邻接矩阵及拉普拉斯矩阵
《深入浅出图神经网络：GNN原理解析》随笔
《深入浅出图神经网络：GNN原理解析》阅读随笔目录一、前言 (2)1.1 本书的目的和价值 (3)1.2 图神经网络简介 (3)二、图神经网络基础 (5)2.1 图的基本概念 (6)2.2 神经网络的基本概念 (8)2.3 图神经网络与神经网络的结合 (9)三、图神经网络的分类 (10)3.1 基于消息传递的图神经网络 (12)3.2 基于能量函数的图神经网络 (12)3.3 基于图注意力机制的图神经网络 (14)四、图神经网络的训练方法 (15)4.1 迭代训练法 (16)4.2 随机梯度下降法 (17)4.3 动量法 (19)4.4 自适应学习率方法 (20)五、图神经网络的优化技术 (21)5.1 局部优化算法 (22)5.2 全局优化算法 (24)5.3 混合优化算法 (26)六、图神经网络的评估与可视化 (27)6.1 评估指标 (28)6.2 可视化方法 (29)6.3 实战案例分析 (31)七、图神经网络的未来发展方向与应用前景 (32)7.1 当前研究的热点和挑战 (34)7.2 未来可能的技术创新 (35)7.3 图神经网络在各个领域的应用前景 (37)八、结语 (38)8.1 对本书内容的总结 (39)8.2 对未来图神经网络发展的展望 (40)一、前言在人工智能领域，图神经网络（Graph Neural Networks, GNNs）作为一种强大的深度学习模型，近年来得到了广泛的关注和研究。
它们能够处理非结构化数据，如社交网络、分子结构、知识图谱等，因此在许多应用中具有重要的地位。
尽管GNNs在学术界和工业界都取得了显著的成功，但它们的原理和应用仍然是一个活跃的研究课题。
特别是对于初学者来说，理解和掌握GNN的原理解析及其在实际问题中的应用，是一个不小的挑战。
为了帮助读者更好地理解GNNs，本文将从基础到高级逐步展开，深入剖析GNN的核心概念、模型架构以及最新的研究进展。
结合具体的代码实现和实验结果，我们将展示GNN在实际应用中的强大能力。
图谱简介
图谱简介图论与组合是一门历史悠久而在近四十年又获得蓬勃发展的应用数学学科，是处理离散问题的强有力的工具，是整个离散数学的一个重要组成部分。
图论与组合包含着十分丰富的内容，按其所研究的问题的侧重点不同，可以分为图论、计数理论、组合矩阵论、最优化理论、组合设计等几个方面。
近五十年来，随着计算机科学、信息科学和系统科学的发展，图论组合及其应用的研究越来越引起人们的关注。
无论从其理论价值和实际应用的广度和深度来看，图论与组合正处于一个具有强大生命力的迅速发展的新时期。
一．图的矩阵在图论中，为了研究图的性质，人们引进了各种各样的矩阵，诸如图的邻接矩阵，拉普拉斯矩阵，规范拉普拉斯矩阵等，这些矩阵与图都有着自然的联系，代数图论的一个主要问题就是研究图的性质能否以及如何由这些矩阵的代数性质反映出来，这里所指的矩阵的代数性质，主要指矩阵的特征值。
图谱理论主要研究图的邻接矩阵、拉普拉斯矩阵和规范拉普拉斯矩阵的特征值及其特征向量，是当前代数图论、组合矩阵论和代数组合论共同关注的一个重要研究课题，极大地丰富和促进了图论和组合学的研究内容。
假设),(E V G =是一个无向无环的图（简单图或多重图），其中{}n v v v V ,,,21 =，{}m e e e E ,,,21 =。
定义1 G 的邻接矩阵是一个n n ⨯的矩阵n n ij a G A ⨯=)()(，其中ij a 是连接顶点i v 与j v 的边的条数。
图的邻接矩阵的特征值，是代数图论的一个基本研究课题，已经形成相当成熟的理论。
图谱的第一篇论文发表于1957 年，其结果是.定理1 令G 是n 个结点的简单连通图，则1)(1cos 2-≤≤+n G n ρπ，左边的等号成立，当且仅当G 是一路；右边的等号成立，当且仅当G 是一个完全图。
在国内该方面的研究直到1979年才出现了第一篇论文，该论文由李乔和冯克勤合写并发表在1979年的《应用数学学报》上。
代表人物: C. D. Cvetkovic.专 著：D. M. Cvetkovic, M. Doob, and H. Sachs, Spectra of graph-theory and applications, VEB Deutscher Verlag d. Wiss. Berlin, 1979; Acad. Press, New York, 1979. 1995注：1．)()(),(k ijk ij k a a A = 表示 G 中点 i v 到 j v 长为 k 的路的数目—数学归纳法。
邻接矩阵的定义
邻接矩阵的定义
邻接矩阵是一种表示图形的数据结构，它是一个二维数组，其中每个元素代表两个顶点之间是否存在边。
如果两个顶点之间存在一条边，则该元素的值为1，否则为0。
邻接矩阵的大小取决于图形中顶点的数量。
对于n个顶点的图形，邻接矩阵将是一个n x n的方阵。
邻接矩阵可以用来表示有向图和无向图。
在无向图中，邻接矩阵是一个对称矩阵，因为当两个顶点之间存在一条边时，它们之间都会有相同的关系。
使用邻接矩阵可以方便地进行许多基本操作，例如查找两个顶点之间是否存在一条边、计算每个顶点的度数、查找与给定顶点相邻的所有顶点等等。
此外，在某些情况下使用邻接矩阵可以提高算法效率。
但是，在某些情况下使用邻接矩阵可能会占用过多的内存空间。
如果图形中有很少的边，则大部分元素将为0，并且这些元素仍然需要存储在内存中。
因此，在这种情况下使用稀疏矩阵可能更为适合。
总之，邻接矩阵是一种简单而有效的数据结构，可以用来表示图形，
并且在许多情况下都能够提供高效的算法。
但是，在使用时需要考虑内存空间占用的问题，并选择适合具体情况的数据结构。
(完整版)邻接矩阵及拉普拉斯矩阵
邻接矩阵及拉普拉斯矩阵邻接矩阵图的邻接矩阵能够很方便的表示图的很多信息，且具有描述简单、直观的特点。
无向简单图的邻接矩阵定义如下：设图G = (V ，E ) ，有n ≥ 1 个顶点,分别为：12,,,n v v v L 则G 的邻接矩阵 A 是按如下定义的一个n 阶方阵。
1v =a a =0,i j ij n n ij A ⨯∈⎧⎨⎩，（,v ）E （） ， 否则直观上，由邻接矩阵我们可以得到如下信息： 1.邻接矩阵是一个0，1的对称矩阵，对角线元素为0。
2.矩阵的各个行和（列和）是各个顶点的度。
所有元素相加和为边数的二倍。
3. A n 的i , j 位置元素为v i j 与v 之间的长度等于n 的通路的数目，而i ，j 位置的元素为v i 到自身的回路的数目。
特别的2A 的i,i 位置元素是v i 的度；3A 的i,i 位置元素是含v i 的三角形数目的二倍。
4.由3.设1(1)lkl k S Al ==≥∑，则l S 中,i j 位置元素(),S l i j 为顶点i v 与v j 之间长度小于或等于l 的通路的个数。
若(n-1),S 0i j =，则说明i v 与v j 之间没有通路。
由此我们可以得到一个判断图G 的联通新的重要准则：对于矩阵1lkl k S A==∑，若S 中所有元素都非零则G 是连通图，否则图G 是非连通图。
5.设G 是连通图，将矩阵 A 的所有是1的元素换成−1，并且把对角线元素ii a 换成相应顶点i v 的度，i=1,2,,n L （），则所得到的矩阵的任何元素的代数余子式都相等，等于G的生成树的数目。
拉普拉斯矩阵Laplacian matrix的定义拉普拉斯矩阵（Laplacian matrix)），也称为基尔霍夫矩阵,是表示图的一种矩阵。
给定G=，其拉普拉斯矩阵被定义为:一个有n个顶点的图(V,E)=-L D W其中为图的度矩阵，为图的邻接矩阵。
举个例子。
给定一个简单的图，如下：把此“图”转换为邻接矩阵的形式，记为：把的每一列元素加起来得到个数，然后把它们放在对角线上（其它地方都是零），组成一个的对角矩阵，记为度矩阵，如下图所示：根据拉普拉斯矩阵的定义，可得拉普拉斯矩阵为：拉普拉斯矩阵的性质介绍拉普拉斯矩阵的性质之前，首先定义两个概念，如下：①对于邻接矩阵，定义图中A 子图与B 子图之间所有边的权值之和如下：,(A,B)ij i A j BW w ∈∈=∑其中，ij w 定义为节点i 到节点j 的权值，如果两个节点不是相连的，权值为零。
网络的矩阵分析方法
网络的矩阵分析方法
网络的矩阵分析方法是一种用矩阵来描述和分析网络结构、特性和行为的方法。
这种方法将网络表示为矩阵，并利用矩阵运算来研究网络的各种属性。
常见的网络矩阵分析方法包括：
1. 邻接矩阵（Adjacency Matrix）：将网络表示为一个二维矩阵，其中矩阵的行和列分别代表网络中的节点，矩阵的元素表示节点之间的连接关系。
邻接矩阵可以用于描述网络的结构和拓扑关系。
2. 关联矩阵（Incidence Matrix）：将网络表示为一个二维矩阵，其中矩阵的行代表网络中的节点，列代表网络中的边，矩阵的元素表示该节点与该边的关联关系。
关联矩阵可以用于描述网络的连接方式和路径。
3. 度矩阵（Degree Matrix）：将网络表示为一个对角矩阵，其中矩阵的对角线元素表示节点的度，即节点的连接数。
度矩阵可以用于描述节点的中心性和重要性。
4. 邻接矩阵的幂次计算：通过对邻接矩阵进行幂次计算，可以得到节点之间的路径数量和长度信息，可以用于计算网络的连通性和可达性。
5. 特征值和特征向量分析：通过计算网络矩阵的特征值和特征向量，可以得到
网络的特征信息，如网络的谱半径、特征中心性等。
6. Laplacian矩阵（拉普拉斯矩阵）：通过对邻接矩阵和度矩阵进行运算得到的矩阵，可以用于研究网络的连通性、划分和传播等问题。
通过上述矩阵分析方法，可以揭示网络的结构、功能和行为特征，对于网络科学、社交网络分析、复杂网络研究等领域具有重要的应用价值。
谱聚类 拉普拉斯算法
谱聚类拉普拉斯算法
谱聚类是一种常用的聚类算法，通过将数据集转化为图形模型，利用图的谱分析方法来进行聚类。
其中，拉普拉斯算法是谱聚类的一种基本算法，其主要思想是将数据集转化为图形模型后，通过计算拉普拉斯矩阵来得到聚类结果。
具体来说，拉普拉斯算法分为两种类型：标准拉普拉斯算法和对称拉普拉斯算法。
标准拉普拉斯算法通过计算拉普拉斯矩阵的特征向量来进行聚类，而对称拉普拉斯算法则通过计算对称拉普拉斯矩阵的特征向量来进行聚类。
两种算法的主要区别在于拉普拉斯矩阵的构造方式不同。
在实现拉普拉斯算法时，需要先构造数据集的邻接矩阵和度矩阵，然后根据不同的算法类型计算拉普拉斯矩阵，并求解其特征向量。
最后，通过对特征向量进行聚类，即可得到最终的聚类结果。
总之，拉普拉斯算法是谱聚类中比较基础的算法之一，通过对数据集进行图形模型转化，可以有效地进行聚类。
在实际应用中，需要根据数据集的特点选择不同的算法类型，并根据具体情况进行参数调整，才能得到更加准确的聚类结果。
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拉普拉斯矩阵的约当形式
拉普拉斯矩阵的约当形式拉普拉斯矩阵的约当形式拉普拉斯矩阵(Laplacian Matrix)是图论中的一个重要概念，它描述了无向图的拓扑结构和节点之间的关系。
在图的分析和网络科学中，拉普拉斯矩阵被广泛应用于图的划分、聚类、嵌入等问题。
本文将着重讨论拉普拉斯矩阵的约当形式，并介绍其应用。
1. 拉普拉斯矩阵简介在无向图中，拉普拉斯矩阵定义为：$L = D - A $其中，D是度数矩阵(Degree Matrix)，A是邻接矩阵(Adjacency Matrix)。
度数矩阵是一个对角矩阵，其每个元素都表示该节点的度数。
邻接矩阵则记录了图中节点之间的连接关系。
拉普拉斯矩阵描述了节点之间的距离和相互作用，因此可以看作是图的一种特殊表示。
对于一个无向图G=(V,E)，其中V是节点集，E是边集，拉普拉斯矩阵的大小为|V|×|V|。
其中，对角线元素为每个节点的度数，非对角线元素则表示节点之间的连接关系。
具体来说，如果节点i和节点j相邻，则$L_{i,j}=-1$；否则，$L_{i,j}=0$。
同时，拉普拉斯矩阵是一个对称半正定矩阵。
2. 拉普拉斯矩阵的性质与应用拉普拉斯矩阵有以下性质：(1) 对于任意的向量f，都有$f^T L f\ge 0$。
(2) $L_{i,j}$表示节点i和节点j之间的“相似度”，当$i=j$时，$L_{i,j}$表示该节点与其他节点的“不相似度”。
(3) 对于无向图G，它的拉普拉斯矩阵的特征值和特征向量都非负。
(4) 图的连通性与拉普拉斯矩阵的特征值有关。
具体来说，图G的拉普拉斯矩阵$L$的特征值为$\lambda_1=0<\lambda_2\le\lambda_3\le\cdots\le\lamb da_{n-1}\le\lambda_n$，其中$n$为图的节点数。
当且仅当图G连通时，$\lambda_2>0$，此时$\lambda_2$即为图G 的代数连通度。
拉普拉斯特征映射降维
拉普拉斯特征映射降维拉普拉斯特征映射降维：从简到繁，由浅入深的探索一、介绍在当今大数据时代，高维数据的处理变得越来越重要。
然而，高维数据的特点是维度多、噪声大，而且存在着冗余信息，这给数据处理和分析带来了挑战。
为了克服这些问题，并发现数据中隐藏的本质特征，降维技术成为了一个热门研究领域。
降维技术旨在从高维空间中提取出最具代表性的低维子空间，并保留原始数据的关键结构信息。
在这个领域中，拉普拉斯特征映射是一种被广泛应用的方法，它在节点图中通过计算节点间的邻接关系，将高维数据映射到低维子空间中。
在本文中，我们将对拉普拉斯特征映射进行全面评估，并深入探讨其原理、优势和应用。
二、原理与方法1. 拉普拉斯矩阵拉普拉斯矩阵是拉普拉斯特征映射的核心工具之一。
它用于度量节点间的相似性，并构建邻接图。
拉普拉斯矩阵包含了两部分：度矩阵和邻接矩阵。
度矩阵反映了每个节点的连接数，而邻接矩阵则表示了节点之间的邻接关系。
通过计算度矩阵和邻接矩阵的差异，我们可以得到拉普拉斯矩阵。
2. 特征向量与特征值通过分解拉普拉斯矩阵，我们可以得到其特征向量和特征值。
特征向量代表了数据在低维子空间中的投影，而特征值则表示了每个特征向量的重要性。
通过选择最大的特征值对应的特征向量，我们可以得到最具代表性的低维子空间。
3. 降维过程降维过程主要包括以下几个步骤：- 构建邻接图：基于数据的相似性，构建邻接图来表示数据之间的关系。
- 计算拉普拉斯矩阵：通过度矩阵和邻接矩阵的差异，计算得到拉普拉斯矩阵。
- 特征值分解：对拉普拉斯矩阵进行特征值分解，得到特征向量和特征值。
- 选择特征向量：选择最大的特征值对应的特征向量，构建低维子空间。
- 数据映射：将原始数据映射到低维子空间，得到降维后的数据。
三、优势与应用拉普拉斯特征映射具有以下几个优势：1. 保持数据局部结构：拉普拉斯特征映射基于邻接关系，能够更好地保持数据的局部结构，减小降维过程中的信息损失。
2. 无监督学习：拉普拉斯特征映射是一种无监督学习方法，不需要事先标注的标签信息，使其适用于各种数据类型和场景。
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邻接矩阵及拉普拉斯矩阵
邻接矩阵
图的邻接矩阵能够很方便的表示图的很多信息，且具有描述简单、直观的特点。
无向简
单图的邻接矩阵定义如下：设图G = (V ，E ) ，有n ≥ 1 个顶点,分别为：
12,,,n v v v L 则G 的邻接矩阵 A 是按如下定义的一个n 阶方阵。
1v =a a =0,i j ij n n ij A ⨯∈⎧⎨
⎩，
（,v ）E （） ， 否则
直观上，由邻接矩阵我们可以得到如下信息：
1.邻接矩阵是一个0，1的对称矩阵，对角线元素为0。
2.矩阵的各个行和（列和）是各个顶点的度。
所有元素相加和为边数的二倍。
3. A n 的i , j 位置元素为v i j 与v 之间的长度等于n 的通路的数目，而i ，j 位置的元素为v i 到自身的回路的数目。
特别的2
A 的i,i 位置元素是v i 的度；3
A 的i,i 位置元素是含v i 的三角形数目的二倍。
4.由3.设1
(1)l
k
l k S A
l ==
≥∑，则l S 中,i j 位置元素(),S l i j 为顶点i v 与v j 之间长度小于或
等于l 的通路的个数。
若(n-1),S 0i j =，则说明i v 与v j 之间没有通路。
由此我们可以得到一个判断图G 的联通新的重要准则：对于矩阵1
l
k
l k S A
==∑，若S 中所有元素都非零则G 是连通图，
否则图G 是非连通图。
5.设G 是连通图，将矩阵 A 的所有是1的元素换成−1，并且把对角线元素ii a 换成相
应顶点i v 的度，
i=1,2,,n L （），则所得到的矩阵的任何元素的代数余子式都相等，等于G 的
生成树的数目。
拉普拉斯矩阵
Laplacian matrix的定义
拉普拉斯矩阵（Laplacian matrix)），也称为基尔霍夫矩阵, 是表示图的一种矩阵。
给定一G=，其拉普拉斯矩阵被定义为:
个有n个顶点的图(V,E)
=-
L D W
其中为图的度矩阵，为图的邻接矩阵。
举个例子。
给定一个简单的图，如下：
把此“图”转换为邻接矩阵的形式，记为：
把的每一列元素加起来得到个数，然后把它们放在对角线上（其它地方都是零），组成一个的对角矩阵，记为度矩阵，如下图所示：
根据拉普拉斯矩阵的定义，可得拉普拉斯矩阵为：
拉普拉斯矩阵的性质
介绍拉普拉斯矩阵的性质之前，首先定义两个概念，如下：
①对于邻接矩阵，定义图中A 子图与B 子图之间所有边的权值之和如下：
,(A,B)ij i A j B
W w ∈∈=
∑
其中，ij w 定义为节点i 到节点j 的权值，如果两个节点不是相连的，权值为零。
②与某结点邻接的所有边的权值和定义为该顶点的度d ，多个d 形成一个度矩阵 （对角阵）
1
n
i ij j d w ==∑
拉普拉斯矩阵 具有如下性质：
是对称半正定矩阵；
L 101⋅=⋅ ，即 的最小特征值是0，相应的特征向量是1。
证明：
1()1001L D W ⋅=-⋅==⋅
有n 个非负实特征值12n 0=λλλ≤≤≤L
且对于任何一个属于实向量n
f R ∈ ，有以下式子成立
2,1
1'()2N
ij i j i j f Lf w f f ==-∑
其中，L D W =-,1
n
i ij
j d w
==
∑,,(A,B)ij i A j B
W w ∈∈=
∑。
证明：
()2
1,1
2221,11
,1''11
(2)22n
n
i i i j ij
i i j n n n n
i i i j ij j j ij i j i i j j i j f Lf f Df fWf d f f f w d f f f w d f w f f =======-=-=
-+=-∑∑∑∑∑∑。