03-频率特性法——奈氏图和伯德图画法
由于奈奎斯特曲线可以确定起点和终点，只是一个粗略图。
2
二、控制系统开环频率特性
1．系统奈奎斯特曲线
G n阶j系统 b a 0 0 jK jjj m n j 1T b a 1 1 1 1 jj 1 j m n j 1 1 2 T 21 1b a m n 1 1 jj
(3) 过ω＝1 rad/s，20lgK这个点，作斜率等于 -20v dB/dec 的低频段的渐近线。
(4) 向右延长最低频段渐近线，每遇到一个转折频率改变一 次渐近线斜率:
10
伯德图画法详解 重点 掌握
实际作图步骤：
(4) 向右延长最低频段渐近线，每遇到一个转折频率改变一 次渐近线斜率:
遇到惯性环节的转折频率，斜率减小20dB/dec 遇到一阶微分环节的转折频率，斜率增加20dB/dec 遇到二阶微分环节的转折频率，斜率增加40dB/dec 遇到振荡环节的转折频率，斜率减小40dB/dec
频特性曲线； 3) 将各环节的对数幅频、相频曲线相加。
7
例G已1(s知)=开10环传递函数，试画出系统
解GG：G34((s2s)()=s=)0的=.12开SSS11++环11G对(s数)=频-S(422率S0(0002+特S1+0-性21)0)Ld0曲2B.5\线de1c。-40Ld4BL/d1 ec
L3 10
ω
-20dB/dec
1)将式子标准化解 3）将各环节的曲
90
φ1
φ3
G线(s相)=加1，0S(即(02.1S为S++开11) 环)
0 -90
φ2
φ4
ω
系统的对数频率特 -180
性曲线。
8
伯德图画法详解
通过上例可知： 根据对数幅频特性曲线的低频段和各转折频 率即可确定系统的对数频率特性曲线。
ω
10
30
100
[-40]
转折频率：0.5 2 30
13
L(ω)
[-20] 40db
20db
[-20]
[-40]
0db
0.1
0.5 1
2
-20db
--40db
G(s)H(s)s(24s0(01).5(s1s1)1) 30
[-20]
ω
10
30
100
[-40]
转折频率：0.5 2 30
14
例：已知单位反馈系统的开环传递函数 G(s) 100(s2) s(s1)(s20)
b m a n
m n
0 0型系统 1 I型 系 统
开环含有v个积分环节的系统，Nyquist 曲线起自幅角为－v90°的无穷远处。
2 II型 系 统
Nyquist曲线终点幅值为 0 ，而相角为 －(n－m)×90°。
3
伯德图画法详解
重点 掌握
u 系统的开环传递函数通常可以写成典型环节串联 的形式， 即： G(s)H(s)=G1(s)G2(s)...Gn(s)
试绘制开环对数频率特性曲线。 解：典型环节传递函数表示的标准形式
G(s) 10(0.5s1) s(s1)(0.05s1)
其对应的频率特性表达式为
G(j)j(j1 0 (01.5 )(j0 .0 51 j )1)
k10, v1
15
直接绘制系统开环 对数幅频特性的步骤
G(j)j(j1 0 (01.5 )(j0 .0 51 j )1)
(1) 转折频率为： 1 1 , 2 1 /0 . 5 2 , 3 2 0
(2) 在 1 时： L () 2 0 l g K 2 0 l g 1 0 2 0 ( d B )
30
惯性环节
转折频率：0.5 2 30 低频段：V=1，在ω＝1 处 20lgK=20lg40=32 , －20 dB/dec，12
L(ω)
Hale Waihona Puke [-20] 40db20db
[-20]
[-40]
0db
0.1
0.5 1
2
-20db
--40db
G(s)H(s)s(24s0(01).5(s1s1)1) 30
[-20]
4
伯德图画法详解 重点 掌握
系统的开环对数幅频特性和相频特性分别为
L() 20lgA()
20lgG1( j)G2(j)Gn( j)
20lgG1(j) 20lgG2(j) 20lgGn(j)
L1()L2()Ln()
n
Li ()
i1
n
() G 1 (j) G 2 (j) G n (j) ()
u 系统的开环频率特性为
G(j)H()G1(j)G2(j)Gn(j)
n
n
Ai(
j i()
)e i1
A(
)ej()
i1
L ( ) 2 0 l g A ( ) 2 0 l g A 1 ( ) 2 0 l g A 2 ( ) . . . 2 0 l g A n ( )
( ) 1 ( ) 2 ( ) ... n ( )
i 1
5
伯德图画法详解 重点 掌握
幅频特性 = 组成系统的各典型环节 的对数幅频特性之代数和。 相频特性 = 组成系统的各典型环节 的相频特性之代数和。
6
伯德图画法详解 重点 掌握
一般步骤：
绘制系统开环对数频率特性曲线的一般步骤：
1) 将开环传递函数化成典型环节的乘积。 2）画出各典型环节的对数幅频和对数相
低频段幅频特性近似表示为： L(ω)≈20lgK-20lgωυ
低频段曲线的斜率
-20υdB/dec
低频段曲线的高度
L(1)=20lgK
9
伯德图画法详解 重点 掌握
实际作图步骤：
(1) 将开环传递函数表示为典型环节的串联；
(2) 确定各环节的转折频率并由小到大标示在对数频率轴上。 转折频率1/Ti， 若T1>T2>T3>..., 则有ω1<ω2<ω3<...。
11
例：绘制开环对数幅频渐近特性曲线，设开环传递函数为
G(s)H (s) 300 (s 2) s(s 0.5)(s 30)
解： 典型环节传递函数表示的标准形式
G(s)H(s)s(24s0(01).5(s1s1)1) 30
其对应的频率特性表达式为
G(j)H(j)j(24j0(0.5 1)j(11j ) 1)
二、控制系统开环频率特性
频率特性法的最大特点是根据系统的开环 频率特性曲线分析系统的闭环性能 ，这样可以 简化分析过程。
所以绘制系统的开环频率特性曲线就显得 尤为重要。下面介绍开环系统的幅相频率特性 曲线和对数频率特性曲线的绘制.
1
二、控制系统开环频率特性
1．系统奈奎斯特曲线
（1）W=0+的点 （2）W=∞的点 （3）开环幅相曲线与实轴的交点
2
二、控制系统开环频率特性
1．系统奈奎斯特曲线
G n阶j系统 b a 0 0 jK jjj m n j 1T b a 1 1 1 1 jj 1 j m n j 1 1 2 T 21 1b a m n 1 1 jj
(3) 过ω＝1 rad/s，20lgK这个点，作斜率等于 -20v dB/dec 的低频段的渐近线。
(4) 向右延长最低频段渐近线，每遇到一个转折频率改变一 次渐近线斜率:
10
伯德图画法详解 重点 掌握
实际作图步骤：
(4) 向右延长最低频段渐近线，每遇到一个转折频率改变一 次渐近线斜率:
遇到惯性环节的转折频率，斜率减小20dB/dec 遇到一阶微分环节的转折频率，斜率增加20dB/dec 遇到二阶微分环节的转折频率，斜率增加40dB/dec 遇到振荡环节的转折频率，斜率减小40dB/dec
频特性曲线； 3) 将各环节的对数幅频、相频曲线相加。
7
例G已1(s知)=开10环传递函数，试画出系统
解GG：G34((s2s)()=s=)0的=.12开SSS11++环11G对(s数)=频-S(422率S0(0002+特S1+0-性21)0)Ld0曲2B.5\线de1c。-40Ld4BL/d1 ec
L3 10
ω
-20dB/dec
1)将式子标准化解 3）将各环节的曲
90
φ1
φ3
G线(s相)=加1，0S(即(02.1S为S++开11) 环)
0 -90
φ2
φ4
ω
系统的对数频率特 -180
性曲线。
8
伯德图画法详解
通过上例可知： 根据对数幅频特性曲线的低频段和各转折频 率即可确定系统的对数频率特性曲线。
ω
10
30
100
[-40]
转折频率：0.5 2 30
13
L(ω)
[-20] 40db
20db
[-20]
[-40]
0db
0.1
0.5 1
2
-20db
--40db
G(s)H(s)s(24s0(01).5(s1s1)1) 30
[-20]
ω
10
30
100
[-40]
转折频率：0.5 2 30
14
例：已知单位反馈系统的开环传递函数 G(s) 100(s2) s(s1)(s20)
b m a n
m n
0 0型系统 1 I型 系 统
开环含有v个积分环节的系统，Nyquist 曲线起自幅角为－v90°的无穷远处。
2 II型 系 统
Nyquist曲线终点幅值为 0 ，而相角为 －(n－m)×90°。
3
伯德图画法详解
重点 掌握
u 系统的开环传递函数通常可以写成典型环节串联 的形式， 即： G(s)H(s)=G1(s)G2(s)...Gn(s)
试绘制开环对数频率特性曲线。 解：典型环节传递函数表示的标准形式
G(s) 10(0.5s1) s(s1)(0.05s1)
其对应的频率特性表达式为
G(j)j(j1 0 (01.5 )(j0 .0 51 j )1)
k10, v1
15
直接绘制系统开环 对数幅频特性的步骤
G(j)j(j1 0 (01.5 )(j0 .0 51 j )1)
(1) 转折频率为： 1 1 , 2 1 /0 . 5 2 , 3 2 0
(2) 在 1 时： L () 2 0 l g K 2 0 l g 1 0 2 0 ( d B )
30
惯性环节
转折频率：0.5 2 30 低频段：V=1，在ω＝1 处 20lgK=20lg40=32 , －20 dB/dec，12
L(ω)
Hale Waihona Puke [-20] 40db20db
[-20]
[-40]
0db
0.1
0.5 1
2
-20db
--40db
G(s)H(s)s(24s0(01).5(s1s1)1) 30
[-20]
4
伯德图画法详解 重点 掌握
系统的开环对数幅频特性和相频特性分别为
L() 20lgA()
20lgG1( j)G2(j)Gn( j)
20lgG1(j) 20lgG2(j) 20lgGn(j)
L1()L2()Ln()
n
Li ()
i1
n
() G 1 (j) G 2 (j) G n (j) ()
u 系统的开环频率特性为
G(j)H()G1(j)G2(j)Gn(j)
n
n
Ai(
j i()
)e i1
A(
)ej()
i1
L ( ) 2 0 l g A ( ) 2 0 l g A 1 ( ) 2 0 l g A 2 ( ) . . . 2 0 l g A n ( )
( ) 1 ( ) 2 ( ) ... n ( )
i 1
5
伯德图画法详解 重点 掌握
幅频特性 = 组成系统的各典型环节 的对数幅频特性之代数和。 相频特性 = 组成系统的各典型环节 的相频特性之代数和。
6
伯德图画法详解 重点 掌握
一般步骤：
绘制系统开环对数频率特性曲线的一般步骤：
1) 将开环传递函数化成典型环节的乘积。 2）画出各典型环节的对数幅频和对数相
低频段幅频特性近似表示为： L(ω)≈20lgK-20lgωυ
低频段曲线的斜率
-20υdB/dec
低频段曲线的高度
L(1)=20lgK
9
伯德图画法详解 重点 掌握
实际作图步骤：
(1) 将开环传递函数表示为典型环节的串联；
(2) 确定各环节的转折频率并由小到大标示在对数频率轴上。 转折频率1/Ti， 若T1>T2>T3>..., 则有ω1<ω2<ω3<...。
11
例：绘制开环对数幅频渐近特性曲线，设开环传递函数为
G(s)H (s) 300 (s 2) s(s 0.5)(s 30)
解： 典型环节传递函数表示的标准形式
G(s)H(s)s(24s0(01).5(s1s1)1) 30
其对应的频率特性表达式为
G(j)H(j)j(24j0(0.5 1)j(11j ) 1)
二、控制系统开环频率特性
频率特性法的最大特点是根据系统的开环 频率特性曲线分析系统的闭环性能 ，这样可以 简化分析过程。
所以绘制系统的开环频率特性曲线就显得 尤为重要。下面介绍开环系统的幅相频率特性 曲线和对数频率特性曲线的绘制.
1
二、控制系统开环频率特性
1．系统奈奎斯特曲线
（1）W=0+的点 （2）W=∞的点 （3）开环幅相曲线与实轴的交点
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第4章第12节频率响应与频率特性及频率特性的图示法
4.1频率响应与频率特性
▪ 频率特性是复变量s＝jω的复变函数，因此 有
▪ 一般地，系统对正弦输入信号的稳态响应 为
4.2频率特性的图示法——奈氏图 和伯德图
4.2.1奈魁斯特图
▪ 奈魁斯特（Nyquist）图也称极坐标图。在 数学上，频率特性可以用直角坐标式表 示，；也可以用幅相式（指数式）表示， 即
因是系统有储能元件、有惯性，对频率 高的输入信号，系统来不及响应。 （3）系统的频率特性是系统的固有特性，取 决于系统结构和参数。
4.1频率响应与频率特性
4.1.6求取频率特性的解析方法 ▪ 当已知系统的传递函数时，可按下式求取，
即
G(j)G(s) sj
▪ 当从系统原理图开始求取系统的频率特性 时，应该先求出系统的传递函数。
4.1频率响应与频率特性
可以看出： 随着输入信号频率的变化，输出、输入信号 的幅值比和相位差将会相应地随频率而发生 变化。 因此，可以利用这一特性，保持输入信号的 幅值不变，不断改变输入信号的频率，研究 系统响应信号的幅值和相位随频率的变化规 律，即可达到研究系统性能的目的。
4.1频率响应与频率特性来自4.1频率响应与频率特性
4.1.3频率响应
▪ 稳定的线性系统对正弦输入的稳态响应称 为频率响应。
▪ 另外一种表达： 当正弦信号作用于稳定的线性系统时，系 统输出响应的稳态分量是与输入同频率的 正弦信号，这种过程称为系统的频率响应。
线性系统的频率响应
求上图中输出信号与输入信号的 1、相位差A(ω) 2、幅值比ψ(ω)
两个问题：
1、正弦输入信号可不可以代表所 有信号？
2、什么是系统的频率特性？其图 形表示是什么样子？
4.1频率响应与频率特性
如何绘制伯德图PPT课件
G( j ) G1 ( j )G2 ( j )Gn ( j ) G( j ) G1 ( j ) G2 ( j ) Gn ( j ) L( ) 20 lg G( j) 20 lg G1 ( j) 20 lg G2 ( j ) 20 lg Gn ( j)
G( j ) 00
（5-63） （5-64）
100 00
900 1800
10 100 1000
图5-11 放大环节的Bode图
如图5-11所示，它是一条与角频率ω无关且与ω轴重合的直线。
5
（二）积分环节 积分环节的频率特性是
G( j) 1 j 1 1 e j90 j
7
当有n个积分环节串联时，即
dB L()
G(
j
)
(
1
j
)n
其对数幅频特性为
20 lg
G(
j )
20 lg
1
பைடு நூலகம்n
40
（ 5-70 ）
0
(5-71)
0.01 0.1
40 dB / dec
1
10
n 20 lg
G( j ) n 900
（5-72） 度 （）
6
设 ' 10 ，则有
20lg ' 20lg 10 20 20lg
dB L()
可见，其对数幅频特性是一条在
60
(5-68)
ω =1（弧度/秒）处穿过零分贝线 （ω 轴），且以每增加十倍频降 低20分贝的速度（-20dB/dec ） 变化的直线。
40
20dB / dec
1
L() dB
G( j ) 00
（5-63） （5-64）
100 00
900 1800
10 100 1000
图5-11 放大环节的Bode图
如图5-11所示，它是一条与角频率ω无关且与ω轴重合的直线。
5
（二）积分环节 积分环节的频率特性是
G( j) 1 j 1 1 e j90 j
7
当有n个积分环节串联时，即
dB L()
G(
j
)
(
1
j
)n
其对数幅频特性为
20 lg
G(
j )
20 lg
1
பைடு நூலகம்n
40
（ 5-70 ）
0
(5-71)
0.01 0.1
40 dB / dec
1
10
n 20 lg
G( j ) n 900
（5-72） 度 （）
6
设 ' 10 ，则有
20lg ' 20lg 10 20 20lg
dB L()
可见，其对数幅频特性是一条在
60
(5-68)
ω =1（弧度/秒）处穿过零分贝线 （ω 轴），且以每增加十倍频降 低20分贝的速度（-20dB/dec ） 变化的直线。
40
20dB / dec
1
L() dB
如何绘制伯德图.ppt
j?
??
其幅频特性为
1
G ( j? ) ? ?
对数幅频特性是
（5-65） （5-66）
1
20 lg G ( j? ) ? 20 lg ? ? 20 lg ? ?
（5-67）
当 ? ? 0 . 1 时，20 lg G ( j 0 . 1 ) ? ? 20 lg 0 . 1 ? 20 ( dB ) ； 当 ? ? 1 时，20 lg G ( j1) ? ? 20 lg 1 ? 0 ( dB ) ；
当 ? ? 10 时，20 lg G ( j10 ) ? ? 20 lg 10 ? ? 20 ( dB ) 。
6
设 ? ' ? 10 ? ，则有
? 20 lg ? ' ? ? 20 lg 10 ? ? ? 20 ? 20 lg ?
可见，其对数幅频特性是一条 在
dB L(? )
60
(5-68)
ω =1（弧度/秒）处穿过零分贝线
(5-73) (5-74)
? ? 20 lg 1 ? T 2? 2
当 ? ?? 1 时， 20 lg G ( j ? ) ? ? 20 lg 1 ? T 2 ? 2 ? 0 ( dB ) ，
T
当 ? ?? 1 时，20 lg G ( j ? ) ? ? 20 lg 1 ? T 2 ? 2 ? ? 20 lg T ? ( dB )
40
（ω 轴），且以每增加十倍频降
20
? 20 dB / dec
低20分贝的速度（ -20dB/dec ）
0
0.01
0.1
1
10
?
变化的直线。
? 20
积分环节的相频特性是
? G ( j ? ) ? ? 90 0
03 频率特性法——奈氏图和伯德图画法
i=1 n-ι Sv∏(TjS+1) j=1
重点 掌握
K∏(τiS+1)
m
根据伯得图确定传递函数主要是确 定增益 K ，转折频率及相应的时间常数 等参数则可从图上直接确定。
由伯德图得传递函数详解
1. v= 0
系统的伯德图： 低频渐近线为 A(ω)=K L(ω)=20lgK=x
0
x
L(ω)/dB
x
20lgK
2 1/ 0.5 2,
3 20
1 时：
L( ) 20lg K 20lg10 20(dB)
(3) 过 ＝1、L( ) 20dB 的点，画一条斜率为-20dB/dec的斜 线，以此作为低频渐近线。 (4) 因第一个转折频率ω1＝1，故低频渐近线画至ω1 ＝1为止， 经过ω1＝1后曲线的斜率应为-40dB/dec； 当曲线延伸至第二个转折频率ω2 ＝2时，斜率又恢复 为-20dB/dec ； 直至ω3 ＝20时，曲线斜率再增加-20dB/dec，变为 -40dB/dec的斜线。至此已绘出系统的开环对数幅频特性 渐近线。
30
转折频率：0.5 2 30
低频段：V=1，在ω＝1 处 20lgK=20lg40=32 , －20 dB/dec，
L(ω)
[-20] 40db [-40] 20db [-20] 0db 0.1 -20db --40db 0.5 1 2
40(0.5s 1) G (s)H(s) 1 s(2s 1)( s 1) 30
L(ω)≈20lgK-20lgωυ 低频段曲线的斜率
低频段曲线的高度 -20υdB/dec
L(1)=20lgK
伯德图画法详解
实际作图步骤：
(1) 将开环传递函数表示为典型环节的串联；
重点 掌握
K∏(τiS+1)
m
根据伯得图确定传递函数主要是确 定增益 K ，转折频率及相应的时间常数 等参数则可从图上直接确定。
由伯德图得传递函数详解
1. v= 0
系统的伯德图： 低频渐近线为 A(ω)=K L(ω)=20lgK=x
0
x
L(ω)/dB
x
20lgK
2 1/ 0.5 2,
3 20
1 时：
L( ) 20lg K 20lg10 20(dB)
(3) 过 ＝1、L( ) 20dB 的点，画一条斜率为-20dB/dec的斜 线，以此作为低频渐近线。 (4) 因第一个转折频率ω1＝1，故低频渐近线画至ω1 ＝1为止， 经过ω1＝1后曲线的斜率应为-40dB/dec； 当曲线延伸至第二个转折频率ω2 ＝2时，斜率又恢复 为-20dB/dec ； 直至ω3 ＝20时，曲线斜率再增加-20dB/dec，变为 -40dB/dec的斜线。至此已绘出系统的开环对数幅频特性 渐近线。
30
转折频率：0.5 2 30
低频段：V=1，在ω＝1 处 20lgK=20lg40=32 , －20 dB/dec，
L(ω)
[-20] 40db [-40] 20db [-20] 0db 0.1 -20db --40db 0.5 1 2
40(0.5s 1) G (s)H(s) 1 s(2s 1)( s 1) 30
L(ω)≈20lgK-20lgωυ 低频段曲线的斜率
低频段曲线的高度 -20υdB/dec
L(1)=20lgK
伯德图画法详解
实际作图步骤：
(1) 将开环传递函数表示为典型环节的串联；
如何绘制伯德图
20 lg 10 20(dB)
。
6
设 ' 10 ，则有
20 lg 20 lg 10 20 20 lg
'
(5-68)
dB L( )
可见，其对数幅频特性是一条在 ω =1（弧度/秒）处穿过零分贝线 （ ω 轴），且以每增加十倍频降 低 20 分贝的速度（ -20dB/dec ） 变化的直线。 积分环节的相频特性是
对数幅频特性为
20 lg G( j ) 20 lg K
（5-61）
当K>1时，20lgK>0，位于横轴上方；
当K=1时，20lgK=0，与横轴重合；
当K<1时，20lgK<0，位于横轴下方。
4
放大环节的对数幅频特性如图5-11所示，它是一条与角频 率ω 无关且平行于横轴的直线，其纵坐 标为20lgK。
0
100
1000
（5-63）
180
0
放大环节的相频特性是
G( j ) 0
0
图5-11 放大环节的Bode图
（5-64） 如图5-11所示，它是一条与角频率ω无关且与ω轴重合的直线。
5
（二）积分环节 积分环节的频率特性是
G ( j ) 1 j j 1
1
e
j 90
2 2 2
（5-85）
相频特性是
G ( j ) arctg 2 1
2 2
dB
40
（5-86）20
0
1 1 10
0
精确特性
40dB / dec
二阶微分环节与振荡节的Bode
1
图关于ω 轴对称，如图5-21 。
。
6
设 ' 10 ，则有
20 lg 20 lg 10 20 20 lg
'
(5-68)
dB L( )
可见，其对数幅频特性是一条在 ω =1（弧度/秒）处穿过零分贝线 （ ω 轴），且以每增加十倍频降 低 20 分贝的速度（ -20dB/dec ） 变化的直线。 积分环节的相频特性是
对数幅频特性为
20 lg G( j ) 20 lg K
（5-61）
当K>1时，20lgK>0，位于横轴上方；
当K=1时，20lgK=0，与横轴重合；
当K<1时，20lgK<0，位于横轴下方。
4
放大环节的对数幅频特性如图5-11所示，它是一条与角频 率ω 无关且平行于横轴的直线，其纵坐 标为20lgK。
0
100
1000
（5-63）
180
0
放大环节的相频特性是
G( j ) 0
0
图5-11 放大环节的Bode图
（5-64） 如图5-11所示，它是一条与角频率ω无关且与ω轴重合的直线。
5
（二）积分环节 积分环节的频率特性是
G ( j ) 1 j j 1
1
e
j 90
2 2 2
（5-85）
相频特性是
G ( j ) arctg 2 1
2 2
dB
40
（5-86）20
0
1 1 10
0
精确特性
40dB / dec
二阶微分环节与振荡节的Bode
1
图关于ω 轴对称，如图5-21 。
04 频率特性法——奈氏判据和伯德图判据
分析开环系统 G(s)H(s)的零点 都在S左半平面
一、开环频率特性与闭环频率 特性的关系
开环频率特性
G(s)H(s)
闭环频率特性
G( s ) ( s) 1 G( s ) H ( s )
F(s)=1+G(s)H(s)
二、奈斯判据
奈斯判据： s沿着奈氏路径绕一圈（当ω从 -∞→+∞变化时），G(jω)H(jω)曲线逆 时针包围（-1，j0）点R圈。 若 R=P （右半平面极点个数即正 实部极点分析系统稳定性。
Im
P0
0
Im
P 1
0
0
R
Re
R
K
0
Re
(a)
(b)
解： (a) N= N+ - N –=（0-1）= -1，P =0，故
Z=P-2N=2，闭环系统不稳定。 (b) K>1时，N= N+ - N - =1-1/2= 1/2，P=1，故 Z= P-2N=0，闭环系统稳定； K<1时， N = N+ - N - =0-1/2= -1/2，且已知P =1，故 Z= P-2N=2，闭环系统不稳定； K=1时，奈氏曲线穿过 (-1,j0) 点两次，说明有两个 根在虚轴上，闭环系统不稳定。
R=2N=2(N+-N-)=P
注意：
正穿越对应于Bode图φ(ω)曲线当ω增大 时从下向上穿越－180°线； 负穿越对应于Bode图φ(ω)曲线当ω增大 时，从上向下穿越－180°线。
例：开环特征方程有两个右根，P=2，试判定闭环系统的稳定性。 解：
P=2
正负穿越数之差（N+-N-）为1
如何绘制伯德图讲诉
0.7
-10
( )
渐近线
40dB / Dec-4
-8
1
1
1
1
2
0.8 1.0
5
10
(deg)0° -30°
10T 5T
2T
T
T
T
T
左图是不同阻尼系数情况下的
-60°
0.1
-90° 0.2
0.3
-120° 0.5
-150° 0.7
1
2T T 2
2
几个特征点： 0,() 0; 1 ,() ; ,() 。
T
2
相频特性曲线在半对数坐标中关于( 0, －90°)点是斜对称的。
这里要说明的是当 (0, 1 ) 时，() (0,90) ,当 ( 1 , )
20log K
() 180
K 1
K 1 log
0 K 1
对数幅频特性：
0
L() 20lg K 0
0
K 0 log 相频特性：
() K 0
180
Thursday, May 02, 2019
K 1 K 1 0 K 1
-20
0°
-45°
-90°
1
1
1
1
1
2
5 10 20
20T 10T 5T
2T T
T
T
T
T
图中，红、绿线分别是低频、高频渐近线，蓝线是实际曲线。
Thursday, May 02, 2019
5
惯性环节的Bode图
波德图误差分析（实际频率特性和渐近线之间的误差）：
-10
( )
渐近线
40dB / Dec-4
-8
1
1
1
1
2
0.8 1.0
5
10
(deg)0° -30°
10T 5T
2T
T
T
T
T
左图是不同阻尼系数情况下的
-60°
0.1
-90° 0.2
0.3
-120° 0.5
-150° 0.7
1
2T T 2
2
几个特征点： 0,() 0; 1 ,() ; ,() 。
T
2
相频特性曲线在半对数坐标中关于( 0, －90°)点是斜对称的。
这里要说明的是当 (0, 1 ) 时，() (0,90) ,当 ( 1 , )
20log K
() 180
K 1
K 1 log
0 K 1
对数幅频特性：
0
L() 20lg K 0
0
K 0 log 相频特性：
() K 0
180
Thursday, May 02, 2019
K 1 K 1 0 K 1
-20
0°
-45°
-90°
1
1
1
1
1
2
5 10 20
20T 10T 5T
2T T
T
T
T
T
图中，红、绿线分别是低频、高频渐近线，蓝线是实际曲线。
Thursday, May 02, 2019
5
惯性环节的Bode图
波德图误差分析（实际频率特性和渐近线之间的误差）：
自动控制原理之伯德图
系统开环频率特性的绘制
画出各串联典型环节相频特性，将它们相加后得到系统开环相频特开环系统对数幅频特性图
01
L
02
5.4 系统开环频率特性的绘制
以后每遇到一个交接频率，就改变一次渐近线斜率。 每当遇到 环节的交接频率时，渐近线斜率
增加-20dB/十倍频； 每当遇到 环节的交接频率时，斜率增加
+20dB/十倍频； 每当遇到 环节的交接频率时，
通过A点作一条-20NdB/十倍频的直线，其中N为系统的无差阶数，直到第一个交接频率w1。如果w1<1，则低频渐近线的延长线经过A点。
确定交接频率w1、w2、w3……，标在角频率w轴上。
在w＝1处，量出幅值20lgK，其中K为系统开环放大系数。(在图中标出相应的字母，如A点)
二、绘制系统开环频率特性伯德图的步骤
斜率增加-40dB/十倍频。
系统开环频率特性的绘制
5
⑤ 绘出用渐近线表示的对数幅频特性以后，如果需要，可以进行修正。通常只需修正交接频率处以及交接频率的二倍频和1/2倍频处的幅值就可以了。 对于一阶项，在交接频率处的修正值为±3dB； 在交接频率的二倍频和1/2倍频处的修正值为±1dB。 对于二阶项，在交接频率处的修正值可由公式 求出。
5.4 系统开环频率特性的绘制
系统开环对数幅频特性L(ω)通过0分贝线，即 时的频率 称为穿越频率。穿越频率 是开环对数相频特性的一个很重要的参量。
01
02
03
绘制开环系统对数相频特性时，可分环节绘出各分量的对数相频特性，然后将各分量的纵坐标相加，就可以得到系统的开环对数相频特性。
画出各串联典型环节相频特性，将它们相加后得到系统开环相频特开环系统对数幅频特性图
01
L
02
5.4 系统开环频率特性的绘制
以后每遇到一个交接频率，就改变一次渐近线斜率。 每当遇到 环节的交接频率时，渐近线斜率
增加-20dB/十倍频； 每当遇到 环节的交接频率时，斜率增加
+20dB/十倍频； 每当遇到 环节的交接频率时，
通过A点作一条-20NdB/十倍频的直线，其中N为系统的无差阶数，直到第一个交接频率w1。如果w1<1，则低频渐近线的延长线经过A点。
确定交接频率w1、w2、w3……，标在角频率w轴上。
在w＝1处，量出幅值20lgK，其中K为系统开环放大系数。(在图中标出相应的字母，如A点)
二、绘制系统开环频率特性伯德图的步骤
斜率增加-40dB/十倍频。
系统开环频率特性的绘制
5
⑤ 绘出用渐近线表示的对数幅频特性以后，如果需要，可以进行修正。通常只需修正交接频率处以及交接频率的二倍频和1/2倍频处的幅值就可以了。 对于一阶项，在交接频率处的修正值为±3dB； 在交接频率的二倍频和1/2倍频处的修正值为±1dB。 对于二阶项，在交接频率处的修正值可由公式 求出。
5.4 系统开环频率特性的绘制
系统开环对数幅频特性L(ω)通过0分贝线，即 时的频率 称为穿越频率。穿越频率 是开环对数相频特性的一个很重要的参量。
01
02
03
绘制开环系统对数相频特性时，可分环节绘出各分量的对数相频特性，然后将各分量的纵坐标相加，就可以得到系统的开环对数相频特性。
4.2.14.2频率特性的几何表示法
对数频率特性曲线——伯德图
对数相频特性曲线
1 横坐标为的对数lg 分度 2 纵坐标为()
频率每变化十倍，称为十倍频程，记作dec。
对数频率特性曲线——伯德图
对数幅频特性 横坐标表示为：ω 为方便只表示
纵坐标表示为：
L(ω )=20lgA(ω)
L(ω )=20lgA(ω ) dB
40 -20dB/dec
（3）在一张图上绘制低、中、高频段特 性，对系40dB/dec
-1
0
1 lgω
0
0.1
1
10 ω
-20 -40
十倍频程 dec
-20dB/dec
φ (ω )
单位为 dB
0
0.1
1
-90
10 ω
对数相频特性 -180
伯德图的优点
（1）对数运算，将串联环节的幅值相 乘转化为幅值相加的运算
（2）这种方法建立在渐近线的基础上， 简化了幅频特性的绘制过程
频率特性的几何表示法
频率特性法是一种图解分析法，常见的频率 特性曲线有两种：
1 幅相频率特性曲线
2 对数频率特性曲线
幅相频率特性曲线——奈奎斯特曲线（奈氏图）
特点： 以频率ω为变量，将频率特性的幅频特性A(ω)
和相频特性φ(ω)同时表示在复平面上。
Im
= 0 Re
=0
幅相频率特性曲线——奈奎斯特曲线（奈氏图）
作图方法： 取=0和=两点，必要时可在0< < 之间选取
一些特殊点，算出这些点处的幅频值和相频值，然后在 幅相平面上做出这些点，并用光滑的曲线连接起来。
Im
= 0 Re
=0
对数频率特性曲线——伯德图
4第四节开环系统频率特性的绘制
KT1 Q ( ) 1 T12 2 当 0时，A( ) K， ( ) 0，P( ) K，Q( ) 0 当 时，A( ) 0， ( ) ，P( ) 0，Q ( ) 0
Wednesday, January 23, 2019
Wednesday, January 23, 2019
17
Im
0
n=3 1 n=0 n=1
0
0
Im
n=2
0
n=3
-1
n=2
0
n=4
Re
n=0 n=1
0
Re
0 0
0
n=4
0
结论：假如G(s)乘上因子1/sn，则G(j)的极坐标图顺时针转过 n/2(弧度)。并且只要在原点处存在极点，极坐标图在=0的幅 值为无穷大。 Wednesday, January 23, 18 2019
K 的极坐标图 n s ( s 1)
K 的极坐标图 n 2 s ( s 1)
⒊ 增加有限零点 K G ( s ) 设 5 s(T1s 1)(T2 s 1)
1 T12 2 1 T22 2 ( ) 90 tg 1T1 tg 1T2
K (T1 T2 ) P( ) (1 T12 2 )(1 T22 2 ) K (1 T1T2 2 ) Q( ) (1 T12 2 )(1 T22 2 )
j ( ) 将开环系统的频率特性写成P( ) jQ( ) 或 A( )e 的形 式，根据不同的算出 P( ),Q( )或 A( ), ( )可在复平面上得到不 同的点并连之为曲线。（手工画法）。