概率论与数理统计自测题一
P( A B)
P( A B) P( B) P( AB ) 27 。 P( B) P( A) P( B A) P( A) P( B A) 28
5.甲袋中有两个白球，四个黑球，乙袋中有四个白球，两个黑球.现在掷一均匀硬币，若得正面就从甲 袋中连续摸 n 次球（取后放回） ，若得反面就从乙袋中摸 n 次.若已知摸到的 n 个球全是白球.求这些球是从 甲袋中取出的概率。 【解】设 A （硬币掷得正面）＝（甲袋中连续摸 ｎ 次球） ， B （摸到的 ｎ 个球全是白球） ， 由贝叶斯公式，
第一单元自测题及参考答案
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《概率论与数理统计》
自测题
《概率论与数理统计》第一单元自测题参考答案
一、填空题 1.概率 P ( A) 是刻划 一次试验随机事件 A 发生的可能性大小_的指标。 2.实际推断原理的内容是 一次试验小概率事件一般不会发生。 3.设 A, B, C 分别代表甲，乙，丙命中目标，则 ABC 表示 甲、乙、丙至少一人没命中目标 。 4.将红、黄、蓝 3 个球随机的放入 4 个盒子中，若每个盒子的容球数不限，则有三个盒子各放一个球 的概率是
（B）当 A 发生时，B 和 C 必定都不发生； （D）当 B 或 C 至少有一个不发生时，A 必定发生。 ） 。
（A） A B ； （B） B A ； （C） P ( B A) 0 ； （D） P ( AB) P( B) 。 4.设 0 P( A) 1, 0 P ( B) 1 ，且 P ( A B ) P( A B ) 1 ，则（ （A）A、B 互斥； （B）A、B 独立； （C）A、B 不独立； ） 。
四、计算题（共计 50 分） 1. （10 分）设事件 A , B 满足 P ( A) 0.6, P( B) 0.5, P( AB ) 0.2 ，求 P ( A B ), P ( B A) 。 2. （5 分）已知事件 A , B 满足 P ( AB ) P( AB ) ，且 P ( A) p ，求 P ( B ) 。 3. （5 分）10 个运动队平均分成两组预赛，计算最强的两个队被分在同一组内的概率。 4. （10 分）某医院用某种新药医治流感，对病人进行试验，其中 3 的病人服此药， 1 的病人不服此药， 4 4 五天后有 70%的病人痊愈.已知不服药的病人五天后有 10%可以自愈。 （1）求该药的治愈率； （2）若某病人五天后痊愈，求他是服此药而痊愈的概率。 5. （10 分）甲袋中有两个白球，四个黑球，乙袋中有四个白球，两个黑球.现在掷一均匀硬币，若得 正面就从甲袋中连续摸 n 次球（取后放回） ，若得反面就从乙袋中摸 n 次.若已知摸到的 n 个球全是白球.求 这些球是从甲袋中取出的概率。 6. （10 分）12 个乒乓球中 3 个旧的，9 个新的.第一次比赛时取出三个用完后放回，第二次比赛时又 取出三个.求第二次取出的三个中有两个新球的概率。 五、证明题（共 10 分） 几何概型的样本空间 S 与随机事件 A, B 如图所示，试证 A, B 相互独立。
2.设事件 A , B , C 满足关系式 ABC A ，则关系式的意义是( A )。 （A）当 A 发生时，B 或 C 至少有一个不发生； （C）当 B 和 C 都不发生时，A 必定发生； （B）当 A 发生时，B 和 C 必定都不发生； （D）当 B 或 C 至少有一个不发生时，A 必定发生.
。 5.设 A , B, C 是三个相互独立的事件，且 0 P(C ) 1 ，则下列四对事件中，不独立的是（ B ） （A） A B 与 C ； （B） AC 与 C ； （C） A B 与 C ； （D） AB 与 C 。 三、判断题 1.（ ）从一批产品中随机抽取 100 件，发现 5 件次品，则该批产品的次品率为 5%。 2.（ √ ）若事件 A , B 为对立事件，则 A 与 B 互斥，反之不真。
(A) A1 A2 ； （B） A1 A2 A1 A2 ； （C） A1 A2 ； （D） A1 A2 。 2.设事件 A , B , C 满足关系式 ABC A ，则关系式的意义是( （A）当 A 发生时，B 或 C 至少有一个不发生； （C）当 B 和 C 都不发生时，A 必定发生； 3.设事件 A , B 满足 P ( A B ) 1 ，则（ )。
5
1 种分法，其中最强的两个队被分在同一组内 2
的分法共有 C8 ，利用古典概型概率元自测题及参考答案
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自测题
p
C83
5 C10
1 2
。
4.某医院用某种新药医治流感，对病人进行试验，其中
3 1 的病人服此药， 的病人不服此药，五天后 4 4
（D）A 与 B 互逆。 ） 。
5.设 A , B, C 是三个相互独立的事件，且 0 P(C ) 1 ，则下列四对事件中，不独立的是（ （A） A B 与 C ； （B） AC 与 C ； （C） A B 与 C ； （D） AB 与 C 。 三、判断题（每小题 2 分，共计 20 分） 1.（ 2.（ 3.（ ）从一批产品中随机抽取 100 件，发现 5 件次品，则该批产品的次品率为 5%。 ）若事件 A , B 为对立事件，则 A 与 B 互斥，反之不真。 ）对于事件 A , B ，若 P ( AB) 0 ，则 A 与 B 互斥。
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第一单元自测题及参考答案
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4.（ 5.（ 6.（ 7.（ 8.（ 9.（ 10． （
）在古典概型的随机试验中， P( A) 0 当且仅当 A 是不可能事件。 ）若 0 P ( B ) 1 且 P ( A) P ( A | B) ，则 P ( A) P ( A | B ) 。 ）设 A 与 B 是两个概率不为零的互不相容事件，则 P ( AB) P( A) P( B) 。 ）对于事件 A, B, C ，若 P ( ABC ) P( A) P ( B ) P (C ) ，则 P ( AB) P( A) P( B) 。 ）设随机事件 A 分别与随机事件 B, C 独立，则 A 也与事件 B C 独立。 ）设随机事件 A, B, C 相互独立，则 A 与 B C 相互独立。 ）设事件 A, B 的概率均大于 0，若 A 与 B 相互独立，则它们一定互不相容。
P ( A B ) P( A) P( B ) P( AB ) 0.6 0.5 0.3 0.8 ，
依条件概率的定义，
P ( B A)
P ( BA) P( A) P ( AB ) 0.2 0.5 。 P ( A) P ( A) 0.4
2.已知事件 A , B 满足 P ( AB ) P( AB ) ，且 P ( A) p ，求 P ( B ) 。 【解】依题设，利用德莫根律及概率的性质，
3 C4 3! 。 3 4
5.设 A , B 为随机事件，已知 P ( A) 0.7, P( B) 0.5, P( A B) 0.3 ，则 P( AB) 0.4；
P ( B A) 0.1。
二、选择题 1.某学生参加两门外语考试，设事件 Ai ={第 i 门外语考试通过} ( i =1,2)，则事件{两门外语考试至少 有一门没通过}可以表示为( D )。 (A) A1 A2 ； （B） A1 A2 A1 A2 ； （C） A1 A2 ； （D） A1 A2
1 1 n ( ) ( ) ( ) P A P B A 1 P( AB) 2 3 P( A B) 。 n 1 1 1 2 P( B) P( A) P( B A) P( A) P( B A) 1 2 n n ( ) ( ) 2 3 2 3
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《概率论与数理统计》第一单元自测题
时间：120 分钟，卷面分值：100 分 一、填空题（每小题 2 分，共计 10 分） 1.概率 P( A) 是刻划____________________ 2.实际推断原理的内容是 3.设 A, B, C 分别代表甲，乙，丙命中目标，则 ABC 表示 ___的指标。 。 。
4.将红、黄、蓝 3 个球随机的放入 4 个盒子中，若每个盒子的容球数不限，则有三个盒子各放一个球 的概率是 。 ，
5.设 A , B 为随机事件，已知 P ( A) 0.7, P( B) 0.5, P( A B) 0.3 ，则 P( AB)
P ( B A)
。
二、选择题（每小题 2 分，共计 10 分） 1.某学生参加两门外语考试，设事件 Ai ={第 i 门外语考试通过} ( i =1,2)，则事件{两门外语考试至少 有一门没通过}可以表示为( )。
有 70%的病人痊愈.已知不服药的病人五天后有 10%可以自愈， （1）求该药的治愈率； （2）若某病人五天后痊愈，求他是服此药而痊愈的概率。 【解】 （1）设 A （服药） ， B （五天后病人痊愈） ，由全概率公式，
3 1 P ( B ) P( A) P( B A) P( A) P( B A) P( B A) 0.1 0.7 ， 4 4
3.设事件 A , B 满足 P ( A B ) 1 ，则（ D ） 。 （A） A B ； （B） B A ； （C） P ( B A) 0 ； （D） P ( AB) P( B) 。 4.设 0 P( A) 1, 0 P ( B) 1 ，且 P ( A B ) P( A B ) 1 ，则（ B ） 。 （A）A、B 互斥； （B）A、B 独立； （C）A、B 不独立； （D）A 与 B 互逆。
第一单元自测题及参考答案
概率论与数理统计练习题(含答案)
第一章 随机事件及其概率练习： 1. 判断正误（1）必然事件在一次试验中一定发生，小概率事件在一次试验中一定不发生。
（B ）（2）事件的发生与否取决于它所包含的全部样本点是否同时出现。
（B ）（3）事件的对立与互不相容是等价的。
（B ） （4）若()0,P A = 则A =∅。
（B ）（5）()0.4,()0.5,()0.2P A P B P AB ===若则。
（B ） （6）A,B,C 三个事件至少发生两个可表示为AB BC AC ⋃⋃（A ） （7）考察有两个孩子的家庭孩子的性别，{()Ω=两个男孩（，两个女孩),(一个男孩，}一个女孩)，则P{}1=3两个女孩。
（B ）（8）若P(A)P(B)≤，则⊂A B 。
（B ） （9）n 个事件若满足,,()()()i j i j i j P A A P A P A ∀=，则n 个事件相互独立。
（B ）（10）只有当A B ⊂时，有P(B-A)=P(B)-P(A)。
（A ） 2. 选择题（1）设A, B 两事件满足P(AB)=0，则©A. A 与B 互斥B. AB 是不可能事件C. AB 未必是不可能事件D. P(A)=0 或 P(B)=0 （2）设A, B 为两事件，则P(A-B)等于(C)A. P(A)-P(B)B. P(A)-P(B)+P(AB)C. P(A)-P(AB)D. P(A)+P(B)-P(AB) （3）以A 表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对立事件A 为(D)A. “甲种产品滞销，乙种产品畅销”B. “甲乙两种产品均畅销”C. “甲种产品滞销”D. “甲种产品滞销或乙种产品畅销”（4）若A, B 为两随机事件，且B A ⊂，则下列式子正确的是(A) A. P(A ∪B)=P(A) B. P(AB)=P(A) C. P(B|A)=P(B) D. P(B-A)=P(B)-P(A) （5）设(),(),()P A B a P A b P B c ⋃===，则()P AB 等于(B)A. ()a c c + B . 1a c +-C.a b c +- D. (1)b c -（6）假设事件A 和B 满足P(B|A)=1, 则(B)A. A 是必然事件 B . (|)0P B A = C. A B ⊃ D. A B ⊂ （7）设0<P(A)<1，0<P(B)<1, (|)(|)1P A B P A B += 则(D)A. 事件A, B 互不相容B. 事件A 和B 互相对立C. 事件A, B 互不独立 D . 事件A, B 互相独立8.,,.,,.D ,,.,,.,,1419.(),(),(),(),()37514131433.,.,.,.,37351535105A B A AB A B B AB A B C AB A B D AB A B P B A P B A P AB P A P B A B C φφφφ≠=≠====对于任意两个事件必有（C ）若则一定独立；若则一定独立；若则有可能独立；若则一定不独立；已知则的值分别为：(D)三解答题1.(),(),(),(),(),(),().P A p P B q P AB r P A B P AB P A B P AB ===设求下列事件的概率：解：由德摩根律有____()()1()1;P A B P AB P AB r ⋃==-=-()()()();P AB P B AB P B P AB q r =-=-=-()()()()(1)()1;P A B P A P B P AB p q q r r p ⋃=+-=-+--=+-________()()1[()()()]1().P AB P A B P A P B P AB p q r =⋃=-+-=-+-2.甲乙两人独立地对同一目标射击一次，命中率分别是0.6和0.5，现已知目标被命中，求它是甲射击命中的概率。
概率统计练习1
概率论与数理统计练习（一）注意：以下是可能用到的分位点以及标准正态分布的分布函数值：1. A 、B 、C 是三个随机事件，且A 与B 相互独立，A 与C 互不相容。
已知P( A ) = 0.2，P( B ) = 0.6，P( B | C ) = 0.5，P( BC ) = 0.4。
请计算以下事件的概率：P(A ) = ， P( AB ) = ， P( AC ) = ，P( C ) = ， P( A+B ) = ， P( C | B ) = 。
2. 假设有某种彩票叫“10选2”，每周一期。
其规则是从1到10的10个自然数中不重复地任意选2个数组成一注，每注1元。
如果所选的2个数与本期出奖的结果（也是从1到10中不重复选出的2个自然数）完全相同，则中奖，奖额为40元。
则购买一注彩票能中奖的概率是 。
引进随机变量X ，如果买1注彩票中奖了则令X 等于1，否则令X 等于0，那么X 服从 分布，X 的数学期望等于 。
3. 已知某对夫妇有三个小孩，但不知道他们的具体性别。
设他们有Y 个儿子，如果生男孩的概率为0.5，则Y 服从 分布。
这对夫妇恰好有一个儿子的概率是 。
他们的孩子的男女性别比例最可能是 。
4. 假设东莞市公安机关每天接到的110报警电话次数可以用泊松(Poisson)分布)100(π来描述。
则东莞市公安机关在某一天没有接到一个110报警电话的概率为 。
东莞市公安机关平均每天接到的110报警电话次数为 次。
5. 指数分布又称为寿命分布，经常用来描述电子器件的寿命。
设某款电器的寿命（单位：小时）的密度函数为⎩⎨⎧>=-其它,00 ,001.0)(001.0t e t f t则这种电器没有用到500小时就坏掉的概率为 ，这种电器的平均寿命为 小时。
6. 根据世界卫生组织的数据，全球新生婴儿的平均身长为50厘米，身长的标准差估计为2.5厘米。
设新生婴儿的身长服从正态分布，则全球范围内大约有 %新生婴儿身长超过53厘米，有 %新生婴儿身长不足48厘米，身长在49厘米到51厘米之间的新生婴儿大约占 %。
概率论与数理统计第一章测试题
第一章 随机事件和概率一、选择题1. 设A, B, C 为任意三个事件, 则与A 一定互不相容的事件为（A ）C B A ⋃⋃ （B ）C A B A ⋃ （C ） ABC （D ）)(C B A ⋃2.对于任意二事件A 和B, 与 不等价的是（A ）B A ⊂ （B ）A ⊂B （C ）φ=B A （D ）φ=B A3. 设 、 是任意两个事件, , , 则下列不等式中成立的是（ ）.A ()()P A P A B < .B ()()P A P A B ≤.C ()()P A P A B > .D ()()P A P A B ≥4. 设 , , , 则（ ）.A 事件A 与B 互不相容 .B 事件A 与B 相互独立.C 事件A 与B 相互对立 .D 事件A 与B 互不独立5. 设随机事件 与 互不相容, 且 , 则 与 中恰有一个发生的概率等于（ ）.A p q + .B p q pq +-.C ()()11p q -- .D ()()11p q q p -+-6. 对于任意两事件 与 , （ ）.A ()()P A P B - .B ()()()P A P B P AB -+.C ()()P A P AB - .D ()()()P A P A P AB +- 7. 若 、 互斥, 且 , 则下列式子成立的是（ ）.A ()()P A B P A = .B ()0P B A >.C ()()()P AB P A P B = .D ()0P B A =8. 设 , 则下列结论中正确的是（ ）.A 事件A 、B 互不相容 .B 事件A 、B 互逆.C 事件A 、B 相互独立 .D A B ⊃9. 设 、 互不相容, , 则下列结论肯定正确的是（ ）.A A 与B 互不相容 .B ()0P B A >.C ()()()P AB P A P B = .D ()()P A B P A -=10. 设 、 、 为三个事件, 已知 , 则 （ ）.A 0.3 .B 0.24 .C 0.5 .D 0.2111. 设A, B 是两个随机事件, 且0<P(A)<1, P(B)>0, , 则必有（A ）)|()|(B A P B A P = （B ）)|()|(B A P B A P ≠（C ）)()()(B P A P AB P = （D ）)()()(B P A P AB P ≠12. 随机事件A, B, 满足 和 , 则有（A ）Ω=⋃B A （B ）φ=AB （C ） 1)(=⋃B A P （D ）0)(=-B A P13. 设随机事件A 与B 互不相容, , , 则下面结论一定成立的是（A ）A, B 为对立事件 （B ） , 互不相容 （C ） A, B 不独立 （D ）A, B 独立14．对于事件A 和B, 设 , P(B)>0, 则下列各式正确的是（A ）)()|(B P A B P = （B ）)()|(A P B A P = （C ） )()(B P B A P =+ （D ）)()(A P B A P =+15. 设事件A 与B 同时发生时, 事件C 必发生, 则（A ）1)()()(-+≤B P A P C P （B ）1)()()(-+≥B P A P C P（C ） )()(AB P C P = （D ）)()(B A P C P ⋃=16. 设A,B,C 是三个相互独立的随机事件, 且0<P(C)<1。
概率论与数理统计自测试卷及答案
概率论与数理统计自测试卷一一、填空题（每题3分，共15分）1、已知随机变量X 服从参数为2的泊松（Poisson ）分布，且随机变量22-=X Z ，则()=Z E ____________．2、设A 、B 是随机事件，()7.0=A P ，()3.0=-B A P ，则()=AB P3、设二维随机变量()Y X ,的分布列为若X 与Y 相互独立，则βα、的值分别为 。
4、设 ()()()4, 1, ,0.6D X D Y R X Y ===，则 ()D X Y -=___ _5、设12,,,n X X X 是取自总体),(2σμN 的样本，则统计量2211()ni i X μσ=-∑服从__________分布.二、选择题（每题3分，共15分）1. 一盒产品中有a 只正品，b 只次品，有放回地任取两次，第二次取到正品的概率为 【 】 (A)11a ab -+-； (B) (1)()(1)a a a b a b -++-； (C) a a b +； (D) 2a ab ⎛⎫ ⎪+⎝⎭. 2、设事件A 与B 互不相容，且()0≠A P ，()0≠B P ，则下面结论正确的是【 】(A) A 与B 互不相容; (B)()0>A B P ; (C) ()()()B P A P AB P =; (D)()()A P B A P =.3、设两个相互独立的随机变量X 与Y 分别服从正态分布()1,0N 和()1,1N ，则【 】(A)()210=≤+Y X P ； (B) ()211=≤+Y X P ； (C)()210=≤-Y X P ； (D)()211=≤-Y X P 。
4、 如果Y X ,满足()Y X D Y X D -=+)(，则必有【 】（A ）X 与Y 独立；（B ）X 与Y 不相关；（C ）0=DY ；（D ）0=DX5、设相互独立的两个随机变量X 与Y 具有同一分布律，且X 的分布律为YX1 2 31 61 91 181 231α β则随机变量()Y X Z ,max =的分布律为【 】(A)()()211,210====z P z P ； (B) ()()01,10====z P z P ； (C) ()()431,410====z P z P ；(D) ()()411,430====z P z P 。
概率论与数理统计测试题及答案
概率论与数理统计测试题一、填空题(每小题3分，共15分)1．将3个小球随机地放到3个盒子中去，每个盒子都有1个小球的概率为__________. 2．设A ，B 是两事件，()1/4,(|)1/3P A P B A ==，则()P AB =__________.3．掷两颗骰子，已知两颗骰子点数之和是5，则其中有一颗是1点的概率是__________.4．设随机变量X 的分布函数为0,1()ln ,11,x F x x x e x e <⎧⎪=≤<⎨⎪≥⎩，则X 的概率密度为__________.5．设总体X~U[0，1]，123,,X X X 是其一个样本，则123{max(,,)1/2}P X X X <=__________. 二、单项选择题（每小题3分，共15分）1．设两事件A 与B 互不相容，且P(A)>0，P(B)>0，则( )正确. （A ）A B 与互不相容; （B ）()()()P AB P A P B =; （C ）()()()P AB P A P B =; （D ）()().P A B P A -=2．一种零件的加工由两道工序完成，第一道工序、第二道工序的废品率分别为p ，q ，设两道工序的工作是独立的，则该零件的合格品率是 ( )（A ）1p q --；(B) 1pq -； (C) 1p q pq --+；(D) (1)(1)p q -+-. 3．设~(),X t n 则2X 服从 ( )分布 (A)2()n χ； （B ）(1,)F n ； （C ）(,1)F n ； （D ）(1,1)F n -.4．设随机变量X 与Y 的协方差(,)0,Cov X Y =则下列结论正确的是 ( ) (A) X 与Y 独立； （B ）()()()D X Y D X D Y +=+; （C ）()()()D X Y D X D Y -=-； (D) ()()()D XY D X D Y =5.设12,,,n X X X 为来自正态总体2(,)N μσ的一个样本，2211,(())1ni i X S X X n ==--∑分别为样本均值和样本方差，则下面结论中不正确的是 ( ) (A)2~(,);X N nσμ(B)22();E S σ=(C)22();1nE S n σ=- (D)222(1)/~(1).n S n σχ--三、解答题（6个小题，共60分） 1．（10分）设一仓库中有10箱同样规格产品，其中由甲、乙、丙三厂生产的分别为5箱、3箱、2箱，三厂产品的废品率依次为0.1、0.2、0.3，从这10箱产品中任取一箱，再从该箱中任取一件产品.(1)求取到的产品为废品的概率；(2)若已知取到的产品为废品，求该废品是由甲厂生产的概率. 2．（10分）对一批次品率为0.1的产品进行重复抽样检查，现抽取3件产品，以X 表示抽取的3件产品中次品的件数，试求（1）X 的分布律；（2）至少有一件是次品的概率. 3．（12分）设连续型随机变量X 的概率密度为sin ,0()0,a x x f x π<<⎧=⎨⎩，其它求：（1）系数a ; (2) 分布函数();(3){/4/2}F x P X ππ<<. 4．（8分）设二维随机变量(,)X Y 的分布律为求X 与Y 的协方差Cov （X ，Y ）及P{X +Y ≥1}. 5．（10分）设随机变量(X,Y)的概率密度为6,01(,)0,y y x f x y <<<⎧=⎨⎩其它 （1）试求关于X 及Y 的边缘概率密度；（2）判断X 与Y 是否相互独立，并说明理由.6．（10分）设总体X 的概率密度为(1),01(;)0,x x f x θθθ⎧+<<=⎨⎩其它，其中(1)θθ>-是未知参数，12,,,n X X X 是X 的样本，求参数θ 的矩估计量与最大似然估计量.四、证明题（2个小题，共10分）1． （5分）设随机变量X ～N （0，1），证明随机变量(0)Y X σμσ=+>～2(,)N μσ.2．（5分）设4321,,,X X X X 是来自总体N(μ,2σ)的样本，证明2212342()()2X X X X Y σ-+-= 服从2χ分布，并写出自由度. 一、填空题(每小题3分，共15分)1．2/9；2．1/12；3．1/2；4． 1/,1()0,x x ef x <<⎧=⎨⎩其它；5．1/8.二、单项选择题（每小题3分，共15分）1．（D ）2． (C)；3．（B ）；4．（B ）；5. (C). 三、解答题（6个小题，共60分）1．（10分）解： 123,,A A A 分别表示取得产品是甲、乙、丙厂生产的，B 表示取出的产品为废品，P(A 1)=0.5，P(A 2)=0.3，P(A 3)=0.2，P(B|A 1)=0.1，P(B|A 2)=0.2，P(B|A 3)=0.3 (3)分(1) P(B)=P(A 1)P(B|A 1)+P(A 2)P(B|A 2)+P(A 3)P(B|A 3) (5)分=0.5⨯0.1+0.3⨯0.2+0.2⨯0.3=0.17 (7)分(2)111()(|)0.50.15(|)0.29()0.1717P A P B A P A B P B ⨯==== (1)0分2．（10分）解：(1) X ～b(3，0.1)， 33{}0.10.9(0,1,2,3)k k k P X k C k -=== (3)分………7分(2)P{X ≥1}=1－P{X=0}=0.271 ………10分 3．（12分）解：（1）01sin 1;2a xdx a π=⇒=⎰………3分（2）()()xF x f t dt -∞=⎰ (6)分00,01sin ,02x x tdt x x ππ≤⎧⎪⎪=<≤⎨⎪>⎪⎩⎰1,0,01cos ,02x x x x ππ≤⎧⎪-⎪=<≤⎨⎪>⎪⎩1, ………10分241(3){/4/2}sin 2P X xdx ππππ<<==⎰ (12)分4．（8分）解： E （X ）＝0.5，E （Y ）＝0.3，E （XY ）＝0.1 (4)分Cov （X ，Y ）＝E （XY ）－E （X ）E （Y ）＝－0.05 (6)分P{X +Y ≥1}=0.2＋0.4＋0.1=0.7 ………8分5．（10分）解： （1）()(,)X f x f x y dy ∞-∞=⎰06,010,xydy x ⎧<<⎪=⎨⎪⎩⎰其它23,010,x x ⎧<<=⎨⎩其它 ………4分 ()(,)Y f y f x y dx ∞-∞=⎰16,010,y ydx y ⎧<<⎪=⎨⎪⎩⎰其它6(1),010,y y y -<<⎧=⎨⎩其它 ………8分 （2）X 与Y 不相互独立，因为(,)()()X Y f x y f x f y ≠ ………10分 6．（10分）解 （1）矩估计量1101()(1)2E X x x dx θθμθθ+==⋅+=+⎰ ………3分 11121μθμ-⇒=-12ˆ1X X θ-⇒=- ………5分 (2) 最大似然估计量 对于给定样本值12,,,,n x x x 似然函数为11()(;)(1)nni i i i L f x x θθθθ====+∏∏12(1)(),01n n i x x x x θθ=+<< ………7分1()ln(1)ln ni i lnL n x θθθ==++∑，1()ln 01ni i d nlnL x d θθθ==+=+∑ ………8分11ln ˆln nii nii n x xθ==+⇒=-∑∑，最大似然估计量为11ln ˆln nii nii n X Xθ==+=-∑∑ ………10分四、证明题（2个小题，共10分）1．证明 ：X的概率密度为22(),x X f x -= ………1分函数,0,(,)y x y y σμσ'=+=>∈-∞∞，1(),(),y x h y h y μσσ-'===………3分2()22()[()]|()|~(,).y u Y X f y f h y h y Y N σμσ--'==⇒ ………5分2．证明：212~(0,2)~(0,1),X X N N σ-⇒~(0,1),N ………2分 两者独立 ………4分因此 22212342()()~(2)2X X X X Y χσ-+-= ………5分。
概率论与数理统计练习册题目
第一章 概率论的基本概念习题一 随机试验、随机事件一、判断题1.()A B B A =⋃- （ ）2.C B A C B A =⋃ （ ）3.()φ=B A AB （ ）4.若C B C A ⋃=⋃，则B A = （ ）5.若B A ⊂，则AB A = （ ）6.若A C AB ⊂=,φ,则φ=BC （ ）7.袋中有1个白球，3个红球，今随机取出3个，则（1）事件“含有红球”为必然事件； （ ）（2）事件“不含白球”为不可能事件； （ ）（3）事件“含有白球”为随机事件； （ ）8.互斥事件必为互逆事件 （ ）二、填空题1. 一次掷两颗骰子，（1）若观察两颗骰子各自出现的点数搭配情况，这个随机试验的样本空间为 ；（2）若观察两颗骰子的点数之和，则这个随机试验的样本空间为 。
2.化简事件()()()=⋃⋃⋃B A B A B A 。
3.设A,B,C 为三事件，用A,B,C 交并补关系表示下列事件：（1）A 不发生，B 与C 都发生可表示为 ；（2）A 与B 都不发生，而C 发生可表示为 ；（3）A 发生，但B 与C 可能发生也可能不发生可表示为 ；（4）A,B,C 都发生或不发生可表示为 ；（5）A,B,C 中至少有一个发生可表示为 ；（6）A,B,C 中至多有一个发生可表示为 ；（7）A,B,C 中恰有一个发生可表示为 ；（8）A,B,C 中至少有两个发生可表示为 ；（9）A,B,C 中至多有两个发生可表示为 ；（10）A,B,C 中恰有两个发生可表示为 ；三、选择题1.对飞机进行两次射击，每次射一弹，设A 表示“恰有一弹击中飞机”，B 表示“至少有一弹击中飞机”，C 表示“两弹都击中飞机”，D 表示“两弹都没击中飞机”，则下列说法中错误的是（ ）。
A 、A 与D 是互不相容的B 、A 与C 是相容的C 、B 与C 是相容的D 、B 与D 是相互对应的事件2.下列关系中能导出“A 发生则B 与C 同时发生”的有（ ）A 、A ABC =；B 、AC B A =⋃⋃； C 、A BC ⊂ ；D 、C B A ⊂⊂四、写出下列随机试验的样本空间1.记录一个小班一次数学考试的平均分数（设以百分制记分）；2.一个口袋中有5个外形相同的球，编号分别为1、2、3、4、5，从中同时取出3个球；3.某人射击一个目标，若击中目标，射击就停止，记录射击的次数。
概率复习题自测题解答
概率论与数理统计练习册 复习题和自测题解答第一章 复习题1、一个工人生产了n 个零件，以事件i A 表示他生产的第i 个零件是正品（i ＝1，2，3，……，n ），用i A 表示下列事件： （1） 没有一个零件是次品； （2） 至少有一个零件是次品； （3） 仅仅只有一个零件是次品； （4） 至少有两个零件是次品。
解：1）1ni i A A ==2）1ni i A =3）11nn i j i j j i B A A ==≠⎡⎤⎛⎫⎢⎥ ⎪=⎢⎥⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦4）A B2、任意两个正整数，求它们的和为偶数的概率。
解：{}(S =奇，奇），(奇，偶），（偶，奇），（偶，偶） 12P ∴=3、从数1，2，3，……，n 中任意取两数，求所取两数之和为偶数的概率。
解：i A －第i 次取到奇数（i ＝1，2）；A －两次的和为偶数1212()()P A P A A A A =当n 为奇数时：11111112222()112n n n n n P A n n nn n----+--=⋅+⋅=--当n 为偶数时：1122222()112(1)nnn nn P A n n n n n ---=⋅+⋅=---4、在正方形{(,)|1,1}p q p q ≤≤中任意取一点(,)p q ，求使方程20x px q ++=有两个实根的概率。
解： 21411136xS dx dy --==⎰⎰13136424p ∴==5、盒中放有5个乒乓球，其中4个是新的，第一次比赛时从盒中任意取2个球去用，比赛后放回盒中，第二次比赛时再从盒中任意取2个球，求第二次比赛时取出的2个球都是新球的概率。
解：i A －第一次比赛时拿到i 只新球（i ＝1，2）B －第二次比赛时拿到2只新球1）()()1122()()|()|P B P A P B A P A P B A =⋅+⋅2122344222225555950C C C C C C C C =⨯+⨯=6、两台机床加工同样的零件，第一台加工的零件比第二台多一倍，而它们生产的废品率分别为0.03与0.02，现把加工出来的零件放在一起 （1）求从中任意取一件而得到合格品的概率；（2）如果任意取一件得到的是废品，求它是第一台机床所加工的概率。
概率论与数理统计自测题1
。
5
44
43 1
13 4
14
A. ( 5 )
B. ( ) ⋅ 55
C. ( ) ⋅ 55
D. ( ) 5
2.设随机变量 X 服从指数分布，且 DX = 0.25 则 X 的概率密度为
。
-1-
−2 x
(A)
⎧2e , x>0 ⎨
⎩0 , x≥0
⎧ −1 x
(B)
⎪ ⎨
1 2
e
2
,
x>0
⎪
⎩0 , x ≥ 0
(C)
⎧
− 4x
4e
,
x>0
⎨
⎧1
1 −
x
(D)
⎪ e 4 , x>0 ⎨4
⎩0 , x≥0
⎪
⎩0 , x≥0
3.
设随机变量 X
的数学期望
EX
= −2
，方差
DX
=
1
，则
E
(3
2
X
− 2) =
。
(A)12 (B) 13 (C) 14
(D) 15
2
4. 设 E (X ) = µ ，D( X ) = σ ，其中 µ，σ > 0 为常数，则对于任意常数c ，
。
3. 有5个人在一座8层大楼的第一层进入电梯。设他们中的每一个人自第二层开始
在每一层离开是等可能的，则5个人在不同层次离开的概率为
。
1
X−µ
4. 设随机变量 X 服从 N ( µ, ) ，则
∼
。
2
1
2
5. 设连续型随机变量 X 的概率密度
⎧
f ( x)
⎪ cos x =⎨
(完整版)概率论与数理统计试题库
《概率论与数理统计》试题(1)判断题(本题共15分，每小题3分。
正确打“V” ，错误打“X” )⑴对任意事件A和B ,必有P(AB)=P(A)P(B) ()⑵ 设A、B是Q中的随机事件,则(A U B)-B=A ()⑶ 若X服从参数为入的普哇松分布，则EX=DX⑷假设检验基本思想的依据是小概率事件原理1 n _⑸ 样本方差S：= —(X i X )2是母体方差DX的无偏估计(n i i、(20分)设A、B、C是Q中的随机事件，将下列事件用A、B、C表示出来(1) 仅A发生，B、C都不发生;(2) 代B,C中至少有两个发生；(3) 代B,C中不多于两个发生;(4) 代B,C中恰有两个发生；(5) 代B,C中至多有一个发生。
三、(15分)把长为a的棒任意折成三段，求它们可以构成三角形的概率四、(10分)已知离散型随机变量X的分布列为X 2 1 0 1 31 1 1 1 11P5 6 5 15 302 求Y X的分布列.1五、(10分)设随机变量X具有密度函数f(x) -e|x|, V x V2求X的数学期望和方差•六、(15分)某保险公司多年的资料表明，在索赔户中，被盗索赔户占20%，以随机抽查100个索赔户中因被盗而向保险公司索赔的户数，求P(14 X 30).七、(15分)设X1 ,X2,L ,X n是来自几何分布k 1P(X k) p(1 p) , k 1,2,L , 0 p 1 ,的样本，试求未知参数p的极大似然估计•X表示在x 0 0.5 1 1.5 2①(x ) 0.500 0.691 0.841 0.933 0.9772.5 30.994 0.999《概率论与数理统计》试题（1）评分标准⑴ X;（2） X;⑶“；⑷"；（5） X o 解(1) ABC(2)ABU AC U BC 或 ABC U ABC U ABC U ABC ；(3) AUBUC 或 ABC U ABC U ABC U ABC U ABC U ABC U ABC ； (4) ABC U ABC U ABC ；(5) AB U AC U BC 或 ABC U ABC U ABC U ABC六解X “ P(14 ^b(k;100,0.20), EX=100 X 0.2=20, DX=100 X 0.2 X 0.8=16.-- --5分 分 30 20 14 20、 X 30) ( --------- )( --------------- ) ------------------ V16 J16 ------10(2.5) ( 1.5)=0.994+0.933—10.927. -------------------------------------n——15分七解n x nL(X 1, L ,x n ；p)p(1 p)x i1 p n(1 p)i1---------5分 -------------------------------------- 10 分每小题4分；解 设A '三段可构成三角形'又三段的长分别为x,y,a x y ,Oxa, 0 ya, Oxy a ，不等式构成平面域S .Aa A 发生 0 x —, 02不等式确定S 的子域A , 所以a a y , x y a2 2------------------------------------ 10A 的面积 1S 的面积 4---------------------------------------- 15则 分分分四 解Y 的分布列为Y 0 1 4 91 7 1 11P — ----- — —5 30 5 30Y 的取值正确得2分， 分布列对一组得 2分； 五 解 EXx 2 凶 dx 0, （因为被积函数为奇函数）2D X EX 22 x 1 |x| 1 —e dx x 2e x dx22 xx e0 2 xe x dx 0------------------------- 4 分 2[ xe x 0e x dx] 2.In L n In p d In L n dp p (X i n )l n(1 p),i 1 X i n @0, --------------------------- 10 分 解似然方程 n n X in i 1 得p 的极大似然估计 ------------------------------------------------------------------- 15 分 《概率论与数理统计》期末试题(2) 与解答一、填空题(每小题 3分，共15分) 1. 设事件 代B 仅发生一个的概率为 0.3，且P(A) P(B) 0.5，则 代B 至少有一个不发 生的概率为 ___________ . 2. __________________________________________________________________________ 设随机变量X 服从泊松分布，且P(X 1) 4P(X 2)，则P(X 3) _______________________ . 23. _______________________ 设随机变量X 在区间(0,2)上服从均匀分布，则随机变量Y X 在区间(0,4)内的概率 密度为f Y (y) . 的指数分布，P(X 1) e 2，则4. 设随机变量 X,Y 相互独立，且均服从参数为5._______ , P{min( X ,Y) 1} = ____ 设总体X 的概率密度为 (1)x , 0 x 1, f (x)0, 其它 1.X 1 ,X 2, ,X n 是来自X 的样本，则未知参数 的极大似然估计量为 ___________解：1. P(AB AB) 0.3即 0.3 P(AB) P(AB) P(A) P(AB) P(B) P(AB) 0.5 2P(AB)2所以 P(AB) 0.1P(A B) P(AB) 1 P(AB) 092.P(X 1) P(X 0) P(X 1) e e , P(X 2) e由 P(X 1) 4P(X 2)知e e2 2e即2 21 0解得1，故P(X3)1 1 e . 63•设丫的分布函数为F Y (y), X 的分布函数为F x (x)，密度为f x (x)则F Y (V ) P(Y y) P(X 2 y) P( ...y X ,y) FxG.y) F x ( ,y) 因为 X ~U (0, 2)，所以 F X ( ,y) 0,即 F Y (y) F X G. y)1.ln x in i 1二、单项选择题(每小题 3分，共15分)1 .设A, B,C 为三个事件，且 A, B 相互独立，则以下结论中不正确的是(A) 若P(C) 1,则AC 与BC 也独立. (B) 若P(C) 1,则AUC 与B 也独立. (C) 若P(C) 0,则AUC 与B 也独立.J(y) F Y (y)1 _2丁x(J)0 y 4, 另解 在(0,2)上函数y 所以 2x 严格单调，反函数为h(y)其它..5f Y (y) Afx(7?)诙4孑 0 ,其它.y 4,4. P(X 1) 1 P(X P{min( X ,Y) 1} 111) eP{min( X,Y) 4 e ・ 1} P(X 1)P(Y 1)5.似然函数为L(X 1 ,L ,X n ；n(i 1n1)Xi(1叽1_ X )解似然方程得 ln L n ln(1)ln x i ln x i i 1@0的极大似然估计为EX X(D )若C B ，则A 与C 也独立• ()2•设随机变量 X~N(0,1), X 的分布函数为(x)，贝U P(|X| 2)的值为(A )2[1 (2)] . ( B )2 (2)1 .(C ) 2(2).( D )1 2 (2).()3•设随机变量 X 和Y 不相关，则下列结论中正确的是(A ) X 与 Y 独立. (B ) D(X Y) DX DY .(C ) D(X Y) DX DY .(D ) D(XY) DXDY .()4•设离散型随机变量 X 和Y 的联合概率分布为(X,Y) (1,1) (1,2) (1,3) (2,1) (2,2) (2,3) P1 1 1 1 691832. X ~ N(0,1)所以 P(| X | 2) 1 P(| X | 2)1 P(2 X1 (2) ( 2) 1 [2 (2) 1] 2[1 (2)]若X,Y 独立，则 7的值为2 112(A ) -, —(A ) J—99991 15 1 (C ), — (D ) — , . ()6618185 •设总体X 的数学期望为,X 1,X 2丄,X n为来自X 的样本，则下列结论中正确的是(A ) X i 是的无偏估计量 (B ) X i 是 的极大似然估计量(C ) X 1是 的相合(一致)估计量(D ) X i 不是 的估计量.() 解：1.因为概率为1的事件和概率为 0的事件与任何事件独立，所以( A ), (B ), (C )可见A 与C 不独立.2)应选(A )都是正确的，只能选(事实上由图EX X12 3 P(X 2, Y 2)1 1 1 11— — ■ 1 、69183(- )(-391 1 23321 1丄92 918故应(A).3•由不相关的等价条件知应选(B ) 4•若X,Y 独立则有)P(X 2)P(Y 2)f(o三、(7分)已知一批产品中90%是合格品，检查时，一个合格品被误认为是次品的概率为0.05，一个次品被误认为是合格品的概率为0.02，求(1) 一个产品经检查后被认为是合格品的概率；(2) 一个经检查后被认为是合格品的产品确是合格品的概率解：设A ‘任取一产品，经检验认为是合格品’B ‘任取一产品确是合格品’则(1) P(A) P(B)P(A|B) P(B)P(A|B)0.9 0.95 0.1 0.02 0.857.P(AB) 0.9 0.95 (2) P(B| A) 0.9977 .P(A) 0.857四、(12分)从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是2/5.设X为途中遇到红灯的次数，求X的分布列、分布函数、数学期望和方差.解：X的概率分布为k2 k3 3 kP(X k) cf(5)k(5)3kX 0 1 2即P27 54 36 125 125 12X的分布函数为0 , x 0,27125 ,0 x 1,F(x )81 1 x 2, 125117 2 x3, 1251 , x 3.2 6 EX3 --5 5DX c 2 3 183 --5 5 25五、(10分)设二维随机变量(X,Y)在区域 D匀分布.求(1)(X,Y)关于X的边缘概率密度;38125{(x,y)|x 0, y 0, x y 1}上服从均(2)Z X Y的分布函数与概率密(1) (X ,Y)的概率密度为f(x, y) 2, (x, y) D 0,其它.k 0,1,2,3.2 2x, 0 x 1f(x，y)dy0 ,其它(2)利用公式f Z(z) f (x, z x)dx其中f(x,z x) 2, 0 x 1,0 z x 1 x0,其它2, 0 x 1, x z 1.0,其它.当z 0 或z 1 时f z (z) 0z的分布函数为z z0 z 1 时f z(z) 2 q dx 2x02z 故Z的概率密度为f z(z)2z, 0 z 1,0,其它.0, z 0 0, z 0,fZ⑵z zf Z(y)dy 02ydy,0 z 1 2z , 0 z 1,1,1 z 1.z 1或利用分布函数法0 , z 0,F Z(Z) P(Z z) P(X Y z) 2dxdy, 0 z 1D11 , z 1.0 , z 0,2z , 0 z 1,1 , z 1.f z (z) F z⑵2z,0 ,0 z 1,其它.六、（10分）向一目标射击，目标中心为坐标原点，已知命中点的横坐标X和纵坐标Y相互独立，且均服从N（0,22）分布.求（1）命中环形区域D ｛（ x, y） |1 x2 y2 2｝的概率；（2）命中点到目标中心距离Z X Y2的数学期望.D (1)P{X,Y) D} f(x,y)dxdyDx28dxdy 8rdrdf x(X)4 41 2 -8re 8 rdrd1 e 8 r 2dr 8 04 0r2re 丁r 2e T dr 02冷dr阪七、（11分）设某机器生产的零件长度（单位： cm ） X 〜N （ , 2），今抽取容量为样本，测得样本均值 X 10,样本方差s 2 0.16. （ 1）求的置信度为0.952区间；（2）检验假设H 。
概率论与数理统计自测题
， 概率论与数理统计自测题(含答案,先自己做再对照)一、单项选择题1．设A 与B 互为对立事件，且P 〔A 〕>0，P 〔B 〕>0，那么以下各式中错误的选项是．．．．．．〔 〕 A ．0)|(=B A P B ．P 〔B |A 〕=0 C ．P 〔AB 〕=0D ．P 〔A ∪B 〕=12．设A ，B 为两个随机事件，且P 〔AB 〕>0，那么P 〔A|AB 〕=〔 〕 A ．P 〔A 〕 B ．P 〔AB 〕 C ．P 〔A|B 〕 D ．13．设随机变量X 在区间[2，4]上服从均匀分布，那么P{2<X<3}=〔 〕 A ．P{3.5<X<4.5} B ．P{1.5<X<2.5} C ．P{2.5<X<3.5} D ．P{4.5<X<5.5} 4．设随机变量X 的概率密度为f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧≤>,1,0;1,2x x x c 那么常数c 等于〔 〕A ．-1B ．21-C ．21D ．1 5．设二维随机变量〔X ，Y 〕的分布律为那么A ．0.3 B ．0.5 C ．0.7 D ．0.86．设随机变量X 服从参数为2的指数分布，那么以下各项中正确的选项是〔 〕 A ．E 〔X 〕=0.5，D 〔X 〕=0.25 B ．E 〔X 〕=2，D 〔X 〕=2 C ．E 〔X 〕=0.5，D 〔X 〕=0.5 D ．E 〔X 〕=2，D 〔X 〕=47．设随机变量X 服从参数为3的泊松分布，Y~B 〔8，31〕，且X ，Y 相互独立，那么D 〔X-3Y-4〕=〔 〕A ．-13B ．15C ．19D ．238．D 〔X 〕=1，D 〔Y 〕=25，ρXY =0.4，那么D 〔X-Y 〕=〔 〕 A ．6 B ．22 C ．30 D ．469．在假设检验问题中，犯第一类错误的概率α的意义是〔 〕 A ．在H 0不成立的条件下，经检验H 0被拒绝的概率 B ．在H 0不成立的条件下，经检验H 0被承受的概率 C ．在H 0成立的条件下，经检验H 0被拒绝的概率 D ．在H 0成立的条件下，经检验H 0被承受的概率10．设总体X 服从[0，2θ]上的均匀分布〔θ>0〕，x 1, x 2, …, x n 是来自该总体的样本，x 为样本均值，那么θ的矩估计θˆ=〔 〕A ．x 2B ．xC ．2xD ．x 21 1A 2.D 3.C4.D5.A6.A7.C8.B9.C10.B二、填空题11．设事件A 与B 互不相容，P 〔A 〕=0.2，P 〔B 〕=0.3，那么P 〔B A ⋃〕=____________. 12．一个盒子中有6颗黑棋子、9颗白棋子，从中任取两颗，那么这两颗棋子是不同色的概率为____________.13．甲、乙两门高射炮彼此独立地向一架飞机各发一炮，甲、乙击中飞机的概率分别为0.4，0.5，那么飞机至少被击中一炮的概率为____________.14．20件产品中，有2件次品，不放回地从中接连取两次，每次取一件产品，那么第二次取到的是正品的概率为____________. 15．设随机变量X~N 〔1，4〕，标准正态分布函数值Φ〔1〕=0.8413，为使P{X<a}<0.8413，那么常数a<____________.16．抛一枚均匀硬币5次，记正面向上的次数为X ，那么P{X ≥1}=____________. 17．随机变量X 的所有可能取值为0和x ，且P{X=0}=0.3，E 〔X 〕=1，那么x=____________. 18．设随机变量X 的分布律为那么D 〔X 〕=____________.19．设随机变量X 服从参数为3的指数分布，那么D 〔2X+1〕=____________. 20．设二维随机变量〔X ，Y 〕的概率密度为f (x, y)=⎩⎨⎧≤≤≤≤,,0;10,10,1其他y x那么P{X ≤21}=____________. 21．设二维随机变量〔X ，Y 〕的概率密度为 ⎪⎩⎪⎨⎧>>=+-,,0;0,0,),()(其他y x ey x f y x 那么当y>0时，〔X ，Y 〕关于Y 的边缘概率密度f Y (y )= ____________.25．设总体X~N 〔μ,σ2〕,x 1,x 2,x 3为来自X 的样本，那么当常数a=____________时，3212141ˆx ax x ++=μ是未知参数μ的无偏估计. 11. 0.5 12. 351813.0.7 14. 0.9 15. 3 16.323117.71018.1 19.9420.2121. ye - 25. 41三、计算题26．设二维随机变量〔X ，Y 〕的分布律为 试问：X 与Y 是否相互独立？为什么？因为对一切i,j 有}{}P{},P{j i j i Y Y P X X Y Y X X =⋅====所以X ，Y 独立。