2022年高考文科数学上海卷试题与答案word解析版

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2022-2023年高考《数学(文科)》预测试题2(答案解析)

2022-2023年高考《数学（文科）》预测试题（答案解析）全文为Word可编辑，若为PDF皆为盗版，请谨慎购买！第壹卷一.综合考点题库(共50题)1.A.（1， 2）B.（1，﹣ 2）C.（﹣ 1， 2）D.（﹣ 1，﹣ 2）正确答案：A本题解析：2.阿基米德（公元前 287 年﹣公元前 212 年，古希腊）不仅是著名的哲学家、物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法” 得到椭圆的面积除以圆周率π 等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．在平面直角坐标系 Oxy 中，椭圆 C：（a＞b ＞0）的面积为2√3π，两焦点与短轴的一个顶点构成等边三角形．过点（1， 0）的直线l 与椭圆 C 交于不同的两点 A， B．（1）求椭圆 C 的标准方程；（2）设椭圆 C 的左、右顶点分别为 P， Q，直线 PA 与直线 x＝4 交于点 F，试证明 B， Q，F 三点共线；（3）求△AOB 面积的最大值．正确答案：本题解析：暂无解析3.已知命题 p ： ∃x∈N*， lgx ＜0， q ： ∀x∈R， cosx≤1，则下列命题是真命题的是（）A.p∧qB.（￢p ） ∧qC.p∧（￢q ）D.￢（p∨q）正确答案：B本题解析：4.如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A.36B.24C.12D.6正确答案：C本题解析：5.分别统计了甲、乙两位同学 16 周的各周课外体育运动时长（单位：h），得如下茎叶图：则下列结论中错误的是（）A.甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为 7.4B.乙同学周课外体育运动时长的样本平均数大于 8C.甲同学周课外体育运动时长大于 8 的概率的估计值大于 0.4D.乙同学周课外体育运动时长大于 8 的概率的估计值大于 0.6正确答案：C本题解析：暂无解析6.A.AB.BC.CD.D正确答案：A 本题解析：7.A.AB.BC.CD.D正确答案：C 本题解析：暂无解析8.A.AB.BC.CD.D正确答案：C 本题解析：9.点 P 在焦点为 F 1 （﹣ c ， 0）、 F 2 （c ， 0）的椭圆 C 上， PF 1 交 y 轴于点 Q ，且△PQF 2为正三角形，若|OQ|＝1，则椭圆 C 的标准方程为正确答案：本题解析：10.A.f(x-1)-1B.f(x-1)+1C.f(x+1)-1D.f(x+1)+1正确答案：B本题解析：11.A.p∧（￢q）B.（￢p）∧（￢q）C.（￢p）∧qD.p∧q正确答案：A本题解析：12.执行右边的程序框图，输出的n= （）A.3B.4C.5D.6正确答案：B本题解析：暂无解析13.正确答案：本题解析：暂无解析14. 设 m、 n 是两条不同的直线，α、β 是两个不同的平面，给出下列四个命题：①若m⊥α，n∥α，则m⊥n；②若m∥n，n∥α，则m∥α；③若m∥n，n⊥β，m∥α，则α⊥β；④若m∩ n＝A，m∥α，m∥β，n∥α，n∥β，则α∥β．其中真命题的个数是（）A.1B.2C.3D.4正确答案：C本题解析：15.A.AB.BC.CD.D正确答案：B 本题解析：16.A.AB.BC.CD.D正确答案：A 本题解析：17.若 z（1﹣ i）＝4i，则|z|＝（）A.√2B.2√2C.2D.4正确答案：B本题解析：18.设集合 M＝{x|0＜x＜4}， N＝{x| 1/3≤x≤5}，则M∩ N＝（）A.{x|0＜x≤1/3 }B.{x| 1/3≤x＜4}C.{x|4≤x＜5}D.{x|0＜x≤5}正确答案：B本题解析：19.A.2B.-2C.1/2D.-1/2正确答案：D 本题解析：20.A.AB.BC.CD.D正确答案：B 本题解析：21.A.AB.BC.CD.D正确答案：A本题解析：暂无解析22.A.AB.BC.CD.D正确答案：D 本题解析：23. 已知函数 f（x）＝|2x﹣ 1|+|2x+1|，记不等式 f（x）＜4 的解集为 M．（1）求 M；（2）设 a，b∈M，证明： |ab|﹣ |a|﹣ |b|+1＞0．正确答案：本题解析：暂无解析24.A.14B.12C.6D.3正确答案：D本题解析：暂无解析25.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的内切球的半径等于（）A.AB.BC.CD.D正确答案：A 本题解析：26.A.2B.√2C.3D.√3正确答案：A 本题解析：27.A.AB.BC.CD.D正确答案：B 本题解析：28.A.AB.BC.CD.D正确答案：A 本题解析：29.A.B.C.D.正确答案：A本题解析：由已知可得命题p为真命题，命题q为真命题，所以p∧q为真命题，故选A30.如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，PD⊥底面ABCD,M为BC的中点，且PB⊥AM (1）证明:平面PAM⊥平面PBD(2）若PD= DC=1 ,求四棱锥P- ABCD的体积.正确答案：31. 已知函数 f（x）＝2|x﹣ 1|﹣ |x+1|．（1）在答题卡所给出的网格坐标系中作出函数 f（x）的图象（不要求写作法），并直接写出函数 f（x）的最小值；（2）已知函数 g（x）＝|x+a|﹣ 2|x﹣ a|，若存在 x 1 ，x 2 ∈R 使 f（x 1 ） +5＝g（x 2 ），求实数a 的取值范围．正确答案：本题解析：暂无解析32.我们可以用随机模拟的方法估计π 的值，如图程序框图表示其基本步骤（函数 RAND 是产生随机数的函数，它能随机产生（0， 1）内的任何一个实数）．若输出的结果为 781，则由此可估计π 的近似值为（）A.3.119B.3.124C.3.132D.3.151正确答案：B 本题解析：33.正确答案：本题解析：暂无解析34.《史记》卷六十五《孙子吴起列传第五》中有这样一道题：齐王与田忌赛马，田忌的上等马劣于齐王的上等马，优于齐王的中等马，田忌的中等马劣于齐王的中等马，优于齐王的下等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现两人进行赛马比赛，比赛规则为：每匹马只能用一次，每场比赛双方各出一匹马，共比赛三场．每场比赛中胜者得 1 分，否则得 0 分．若每场比赛之前彼此都不知道对方所用之马，则比赛结束时，田忌得 2 分的概率（）A.1/3B.2/3C.1/6D.1/2正确答案：C本题解析：35.设(1+ 2i)a+b=2i,其中a,b为实数，则( )A.a=1,b=-1B.a=1,b=1C.a=-1,b= 1D.a=-1,b=-1正确答案：A本题解析：暂无解析36.青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据 L 和小数记录法的数据 V满足 L＝5+lgV．已知某同学视力的五分记录法的数据为 4.9，则其视力的小数记录法的数据约为（）A.1.5B.1.2C.0.8D.0.6 正确答案：C本题解析：37.已知直线 l 1 ， l 2 ，l 1 ⊥l 2 于点 H，A∈l 1 且|AH|＝36，B∈l 2 ，点 M 在线段 AB 的垂直平分线上且MB⊥l 2 ，则|MA|的最小值为（）A.9B.18C.36D.72正确答案：B本题解析：38.设λ∈R，则“λ＝﹣3” 是“直线2λx+（λ﹣ 1） y﹣ 1＝0 与直线 6x+（1﹣λ）y﹣ 4＝0 平行”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件正确答案：A本题解析：39. 已知函数 f（x）＝|2x﹣ a|﹣ |x+1|．（1）当 a＝2 时，求不等式 f（x）＜1 的解集；（2）若 a＞0，不等式 f（x） +2＞0 恒成立，求实数 a 的取值范围正确答案：本题解析：暂无解析40.A.AB.BC.CD.D正确答案：B本题解析：41.某校从高一年级学生中随机抽取 40 名学生，将他们的期中考试数学成绩（满分 100 分，成绩均为不低于 40 分的整数）分成六段： [40， 50）， [50， 60），…， [90，100]后得到如图的频率分布直方图．（1）求图中实数 a 的值；（2）若该校高一年级共有学生 1000 人，试估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于60 分的人数．（3）若从样本中数学成绩在[40， 50）与[90， 100]两个分数段内的学生中随机选取 2名学生，试用列举法求这 2 名学生的数学成绩之差的绝对值大于 10 的概率．正确答案：本题解析：暂无解析42.庄子说：一尺之锤，日取其半，万世不竭．这句话描述的是一个数列问题．现用程序框图描述，如图所示，若输入某个正数 n后，输出的则输入的 n的值为（）A.7B.6C.5D.4正确答案：C 本题解析：43.如图所示，平面PAB⊥平面 ABCD，底面 ABCD 是边长为 8 的正方形，∠APB＝90° ，点 E， F分别是 DC， AP 的中点．（1）证明：DF∥平面 PBE；（2）若 AB＝2PA，求四棱锥 P﹣ ABED 的体积．正确答案：本题解析：暂无解析44.已知球O的半径为1,四棱锥的顶点为O,底面的四个顶点均在球0的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为()A.AB.BC.CD.D正确答案：C本题解析：暂无解析45.正确答案：本题解析：暂无解析46.随着我国经济总量的日益增长和社会财富的不断积累，投资理财观念已经深入普通国人家庭．“投资理财情绪指数” 是根据互联网用户搜索某种理财产品相应关键词的次数为基础所得到的统计指标．指数越大，表示互联网用户对该理财产品的关注度也越高．如图是 2022 年上半年某种理财产品的投资理财情绪指数走势图．根据该走势图，下列结论正确的是（）A.这半年中，互联网用户对该理财产品的关注度不断增强B.这半年中，互联网用户对该理财产品的关注度呈周期性变化C.从这半年的投资理财情绪指数来看， 2 月份的方差大于 4 月份的方差D.从这半年的投资理财情绪指数来看， 5 月份的平均值小于 6 月份的平均值正确答案：C本题解析：47.已知 A， B， C 是半径为 1 的球 O 的球面上的三个点，且AC⊥BC， AC＝BC＝1，则三棱锥 O﹣ ABC 的体积为（）A.AB.BC.CD.D正确答案：A 本题解析：48.A.（﹣ 4，﹣ 2）B.（﹣ 2，﹣ 1）C.（1， 2）D.（2， 4）正确答案：B本题解析：49.近几年，随着大众鲜花消费习惯的转变，中国进入一个鲜花消费的增长期．根据以往统计，某地一鲜花店销售某种 B 级玫瑰花，在连续统计的 320 天的玫瑰花售卖中，每天的玫瑰花的销售量（单位：支）与特殊节日的天数如表：（1）填写上表，判断是否有 99%的把握认为“每天的玫瑰花的销售量与特殊节日有关”？（2）若按分层抽样的方式，从上述表格的特殊节日中抽取 5 天作为一个样本，再从这个样本中抽取 2 天加以分析研究，求这两天玫瑰花的销售量在[120， 160]内的概率．正确答案：本题解析：暂无解析50.如图，在一个正方体内放入两个半径不相等的球 O 1 、 O 2 ，这两个球相外切，且球 O 1 与正方体共顶点 A 的三个面相切，球 O 2 与正方体共顶点 B 1 的三个面相切，则两球在正方体的面 AA 1 C 1 C 上的正投影是（）A.AB.BC.CD.D正确答案：B 本题解析：。

2022年高考数学(文)一轮复习文档：第五章数列第3讲等比数列及其前n项和 Word版含答案

第3讲等比数列及其前n 项和 ,)1．等比数列的有关概念 (1)定义假如一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示，定义的表达式为a n ＋1a n＝q (q ≠0，n ∈N *)． (2)等比中项假如a 、G 、b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项．即：G 是a 与b 的等比中项⇒G 2＝ab ． 2．等比数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1qn －1．(2)前n 项和公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 1（1－q n ）1－q＝a 1－a n q 1－q ，q ≠1.3．等比数列的性质已知数列{a n }是等比数列，S n 是其前n 项和．(m ，n ，p ，q ，r ，k ∈N *) (1)若m ＋n ＝p ＋q ＝2r ，则a m ·a n ＝a p ·a q ＝a 2r ； (2)数列a m ，a m ＋k ，a m ＋2k ，a m ＋3k ，…仍是等比数列；(3)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…仍是等比数列(此时{a n }的公比q ≠－1)．1．辨明三个易误点(1)由于等比数列的每一项都可能作分母，故每一项均不为0，因此q 也不能为0，但q 可为正数，也可为负数．(2)由a n ＋1＝qa n ，q ≠0，并不能马上断言{a n }为等比数列，还要验证a 1≠0.(3)在运用等比数列的前n 项和公式时，必需留意对q ＝1与q ≠1分类争辩，防止因忽视q ＝1这一特殊情形而导致解题失误．2．等比数列的三种判定方法(1)定义法：a n ＋1a n＝q (q 是不为零的常数，n ∈N *)⇔{a n }是等比数列．(2)通项公式法：a n ＝cqn －1(c 、q 均是不为零的常数，n ∈N *)⇔{a n }是等比数列．(3)等比中项法：a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2(a n ·a n ＋1·a n ＋2≠0，n ∈N *)⇔{a n }是等比数列．3．求解等比数列的基本量常用的思想方法(1)方程的思想：等比数列的通项公式、前n 项和公式中联系着五个量：a 1，q ，n ，a n ，S n ，已知其中三个量，可以通过解方程(组)求出另外两个量；其中基本量是a 1与q ，在解题中依据已知条件建立关于a 1与q 的方程或者方程组，是解题的关键．(2)分类争辩思想：在应用等比数列前n 项和公式时，必需分类求和，当q ＝1时，S n ＝na 1；当q ≠1时，S n ＝a 1（1－q n ）1－q；在推断等比数列单调性时，也必需对a 1与q 分类争辩．1.教材习题改编等比数列{a n }中，a 3＝12，a 4＝18，则a 6等于( ) A ．27 B ．36 C ．812D ．54C 法一：由a 3＝12，a 4＝18，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 2＝12，a 1q 3＝18，解得a 1＝163，q ＝32，所以a 6＝a 1q 5＝163×⎝ ⎛⎭⎪⎫325＝812.故选C.法二：由等比数列性质知，a 23＝a 2a 4，所以a 2＝a 23a 4＝12218＝8，又a 24＝a 2a 6，所以a 6＝a 24a 2＝1828＝812.故选C.2.教材习题改编设等比数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝3，S 4＝15，则S 6＝( ) A ．31 B ．32 C ．63D ．64C 由等比数列的性质，得(S 4－S 2)2＝S 2·(S 6－S 4)，即122＝3×(S 6－15)，解得S 6＝63.故选C. 3.教材习题改编在9与243中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为________．设该数列的公比为q ，由题意知， 243＝9×q 3，得q 3＝27，所以q ＝3.所以插入的两个数分别为9×3＝27，27×3＝81. 27，814.教材习题改编由正数组成的等比数列{a n }满足a 3a 8＝32，则log 2a 1＋log 2a 2＋…＋log 2a 10＝________． log 2a 1＋log 2a 2＋…＋log 2a 10 ＝log 2＝log 2(a 3a 8)5＝log 2225＝25.255.教材习题改编在等比数列{a n }中，a n >0，a 5－a 1＝15，a 4－a 2＝6，则a 3＝________．由于a 5－a 1＝15，a 4－a 2＝6.所以a 1q 4－a 1＝15，① a 1q 3－a 1q ＝6，②且q ≠1. ①②得（q 2＋1）（q 2－1）q ·（q 2－1）＝156，即2q 2－5q ＋2＝0，所以q ＝2或q ＝12，当q ＝2时，a 1＝1；当q ＝12时，a 1＝－16(舍去)．所以a 3＝1×22＝4. 4等比数列的基本运算(高频考点)等比数列的基本运算是高考的常考内容，题型既有选择题、填空题，也有解答题，属中、低档题．高考对等比数列基本运算的考查主要有以下三个命题角度： (1)求首项a 1、公比q 或项数n ； (2)求通项或特定项； (3)求前n 项和．(2021·兰州模拟)设数列{a n }的前n 项和S n 满足6S n ＋1＝9a n (n ∈N *)． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足b n ＝1a n，求数列{b n }的前n 项和T n .【解】 (1)当n ＝1时，由6a 1＋1＝9a 1，得a 1＝13.当n ≥2时，由6S n ＋1＝9a n ，得6S n －1＋1＝9a n －1，两式相减得6(S n －S n －1)＝9(a n －a n －1)，即6a n ＝9(a n －a n －1)，所以a n ＝3a n －1.所以数列{a n }是首项为13，公比为3的等比数列，其通项公式为a n ＝13×3n －1＝3n －2.(2)由于b n ＝1a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －2，所以{b n }是首项为3，公比为13的等比数列，所以T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝3⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n 1－13＝92⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n .等比数列基本运算的解题技巧(1)求等比数列的基本量问题，其核心思想是解方程(组)，一般步骤是：①由已知条件列出以首项和公比为未知数的方程(组)；②求出首项和公比；③求出项数或前n 项和等其余量．(2)设元的技巧，可削减运算量，如三个数成等比数列，可设为a q，a ，aq (公比为q )；四个数成等比数列且q >0时，设为a q 3，a q，aq ，aq 3.角度一求首项a 1、公比q 或项数n1．(2021·高考全国卷Ⅰ)在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，S n 为{a n }的前n 项和．若S n ＝126，则n ＝________．由于a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，所以数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列．又由于S n ＝126，所以2（1－2n）1－2＝126，所以n ＝6.6角度二求通项或特定项2．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若a 1＝1，且3S 1，2S 2，S 3成等差数列，则a n ＝________．由于3S 1，2S 2，S 3成等差数列，所以4S 2＝3S 1＋S 3，即4(a 1＋a 2)＝3a 1＋a 1＋a 2＋a 3.化简，得a 3a 2＝3，即等比数列{a n }的公比q ＝3，故a n ＝1×3n －1＝3n －1.3n －1角度三求前n 项和3．已知数列{a n }满足3a n ＋1＋a n ＝0，a 2＝－43，则{a n }的前10项和等于( )A ．－6(1－310) B ．19(1－3－10) C ．3(1－3－10) D ．3(1＋3－10)C 由题意知数列{a n }为等比数列，设其公比为q ，则q ＝a n ＋1a n ＝－13，a 1＝a 2q ＝4，因此其前10项和等于4⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13101－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝3(1－3－10)．等比数列的判定与证明(2022·高考全国卷丙)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝1＋λa n ，其中λ≠0. (1)证明{a n }是等比数列，并求其通项公式； (2)若S 5＝3132，求λ.【解】 (1)由题意得a 1＝S 1＝1＋λa 1，故λ≠1，a 1＝11－λ，a 1≠0. 由S n ＝1＋λa n ，S n ＋1＝1＋λa n ＋1得a n ＋1＝λa n ＋1－λa n ，即a n ＋1(λ－1)＝λa n .由a 1≠0，λ≠0且λ≠1得a n ≠0，所以a n ＋1a n ＝λλ－1. 因此{a n }是首项为11－λ，公比为λλ－1的等比数列，于是a n ＝11－λ(λλ－1)n －1.(2)由(1)得，S n ＝1－(λλ－1)n. 由S 5＝3132得，1－(λλ－1)5＝3132，即(λλ－1)5＝132. 解得λ＝－1.证明数列{a n }是等比数列常用的方法一是定义法，证明a n a n －1＝q (n ≥2，q 为常数)；二是等比中项法，证明a 2n ＝a n －1·a n ＋1.若推断一个数列不是等比数列，则只需举出反例即可，也可以用反证法．已知数列{a n }是等差数列，a 3＝10，a 6＝22，数列{b n }的前n 项和是T n ，且T n ＋13b n ＝1.(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求证：数列{b n }是等比数列．(1)设等差数列{a n }的公差为d ，则由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝10，a 1＋5d ＝22，解得a 1＝2，d ＝4.所以a n ＝2＋(n －1)×4＝4n －2. (2)证明：由T n ＝1－13b n ，①令n ＝1，得T 1＝b 1＝1－13b 1.解得b 1＝34，当n ≥2时，T n －1＝1－13b n －1，②①－②得b n ＝13b n －1－13b n ，所以b n ＝14b n －1，所以b n b n －1＝14.又由于b 1＝34≠0，所以数列{b n }是以34为首项，14为公比的等比数列．等比数列的性质(1)(2021·高考全国卷Ⅱ)已知等比数列{a n }满足a 1＝14，a 3a 5＝4(a 4－1)，则a 2＝( )A ．2B ．1C ．12D ．18(2)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a n >0，q >1，a 3＋a 5＝20，a 2a 6＝64，则S 5＝( ) A ．31 B ．36 C ．42D ．48(3)等比数列{a n }的首项a 1＝－1，前n 项和为S n ，若S 10S 5＝3132，则公比q ＝________．【解析】 (1)法一：由于a 3a 5＝a 24，a 3a 5＝4(a 4－1)，所以a 24＝4(a 4－1)，所以a 24－4a 4＋4＝0，所以a 4＝2.又由于q 3＝a 4a 1＝214＝8，所以q ＝2，所以a 2＝a 1q ＝14×2＝12，故选C.法二：由于a 3a 5＝4(a 4－1)，所以a 1q 2·a 1q 4＝4(a 1q 3－1)．将a 1＝14代入上式并整理，得q 6－16q 3＋64＝0，解得q ＝2，所以a 2＝a 1q ＝12，故选C.(2)由等比数列的性质，得a 3a 5＝a 2a 6＝64，于是由⎩⎪⎨⎪⎧a 3＋a 5＝20，a 3a 5＝64，且a n >0，q >1，得a 3＝4，a 5＝16，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 2＝4，a 1q 4＝16，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝2.所以S 5＝1×（1－25）1－2＝31，故选A.(3)由S 10S 5＝3132，a 1＝－1知公比q ≠1，S 10－S 5S 5＝－132. 由等比数列前n 项和的性质知S 5，S 10－S 5，S 15－S 10成等比数列，且公比为q 5，故q 5＝－132，q ＝－12.【答案】 (1)C (2)A (3)－12等比数列常见性质的应用(1)在解决等比数列的有关问题时，要留意挖掘隐含条件，利用性质，特殊是性质“若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ·a n ＝a p ·a q ”，可以削减运算量，提高解题速度．(2)等比数列性质的应用可以分为三类：①通项公式的变形；②等比中项的变形；③前n 项和公式的变形．依据题目条件，认真分析，发觉具体的变化特征即可找出解决问题的突破口．(3)在应用相应性质解题时，要留意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．此外，解题时留意设而不求思想的运用．1．设等比数列{a n }中，前n 项和为S n ，已知S 3＝8，S 6＝7，则a 7＋a 8＋a 9等于( ) A ．18 B ．－18C ．578D ．558A 由于a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 6，且S 3，S 6－S 3，S 9－S 6也成等比数列，即8，－1，S 9－S 6成等比数列，所以8(S 9－S 6)＝1，即S 9－S 6＝18.2．(2021·沈阳质量监测)数列{a n }是等比数列，若a 2＝2，a 5＝14，则a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝________．设等比数列{a n }的公比为q ，由等比数列的性质知a 5＝a 2q 3，求得q ＝12，所以a 1＝4.a 2a 3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a 1⎝ ⎛⎭⎪⎫12a 2＝14a 1a 2，a n a n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a n －1⎝ ⎛⎭⎪⎫12a n ＝14a n －1a n (n ≥2)．设b n ＝a n a n ＋1，可以得出数列{b n }是以8为首项，以14为公比的等比数列，所以a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1为数列{b n }的前n 项和，由等比数列前n 项和公式得a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝8⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫14n 1－14＝323(1－4－n)．323(1－4－n) ,)——分类争辩思想在等比数列中的应用已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和，若存在m ∈N *，满足S 2m S m ＝9，a 2m a m ＝5m ＋1m －1，则数列{a n }的公比为________．【解析】设公比为q ，若q ＝1，则S 2m S m ＝2，与题中条件冲突，故q ≠1.由于S 2m S m ＝a 1（1－q 2m ）1－q a 1（1－q m）1－q ＝q m＋1＝9，所以q m＝8.所以a 2m a m ＝a 1q 2m －1a 1q m －1＝q m ＝8＝5m ＋1m －1，所以m ＝3，所以q 3＝8，所以q ＝2. 【答案】 2(1)本题在利用等比数列的前n 项和公式表示S 2m 和S m 时，对公比q ＝1和q ≠1进行了分类争辩．(2)分类争辩思想在等比数列中应用较多，常见的分类争辩有： ①已知S n 与a n 的关系，要分n ＝1，n ≥2两种状况． ②等比数列中遇到求和问题要分公比q ＝1，q ≠1争辩．③项数的奇、偶数争辩．④等比数列的单调性的推断留意与a 1，q 的取值的争辩．在等差数列{a n }中，已知公差d ＝2，a 2是a 1与a 4的等比中项．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝a n （n ＋1）2，记T n ＝－b 1＋b 2－b 3＋b 4－…＋(－1)nb n ，求T n .(1)由题意知(a 1＋d )2＝a 1(a 1＋3d )，即(a 1＋2)2＝a 1(a 1＋6)，解得a 1＝2，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n . (2)由题意知b n ＝a n （n ＋1）2＝n (n ＋1)，所以T n ＝－1×2＋2×3－3×4＋…＋(－1)nn ·(n ＋1)．由于b n ＋1－b n ＝2(n ＋1)，可得当n 为偶数时，T n ＝(－b 1＋b 2)＋(－b 3＋b 4)＋…＋(－b n －1＋b n )＝4＋8＋12＋…＋2n ＝n 2（4＋2n ）2＝n （n ＋2）2，当n 为奇数时，T n ＝T n －1＋(－b n )＝（n －1）（n ＋1）2－n (n ＋1)＝－（n ＋1）22.所以T n＝⎩⎪⎨⎪⎧－（n ＋1）22，n 为奇数，n （n ＋2）2，n 为偶数.,)1．(2021·太原一模)在单调递减的等比数列{a n }中，若a 3＝1，a 2＋a 4＝52，则a 1＝( )A ．2B ．4C ． 2D ．2 2B 在等比数列{a n }中，a 2a 4＝a 23＝1，又a 2＋a 4＝52，数列{a n }为递减数列，所以a 2＝2，a 4＝12，所以q2＝a 4a 2＝14，所以q ＝12，a 1＝a 2q＝4.2．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ＝a ·2n －1＋16，则a 的值为( ) A ．－13B ．13C ．－12D ．12A 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝a ·2n －1－a ·2n －2＝a ·2n －2，当n ＝1时，a 1＝S 1＝a ＋16，所以a ＋16＝a2，所以a ＝－13.3．等差数列{a n }的公差为2，若a 2，a 4，a 8成等比数列，则{a n }的前n 项和S n ＝( ) A ．n (n ＋1) B ．n (n －1) C ．n （n ＋1）2D ．n （n －1）2A 由于a 2，a 4，a 8成等比数列，所以a 24＝a 2·a 8，所以(a 1＋6)2＝(a 1＋2)·(a 1＋14)，解得a 1＝2.所以S n ＝na 1＋n （n －1）2×2＝n (n ＋1)．故选A.4．等比数列{a n }中，a 4＝2，a 5＝5，则数列{lg a n }的前8项和等于( ) A ．6 B ．5 C ．4D ．3C 设数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，依据题意可得，⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 3＝2，a 1q 4＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝16125，q ＝52.所以a n ＝a 1qn －1＝16125×⎝ ⎛⎭⎪⎫52n －1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫52n －4，所以lg a n ＝lg 2＋(n －4)lg 52，所以前8项的和为8lg 2＋(－3－2－1＋0＋1＋2＋3＋4)lg 52＝8lg 2＋4lg 52＝4lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫4×52＝4.5．(2021·莱芜模拟)已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝b 1＝3，a n ＋1－a n ＝b n ＋1b n＝3，n ∈N *，若数列{c n }满足c n ＝ba n ，则c 2 017＝( )A ．92 016B ．272 016C ．92 017D ．272 017D 由已知条件知{a n }是首项为3，公差为3的等差数列，数列{b n }是首项为3，公比为3的等比数列，所以a n ＝3n ，b n ＝3n. 又c n ＝ba n ＝33n，所以c 2 017＝33×2 017＝272 017.6．(2021·唐山一模)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＋a 3＝52，a 2＋a 4＝54，则S na n ＝( )A ．4n －1B ．4n－1 C ．2n －1D ．2n－1D 设{a n}的公比为q ，由于⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 3＝52，a 2＋a 4＝54，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1q 2＝52，①a 1q ＋a 1q 3＝54，②由①②可得1＋q2q ＋q 3＝2，所以q ＝12，代入①得a 1＝2，所以a n ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝42n ，所以S n ＝2×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ，所以S n a n ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n 42n ＝2n－1，选D.7．已知数列{a n }是递增的等比数列，a 1＋a 4＝9，a 2a 3＝8，则数列{a n }的前n 项和等于________．设等比数列的公比为q ，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1q 3＝9，a 21·q 3＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝8，q ＝12.又{a n }为递增数列，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝2，所以S n ＝1－2n1－2＝2n－1.2n－18．(2021·郑州其次次质量猜测)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若27a 3－a 6＝0，则S 6S 3＝________．由题可知{a n }为等比数列，设首项为a 1，公比为q ，所以a 3＝a 1q 2，a 6＝a 1q 5，所以27a 1q 2＝a 1q 5，所以q ＝3，由S n ＝a 1（1－q n ）1－q，得S 6＝a 1（1－36）1－3，S 3＝a 1（1－33）1－3，所以S 6S 3＝a 1（1－36）1－3·1－3a 1（1－33）＝28.289．若{a n }是正项递增等比数列，T n 表示其前n 项之积，且T 10＝T 20，则当T n 取最小值时，n 的值为________． T 10＝T 20⇒a 11…a 20＝1⇒(a 15a 16)5＝1⇒a 15a 16＝1，又{a n }是正项递增等比数列，所以0＜a 1＜a 2＜…＜a 14＜a 15＜1＜a 16＜a 17＜…，因此当T n 取最小值时，n 的值为15.1510．在各项均为正数的等比数列{a n }中，已知a 2a 4＝16，a 6＝32，记b n ＝a n ＋a n ＋1，则数列{b n }的前5项和S 5为________．设数列{a n }的公比为q ，由a 23＝a 2a 4＝16得，a 3＝4，即a 1q 2＝4，又a 6＝a 1q 5＝32，解得a 1＝1，q ＝2，所以a n ＝a 1qn －1＝2n －1，b n ＝a n ＋a n ＋1＝2n －1＋2n ＝3·2n －1，所以数列{b n }是首项为3，公比为2的等比数列，所以S 5＝3（1－25）1－2＝93.9311．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝4a n －3(n ∈N *)． (1)证明：数列{a n }是等比数列；(2)若数列{b n }满足b n ＋1＝a n ＋b n (n ∈N *)，且b 1＝2，求数列{b n }的通项公式． (1)证明：依题意S n ＝4a n －3(n ∈N *)，当n ＝1时，a 1＝4a 1－3，解得a 1＝1. 由于S n ＝4a n －3，则S n －1＝4a n －1－3(n ≥2)，所以当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝4a n －4a n －1，整理得a n ＝43a n －1.又a 1＝1≠0，所以{a n }是首项为1，公比为43的等比数列．(2)由于a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫43n －1，由b n ＋1＝a n ＋b n (n ∈N *)，得b n ＋1－b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫43n －1.可得b n ＝b 1＋(b 2－b 1)＋(b 3－b 2)＋…＋(b n －b n －1)＝2＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫43n －11－43＝3·⎝ ⎛⎭⎪⎫43n －1－1(n ≥2)，当n ＝1时也满足，所以数列{b n }的通项公式为b n ＝3·⎝ ⎛⎭⎪⎫43n －1－1.12．(2021·衡阳模拟)在等比数列{a n }中，a 1＝2，前n 项和为S n ，若数列{a n ＋1}也是等比数列，则S n＝( )A ．2n ＋1－2 B ．3n C ．2nD ．3n－1C 由于数列{a n }为等比数列，a 1＝2，设其公比为q ，则a n ＝2qn －1，由于数列{a n ＋1}也是等比数列，所以(a n ＋1＋1)2＝(a n ＋1)(a n ＋2＋1)⇒a 2n ＋1＋2a n ＋1＝a n a n ＋2＋a n ＋a n ＋2⇒a n ＋a n ＋2＝2a n ＋1⇒a n (1＋q 2－2q )＝0⇒q ＝1，即a n ＝2，所以S n ＝2n ，故选C.13．设数列{a n }的前n 项和为S n ，n ∈N *.已知a 1＝1，a 2＝32，a 3＝54，且当n ≥2时，4S n ＋2＋5S n ＝8S n ＋1＋S n－1.(1)求a 4的值；(2)证明：⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋1－12a n 为等比数列．(1)当n ＝2时，4S 4＋5S 2＝8S 3＋S 1，即4⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋32＋54＋a 4＋5⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋32＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋32＋54＋1，解得a 4＝78.(2)证明：由4S n ＋2＋5S n ＝8S n ＋1＋S n －1(n ≥2)， 4S n ＋2－4S n ＋1＋S n －S n －1＝4S n ＋1－4S n (n ≥2)，即4a n ＋2＋a n ＝4a n ＋1(n ≥2)．由于4a 3＋a 1＝4×54＋1＝6＝4a 2，所以4a n ＋2＋a n ＝4a n ＋1，所以a n ＋2－12a n ＋1a n ＋1－12a n＝4a n ＋2－2a n ＋14a n ＋1－2a n ＝4a n ＋1－a n －2a n ＋14a n ＋1－2a n ＝2a n ＋1－a n 2（2a n ＋1－a n ）＝12，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋1－12a n 是以a 2－12a 1＝1为首项，12为公比的等比数列．14．(2021·南昌模拟)已知公比不为1的等比数列{a n }的首项a 1＝12，前n 项和为S n ，且a 4＋S 4，a 5＋S 5，a 6＋S 6成等差数列．(1)求等比数列{a n }的通项公式；(2)对n ∈N *，在a n 与a n ＋1之间插入3n 个数，使这3n ＋2个数成等差数列，记插入的这3n个数的和为b n ，求数列{b n }的前n 项和T n .(1)由于a 4＋S 4，a 5＋S 5，a 6＋S 6成等差数列，所以a 5＋S 5－a 4－S 4＝a 6＋S 6－a 5－S 5，即2a 6－3a 5＋a 4＝0，所以2q 2－3q ＋1＝0，由于q ≠1，所以q ＝12，所以等比数列{a n }的通项公式为a n ＝12n .(2)b n ＝a n ＋a n ＋12·3n＝34⎝ ⎛⎭⎪⎫32n， T n ＝34×32－⎝ ⎛⎭⎪⎫32n ＋11－32＝94⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1.。

2022年上海市高考数学试卷真题+参考答案+详细解析

2022年上海市高考数学试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分） 1．（4分）已知1z i =+（其中i 为虚数单位），则2z = ．2．（4分）双曲线2219x y -=的实轴长为．3．（4分）函数22()cos sin 1f x x x =-+的周期为． 4．（4分）已知a R ∈，行列式1||32a 的值与行列式0||41a 的值相等，则a = ． 5．（4分）已知圆柱的高为4，底面积为9π，则圆柱的侧面积为． 6．（4分）0x y -，10x y +-，求2z x y =+的最小值．7．（5分）二项式(3)n x +的展开式中，2x 项的系数是常数项的5倍，则n = ．8．（5分）若函数210()000a x x f x x a x x ⎧-<⎪=+>⎨⎪=⎩，为奇函数，求参数a 的值为．9．（5分）为了检测学生的身体素质指标，从游泳类1项，球类3项，田径类4项共8项项目中随机抽取4项进行检测，则每一类都被抽到的概率为．10．（5分）已知等差数列{}n a 的公差不为零，n S 为其前n 项和，若50S =，则(0i S i =，1，2，⋯，100)中不同的数值有个．11．（5分）若平面向量||||||a b c λ===，且满足0a b ⋅=，2a c ⋅=，1b c ⋅=，则λ= ．12．（5分）设函数()f x 满足1()()1f x f x=+对任意[0,)x ∈+∞都成立，其值域是f A ，已知对任何满足上述条件的()f x 都有{|()y y f x =，0}f x a A =，则a 的取值范围为．二、选择题（本题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项. 13．（5分）若集合[1A =-，2)，B Z =，则(A B = )A ．{2-，1-，0，1}B ．{1-，0，1}C ．{1-，0}D ．{1}-14．（5分）若实数a 、b 满足0a b >>，下列不等式中恒成立的是( ) A．a b +>B．a b +<C．22ab +> D．22ab +< 15．（5分）如图正方体1111ABCD A B C D -中，P 、Q 、R 、S 分别为棱AB 、BC 、1BB 、CD 的中点，联结1A S ，1B D ．空间任意两点M 、N ，若线段MN 上不存在点在线段1A S 、1B D 上，则称MN 两点可视，则下列选项中与点1D 可视的为( )A ．点PB ．点BC ．点RD ．点Q16．（5分）设集合222{(,)|()()4||,}x y x k y k k k Z Ω=-+-=∈， ①存在直线l ，使得集合Ω中不存在点在l 上，而存在点在l 两侧； ②存在直线l ，使得集合Ω中存在无数点在l 上；( ) A ．①成立②成立 B ．①成立②不成立 C ．①不成立②成立D ．①不成立②不成立三、解答题（本大题共有5题，满分76分）.17．（14分）如图所示三棱锥，底面为等边ABC ∆，O 为AC 边中点，且PO ⊥底面ABC ，2AP AC ==．（1）求三棱锥体积P ABC V -；（2）若M 为BC 中点，求PM 与面PAC 所成角大小．18．（14分）33()log ()log (6)f x a x x =++-．（1）若将函数()f x 图像向下移(0)m m >后，图像经过(3,0)，(5,0)，求实数a ，m 的值．（2）若3a >-且0a ≠，求解不等式()(6)f x f x -．19．（14分）在如图所示的五边形中，6AD BC ==，20AB =，O 为AB 中点，曲线CD 上任一点到O 距离相等，角120DAB ABC ∠=∠=︒，P ，Q 关于OM 对称，MO AB ⊥；（1）若点P 与点C 重合，求POB ∠的大小；（2）P 在何位置，求五边形MQABP 面积S 的最大值．20．（16分）设有椭圆方程2222:1(0)x y a b a bΓ+=>>，直线:420l x y +-=，Γ下端点为A ，M 在l 上，左、右焦点分别为1(2,0)F -、2(2,0)F ．（1）2a =，AM 中点在x 轴上，求点M 的坐标；（2）直线l 与y 轴交于B ，直线AM 经过右焦点2F ，在ABM ∆中有一内角余弦值为35，求b ；（3）在椭圆Γ上存在一点P 到l 距离为d ，使12||||6PF PF d ++=，随a 的变化，求d 的最小值．21．（18分）数列{}n a 对任意*n N ∈且2n ，均存在正整数[1,1]i n ∈-，满足12n n i a a a +=-，11a =，23a =．（1）求4a 可能值；（2）命题p ：若1a ，2a ，，8a 成等差数列，则930a <，证明p 为真，同时写出p 逆命题q ，并判断命题q 是真是假，说明理由；（3）若23m m a =，*()m N ∈成立，求数列{}n a 的通项公式．2022年上海市高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分） 1．（4分）已知1z i =+（其中i 为虚数单位），则2z = 22i - ．【解析】1z i =+，则1z i =-，所以222z i =-．故答案为：22i -．【评注】本题考查了共轭复数的概念，是基础题．2．（4分）双曲线2219x y -=的实轴长为 6 ．【解析】由双曲线2219x y -=，可知：3a =，所以双曲线的实轴长26a =．故答案为：6．【评注】本题考查双曲线的性质，是基础题．3．（4分）函数22()cos sin 1f x x x =-+的周期为 π ．【解析】2222222()cos sin 1cos sin cos sin 2cos cos21f x x x x x x x x x =-+=-++==+，22T ππ==．故答案为：π．【评注】本题主要考查了三角函数的恒等变换，三角函数的周期性及其求法，倍角公式的应用，属于基础题．4．（4分）已知a R ∈，行列式1||32a 的值与行列式0||41a 的值相等，则a = 3 ．【解析】因为1||2332a a =-，0||41a a =，所以23a a -=，解得3a =．故答案为：3．【评注】本题考查了行列式表示的值，属于基础题．5．（4分）已知圆柱的高为4，底面积为9π，则圆柱的侧面积为 24π．．【解析】因为圆柱的底面积为9π，即29R ππ=，所以3R =，所以224S Rh ππ==侧．故答案为：24π．【评注】本题考查了圆柱的侧面积公式，属于基础题． 6．（4分）0x y -，10x y +-，求2z x y =+的最小值 32．【解析】如图所示：由0x y -，10x y +-，可知行域为直线0x y -=的左上方和10x y +-=的右上方的公共部分，联立010x y x y -=⎧⎨+-=⎩，可得1212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即图中点11(,)22A ，当目标函数2z x y =+沿着与正方向向量(1,2)a =的相反向量平移时，离开区间时取最小值，即目标函数2z x y =+过点11(,)22A 时，取最小值：1132222+⨯=．故答案为：32．【评注】本题考查了线性规划知识，难点在于找到目标函数取最小值的位置，属于中档题． 7．（5分）二项式(3)n x +的展开式中，2x 项的系数是常数项的5倍，则n = 10 ．【解析】二项式(3)n x +的展开式中，2x 项的系数是常数项的5倍，即220353n n n n C C -⨯=⨯，即(1)592n n -=⨯，10n ∴=，故答案为：10．【评注】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于基础题．8．（5分）若函数210()000a x x f x x a x x ⎧-<⎪=+>⎨⎪=⎩，为奇函数，求参数a 的值为 1 ．【解析】函数210()000a x x f x x a x x ⎧-<⎪=+>⎨⎪=⎩，为奇函数，()()f x f x ∴-=-，(1)(1)f f ∴-=-，21(1)a a ∴--=-+，即(1)0a a -=，求得0a =或1a =．当0a =时，1,0()0,0,0x f x x x x -<⎧⎪==⎨⎪>⎩，不是奇函数，故0a ≠；当1a =时，1,0()0,01,0x x f x x x x -<⎧⎪==⎨⎪+>⎩，是奇函数，故满足条件，综上，1a =，故答案为：1．【评注】本题主要考查函数的奇偶性的定义和性质，属于中档题．9．（5分）为了检测学生的身体素质指标，从游泳类1项，球类3项，田径类4项共8项项目中随机抽取4项进行检测，则每一类都被抽到的概率为37．【解析】从游泳类1项，球类3项，田径类4项共8项项目中随机抽取4项进行检测，则每一类都被抽到的方法共有112121134134C C C C C C ⋅⋅+⋅⋅种，而所有的抽取方法共有48C 种，故每一类都被抽到的概率为11212113413448303707C C C C C C C ⋅⋅+⋅⋅==，故答案为：37．【评注】本题主要考查古典概率及其计算公式的应用，属于基础题．10．（5分）已知等差数列{}n a 的公差不为零，n S 为其前n 项和，若50S =，则(0i S i =，1，2，⋯，100)中不同的数值有 98 个．【解析】等差数列{}n a 的公差不为零，n S 为其前n 项和，50S =，∴5154502S a d ⨯=+=，解得12a d =-， 21(1)(1)2(5)222n n n n n dS na d nd d n n --∴=+=-+=-， 0d ≠，(0i S i ∴=，1，2，100)中050S S ==，233S S d ==-，142S S d ==-，其余各项均不相等，(0i S i ∴=，1，2，100)中不同的数值有：101398-=．故答案为：98．【评注】本题考查等差数列的前n 项和公式、通项公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 11．（5分）若平面向量||||||a b c λ===，且满足0a b ⋅=，2a c ⋅=，1b c ⋅=，则λ【解析】由题意，有0a b ⋅=，则a b ⊥，设,a c θ<>=， 21a c b c ⋅=⎧⎪⎨⋅=⎪⎩⇒2,1,2a c cos b c cos θπθ⎧=⎪⎨⎛⎫-= ⎪⎪⎝⎭⎩①② 则②①得，1tan 2θ=，由同角三角函数的基本关系得：cos θ=，则||||cos 2a c a c θλλ⋅==⋅=，2λ=λ=．【评注】本题考查平面向量的数量积，考查学生的运算能力，属于中档题．12．（5分）设函数()f x 满足1()()1f x f x=+对任意[0,)x ∈+∞都成立，其值域是f A ，已知对任何满足上述条件的()f x 都有{|()y y f x =，0}f x a A =，则a 的取值范围为)+∞ ．【解析】法一：令11x x =+，解得x =，当1x ∈时，2111x x =∈+，当1)x ∈+∞时，2111x x =∈+，且当1)x ∈+∞时，总存在2111x x =∈+，使得12()()f x f x =，故51{|(),0}2fy y f x x A -==，若a <易得{}|(),0f y y f x x a ∉=，所以512a -，即实数a 的取值范围为)+∞；法二：原命题等价于任意10,()()1a f x a f x a >+=++，所以11(1)1a x a x a a⇒-+++恒成立，即1(1)0a a -+恒成立，又0a >，所以512a -，即实数a的取值范围为)+∞．故答案为：)+∞．【评注】本题考查了抽象函数的性质的应用，同时考查了集合的应用，属于中档题．二、选择题（本题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项. 13．（5分）若集合[1A =-，2)，B Z =，则(A B = )A ．{2,1,0,1}--B ．{1,0,1}-C ．{1,0}-D ．{1}-【解析】[1A =-，2)，B Z =，{1,0,1}A B ∴=-，故选：B ．【评注】本题考查了集合的交集的运算，是基础题．14．（5分）若实数a 、b 满足0a b >>，下列不等式中恒成立的是( ) A．a b +>B．a b +<C．22ab +> D ．22ab +< 【解析】因为0a b >>，所以2a b ab+，当且仅当a b =时取等号，又0a b >>，所以a b+>A 正确，B 错误，22222a a b b +⨯=22a b =，即4a b =时取等号，故CD 错误，故选：A ．【评注】本题考查了基本不等式的应用，考查了学生的理解能力，属于基础题．15．（5分）如图正方体1111ABCD A B C D -中，P 、Q 、R 、S 分别为棱AB 、BC 、1BB 、CD 的中点，联结1A S ，1B D ．空间任意两点M 、N ，若线段MN 上不存在点在线段1A S 、1B D 上，则称MN 两点可视，则下列选项中与点1D 可视的为( )A ．点PB ．点BC ．点RD ．点Q【解析】线段MN 上不存在点在线段1A S 、1B D 上，即直线MN 与线段1A S 、1B D 不相交，因此所求与1D 可视的点，即求哪条线段不与线段1A S 、1B D 相交，对A 选项，如图，连接1A P 、PS 、1D S ，因为P 、S 分别为AB 、CD 的中点，∴易证11//A D PS ，故1A 、1D 、P 、S 四点共面，1D P ∴与1A S 相交，A ∴错误；对B 、C 选项，如图，连接1D B 、DB ，易证1D 、1B 、B 、D 四点共面，故1D B 、1D R 都与1B D 相交，B ∴、C 错误；对D 选项，连接1D Q ，由A 选项分析知1A 、1D 、P 、S 四点共面记为平面11A D PS ，1D ∈平面11A D PS ，Q ∉平面11A D PS ，且1A S ⊂平面11A D PS ，点11D A S ∉，1D Q ∴与1A S 为异面直线，同理由B ，C 选项的分析知1D 、1B 、B 、D 四点共面记为平面11D B BD ，1D ∈平面11D B BD ，Q ∉平面11D B BD ，且1B D ⊂平面11D B BD ，点11D B D ∉，1D Q ∴与1B D 为异面直线，故1D Q 与1A S ，1B D 都没有公共点，D ∴选项正确．故选：D ．【评注】本题考查新定义，共面定理的应用，异面直线的判定定理，属中档题． 16．（5分）设集合222{(,)|()()4||,}x y x k y k k k Z Ω=-+-=∈， ①存在直线l ，使得集合Ω中不存在点在l 上，而存在点在l 两侧； ②存在直线l ，使得集合Ω中存在无数点在l 上；( ) A ．①成立②成立 B ．①成立②不成立 C ．①不成立②成立D ．①不成立②不成立【解析】当0k =时，集合222{(,)|()()4||,}{(0,0)}x y x k y k k k Z Ω=-+-=∈=，当0k >时，集合222{(,)|()()4||,}x y x k y k k k Z Ω=-+-=∈，表示圆心为2(,)k k ，半径为r =2y x =上，半径()r f k ==相邻两个圆的圆心距d =，相邻两个圆的半径之和为l =，因为d l >有解，故相邻两个圆之间的位置关系可能相离，当0k <时，同0k >的情况，故存在直线l ，使得集合Ω中不存在点在l 上，而存在点在l 两侧，故①正确，若直线l 斜率不存在，显然不成立，设直线:l y mx n =+，若考虑直线l 与圆222()()4||x k y k k -+-=的焦点个数，2d =，r = 给定m ，n ，当k 足够大时，均有d r >，故直线l 只与有限个圆相交，②错误．故选：B ．【评注】本题考查了动点的轨迹、直线与圆的位置关系，属于中档题．三、解答题（本大题共有5题，满分76分）.17．（14分）如图所示三棱锥，底面为等边ABC ∆，O 为AC 边中点，且PO ⊥底面ABC ，2AP AC ==．（1）求三棱锥体积P ABC V -；（2）若M 为BC 中点，求PM 与面PAC 所成角大小．【解析】（1）在三棱锥P ABC -中，因为PO ⊥底面ABC ，所以PO AC ⊥，又O 为AC 边中点，所以PAC ∆为等腰三角形，又2AP AC ==．所以PAC ∆是边长为2的为等边三角形，PO ∴=，三棱锥体积2112133P ABC ABC V S PO -∆=⋅==，（2）以O 为坐标原点，OB 为x 轴，OC 为y 轴，OP 为z 轴，建立空间直角坐标系，则P，B ，(0,1,0)C，1,0)2M，31(,22PM =，平面PAC 的法向量(3,0,0)OB =，设直线PM 与平面PAC 所成角为θ，则直线PM 与平面PAC所成角的正弦值为3sin ||||||3PM OBPM OB θ⋅==⋅ 所以PM 与面PAC 所成角大小为【评注】本题考查线面垂直的证明，考查线面角的求法，考查空间中线线、线面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．18．（14分）33()log ()log (6)f x a x x =++-．（1）若将函数()f x 图像向下移(0)m m >后，图像经过(3,0)，(5,0)，求实数a ，m 的值．（2）若3a >-且0a ≠，求解不等式()(6)f x f x -．【解析】（1）因为函数33()log ()log (6)f x a x x =++-，将函数()f x 图像向下移(0)m m >后，得33()log ()log (6)y f x m a x x m =-=++--的图像，由函数图像经过点(3,0)和(5,0)，所以33log (3)10log (5)00a m a m ++-=⎧⎨++-=⎩，解得2a =-，1m =．（2）3a >-且0a ≠时，不等式()(6)f x f x -可化为3333log ()log (6)log (6)log a x x a x x ++-+-+，等价于060600()(6)(6)a x x a x x a x x x a x +>⎧⎪->⎪⎪+->⎨⎪>⎪+-+-⎪⎩，解得660(3)0x ax x a x a x >-⎧⎪<⎪⎪<+⎨⎪>⎪-⎪⎩，当30a -<<时，03a <-<，366a <+<，解不等式得3a x -<，当0a >时，0a -<，66a +>，解不等式得36x <；综上知，30a -<<时，不等式()(6)f x f x -的解集是(,3]a -，0a >时，不等式()(6)f x f x -的解集是[3,6)．【评注】本题考查了函数的性质与应用问题，也考查了含有字母系数的不等式解法与应用问题，是中档题． 19．（14分）在如图所示的五边形中，6AD BC ==，20AB =，O 为AB 中点，曲线CD 上任一点到O 距离相等，角120DAB ABC ∠=∠=︒，P ，Q 关于OM 对称，MO AB ⊥；（1）若点P 与点C 重合，求POB ∠的大小；（2）P 在何位置，求五边形MQABP 面积S 的最大值．【解析】（1）点P 与点C 重合，由题意可得10OB =，6BC =，120ABC ∠=︒，由余弦定理可得22212cos 361002610()1962OP OB BC OB BC ABC =+-⋅∠=+-⨯⨯⨯-=，所以14OP =，在OBP ∆中，由正弦定理得sin120sin OP BPPOB=︒∠，6sin POB=∠，解得sin POB ∠POB ∠的大小为；（2）如图，连结QA ，PB ，OQ ，OP ，曲线CMD 上任意一点到O 距离相等，14OP OQ OM OC ∴====，P ，Q 关于OM 对称，P ∴点在劣弧CM 中点或劣弧DM 的中点位置，QOM POM S S α∆∆==，则2BOP AOQ BOP S πα∆∠=∠==-，则五边形面积112()2[sin()sin ]196sin 140cos 222AOQ QOM S S S OQ OA OQ OM παααα∆∆=+=⋅⋅⋅-+⋅⋅⋅=+)αϕ=+，其中5tan 7ϕ=，当sin()1αϕ+=时，MQABP S 五边形取最大值，∴五边形MQABP 面积S 的最大值为．【评注】本题考查了扇形的性质、正、余弦定理和面积公式在解三角形问题中的应用，同时考查了学生的逻辑推理能力、运算能力等，属于中档题．20．（16分）设有椭圆方程2222:1(0)x y a b a bΓ+=>>，直线:0l x y +-，Γ下端点为A ，M 在l 上，左、右焦点分别为1(F 、2F ．（1）2a =，AM 中点在x 轴上，求点M 的坐标；（2）直线l 与y 轴交于B ，直线AM 经过右焦点2F ，在ABM ∆中有一内角余弦值为35，求b ；（3）在椭圆Γ上存在一点P 到l 距离为d ，使12||||6PF PF d ++=，随a 的变化，求d 的最小值．【解析】（1）由题意可得2,a b c ==22:1,(0,42x y A Γ+=，AM 的中点在x 轴上，M ∴0x y +-=得M ．（2）由直线方程可知B ，①若3cos 5BAM ∠=，则4tan 3BAM ∠=，即24tan 3OAF ∠=，∴234OA OF ==∴b =②若3cos 5BMA ∠=，则4sin 5BMA ∠=，4MBA π∠=，∴34cos()55MBA AMB ∠+∠=∴cos BAM ∠=tan 7BAM ∴∠=．即2tan 7OAF ∠=，∴OA ，∴b ，综上b =．（3）设(cos ,sin )P a b θθ62a =-，很明显椭圆在直线的左下方，则62a =-，即)θϕ+=，222a b =+，∴)θϕ+=-，据此可得)22a θϕ+=-，|sin()|1θϕ+=，整理可得(1)(35)0a a --，即513a，从而58626233d a =--⨯=．即d 的最小值为83．【评注】本题主要考查椭圆方程的求解，点到直线距离公式及其应用，椭圆中的最值与范围问题等知识，属于中等题．21．（18分）数列{}n a 对任意*n N ∈且2n ，均存在正整数[1i ∈，1]n -，满足12n n i a a a +=-，11a =，23a =．（1）求4a 可能值；（2）命题p ：若1a ，2a ，，8a 成等差数列，则930a <，证明p 为真，同时写出p 逆命题q ，并判断命题q 是真是假，说明理由；（3）若23m m a =，*()m N ∈成立，求数列{}n a 的通项公式．【解析】（1）32125a a a =-=，43227a a a =-=或43129a a a =-=．（2）1a ，2a ，3a ，4a ，5a ，6a ，7a ，8a 为等差数列，∴*2,21([1,8],)n d a n n n N ==-∈∈， 9823030i i a a a a =-=-<．逆命题q ：若930a <，则1a ，2a ，3a ，4a ，5a ，6a ，7a ，8a 为等差数列是假命题，举例： 11a =，23a =，35a =，47a =，59a =，611a =，713a =，875217a a a =-=，987221a a a =-=．（3）23m m a =，∴12222213,2(2)m m m m i a a a a i m ++++==-，2122(21)m m j a a a j m +=--， 22242m m j i a a a a +∴=--，∴12222244333m m m j i m m m a a a a a +++=-=⨯-==，以下用数学归纳法证明数列单调递增，即证明1n n a a +>恒成立：当1n =，21a a >明显成立，假设n k =时命题成立，即11210k k k a a a a a -->>>>>>，则120k k k i k k i a a a a a a a +-=--=->，则1k k a a +>，命题得证．回到原题，分类讨论求解数列的通项公式：1．若2j =1m -，则2212122m j i m i m i a a a a a a a --=+=+>-矛盾， 2．若2j =2m -，则13m j a -=，∴1323m m i j a a -=-=，22i m ∴=-，此时11212223353m m m m m j a a a --+=-=⨯-=⨯，∴3*2*2115321,32,n n nn a n k k N n k k N -=⎧⎪⎪=⨯=+∈⎨⎪⎪=∈⎩， 3．若2j <2m -，则1223m j a -<⨯，∴1323m m i j a a -=->，21j m ∴=-，2221212m m m a a a ++-∴=-（由（2）知对任意m 成立），6532a a a =-，事实上：6522a a a =-矛盾．综上可得3*2*2115321,32,n n nn a n k k N n k k N -=⎧⎪⎪=⨯=+∈⎨⎪⎪=∈⎩．【评注】本题主要考查数列中的递推关系式，数列中的推理问题，数列通项公式的求解等知识，属于难题．。

2022年高考数学(文)一轮复习文档：第八章平面解析几何第7讲抛物线 Word版含答案

第7讲抛物线 ,)1．抛物线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线： (1)在平面内；(2)动点到定点F 的距离与到定直线l 的距离相等； (3)定点不在定直线上． 2．抛物线的标准方程和几何性质标准方程y 2＝2px(p ＞0)y 2＝－2px(p ＞0)x 2＝2py(p ＞0)x 2＝－2py(p ＞0)p 的几何意义：焦点F 到准线l 的距离图形顶点 O (0，0)对称轴 y ＝0x ＝0焦点 F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0 F ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，0 F ⎝⎛⎭⎪⎫0，p 2 F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－p 2离心率 e ＝1准线方程 x ＝－p2x ＝p 2y ＝－p 2y ＝p 2范围 x ≥0，y ∈Rx ≤0，y ∈Ry ≥0，x ∈Ry ≤0， x ∈R开口方向向右向左向上向下焦半径|PF |＝|PF |＝|PF |＝|PF |＝(其中P (x 0， y 0))x 0＋p 2－x 0＋p2y 0＋p 2－y 0＋p21．辨明两个易误点(1)抛物线的定义中易忽视“定点不在定直线上”这一条件，当定点在定直线上时，动点的轨迹是过定点且与定直线垂直的直线．(2)对于抛物线标准方程中参数p ，易忽视只有p ＞0才能证明其几何意义是焦点F 到准线l 的距离，否则无几何意义．2．与焦点弦有关的常用结论(以右图为依据)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．(1)y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24.(2)|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2θ(θ为AB 的倾斜角)．(3)1|AF |＋1|BF |为定值2p. (4)以AB 为直径的圆与准线相切． (5)以AF 或BF 为直径的圆与y 轴相切．1.教材习题改编抛物线8x 2＋y ＝0的焦点坐标为( ) A ．(0，－2) B ．(0，2) C ．⎝⎛⎭⎪⎫0，－132 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，132C 由8x 2＋y ＝0，得x 2＝－18y .2p ＝18，p ＝116，所以焦点为⎝⎛⎭⎪⎫0，－132，故选C.2.教材习题改编以x ＝1为准线的抛物线的标准方程为( ) A ．y 2＝2x B ．y 2＝－2x C ．y 2＝4xD ．y 2＝－4xD 由准线x ＝1知，抛物线方程为y 2＝－2px (p >0)且p2＝1，p ＝2，所以方程为y 2＝－4x ，故选D.3．M 是抛物线y 2＝2px (p >0)位于第一象限的点，F 是抛物线的焦点，若|MF |＝52p ，则直线MF 的斜率为( )A ．43B ．53C ．54D ．52A 设M (x 0，y 0)，由|MF |＝52p ，得x 0＋p 2＝5p2，所以x 0＝2p .所以y 20＝2px 0＝4p 2，取正根得y 0＝2p . 即M 的坐标为(2p ，2p )，又F 的坐标为(p2，0)，所以k MF ＝2p －02p －p 2＝43，故选A.4．动圆过点(1，0)，且与直线x ＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为________．设动圆的圆心坐标为(x ，y )，则圆心到点(1，0)的距离与到直线x ＝－1的距离相等，依据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y 2＝4x .y 2＝4x5.教材习题改编抛物线x 2＝2py (p >0)上的点P (m ，2)到焦点F 的距离为3，则该抛物线的方程为________．依据抛物线定义可知2＋p2＝3，所以p ＝2，所以抛物线的方程为x 2＝4y .x 2＝4y抛物线的定义及其应用(1)若抛物线y 2＝2x 上一点M 到它的焦点F 的距离为32，O 为坐标原点，则△MFO 的面积为( )A ．22B ．24C ．12D ．14(2)已知抛物线y 2＝4x 的焦点是F ，点P 是抛物线上的动点，又有点B (3，2)，则|PB |＋|PF |的最小值为________．【解析】 (1)由题意知，抛物线准线方程为x ＝－12.设M (a ，b )，由抛物线的定义可知，点M 到准线的距离为32，所以a ＝1，代入抛物线方程y 2＝2x ，解得b ＝±2，所以S △MFO ＝12×12×2＝24.(2)如图，过点B 作BQ 垂直准线于Q ，交抛物线于点P 1，则|P 1Q |＝|P 1F |，则有|PB |＋|PF |≥|P 1B |＋|P 1Q |＝|BQ |＝4.即|PB |＋|PF |的最小值为4. 【答案】 (1)B (2)4若本例(2)中的B 点坐标改为(3，4)，试求|PB |＋|PF |的最小值．由题意可知点(3，4)在抛物线的外部．由于|PB |＋|PF |的最小值即为B ，F 两点间的距离，所以|PB |＋|PF |≥|BF |＝42＋22＝16＋4＝2 5.即|PB |＋|PF |的最小值为2 5.抛物线定义的应用(1)利用抛物线的定义解决此类问题，应机敏地进行抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离的等价转化．即“看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”．(2)留意机敏运用抛物线上一点P (x ，y )到焦点F 的距离|PF |＝|x |＋p 2或|PF |＝|y |＋p2.1．(2021·云南省统一检测)设经过抛物线C 的焦点F 的直线l 与抛物线C 交于A 、B 两点，那么抛物线C 的准线与以AB 为直径的圆的位置关系为( )A ．相离B ．相切C ．相交但不经过圆心D ．相交且经过圆心B 设圆心为M ，过点A 、B 、M 作准线l 的垂线，垂足分别为A 1、B 1、M 1，则|MM 1|＝12(|AA 1|＋|BB 1|)．由抛物线定义可知|BF |＝|BB 1|，|AF |＝|AA 1|，所以|AB |＝|BB 1|＋|AA 1|，|MM 1|＝12|AB |，即圆心M 到准线的距离等于圆的半径，故以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切．2．(2021·长春调研)已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，则抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是( )A ．355B ．2C ．115D ．3B 由题可知l 2：x ＝－1是抛物线y 2＝4x 的准线，设抛物线的焦点F 为(1，0)，则动点P 到l 2的距离等于|PF |，则动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值即为焦点F 到直线l 1：4x －3y ＋6＝0的距离，所以最小值是|4－0＋6|5＝2.抛物线的标准方程及性质(高频考点)抛物线的标准方程及性质是高考的热点，考查时多以选择题、填空题形式消灭，个别高考题有肯定难度．高考对抛物线的考查主要有以下三个命题角度： (1)求抛物线方程； (2)由已知求参数p ； (3)抛物线方程的实际应用．(1)(2022·高考全国卷乙)以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A 、B 两点，交C 的准线于D 、E两点．已知|AB |＝42，|DE |＝25，则C 的焦点到准线的距离为( )A ．2B ．4C ．6D ．8(2)若抛物线的焦点为直线3x －4y －12＝0与坐标轴的交点，则抛物线的标准方程为________．【解析】 (1)由题意，不妨设抛物线方程为y 2＝2px (p ＞0)，由|AB |＝42，|DE |＝25，可取A ⎝ ⎛⎭⎪⎫4p，22，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，5，设O 为坐标原点，由|OA |＝|OD |，得16p 2＋8＝p 24＋5，得p ＝4，所以选B.(2)对于直线方程3x －4y －12＝0，令x ＝0，得y ＝－3，令y ＝0，得x ＝4，所以抛物线的焦点坐标可能为(0，－3)或(4，0)．当焦点坐标为(0，－3)时，设方程为x 2＝－2py (p >0)，则p2＝3，所以p ＝6，此时抛物线的标准方程为x2＝－12y ；当焦点坐标为(4，0)时，设方程为y 2＝2px (p >0)，则p2＝4，所以p ＝8，此时抛物线的标准方程为y 2＝16x . 所以所求抛物线的标准方程为x 2＝－12y 或y 2＝16x . 【答案】 (1)B (2)x 2＝－12y 或y 2＝16x(1)求抛物线的标准方程的方法①求抛物线的标准方程常用待定系数法，由于未知数只有p ，所以只需一个条件确定p 值即可． ②由于抛物线方程有四种标准形式，因此求抛物线方程时，需先定位，再定量． (2)确定及应用抛物线性质的技巧①利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线等性质时，关键是将抛物线方程化成标准方程．②要结合图形分析，机敏运用平面几何的性质以图助解．角度一求抛物线方程1．以x 轴为对称轴，原点为顶点的抛物线上的一点P (1，m )到焦点的距离为3，则抛物线的方程是( ) A ．y ＝4x 2B ．y ＝8x 2C ．y 2＝4xD ．y 2＝8xD 设抛物线的方程为y 2＝2px (p >0)，则由抛物线的定义知1＋p2＝3，即p ＝4，所以抛物线方程为y2＝8x .角度二由已知求参数p2．(2021·襄阳调研测试)抛物线y 2＝2px 的焦点为F ，M 为抛物线上一点，若△OFM 的外接圆与抛物线的准线相切(O 为坐标原点)，且外接圆的面积为9π，则p ＝( )A ．2B ．4C ．6D ．8B 由于△OFM 的外接圆与抛物线的准线相切，所以△OFM 的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径，由于圆面积为9π，所以圆的半径为3，又由于圆心在OF 的垂直平分线上，|OF |＝p2，所以p 2＋p4＝3，所以p ＝4.角度三抛物线方程的实际应用3．如图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽为________米．建立坐标系如图所示．则可设抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)．由于点(2，－2)在抛物线上，所以p ＝1，即抛物线方程为x 2＝－2y . 当y ＝－3时，x ＝± 6.所以水位下降1米后，水面宽为26米． 2 6直线与抛物线的位置关系(2022·高考全国卷乙)在直角坐标系xOy 中，直线l ：y ＝t (t ≠0)交y 轴于点M ，交抛物线C ：y2＝2px (p ＞0)于点P ，M 关于点P 的对称点为N ，连接ON 并延长交C 于点H .(1)求|OH ||ON |；(2)除H 以外，直线MH 与C 是否有其他公共点？说明理由．【解】 (1)由已知得M (0，t )，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 22p ，t . 又N 为M 关于点P 的对称点，故N ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2p ，t ，ON 的方程为y ＝ptx ，代入y 2＝2px ，整理得px 2－2t 2x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝2t2p.因此H ⎝ ⎛⎭⎪⎫2t 2p ，2t . 所以N 为OH 的中点，即|OH ||ON |＝2.(2)直线MH 与C 除H 以外没有其他公共点．理由如下：直线MH 的方程为y －t ＝p2t x ，即x ＝2tp(y －t )．代入y 2＝2px 得y 2－4ty ＋4t 2＝0，解得y 1＝y 2＝2t ，即直线MH 与C 只有一个公共点，所以除H 以外直线MH 与C 没有其他公共点．解决直线与抛物线位置关系问题的常用方法(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系． (2)有关直线与抛物线的弦长问题，要留意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB |＝|x 1|＋|x 2|＋p ，若不过焦点，则必需用一般弦长公式．(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系接受“设而不求”“整体代入”等解法．涉及弦的中点、斜率时，一般用“点差法”求解．已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1<x 2)两点，且|AB |＝9.(1)求该抛物线的方程；(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC →＝OA →＋λOB →，求λ的值．(1)由题意得直线AB 的方程为y ＝22·⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，与y 2＝2px 联立，消去y 有4x 2－5px ＋p 2＝0，所以x 1＋x 2＝5p4.由抛物线定义得|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝5p4＋p ＝9，所以p ＝4，从而该抛物线的方程为y 2＝8x . (2)由(1)得4x 2－5px ＋p 2＝0，即x 2－5x ＋4＝0，则x 1＝1，x 2＝4，于是y 1＝－22，y 2＝42，从而A (1，－22)，B (4，42)，设C (x 3，y 3)，则OC →＝(x 3，y 3)＝(1，－22)＋λ(4，42) ＝(4λ＋1，42λ－22)．又y 23＝8x 3，所以2＝8(4λ＋1)，整理得(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0或λ＝2.,)——忽视焦点位置而致误已知抛物线的顶点在原点，对称轴为y 轴，它与圆x 2＋y 2＝9相交，公共弦MN 的长为25，求该抛物线的方程，并写出它的焦点坐标与准线方程．【解】由题意，设抛物线方程为x 2＝2ay (a ≠0)．设公共弦MN 交y 轴于A ，则|MA |＝|AN |，且|AN |＝ 5. 由于|ON |＝3，所以|OA |＝32－（5）2＝2，所以N (5，±2)．由于N 点在抛物线上，所以5＝2a ·(±2)，即2a ＝±52，故抛物线的方程为x 2＝52y 或x 2＝－52y .抛物线x 2＝52y 的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，58，准线方程为y ＝－58.抛物线x 2＝－52y 的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－58，准线方程为y ＝58.(1)解决本题易忽视焦点位置可在y 轴的正半轴也可在负半轴上两种状况，误认为a >0，从而导致漏解．(2)对称轴确定，而开口方向不确定的抛物线方程有如下特点： ①当焦点在x 轴上时，可将抛物线方程设为y 2＝ax (a ≠0)； ②当焦点在y 轴上时，可将抛物线方程设为x 2＝ay (a ≠0)．若抛物线y 2＝2px 的焦点与椭圆x 29＋y 25＝1的焦点重合，则抛物线的准线方程为________．由椭圆x 29＋y 25＝1，得c 2＝9－5＝4，即c ＝2，故椭圆的焦点坐标为(±2，0)．即抛物线的焦点坐标为(±2，0)．所以当p >0时，抛物线的准线方程为x ＝－2；当p <0时，抛物线的准线方程为x ＝2. x ＝2或x ＝－2,)1．若抛物线y ＝4x 2上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是( ) A ．1716 B ．1516 C ．78D ．0B M 到准线的距离等于M 到焦点的距离，又准线方程为y ＝－116，设M (x ，y )，则y ＋116＝1，所以y ＝1516.2．若抛物线y 2＝2x 上一点P 到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P 的坐标为( ) A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫14，±22B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫14，±1C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，±22D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，±1 A 设抛物线的顶点为O ，焦点为F ，P (x P ，y P )，由抛物线的定义知，点P 到准线的距离即为点P 到焦点的距离，所以|PO |＝|PF |，过点P 作PM ⊥OF 于点M (图略)，则M 为OF 的中点，所以x P ＝14，代入y 2＝2x ，得y P ＝±22，所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，±22. 3．(2022·高考全国卷甲)设F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，曲线y ＝kx(k >0)与C 交于点P ，PF ⊥x 轴，则k ＝( )A ．12 B ．1C ．32D ．2D 易知抛物线的焦点为F (1，0)，设P (x P ，y P )，由PF ⊥x 轴可得x P ＝1，代入抛物线方程得y P ＝2(－2舍去)，把P (1，2)代入曲线y ＝k x(k ＞0)得k ＝2.4．设F 为抛物线y 2＝2x 的焦点，A 、B 、C 为抛物线上三点，若F 为△ABC 的重心，则|FA →|＋|FB →|＋|FC →|的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4C 依题意，设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，又焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，x 1＋x 2＋x 3＝3×12＝32，则|FA →|＋|FB →|＋|FC →|＝⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋12＝(x 1＋x 2＋x 3)＋32＝32＋32＝3.5．直线l 过抛物线y 2＝－2px (p >0)的焦点，且与抛物线交于A 、B 两点，若线段AB 的长是8，AB 的中点到y 轴的距离是2，则此抛物线的方程是( )A ．y 2＝12x B ．y 2＝－8x C ．y 2＝6xD ．y 2＝－4xB 设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，由抛物线定义可得|x 1|＋|x 2|＋p ＝8，又AB 的中点到y 轴的距离为2，即|x 1|＋|x 2|＝4，所以p ＝4，所以y 2＝－8x .故选B.6．已知抛物线y 2＝4x ，圆F ：(x －1)2＋y 2＝1，过点F 作直线l ，自上而下顺次与上述两曲线交于点A ，B ，C ，D (如图所示)，则下列关于|AB |·|CD |的值的说法中，正确的是( )A ．等于1B ．等于4C ．最小值是1D ．最大值是4A 设直线l ：x ＝ty ＋1，代入抛物线方程，得y 2－4ty －4＝0.设A (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，依据抛物线的定义知，|AF |＝x 1＋1，|DF |＝x 2＋1，故|AB |＝x 1，|CD |＝x 2，所以|AB |·|CD |＝x 1x 2＝y 214·y 224＝（y 1y 2）216.而y 1y 2＝－4，故|AB |·|CD |＝1.7．(2021·资阳模拟)顶点在原点，对称轴是y 轴，并且经过点P (－4，－2)的抛物线方程是________．设抛物线方程为x 2＝my ，将点P (－4，－2)代入x 2＝my ，得m ＝－8. 所以抛物线方程是x 2＝－8y . x 2＝－8y8．(2021·云南省第一次统一检测)已知抛物线C 的方程为y 2＝2px (p >0)，○· M 的方程为x 2＋y 2＋8x ＋12＝0，假如抛物线C 的准线与○·M 相切，那么p 的值为________．将○·M 的方程化为标准方程：(x ＋4)2＋y 2＝4，圆心坐标为(－4，0)，半径r ＝2，又由于抛物线的准线方程为x ＝－p2，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪4－p 2＝2，p ＝12或4.12或49．经过抛物线C 的焦点F 作直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，假如A ，B 在抛物线C 的准线上的射影分别为A 1，B 1，那么∠A 1FB 1＝________．由抛物线定义可知|BF |＝|BB 1|，|AF |＝|AA 1|，故∠BFB 1＝∠BB 1F ，∠AFA 1＝∠AA 1F . 又∠OFB 1＝∠BB 1F ，∠OFA 1＝∠AA 1F ，故∠BFB 1＝∠OFB 1，∠AFA 1＝∠OFA 1，所以∠OFA 1＋∠OFB 1＝12×π＝π2，即∠A 1FB 1＝π2.π210．(2021·豫东、豫北十校联考)已知抛物线的顶点在原点，焦点在x 轴的正半轴上，若抛物线的准线与双曲线5x 2－y 2＝20的两条渐近线围成的三角形的面积为45，则抛物线方程为________．由双曲线方程5x 2－y 2＝20知其渐近线方程为y ＝±5x ，由题意可设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，故其准线方程为x ＝－p 2，设准线与双曲线的两条渐近线的交点为A ，B ，则不妨令A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p2，52p ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，－52p ，故S △ABO ＝12×5p ×p 2＝54p 2＝45，解得p 2＝16，又由于p >0，所以p ＝4，故抛物线方程为y 2＝8x .y 2＝8x11．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，A 是抛物线上横坐标为4，且位于x 轴上方的点，A 到抛物线准线的距离等于5，过A 作AB 垂直于y 轴，垂足为B ，OB 的中点为M .(1)求抛物线的方程；(2)若过M 作MN ⊥FA ，垂足为N ，求点N 的坐标． (1)抛物线y 2＝2px 的准线为x ＝－p2，于是4＋p2＝5，所以p ＝2.所以抛物线方程为y 2＝4x .(2)由于点A 的坐标是(4，4)，由题意得B (0，4)，M (0，2)．又由于F (1，0)，所以k FA ＝43，由于MN ⊥FA ，所以k MN ＝－34.所以FA 的方程为y ＝43(x －1)，①MN 的方程为y －2＝－34x ，②联立①②，解得x ＝85，y ＝45，所以N 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫85，45.12．(2021·长春一模)过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 且倾斜角为120°的直线l 与抛物线在第一、四象限分别交于A ，B 两点，则|AF ||BF |的值等于( ) A ．13B ．23 C.34 D.43A 记抛物线y 2＝2px 的准线为l ′，如图，作AA 1⊥l ′，BB 1⊥l ′，AC ⊥BB 1，垂足分别是A 1，B 1，C ，则有cos ∠ABB 1＝|BC ||AB |＝|BB 1|－|AA 1||AF |＋|BF |＝|BF |－|AF ||AF |＋|BF |，即cos 60°＝|BF |－|AF ||AF |＋|BF |＝12，由此得|AF ||BF |＝13.13．已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线l 经过点F 且与抛物线C 相交于A 、B 两点． (1)若线段AB 的中点在直线y ＝2上，求直线l 的方程； (2)若线段|AB |＝20，求直线l 的方程．(1)由已知得抛物线的焦点为F (1，0)．由于线段AB 的中点在直线y ＝2上，所以直线l 的斜率存在，设直线l 的斜率为k ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点M (x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x 1＋x 22，y 0＝y 1＋y 22.由⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝4(x 1－x 2)，所以2y 0k ＝4. 又y 0＝2，所以k ＝1，故直线l 的方程是y ＝x －1. (2)设直线l 的方程为x ＝my ＋1，与抛物线方程联立得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋1，y 2＝4x ，消元得y 2－4my －4＝0，所以y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4，Δ＝16(m 2＋1)>0. |AB |＝m 2＋1|y 1－y 2|＝m 2＋1·（y 1＋y 2）2－4y 1y 2 ＝m 2＋1·（4m ）2－4×（－4）＝4(m 2＋1)．所以4(m 2＋1)＝20，解得m ＝±2，所以直线l 的方程是x ＝±2y ＋1，即x ±2y －1＝0.14．已知圆C 过定点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0，且与直线x ＝14相切，圆心C 的轨迹为E ，曲线E 与直线l ：y ＝k (x ＋1)(k ∈R )相交于A ，B 两点．(1)求曲线E 的方程；(2)当△OAB 的面积等于10时，求k 的值．(1)由题意，点C 到定点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0和直线x ＝14的距离相等，故点C 的轨迹E 的方程为y 2＝－x .(2)由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝－x ，y ＝k （x ＋1），消去x 后，整理得ky 2＋y －k ＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由根与系数的关系有y 1＋y 2＝－1k，y 1y 2＝－1.设直线l 与x 轴交于点N ，则N (－1，0)．所以S △OAB ＝S △OAN ＋S △OBN ＝12|ON ||y 1|＋12|ON ||y 2|，＝12|ON ||y 1－y 2| ＝12×1×（y 1＋y 2）2－4y 1y 2 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k 2＋4＝10，解得k ＝±16.。

2022年上海市七宝中学高考数学模拟试卷+答案解析(附后)

2022年上海市七宝中学高考数学模拟试卷1. 设全集，集合，则______ .2. 已知，函数的反函数为，且，则______ .3. 若，则______ .4. 已知公比不为等于1的无穷等比数列各项均为整数，且有连续四项在集合中，请写出数列的一个通项公式：______ 写出一个正确的即可5. 已知复数z对应的点在复平面第一象限内，甲、乙、丙、丁四人对复数z的陈述如下为虚数单位：甲：；乙：；丙：；丁：在甲、乙、丙、丁四人陈述中，有且只有两个人的陈述正确，则复数__________.6. 若，是双曲线与椭圆的共同焦点，点P是两曲线的一个交点，且为等腰三角形，则该双曲线的渐近线为______.7. 已知函数的定义域为，值域为，则函数是偶函数的概率为______ .8. 已知四面体的棱长为1或2，且该四面体不是正四面体，则这样的不同四面体的个数为______ .9. 在数列中，，…，记为数列的前n项和，则______ .10. 已知AB为圆O的直径，M为圆O的弦CD上一动点，，，则的取值范围是______ .11. 设函数的定义域为R，给出下列命题：①若对任意，均有，则一定不是奇函数；②若对任意，均有，则为奇函数或偶函数；③若对任意，均有，则必为偶函数；④若对任意，均有，且为R上增函数，则必为奇函数；其中为真命题的序号为______ 请写出所有真命题的序号12.已知各项均为正数的等比数列前n项和为，对任意的，都满足，若对均成立，则实数m的取值范围是______ .13. “”是“的二项展开式中存在常数项”的( )A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件14. 已知直线的参数方程为，则该直线的倾斜角为( )A. B. C. D.15. 棱长为2的正方形中，E为棱的中点，点P，Q分别为面和线段上的动点，则周长的最小值为( )A.B.C.D.16. 已知，曲线在区间内恰有一条对称轴和一个对称中心，给出下述两个命题，命题p：对任意，存在，使得；命题q：存在，对任意，满足下列说法正确的是( )A. 命题p是真命题，命题q是假命题B. 命题p是假命题，命题q是真命题C. 命题p和命题q都是真命题D. 命题p和命题q都是假命题17. 如图，在四棱锥中，底面ABCD是矩形，PA垂直于平面ABCD，，，，点E、M分别在线段AB、PC上，其中E是AB中点，，连接当时，证明：直线ME平行于平面PAD；当时，求三棱锥的体积.18. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且求角C的大小；若，且AB边上的中线，求的面积．19. 有一正方形景区EFGH，EH所在直线是一条公路，该景区的垃圾可送到位于F点的垃圾回收站或公路EH上的流动垃圾回收车，于是，景区分为两个区域和，其中中的垃圾送到流动垃圾回收车较近，中的垃圾送到垃圾回收站较近，景区内和的分界线为曲线C，现如图所示建立平面直角坐标系，其中原点O为EF的中点，点F的坐标为求景区内的分界线C的方程；为了证明与的面积之差大于1，两位同学分别给出了如下思路，思路①：求分界线C在点G处的切线方程，借助于切线与坐标轴及景区边界所围成的封闭图形面积来证明；思路②：设直线L：，分界线C恒在直线L的下方可以接触，求b的最小值，借助于直线L与坐标轴及景区边界所围成的封闭图形面积来证明.请选择一个思路，证明上述结论.20. 已知函数的定义域为D，值域为若，则称为“M型函数”；若，则称为“N型函数”.设，，试判断是“M型函数”还是“N型函数”；设，，若既是“M型函数”又是“N型函数”，求实数a，b的值；设，，若为“N型函数”，求的取值范围.21. 对于无穷数列，设集合，若A为有限集，则称为“数列”.已知数列满足，，判断是否为“数列”，并说明理由；已知，数列满足，，若为“数列”，求首项的值；已知，若为“数列”，试求实数t的取值集合.答案和解析1.【答案】【解析】解：，，故答案为：解绝对值不等式可求得全集U，根据补集定义可得结果．本题主要考查了集合补集运算，属于基础题．2.【答案】3【解析】解：因为，所以，所以，所以，所以故答案为：由条件可得，然后求出a的值，然后可得答案．本题主要考查了反函数的定义，属于基础题．3.【答案】【解析】解：因为，所以，所以故答案为：先求出，将用倍角公式写成，将代入即可得出结果．本题主要考查了二倍角公式的应用，属于基础题．4.【答案】【解析】解：由题知，因为，，，，，要使有连续四项在集合中，所以中连续四项为，，，，因为各项均为整数，所以公比为，即，因为，所以可为：3，，12，，故，为3，，12，，其中一个即可．故答案为：答案不唯一求出，，36，48，192五个数的因数，分析得出连续的四项，进而得到公比，写出的通项公式，根据各项均为整数，判断首项的可能取值即可．本题主要考查了等比数列的通项公式的应用，考查了分析问题的能力，属于中档题．5.【答案】【解析】【分析】本题考查了简单的推理，复数的运算，是高考新题型，属于基础题．由题意可设，分别求出甲、乙、丙、丁的结果，再根据有且只有两个人的陈述正确，可推断出甲丁正确，从而求出a，b的值，得到复数【解答】解：由题意可设，，，，，，丙丁不可能同时正确，乙丁不可能同时正确，且甲、乙、丙可以知二推一，甲丁正确，此时，，故答案为：6.【答案】【解析】【分析】本题考查椭圆和双曲线的定义、方程和性质，考查方程思想和运算能力，属于中档题．求得椭圆的焦点，设P为第一象限内的点，由题意可得，结合椭圆的定义求得，再由双曲线的定义、a，b，c的关系和渐近线方程，可得所求．【解答】解：椭圆的焦点为，，设双曲线的半焦距为c，则，，设P为第一象限内的点，由题意可得，又，可得，所以，即，则，所以双曲线的渐近线方程为，即，故答案为：7.【答案】【解析】解：因为的定义域为，关于原点对称，值域为，所以有，或，或，或，或，或，共6种情况；而当和时，满足是偶函数，有2种情况，所以是偶函数的概率故答案为：列举出的所有解析式，再找出其中的偶函数，即可得答案．本题主要考查偶函的性质，古典概型概率的求法，考查运算求解能力，属于中档题．8.【答案】3【解析】解：四面体的棱长为1或2，但该四面体不是正四面体，可以构成一个底面边长为1的正三角形，侧棱长均为2的正三棱锥，1和2可以构成的三角形有：边长为1的正三角形，边长为2的正三角形，边长为1，2，2的三角形，除了上述正三棱锥外，还可以是四个1，2，2的三角形拼成的三棱锥；两个边长为2的正三角形和两个1，2，2的三角形拼成的三棱锥，综上，这样的不同四面体的个数为故答案为：分析出1和2可以构成的三角形有哪些，进而可分性出符合条件的四面体的个数．本题主要考查棱锥的结构特征，简单的计数问题，考查运算求解能力，属于基础题．9.【答案】【解析】解：…，可得…，，又…，…，两式相除可得，即，则，即有，，所以…，由，…，可得，且为递增数列，当时，，则，即有，所以故答案为：当时，将n换为，推得，，，由数列的裂项相消求和，结合数列的单调性，即可得到所求极限．本题考查数列的极限的求法，以及数列的裂项相消求和，考查转化思想和运算能力，属于中档题．10.【答案】【解析】解：以AB所在的直线为x轴，以线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示；且圆O的直径为AB，设，则，，，；，又M是圆O的弦CD上一动点，且，所以，即，其中最小值在CD的中点时取得，所以的取值范围是故答案为：以AB所在的直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，设出点，表示出，求出它的最值即可．本题考查了平面向量的数量积与应用问题，解题的关键是建立适当的平面直角坐标系，表示出，是综合性题目．11.【答案】①③④【解析】解：对于①，对任意，均有，则，与奇函数中矛盾，所以一定不是奇函数，故①正确；对于②，等价于，若时满足，时满足，则函数为非奇非偶函数，故②错误；对于③，对任意，均有，则，所以，所以函数必为偶函数，故③正确；对于④，当时，等价于，又因为为R上增函数，所以，则，所以，所以必为奇函数，故④正确，故答案为：①③④．根据函数奇偶性的定义一一判断求解．本题主要考查命题真假的判断，函数奇偶性与单调性的综合，考查逻辑推理能力，属于中档题．12.【答案】【解析】解：由题意得公比，又，恒成立，，，，对任意恒成立，若，，足够大时，，不合题意，，此时，，令则原式化为恒成立，恒成立，又故答案为：已知条件可知，利用等比数列的通项公式及前n项和公式求出等比数列的公比，即可得，最后利用对勾函数的性质可求出实数m的取值范围．本题考查等比数列的求和公式，恒成立问题，函数思想，化归转化思想，属中档题．13.【答案】A【解析】解：二项式的展开式的通项公式为，，1，2，，n，令，且，，，当时，，满足题意，所以“”是“的二项展开式中存在常数项”的充分不必要条件，故选：求出二项式的展开式的通项公式，然后令x的指数为0，得出n，r的关系式，再根据充分，必要条件的定义即可判断求解．本题考查了二项式定理的应用，涉及到充分，必要条件的定义，属于基础题．14.【答案】D【解析】解：由参数方程可知，直线斜率，故直线倾斜角为故选：根据直线参数方程可确定斜率，由斜率和倾斜角关系可得结果．本题主要考查直线的倾斜角，属于基础题．15.【答案】B【解析】解：由题意，周长取得最小值时，P在上，在平面上，设E关于的对称点为M，关于的对称点为N，则，，故选：由题意，周长取得最小值时，P在上，在平面上，设E关于的对称点为M，关于的对称点为N，求出MN，即可得出结论．本题考查棱柱的结构特征，考查对称点的运用，考查余弦定理，考查学生的计算能力，属于中档题．16.【答案】A【解析】解：由得：，即的对称轴为，由得：，即的对称中心为；在内恰有一条对称轴和一个对称中心，且，，解得，对于命题p，当时，，又，当时，，即存在，使得，则命题p为真命题；对于命题q，当时，，又，则对任意，总存在大于0的部分，则命题q为假命题．故选：利用整体代换法求得的对称轴和对称中心，根据其在内的对称轴和对称中心个数可构造不等式组求得的范围，进而结合正弦型函数值域的求法依次判断两个命题即可．本题考查三角函数性质的综合应用问题，解题关键是能够利用整体代换法求得正弦型函数的对称轴和对称中心，进而根据区间内的对称轴和对称中心个数确定的取值范围．17.【答案】解：证明：取PD中点N，联结MN、AN，是的中位线，故，且，又，且，四边形AEMN为平行四边形，，又平面PAD，平面PAD，平面PAD；，，，PA垂直于平面ABCD，平面ABCD，，，，点M到平面ABCD的距离为1，【解析】取PD中点N，联结MN、AN，证明四边形AEMN为平行四边形，然后得到即可；首先求出PA的长度，然后可得点M到平面ABCD的距离，然后可求出答案．本题考查线面平行的判定定理，三棱锥的体积的求解，化归转化思想，属中档题．18.【答案】解：在中，由，由正弦定理得，则所以又因为，，所以因为，所以在与中，，，，，，，因为，所以，得；又由余弦定理得，所以，则【解析】本题考查正弦定理以及余弦定理的应用，以及两角和与差的三角函数的应用，考查转化思想以及计算能力，属于中档题.由正弦定理以及三角函数化简表达式，根据角C的范围即可求解．通过，结合余弦定理推出，即可求解三角形的面积．19.【答案】解：分界线C上任意点到点F与直线EH距离相等，直线EH：，点，设分界线C上任意一点为，于是得，整理得，所以景区内的分界线C的方程：选①：点G的坐标为，显然切线斜率存在，设切线方程为，，由，得，由，得，因此分界线C在点G处的切线方程为，设切线交y轴于点M，则，梯形OMGF面积，显然，因此，所以，选②：依题意，对恒成立，即，而，当且仅当时取等号，则，即b的最小值为1，直线L方程为，设直线L交y轴于点M，则，梯形OMGF面积，显然，因此，所以【解析】根据给定信息，可得分界线上任意点到点F与直线EH距离相等，再列出方程化简作答；选①，求出分界线C在点G处的切线方程，再求出该切线与y轴分正方形所成两部分面积差即可；选②，借助恒成立求出b的最小值得直线L，再求出直线L与y轴分正方形所成两部分面积差即可．本题主要考查了抛物线的定义，考查了直线与抛物线的位置关系，属于中档题．20.【答案】解：当时，，当且仅当时取等号，由于，，所以函数的值域为，因为，所以，所以是“M型函数”；，定义域为，由题意得函数的值域也为，显然，否则值域不可能由负到正，当，时，在上单调递增，则，得，；当，时，在上单调递减，则得，；，，由题意得函数的值域，当时，的最小值，当时，的最小值，当时，的最小值，当时，的最大值，当时，的最大值，因为，由点所在的可行域，当，时，取最大值，最大值为2，当与相切，即，时，取最小值，最小值为1，因此的取值范围是【解析】利用基本不等式以及双勾函数的性质求出函数的值域可求解；分，和，结合函数的单调性分类讨论求解；分a不同的取值结合“N型函数”的定义即可求范围．本题以新定义为载体，主要考查了基本不等式及函数单调性在最值求解中的应用，属于中档题．21.【答案】解：由题意得，，，，……，因此，所以为有限集，因此是“数列”；，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，当时，，因此当时，，，即，此时为“数列”，当时，，由得，，因此，显然不是“数列”，综上所述：；当t为有理数时，必存在，，使得，则，因此集合中元素个数不超过2p，为有限集，当t为无理数时，对任意m，，，下用反证法证明，若，即，则或，其中，则或，矛盾，所以，因此集合必为无限集．综上，t的取值集合是全体有理数，即【解析】由递推公式得到，判断出，结合“数列”的定义即可证明；先利用单调性判断出，结合“数列”的定义，分类讨论求出；分类讨论：当t为有理数时，设，结合“数列”的定义，证明出符合题意；当t为无理数时，利用反证法证明出不符合题意．本题主要考查了数列的递推式，考查了数列与函数的综合，属于中档题．。

2022年上海市闵行区七宝中学高考数学二模试卷+答案解析(附后)

2022年上海市闵行区七宝中学高考数学二模试卷一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设，则“”是“”的( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件2.Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数的单位：天的Logistic模型：，其中K为最大确诊病例数．当时，标志着已初步遏制疫情，则约为参考数据( )A. 60B. 62C. 66D. 633.已知抛物线的焦点为F，过原点O的动直线l交抛物线于另一点P，交抛物线的准线于点Q，下列说法正确的是( )A. 若O为线段PQ中点，则B. 若，则C. 存在直线l，使得D. 面积的最小值为24.在平面直角坐标系中，函数的图象上有三个不同的点位于直线上，且这三点的横坐标之和为0，则这条直线必过定点( )A. B. C. D.二、填空题：本题共12小题，共54分。

5.已知集合，，则______.6.已知复数，其中i是虚数单位，则复数z在复平面上对应的点位于第______象限．7.若圆锥的底面半径为，高为6，则该圆锥的侧面积为______.8.展开式的二项式系数之和为32，则展开式中x的系数为______ 用数字填写答案9.实数a，b满足，则ab的最小值为______.10.设均为实数，若集合的所有非空真子集的元素之和为12，则______.11.已知函数，其中为常数，且有且仅有3个零点，则的最小值为______.12.2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”，有着可爱的外表和丰富的寓意，深受各国人民的喜爱．某商店有4个不同造型的“冰墩墩”吉祥物和3个不同造型的“雪容融”吉祥物展示在柜台上，要求“冰墩墩”和“雪容融”彼此间隔排列，则不同的排列方法种数为______用数字作答13.设AM为中BC边上的中线，且若，，则的最大值为______.14.已知定义在R上的奇函数满足，当时，，若对一切恒成立，则实数b的最大值为______.15.若抛物线与坐标轴分别交于三个不同的点A，B，C，则的外接圆恒过的定点坐标为______.16.已知函数，正数数列满足，若对任意正整数n，不等式都成立，则实数的最小值为______.三、解答题：本题共5小题，共76分。

2022年上海高考试卷(文数,word解析版)

2022年上海高考试卷（文数，word 解析版）数学（文科）【整理】佛山市三水区华侨中学骆方祥（lbylfx @sina ）一、填空题（本大题共有14题，满分56分） 1．运算：ii +-13= （i 为虚数单位）.【答案】 1-2i【解析】i i +-13=(3)(1)(1)(1)i i i i --+-=1-2i【点评】本题着重考查复数的除法运算，第一将分子、分母同乘以分母的共轭复数，净分母实数化即可。

2．若集合}012|{>-=x x A ，}1|{<=x x B ，则B A = .【答案】1|12x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭【解析】由集合A 可得：x>12，由集合B 可得：-1<x<1，因此，B A =1|12x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭【点评】本题考查集合的概念和性质的运用，同时考查了一元一次不等式和绝对值不等的解法，解决此类问题，第一分清集合的元素的构成，然后，借助于数轴可得。

3．函数xx x f cos 12sin )(-=的最小正周期是 . 【答案】π【解析】依照韪得：1()sin cos 2sin 222f x x x x =+=+ 【点评】本题要紧考查行列式的差不多运算、三角函数的周期性、二倍角公式.考纲中明确要求把握二阶行列式的运算性质，属于容易题，难度较小.4．若是直线的一个方向向量，则的倾斜角的大小为（结果用反三角函数值表示）. 【答案】【解析】设直线的倾斜角为α，则21arctan,21tan ==αα.【点评】本题要紧考查直线的方向向量、直线的倾斜角与斜率的关系、反三角函数的表示.直线的倾斜角的取值情形一定要注意，属于低档题，难度较小. 5.一个高为2的圆柱，底面周长为2π，该圆柱的表面积为 . 【答案】π6【解析】依照该圆柱的底面周长得底面圆的半径为1=r ，因此该圆柱的表面积为：πππππ624222=+=+=r rl S 圆柱表.【点评】本题要紧考查空间几何体的表面积公式.审清题意，所求的为圆柱的表面积，不是侧面积，也不是体积，其次，对空间几何体的表面积公式要记准记牢，属于中低档题. 6.方程14230x x +--=的解是 . 【答案】3log 2【解析】依照方程03241=--+x x ，化简得0322)2(2=-⋅-x x ，令()20xt t =>，则原方程可化为0322=--t t ，解得 3=t 或()舍1-=t ，即3log ,322==x x .因此原方程的解为3log 2.【点评】本题要紧考查指数型方程、指数的运算、指数与对数形式的互化、换元法在求解数学问题中的运用.本题容易产生增根，要注意取舍，切勿随意处理，导致不必要的错误.本题属于中低档题目，难度适中.7.有一列正方体，棱长组成以1为首项、12为公比的等比数列，体积分别记为12,,...,,...nV V V ，则12lim(...)n n V V V →∞+++=.【答案】78【解析】由正方体的棱长组成以1为首项，21为公比的等比数列，可知它们的体积则组成了一个以1为首项，81为公比的等比数列，因此，788111)(lim 21=-=+++∞→n n V V V .【点评】本题要紧考查无穷递缩等比数列的极限、等比数列的通项公式、等比数列的定义.考查知识较综合. 8.在61x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项式展开式中，常数项等于 .【答案】20-【解析】依照所给二项式的构成，构成的常数项只有一项，确实是333461C ()20T x x=-=- . 【点评】本题要紧考查二项式定理.关于二项式的展开式要清晰，专门注意常数项的构成.属于中档题.9.已知()y f x =是奇函数，若()()2g x f x =+且(1)1g =，则(1)g -= . 【答案】3【解析】因为函数)(x f y =为奇函数，因此有)()(x f x f -=-，即,1)1(,1)1(,2)1()1(-==+=f g f g 所以，又3212)1()1(,1)1()1(=+=+-=-=-=-f g f f .【点评】本题要紧考查函数的奇偶性.在运用此性质解题时要注意：函数)(x f y =为奇函数，因此有)()(x f x f -=-那个条件的运用，平常要加强这方面的训练，本题属于中档题，难度适中.10.满足约束条件22x y +≤的目标函数z y x =-的最小值是 .【答案】2-【解析】依照题意得到0,0,22;x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩或0,0,22;x y x y ≥⎧⎪≤⎨⎪-≤⎩或0,0,22;x y x y ≤⎧⎪≥⎨⎪-+≤⎩或0,0,2 2.x y x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+≥-⎩其可行域为平行四边形ABCD 区域，（包括边界）目标函数能够化成z x y +=，z 的最小值确实是该直线在y 轴上截距的最小值，当该直线过点)0,2(A 时，z 有最小值，现在2min -=z .【点评】本题要紧考查线性规划问题，准确画出可行域，找到最优解，分析清晰当该直线过点)0,2(A 时，z 有最小值，现在2min-=z ，这是解题的关键，本题属于中档题，难度适中.11.三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的竞赛，若每人只选择一个项目，则有且仅有两位同学选择的项目相同的概率是（结果用最简分数表示）. 【答案】32【解析】一共有27种取法，其中有且只有两个人选择相同的项目的取法共有18种，因此依照古典概型得到此种情形下的概率为32 .【点评】本题要紧考查排列组合概率问题、古典概型.要分清差不多事件数和差不多事件总数.本题属于中档题.12.在矩形ABCD 中，边AB 、AD 的长分别为2、1，若M 、N 分别是边BC 、CD 上的点，且满足BM CN BCCD=，则AM AN ⋅的取值范畴是【答案】[]4,1【解析】以向量AB 所在直线为x 轴，以向量AD 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，如图所示，因为1,2==AD AB ，因此(0,0),(2,0),(2,1)(0,1).A B C D 设)20(),1,(),,2(≤≤x x N b M ，依照题意，22x b -=，因此2(,1),(2,).2x AN x AM →→-==因此123+=•→→x AN AM ()20≤≤x ，因此41231≤+≤x ，即→→≤•≤41AN AM .【点评】本题要紧考查平面向量的差不多运算、概念、平面向量的数量积的运算律.做题时，要切实注意条件的运用.本题属于中档题，难度适中.13.已知函数()y f x =的图像是折线段ABC ，其中(0,0)A 、1(,1)2B 、(1,0)C ，函数()y xf x =（01x ≤≤）的图像与x 轴围成的图形的面积为 .【答案】41【解析】依照题意，得到12,02()122,12x x f x x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-+≤⎪⎩，从而得到⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+-≤≤==121,22210,2)(22x x x x x x xf y 因此围成的面积为41)22(2121221=+-+=⎰⎰dx x x xdx S ，因此围成的图形的面积为41 .【点评】本题要紧考查函数的图象与性质，函数的解析式的求解方法、定积分在求解平面图形中的运用.突出表达数形结合思想，本题综合性较强，需要较强的分析问题和解决问题的能力，在以后的练习中加强这方面的训练，本题属于中高档试题，难度较大. 14.已知1()1f x x=+，各项均为正数的数列{}n a 满足11a =，2()n n a f a +=，若20102012a a =，则2011a a +的值是 .【答案】265133+【解析】据题x x f +=11)(，同时)(2n n a f a =+，得到nn a a +=+112，11=a ，213=a ，20122010a a =，得到2010201011a a =+，解得2152010-=a （负值舍去）.依次往前推得到 2651331120+=+a a .【点评】本题要紧考查数列的概念、组成和性质、同时考查函数的概念.明白得条件)(2n n a f a =+是解决问题的关键，本题综合性强，运算量较大，属于中高档试题.二、选择题（本大题共有4题，满分20分）15.若1+i 是关于x 的实系数方程20x bx c ++=的一个复数根，则（）A ．2,3b c == B.2,1b c ==- C.2,1b c =-=- D.2,3b c =-= 【答案】 D【解析】依照实系数方程的根的特点知1也是该方程的另一个根，因此b i i -==-++22121，即2-=b ，c i i ==+-3)21)(21(，故答案选择D.【点评】本题要紧考查实系数方程的根的问题及其性质、复数的代数形式的四则运算.属于中档题，注重对差不多知识和差不多技巧的考查，复习时要专门注意.16.关于常数m 、n ，“0mn >”是“方程221mx ny +=的曲线是椭圆”的（） A ．充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】方程122=+ny mx 的曲线表示椭圆，常数常数n m ,的取值为0,0,,m n m n >⎧⎪>⎨⎪≠⎩因此，由0mn >得不到程122=+ny mx 的曲线表示椭圆，因而不充分；反过来，依照该曲线表示椭圆，能推出0mn >，因而必要.因此答案选择B.【点评】本题要紧考查充分条件和必要条件、充要条件、椭圆的标准方程的明白得.依照方程的组成特点，能够明白常数n m ,的取值情形.属于中档题.17.在△ABC 中，若222sin sin sin A B C +<，则△ABC 的形状是（） A ．钝角三角形 B 、.直角三角形 C.锐角三角形 D.不能确定【答案】 A【解析】由正弦定理，得,sin 2,sin 2,sin 2C RcB R b A R a===代入得到222a b c +<，由余弦定理的推理得222cos 02a b c C ab+-=<，因此C 为钝角，因此该三角形为钝角三角形.故选择A.【点评】本题要紧考查正弦定理及其推理、余弦定理的运用.要紧抓住宅给式子的结构来选择定理，假如显现了角度的正弦值就选择正弦定理，假如显现角度的余弦值就选择余弦定理.本题属于中档题. 18.若2sin sin (i)777n n S πππ=+++（n N *∈），则在12100,,...,S S S 中，正数的个数是（）A ．16 B.72 C.86 D.100 【答案】C【解析】依据正弦函数的周期性，能够找其中等于零或者小于零的项.【点评】本题要紧考查正弦函数的图象和性质和间接法解题.解决此类问题需要找到规律，从题目动身能够看出来相邻的14项的和为0，这确实是规律，考查综合分析问题和解决问题的能力.三、解答题（本大题共有5题，满分74分） 19．如图，在三棱锥P -ABC 中，PA ⊥底面ABC ，D 是 PC 的中点.已知∠BAC =2π，AB=2，AC=23，PA=2.求：（1）三棱锥P -ABC 的体积；（6分）（2）异面直线BC 与AD 所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）.（6分） [解]（1）3232221=⨯⨯=∆ABC S ， 2分三棱锥P -ABC 的体积为3343131232=⨯⨯=⨯=∆PA S V ABC . 6分（2）取PB 的中点E ，连接DE 、AE ，则PA BCDPA BCDEED ∥BC ，因此∠ADE （或其补角）是异面直线 BC 与AD 所成的角. 8分在三角形ADE 中，DE=2，AE=2，AD=2，4322222222cos ==∠⨯⨯-+ADE ，因此∠ADE =43arccos .因此，异面直线BC 与AD 所成的角的大小是43arccos . 12分【点评】本题要紧考查直线与直线、直线与平面的位置关系，考查空间想象能力和推理论证能力．综合考查空间中两条异面直线所成的角的求解，同时考查空间几何体的体积公式的运用.本题源于《必修2》立体几何章节复习题，复习时应注重课本，容易显现找错角的情形，要考虑全面，考查空间想象能力，属于中档题．20．已知函数)1lg()(+=x x f .（1）若1)()21(0<--<x f x f ，求x 的取值范畴；（6分）（2）若)(x g 是以2为周期的偶函数，且当10≤≤x 时，有)()(x f x g =，求函数)(x g y =])2,1[(∈x 的反函数.（8分）[解]（1）由⎩⎨⎧>+>-01022x x ，得11<<-x .由1lg )1lg()22lg(0122<=+--<+-x x x x 得101122<<+-x x . ……3分因为01>+x ，因此1010221+<-<+x x x ，3132<<-x . 由⎩⎨⎧<<-<<-313211x x 得3132<<-x . ……6分（2）当x ∈[1,2]时，2-x ∈[0,1]，因此)3lg()2()2()2()(x x f x g x g x g y -=-=-=-==. ……10分由单调性可得]2lg ,0[∈y .因为y x 103-=，因此所求反函数是x y 103-=，]2lg ,0[∈x . ……14分【点评】本题要紧考查函数的概念、性质等基础知识以及数形结合思想，熟练把握指数函数、对数函数、幂函数的图象与性质是关键，属于中档题．21．海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y 轴正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰在失事船的正南方向12海里A 处，如图. 现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线24912x y =；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救援船动身t 小时后，失事船所在位置的横坐标为t 7.（1）当5.0=t 时，写出失事船所在位置P 的纵坐标. 若现在两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向；（6分）（2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？（8分） [解]（1）5.0=t 时，P 的横坐标x P =277=t ，代入抛物线方程24912xy =中，得P 的纵坐标y P =3. ……2分由|AP |=2949，得救援船速度的大小为949海里/时. ……4分由tan ∠OAP =30712327=+，得∠OAP =arctan307，故救援船速度的方向为北偏东arctan307弧度. ……6分（2）设救援船的时速为v 海里，通过t 小时追上失事船，现在位置为)12,7(2t t . 由222)1212()7(++=t t vt ，整理得337)(1442122++=t t v .……10分因为2212≥+t t ，当且仅当t =1时等号成立，因此22253372144=+⨯≥v ，即25≥v .因此，救援船的时速至少是25海里才能追上失事船. ……14分【点评】本题要紧考查函数的概念、性质及导数等基础知识．选择恰当的函数模型是解决此类问题的关键，属于中档题．考查灵活运算数形结合、分类讨论的思想方法进行探究、分析与解决问题的能力．属于中档偏上题目，也是近几年高考的热点问题． 22．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线12:22=-y x C .（1）设F 是C 的左焦点，M 是C 右支上一点. 若|MF |=22，求过M 点的坐标；（5分）（2）过C 的左顶点作C 的两条渐近线的平行线，求这两组平行线围成的平行四边形的面积；（5分）（3）设斜率为)2|(|<k k 的直线l2交C 于P 、Q 两点，若l 与圆122=+y x 相切，求证：OP ⊥OQ ；（6分） [解]（1）双曲线1:2212=-y C x ，左焦点)0,(26-F .设),(y x M ，则22222262)3()(||+=++=x y x MF ， (2)分由M 是右支上一点，知22≥x ，因此223||22=+=x MF ，得26=x .因此)2,(26±M . ……5分（2）左顶点)0,(22-A ，渐近线方程：x y 2±=.过A 与渐近线x y 2=平行的直线方程为：)(222+=x y ，即12+=x y .解方程组⎩⎨⎧+=-=122x y x y ，得⎪⎩⎪⎨⎧=-=2142y x . ……8分所求平行四边形的面积为42||||==y OA S . ……10分（3）设直线PQ 的方程是b kx y +=.因直线与已知圆相切，故11||2=+k b ，即122+=k b (*). 由⎩⎨⎧=-+=1222y x bkx y ，得012)2(222=----b kbx x k . 设P (x 1, y 1)、Q (x 2, y 2)，则⎪⎩⎪⎨⎧==+----22221212221k b k kbx x x x .))((2121b kx b kx y y ++=，因此2212122121)()1(b x x kb x x k y y x x OQ OP ++++=+=⋅22222222221222)1)(1(k k b k b k k b k --+-----+=+.由(*)知0=⋅OQ OP ，因此OP ⊥OQ . ……16分【点评】本题要紧考查双曲线的概念、标准方程、几何性质及其直线与双曲线的关系．专门要注意直线与双曲线的关系问题，在双曲线当中，最专门的为等轴双曲线，它的离心率为2，它的渐近线为x y ±=，同时相互垂直，这些性质的运用能够大大节约解题时刻，本题属于中档题．23．关于项数为m 的有穷数列数集}{n a ，记},,,m ax {21k k a a a b =（k =1,2,…,m ），即k b为k a a a ,,,21 中的最大值，并称数列}{n b 是}{n a 的操纵数列.如1,3,2,5,5的操纵数列是1,3,3,5,5.（1）若各项均为正整数的数列}{n a 的操纵数列为2,3,4,5,5，写出所有的}{n a ；（4分）（2）设}{n b 是}{na 的操纵数列，满足Cb a k m k =++-1（C 为常数，k =1,2,…,m ）.求证：k k a b =（k =1,2,…,m ）；（6分）（3）设m =100，常数)1,(21∈a .若nan a n n n 2)1()1(2+--=，}{n b 是}{na 的操纵数列，求)()()(1001002211a b a b a b -++-+- .[解]（1）数列}{na 为：2, 3, 4, 5, 1；2, 3, 4, 5, 2；2, 3, 4, 5, 3；2, 3, 4, 5, 4；2, 3, 4, 5, 5. ……4分（2）因为},,,m ax {21k k a a a b =，},,,,m ax {1211++=k k k a a a a b ，因此k k b b≥+1. ……6分因为C b a k m k =++-1，C b a k m k =+-+1，因此011≥-=--+-+k m k m k k b b a a，即k k a a ≥+1. ……8分因此，k k a b =. ……10分（3）对25,,2,1 =k ，)34()34(234-+-=-k k a a k ；)24()24(224-+-=-k k a a k ；)14()14(214---=-k k a a k ；)4()4(24k k a a k -=.比较大小，可得3424-->k k a a. ……12分因为121<<a ，因此0)38)(1(2414<--=---k a a a k k ，即1424-->k k a a ；0)14)(12(2244>--=--k a a a k k，即244->k k a a .又k k a a414>+，从而3434--=k k a b，2424--=k k a b ，2414--=k k a b ，k k a b 44=. ……15分因此)()()(1001002211a b a b a b -++-+-=)()()()()(9999141410107733a b a b a b a b a b k k -++-++-+-+--- =)()()()()(999814241097632a a a a a a a a a a k k -++-++-+-+--- =∑=---2511424)(k k k a a=∑=--251)38()1(k k a =)1(2525a -. ……18分【点评】本题要紧考查数列的通项公式、等差、等比数列的差不多性质等基础知识，本题属于信息给予题，通过定义“操纵”数列，考查考生分析探究及推理论证的能力．综合考查数列的差不多运算，数列问题一直是近几年的命题重点内容，应引起足够的重视．。

2022-2023年成人高考《文科数学》预测试题10(答案解析)

2022-2023年成人高考《文科数学》预测试题（答案解析）全文为Word可编辑，若为PDF皆为盗版，请谨慎购买！第壹卷一.综合考点题库(共50题)1.下列函数中，在区间（0，+∞）为增函数的是（）A.y=x-1B.y=x2C.y=sinxD.y=3-x正确答案：B本题解析：本题考查了函数的单调性的知识点．A、D两项在（0，+∞）上为减函数，C项在（0，+∞）上不是单调函数．2.函数的值域是（）A.[-2，2]B.[-1，3 ]C.[-3，1]D.[0，4]正确答案：A本题解析：【考情点拨】本题主要考查的知识点为函数的值域．【应试指导】求函数的值域，最简便方法是画图从图像上现察．由图像可知-2≤f(χ)≤2．3.A.见图AB.见图BC.见图CD.见图D正确答案：C 本题解析：4.A.见图AB.见图BC.见图CD.见图D正确答案：C 本题解析：5.A.见图AB.见图BC.见图CD.见图D正确答案：B本题解析：6.过抛物线C：y2=4x的焦点作2轴的垂线，交C于A，B两点，则|AB|=A.2B.4C.D.8正确答案：B本题解析：抛物线的焦点坐标为（1，0），准线方程为x=-1．则A、B两点的距离为A点和B点到准线的距离? 之和，即|AB|=2+2=4．7.若1名女生和3名男生排成一排，则该女生不在两端的不同排法共有（）A.24种B.12种C.16种D.8种正确答案：B本题解析：本题考查了排列组合的知识点．该女生不在两端的不同排法有8.过点（2,-2）且与双曲线x2-2y2=2有公共渐近线的双曲线方程是（）A.见图AB.见图BC.见图CD.见图D正确答案：A本题解析：本题主要考查的知识点为双曲线的渐近线．将双曲线方程化为标准式方程．如图注：本题是用待定系数法来解的．9.函数y=2x的图像与直线x+3=0的交点坐标为（）A.见图AB.见图BC.见图CD.见图D正确答案：B本题解析：本题主要考查的知识点为线的交点．10.设a，b为实数且a＞2，则下列不等式中不成立的是（）A.见图AB.见图BC.见图CD.见图D 正确答案：A本题解析：由题意可得应选A。

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2022年高考文科数学上海卷试题与答案word解析版某1．不等式＜0的解为______．2某12．在等差数列{an}中，若a1＋a2＋a3＋a4＝30，则a2＋a3＝______.3．设mR，m2＋m－2＋(m2－1)i是纯虚数，其中i是虚数单位，则m＝______.某2某y11＝0，11＝1，则y＝______.4．已知5．已知△ABC的内角A、B、C所对的边分别是a、b、c.若a2＋ab＋b2－c2＝0，则角C的大小是______．6．某学校高一年级男生人数占该年级学生人数的40%.在一次考试中，男、女生平均分数分别为75、80，则这次考试该年级学生平均分数为______．7．设常数aR.若(某8．方程2a5)的二项展开式中某7项的系数为－10，则a＝______.某91＝3某的实数解为______．某3119．若co某coy＋in某iny＝，则co(2某－2y)＝______.310．已知圆柱Ω的母线长为l，底面半径为r，O是上底面圆心，A、B是下底面圆周上两个不同的点，BC是母线，如图．若直线OA与BC所成角的大小为l，则＝______.的概率是______(结果用最简分数表示)．12．设AB是椭圆Γ的长轴，点C在Γ上，且∠CBA＝间的距离为______．.若AB＝4，BC＝2，则Γ的两个焦点之4a213．设常数a＞0.若9某＋≥a＋1对一切正实数某成立，则a的取值范围为______．某14．已知正方形ABCD的边长为1.记以A为起点，其余顶点为终点的向量分别为a1、a2、a3；以C为起点，其余顶点为终点的向量分别为c1、c2、c3.若i，j，k，l{1,2,3}且i≠j，k≠l，则(ai＋aj)2(ck＋cl)的最小值是______．15．函数f(某)＝某－1(某≥0)的反函数为f(某)，则f(2)的值是() A．3B．3C．1+2D．1216．设常数aR，集合A＝{某|(某－1)(某－a)≥0}，B＝{某|某≥a－1}．若A∪B＝R，则a的取值范围为()A．(－∞，2)B．(－∞，2]C．(2，＋∞)D．[2，＋∞)17．钱大姐常说“好货不便宜”，她这句话的意思是“好货”是“不便宜”的()A．充分条件B．必要条件C．充分必要条件D．既非充分又非必要条件2－1－1某2ny218．记椭圆＝1围成的区域(含边界)为Ωn(n＝1，2，)，当点(某，y)分别在Ω1，Ω2，上44n1时，某＋y的最大值分别是M1，M2，，则limMn＝()19．如图，正三棱锥O－ABC的底面边长为2，高为1，求该三棱锥的体积及表面积．2022上海文科数学第1页20．甲厂以某千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤某≤10)，每一小时可获得的利润是3100(5某1)元．某(1)求证：生产a千克该产品所获得的利润为100a(513)元；某某2(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润．21．已知函数f(某)＝2in(ω某)，其中常数ω＞0.(1)令ω＝1，判断函数F(某)＝f(某)＋f(某(2)令ω＝2，将函数y＝f(某)的图像向左平移2)的奇偶性，并说明理由；个单位，再向上平移1个单位，得到函数y＝g(某)的图像．对6任意aR，求y＝g(某)在区间[a，a＋10π]上零点个数的所有可能值．2022上海文科数学第2页22．已知函数f(某)＝2－|某|，无穷数列{an}满足an＋1＝f(an)，nN.(1)若a1＝0，求a2，a3，a4；(2)若a1＞0，且a1，a2，a3成等比数列，求a1的值；(3)是否存在a1，使得a1，a2，，an，成等差数列？若存在，求出所有这样的a1；若不存在，说明理由．某某2223．如图，已知双曲线C1：－y＝1，曲线C2：|y|＝|某|＋1.P是平面内一点，若存在过点P的直线与2C1、C2都有公共点，则称P为“C1－C2型点”．(1)在正确证明C1的左焦点是“C1C2型点”时，要使用一条过该焦点的直线，试写出一条这样的直线的方程(不要求验证)；(2)设直线y＝k某与C2有公共点，求证|k|＞1，进而证明原点不是“C1－C2型点”；(3)求证：圆某＋y＝221内的点都不是“C1－C2型点”．22022上海文科数学第3页2022年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类(上海卷)111．答案：0＜某＜某(2某－1)＜0某(0，)．222．答案：15a1＋a2＋a3＋a4＝2(a2＋a3)＝30a2＋a3＝15.2mm20223．答案：－2m＋m－2＋(m－1)i是纯虚数2m＝－2.m10某2某y4．答案：1已知＝某－2＝0某＝2，又＝某－y＝1联立上式，解得某＝2，y＝1.11112a2b2c212222C.5．答案：a＋ab＋b－c＝0coC＝32ab2340607580＝78.6．答案：78平均成绩＝100100a572r25yar7．答案：－2(某)C5(某)()＝－10某r＝1，C15a＝－105a＝－10，a＝－2某某99某某某某某8．答案：log34某＋1＝3某＝3－13－1＝±33＝±3＋1＞03＝4某＝log34.313171729．答案：co某coy＋in某iny＝co(某－y)＝co2(某－y)＝2co(某－y)－1＝.939lr310答案：3由题知，tan3.r6l3511．答案：考查排列组合；概率计算策略：正难则反。

从4个奇数和3个偶数共7个数中任取2个，72共有C7＝21个，2个数之积为奇数2个数分别为奇数，共有C24＝6个．65C24.所以2个数之积为偶数的概率P＝1－2＝1－217C746如下图所示．设D在AB上，且CD⊥AB，AB＝4，BC＝2，∠CBA＝45°CD＝1，DB3＝1，AD＝3C(1,1)2a＝4，把C(1,1)代入椭圆标准方程得11484222226.＝1，a＝b＋cb＝，c＝2c＝22ab333113．答案：[，＋∞)考查均值不等式的应用．512．答案：a2a2由题知，当某＞0时，f(某)＝9某＋≥29某＝6a≥a＋某某11a≥.514．答案：－5根据对称性，当向量(ai＋aj)与(ck＋cl)互为相反向量，且它们的模最大时，(ai＋aj)(ck2＋cl)最小。

这时ai＝AC，aj＝AD，ck＝CA，cl＝CB，(ai＋aj)(ck＋cl)＝－|ai＋aj|＝－5.2022上海文科数学第4页答案：A由反函数的定义可知，某≥0,2＝f(某)＝某－1某＝3，选A.16．答案：B方法一：代值排除法。

当a＝1时，A＝R，符合题意；当a＝2时，∵B＝[1，＋∞)，A＝(－∞，1]∪[2，＋∞)∴A∪B＝R，符合题意．综上，选B.方法二：∵B＝[a－1，＋∞)，A∪B＝R，∴A(－∞，a－1)．由(某－1)(某－a)≥0当a＝1时，某R，当a＝1时符合题意；当a＞1时某(－∞，1]∪[a，＋∞)，1≥a－1，解得1＜a≤2；当a＜1时某(－∞，a]∪[1，＋∞)a≥a－1a＜1.综上，a≤2，选B.17．答案：A便宜没好货便宜则不是好货好货则不便宜，所以“好货”是“不便宜”的充分条件，选A.18．2某2ny2某2y2某2y21lim1，答案：D椭圆方程为：n41444n144n某2y21联立4某2＋(u－某)2＝42某2－2u某＋u2－4＝0Δ＝4u2－8(u2－4)≥0u2－2(u2－4n某y4)≥08≤uu[22，22]，所以某＋y的最大值为22，选D.19．解：由已知条件可知，正三棱锥O－ABC的底面△ABC是边长为2的正三角形，2经计算得底面△ABC的面积为3.所以该三棱锥的体积为31133.3设O′是正三角形ABC的中心．由正三棱锥的性质可知，OO′垂直于平面ABC.3.323又因为OO′＝1，所以正三棱锥的斜高OD＝.3123故侧面积为363＝23.23所以该三棱锥的表面积为3＋23＝33，延长AO′交BC于D，得AD＝3，OD＝因此，所求三棱锥的体积为20．解：(1)生产a千克该产品，所用的时间是所获得的利润为100(5某1)3，表面积为33.3a小时，某3某a.某132)元．某某13(2)生产900千克该产品，获得的利润为90000(52)，1≤某≤10.某某所以，生产a千克该产品所获得的利润为100a(52022上海文科数学第5页31＋5,1≤某≤10，某2某11215，当且仅当某＝6时取到最大值．则f(某)＝3()某61261获得最大利润900003＝457500元．12记f(某)＝因此甲厂应以6千克/小时的速度生产，可获得最大利润为457500元．21．解：(1)f(某)＝2in某，F(某)＝f(某)＋f(某)＝2in某＋2in(某)＝2(in某＋co某)．22F()＝22，F()＝0，F()≠F()，F()≠－F()．444444所以，F(某)既不是奇函数，也不是偶函数．(2)f(某)＝2in2某，将y＝f(某)的图像向左平移＝2in2(某个单位，再向上平移1个单位后得到y＝2in2(某)＋1的图像，所以g(某)666)＋1.53或某＝kπ＋(kZ)．124令g(某)＝0，得某＝kπ＋因为[a，a＋10π]恰含10个周期，所以，当a是零点时，在[a，a＋10π]上零点个数为21；当a不是零点时，a＋kπ(kZ)也都不是零点，区间[a＋kπ，a＋(k＋1)π]上恰有两个零点，故在[a，a＋10π]上有20个零点．综上，y＝g(某)在[a，a＋10π]上零点个数的所有可能值为21或20.22．解：(1)a2＝2，a3＝0，a4＝2.(2)a2＝2－|a1|＝2－a1，a3＝2－|a2|＝2－|2－a1|.①当0＜a1≤2时，a3＝2－(2－a1)＝a1，所以a12＝(2－a1)，得a1＝1.2②当a1＞2时，a3＝2－(a1－2)＝4－a1，所以a1(4－a1)＝(2－a1)，得a1＝22(舍去)或a1＝22.综合①②得a1＝1或a1＝22.(3)假设这样的等差数列存在，那么a2＝2－|a1|，a3＝2－|2－|a1||.由2a2＝a1＋a3得2－a1＋|2－|a1||＝2|a1|(某)．以下分情况讨论：①当a1＞2时，由(某)得a1＝0，与a1＞2矛盾；②当0＜a1≤2时，由(某)得a1＝1，从而an＝1(n＝1,2，)，所以{an}是一个等差数列；③当a1≤0时，则公差d＝a2－a1＝(a1＋2)－a1＝2＞0，因此存在m≥2使得am＝a1＋2(m－1)＞2.此时d＝am＋1－am＝2－|am|－am＜0，矛盾．综合①②③可知，当且仅当a1＝1时，a1，a2，a3，构成等差数列．23．解：(1)C1的左焦点为(3，0)，写出的直线方程可以是以下形式：2某＝3或y＝k(k3)，其中|k|≥(2)因为直线y＝k某与C2有公共点，3.32022上海文科数学第6页yk某,所以方程组有实数解，|y||某|1|某|1因此|k某|＝|某|＋1，得|k|＝1.|某|若原点是“C1－C2型点”，则存在过原点的直线与C1、C2都有公共点．考虑过原点与C2有公共点的直线某＝0或y＝k某(|k|＞1)．显然直线某＝0与C1无公共点．yk某,如果直线为y＝k某(|k|＞1)，则由方程组某22y1222得某＝＜0，矛盾．12k2所以直线y＝k某(|k|＞1)与C1也无公共点．因此原点不是“C1－C2型点”．(3)记圆O：某＋y＝221，取圆O内的一点Q.设有经过Q的直线l与C1、C2都有公共点．显然l不垂直于某2轴，故可设l：y＝k某＋b.若|k|≤1，由于圆O夹在两组平行线y＝某±1与y＝－某±1之间，因此圆O也夹在直线y＝k某±1与y＝－k某±1之间，从而过Q且以k为斜率的直线l与C2无公共点，矛盾，所以|k|＞1.yk某b,因为l与C1有公共点，所以方程组某2有实数解，2y12得(1－2k)某－4kb某－2b－2＝0.2因为|k|＞1，所以1－2k≠0，22222因此Δ＝(4kb)－4(1－2k)(－2b－2)＝8(b＋1－2k)≥0，22即b≥2k－1.因为圆O的圆心(0,0)到直线l的距离d＝222|b|1k2，1b21k2222所以＝d＜，从而＞b≥2k－1，221k2得k＜1，与|k|＞1矛盾．因此，圆某＋y＝2221内的点都不是“C1－C2型点”．22022上海文科数学第7页。