零点及二分法、图像变换练习题
分层作业1——零点、二分法
序号：01 数学分层作业 AB 层
1. 通过下列函数的图象，判断不能用“二分法”求其零点的是（ ）
A ．○
1○2○3 B ．○2○3○4 C ．○1○2○4 D ．○1○3○4 2.对于“二分法”求得的近似解，精确度ε说法正确的是
（ ） A ．ε越大，零点的精确度越高
B ．ε越大，零点的精确度越低
C ．重复计算次数就是ε
D ．重复计算次数与ε无关
3.用“二分法”求方程0523=--x x 在区间[2，3]内的实根，取区间中点为5.20=x ，那么下一个有根的区间是 .
4.方程lg 10
x x -=的根的个数是
*5.设()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()2x f x e =-，则()f x 的零点个数 是 个.
序号：01 数学分层作业 C 层
C-1.已知函数()()22log 1,02,0
x x f x x x x ⎧+>=⎨--≤⎩，若函数()()g x f x m =-有三个零点，则实数m 的取值范围是 .
C-2.若定义在R 上的偶函数()f x 满足(2)()f x f x +=,且当[0,1]x ∈时, ()f x x =,则函数3()log ||y f x x =-的零点个数是。
【一线教师倾力打造】人教B版数学必修同步练习数零点近似解的一种计算方法——二分法含答案
1．函数f (x )在区间(0,2)内有零点，则( )．A ．f (0)＞0，f (2)＜0B ．f (0)·f (2)＜0C ．在区间(0,2)内，存在x 1，x 2使f (x 1)·f (x 2)＜0D ．以上说法都不正确2．函数f (x )的图象如图所示，函数f (x )的变号零点个数为( )．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个3．函数y ＝x与y =( )．A ．(－1,0)B ．(0,1)C ．(1,2)D ．(2,3)4．如图所示，下列函数图象与x 轴均有交点，但不宜用二分法求交点横坐标的是( )．5．设函数[)()221,0,()4,,0x x f x x x ⎧-∈+∞⎪=⎨-∈-∞⎪⎩又g (x )＝f (x )－1，则函数g (x )的零点是________． 6．某方程有一个无理根在区间D ＝(1,3)内，若用二分法，求此根的近似值，则将D 至少等分________次后，所得近似值的精确度为0.1.7．证明：函数 225()1x f x x -=+在区间(2,3)上至少有一个零点． 8．已知关于x 的函数y ＝(m ＋6)x 2＋2(m －1)x ＋m ＋1恒有零点．(1)求m 的范围；(2)若函数有两个不同零点，且其倒数之和为－4，求m 的值．9.如图所示，有一块边长为15 c m 的正方形铁皮，将其四个角各截去一个边长为x c m 的小正方形，然后折成一个无盖的盒子．(1)求出盒子的体积y以x为自变量的函数解析式，并讨论这个函数的定义域；(2)如果要做成一个容积是150 c m3的无盖盒子，那么截去的小正方形的边长x是多少(精确到0.1 c m)?参考答案1. 答案：D解析：当f (x )＝|x －1|时，对于x ∈(0,2)恒有f (x )≥0，故A 、B 、C 排除．2. 答案：D3. 答案：C解析：依题意，令()f x x =(1)10f =<，(2)20f =>，∴f (1)f (2)＜0，且函数y ＝f (x )的图象在[－1，＋∞)上是连续的，所以函数y ＝x 与y =(1,2)，故选C.4. 答案：B解析：只有变号零点才适合用二分法来求．5. 答案：1，解析：当x ≥0时，g (x )＝f (x )－1＝2x －2，令g (x )＝0得x ＝1；当x ＜0时，g (x )＝x 2－4－1＝x 2－5，令g (x )＝0得x =∴g (x )的零点是1，6. 答案：5解析：∵310.12n -≤，得2n ≥20，n ＞4， ∴至少等分5次． 7. 解：∵函数225()1x f x x -=+的定义域为R ， ∴函数f (x )的图象在区间(2,3)上是连续的．又∵22251(2)0215f ⨯-==-<+，22351(3)03110f ⨯-==>+， ∴f (2)·f (3)＜0.∴函数f (x )在区间(2,3)上至少有一个零点．8. 解：(1)当m ＋6＝0时，函数为y ＝－14x －5显然有零点．当m ＋6≠0时，由Δ＝4(m －1)2－4(m ＋6)(m ＋1)＝－36m －20≥0，得59m ≤-. ∴当59m ≤-且m ≠－6时，二次函数有零点．综上，59m ≤-. (2)设x 1、x 2是函数的两个零点，则有()12216m x x m -+=-+，1216m x x m +=+. ∵12114x x +=-，∴12124x x x x +=-，即()2141m m --=-+，解得m ＝－3. 当m ＝－3时，m ＋6≠0，Δ＞0.∴m ＝－3.9. 解析：(1)∵底面积为(15－2x )2，高为x ，又15－2x ＞0且x ＞0，∴ 0＜x ＜7.5.∴y ＝(15－2x )2x ，x ∈(0,7.5)．(2)∵容积为150 c m 3，∴(15－2x )2·x ＝150.下面用二分法来求方程(15－2x )2x ＝150在(0,7.5)内的近似解．设f (x )＝(15－2x )2x －150，∵f (0)·f (1)＜0，f (4)·f (5)＜0，∴函数f (x )在[0,1]和[4,5]内各有一个零点，即方程(15－2x )2·x ＝150在[0,1]和[4,5]内各有一个解．下面用二分法求出方程在(0,1)内的解，如下表：∵∴可在区间[0.812 5，0.875]内取0.843 75作为函数零点的近似值．同理可得，在区间[4,5]内的近似值为4.7.即方程(15－2x )2·x ＝150在[0,1]和[4,5]内解的近似值分别为0.8和4.7.答：如果做成一个容积为150 c m 3的无盖盒子时，截去的小正方形的边长大约是0.8 c m 或4.7 c m.。
函数图象变换和零点
函数图象变换和零点一、函数图像1、平移变换Ⅰ、水平平移：函数()y f x a =+的图像可以把函数()y f x =的图像沿x 轴方向向左(0)a >或向右(0)a <平移||a 个单位即可得到；1）y =f (x )h 左移→y =f (x +h)； 2）y =f (x ) h右移→y =f (x -h)；Ⅱ、竖直平移：函数()y f x a =+的图像可以把函数()y f x =的图像沿x 轴方向向上(0)a >或向下(0)a <平移||a 个单位即可得到；1）y =f (x ) h 上移→y =f (x )+h ； 2）y =f (x ) h下移→y =f (x )-h 。
2、对称变换Ⅰ、函数()y f x =-的图像可以将函数()y f x =的图像关于y 轴对称即可得到；y =f (x ) 轴y →y =f (-x ) Ⅱ、函数()y f x =-的图像可以将函数()y f x =的图像关于x 轴对称即可得到；y =f (x ) 轴x →y = -f (x ) Ⅲ、函数()y f x =--的图像可以将函数()y f x =的图像关于原点对称即可得到；y =f (x ) 原点→y = -f (-x ) Ⅳ、函数)(y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像关于直线y x =对称得到。
y =f (x ) xy =→直线x =f (y )Ⅴ、函数)2(x a f y -=的图像可以将函数()y f x =的图像关于直线a x =对称即可得到；y =f (x )ax =→直线y =f (2a -x )。
3、翻折变换Ⅰ、函数|()|y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像的x 轴下方部分沿x 轴翻折到x 轴上方，去掉原x 轴下方部分，并保留()y f x =的x 轴上方部分即可得到；Ⅱ、函数(||)y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像右边沿y 轴翻折到y 轴左边替代原y 轴左边部分并保留()y f x =在y 轴右边部分即可得到4、伸缩变换Ⅰ、函数()y af x =(0)a >的图像可以将函数()y f x =的图像中的每一点横坐标不变纵坐标伸长(1)a >或压缩（01a <<）为原来的a 倍得到；y =f (x )ay ⨯→y =af (x )Ⅱ、函数()y f ax =(0)a >的图像可以将函数()y f x =的图像中的每一点纵坐标不变横坐标伸长(1)a >或压缩（01a <<）为原来的1a倍得到。
新教材2021-2022学年湘教版必修第一册 4.4.2 计算函数零点的二分法 作业
课时跟踪检测(三十三) 计算函数零点的二分法[A 级 根底稳固]1．(多项选择)以下函数中，能用二分法求函数零点的有( ) A ．f (x )＝3x －1 B ．f (x )＝x 2－2x ＋1 C ．f (x )＝log 4xD ．f (x )＝e x －2解析：选ACD f (x )＝x 2－2x ＋1＝(x －1)2，f (1)＝0，当x <1时，f (x )>0；当x >1时，f (x )>0，在零点两侧函数值同号，不能用二分法求零点，其余选项中在函数的零点两侧函数值异号．应选A 、C 、D.2．用二分法求方程x 3－2x －5＝0在区间[2，3]内的实根，下一个有根区间是( ) A ．[2，3] C ．[2，3]解析：选A 令f (x )＝x 3－2x －5，f (2)＝－1<0，f (3)＝16>0，f (2.5)＝5.625>0，f (2)f (2.5)<0，所以由零点存在定理可知下一个有根区间是[2，]，应选A.3．用二分法求方程的近似解，求得f (x )＝x 3＋2x －9的局部函数值数据如表所示：解析：选C 由表格可得，函数f (x )＝x 3＋2x ，1.812 5)内．结合选项可知，方程x 3＋2x C.4．(2021·山西太原高一质检)函数y ＝f (x )为[0，1]上的连续函数，且f (0)·f (1)<0，使用二分法求函数零点，，那么需对区间至多等分的次数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：选C 设需计算n 次，那么n 满足12n ，即2n >10，故计算4次就可满足要求，应选C.5．函数f (x )是R 上的单调函数，且f (x )的零点同时在区间(0，4)，(0，2)，(1，2)，⎝⎛⎭⎫1，32内，那么与f (0)符号相同的是( )A ．f (1)B ．f (2)C ．f ⎝⎛⎭⎫32D ．f (4)解析：选A 零点在(0，4)内，那么有f (0)·f (4)<0，不妨设f (0)>0，f (4)<0，取中点2； 零点在(0，2)内，那么有f (0)·f (2)<0，那么f (0)>0，f (2)<0，取中点1；零点在(1，2)内，那么有f (1)·f (2)<0，那么f (1)>0，f (2)<0，取中点32；零点在⎝⎛⎭⎫1，32内，那么有f (1)·f ⎝⎛⎭⎫32<0，那么f (1)>0，f ⎝⎛⎭⎫32<0.所以与f (0)符号相同的是f (1)．6．假设用二分法求函数f (x )在(a ，b )内的唯一零点时，，那么结束计算的条件是________． 解析：，即|a －b |≤，又b >a ，∴b －a ≤0.001. 答案：b －a ≤7．函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 有零点，但不能用二分法求出，那么a ，b 的关系是________． 解析：∵函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 有零点，但不能用二分法求出，∴函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 的图象与x 轴相切，∴Δ＝a 2－4b ＝0，∴a 2＝4b .答案：a 2＝4b8．用二分法求方程ln x －2＋x ＝0在区间[1，2]上零点的近似值，先取区间中点c ＝32，那么下一个含根的区间是________．解析：令f (x )＝ln x －2＋x ， ∵f (1)＝－1＜0，f (2)＝ln 2＞0， f ⎝⎛⎭⎫32＝ln 32－12＜0， ∴下一个含根的区间是⎝⎛⎭⎫32，2. 答案：⎝⎛⎭⎫32，29．函数f (x )＝13x 3－x 2＋1.(1)证明方程f (x )＝0在区间(0，2)内有实数解；(2)使用二分法，取区间的中点三次，指出方程f (x )＝0(x ∈[0，2])的实数解x 0在哪个较小的区间内．解：(1)证明：因为f (0)＝1>0，f (2)＝－13<0，所以f (0)·f (2)<0，由函数零点存在定理可得方程f (x )＝0在区间(0，2)内有实数解．(2)取x 1＝12×(0＋2)＝1，得f (1)＝13>0，由此可得f (1)·f (2)<0，下一个有解区间为(1，2)． 再取x 2＝12×(1＋2)＝32，得f ⎝⎛⎭⎫32＝－18<0， 所以f (1)·f ⎝⎛⎭⎫32<0，下一个有解区间为⎝⎛⎭⎫1，32.再取x 3＝12×⎝⎛⎭⎫1＋32＝54，得f ⎝⎛⎭⎫54＝17192>0， 所以f ⎝⎛⎭⎫54·f ⎝⎛⎭⎫32<0，下一个有解区间为⎝⎛⎭⎫54，32. 综上所述，所求的实数解x 0在区间⎝⎛⎭⎫54，32内． 10．方程2x ＋2x ＝5.(1)判断该方程解的个数以及所在区间；(2)用二分法求出方程的近似解(误差不超过0.1)． 参考数值：解：(1)令因为函数f (x )＝2x ＋2x －5在R 上是增函数，所以函数f (x )＝2x ＋2x －5至多有一个零点． 因为f (1)＝21＋2×1－5＝－1<0， f (2)＝22＋2×2－5＝3>0，所以方程2x ＋2x ＝5有一解在(1，2)内． (2)用二分法逐次计算，列表如下：， ，所以函数的零点近似值为1.312 5， 即方程2x ＋2x ＝5的近似解可取为1.312 5.[B 级 综合运用]11．用二分法求函数的零点，经过假设干次运算后函数的零点在区间(a ，b )内，当|a －b |<ε(ε为误差值)时，函数零点的近似值x 0＝a ＋b 2与真实零点的误差最大不超过( )A.ε4 B ．ε2C ．εD ．2ε解析：选B 真实零点离近似值x 0最远即靠近a 或b ，而b －a ＋b 2＝a ＋b 2－a ＝b －a 2<ε2，因此误差最大不超过ε2.12．假设函数f (x )在[a ，b ]上的图象为一条连续不断的曲线，且同时满足f (a )·f (b )<0，f (a )·f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2>0，那么( )A ．f (x )在⎣⎡⎦⎤a ，a ＋b 2上有零点B ．f (x )在⎣⎡⎦⎤a ＋b 2，b 上有零点 C ．f (x )在⎣⎡⎦⎤a ，a ＋b 2上无零点D ．f (x )在⎣⎡⎦⎤a ＋b 2，b 上无零点解析：选B 由f (a )·f (b )<0，f (a )·f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2>0可知f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2·f (b )<0，根据零点存在定理可知f (x )在⎣⎡⎦⎤a ＋b 2，b 上有零点．13．f (x )＝1x －ln x ，在区间(n ，n ＋1)(n ∈Z )上有一个零点x 0，那么n ＝________．假设用二分法求x 0的近似值(误差不超过0.01)，那么至少需要将区间等分________次．解析：f (x )＝1x －ln x 在(0，＋∞)上为减函数，又f (1)＝1>0，f (2)＝12－ln 2<0，∴f (x )的零点x 0∈(1，2)，故n ＝1. 设至少需等分n 次，那么⎝⎛⎭⎫12n≤且n ∈N ， 解得n ≥7，故至少需等分7次． 答案：1 714．在一个风雨交加的夜里，某水库闸房(设为A )到防洪指挥部(设为B )的 线路发生了故障．这是一条10 km 长的线路，如何迅速查出故障所在？如果沿着线路一小段查找，困难很多，每查一个点需要很长时间．(1)维修线路的工人师傅应怎样工作，才能每查一次，就把待查的线路长度缩减一半？ (2)要把故障可能发生的范围缩小到50 m ～100 m 左右，最多要查多少次？解：(1)如下图，他首先从中点C 查，用随身带的话机向两端测试时，假设发现AC 段正常，断定故障在BC 段，再到BC 段中点D 查，这次假设发现BD 段正常，可见故障在CD 段，再到CD 段中点E 来查，依次类推…(2)每查一次，可以把待查的线路长度缩减一半，因此最多只要7次就够了．[C 级 拓展探究]15．函数f (x )＝2x 2－8x ＋m ＋3为R 上的连续函数．(1)假设函数f (x )在区间[－1，1]上存在零点，求实数m 的取值范围；(2)假设m ＝－4，判断f (x )在(－1，1)上是否存在零点？假设存在，，用二分法求出这个零点所在的区间；假设不存在，请说明理由．解：(1)易知函数f (x )在区间[－1，1]上单调递减，∵f (x )在区间[－1，1]上存在零点，∴⎩⎪⎨⎪⎧f 〔－1〕≥0，f 〔1〕≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧2＋8＋m ＋3≥0，2－8＋m ＋3≤0，∴－13≤m ≤3， ∴实数m 的取值范围是[－13，3]． (2)当m ＝－4时，f (x )＝2x 2－8x －1， 易求出f (－1)＝9，f (1)＝－7.∵f (－1)·f (1)<0，f (x )在区间(－1，1)上单调递减， ∴函数f (x )在(－1，1)上存在唯一零点x 0. ∵f (0)＝－1<0，∴f (－1)·f (0)<0， ∴x 0∈(－1，0)．∵f ⎝⎛⎭⎫－12＝72>0，∴f ⎝⎛⎭⎫－12·f (0)<0， ∴x 0∈⎝⎛⎭⎫－12，0. ∵f ⎝⎛⎭⎫－14＝98>0，∴f ⎝⎛⎭⎫－14·f (0)<0， ∴x 0∈⎝⎛⎭⎫－14，0. ∵f ⎝⎛⎭⎫－18＝132>0，∴f ⎝⎛⎭⎫－18·f (0)<0， ∴x 0∈⎝⎛⎭⎫－18，0. ∵⎪⎪⎪⎪－18－0＝18<15， ∴所求区间为⎝⎛⎭⎫－18，0.。
函数应用零点二分法知识点和练习
一、方程的根与函数的零点1、函数零点的概念：对于函数))((D x x f y ∈=，把使0)(=x f 成立的实数x 叫做函数))((D x x f y ∈=的零点。
2、函数零点的意义：函数)(x f y =的零点就是方程0)(=x f 实数根，亦即函数)(x f y =的图象与x 轴交点的横坐标。
即：方程0)(=x f 有实数根⇔函数)(x f y =的图象与x 轴有交点⇔函数)(x f y =有零点．3、函数零点的求法：○1 （代数法）求方程0)(=x f 的实数根； ○2 （几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数)(x f y =的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．4、基本初等函数的零点：①正比例函数(0)y kx k =≠仅有一个零点。
②反比例函数(0)k y k x=≠没有零点。
③一次函数(0)y kx b k =+≠仅有一个零点。
④二次函数)0(2≠++=a c bx ax y ．（1）△＞０，方程20(0)ax bx c a ++=≠有两不等实根，二次函数的图象与x 轴有两个交点，二次函数有两个零点．（2）△＝０，方程20(0)ax bx c a ++=≠有两相等实根，二次函数的图象与x 轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点．（3）△＜０，方程20(0)ax bx c a ++=≠无实根，二次函数的图象与x 轴无交点，二次函数无零点． ⑤指数函数(0,1)x y a a a =>≠且没有零点。
⑥对数函数log (0,1)a y x a a =>≠且仅有一个零点1.⑦幂函数y x α=，当0n >时，仅有一个零点0，当0n ≤时，没有零点。
5、非基本初等函数（不可直接求出零点的较复杂的函数），函数先把()f x 转化成()0f x =，再把复杂的函数拆分成两个我们常见的函数12,y y （基本初等函数），这另个函数图像的交点个数就是函数()f x 零点的个数。
人教B版必修一课后作业：第二章 函数 2.4.2 Word版含答案
2.4.2求函数零点近似解的一种计算方法——二分法学习目标 1.理解变号零点的概念，掌握二分法求函数零点的步骤及原理.2.了解二分法的产生过程，会用二分法求方程近似解．知识点一零点存在的判定及变号零点与不变号零点的概念思考函数y＝3x＋3，y＝x2，y＝x2－2x－3的图象，如下图所示，在图象上零点左右的函数值有怎样的变化？答案函数y＝3x＋3的零点是－1，零点左侧的函数值为负数，零点右侧的函数值为正数；函数y＝x2的零点是0，在0两侧的函数值都是正数. 函数y＝x2－2x－3的零点是－1，3，在零点左右两侧的函数值异号．梳理 1.零点存在的判定如果函数y＝f(x)在一个区间[a，b]上的图象不间断，并且在它的两个端点处的函数值异号，即f(a)·f(b)＜0，则这个函数在这个区间上，至少有一个零点，即存在一点x0∈(a，b)，使f(x0)＝0.2．变号零点与不变号零点如果函数图象通过零点时穿过x轴，则称这样的零点为变号零点，如果没有穿过x轴，则称这样的零点为不变号零点．知识点二二分法思考1从机房到用户有一根光缆线，现测得光缆线上有一个断点，如何尽快找到这个断点？答案从中间(中点)向机房测试，若通，则断点必在中点与用户之间，以此查找，则能较快找到断点的大致位置．思考2已知y＝f(x)在[2,3]上连续，且f(2)＞0，f(3)＜0，即在(2,3)上有零点，问如何尽快缩小零点所在区间的范围？答案①取[2,3]的中点2.5.②计算f (2.5)．③若f (2.5)＞0，则零点必在(2.5,3)内，否则在(2,2.5)内． 梳理 1.二分法的概念对于在区间[a ，b ]上连续不断且f (a )·f (b )<0的函数y ＝f (x )，通过不断地把函数f (x )的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．2．二分法求函数零点的一般步骤已知函数y ＝f (x )定义在区间D 上，求它在D 上的一个零点x 0的近似值x ，使它满足给定的精确度．用二分法求函数零点的一般步骤为：第一步 在D 内取一个闭区间[a 0，b 0]⊆D ，使f (a 0)与f (b 0)异号，即f (a 0)f (b 0)＜0，零点位于区间[a 0，b 0]中．第二步 取区间[a 0，b 0]的中点，则此中点对应的坐标为x 0＝12(a 0＋b 0)．计算f (x 0)和f (a 0)，并判断：(1)如果f (x 0)＝0，则x 0就是f (x )的零点，计算终止；(2)如果f (a 0)·f (x 0)＜0，则零点位于区间[a 0，x 0]中，令a 1＝a 0，b 1＝x 0； (3)如果f (a 0)·f (x 0)＞0，则零点位于区间[x 0，b 0]中，令a 1＝x 0，b 1＝b 0. 第三步 取区间[a 1，b 1]的中点，则此中点对应的坐标为x 1＝12(a 1＋b 1)．计算f (x 1)和f (a 1)，并判断：(1)如果f (x 1)＝0，则x 1就是f (x )的零点，计算终止；(2)如果f (a 1)·f (x 1)＜0，则零点位于区间[a 1，x 1]上，令a 2＝a 1，b 2＝x 1； (3)如果f (a 1)·f (x 1)＞0，则零点位于区间[x 1，b 1]上，令a 2＝x 1，b 2＝b 1. …继续实施上述步骤，直到区间[a n ，b n ]，函数的零点总位于区间[a n ，b n ]上，当区间的长度b n －a n 不大于给定的精确度时，这个区间[a n ，b n ]中的任何一个数都可以作为函数y ＝f (x )的近似零点，计算终止．类型一判断零点存在区间例1已知函数f(x)的图象是连续不断的，且有如下的对应值表：则下列判断正确的是________．①函数f(x)在区间(－1,0)内至少有一个零点．②函数f(x)在区间(2,3)内至少有一个零点．③函数f(x)在区间(5,6)内至少有一个零点．④函数f(x)在区间(－1,7)内有三个零点．答案①②③解析根据零点存在的条件判断．反思与感悟判断函数零点所在区间的三个步骤(1)代入：将区间端点代入函数求出函数的值．(2)判断：把所得函数值相乘，并进行符号判断．(3)总结：若符号为正且函数在该区间内是单调函数，则在该区间内无零点，若符号为负且函数连续，则在该区间内至少有一个零点．跟踪训练1(1)若a＜b＜c，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间()A(a，b)和(b，c)内B．(－∞，a)和(a，b)内C.(b，c)和(c，＋∞)内D.(－∞，a)和(c，＋∞)内答案 A解析∵f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)·(x－a)，∴f(a)＝(a－b)(a－c)，f(b)＝(b－c)(b－a)，f(c)＝(c－a)(c－b)，∵a＜b＜c，∴f(a)＞0，f(b)＜0，f(c)＞0，∴f(x)的两个零点分别位于区间(a，b)和(b，c)内．(2)已知函数f(x)＝x3－2x2－x＋2，x∈[a，b]，且f(a)·f(b)＞0，则f(x)在[a，b]内的零点个数为________．答案0或2解析f(x)＝(x－2)(x－1)(x＋1)的图象如图，由图象可知，f(x)在[a，b]内的零点个数为0或2.类型二二分法的概念例2(1)下列图象所表示的函数中能用二分法求零点的是()(2)下列函数中不能用二分法求零点的是()A．f(x)＝3x－1 B．f(x)＝x3C．f(x)＝|x| D．f(x)＝(x－1)(x＋2)答案(1)C(2)C解析(1)A中，函数无零点．B和D中，函数有零点，但它们均是不变号零点，因此它们都不能用二分法来求零点．而在C中，函数图象是连续不断的，且图象与x轴有交点，并且其零点为变号零点，故选C.(2)结合函数f(x)＝|x|的图象可知，该函数在x＝0的左右两侧函数值的符号均为正，故其不能用二分法求零点．反思与感悟二分法求函数零点的依据：其图象在零点附近是连续不断的，且该零点为变号零点．因此，用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适用，对函数的不变号零点不适用．跟踪训练2已知函数f(x)的图象如图，其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为()A．4,4 B．3,4 C．5,4 D．4,3答案 D解析y＝f(x)的零点即y＝f(x)的图象与x轴的公共点，所以有4个．适合用二分法求零点，必须是变号零点，所以有3个．类型三用二分法求函数的近似零点例3求函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点的近似值(精确到0.1)．解由于f(1)＝－2<0，f(2)＝6>0，可以确定区间[1,2]作为计算的初始区间．用二分法逐步计算，列表如下：由上表的计算可知，区间[1.375,1.437 5]的左右端点精确到0.1所取的近似值都是1.4，因此1.4就是所求函数的一个正实数零点的近似值．反思与感悟二分法求函数零点的近似值的步骤跟踪训练3(1)用二分法求函数f(x)的一个正实数零点时，经计算f(0.64)<0，f(0.72)>0，f(0.68)<0，f(0.74)>0，则函数的一个精确到0.1的正实数零点的近似值为()A．0.64 B．0.74 C．0.7 D．0.6答案 C(2)用二分法求函数f(x)＝x3－x－2的一个正实数零点(精确到0.1)．解由f(1)＝－2<0，f(2)＝4>0，可以确定区间[1,2]作为计算的初始区间，用二分法逐步计算，具体如表：由上表的计算可知，区间[1.5,1.562 5]的长度不大于0.1，因此可取1.5作为所求函数的一个正实数零点的近似值．所以f(x)＝x3－x－2的一个正实数精确到0.1的近似零点为1.5.1．观察下列函数的图象，判断能用二分法求其零点的是()答案 A2．用二分法求函数f(x)＝x3＋5的零点可以取的初始区间是()A．[－2,1]B．[－1,0]C．[0,1]D．[1,2]答案 A3．函数f(x)＝2x＋m的零点落在(－1,0)内，则m的取值范围为()A．(－2,0) B．(0,2)C．[－2,0]D．[0,2]答案 B解析由题意f(－1)·f(0)＝(m－2)m＜0，∴0＜m＜2.4．在用二分法求函数f(x)零点近似值时，第一次取的区间是[－2，4]，则第三次所取的区间可能是()A．[1,4]B．[－2,1]C．[－2,2.5]D．[－0.5,1]答案 D解析因第一次所取的区间是[－2,4]，所以第二次的区间可能是[－2,1]、[1,4]；第三次所取的区间可能为[－2，－0.5]，[－0.5,1]，[1,2.5]，[2.5,4]，只有选项D在其中，故选D. 5．用二分法研究函数f(x)＝x3＋3x－1的零点时，第一次经计算f(0)＜0，f(0.5)＞0，可得其中一个零点x0∈________，第二次应计算________________．答案(0,0.5)x0＝0.25时f(0.25)的值1．二分就是平均分成两部分．二分法就是通过不断地将所选区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，直至找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精确度，用此区间的某个数值近似地表示真正的零点．2．二分法求方程近似解的适用范围：在包含方程解的一个区间上，函数图象是连续的，且两端点函数值异号．3．求函数零点的近似值时，所要求的精度不同，得到的结果也不相同．课时作业一、选择题1．下列函数不宜用二分法求零点的是()A．f(x)＝x3－1 B．f(x)＝－x2＋3C．f(x)＝x2＋22x＋2 D．f(x)＝－x2＋4x－1答案 C解析∵f(x)＝x2＋22x＋2＝(x＋2)2≥0，∴f(x)＝x2＋22x＋2不宜用二分法求零点．2．下列关于函数f(x)，x∈[a，b]的命题中，正确的是()A．若x0∈[a，b]且满足f(x0)＝0，则x0是f(x)的一个零点B．若x0是f(x)在[a，b]上的零点，则可以用二分法求x0的近似值C．函数f(x)的零点是方程f(x)＝0的根，但f(x)＝0的根不一定是函数f(x)的零点D．用二分法求方程的根时，得到的都是近似解答案 A解析使用“二分法”必须满足“二分法”的使用条件，B不正确；f(x)＝0的根也一定是函数f(x)的零点，C不正确；用二分法求方程的根时，得到的也可能是精确解，D不正确，只有A正确．3．二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(x∈R，a≠0)的部分对应值如下表：不求a、b、c的值，可以判断方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根所在区间是()A．(－3，－1)和(2,4)B．(－3，－1)和(－1,1)C．(－1,1)和(1,2)D．(－∞，－3)和(4，＋∞)答案 A解析由表格中数据可知f(－3)·f(－1)＜0，f(2)·f(4)＜0.4．若函数f(x)图象是连续不断的，且f(0)＞0，f(1)·f(2)·f(4)＜0，则下列命题正确的是() A．函数f(x)在区间(0,1)内有零点B．函数f(x)在区间(1,2)内有零点C．函数f(x)在区间(0,2)内有零点D．函数f(x)在区间(0,4)内有零点答案 D解析 f (1)·f (2)·f (4)＜0，则f (1)，f (2)，f (4)中有一个小于0，另两个大于0或三个都小于0，则有零点可能区间(0,1)，(1,2)，(2,4)，但它们都包含于(0,4)，因此选项D 正确．5．用二分法求函数f (x )在(a ，b )内的唯一零点时，精确度为0.001，则结束计算的条件是( ) A ．|a －b |＜0.1 B ．|a －b |＜0.001 C ．|a －b |＞0.001 D ．|a －b |＝0.001答案 B解析 据二分法的步骤知当区间长度|b －a |小于精确度ε时，便可结束计算． 6．利用计算器，列出自变量和函数值的对应关系如下表：那么方程2x ＝x 2的一个根位于下列哪个区间内( ) A ．(0.6,1.0) B ．(1.4,1.8) C ．(1.8,2.2) D ．(2.6,3.0)答案 C解析 设f (x )＝2x －x 2，根据列表有f (0.2)>0，f (0.6)>0，f (1.0)>0，f (1.4)>0，f (1.8)>0，f (2.2)<0，f (2.6)<0，f (3.0)<0，f (3.4)<0.因此方程的一个根在区间(1.8,2.2)内． 二、填空题7．用二分法求函数y ＝f (x )在区间(2,4)上的近似解，验证f (2)f (4)＜0，给定精确度ε＝0.01，取区间(2,4)的中点x 1＝2＋42＝3，计算得f (2)·f (x 1)＜0，则此时零点x 0∈________.(填区间)答案 (2,3)解析 ∵f (2)f (4)＜0，f (2)f (3)＜0， ∴f (3)f (4)＞0，故x 0∈(2,3)．8．若函数f (x )的图象是连续不间断的，根据下面的表格，可以断定f (x )的零点所在的区间为________．(只填序号)①(－∞，1] ②[1,2] ③[2,3] ④[3,4] ⑤[4,5] ⑥[5,6] ⑦[6，＋∞)答案 ③④⑤9．在26枚崭新的金币中，混入了一枚外表与它们完全相同的假币(重量稍轻)，现在只有一台天平，请问：最多需要称________次就可以发现这枚假币． 答案 4解析 由二分法的原理可得，最多需要4次．10．已知函数y ＝f (x )的图象如图所示．下列结论正确的序号是______．①该函数有三个变号零点； ②所有零点之和为0；③当x ＜－12时，恰有一个零点；④当0＜x ＜1时，恰有一个零点． 答案 ①②③解析 函数y ＝f (x )的三个变号零点分别是－1,0,1.所以①②③正确． 三、解答题11．用二分法求方程x 2－2＝0的一个正实数解的近似值．(精确到0.1)解 令f (x )＝x 2－2，由于f (0)＝－2＜0，f (2)＝2＞0，可确定区间[0,2]作为计算的初始区间，用二分法逐步计算，列表如下：由上表的计算可知，区间[1.375,1.437 5]的长度为1.437 5－1.375＝0.062 5＜0.1.故1.4可作为所求方程的一个正实数解的近似值．12．已知函数f (x )＝ax 3－2ax ＋3a －4在区间(－1,1)上有一个零点．(1)求实数a 的取值范围；(2)若a ＝3217，用二分法求方程f (x )＝0在区间(－1,1)上的根．解 (1)若a ＝0，则f (x )＝－4，与题意不符，所以a ≠0.由题意得f (－1)·f (1)＝8(a －1)(a －2)＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧ a －1＜0，a －2＞0或⎩⎪⎨⎪⎧ a －1＞0，a －2＜0，所以1＜a ＜2，故实数a 的取值范围为1＜a ＜2.(2)若a ＝3217，则f (x )＝3217x 3－6417x ＋2817，所以f (－1)＝6017＞0，f (0)＝2817＞0，f (1)＝－417＜0，所以函数零点在(0,1)内，又f (12)＝0，所以方程f (x )＝0在区间(－1,1)上的根为12.13．已知函数f (x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，a ＋b ＋c ＝0，f (0)＞0，f (1)＞0.(1)证明a ＞0；(2)利用二分法证明方程f (x )＝0在[0,1]内有两个实根．证明 (1)∵f (1)＞0，∴3a ＋2b ＋c ＞0，即3(a ＋b ＋c )－b －2c ＞0，∵a ＋b ＋c ＝0，∴－b －2c ＞0，则－b －c ＞c ，即a ＞c .∵f (0)＞0，∴c ＞0，则a ＞0.(2)在[0,1]内选取二等分点12，则f ⎝⎛⎭⎫12＝34a ＋b ＋c ＝34a ＋(－a )＝－14a ＜0.∵f (0)＞0，f (1)＞0，∴f (x )在区间⎝⎛⎭⎫0，12和⎝⎛⎭⎫12，1上至少各有一个零点， 又f (x )最多有两个零点，从而f (x )＝0在[0,1]内有两个实根．四、探究与拓展14．已知f (x )的一个零点x 0∈(2,3)，用二分法求精确度为0.01的x 0近似值时，判断各区间中点的函数值的符号最多需要的次数为( )A ．6B ．7C ．8D ．9答案 B解析 函数f (x )的零点所在区间的长度是1，用二分法经过7次分割后区间的长度变为127＜0.01.15．已知函数f (x )＝2x 2－8x ＋m ＋3为R 上的连续函数．(1)若m ＝－4 ，判断f (x )＝0在(－1,1)上是否有零点？若没有，请说明理由；若有，并在精确度为0.2的条件下(即零点所在区间长度小于0.2)，用二分法求出这个零点x 0所在的区间；(2)若函数f (x )在区间[－1,1]上存在零点，求实数m 的取值范围．解 (1) m ＝－4时，f (x )＝2x 2－8x －1，可以求出f (－1)＝9，f (1)＝－7，∵f (－1)·f (1)<0，f (x )为R 上的连续函数，∴f (x )＝0在(－1,1)上必有零点，取中点0，代入函数得f (0)＝－1<0, f (－1)·f (0)<0，零点x 0∈(－1,0)，再取中点－12， 计算得f (－12)＝72>0， ∴零点x 0∈(－12，0)， 取其中点－14，计算得f (－14)＝98>0 ， ∴零点x 0∈(－14，0)，再取其中点－18，计算得f (－18)＝132>0， ∴零点x 0∈(－18，0)， 区间长度18<15，符合要求， 故符合要求的零点x 0所在的区间为(－18，0)． (2)f (x )＝2x 2－8x ＋m ＋3为开口向上的抛物线，对称轴为x ＝－－82×2＝2，在区间[－1,1]上，函数单调递减，又f (x )在区间[－1,1]上存在零点，只可能⎩⎪⎨⎪⎧ f (－1)≥0，f (1)≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧2＋8＋m ＋3≥0，2－8＋m ＋3≤0，∴－13≤m ≤3.。
零点 及 二分法、图像变换练习题精品文档6页
函数与方程考纲要求了解函数零点的概念，结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系/理解并掌握连续函数在某个区间上存在零点的判定方法/能利用函数的图象和性质判别函数零点的个数1．函数的零点(1)函数零点的定义对于函数y＝f(x)，我们把使的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．(2)几个等价关系方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有．(3)函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是不断的一条曲线，并且有，那么，函数y＝f(x)在区间内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．二分法求方程的近似解(1)二分法的定义对于在区间[a，b]上连续不断且的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间，使区间的两个端点逐步逼近，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．(2)给定精确度ε，用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下：①确定区间[a，b]，验证f(a)·f(b)＜0，给定精确度ε；②求区间(a，b)的中点c；③计算f(c)；(ⅰ)若f(c)＝0，则c就是函数的零点；∈(a，c))；(ⅱ)若f(a)·f(c)＜0，则令b＝c(此时零点x∈(c，b))．(ⅲ)若f(c)·f(b)＜0，则令a＝c(此时零点x④判断是否达到精确度ε.即：若|a －b |＜ε，则得到零点近似值a (或b )；否则重复②③④.巩固练习1．若函数y ＝f (x )在R 上递增，则函数y ＝f (x )的零点 ( )A ．至少有一个B ．至多有一个C ．有且只有一个D ．可能有无数个2．如图所示的函数图象与x 轴均有交点，其中不能用二分法求图中交点横坐标的是 ( )A ．①②B ．①③C ．①④D ．③④3． 函数f (x )＝x －4x的零点的个数是 ( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．34．函数f (x )＝log 3x ＋x －3的零点一定在区间 ( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)5．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －3， x ≤0－2＋ln x ， x ＞0的零点个数为 ( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．36．函数f (x )＝2x ＋3x 的零点所在的一个区间是 ( )A ．(－2，－1)B ．(－1,0)C ．(0,1)D ．(1,2)7. 用二分法研究函数f (x )＝x 3＋3x －1的零点时，第一次经计算f (0)＜0，f (0.5)＞0可得其中 一个零点x 0∈________，第二次应计算________．8. 函数f (x )＝2－x ＋x 2－3的零点个数是________． 9. 若函数f (x )＝ax ＋b (a ≠0)有一个零点是2，那么函数g (x )＝bx 2－ax 的零点是________．幂函数与二次函数考纲要求：了解幂函数的概念/结合函数y ＝x ；y ＝x 12；y ＝x 2；y ＝x －1；y ＝x 3的图象，了解它们的变化情况 1．幂函数的定义一般地，形如 (α∈R )的函数称为幂函数，其中底数 是自变量，α为常数．2．幂函数的图象在同一平面直角坐标系下，幂函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x 12，y ＝x －1的图象分别如右图． 考向一 幂函数的图象和性质【例2】幂函数y ＝x a ，当a 取不同的正数时，在区间[0,1]上它们的图象是一族美丽的曲线(如图)．设点A (1,0)，B (0,1)，连接AB ，线段AB 恰好被其中的两个幂函数y ＝x α，y ＝x β的图象三等分，即有BM ＝MN ＝NA .那么，αβ＝ ( )A ．1B ．2C ．3D ．无法确定考向二 二次函数的最值【例3】 函数f (x )＝x 2－2x ＋2在闭区间[t ，t ＋1](t ∈R )上的最小值记为g (t )．(1)试写出g (t )的函数表达式；(2)作g (t )的图象并写出g (t )的最小值．【例4】已知函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a 在x ∈[0,1]时有最大值2，求a 的值．幂函数与二次函数练习题一、选择题1．函数3y x =（ ）A ．是奇函数，且在R 上是单调增函数B ．是奇函数，且在R 上是单调减函数C ．是偶函数，且在R 上是单调增函数D ．是偶函数，且在R 上是单调减函数2.已知幂函数f (x )＝x α的部分对应值如右表：则不等式f (|x |)≤2的解集是( )A ．{x |－4≤x ≤4}B ．{x |0≤x ≤4}C ．{x |－2≤x ≤2}D ．{x |0＜x ≤2}3．若x ≥0，y ≥0，且x ＋2y ＝1，那么2x ＋3y 2的最小值为 ( )A ．2 B.34 C.23D ．0 4．已知函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋4(a >0)，若x 1<x 2，x 1＋x 2＝0，则 ( )A ．f (x 1)<f (x 2)B ．f (x 1)＝f (x 2)C ．f (x 1)>f (x 2)D ．f (x 1)与f (x 2)的大小不能确定5．如果二次函数)3(2+++=m mx x y 有两个不同的零点，则m 的取值范围是（ ）A ．()6,2-B ．[]6,2-C ．{}6,2-D ．()(),26,-∞-+∞6．设abc >0，二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象可能是 ( )二、填空题7．若函数()x f 既是幂函数又是反比例函数,则这个函数是()x f = 。
高中数学-函数零点问题及例题解析
高中数学-函数零点问题及例题解析一、函数与方程基本知识点1、函数零点：（变号零点与不变号零点）（1）对于函数)(x f y =，我们把方程0)(=x f 的实数根叫函数)(x f y =的零点。
（2）方程0)(=x f 有实根⇔函数()y f x =的图像与x 轴有交点⇔函数()y f x =有零点。
若函数()f x 在区间[],a b 上的图像是连续的曲线，则0)()(<b f a f 是()f x 在区间(),a b 内有零点的充分不必要条件。
2、二分法：对于在区间[,]a b 上连续不断且()()0f a f b ⋅<的函数()y f x =,通过不断地把函数()y f x =的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点的近似值的方法叫做二分法; 二、函数与方程解题技巧零点是经常考察的重点，对此部分的做题方法总结如下：（一）函数零点的存在性定理指出：“如果函数)(x f y =在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且0)()(<b f a f ，那么，函数)(x f y =在区间（a,b ）内有零点，即存在),(b a c ∈,使得0)(=c f ,这个c 也是方程0)(=x f 的根”。
根据函数零点的存在性定理判断函数在某个区间上是否有零点（或方程在某个区间上是否有根）时，一定要注意该定理是函数存在零点的充分不必要条件：如例、函数xx x f 2)1ln()(-+=的零点所在的大致区间是（ ） （A ）（0，1）； （B ）（1，2）； （C ） （2，e ）； （D ）（3，4）。
分析：显然函数xx x f 2)1ln()(-+=在区间[1,2]上是连续函数，且0)1(<f ,0)2(>f ，所以由根的存在性定理可知，函数xx x f 2)1ln()(-+=的零点所在的大致区间是（1，2），选B（二）求解有关函数零点的个数（或方程根的个数）问题。
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函数与方程考纲要求了解函数零点的概念，结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系/理解并掌握连续函数在某个区间上存在零点的判定方法/能利用函数的图象和性质判别函数零点的个数1．函数的零点(1)函数零点的定义对于函数y＝f(x)，我们把使的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．(2)几个等价关系方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有．(3)函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是不断的一条曲线，并且有，那么，函数y＝f(x)在区间内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．二分法求方程的近似解(1)二分法的定义对于在区间[a，b]上连续不断且的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间，使区间的两个端点逐步逼近，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．(2)给定精确度ε，用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下：①确定区间[a，b]，验证f(a)·f(b)＜0，给定精确度ε；②求区间(a，b)的中点c；③计算f(c)；(ⅰ)若f(c)＝0，则c就是函数的零点；(ⅱ)若f(a)·f(c)＜0，则令b＝c(此时零点x∈(a，c))；(ⅲ)若f (c )·f (b )＜0，则令a ＝c (此时零点x 0∈(c ，b ))．④判断是否达到精确度ε.即：若|a －b |＜ε，则得到零点近似值a (或b )；否则 重复②③④.巩固练习1．若函数y ＝f (x )在R 上递增，则函数y ＝f (x )的零点 ( ) A ．至少有一个 B ．至多有一个 C ．有且只有一个 D ．可能有无数个2．如图所示的函数图象与x 轴均有交点，其中不能用二分法求图中交点横坐标的是 ( )A ．①②B ．①③C ．①④D ．③④3． 函数f (x )＝x －4x的零点的个数是 ( )A ．0B ．1C ．2D ．34．函数f (x )＝log 3x ＋x －3的零点一定在区间 ( ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3) D ．(3,4)5．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －3， x ≤0－2＋ln x ， x ＞0的零点个数为 ( )A ．0B ．1C ．2D ．36．函数f (x )＝2x＋3x 的零点所在的一个区间是 ( ) A ．(－2，－1) B ．(－1,0) C ．(0,1) D ．(1,2)7. 用二分法研究函数f (x )＝x 3＋3x －1的零点时，第一次经计算f (0)＜0，f (0.5)＞0可得其中 一个零点x 0∈________，第二次应计算________． 8. 函数f (x )＝2－x＋x 2－3的零点个数是________．9. 若函数f (x )＝ax ＋b (a ≠0)有一个零点是2，那么函数g (x )＝bx 2－ax 的零点是________．幂函数与二次函数考纲要求：了解幂函数的概念/结合函数y ＝x ；y ＝x 12；y ＝x 2；y ＝x －1；y ＝x 3的图象，了解它们的变化情况1．幂函数的定义一般地，形如 (α∈R )的函数称为幂函数，其中底数 是自变量，α为常数． 2．幂函数的图象在同一平面直角坐标系下，幂函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x 12，y ＝x －1的图象分别如右图．考向一 幂函数的图象和性质【例2】幂函数y ＝x a，当a 取不同的正数时，在区间[0,1]上它们的图象是一族美丽的曲线(如图)．设点A (1,0)，B (0,1)，连接AB ，线段AB 恰好被其中的两个幂函数y ＝x α，y ＝x β的图象三等分， 即有BM ＝MN ＝NA .那么，αβ＝ ( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．无法确定考向二 二次函数的最值【例3】 函数f (x )＝x 2－2x ＋2在闭区间[t ，t ＋1](t ∈R )上的最小值记为g (t )． (1)试写出g (t )的函数表达式；(2)作g (t )的图象并写出g (t )的最小值．【例4】已知函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a 在x ∈[0,1]时有最大值2，求a 的值．幂函数与二次函数练习题一、选择题1．函数3y x （ ）A ．是奇函数，且在R 上是单调增函数B ．是奇函数，且在R 上是单调减函数C ．是偶函数，且在R 上是单调增函数D ．是偶函数，且在R 上是单调减函数 2.已知幂函数f (x )＝x α的部分对应值如右表：则不等式f (|x |)≤2的解集是( )A ．{x |－4≤x ≤4}B ．{x |0≤x ≤4}C ．{x |－2≤x ≤2}D ．{x |0＜x ≤2}3．若x ≥0，y ≥0，且x ＋2y ＝1，那么2x ＋3y 2的最小值为 ( )A ．2 B.34 C.23D ．04．已知函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋4(a >0)，若x 1<x 2，x 1＋x 2＝0，则 ( ) A ．f (x 1)<f (x 2) B ．f (x 1)＝f (x 2)C ．f (x 1)>f (x 2)D ．f (x 1)与f (x 2)的大小不能确定5．如果二次函数)3(2+++=m mx x y 有两个不同的零点，则m 的取值范围是（ ）A ．()6,2-B ．[]6,2-C ．{}6,2-D ．()(),26,-∞-+∞6．设abc >0，二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象可能是 ( )二、填空题7．若函数()x f 既是幂函数又是反比例函数,则这个函数是()x f = 。
8．幂函数()f x 的图象过点（，则()f x 的解析式是_____________。
9．若函数y ＝mx 2＋x ＋5在[－2，＋∞)上是增函数，则m 的取值范围是________．10．如果幂函数y ＝x α的图象，当0<x <1时，在直线y ＝x 的上方，那么x 的取值范围是________． 11．942--=a a xy 是偶函数，且在),0(+∞是减函数，则整数a 的值是 ．12．当x ∈(1,2)时，不等式x 2＋mx ＋4<0恒成立，则m 的取值范围是________． 13．函数2223()(1)m m f x m m x --=--是幂函数，且在(0,)x ∈+∞上是减函数，则实数m =______.三、解答题(14．已知二次函数f (x )的二次项系数为a ，且f (x )>－2x 的解集为{x |1<x <3}，方程f (x )＋6a ＝0有两相等实根，求f (x )的解析式．函数图象函数图象的作法 1．描点法作图描点步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数的解析式；(3)讨论函数的性质 即单调性、奇偶性、周期性、最值(甚至变化趋势)；(4)描点连线，画出函数的图象． 2．函数图象的变换法 (1)平移变换①水平平移：y ＝f (x ±a )(a ＞0)的图象，可由y ＝f (x )的图象向 (＋)或向 (－) 平移 单位而得到．②竖直平移：y ＝f (x )±b (b ＞0)的图象，可由y ＝f (x )的图象向 (＋)或向 (－) 平移 单位而得到．(2)对称变换①y ＝f (－x )与y ＝f (x )的图象关于y 轴对称． ②y ＝－f (x )与y ＝f (x )的图象关于 对称． ③y ＝－f (－x )与y ＝f (x )的图象关于 对称． ④ 与 的图象关于直线y ＝x 对称． （3)翻折变换①作为y ＝f (x )的图象，将图象位于x 轴下方的部分以x 轴为对称轴翻折到上方，其余部分不变， 得到y ＝|f (x )|的图象；②作为y ＝f (x )在y 轴上及y 轴右边的图象部分，并作y 轴右边的图象关于y 轴对称的图象，即 得y ＝f (|x |)的图象． (4)伸缩变换①y ＝af (x )(a ＞0)的图象，可将y ＝f (x )图象上每点的纵坐标伸(a ＞1时)缩(a ＜1时)到原来的a 倍．②y ＝f (ax )(a ＞0)的图象，可将y ＝f (x )的图象上每点的横坐标伸(a ＜1时)缩(a ＞1时)到原来的1a.函数图象练习题一、选择题1．由方程x |x |＋y |y |＝1确定的函数y ＝f (x )在(－∞，＋∞)上是 ( ) A ．增函数 B ．减函数 C ．先增后减 D ．先减后增 2. 函数y ＝1－1x －1的图象是 ( )3．为了得到函数y ＝lgx ＋310的图象，只需把函数y ＝lg x 的图象上所有的点 ( )A ．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度B ．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度C ．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度D ．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度4.已知图①中的图象对应的函数为y ＝f (x )，则图②的图象对应的函数为 ( )A ．y ＝f (|x |)B ．y ＝|f (x )|C ．y ＝f (－|x |)D ．y ＝－f (|x |) 5．如右图，△OAB 是边长为2的等边三角形，直线x ＝t 截这个三角 形位于此直线左方的图形面积(见图中阴影部分)为y ，则函数y ＝f (t )的大致图形为 ( )6．设a ＜b ，函数y ＝(x －a )2(x －b )的图象可能是 ( )7．函数f (x )＝2|log 2x |－|x －1x|的大致图像为 ( )二、填空题8．若函数f (x )在区间[－2,3]上是增函数，则函数f (x ＋5)的单调递增区间是________． 9．设函数f (x )＝x |x |＋bx ＋c ，给出下列命题： ①b ＝0，c >0时，方程f (x )＝0只有一个实数根； ②c ＝0时，y ＝f (x )是奇函数； ③方程f (x )＝0至多有两个实根．上述三个命题中所有正确命题的序号为________．10．设f (x )表示－x ＋6和－2x 2＋4x ＋6中较小者，则函数f (x )的最大值是________．11．甲、乙二人沿同一方向去B 地，途中都使用两种不同的速度v 1与v 2(v 1＜v 2)．甲一半的 路程使用速度v 1，另一半的路程使用速度v 2；乙一半时间使用速度v 1，另一半的时间使 用速度v 2.关于甲、乙二人从A 地到达B 地的路程与时间的函数图象及关系，有下面图 中4个不同的图示分析(其中横轴t 表示时间，纵轴s 表示路程)，则其中可能正确的图示 分析为________．三、解答题12．利用函数图象讨论方程|1－x|＝kx的实数根的个数．（注：本资料素材和资料部分来自网络，仅供参考。