图的最小特征根和拉普拉斯谱半径
图谱简介
图谱简介图论与组合是一门历史悠久而在近四十年又获得蓬勃发展的应用数学学科，是处理离散问题的强有力的工具，是整个离散数学的一个重要组成部分。
图论与组合包含着十分丰富的内容，按其所研究的问题的侧重点不同，可以分为图论、计数理论、组合矩阵论、最优化理论、组合设计等几个方面。
近五十年来，随着计算机科学、信息科学和系统科学的发展，图论组合及其应用的研究越来越引起人们的关注。
无论从其理论价值和实际应用的广度和深度来看，图论与组合正处于一个具有强大生命力的迅速发展的新时期。
一．图的矩阵在图论中，为了研究图的性质，人们引进了各种各样的矩阵，诸如图的邻接矩阵，拉普拉斯矩阵，规范拉普拉斯矩阵等，这些矩阵与图都有着自然的联系，代数图论的一个主要问题就是研究图的性质能否以及如何由这些矩阵的代数性质反映出来，这里所指的矩阵的代数性质，主要指矩阵的特征值。
图谱理论主要研究图的邻接矩阵、拉普拉斯矩阵和规范拉普拉斯矩阵的特征值及其特征向量，是当前代数图论、组合矩阵论和代数组合论共同关注的一个重要研究课题，极大地丰富和促进了图论和组合学的研究内容。
假设),(E V G =是一个无向无环的图（简单图或多重图），其中{}n v v v V ,,,21 =，{}m e e e E ,,,21 =。
定义1 G 的邻接矩阵是一个n n ⨯的矩阵n n ij a G A ⨯=)()(，其中ij a 是连接顶点i v 与j v 的边的条数。
图的邻接矩阵的特征值，是代数图论的一个基本研究课题，已经形成相当成熟的理论。
图谱的第一篇论文发表于1957 年，其结果是.定理1 令G 是n 个结点的简单连通图，则1)(1cos 2-≤≤+n G n ρπ，左边的等号成立，当且仅当G 是一路；右边的等号成立，当且仅当G 是一个完全图。
在国内该方面的研究直到1979年才出现了第一篇论文，该论文由李乔和冯克勤合写并发表在1979年的《应用数学学报》上。
代表人物: C. D. Cvetkovic.专 著：D. M. Cvetkovic, M. Doob, and H. Sachs, Spectra of graph-theory and applications, VEB Deutscher Verlag d. Wiss. Berlin, 1979; Acad. Press, New York, 1979. 1995注：1．)()(),(k ijk ij k a a A = 表示 G 中点 i v 到 j v 长为 k 的路的数目—数学归纳法。
具有固定直径的图的最小无号拉普拉斯谱半径定理总结
令))(),((G E G V G =表示简单图，其中{}n v v v G V ,,,)(21 =是G 的顶点集，(G)E 是G 的边集。
)(v N G 表示G 的与点v 邻接点的集合，简记为)(v N 。
)(v d G 表示点v 的度，简记为)(v d 。
)(G ∆表示G 的最大度。
G 的邻接矩阵)()(ij a G A =是一个n n ⨯的)1,0(矩阵，其中当i v 与j v 邻接时1=ij a ；否则0=ij a 。
)(G A 的最大特征值称为G 的谱半径。
令))(),(),(()(21n v d v d v d diag G D ， =是G 的度矩阵，则)()()(G A G D G L -=称为图G 的拉普拉斯矩阵，G 的拉普拉斯特征多项式为))(det(G L xI -，记为);(x G Φ或者)(G Φ。
称)()()(G A G D G Q +=为图G 的无号拉普拉斯矩阵。
由于)(G A 、)(G L 和)(G Q 是实对称矩阵，所以它们的特征值都为实数。
)(G A 、)(G L 和)(G Q 的最大特征值分别叫做G 的谱半径（记为λ），拉普拉斯谱半径（记为ρ）和无号拉普拉斯谱半径（记为μ）。
通常我们把具有n 个点的圈，路，星图分别记为n n P C ,和1,1-n K 。
连通图G 的两点i v 和j v 之间的距离记为(,)i j dist v v 。
连通图G 的直径为G 中任意两点间距离的最大值，简记为)(G d 。
二部图，又称二分图，偶图。
指定点可以分成两个不相交的集使得在同一个集内的顶点不相邻（没有共同边）的图。
正则图指的是各顶点的度均相同的图。
令)4,(-ℜn n 表示顶点个数为n ，直径为4-n 的图的集合。
同理)3,(-ℜn n ，)2,(-ℜn n 定义如上。
如果)4,(-ℜ∈n n G 并且具有最小无号拉普拉斯谱半径，则称G 是)4,(-ℜn n 中的一个极图。
图的无符号拉普拉斯谱半径的一个新上界
在 图谱 的研究 中 ， 谱半 径 的界 的估 计一 直 以来 都是 个 热 点 问题 ， 因为 它对 图 的特 征 的研 究 是 有意 义 的， 因此关 于 研究 图 的谱半 径有 着重 要 的理论 意义 和实 际意 义 ， 特别 是在 物理 、 学 、 物及 计算 机 网 化 生
络 中有 着广 泛 的应用 。 年来关 于 图 的谱 半 径 已经有 了很 多 的好 的上界 ［ ， 文 主要 利 用 了 图的 度序 近 １ 本 ］
列 平方 和 的上界 给 出 了一 个 简单 连通 图新 的谱半 径 上界 。 简 单连 通 图 Ｇ（ Ｅ） 其 中 Ｉ／ｌ ， 设 Ｖ， ， 、 一 ｒ Ｉ — ， 于任 意一个 ∈ Ｖ， ｄ 表 示其 顶 点 的度 。 Ｉ Ｅ 对 用 我们 对 ｄ 按从 大 到小 的顺 序给 出一个 排列 ｄ ≥ ｄ ≥ … ≥ ｄ 。 Ｇ） Ａ（ 我们 称为 图 Ｇ的邻接 矩 阵 ， Ｇ）一 ｄａ （ ｄ ， ， 称为 图 Ｇ的度 对 角矩 Ｄ（ ｉ ｄ ， … ｄ ） ｇ 阵 。 Ｇ）＝ Ｄ（ ＋ Ａ（ 称为 图 Ｇ 的无 符号 拉普 拉斯 矩 阵 。 Ｑ（ ＝ Ｇ） ＝ Ｇ） 由上述 的定 义 我们 可知 Ｑ（ Ｇ）的特征值 是 实 的且 非负 的 。 Ｑ（ 设 Ｇ）的特征 值 为 （ ， （ ） … ， （ ， 对其 特征 值进 行排 序 （ ）≥ （ ≥ Ｇ） Ｇ ， Ｇ） 先 Ｇ Ｇ）
给定团数的图的距离无符号拉普拉斯谱半径
给定团数的图的距离无符号拉普拉斯谱半径李金溪;杨墁;尤利华【摘要】设G是n阶简单连通图,T(G)表示图G的点传递度对角矩阵,D(G)表示距离矩阵,G的距离无符号拉普拉斯矩阵定义为:Q(G)=T(G)+D(G),相应的谱半径(即最大特征值)记作qD(G).图G中一个相互邻接的顶点子集称为G的一个团,定义G的团数为其最大团的顶点个数,记作ω(G).图G的一个正常着色是指使得G中任意2个相邻的顶点着不同颜色的一种着色方案.在G的所有正常着色中,所需颜色数目的最小值称为G的色数,记作X(G).显见,X(G)≥ω(G).为了研究给定团数ω(G)=ω的n 阶简单连通图G中取得最小距离无符号拉普拉斯谱半径的极图,文中综合运用代数、矩阵论与图论等方法,分如下2种情形进行讨论:(1)X(G)=ω(G)=ω;(2)X(G)＞ω(G)=ω.证明了Turán图Ln.ω是团数为ω的n阶简单连通图中具有最小距离无符号拉普拉斯谱半径的唯一图.【期刊名称】《华南师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2016(048)006【总页数】6页(P118-123)【关键词】连通图;团数;距离无符号拉普拉斯谱半径【作者】李金溪;杨墁;尤利华【作者单位】华南师范大学数学科学学院,广州510631;华南师范大学数学科学学院,广州510631;华南师范大学数学科学学院,广州510631【正文语种】中文【中图分类】O151.21Key words： connected graph; clique number; distance signless Laplacian spectral radius关于图的距离谱半径的研究已经有很多年了，早期的工作可追溯到1978年[1],而距离无符号拉普拉斯谱半径是2013年才提出并研究的. 文献[2]刻画了树、单圈图和二部图中取得最小距离无符号拉普拉斯谱半径的极图,以及给定悬挂点或者连通度的连通图中取得最小距离无符号拉普拉斯谱半径的极图. 文献[3]得到了在双圈图中取得最小和第二小距离(距离无符号拉普拉斯)谱半径的极图. 2015年,文献[4]证明了图的最大、第二大距离拉普拉斯特征值和第二大距离无符号拉普拉斯特征值的猜想[5],DAS[6]证明了树中(最大度为n-2 的一棵n阶树)是取得第二小距离无符号拉普拉斯谱半径的极图.另一方面,关于给定团数的图或有向图的谱半径、拉普拉斯或无符号拉普拉斯谱半径的研究,请参看文献[7-13].所使用的方法技巧得益于文献[7]的启发,刻画了给定团数的连通图中取得最小距离无符号拉普拉斯谱半径的极图.设M是n×n矩阵,1,2,…,n为M的特征值. 一般来说,M不是对称矩阵,所以其特征值可能是复数. 不妨假设|1|≥|2|≥…≥|n|. 把M的特征值的模的最大值|1|定义为M 的谱半径,记为ρ(M). 由Perron-Frobenius定理可知:若M是非负矩阵,则其谱半径ρ(M)是M的一个特征值; 若M是非负不可约矩阵,则其谱半径ρ(M)=1是单根. 设G=(V(G),E(G))是连通图,其顶点集为V(G)={v1,v2,…,vn},边集为E(G). 对于任意的u,vV(G),以G中连接u、v的最短路的长度表示u、v两者之间的距离,记作dG(u,v)或duv. 对于任意的uV(G),以顶点u到G中其他所有顶点的距离的和表示顶点u 的传递度(transmission),记作TG(u). 如果G中所有点的传递度相等,即TG(v1)=TG(v2)=…=TG(vn),称图G是距离正则图.G的距离矩阵是n×n矩阵,记作D(G)=(dij),其中dij=dvivj. 显见，连通图G 的距离矩阵是非负不可约矩阵，其距离谱半径定义为其距离矩阵D(G)的谱半径,即为D(G)的最大特征值,记作ρD(G). 事实上,顶点vi的传递度TG(vi)是D(G)的第i行的行和,其中1≤i≤n. 称对角矩阵T(G)=diag(TG(v1),TG(v2),…,TG(vn))为G的点传递度对角矩阵. AOUCHICHE和HANSEN[5]定义G 的距离无符号拉普拉斯矩阵为：Q(G)=T(G)+D(G). 显见Q(G)是非负不可约的、对称的、半正定的. 定义连通图G 的距离无符号拉普拉斯谱半径是其距离无符号拉普拉斯矩阵Q(G)的谱半径,即为Q(G)的最大特征值,记作qD(G).V(G)中相互邻接的顶点子集是图G的一个团,定义G中最大团的顶点个数为G 的团数,记作ω(G). 定义图G 的一个正常着色是指使得G中任意2个相邻的顶点着不同颜色的一种着色方案. 在G的所有正常着色中,所需颜色数目的最小值称为G的色数,记作(G). 由于G包含一个大小为ω(G)的团,所以至少需要ω(G)种颜色来给G 正常着色,因此(G)≥ω(G).以Kn表示n阶完全图,顶点划分为V1,V2,…,Vr的完全r部图记作K|V1|,|V2|,…,|Vr|. 如果某个n阶完全r部图的顶点划分满足其每个部分的顶点个数尽可能相等,则称其为Turn图,记作Tn,r. 显然ω(Tn,r)=r.其他的定义、术语以及未提到的符号可参看文献[14-20].给出基本符号和定义后,紧接着寻求和证明在给定团数的连通图中取得最小距离无符号拉普拉斯谱半径的极图.以下所考虑的图G为n阶简单连通图,其顶点集为V(G)={v1,v2,…,vn},边集为E(G),显见Q(G)=(qij)是不可约的、非负的、对称的和半正定的. 由Perron-Frobenius 定理,qD(G)是单根并且有一个正的单位特征向量x=(x1,x2,…,xn)Tn与之对应,这里x被称作Q(G)的Perron向量. 从而,由和Q(G)x=qD(G)x,易得.定义1[16]26 设A=(aij)、B=(bij)是n×n阶矩阵. 如果对于所有的i和j都有aij≤bij,记作A≤B. 如果A≤B并且A≠B,记作A<B. 如果对于所有的i和j都有aij<bij,记作A≪B.引理1[16]27 设A、B为n×n非负矩阵,其谱半径分别为ρ(A)、ρ(B). 如果A≤B,则ρ(A)≤ρ(B). 此外,如果A<B且B是不可约,则ρ(A)<ρ(B).根据引理1及Q(G)和qD(G)的定义,可得以下以图的语言来描述的推论.推论1 设G是n阶图,H是G的生成子图,H和G均是连通的. 则(i) qD(H)≥qD(G).(ii) 如果H是G的真子图，则qD(H)> qD(G).推论2[2]1379 设G为连通图,u、v是G中任意2个不邻接的顶点,G+uv表示G 添加边uv,则qD(G+uv)<qD(G).引理2 设G为连通图,x=(x1,x2,…,xn)T是Q(G)的Perron向量,NG(v)是G中与顶点v相邻的点集,vr,vsV(G). 若NG(vr)\{vs}=NG(vs)\{vr},则xr=xs.证明记U=V(G)\{vr,vs}. 由NG(vr)\{vs}=NG(vs)\{vr}及G的连通性,可知对任意的vtU有drt=dst,进而,由可得TG(vr)=TG(vs).注意到故(qD(G)+drs-TG(vr))(xr-xs)=0.再由qD(G)>TG(vr),可得xr=xs.引理3 设G是n阶连通图,其团数为ω(G)=ω. 若其色数(G)=ω(G)=ω,则qD(G)≥qD(Tn,ω),且等式成立当且仅当G≅Tn,ω.证明以Fn,ω表示所有色数等于ω 的n 阶图的集合. 不妨设GFn,ω是所有色数为ω的n阶图中具有最小距离无符号拉普拉斯谱半径的图. 下面将证明G≅Tn,ω.由于添加边会减小距离无符号拉普拉斯谱半径,所以G必定是完全ω部图. 令V1,V2,…,Vω 是V(G) 的一个划分使得G=K|V1|,|V2|,…,|Vω|. 不失一般性,对任意的k{1,2,…,ω},假设|Vk|=nk,且|V1|≤|V2|≤…≤|Vω|.如果对任意1≤i<j≤ω,都有||Vi|-|Vj||≤1,则G≅Tn,ω. 否则,存在i,j{1,2,…,k}使得||Vi|-|Vj||>1. 不失一般性,假设|V1|≤|V2|-2(即n1≤n2-2). 记H=K|U1|,|U2|,…,|Uω|,这里U1=V1∪{u},其中uV2,U2=V2\{u}且对任意的k{3,…,ω},均有Uk=Vk(图1). 显见HFn,ω. 下面,将证明qD(G)>qD(H).设y为Q(H)的Perron向量. 由引理2可知Uk 的所有顶点具有相同的Perron分量. 用yk表示Uk 中顶点的Perron分量,其中k=1,2,…,ω. 显见，由于Perron向量y≫0,故对任意的k{1,2,…,ω}有yk>0. 注意到对任意viV1,有 dG(u,vi)-dH(u,vi)=-1成立,对任意vjV2\{u}=U2, 有dG(u,vj)-dH(u,vj)=1成立,且对任意的点对vs和vt,有dG(vs,vt)-dH(vs,vt)=0成立,故以下几个结论成立: (1) TG(u)-TH(u)=n2-n1-1;(2)对任意viV1,有TG(vi)-TH(vi)=-1;(3)对任意vjV2\{u}=U2,有TG(vj)-TH(vj)=1;(4)对任意vtV(G)\(V1∪V2),有TG(vt)-TH(vt)=0.再由n1≤n2-2<n2-1,瑞利商定理[17]及上述结论(1)～(4),可得qD(G)-qD(H)≥yT(Q(G)-Q(H))y=).下面证明y2≥y1. 注意到qD (H)y1=(n+n1-1)y1+2n1y1+(n2-1)y2+∑k=3,4,…,ωnkyk,∑k=3,4,…,ωnkyk,则从而,再由n1≤n2-2可得y2≥y1.综上,,这与G的定义矛盾.设G是n阶连通图,其团数为ω(G)=ω. 下面分几种情形讨论：(i) ω|n; (ii) ω>n/2; (iii) ω<n/2且(G)>ω(G)=ω. 分别证明qD(G)≥qD(Tn,ω),且等式成立当且仅当引理4(Turn’s Theorem)[7]387 设G是不含ω+1团的n阶连通图,则G的边数e(G)≤e(Tn,ω),且等式成立当且仅当G≅Tn,ω.设G为n阶连通图,G的Wiener指数是指G中所有点对的距离之和,记作σ(G). 易见,).引理5[3]3957 设G是n阶连通图,则q(G)≥4σ(G)/n,且等式成立当且仅当G 是距离正则图.引理6 设G是n阶连通图,其团数为ω(G)=ω,则(i)qD(G)≥4σ(Tn,ω)/n,且等式成立当且仅当G≅Tn,ω.(ii)若ω|n,则qD(G)≥qD(Tn,ω)=2(n+n/ω-2),且等式成立当且仅当G≅Tn,ω.证明易见G有e(G)个点对距离为1,并且有-e(G)个点对距离大于等于2. 若GTn,ω,由引理4可知).再由引理5,得因此(i)成立.若ω|n,则Tn,ω是距离正则的,从而,且). 再由(i)知(ii)成立.设ω、n是正整数且ω<n,定义G(|V1|,|V2|,…,|Vω|)是满足如下条件的n阶图:(1)完全图Kω是它的真子图,其中V(Kω)={v1,v2,…,vω};(2)完全图Kn-ω是它的真子图,其中V(Kn-ω)=V1∪V2∪…∪Vω,这里|V1|≤|V2|≤…≤|Vω|且对任意的k{1,2,…,ω},连接vk与V(Kn-ω)\Vk中的每一个顶点(图2). 显然G(|V1|,|V2|,…,|Vω|)是连通的. 若ω>n/2,则某些Vk可能为空集. 易见G(0,0,…,0,1,1,…,1)≅Tn,ω.令}. 若ω>n/2,可以看到,在n,ω中除了Tn,ω之外,其他图的团数都大于ω. 下面将证明Tn,ω是n,ω中具有最小距离无符号拉普拉斯谱半径的惟一图.引理7 设ω、n为正整数且ω>n/2,Gn,ω,则qD(G)≥qD(Tn,ω),且等式成立当且仅证明不妨设H=G(|V1|,|V2|,…,|Vω|)是集合n,ω 中具有最小距离无符号拉普拉斯谱半径的图. 若HG(0,0,…,0,1,1,…,1),那么必存在某个k{1,2,…,ω}使得|Vk|≥2. 不失一般性,我们假设i是最小的指数使得|Vi|=ni≥2,j是最大的指数使得Vj=∅(事实上,这样的j一定存在,因为令H1=G(|U1|,|U2|,…,|Uω|),其中V(Kω)={v1,v2,…,vω},U=U1∪ U2∪…∪Uω=V(Kn-ω),且存在某个顶点uVi 使得Ui=Vi\{u}, Uj={u},而对任意的k{1,2,…,ω}\{i,j}均有Uk=Vk(图3). 显见,H1n,ω.下面证明qD(H)>qD(H1). 令y是Q(H1)的Perron向量且分量yvk对应顶点vk(k=1,2,…,ω),由引理2,Uk的所有顶点有相同的Perron分量,并且用yk表示Uk 中的顶点的Perron分量,其中k=1,2,…,ω. 很显然,由y≫0 可知对任意的k=1,2,…,ω,有yk>0 且yvk>0. 注意到dH(u,vi)-dH1(u,vi)=1,dH(u,vj)-dH1(u,vj)=-1,对任意的点对s和t,dH(s,t)-dH1(s,t)=0,且TH(vi)-TH1(vi)=1,TH(vj)-TH1(vj)=-1,对任意的点v,TH(v)-TH1(v)=0. 从而由瑞利商定理,可得qD(H)-qD(H1)≥yT(Q(H)-Q(H1))y=(yvi+yvj+2yj)(yvi-yvj).下面证明yvi≥yvj. 注意到,,从而,qD(H1)(yvi-yvj)=(n+ni-3)yvi-(n-1)yvj+(ni-1)yi-yj. 又由ni≥2 可知n+ni-3≥n-1,ni-1≥1,因此另一方面,注意到,,从而由式(1)和式(2),可得由qD(H1)>n,有从而yvi≥yvj,进而qD(H)≥qD(H1).若qD(H)=qD(H1),则yvi=yvj,yi=yj且y也是Q(H)的Perron向量. 所以,0=qD(H)(yvi-yvj)=(n+ni-2)yvi-(n-2)yvj+niyi>0,矛盾. 因此，qD(H)>qD(H1),这也与H 的定义矛盾. 证明完毕.引理8 设G是团数ω(G)=ω的n阶连通图. 若ω>n/2,则qD(G)≥qD(Tn,ω),且等式成立当且仅当G≅Tn,ω.证明设U={v1,v2,…,vω}是G的一个团,且记W=V(G)\U. 由于团数ω(G)=ω,从而对于V中的任意顶点来说，其最多有ω-1个邻点在U中. 这就意味着在图的同构的意义下,存在W的某个划分V1∪V2∪…∪Vω,使得G是G(|V1|,|V2|,…,|Vω|)的生成子图. 再由推论1和引理7,有qD(G)≥qD(G(|V1|,|V2|,…,|Vω|))≥qD(Tn,ω),且等式成立当且仅当G≅Tn,ω.引理9 设ω、n为正整数且ω≤n,则x1=q-(n+2k-4)q-(n+2k-2)x2.由式(4)和式(6),可得q2-(3n+4k-6)q+(2n2+4k2-10n-12k+4nk+2k2ω+2kω+8)=0.解方程(7),易见式(3)成立.令ω=n,由引理9可得推论3[5]30 qD(Kn)=2n-2.引理10[21] 设G是团数ω(G)≤ω的n阶连通图. 若(G)>ω且,则e(G)≤e(Tn,ω)-⎣.引理11 设G是团数ω(G)=ω的n阶连通图. 若(G)>ω且ω<n/2,则qD(G)≥qD(Tn,ω),且等式成立当且仅当G≅Tn,ω.证明令k=⎣,且GTn,ω. 下面证明qD(G)>qD(Tn,ω).由引理5和引理10,可得.显见e(Tn,ω)=(n2-n-2nk+k2ω+kω)/2,因此有为了证明qD(G)>qD(Tn,ω),由式(3)和式(8),只需证明.化简式(9),接下来证明nk(k+1)(n-ω-2kω)+[(k2ω+kω)-2(k-1)]2+(k-1)(n2+2n+4nk)>0.令n=kω+k0,其中0≤k0<ω. 那么由式(10),有4(k-1)2+kω[(k-1)(kω-2)+k0(k-3)]+(k2+2k-1)k02+2k0(2k+1)(k-1)>0.为了证明式(11)是正确的,需证注意到ω<n/2,从而k≥2. 由k≥2和k0<ω可知式(12)是正确的.定理1 设G是n阶连通图,其团数为ω(G)=ω,则qD(G)≥qD(Tn,ω),且等式成立当且仅当G≅Tn,ω.证明因为色数(G)≥ω(G)=ω,可以分以下情形来证明.情形1:(G)=ω(G). 此时,由引理3可知结论成立.情形2: (G)>ω(G).子情形2.1: ω=n/2. 此时,由引理6可知结论成立.子情形2.2: ω>n/2. 此时,由引理8可知结论成立.子情形2.3: ω<n/2. 此时,由引理11可知结论成立.结合以上情形的讨论,结论证明完毕.【相关文献】[1] GRAHAM R L,LOVSZ L. 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关于图的Laplace特征值
（ｃｏｎｒＩｅｃｔｉｖ时）矩阵…等等。对连通图Ｇ而言，其度对角矩阵Ｄ（Ｇ）是正的。可逆的，故
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转移Ｌａｐｌａｃｅ矩阵ｃ（Ｇ）＝Ｄ（Ｇ）１三（Ｇ）Ｄ（Ｇ）１是主对角元全为１的矩阵，它可视为
Ｌａｐｌａｃｅ特征值上界估计的结果，并给出了自己的一些结果； ３．关于对图的次大Ｌａｐｌａｃｅ特征值估计的结果： ４．用图的Ｌａｐｌａｃｅ特征值来对图的不变量进行估计；
关键词：图；邻接矩阵；Ｌａｐｌａｃｅ矩阵；谱ｉ Ｌａｐｌａｃｅ谱；特征值
关于图的Ｌａｐｌａｃｅ特征值
Ｏｎ Ｌａｐｌａｃｅ ｅｉｇｅｎｖａｌｕｅｓ ｏｆ ｇｒａｐｈ
Ｒｉｅｍａｒｍ流形上Ｌａｐｌａｃｅ算子的离散情形Ｍ“】。看来使用Ｌａｐｌａｃｅ矩阵一词是恰当的。 Ｌａｐｌａｃｅ矩阵研究对图论之所以重要，是因为可以用其特征值来估计图的诸多不变
量，如连通度，直径，带宽，二部宽，等周数，最大割，扩充子，边前向指数等等。有 些图不变量的计算是ＮＰ—ｈａｒｄ的，而Ｌａｐｌａｃｅ特征值则可用多项式理论中渐近求根方法 加以计算。研究Ｌａｐｌａｃｅ特征值与图的不变量间的联系的早期经典工作是在１９７３年 Ｆｉｅｄｌｅｒ的文章［５］中提出的。１９８５年，Ａｎｄｅｒｓｏｎ和Ｍｏｒｌｅｙ【６１第一次对Ｌａｐｌａｃｅ矩阵的最 大特征值进行了估计。此后，Ｍｅｒｒｉｓ［”，Ｍｏｈａｒｔ８Ｈ”１等人做出了新的估计，并提出新问 题和猜想。而Ｆ．Ｒ．Ｋ．Ｃｈｕｎｇ在１９９４年数学家大会（瑞士，苏黎士）上的４５分钟报告【Ｉ” 及其专著【“１的问世更将Ｌａｐｌａｃｅ矩阵的研究推向推向～个新的层面。
ｔｈｅｏｒｙ． Ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ ｇｉｖｅｓ ｓｏｍｅ ｎｅｗ ａｎｄ ｍｏｒｅ ａｃｃｕｒａｔｅ ｒｅｓｕｋｓ ｏｎ ｕｐｐｅｒ ｂｏｕｎｄｓ ｏｆｔｈｅ ｌａｒｇｅｓｔ
给定直径单圈图拟拉普拉斯谱半径
给定直径的单圈图的拟拉普拉斯谱半径【摘要】文章研究的是单圈图的拟拉普拉斯的最大特征值（谱半径），刻画了所有阶数为，直径为的单圈图中取得最大谱半径的单圈图是。
【关键词】单圈图直径拟拉谱拉斯谱半径[abstract] this paper vestigates the signless laplacian spectral radius of unicyclic graphs and unicyclic graphs of fixed order and diameter with greatest signless laplacian spectral radius are determined.[keywords] unicyclic graphs；diameter；signless laplacian；spectral radius1.引言及预备知识设是一个阶简单连通无向图，定义g的邻接矩阵为，这里。
矩阵为图g的度对角矩阵，其中表示顶点的度。
矩阵称为g的拉普拉斯矩阵，矩阵称为g的拟拉普拉斯矩阵。
由于是一个实对称方阵，它的特征值均为实数，不妨将其排列为。
称的最大特征值称为图g的拟拉普拉斯谱半径，通常记为。
此外，文中未给出定义的一些概念可以参考文献[6][7]。
图的拟拉普拉斯谱半径的研究是近年来热门的一个课题，在给定一个图的集合，在这个集合中寻找一个谱半径的上界或下界，并刻画达到这个界的图。
即在给定条件下确定具有最大或者最小谱半径的极图。
文献[2][3][5]分别研究了在给定围长、悬挂点个数、度序列的条件下的极图。
本文研究的是在给定直径的条件下，所有单圈图取得最大拟拉普拉斯谱半径的极图。
2.引理及相关定理引理1[3] 设为图g的一条边，在边中间加上一个新的顶点之后所得的图记为，那么有：（1）若不是图g的内部路，且，则，其中是n阶圈。
（2）若是图g的内部路，且，则，其中这里是阶路的首尾两个顶点各添加两条悬挂边而得到的图。
关于图的距离无符号拉普拉斯谱半径的下界
Vol. 55 No. 3Jun. 20 21第55卷第3期20 21年6月华中师范大学学报(自然科学版)JOURNAL OF CENTRAL CHINA NORMAL UNIVERSITY (Nat Si )DOI ：1 0 )96 0 3/j. cnki. 1 00 0-119 0 . 2 021. )3. )03 文章编号：1 000-1190(2 021)03-0347-04关于图的距离无符号拉普拉斯谱半径的下界朱银芬1,王国平2**,陈星*收稿日期:2020-03-05.基金项目：国家自然科学基金项目(11461071)；新疆维吾尔自治区自然科学基金项目(2021D01A65)；新疆维吾尔自治区第三期天山英才项目；新疆工程学院科研育人项目(2019xgy702112).* 通信联系人.E-mail ： xj. wgp @163. com.(1.新疆工程学院数理学院，乌鲁木齐830029； 2.新疆师范大学数学科学学院，乌鲁木齐8300170摘 要：若一个连通图G 的点集是V(G ) * {s,s,/,s+,那么图G 的距离矩阵D(G ) * (d,,0,其中d ”表示点s 与s 之间的距离.令O g L 0表示点l 到图G 中其他所有点的距离之和，O(G )表 示 < 行 < 列位置的元素Tr G (v,0的对角矩阵.图G 的距离无符号拉普拉斯矩阵Q ”(G ) * O(G ) +D 〈G ). Q ” (G )的最大特征值*q (G )是图G 的距离无符号拉普拉斯谱半径.该文确定了给定匹配数 的％个点的图的距离无符号径的下界.关键词：距离无符号拉普拉斯矩阵；谱半径；匹配数中图分类号：O157.5 文献标志码：A 开放科学(资源服务)标志码(OSID )：如果一个连通图G 的点集是V(G ) = L 1 ,2,那么图G 的距离矩阵D (G ) = (d ”)，其中d ”表示点L ,与L ”之间的距离.令O g L )表示点 L 到图G 中其点的距离之和，O(G )表示对角线位置的元素是Tr ；L )的对角矩阵.G 的距矩阵及距号拉普拉斯矩阵分别被表示为Q d (G ) = Tr(G)—D(G )与Q ”(G ) = O(G )+D(G ),它们的最大特征值*Q (G ) M *q (G )分别是图G 的距径与距 号 径.Aouchiche 和Hansen 在文献中引入了图的距与距号 的念,并 文献[2)中证明了树中 具 小距径.近年来,关于距离拉与距号的研究已经有了长足的进展.Xing 与Zhou 旧 了双圈图中具有最小距径与 小距 号径的一图.文献确定了在树、单圈图、双圈图、给定悬挂点数与连通度的图中具 小距号拉径的图.Liu 与Lu ()确定了 团数的 距号 径 的 Lin 和Zhou ()刻画了 悬挂点数与边连通度的图中具 小的距 径的 一 的特牛爱红等⑺确定了 数或给定连通度的二部图中具小距 径的极图.本文确定了给定匹配数的图的距离无符号拉径的下1引理先给岀一些已知的结果.引理1(1)图G 是连通图，若L > 1(G ),那么*q(G + uv ) <*q (G ).引理2(1) 设图G 是％阶连通图,那么*q (G )(*Q (K ”)= 2(% —1).设图G 是”个点的完全图将其记作K %,其补 图记作K ；;若G 1与G 是点不相交的两个图，用G 1V G 表示将G 1中的每一个点连接G 中的每一个点所得到的引理 3[z ] *Q (K > V K %_”) = 2n — m .引理4() 设人 与R 是％阶实对称矩,那么*% (R 2) + * (R 1) * * (R 1 + A 2 ),其中*,(R )是A 的第”大特征值.引理5() 设A 是％阶实对称矩阵,M 是A 的s (s <%)阶主子阵.那么*,+%—s (A ) **”)) **,(A )(1 *”*s ),其中* (A )是A 的第i 大特征值.若有X 7 V(G ),那么图G 的子图G —X 是将图；的乂中的点与X 点相关联的边同时册 到的 G 的一个 是 G 中 相 的边的合,那么所有匹配中含有最大的边数 G 的匹48华中师范大学学报(自然科学版)第55卷配数.若图G的某个连通分支的点数是奇数，那么称这个连通分支是图G的奇连通分支；否则，称这个连通分支是偶连通分支.引理6(-10]如果图；是匹配数为>的”阶，那么%—2>=max*(;—X)—丨X丨：X U3(&)},其中s(G—X)是图G—X的奇连通分支数.引理7(11)如果图G是连通图，那么*q(G) >*Q(G).2定理及推论如果图G]和同构，记之为G1二将匹配数为m的％阶连通简单图的集合记作G m.下面给出本文的主要结果•定理1设图g+g>，那么i)若m=L2」，则*q(G)(2(%—1),等式成立当且仅当G@K%.ii)若1*m*L2」一1,则*q(G)>2%—m.证明i)设m=L21由引理2得*q G)( *p(K%)=2(%—1).若 G@K%,则由引理1知*p(G)*q(,K n)•ii)设1*m*L2」一1由引理6,存在某个X。
图谱确定问题综述
１ 图的邻接谱确定性
本节考虑图关于邻接矩阵 Ａ的谱确定性．现 有的 ＤＡＳ图大都具有以下特点：该图或其补图的 谱半径很小．通 过 谱 半 径 的 估 计 确 定 同 谱 图 的 度 序列，然后将可能的同谱不同构的图类加以排除． 早期人们已经得到了一类特殊树，譬如 Ｚｎ，Ｔ型树 Ｔ（ａ，ｂ，ｃ），以及一般的星型树的谱刻画．近年来又 有更多的特殊图类被证明是 ＤＡＳ的．
ｖａｎＤａｍ等 分 ［９－１０］ 别于 ２００３年和 ２００９年发 表了关于上 述 问 题 的 综 述 文 章．现 在 十 余 年 过 去 了，这一领域也取得了一些新的进展，本文主要对 近十年来这一领域的一些新成果加以整理回顾， 并列出一些 仍 亟 待 解 决 的 问 题，希 望 引 发 进 一 步 的研究．
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广州大学学报（自然科学版）
第 １８卷
定理 １．１［１１］ 所有风筝图可由其邻接谱确定． 一个菠萝图，记为 Ｋｐｑ（ｐ≥３，ｑ≥１），是由一个 ｐ个顶点的完全图通过在一个顶点加 ｑ条悬挂边 得到的图．Ｔｏｐｃｕ等［１２－１３］证明了以下结果： 定理 １．２ 如果限定在连通图类中，Ｋｐｑ（ｐ≥ ３，ｑ≥１）可由其邻接谱确定．反 之 可 以 确 定 所 有 的 ｐ，ｑ使得存在一个不连通图与 ＫｐｑＡ同谱且不 同构． 一个哑铃图，记为 Ｄａ，ｂ，ｃ，是由两个不交圈 Ｃａ 和 Ｃｂ通过一条 ｃ＋３个顶点的路 Ｐｃ＋３分别连接两 个端点得到的图．Ｗａｎｇ等［１４］得到了下述结果： 定理 １．３ 不含 ４圈 Ｃ４ 的哑铃图 Ｄａ，ｂ，ｃ可由 其邻接谱确定． 一个图称为友谊图 （Ｆｒｉｅｎｄｓｈｉｐｇｒａｐｈ），记 为 Ｆｋ，是 ｋ个边不相交的三角形将其中每个三角形 恰选一 个 顶 点 粘 合 在 一 起 得 到 的 图 （风 车 图）． Ｗａｎｇ等［１５］猜测 友 谊 图 是 ＤＡＳ的．Ｄａｓ［１６］声 称 给 出了一个证明．Ａｂｄｏｌｌａｈｉ等［１７］指出证明中的一个 错误，并证明了一些特殊情形．Ｃｉｏａｂ等［１８］通过分 析仅有两个特征值不等于 ±１的图，得到了友谊图 谱确定性的下述完整结果： 定理 １．４ 友谊图 Ｆｋ当 ｋ≠１６时是 ＤＡＳ的． Ｒａｍｅｚａｎｉ等［１９］证明了下述结果： 定理 １．５ 一个奇圈与 Ｋ２ 的笛卡尔积 Ｃ２ｔ＋１ ×Ｋ２是 ＤＡＳ的． Ｃａｍａｒａ等［２０］研 究 了 何 时 一 个 完 全 图 删 去 一 些边得到的图是 ＤＡＳ的．他们提出以下猜想： 猜想 １．１ 令 Ｐｌ为一个完全图 Ｋｎ的子图，Ｋｎ 删去 Ｐｌ后得到的图记为 Ｋｎ＼Ｐｌ，则 Ｋｎ＼Ｐｌ对于所有 １≤ｌ≤ｎ是 ＤＡＳ的． 上述猜想当 ｌ＝ｎ时成立，这是 Ｄｏｏｂ等［２１］中的 主要结果．对该猜想的一些特殊情形，有以下定理： 定理 １．６ 上述猜想当 ｌ≤５时成立． 定理 １．７［２２］ 上述猜想当 ｌ＝７，８，９时成立． 需要指出的是，近年来 Ｋｏｏｌｅｎ等［２３－２４］发展了 Ｈｏｆｍｍａｎ等关于 线 图 刻 画 的 深 刻 理 论，得 到 了 最 小特征值大于 －３的图的一些刻画．基于此，他们 能够证明，譬如两个完全图 Ｋｔ的笛卡尔乘积构成 的 ｔ×ｔ格 子 图 的 ２团 扩 张 （即 将 每 个 顶 点 换 成 Ｋ２，新的顶 点 相 邻 当 且 仅 当 原 来 的 顶 点 相 邻 ）是 ＤＡＳ的，即： 定理 １．８［２５］ 当 ｔ足够大时，（ｔ＋１） × （ｔ＋ １）格子图的 ２团扩张图是 ＤＡＳ的．
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图的最小特征根和拉普拉斯谱半径
【摘要】：图谱理论是图论研究的一个非常活跃而又重要的研究领域,它在量子化学、统计力学、计算机科学、通信网络以及信息科学中均有着广泛的应用.图谱理论的研究主要是利用成熟的代数理论和技巧,并结合图论和组合数学的理论来研究图谱、图的结构性质以及与图的其它不变量(如色数、度序列、直径、围长、连通度等)之间的关系,它将图与网络的代数性质与其拓扑性质紧密地结合在一起.在图谱理论中,为了研究图的性质,人们引入了各种各样的矩阵,诸如图的邻接矩阵、关联矩阵、距离矩阵、拉普拉斯矩阵等等,这些矩阵与图的结构都有着密切的联系.图谱理论的一个主要问题就是研究图的性质能否以及如何由这些矩阵的代数性质反映出来,这里所说的矩阵的代数性质,主要是指矩阵的特征值所刻画的性质.在上面所提到的矩阵中,最重要的两个就是图的邻接矩阵和图的拉普拉斯矩阵.图的邻接矩阵的特征值和图的拉普拉斯矩阵的特征值都是在图的同构下的不变量.对图的邻接矩阵特征值而言,最重要的两个特征值是最大特征值和最小特征值,分别称为图的谱半径和最小根.对图的谱半径的研究,文献中存在大量的结果,已经形成了比较完善的理论体系.而对最小根而言,研究的结果还很少.在图的拉普拉斯特征值中,最重要的也有两个：图的最大拉普拉斯特征值(即拉普拉斯谱半径)和图的次小拉普拉斯特征值(即代数连通度).本论文主要围绕图的最小根和拉普拉斯谱半径进行研究.本文首先介绍图的最小根和拉普拉斯谱半径的研究背景和
进展,然后分四部分详细地介绍我们围绕这两个课题所取得的主要研究成果.本文的主要结果如下：(一)在第二章中我们讨论直径固定的一般图.用(?)n,d表示直径为d的n阶连通图的集合.对任意的图G∈(?)n,d,通过考虑图G的连通生成二部子图的最小根,我们获得了图G 的最小根的一个下界.进一步地,作为一个推论,给出了图G的拉普拉斯谱半径的一个上界.(二)在第三章中我们研究图的最小根与图的不变量.用U(n,K)表示悬挂点数为k的n阶单圈图的集合.利用移接变形的技巧和特征多项式的一些技巧,刻画了最小根达到最小的单圈图.用8(n,k)表示悬挂点数为k的n阶双圈图的集合.综合利用图谱理论的多种工具和手段,确定了最小根达到最小的双圈图.在本章的最后一节,我们考虑了图的不变量直径.用U(n,d)表示直径为d的n阶单圈图的集合,结合图的不变量直径,我们刻画了最小根达到最小的单圈图.(三)在第四章中我们讨论三圈图的谱.用(?)n表示n阶三圈图的集合.对n≥52,我们确定了最小根取到最小的唯一的三圈图.(四)在第五章中我们讨论树的拉普拉斯谱半径.用Tn,d表示直径为d的n阶树的集合.对d∈{1,2,3,4,n-4,n-3,n-2,n-1},我们分别确定了此时拉普拉斯谱半径达到最小的树.【关键词】：最小特征根拉普拉斯谱半径直径悬挂点移接变形单圈图双圈图三圈图
【学位授予单位】：华东师范大学
【学位级别】：博士
【学位授予年份】：2010
【分类号】：O157.5
【目录】：摘要6-8Abstract8-13第一章绪论13-251.1研究背景与进展13-171.2基本概念和记号17-201.3研究图谱理论常用的结论和工具20-25第二章直径固定的图的最小根的一个下界25-332.1引言25-272.2主要结果的证明27-33第三章单(双)圈图的最小根与图的不变量33-863.1引言33-343.2悬挂点数固定的单圈图的最小根34-463.3悬挂点数固定的双圈图的最小根46-703.4直径固定的单圈图的最小根70-86第四章三圈图的谱86-994.1引言864.2三圈图的最小根86-99第五章直径固定的树的拉普拉斯谱半径99-1175.1引言99-1005.2小直径时树的最小拉普拉斯谱半径100-1085.3大直径时树的最小拉普拉斯谱半径108-117参考文献117-125个人简历125-1262007年9月至2010年2月完成的文章126-128致谢128-129 本论文购买请联系页眉网站。