二次函数双图像问题
二次函数y=ax2的图像和性质
教案教学内容二次函数y=ax²的图象和性质一、学习目标：1．会用描点法画出二次函数y=ax2的图象；2.根据对特殊函数图象的观察，归纳得出二次函数y=ax2的性质；3.进一步理解二次函数和抛物线的有关知识，并能解决一些简单的应用问题；4.领悟数形结合的数学思想方法，培养观察能力、分析能力和归纳能力．二、知识回顾：1．画函数图象的一般步骤：（1）列表；（2）描点；（3）连线．2．什么是一次函数？怎么画一次函数y=-x+2的图象？形如y=kx+b（k≠0）的函数叫做一次函数.（1）列表：（2）描点；（3）连线．3．什么叫二次函数？一般地，形如y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数，其中，x是自变量，a，b，c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项．想一想：怎么画二次函数的图象？二次函数有哪些性质？三、知识梳理：1.二次函数y=ax2的图象的画法画二次函数y=ax2的图象，一般用描点法，具体步骤如下：（1）列表：以坐标原点（0,0）为中心，在其左右两边均匀地选取一些便于计算的x值，并计算出对应的y的值，列出表格；（2）描点：把每对x与y的值分别作为点的横坐标和纵坐标，在平面直角坐标系内描出相应的点；（3）连线：按自变量的取值由小到大（或由大到小）的顺序，用平滑的曲线连接各点，即可得到二次函数的大致图像。
【例1】在同一平面直角坐标系中，画出函数y= -2x2，y=x2，y=2x2的图象。
2.二次函数y=ax²的图象和性质：二次函数y=ax²的图象是一条关于y轴对称的抛物线．其图象与性质如下图所示：a的符号a>0 a<0 图象开口方向开口向上开口向下a 的绝对值越大，开口越小顶点坐标（0,0）顶点是最低点顶点是最高点对称轴y轴增减性x>0时，y随x的增大而增大；x<0时，y随x的增大而减小x>0时，y随x的增大而减小；x<0时，y随x的增大而增大最值x =0时，y有最小值0 x =0时，y有最大值0【例2】函数y=（k+1）x2（k+1≠0）的图象的顶点是，对称轴是，当k 时，图象的开口向上，这时函数有最值；当k ，时，图象的开口向下，这时函数有最值。
二次函数的图像和性质(共82张PPT)
y＝ax2
向上
y轴 (0，0)
向下
y轴 (0，0)
4、二次函数y＝2x2＋1的图象与二次函数y＝
2x2的图象开口方向、对称轴和顶点坐标是否相
同?它们有什么关系？我们应该采取什么方法
来研究这个问题？
画出函数y＝2x2和函数y＝ 2x2+1的图象， 并加以比较
x … –1.5 –1 –0.5 0 0.5 1 1.5 …
y 1 x2 ··· 2
8
4.5
2 0.5 0 0.5 2 4.5
8
···
x
·· －2 －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 2 ···
y 2x2 · 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8
·· ·
y y x2 8
y 2x2
···
6
y 1 x2
4
2
2
－4
－2 O
24
在对称轴左侧,y都随x的增大而增大,
在对称轴右侧,y都随 x的增大而减小 .
联系: y=a(x-h)²+k(a≠0) 的图象可以看成y=ax²的图象先沿x轴整体左(右)平移| |个单位(当 >0时,向右平移;当 <0时,向左平移),
再沿对称轴整体上(下)平移|
|个单位 (当
>0时向上平移;当 <0时,向下平移)得到的.
y 1 x2
y1
1 3
x2
2
3
y2
1 3
x2
2
的图像
在同一直角坐标系中
画出函数 y 1 x2 5 y
y1
1 3
x2
2
3
y2
的图像
二次函数y=ax2+bx+c的图像与性质
◆本节课内容一、二次函数y=ax2+bx+c1、二次函数y=ax2+bx+c可以用配方法转化为y=a（x－h）2+k的形式：2、二次函数y=ax2+bx+c的图像的作法：二次函数y=ax2+bx+c的图像是一条对称轴平行于y轴的抛物线。
它的图像常见作法有两种：五点法和平移法。
方法一：五点法先用配方法将y=ax2+bx+c（a≠0）化为y=a（x－h）2+k（a≠0）的形式，确定抛物线的顶点、开口方向、再以顶点为中心，在对称轴的两侧对称地各取两对值进行列表，最后描点画图。
方法二：平移法利用平移法作二次函数y=ax2+bx+c的图像的一般步骤如下：（1）利用配方法将二次函数y=ax2+bx+c化为y=a（x－h）2+k的形式，确定其顶点为（h，k）；（2）作出二次函数y=ax2的图像；（3）将函数y=ax2的图像平移，使其顶点（0,0）平移到（h，k），平移后的图像即是二次函数y=ax2+bx+c的图像。
3、二次函数y=ax2+bx+c的图像及性质如下表：二、二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图像特征与系数a，b，c的符号关系注意：（1）b的符号由a的符号和对称轴的位置来决定（2）a+b+c（或a－b+c）可以看成是x=1（或x=－1）时的函数值。
三、二次函数解析式的求法求二次函数的解析式y=ax2+bx+c，需求出a，b，c的值。
由已知条件（如二次函数图像上三点的坐标）列出关于a，b，c的方程组，求出a，b，c的值，就可以写出二次函数的解析式。
◆课堂练习题型一利用公式法直接求抛物线的顶点、对称轴及最值1、求二次函数y=（x+5）（x－1）的对称轴、顶点及最值。
题型二、由抛物线的顶点、对称轴及最值求字母或代数式的取值范围2、二次函数y=ax2+bx+1（a≠0）的图像的顶点在第一象限，且过点（－1,0）。
设t=a+b+1，则t 的取值范围是（）A、0＜t＜1B、0＜t＜2C、1＜t＜2D、－1＜t＜1题型三、二次函数图像平移规律的直接应用3、抛物线y=－2x2－4x－5经过平移得到抛物线y=－2x2，平移的方法是（）A、向左平移1个单位，再向下平移3个单位B、向左平移1个单位，再向上平移3个单位C、向右平移1个单位，再向下平移3个单位D、向右平移1个单位，再向上平移3个单位题型四、根据抛物线的平移求字母的值4、已知抛物线y=x2+4x+1向上平移m（m＞0）个单位得到的新抛物线过点（1,8），求m的值1题型五、利用二次函数y=ax2+bx+c的图像判断各项系数的符号5、二次函数y=ax2+bx+c的图像如图，那么abc，2a+b，a+b+c这3个代数式中，值为正数的有（ c ）A、3个B、2个C、1个D、0个题型六、利用二次函数的性质比较函数值得大小6、若A（－4，y1），B（－3，y2），C（1，y3）为二次函数y=x2+4x－5的图像上的三点，则y1，y 2，y3的大小关系是（）题型七、利用二次函数的增减性求字母的取值范围7、已知二次函数y=x2-（m+1）x+1，当x≥1时，y随x的增大而增大，求m的取值范围。
二次函数图像中的几何问题
以抛物线上的三个点为顶点的三角形称为抛物线的内接三角形。已知内接三角形的三个顶点的坐标可以求出抛物线的表达式。
例2、已知抛物线与x轴交于点A（-3，0）、B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，-3），抛物线顶点为D，联结AD、AC、CD。
（1）求该抛物线的表达式；
（2）△ACD与△COB是否相似？如果相似，请给予证明；如果不相似，请说明理由。
（1）求A、B两点的坐标；（用m的代数式表示）
（2）如果平行四边行ABCD的顶点D在上述二次函数的图像上，求m的值。
四、综合问题
函数图像中的几何问题已成为历年中考的热门考题，而二次函数的图像与几何图形的结合更是考查的重点，因此，熟悉这类问题的解题思路是必须具备的能力。
下面的例题是抛物线与平行四边、相似三角形的综合。
为。
7、抛物线的顶点为M（2，3），且经过点A（0，-1），若该抛物线上另有点B（m,-1）,则m的值为。
8、若抛物线 与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，且△ABC是等腰直角三角形，则a、c之间的数量关系是。
9、若抛物线的顶点A在x轴上，且抛物线经过B（0，2），△AOB为等腰三角形，则该抛物线的表达式
（3）若直线AB交y轴于点E，在直线AB上找点F，使△CEF∽△AOM，求点F的坐标。
小结：本题涉及的几何图形是：内接于抛物线与直线之间的平行四边形和相似三角形。解题的关键是：（1）函数 图像上的点的坐标可以表示为P（x,f(x)），即用解析式来代替纵坐标；（2）用垂直于x轴的直线去截函数 和 图像，则截得的线段长PQ=∣f(x)-g(x)∣(其中x为点P或点Q的横坐标)。
精练12+1：
1、若抛物线 与x轴相交于点A、B，顶点为P，则△PAB是（）
培思数学-------“二次函数图像形状相同” 问题
培思数学-------“二次函数图像形状相同” 问题
1、如果把一个二次函数的图像向上平移a 49个单位（a>0），再向左平移2
5个单位，就得到第二个二次函数2y ax =的图像。
（1）、写出第二个二次函数定点的坐标（可用a 表示）；
（2）若第一个二次函数图像经过A(x 1, 0), B(x 2, 0), C (0, y 3)三点，其中x 1<x 2, 且y 3是x 1与x 2的比例中项，求函数解析式。
2，将抛物线 542y 2+-=x x 作下列移动后，求得到新的抛物线方程。
（1）向左平移2个单位，再向下平移3个单位；
（2）顶点不动，将原抛物线开口反向；
（3）以x 轴为对称轴，将原抛物线开口反向。
2、已知抛物线 c bx x a ++=2y 的形状与抛物线 32
1y 2+=x 相同，它的对称轴是x=-2, 它与x 轴两个交点距离为2，求：（1）图像与x 轴两交点坐标； （2）确定二次函数的解析式。
初中数学课件 2二次函数y=ax2的图象
当x ≠ 0时,y<0.
活动三、应用迁移
例1.
（1）若抛物线y=(2-m)xm2-3有最低点,则m=---------------
（2）点A(-3,y1),B(-2,y2),C(-1,y3)在抛物线
y=ax （a<0）上,则y ,y ,y 的大小关系是 2
x>0时,y随x增大而增大 x>0时,y随x增大而减小
做一做
(1)抛物线y=5x 的顶点坐标是(0,0) ,开口 向上 2 -------------------------对称轴是 y轴 ,在对称轴 右 侧,y随着x的增大而增 大；在对称轴左 侧,y随着x的增大而减小,当x= 0 时,函数y的值最小,最小值是 0 ,抛物线y=5x2在x轴 的_上___方(除顶点外). (2)抛物线 y 2 x2 当x<0时,y随着x的 增大而增大 ； 3 当x >0 ,y随着x的增大而减小； ------------------
作业：金榜行动 P4第1-10题，选做P5第6、8题
活动三、应用迁移
例3.已知正方形周长为Ccm，面积为Scm2； （1）求S和C之间的函数关系式，并画出图像； （2）根据图像，求出S=1cm2时，正方形的周长； （3）根据图像，求出C取何值时，S≥4cm2 .
结束寄语
下课了!
只有不断的思考,才会 有新的发现;只有量的 变化,才会有质的进步.
∴x的值可取负数、零、正数
(2)为了计算和描点方便,x取整数.且以1为 间距取值,取有代表性的7对值
画函数y=x2的图象.
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y=x2 … 9 4 1 0 1 4 9 …
二次函数图像问题
1．已知反比例函数x k
y =
的图象如右图所示，则二次函数2
2
2k x kx y +-=的图象大致为（ ）
2．已知0≠a ，在同一直角坐标系中，函数ax y =与2ax y =的图象有可能是（ ）
3．某幢建筑物，从10米高的窗口A 用水管和向外喷水，喷的水流呈 抛物线（抛物线所在平面与墙面垂直，
（如图）如果抛物线的最高点M
离墙1米，离地面40
3
米，则水流下落点B 离墙距离OB 是（
）
（A ）2米 （B
）3米 （C ）4米
（D ）5米
4．函数2
+y ax b y ax bx c =
+=+与在同一直角坐标系内的图象大致是 （
）
5
．已知二次函数y ＝ax 2+bx+c(a≠0)的图象如图2所示，给出以下结论：① a+b+c
＜0；② a －b+c ＜0；③ b+2a ＜0；④ abc ＞0 .其中所有正确结论的序号是（ ）
A. ③④
B. ②③
C. ①④
D. ①②③
．
6．已知二次函数y ＝ax 2
＋bx ＋c 的图象如图3所示，则(
)
图3
A ．a ＞0，c ＞0，b 2－4ac ＜0
B ．a ＞0，c ＜0，b 2－4ac ＞0
C ．a ＜0，c ＞0，b 2－4ac ＜0
D ．a ＜0，c ＜0，b 2
－4ac ＞0
A ． A
B
C D。
图像法解二次函数问题例析
图像法解二次函数问题例析在解决二次函数相关问题时，大部分学生想不到用图像法来分析，图像法能让复杂的问题迎刃而解，从而收到事半功倍的效果，利用下面几个例题，体会一下二次函数图像的神奇功效，以飨读者：例1：已知抛物线y=x2-(a+2)x+9 (a为常数).(1)若该抛物线顶点在y轴上，求a值。
(2)若该抛物线顶点在x轴上，求a值。
(3)若该抛物线顶点在x轴上方，求a的取值范围。
(4)若该抛物线顶点在x轴下方，求a的取值范围。
（1）分析：因为抛物线的顶点在y轴上，开口向上，所以函数草图只能有如下画法：所以，我们发现：抛物线的对称轴一定是y轴，即：直线x=0，对称轴x=-b2a=-(2)2a-+=0，a=-2.(2) 分析：因为抛物线的顶点在x轴上，开口向上，所以函数草图只能有如下画法：我们发现：抛物线与x轴只有一个交点，所以△=0，即：b2-4ac=0,［-(a+2)］2-4×1×9=0,所以a1=4,a2=-8。
（3）分析：由于抛物线开口向上，顶点在x轴上方，其草图如图所示：于是有：抛物线与x轴没有交点，△＜0，△=b2-4ac=〔-（a+2）〕2-4×1×9<0,∴a的取值范围是-8＜a＜4.(4) 分析：由于抛物线开口向上，顶点在x轴下方，其草图如图所示：于是有：抛物线与x轴有两个交点，△＞0，△=b2-4ac=〔-（a+2）〕2-4×1×9＞0,∴a的取值范围是a＜-8或a＞4.例2：某二次函数图像经过点A（2,a）和点B（-4,a），则这个二次函数图像对称轴是直线。
分析：抛物线草图如图所示：因为：抛物线是轴对称图形，观察图像得：对称轴是直线x=422-+=-1，即x= -1.例3：已知抛物线y=x2-2x+c经过点A（-1，y1）和点B（2,y2），比较y1与y2的大小。
分析：根据解析式可得：对称轴为直线x=1，且开口向上，抛物线草图如图所示：观察图像得：y1 ＞y2.例4：若二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)图像如图所示，当x=2时，y的值是。
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二次函数双图像问题 猿题库
单选题
1. 已知抛物线（
）的顶点为，点
，
，
在该抛
物线上，当
恒成立时，
的最小值为（）。
A. B. C. D.
2. 如图，抛物线与轴交于点，，把抛物线在轴及其上方的部分记作
，将
向右平移
得
，
与轴交于点，，若与
共有个不同的交点，则的取值范围是（）。
A. B. C.
D.
3. 二次函数，当
且
时，的最小值为
，最大值为
，则
的值为
（）。
A.
B.
D.
C.
4.
5. 如图，垂直于轴的直线分别与抛物线
和抛物线
交于，两点，
过点作轴分别于轴和抛物线交于点，，过点作
轴分别与轴和抛物线
交于点
， ，则的值为（）。
A. B.
C.
D.
6. 已知抛物线与轴交于、两点，将这条抛物线的顶点记为，连接、，则
的值为（）。
A. B.
D.
C.
6. 如图，反比例函数
的图象经过二次函数
图象的顶点
（
），则有（）。
1
A.
B.
C.
D.
7. 一次函数（）、二次函数和反比例函数（）在同一直角坐标系中
的图象如图所示，点的坐标为，则下列结论中，正确的是（）。
A.
B.
C.
D.
8. 抛物线的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同
一坐标系内的图象大致是（）。
9. 已知直线与坐标轴分别交于点，，点在抛物线上，能使
为等腰三角形的点的个数有（）。
A. 个
B. 个
C. 个
D. 个
10. 如图，抛物线与交于点，过点作轴的平行线，分别交两条
抛物线于点，。
则以下结论：①无论取何值，的值总是正数；②；③当时，
；④；其中正确结论是（）。
2
A. ①②
B. ②③
C. ③④
D. ①④
11. 已知二次函数与轴只有一个交点，且图象过，两点，则、的关
系为（）。
A. B. C. D.
12. 给出下列命题及函数，和的图象：①如果，那么；②如果，
那么；③如果，那么；④如果时，那么。
则（）。
A. 正确的命题是①④
B. 错误的命题是②③④
C. 正确的命题是①②
D. 错误的命题只有③
13. 如图，已知点，为坐标原点，是线段上任意一点（不含端点，），过、两点的二次
函数和过、两点的二次函数的图象开口均向下，它们的顶点分别为、，射线与相交于点。
当时，这两个二次函数的最大值之和等于（）。
A.
B.
C.
D.
14. 如图，直线与轴交于点，与直线交于点，以为边向右作菱形，点恰
与原点重合，抛物线的顶点在直线上移动。
若抛物线与菱形的边、都
有公共点，则的取值范围是（）。
3
A.
B.
C.
D.
15. 如图，抛物线与双曲线的交点的横坐标是，则关于的不等式的解集是
（）。
A.
B.
C.
D.
16. 如图所示，抛物线（）与轴交于点、。
直线与此抛物线
交于点，与轴交于点，在直线上取点，使。
连接、、、。
某同学根据
图象写出下列结论：①；②当时，；③四边形是菱形；
④。
你认为其中正确的是（）。
A. ②③④
B. ①②④
C. ①③④
D. ①②③
17. 如图，在平面直角坐标系中，有两条位置确定的抛物线，它们的对称轴相同，则下列关系不正确的是
（）。
A.
B.
C.
D. ，
4
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18. 如图，抛物线与交于点，过点作轴的平行线，分别交两条
抛物线于两点，且分别为顶点．则下列结论：
①；②；③是等腰直角三角形；④当时，。
其中正确结论的个数是（）。
A. 个
B. 个
C. 个
D. 个
19. 如图，把抛物线沿直线平移个单位后，其顶点在直线上的处，则平移后的抛物线解析
式是（）。
A.
B.
C.
D.
20. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过平移得到抛物线，其对称轴与两段抛物线
所围成的阴影部分的面积为（）。
A.
B.
C.
D.
21. 如图，二次函数的图象过点。
它与反比例函数的图象交于点则这
个二次函数的解析式为（）。
5。