2.595 取三位有效数字 = 2.60 2.585 取三位有效数字 = 2.58 注意：进行数字修约时只能一次修约到指定的位数， 不能数次修约。
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四.有效数字规则在分析化学中的应用 2．按有效数字的运算规则正确地计算数据—报出合理的 测试结果。 注意：算式中的相对分子质量取 4 位有效数字。
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记录为：0.0121 × 25.6 × 1.06 = 0.328
注意：用计算器计算结果后，要按照运算规则对结果 进行修约.
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有效数字及其运算规则
三. 有效数字的运算规则 2. 乘除运算
例：计算2.5046×2.005×1.52 =?
修约为：2.50×2.00×1.52 =? 计算器计算结果显示为 7.6，只有两位有效数字，但我 们抄写时应在数字后加一个 0，保留三位有效数字。 2.50×2.00×1.52=7.60
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有效数字及其运算规则
三. 有效数字的运算规则 1.加减运算
例：计算 12.43+5.765+132.812=?
修约为：12.43+5.76+132.81=151.00 注意：用计数器计算后，屏幕上显示的是151，但不能直 接记录，否则会影响以后的修约；应在数值后添两个0， 使小数点后有两位有效数字。
（5）表示误差时，取一位有效数字已足够，最多取二位。
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有效数字及其运算规则
三. 有效数字的运算规则 1.加减运算 几个数据相加或相减时，它们的和或差的有效数字的 保留，应依小数点后位数最少的数据为根据，即取决 于绝对误差最大的那个数据。 例： 0.0122+25.64+1.051 0.0122 25.64 1.051 25.7032 0.0122+25.64+1.051 = 25.70
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有效数字及其运算规则
三. 有效数字的运算规则 2. 乘除运算 几个数据的乘除运算中，所得结果的有效数字的位数 取决于有效数字位数最少的那个数，即相对误差最大 的那个数。 例：（ 0.0325 5.103 ）/ 139.8 = 0.00119
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有效数字及其运算规则