7.3 二次根式(第3课时)教学设计
初中数学：《二次根式》大单元教学设计全文
4、单元整体规划
单元课时规划
课型课时 概念课(1)
课时目标
学习内容
1、了解二次根式 的概念。
2、理解二次根 式
二次根式的定 义；二次根式 有意义的条件
， a ≥0（a≥0）
有双重非负性，会
确定被开方数中字
母的取值范围，会
利用二次根式的性
质做相关计算。
任务活动
实际情景引入 二次根式的定 义，探讨二次 根式的双重非 负性及应用.
式 的
解：（1）2 7 6 7
加
2 6 7 4 7
减 法
(2) 80 20 5
法
4 52 5 5
则
(4 2 1) 5
3 5
新课讲解
知
例2计算 (1)2 12 6
1 3 3
48
(2) 12 20 3 5
识 点
解：(1)原式＝
2
4 36
3
3
3
16 3
＝4 3 2 3 12 3 （化简二次根式）
本章的具体要求：了解二次根式、最简二次根式 的概念，了解二次根式（根号下仅限于数）的加、 减、乘、除运算法则，会用它们进行有关的简单四 则运算.
2:教材分析
本单元属于“数与代数”中实数的内容，是鲁教 版八年级下册第七章，它研究了二次根式的定义和性 质,它是学习二次根式的化简和运算的基础. 学习本 章内容，应注意随时复习有理数及整式运算的有关内 容，是学好本章的关键之一。
＝8 a
（合并）
新课讲解
二 练一练 计算
次 根
(1)2 7 6 7 (2) 80 20 5
式 的
解：（1）2 7 6 7
加
2 6 7 4 7
二次根式教学设计(通用15篇)
二次根式教学设计〔通用15篇〕篇1：二次根式教学设计【知识与技能】1.理解二次根式的概念，并利用〔a≥0〕的意义解答详细题目.2.理解〔a≥0〕是非负数和( )2=a.3.理解 =a〔a≥0〕并利用它进展计算和化简.【过程与方法】1.提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题.2.通过复习二次根式的概念，用逻辑推理的方法推出〔a≥0〕是一个非负数，用详细数据结合算术平方根的意义导出( )2=a〔a≥0〕，最后运用结论严谨解题.3.通过详细数据的解答，探究并利用这个结论解决详细问题.【情感态度】通过详细的数据体会从特殊到一般、分类的数学思想，理解二次根式的概念及二次根式的有关性质.【教学重点】1.形如〔a≥0〕的式子叫做二次根式.2. 〔a≥0〕是一个非负数；( )2=a〔a≥0〕及其运用.【教学难点】利用“ 〔a≥0〕”解决详细问题.关键：用分类思想的方法导出a〔a≥0〕是一个非负数；用探究的方法导出一、情境导入，初步认识回忆：当a是正数时，表示a的算术平方根，即正数a的正的平方根.当a是零时，等于0，它表示零的平方根，也叫做零的.算术平方根.当a是负数时，没有意义.【教学说明】通过对算术平方根的回忆引入二次根式的概念.二、考虑探究，获取新知概括：〔a≥0〕表示非负数a的算术平方根，也就是说，〔a≥0〕是一个非负数，它的平方等于a.即有：〔1〕≥0；〔2〕( )2=a〔a≥0〕.形如〔a≥0〕的式子叫做二次根式.注意：在中，a的取值必须满足a≥0，即二次根式的被开方数必须是非负数.考虑：等于什么？我们不妨取a的一些值，如2，-2，3，-3等，分别计算对应的的值，看看有什么规律.概括：当a≥0时， =a；当a＜0时， =-a.三、运用新知，深化理解1.x取什么实数时，以下各式有意义？2.计算以下各式的值：【教学说明】可由学生抢答完成，再由老师总结归纳.四、师生互动，课堂小结1.师生共同回忆二次根式的概念及有关性质：〔1〕( )2=a〔a≥0〕；〔2〕当a≥0时， =a；当a＜0时， =-a.2.通过这节课的学习，你掌握了哪些新知识，还有哪些疑问？请与同伴交流.【教学说明】老师引导学生回忆知识点，让学生大胆发言，进展知识提炼和知识归纳.1.布置作业：从教材相应练习和“习题21.1”中选取.2.完成练习册中本课时练习的“课时作业”局部.本节课从复习算术平方根入手引入二次根式的概念，再通过特殊数据的计算，理解二次根式的有关性质，经历观察、归纳、分类讨论等思维过程，从中获得数学知识与技能，体验教学活动的方法.篇2：二次根式乘法教学设计两个含有二次根式的代数式相乘，假如他们的积不含有二次根式，那么这两个代数式叫做互为有理化因式。
二次根式教案及教学设计
二次根式教案及教学设计二次根式教案及教学设计二次根式是在学生掌握了平方根、算术平方根的基础上进一步的重点内容，如何设计二次根式教学呢?下面是的二次根式教案资料，欢迎阅读。
二次根式教案篇1教学建议知识结构：重点难点分析：是商的二次根式的性质及利用性质进行二次根式的化简与运算,利用分母有理化化简.商的算术平方根的性质是本节的主线，学生掌握性质在二次根使得化简和运算的运用是关键，从化简与运算由引出初中重要的内容之一分母有理化，分母有理化的理解决定了最简二次根式化简的掌握.教学难点是二次根式的除法与商的算术平方根的关系及应用.二次根式的除法与乘法既有联系又有区别，强调根式除法结果的一般形式，避免分母上含有根号.由于分母有理化难度和复杂性大，要让学生首先理解分母有理化的意义及计算结果形式.教法建议：1. 本节内容是在有积的二次根式性质的基础后学习，因此可以采取学生自主探索学习的模式，通过前一节的复习，让学生通过具体实例再结合积的性质，对比、归纳得到商的二次根式的性质.教师在此过程中给与适当的指导，提出问题让学生有一定的探索方向.2. 本节内容可以分为三课时，第一课时讨论商的算术平方根的性质，并运用这一性质化简较简单的二次根式(被开方数的分母可以开得尽方的二次根式);第二课时讨论二次根式的除法法则，并运用这一法则进行简单的二次根式的除法运算以及二次根式的乘除混合运算，这一课时运算结果不包括根号出现内出现分式或分数的情况;第三课时讨论分母有理化的概念及方法，并进行二次根式的乘除法运算，把运算结果分母有理化.这样安排使内容由浅入深，各部分相互联系，因此及彼，层层展开.3. 引导学生思考“想一想”中的内容，培养学生思维的深刻性，教师组织学生思考、讨论过程中，鼓励学生大胆猜想，积极探索，运用类比、归纳和从特殊到一般的思考方法激发学生创造性的思维.教学设计示例一、教学目标1.掌握商的算术平方根的性质，能利用性质进行二次根式的化简与运算;2.会进行简单的二次根式的除法运算;3.使学生掌握分母有理化概念，并能利用分母有理化解决二次根式的化简及近似计算问题;4. 培养学生利用二次根式的除法公式进行化简与计算的能力;5. 通过二次根式公式的引入过程，渗透从特殊到一般的归纳方法，提高学生的归纳总结能力;6. 通过分母有理化的教学，渗透数学的简洁性.二、教学重点和难点1.重点：会利用商的算术平方根的性质进行二次根式的化简，会进行简单的二次根式的除法运算，还要使学生掌握二次根式的除法采用分母有理化的方法进行.2.难点：二次根式的除法与商的算术平方根的关系及应用.三、教学方法从特殊到一般总结归纳的方法以及类比的方法，在学习了二次根式乘法的'基础上本小节内容可引导学生自学，进行总结对比.四、教学手段利用投影仪.五、教学过程(一) 引入新课学生回忆及得算数平方根和性质：(a≥0，b≥0)是用样的方法引出的?(上述积的算术平方根的性质是由具体例子引出的.)学生观察下面的例子，并计算：由学生总结上面两个式的关系得：类似地，每个再举一个例子，然后由这些特殊的例子，得出：(二)新课商的算术平方根.一般地，有(a≥0，b>0)商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根.让学生讨论这个式子成立的条件是什么?a≥0，b>0，对于为什么b>0，要使学生通过讨论明确，因为b=0时分母为0，没有意义.引导学生从运算顺序看，等号左边是将非负数a除以正数b求商，再开方求商的算术平方根，等号右边是先分别求被除数、除数的算术平方根，然后再求两个算术平方根的商，根据商的算术平方根的性质可以进行简单的二次根式的化简与运算.例1 化简：(1) ; (2) ; (3) ;解∶(1)(2)(3)说明：如果被开方数是带分数，在运算时，一般先化成假分数;本节根号下的字母均为正数.例2 化简：(1) ; (2) ;解：(1)(2)让学生观察例题中分母的特点，然后提出，的问题解决?再总结：这一小节开始讲的二次根式的化简，只限于所得结果的式子中分母可以完全开的尽方的情况，的问题，我们将在今后的学习中解决.学生讨论本节课所学内容，并进行小结.(三)小结1.商的算术平方根的性质.(注意公式成立的条件)2.会利用商的算术平方根的性质进行简单的二次根式的化简.(四)练习1.化简：(1) ; (2) ; (3) .2.化简：(1) ; (2) ; (3)六、作业教材P.183习题11.3;A组1.七、板书设计二次根式的除法二次根式教案篇2一、内容和内容解析1.内容二次根式的概念.2.内容解析本节课是在学生学习了平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根，知道开方与乘方互为逆运算的基础上，来学习二次根式的概念. 它不仅是对前面所学知识的综合应用，也为后面学习二次根式的性质和四则运算打基础.教材先设置了三个实际问题，这些问题的结果都可以表示成二次根式的形式，它们都表示一些正数的算术平方根，由此引出二次根式的定义. 再通过例1讨论了二次根式中被开方数字母的取值范围的问题，加深学生对二次根式的定义的理解.本节课的教学重点是:了解二次根式的概念;二、目标和目标解析1.教学目标(1)体会研究二次根式是实际的需要.(2)了解二次根式的概念.2. 教学目标解析(1)学生能用二次根式表示实际问题中的数量和数量关系，体会研究二次根式的必要性.(2)学生能根据算术平方根的意义了解二次根式的概念，知道被开方数必须是非负数的理由，知道二次根式本身是一个非负数，会求二次根式中被开方数字母的取值范围.三、教学问题诊断分析对于二次根式的定义，应侧重让学生理解“ 的双重非负性，”即被开方数≥0是非负数，的算术平方根≥0也是非负数.教学时注意引导学生回忆在实数一章所学习的有关平方根的意义和特征，帮助学生理解这一要求，从而让学生得出二次根式成立的条件，并运用被开方数是非负数这一条件进行二次根式有意义的判断.本节课的教学难点为:理解二次根式的双重非负性.四、教学过程设计1.创设情境，提出问题问题1你能用带有根号的的式子填空吗?(1)面积为3 的正方形的边长为_______，面积为S 的正方形的边长为_______.(2)一个长方形围栏，长是宽的2 倍，面积为130m?，则它的宽为______m.(3)一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t(单位:s)与开始落下的高度h(单位:m)满足关系h =5t?，如果用含有h 的式子表示t ，则t= _____.师动:学生独立完成上述问题，用算术平方根表示结果，教师进行适当引导和评价.【设计意图】让学生在填空过程中初步感知二次根式与实际生活的紧密联系，体会研究二次根式的必要性.问题2 上面得到的式子，，分别表示什么意义?它们有什么共同特征?师生活动:教师引导学生说出各式的意义，概括它们的共同特征:都表示一个非负数(包括字母或式子表示的非负数)的算术平方根.【设计意图】为概括二次根式的概念作铺垫.2.抽象概括，形成概念问题3 你能用一个式子表示一个非负数的算术平方根吗?师生活动:学生小组讨论，全班交流.教师由此给出二次根式的定义:一般地，我们把形如(a≥0)的式子叫做二次根式，“ ”称为二次根号.【设计意图】让学生体会由特殊到一般的过程，培养学生的概括能力.追问:在二次根式的概念中，为什么要强调“a≥0”?师生活动:教师引导学生讨论，知道二次根式被开方数必须是非负数的理由.【设计意图】进一步加深学生对二次根式被开方数必须是非负数的理解.3.辨析概念，应用巩固例1 当时怎样的实数时，在实数范围内有意义?师生活动:引导学生从概念出发进行思考，巩固学生对二次根式的被开方数为非负数的理解.例2 当是怎样的实数时，在实数范围内有意义? 呢?师生活动:先让学生独立思考，再追问.【设计意图】在辨析中，加深学生对二次根式被开方数为非负数的理解.问题4 你能比较与0的大小吗?师生活动:通过分和这两种情况的讨论，比较与0的大小，引导学生得出≥0的结论，强化学生对二次根式本身为非负数的理解，【设计意图】通过这一活动的设计，提高学生对所学知识的迁移能力和应用意识;培养学生分类讨论和归纳概括的能力.4.综合运用，巩固提高练习1 完成教科书第3页的练习.练习2 当x 是什么实数时，下列各式有意义.(1) ;(2) ;(3) ;(4) .【设计意图】辨析二次根式的概念，确定二次根式有意义的条件.【设计意图】设计有一定综合性的题目，考查学生的灵活运用的能力，开阔学生的视野，训练学生的思维.5.总结反思教师和学生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题.(1)本节课你学到了哪一类新的式子?(2)二次根式有意义的条件是什么?二次根式的值的范围是什么?(3)二次根式与算术平方根有什么关系?师生活动:教师引导，学生小结.【设计意图】:学生共同总结，互相取长补短，再一次突出本节课的学习重点，掌握解题方法.6.布置作业:教科书习题16.1第1，3，5， 7，10题.五、目标检测设计1. 下列各式中，一定是二次根式的是( )A. B. C. D.【设计意图】考查对二次根式概念的了解，要特别注意被开方数为非负数.2. 当时，二次根式无意义.【设计意图】考查二次根式无意义的条件，即被开方数小于0，要注意审题.3.当时，二次根式有最小值，其最小值是 .【设计意图】本题主要考查二次根式被开方数是非负数的灵活运用.4.对于，小红根据被开方数是非负数，得出的取值范围是≥ .小慧认为还应考虑分母不为0的情况.你认为小慧的想法正确吗?试求出的取值范围.【设计意图】考查二次根式的被开方数为非负数和一个式子的分母不能为0，解题时需要综合考虑.二次根式教案篇3教学建议本节的重点有两个:⒈同类二次根式的概念⒉二次根式加减运算的方法本节的主要内容是讲解二次根式的加减法，而二次根式的加减法的关键是把二次根式化为最简二次根式，再把同类二次根式合并.二次根式的加减法运算实质是合并同类二次根式，前提是要充分了解同类二次根式的概念，因此同类二次根式的概念是本节的一个重点.本节的难点二次根式的加减法运算二次根式的加减法首先是化简，在化简之后，就是类似整式加减的运算了.整式加减无非是去括号与合并同类项，二次根式的加减在化简之后也是如此，同类二次根式类似同类项.但是学生初次接触二次根式的加减法，在运算过程中容易出现各种各样的错误，因此熟练掌握二次根式的加减法运算是本节的难点.本节的主要内容是讲解二次根式的加减法，而二次根式的加减法的关键是把二次根式化为最简二次根式，再把同类二次根式合并.(1)在知识引入的讲解中，有两种不同的处理方法:一是按照教材中的方法，先给出几个二次根式，把他们都化成最简二次根式，在进行比较或者加减运算，从而引出二次根式的加减法和同类二次根式;二是先复习同类项的概念或进行一两道简单的正式加减的题目，通过类比引出同类二次根式和二次根式的加减法.两种处理方法各有优劣，教师在教学过程中可根据学生的实际情况进行选择，当然也可以把这两种方法综合应用，但有些过繁.(2)在教材例1的教学中，教师可以根据学生情况进行细分处理，例如分成几个小问题:①把被开方数都是整数的放在一个小题中，②把被开方数都是分数的放在一个小题中，③把被开方数带有简单字母的放在一个小题中，④把字母次数略高于2的放在一个小题中，……使问题的解决有一个由浅入深的渐进过程，便于学生参与其中，也容易使学生获得成就感.(3)在组织学生进行二次根式的加减法教学中，同样将例题细分成几个层次进行教学，例如:①不需要化简能直接进行相加减的，②需要化简但被开方数都是简单整数的，③被开方数都是有理数但既有整数又有分数的，④被开方数含有字母的，等等.(4)在二次根式加减法的组织教学中，虽然教材已经不要求二次根式加减法的法则，但可以组织学生自己总结法则，既有利于学生的参与，又能提高学生的观察、分析和归纳能力.(5)在二次根式加减法的整个教学环节中，教师都要及时纠正学生的错误认识，比如:①不是最简二次根式就不是同类二次根式，②该化简的没有化简，或化简的不正确，③该合并的没有合并，不该合并的给合并了，或者合并错了，等等类似情况.教师在教学中可以出一些容易出错的题目让学生进行辨别，以利于知识的巩固.教学设计示例1一、素质教育目标(一)知识教学点1.使学生了解最简二次根式的概念和同类二次根式的概念.2.能判断二次根式中的同类二次根式.3.会用同类二次根式进行二次根式的加减.(二)能力训练点通过本节的学习，培养学生的思维能力并提高学生的运算能力.(三)德育渗透点从简单的同类二次根式的合并，层层深入，从解题的过程中，让学生体会转化的思维，渗透辩证唯物主义思想.(四)美育渗透点通过二次根式的加减，渗透二次根式化简合并后的形式简单美.二、学法引导1.教师教法引导法、比较法、剖析法，在比较和剖析中，不断纠正错误，从而树立牢固的计算方法.2.学生学法通过不断的练习，从中体会、比较、二次根式加减法中，正确的方法使用，并注重小结出二次根式加减法的法则.三、重点·难点·疑点及解决办法1.教学重点二次根式的加减法运算.2.教学难点二次根式的化简.3.疑点及解决办法二次根式的加减法的关键在于二次根式的化简，在适当复习二次根的化简后进行一步引入几个整式加减法的，以引起学生的求知欲与兴趣，从而最后引入同类二次根式的加减法，可进行阶梯式教学，由浅到深、由简单到复杂的教学方法，以利于学生的理解、掌握和运用，通过具体例题的计算，可由教师引导，由学生总结出计算的步骤和注意的问题，还可以通过反例，让学生去伪存真，这种比较法的教学可使学生对概念的理解、法则的运用更加准确和熟练，并能提高学生的学习兴趣，以达到更好的学习效果.四、课时安排2课时五、教具学具准备投影片六、师生互动活动设计1.复习最简二根式整式及的加减运算，引入二次根式的加减运算，尽量让学生回答问题.2.教师通过例题的示范让学生了解什么是二次根式的加减法，并引入同类的二次根式的定义.3.再通过较复杂的二次根式的加减法计算，引导学生小结归纳出二次根式的加减法的法则.4.通过学生的反复训练，发现问题及时纠正，并引导学生从解题过程中体会理解二次根式加减法的实质及解决的方法.七、教学步骤(-)明确目标学习二次根式化简的目的是为了能将一些最终能化为同类二次根式项相合并，从而达到化繁为简的目的，本节课就是研究二次根式的加减法.(二)整体感知同类二次根式的概念应分二层含义去理解(1)化简后(2)被开方数还相同.通过正确理解二次根式加减法的法则来准确地实施二次根式加减法的运算，应特别注意合并同类二次根式时仅将它们的系数相加减，根式一定要保持不变，并可对比整式的加减法则以增加对合并同类二次根式的理解，增强综合运算的能力.第一课时(-)教学过程【复习引入】什么样的二次根式叫做最简二次根式?(由学生回答)与的形式与实质是什么?可以化简为 .继续提问: ，可以化简吗?，可以化简吗?这就是本节课研究的内容--二次根式的加减法.【讲解新课】1.复习整式的加减运算计算:(1) ;(2) ;(3) .小结:整式的加减法，实质上就是去括号和合并同类项的运算.2.例题(1)计算 .解: .(2)计算 .解: .小结:(1)如果几个二次根式的被开方数相同，那么可以直接根据分配律进行加减运算.(2)如果所给的二次根式不是最简二次根式，应该先化简，再进行加减运算.定义:几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式.3.例题例1 下列各式中，哪些是同类二次根式? ，，，，，， .解:略.例2 计算 .解:.例3 计算 .解:.二次根式加减法的法则:二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把同类二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变.(可对比整式的加减法则)例4 计算:(1) .解:.(2) .解:.(二)随堂练习计算:(1) ;(2) ;(3) .练习:教材P192中1、2(1)、(2)、(3)、(4)、(5);教材P193中1、2.(三)总结、扩展同类二次根式的定义.二次根式的加减法与整式的加减法进行比较，强调注意的问题.(四)布置作业教材P193中(1)、(2)、(3)、(4)、(5)、(6);教材P194中4(1)、(2)、(3)、(4).(五)板书设计标题1.复习题 5.例题(1)、(2)、2.整式的加减例题 (3)、(4)3.例题(1)、(2) 6.练习题4.同类二次根式 7.小结【二次根式教案及教学设计】。
九年级数学上册《二次根式》教案、教学设计
二、学情分析
九年级的学生已经具备了一定的数学基础，掌握了实数的概念和基本的运算法则，但对于二次根式的理解可能还不够深入。在之前的学习中，学生已经接触过平方根，对根式的概念有初步的了解，这为本章节的学习奠定了基础。然而，二次根式的性质和运算相对复杂，学生在运用过程中可能会遇到困难，如符号处理、化简技巧等。因此，在教学过程中，需要关注以下几点：
2.讨论主题：针对本节课所学内容，设计具有讨论性的问题，如二次根式的性质、化简方法等。
3.指导与反馈：在学生讨论过程中，教师巡回指导，及时解答学生的疑问，引导他们正确地理解知识。
4.分享成果：鼓励各小组分享自己的讨论成果，让全班同学共同学习，共同进步。
（四）课堂练习
在小组讨论之后，进行课堂练习，检验学生的学习效果：
3.二次根式的化简：讲解如何化简二次根式，特别是含有分母的二次根式的化简方法，帮助学生掌握关键步骤。
4.二次根式的应用：通过具体实例，展示二次根式在解决实际问题中的应用，如求面积、体积等。
（三）学生小组讨论
讲授新知识后，组织学生进行小组讨论，巩固所学内容：
1.分组：将学生分成若干小组，确保每个小组的学生层次搭配合理，有利于相互学习。
1.基础知识巩固：设计一系列基础题目，涵盖二次根式的定义、性质和运算法则，让学生通过练习，加深对二次根式概念的理解，提高运算能力。
-化简二次根式：选取一些具有代表性的二次根式，让学生进行化简，巩固化简方法。
-二次根式的乘除运算：布置一些涉及二次根式乘除运算的题目，提高学生运用运算法则解决问题的能力。
2.强调二次根式在实际问题中的应用，提高学生的应用意识。
3.鼓励学生提出自己在学习过程中遇到的困难和问题，组织全班同学共同讨论解决。
二次根式第三课时教案
任务名称：二次根式第三课时教案一、引言二次根式是数学中的重要概念，它在代数学、几何学以及实际问题的解决中都发挥着关键作用。
本文将通过分析二次根式的性质、求解二次方程以及应用二次根式解决实际问题等方面，全面、详细、完整且深入地探讨任务主题。
二、二次根式的性质二次根式是由一个变量的平方根组成的表达式，一般形式为a√x。
其中，a为有理数，x为非负实数。
在讨论二次根式的性质时，我们需要重点关注以下几个方面。
2.1 二次根式的化简通过因式分解、提取公因子、有理化等方法，我们可以将二次根式进行化简，使其形式更加简洁，从而方便进一步的计算和分析。
2.2 二次根式的运算二次根式可以进行加、减、乘、除等基本运算。
对于加减运算，我们需要注意分别对二次根式的系数和根号内的数进行合并；对于乘除运算，我们需要利用二次根式的乘法公式和除法公式进行展开和化简。
2.3 二次根式的比较通过比较二次根式的大小，我们可以得出一些有意义的结论。
例如，当二次根式的系数相同时，根号内的数越大，二次根式的值越大；当根号内的数相同时，系数越大，二次根式的值越大。
三、求解二次方程二次根式在求解二次方程时起到了关键作用。
二次方程的一般形式为ax2+bx+ c=0，其中a≠0。
求解二次方程的一般步骤如下：3.1 判别式的求解通过求解二次方程的判别式D=b2−4ac，我们可以判断二次方程的根的情况。
当判别式大于0时，方程有两个不等实根；当判别式等于0时，方程有两个相等实根；当判别式小于0时，方程没有实根。
3.2 根的求解公式根据二次方程的根的求解公式，可以求解出方程的根。
一般形式的根的求解公式为x=−b±√D。
其中，D为判别式，x为方程的根。
2a3.3 实际问题的应用二次根式在实际问题中的应用也非常广泛。
例如，利用二次根式可以求解抛物线的顶点、求解物体自由落体运动的最高点以及求解三角函数的一些特殊值等。
四、应用二次根式解决实际问题二次根式在解决实际问题时发挥着重要作用。
二次根式(第3课时)八年级数学
5.
3.设 a 1 ，b 10 3 , 则= a
10 3
b
课堂检测
基础巩固题
4.三角形的三边长分别为 20 ，40 ，45 ， 则这个三角形的 周长为_5_5_+_2__1_0___.
5.计算: （1）5 2 18 =_8__2
（2）4 18 - 9 2 =_3__2
8
1
32 2
22 2
2 3 22 21 2
8
16
4
5 4
2
（3）( 24 1 ) 3
6
24
3
1 6
3
24 3
1 6
3
42
6
2
6
2
2
1 6
2
11 6
2
8
1 63
（4） 25
2
99 18
25 2 22
911
92
5 2
2 3 11 3 2
1 2 3 11 2
巩固练习
变式训练
化简：
（1） 2 1 ； （2）12 3 1； （3）( 18 1 ) 8 .
5 10
3
2
解（：1 ） 2
5
1 10
25 55
110 1 1010 5
10 1 10 1 10 ;
10
10
（2）12
3
1
43
3
1 3 2 3
1 3
34
3;
3
33
3
3
（3）( 18 1 ) 8 18 8 1 8 18 8 1 8
变式训练
已知
二次根式第三课时教案
二次根式第三课时教案教学目标：1. 理解二次根式的概念和性质。
2. 掌握二次根式的化简方法。
3. 能够解决与二次根式相关的数学问题。
教学重点：1. 二次根式的化简方法。
2. 二次根式的性质。
教学难点：1. 二次根式的应用。
2. 二次根式的化简方法。
教学过程：一、引入新知识1. 通过提问的方式引入二次根式的概念和性质。
2. 通过举例的方式让学生理解二次根式的含义。
二、讲解二次根式的化简方法1. 介绍二次根式的基本化简方法。
2. 通过例题讲解二次根式的化简方法。
三、练习1. 让学生自己尝试化简二次根式。
2. 给学生一些练习题，让他们巩固所学的知识。
四、讲解二次根式的性质1. 介绍二次根式的性质。
2. 通过例题讲解二次根式的性质。
五、练习1. 让学生自己尝试应用二次根式的性质解决问题。
2. 给学生一些练习题，让他们巩固所学的知识。
六、总结1. 通过提问的方式让学生总结所学的知识。
2. 介绍二次根式的应用。
教学方法：1. 通过提问的方式引入新知识。
2. 通过讲解和例题让学生理解和掌握知识。
3. 通过练习巩固所学的知识。
教学工具：1. 黑板和粉笔。
2. 教学PPT。
3. 练习题。
教学评价：1. 通过课堂练习和作业评价学生的学习情况。
2. 通过课堂表现评价学生的学习态度。
教学反思：1. 在讲解二次根式的化简方法时，需要注意让学生理解每一步的操作。
2. 在讲解二次根式的性质时，需要注意让学生理解每一个性质的含义和应用。
二次根式教案
二次根式教案二次根式教案（精选11篇）二次根式教案篇1教学目标1．使学生进一步理解二次根式的意义及基本性质，并能熟练地化简含二次根式的式子；2．熟练地进行二次根式的加、减、乘、除混合运算。
教学重点和难点重点：含二次根式的式子的混合运算．难点：综合运用二次根式的性质及运算法则化简和计算含二次根式的式子．教学过程设计一、复习1．请同学回忆二次根式有哪些基本性质？用式子表示出来，并说明各式成立的条件．指出：二次根式的这些基本性质都是在一定条件下才成立的，主要应用于化简二次根式．2．二次根式的乘法及除法的法则是什么？用式子表示出来．指出：二次根式的乘、除法则也是在一定条件下成立的．把两个二次根式相除，计算结果要把分母有理化．3．在二次根式的化简或计算中，还常用到以下两个二次根式的关系式：4．在含有二次根式的式子的化简及求值等问题中，常运用三个可逆的式子：二、例题例1x取什么值时，下列各式在实数范围内有意义：分析：(1)题是两个二次根式的和，x的取值必须使两个二次根式都有意义；(3)题是两个二次根式的和，x的取值必须使两个二次根式都有意义；(4)题的分子是二次根式，分母是含x的单项式，因此x的取值必须使二次根式有意义，同时使分母的值不等于零．x-2且x0．解因为n2-90，9-n20，且n-30，所以n2=9且n3，所以例3分析：第一个二次根式的被开方数的分子与分母都可以分解因式．把它们分别分解因式后，再利用二次根式的基本性质把式子化简，化简中应注意利用题中的隐含条件3-a0和1-a＞0．解因为1-a＞0，3-a0，所以a＜1，|a-2|＝2-a．(a-1)(a-3)=[-(1-a)][-(3-a)]=(1-a)(3-a)0．这些性质化简含二次根式的式子时，要注意上述条件，并要阐述清楚是怎样满足这些条件的．问：上面的代数式中的两个二次根式的被开方数的式子如何化为完全平方式？分析：先把第二个式子化简，再把两个式子进行通分，然后进行计算．注意：所以在化简过程中，例6分析：如果把两个式子通分，或把每一个式子的分母有理化再进行计算，这两种方法的运算量都较大，根据式子的结构特点，分别把两个式子的分母看作一个整体，用换元法把式子变形，就可以使运算变为简捷．a+b＝2(n+2)，ab=(n+2)2-(n2-4)＝4(n+2)，三、课堂练习1．选择题：A．a2B．a2C．a2D．a＜2A．x+2B．-x-2C．-x+2D．x-2A．2xB．2aC．-2xD．-2a2．填空题：4．计算：四、小结1．本节课复习的五个基本问题是“二次根式”这一章的主要基础知识，同学们要深刻理解并牢固掌握．2．在一次根式的化简、计算及求值的过程中，应注意利用题中的使二次根式有意义的条件(或题中的隐含条件)，即被开方数为非负数，以确定被开方数中的字母或式子的取值范围．3．运用二次根式的四个基本性质进行二次根式的运算时，一定要注意论述每一个性质中字母的取值范围的条件．4．通过例题的讨论，要学会综合、灵活运用二次根式的意义、基本性质和法则以及有关多项式的因式分解，解答有关含二次根式的式子的化简、计算及求值等问题．五、作业1．x是什么值时，下列各式在实数范围内有意义？2．把下列各式化成最简二次根式：二次根式教案篇2目标1．熟练地运用二次根式的性质化简二次根式；2．会运用二次根式解决简单的实际问题；3．进一步体验二次根式及其运算的实际意义和应用价值。
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第二章 实数
7．二次根式（第3课时）
一、教学目标
本节课的目标定为：
1.进一步理解二次根式的概念，进一步熟练二次根式的化简。
2. 了解根号内含有字母的二次根式的化简。
3.利用二次根式的化简解决简单的数学问题。
通过独立思考，能选择合理的方法解决问题。
4.在运算过程中巩固知识，通过与人交流总结方法。
二、教学重难点
重点：利用二次根式的化简解决简单的数学问题
难点：对根号内含字母的二次根式的化简。
三、教学过程设计
第一环节：复习引入
内容：
（1）最简二次根式的概念；
（2）二次根式化简过程中，你有哪些体会？
（3）上节课课后作业：若414.12≈，732.13≈，449.26≈，求
23．你是怎样解决的？
第二环节：知识巩固
1.巩固提升
例4 计算：
（1）3223-；（2）81818+-；（3）3)6
124(÷-． 解：（1）3223-＝33322223⨯⨯-⨯⨯＝631621-＝6)3
121(-＝661； （2）81818+
-＝162222322+⨯-⨯＝2412223+-＝245；
（3）3) 6124(÷-＝ 361324÷-÷＝ 36
1324÷-÷ ＝ 3618⨯-＝ 66224⨯-⨯＝ 26122-＝ 2611． 说明：可以放手让学生独立完成，然后通过交流，发现问题，给出一个统一的意见．
2.交流
收集第（3）小题有多少种解决方法．让学生说说想法．
3.反思
以上过程每位同学都是怎样化简的，方法好不好，能做到快而准确吗？
4.练习
化简：
（1）10152-；（2）31312+-；（3）8)2
118(⨯-． 解：（1）10152-＝10101015552⨯⨯-⨯⨯＝1010
11051-＝10101； （2）31312+
-＝3331334⨯⨯+-⨯＝331332+-＝334； （3）8)2
118(⨯-＝821818⨯-⨯＝821818⨯-⨯ ＝821818⨯-
⨯＝4144-＝212-＝10． 第三环节：问题解决
如图所示，图中小正方形的边长为1，试求图中梯形
的面积，你有哪些方法，与同伴交流．
1.交流
让学生充分发表意见．
2.答案
（1）直接求法．
过点D 作AB 边上的高DE ，可发现边AB ，DC 及DE
都是某一个小直角三角形的斜边．根据勾股定理可求得
AB ＝25， CD ＝2，DE ＝23，面积梯形ABCD 的面积是
23)225(2
1⨯+＝18. （2）间接求法．
将梯形ABCD 补成一个5×7长方形，用长方形的面积减去3个小三角形的面积，得梯形ABCD 的面积是11212421552175⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯-
⨯＝18． 第四环节：知识提升
1.知识探索
问题：2a （0>a ）等于多少？ 根据算术平方根的定义，可知a a =2（0>a ）．
2.知识运用
例5 化简：
（1）3325b a （0>a ，0>b ）；（2）3)(y x +（0≥+y x ）；（3）a
b b a
（0>a ，0>b ）． 解：（1）3325b a ＝ab b a ⋅2225＝ab b a ⋅2225＝ab ab 5；
（2）3)(y x +＝)()(2y x y x +⋅+＝y x y x ++)(；
（3）a b b a ＝2
a a
b b a ＝ab a b a 1⨯＝ab b 1． 3.课堂练习
1.当0>a ，0>b 时化简：
（1）)(a b b a ab +；（2）324b a ；（3）ab b a
⨯-)1(； （4）b a a b ab a 155
102÷⋅． 解：（1）)(a b b a ab +＝a b ab b a ab ⨯+⨯＝a
b ab b a ab ⨯+⨯ ＝22b a +＝b a +；
（2）324b a ＝b b a ⋅2222＝b b a ⋅2222＝b ab 2；
（3）ab b a
⨯-)1(＝ab b ab a ⨯-⨯1＝ab b ab a ⨯-⨯1＝a b b ⨯-2 ＝a b b -；
（4）b a a b ab a 155102÷⋅＝b a a b ab a ÷⋅÷⨯)15510(2＝a
b a 32310⋅ ＝222310a ba b a ⋅⋅＝222310a ba b a ⋅⋅＝222310a
ab b a ⋅⋅＝ab a b a ⋅⋅2310 ＝ab ab 3
10． 2. 求代数式ab b a ⨯-)1(
的值，其中3=a ，2=b ． 解：由题知0>a ，0>b ．
ab b a ⨯-)1(＝ab b ab a ⨯-⨯1＝ab b ab a
⨯-⨯1＝2ab b - ＝a b b -．
当3=a ，2=b 时，a b b -＝322-．
第五环节：课堂小结
（1）二次根式的化简：
二次根式的化简一定要化成最简二次根式．
（2）利用式子a a =2（0>a ）可将根号内含字母的二次根式化简，结果也要化成最简二次根式．
第六环节：课后作业
习题 2．11 1， 3
四、教学反思
本节课继续熟练二次根式的化简，要求化成最简二次根式．同学们需通过练习认真体会各类方法，做到熟练并能灵活运用．
本节还涉及根号内含有字母的二次根式的化简，仍然要求化成最简二次根式．这部分内容对学生的基础要求较高，基础不好的班级可降低难度．
五、板书设计。